Tài liệu Một số vấn đề về đa tạo con của một đa tạp riemann

  • Số trang: 95 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 54 |
  • Lượt tải: 0
hoangtuavartar

Tham gia: 05/08/2015

Mô tả:

B GIÁO DC VÀ ÀO TO TR NG I H C SƯ PHM TP. H CHÍ MINH ---------------------------------------- Tr n Ngc Thanh Trang MTS V N V A TP CON C A M T A TP RIEMANN LU¤N VĂN THC SĨ TOÁN H C Thành ph H Chí Minh – 2008 1 B GIÁO DC VÀ ÀO TO TR NG I H C SƯ PHM TP. H CHÍ MINH ---------------------------------------- Tr n Ngc Thanh Trang MTS V N V A TP CON C A M T A TP RIEMANN Chuyên ngành: Hình hc và Tôpô Mã s : 60 46 10 LU¤N VĂN THC SĨ TOÁN H C NGƯ I HƯ NG D TS. KHU QU C ANH Thành ph H Chí Minh – 2008 N KHOA H C: 2 LI CM ƠN Trong quá trình th c hi n lu n văn, tôi ã nh n ư!c nhi"u s giúp & và h( tr!. Tôi xin chân thành c,m ơn TS Khu Qu c Anh ã t n tình hư3ng d5n và giúp 6 r7t nhi"u 8 tôi có th8 hoàn thành lu n văn này. Nhân ây tôi cũng mu n g=i l>i c,m ơn ?n các Th@y Cô trong tB Hình hDc thuEc khoa Toán - Tin, HIi hDc Sư PhIm thành ph H Chí Minh ã nhi t tình giúp & và góp ý cho lu n văn. Tôi cũng xin c,m ơn các quý Th@y Cô trong HEi ng ch7m lu n văn ã dành th>i gian quan tâm và góp ý 8 lu n văn ư!c hoàn chNnh hơn. Bên cInh ó, tôi xin g=i l>i c,m ơn ?n Ban giám hi u, Phòng K? hoIch tài chính, Phòng Khoa hDc công ngh và Sau Ii hDc cOa trư>ng HIi hDc Sư PhIm thành ph H Chí Minh cũng như Ban giám hi u trư>ng THPT Lương Th? Vinh ã tIo mDi i"u ki n 8 tôi có th8 hoàn t7t chương trình cao hDc và hoàn thành lu n văn. Cu i cùng tôi xin g=i l>i c,m ơn sâu sPc ?n gia ình, bIn bè và ng nghi p ã luôn Eng viên giúp & tôi trong su t quá trình nghiên cQu và hoàn thành lu n văn thIc sĩ này. 3 MC LC Trang Trang phS bìa......................................................................................................................1 L>i c,m ơn............................................................................................................................2 MSc lSc.................................................................................................................................3 M6 @u.................................................................................................................................6 Chương 1: MTT SU KIVN THWC CHUXN BY..................................8 1.1.Ha tIp kh, vi..................................................................................................................8 1.1.1.Ha tIp kh, vi..........................................................................................................8 1.1.1.1.Ha tIp kh, vi n chi"u...................................................................................8 1.1.1.2. Ánh xI kh, vi................................................................................................9 1.1.2. Không gian ti?p xúc và phân th3 ti?p xúc............................................9 1.1.2.1. HZnh nghĩa v" không gian vectơ ti?p xúc T p M.......................10 1.1.2.2. Phân th3 ti?p xúc......................................................................................11 1.1.2.3. Trư>ng vectơ.............................................................................................12 1.1.2.4. Trư>ng mSc tiêu.......................................................................................12 1.1.2.5. Tích Lie cOa hai trư>ng vectơ..........................................................12 1.1.2.6. Ánh xI ti?p xúc...........................................................................................13 1.1.3. Ha tIp con..............................................................................................................14 1.1.4. Trư>ng tenxơ.....................................................................................................14 1.1.4.1. Tích tenxơ...................................................................................................14 1.1.4.2. Các tenxơ ph,n bi?n và hi p bi?n....................................................15 1.1.4.3. Trư>ng tenxơ............................................................................................16 1.2. Lý thuy?t liên thông................................................................................................18 1.2.1. HZnh nghĩa liên thông tuy?n tính trên a tIp........................................18 1.2.2. HIo hàm thu n bi?n cOa trư>ng tenxơ...................................................20 1.2.3. Tenxơ xoPn và tenxơ cong.........................................................................20 4 1.2.4. Hư>ng trPc Za..................................................................................................21 1.3. Ha tIp Riemann..........................................................................................................23 1.3.1. Khái ni m a tIp Riemann............................................................................23 1.3.2. Liên thông Riemann.........................................................................................23 1.3.2.1. HZnh nghĩa liên thông Riemann........................................................23 1.3.2.2. HZnh lý..........................................................................................................23 1.3.3. Liên thông Levi – Cita....................................................................................25 1.3.3.1. HZnh nghĩa..................................................................................................25 1.3.3.2. HZnh lý..........................................................................................................25 1.3.4. HE cong trên a tIp Riemann.......................................................................26 1.3.4.1. Nh[ng kh,o sát Ii s có liên quan....................................................26 1.3.4.2. HE cong thi?t di n....................................................................................27 1.3.4.3. HE cong Ricci.............................................................................................27 1.3.5. Ánh xI \ng c gi[a các a tIp Riemann...................................................28 1.3.6. Tính @y cOa a tIp Riemann....................................................................28 1.3.6.1. HZnh lý..........................................................................................................28 1.3.6.2. BB "................................................................................................................29 Chương 2: HA T]P CON C^A MTT HA T]P RIEMANN..............30 2.1. HIo hàm thu n bi?n và dIng cơ b,n thQ hai cOa mEt a tIp con cOa mEt a tIp Riemann..................................................................................................30 2.1.1. HIo hàm thu n bi?n và dIng cơ b,n thQ hai cOa mEt a tIp con cOa mEt a tIp Riemann. Công thQc Gauss...........................................................30 2.1.1.1. M nh ".........................................................................................................31 2.1.1.2. M nh ".........................................................................................................34 2.1.2. Công thQc Weingarten...................................................................................37 2.1.2.1. M nh ".........................................................................................................38 2.1.2.2. M nh ".........................................................................................................40 5 2.1.3. MEt s ví dS minh hDa..................................................................................41 2.2. Phương trình cOa Gauss và Codazzi..............................................................44 2.2.1. Phương trình Gauss.........................................................................................44 2.2.1.1. M nh ".........................................................................................................45 2.2.1.2. H qu,.............................................................................................................46 2.2.1.2.1. Ví dS.......................................................................................................46 2.2.1.2.2. Ví dS.......................................................................................................47 2.2.2. Phương trình cOa Codazzi..........................................................................48 2.2.2.1. M nh ".........................................................................................................49 2.2.2.2. H qu,.............................................................................................................49 2.2.2.3. M nh ".........................................................................................................51 2.2.2.4. M nh ".........................................................................................................52 2.2.2.5. HZnh lý..........................................................................................................53 2.2.2.6. BB "................................................................................................................53 2.3. Các siêu m_t trong mEt không gian Euclide...............................................55 2.3.1. Tính ch7t cơ b,n................................................................................................55 2.3.2. HZnh nghĩa..........................................................................................................58 2.3.3. Bi8u thQc Tenxơ Ricci cOa siêu m_t....................................................62 2.3.4. Tính ch7t cOa a tIp Anhstanh....................................................................62 2.3.4.1. HZnh lý..........................................................................................................62 2.4. HZnh lý cơ b,n cho các siêu m_t......................................................................68 2.4.1. HZnh lý..................................................................................................................68 2.4.2. BB ".......................................................................................................................69 2.4.3. BB ".......................................................................................................................70 2.4.4. BB ".......................................................................................................................72 K?t lu n...................................................................................................................................75 Tài li u tham kh,o...............................................................................................................77 6 MU 1. Lý do chn tài Hình hDc Riemann là nEt trong nh[ng lĩnh v c nghiên cQu quan trDng cOa hình hDc vi phân. Ra >i t` th? ka XVIII nhưng do nh[ng Qng dSng sâu sPc cOa nó trong th c t?, hình hDc Riemann v5n ư!c phát tri8n mInh mb cho ?n ngày nay. Nhà toán hDc HQc Georg Friedrich bernhard Riemann ( 17 tháng 9, 1826 – 20 tháng 7, 1866), mEt hDc trò xu7t sPc cOa nhà tóan hDc thiên tài K.F.Gauss, là ngư>i @u tiên m6 rEng các k?t qu, nghiên cQu v" hình hDc vi phân t` không gian ba chi"u thông thư>ng ( cS th8 là lý thuy?t v" các m_t trong không gian Euclide ba chi"u) sang các không gian nhi"u chi"u. Nh[ng công trình cOa ông ư!c nhi"u nhà toán hDc nBi ti?ng th>i b7y gi> và sau này nghiên cQu và phát tri8n tr6 thành mEt lý thuy?t quan trDng cOa hình hDc vi phân mang tên ông gDi là hình hDc Riemann. Hình hDc Riemann có nh[ng óng góp to l3n ch\ng nh[ng trong s phát tri8n cOa toán hDc mà c, trong >i s ng th c t?. Lý thuy?t tương i cOa nhà bác hDc Einstein ã d a trên cơ s6 toán hDc là hình hDc Riemann. T` vi c nghiên cQu hình hDc Riemann bcng nh[ng công cS toán hDc hi n Ii, nhi"u môn hình hDc khác như hình hDc Finsler, hình hDc phQc, hình hDc Symplectic,… ã ra >i và phát tri8n mInh mb cho ?n ngày nay. Khi chDn " tài “ MEt s v7n " v" a tIp con cOa mEt a tIp Riemann”, chúng tôi mu n tìm hi8u mEt lĩnh v c nghiên cQu quan trDng cOa hình hDc vi phân. 2. M-c ích nghiên cu Nghiên cQu " tài này, chúng tôi mu n m6 rEng các k?t qu, ã bi?t cOa lý thuy?t m_t trong không gian Euclide ba chi"u ã hDc 6 Ii hDc. Lu n văn này ư!c th c hi n nhcm chQng minh mEt cách @y O mEt s Znh lý và 7 m nh " v" Io hàm thu n bi?n và dIng cơ b,n thQ hai cOa a tIp con cOa mEt a tIp Riemann, và các siêu m_t trong không gian Euclide. 3. i tư"ng nghiên cu Lu n văn t p trung nghiên cQu mEt s v7n " v" a tIp con cOa mEt a tIp Riemann, cS th8 là nghiên cQu v" Io hàm thu n bi?n và dIng cơ b,n thQ hai cOa a tIp con cOa mEt a tIp Riemann, và các siêu m_t trong không gian Euclide. 4. Ý nghĩa khoa hc và th$c ti%n K?t qu, cOa lu n văn này tIo ra nh[ng cơ s6 m6 @u 8 nghiên cQu v" a tIp con cOa mEt a tIp Riemann. 5. C&u trúc lu'n văn Lu n văn g m hai chương: Chương 1: h th ng lIi các ki?n thQc chudn bZ v" tôpô vi phân và hình hDc vi phân, g m các khái ni m cơ b,n và các Znh lý cơ s6, làm n"n t,ng xây d ng chương 2. Chương 2: nghiên cQu v" a tIp con cOa a tIp Riemann, bao g m các v7n " v" Io hàm thu n bi?n và dIng cơ b,n thQ hai, các phương trình cOa Gauss và Codazzi, các siêu m_t trong không gian Euclide và Znh lý cơ b,n cho các siêu m_t. 8 Chương 1 MTS KI*N TH+C CHU,N B1.1 a t.p kh/ vi 1.1.1.a t.p kh/ vi 1.1.1.1. a t.p kh/ vi n chiu Cho M là mEt không gian tôpô Hausdoff có cơ s6 ?m ư!c . M ư!c gDi là a tIp tôpô n - chi"u n?u nó ng phôi Za phương v3i không gian Euclide n , tQc là : • ∀ x ∈ M , ∃ lân c n U cOa x và mEt ng phôi ϕ :U → V m6 ⊂ • n Gi, s= M là a tIp tôpô n - chi"u , c_p (U ,ϕ ) xác Znh trên ư!c gDi là mEt b,n trên M . MEt atlas (t p b,n ) kh, vi l3p C k ( k ≥ 1) là mEt hD C = {(U i , ϕi ) : i ∈ I} các b,n thea mãn hai i"u ki n a) HD {Ui } là mEt phO m6 cOa M. b) V3i hai b,n(Ui , ϕi ) và (U j , ϕ j ) , U i ∩ U j ≠ ∅ , ánh xI ϕ j ϕi −1 xác Znh trên ϕ i (U i ∩ U j ) là ánh xI kh, vi l3p C k t` ϕ i (U i ∩ U j ) lên ϕ j (U i ∩ U j ) . Hai t p b,n C1 = {(U i , ϕi ) : i ∈ I} và C2 = {(V j , ψ j ) : j ∈ J} kh, vi l3p C k ư!c gDi là tương thích v3i nhau , n?u h!p cOa chúng cũng là mEt t p b,n kh, vi l3p C k . Quan h “tương thích” là mEt quan h tương ương trên hD các t p b,n kh, vi l3p C k . M(i l3p tương ương cOa quan h tương ương trên ư!c gDi là mEt c7u trúc kh, vi l3p C k trên M. Ha tIp tôpô n - chi"u M cùng v3i c7u trúc kh, vi l3p C k cho trên nó 9 ư!c gDi là mEt a tIp kh, vi n - chi"u l3p C k .N?u k = ∞ , c7u trúc kh, vi tương Qng ư!c gDi là c7u trúc nhfn trên M. Khi ó M ư!c gDi là a tIp nhfn. 1.1.1.2.Ánh x. kh/ vi Gi, s= M , N là hai a tIp kh, vi v3i s chi"u m , n tương Qng . Ánh xI liên tSc f : M → N ư!c gDi là kh, vi tIi p ∈ M n?u v3i mDi b,n (U , ϕ) quanh p và (V , ψ) quanh f(p) = q sao cho f (U ) ⊂ V thì ánh xI ψ f ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) là kh, vi tIi i8m ϕ( p) ∈ m Ánh xI f là kh, vi , n?u nó kh, vi tIi mDi i8m p ∈ M . Cho ánh xI kh, vi f : M → N , p ∈ M , (V ,ψ) là b,n Za phương quanh ϕ( p) , các tDa E ư!c cho b6i n hàm y j trên V . Gi, s= (U , ϕ) là b,n quanh p ∈ M , các tDa E cho b6i ϕ(.) = ( x1,..., xm ) v3i f (U ) ⊂ V Ánh xI ψ f ϕ−1 y j j 1 2 = h (x , x ,..., x ư!c cho b6i bi8u thQc m HIng cOa ma tr n ), j = 1,2,..., n ( h j là nh[ng hàm kh, vi). ∂h j (m × n) tIi ϕ( p ) = (x1( p ),..., x m ( p)) không ∂xi phS thuEc vào vi c chDn b,n Za phương , ư!c gDi là hIng cOa ánh xI f tIi i8m p. Khi ó f ư!c gDi là mEt dìm n?u hIng cOa f tIi mDi i8m p "u bcng m = dim M . Ánh xI f ư!c gDi là mEt nhúng n?u f là mEt dìm và f là mEt ng phôi t` M lên f(M). 1.1.2.Không gian ti0p xúc và phân th1 ti0p xúc 10 1.1.2.1. 2nh nghĩa v không gian vectơ ti0p xúc T p M Cho M là a tIp kh, vi s chi"u m l3p C k . MEt ư>ng cong kh, vi l3p C r trên M là mEt ánh xI c: J → M ( 0 ∈ J m6 ⊂ ) kh, vi l3p C k . Ánh xI f: M → l3p C r ư!c gDi là mEt hàm kh, vi l3p C r trên M . Kí hi u F r(M) là t p h!p hàm kh, vi ( l3p C r ) trên M , F r(p) là t p h!p các hàm kh, vi l3p C r trong lân c n cOa p , C1p (M) là t p các ư>ng cong c kh, vi l3p C1 trên M sao cho c(0) = p. Ta xét mEt quan h “ ∼” trên C 1 p (M) như sau: c1 : J → M , c2 : J → M sao cho c1 (0) = c2 (0) = p d d t ( xi c1 ) =d t = 0dt v3i I = 1,2,…,m. ( xi c2 ) t=0 Khi ó quan h “ ∼” là mEt quan h tương ương trên t p h!p các ư>ng 1 cong kh, vi l3p C qua p ∈ M . M(i l3p tương ương i v3i quan h tương ương trên ư!c gDi là mEt vectơ ti?p xúc tIi p cOa M . T p các vectơ ti?p xúc tIi p cOa M ư!c kí hi u là T p M . k Ta mô t, c7u trúc cOa T p M . T p F (p) v3i các phép toán cEng và nhân t nhiên và nhân vô hư3ng v3i mEt s th c làm thành mEt – Ii s . Ta gDi k mEt Io hàm tIi p là mEt hàm v: F (p) → thea mãn hai i"u ki n • v là ánh xI tuy?n tính gi[a các – không gian vectơ. k • v(f.g) = v(f) . g(p) + f(p) . v(g) , ∀ f ,g ∈ F (p). Gi, s= [c] ∈T p M , ta có th8 coi [c] là mEt Io hàm tIi p bcng cách sau : 11 d f c (t) 0 (1) dt V3i f ∈ F k(p) , _t [c](f) = Khi ó quy tPc trên không phS thuEc vào vi c chDn ư>ng cong Ii di n cOa [c] , nó thea mãn hai tính ch7t trên . Bcng ng nh7t này , ta có mEt ơn ánh t` T p M vào không gian các Io hàm tIi p . Xét b,n Za phương (U , x) quanh p sao cho x = (x1,..., xm ) . V3i m(i j , xét ư>ng cong c j (t ) = x −1( x ( p ) + te j ) , {0, e1 ,..., em} là mSc tiêu trong m , thì c j là ư>ng cong trên M qua p , nó xác Znh vectơ ti?p xúc , kí hi u ∂ ∂x có ∂ (f)=Dj ∂x j Ta vi?t p ( f x−1) x ∂ ∂f (f)= . ∂x j ∂x p , v3i . Ta j p D j là kí hi u Io hàm riêng thQ j . (p) j p Khi ó T p M chính là không gian con m chi"u cOa không gian vectơ ∂ các Io hàm tIi p , và h ∂x vectơ ti?p xúc T p M cOa j , j = 1,..., m là cơ s6 cOa không gian p a tIp M tIi p. 1.1.2.2. Phân th1 ti0p xúc Gi, s= M là a tIp kh, vi m chi"u l3p C k . Xét TM = ∪ T p∈M v3i m(i b,n (U, x) trên M , _t TU = ∪ T p M . Xét ánh xI p∈U x : TU → x (U ) × m ư!c xác Znh x ( v ) = ( x ( p ), v ( x1),..., v ( xm )) m ( v ∈ T p M ,v = ∑ v (x j=1 j ) ∂ ∂x j , x là mEt song ánh) p M.Hi p 12 Ta gDi (TU , x) là b,n trên TM , k?t h!p v3i (U , x) . Ta có th8 trang bZ cho TM mEt tôpô xác Znh duy nh7t sao cho các b,n trên TM có x là trên M , x :U i A∩ (TU (TU , x) ng phôi . CS th8 , xét U = {(Vi , xi ),i ∈ I} là mEt t p b,n i →V⊆ m i . Khi ó A m6 trong TM khi và chN khi ) là tIo ,nh cOa t p m6 trong V × i m qua xi , ∀i ∈ I . i { } Khi ó , t p các b,n TU i , x tIo thành mEt atlas kh, vi l3p C k −1 , cho c7u trúc kh, vi l3p C k −1 trên TM. TM cùng v3i c7u trúc kh, vi xác Znh như trên là a tIp kh, vi 2m chi"u , ư!c gDi là phân th3 ti?p xúc cOa a tIp kh, vi M. Ánh xI π :TM → M v3i π(v ) = p ( v ∈T p M ) là kh, vi và có hIng c c Ii. 1.1.2.3. Trư3ng vectơ Cho M là a tIp kh, vi m chi"u , TM là phân th3 ti?p xúc cOa a tIp M , U m6 ⊂ M . Trư>ng vectơ kh, vi trên M là ánh xI kh, vi X: M → TM sao cho π. X ( p ) = p ( p ∈ M ) .Ta còn gDi X là nhát cPt kh, vi xác Znh trên M. T p các trư>ng vectơ kh, vi trên M ư!c kí hi u là V(M). Ha tIp M ư!c gDi là kh, song n?u t n tIi m trư>ng vectơ ti?p xúc Ec l p tuy?n tính trên M , nghĩa là có m trư>ng vectơ kh, vi X 1,..., X m sao cho v3i m(i p ∈M, X 1( p ),..., X m ( p) tIo thành cơ s6 cOa T p M . 1.1.2.4. Trư3ng m-c tiêu Trư>ng mSc tiêu trên U m6 ⊂ M { X 1,..., X n} trên U sao cho v3i m(i cơ là h g m n trư>ng vectơ p ∈U thì h { X 1 p ,..., X np } là mEt s6 cOa T p ( M ) . 13 N?u v3i ∀p ∈U , X ip .X jp = δij thì { X i } ư!c gDi là trư>ng mSc tiêu tr c chudn. 1.1.2.5. Tích Lie c4a hai trư3ng vectơ V3i m(i trư>ng vectơ kh, vi X ∈V ( M ) , hàm kh, vi f∈ F r(M), ta xác Znh hàm Xf∈ F r–1(M), v3i : p ∈ M ,( Xf )( p ) = X p( f ) = d ( f c (t)) t0= . dt v3i X , Y là hai trư>ng vectơ kh, vi trên M , tích Lie cOa X và Y , kí hi u [X , Y] ư!c xác Znh như sau [ X , Y ] f = X (Yf ) − Y ( Xf ) , f ∈ F r(M) 1.1.2.6. Ánh x. ti0p xúc Gi, s= M , N là hai a tIp kh, vi v3i s chi"u m , n tương Qng và f : M → N là ánh xI kh, vi. V3i m(i p ∈ M , xét T p f :T p M → T f ( p ) N xác Znh như sau: V3i v ∈ T p M , v = [ c ], c : J → M mà c (0) = p , _t: Tpf(v)=[f c ]∈T f ( p ) N Ta th7y Znh nghĩa trên không phS thuEc vào ư>ng cong Ii di n cho vectơ v. Ta xét bi8u dign Za phương cOa T p f . Gi, s= (U , x) là b,n Za phương quanh p, (V , y) là b,n Za phương quanh f ( p) , sao cho f (U ) ⊂ V . Khi ó , n?u v = ∑v(xi ) ∂ i thì (Tp f )(v) = ∑v( y j n m i=1 ∂x p Do ó T p f là mEt ánh xI tuy?n tính. Như v y ta xác f) j=1 ∂j ∂y f ( p) Znh ư!c ánh xI Tf :TM → TN , v3i v ∈T p M ⇒ (Tf )( v ) = (T p f )( v) . Ta có bi8u giao sau
- Xem thêm -