Tài liệu MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ TRONG PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VŨ THANH TÙNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ TRONG PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60. 46. 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN Đà Nẵng, Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là hoàn toàn trung thực và chưa được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả luận văn Vũ Thanh Tùng MỤC LỤC MỞ ĐẦU...........................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài.....................................................................................1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu..........................................................2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu...........................................................2 4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................2 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài................................................2 6. Cấu trúc luận văn....................................................................................2 CHƯƠNG 1: BIẾN PHÂN.............................................................................4 1.1. BIẾN PHÂN THỨ NHÂT, PHƯƠNG TRÌNH EULER - LAGRANGE. .4 1.2. BIẾN PHÂN THỨ HAI.............................................................................8 1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE.......................................................10 1.3.1. Các phương trình Euler-Lagrange....................................................10 1.3.1. Các Lagrangian không.....................................................................12 1.3.3. Ứng dụng..........................................................................................15 CHƯƠNG 2: CỰC TIỂU HÓA PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM......................................................................18 2.1. ĐIỀU KIỆN CƯỠNG BỨC, TÍNH NỬA LIÊN TỤC DƯỚI.................18 2.1.1. Điều kiện cưỡng bức........................................................................19 2.1.2. Nữa liên tục dưới..............................................................................21 2.2. TÍNH LỒI.................................................................................................19 2.3. NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH EULER - LAGRANGE.........27 2.4. TRƯỜNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH...................................................31 2.4.1. Tính lồi.............................................................................................31 2.4.2.Tính đa lồi.........................................................................................33 2.5. TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM.......................................................37 2.5.1. Nhũng ước lượng đạo hàm cấp hai..................................................38 2.5.2. Những nhận xét trên quy tắc cao hơn...............................................42 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN..........................................45 3.1. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG PHI TUYẾN TÍNH..................................45 3.2. RÀNG BUỘC MỘT BÊN, BẤT ĐẲNG THÚC BIẾN PHÂN...............49 3.3. ĐỊNH LÝ QUA NÚI................................................................................54 3.3.1. Các điểm tới hạn, sự biến dạng........................................................54 3.3.2. Định lý qua núi.................................................................................59 3.3.3. Ứng dụng trong phương trình eliptic nữa tuyến tính.......................61 KẾT LUẬN....................................................................................................68 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................69 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Chúng ta đều biết: không có lý thuyết tổng quát cho phép giải mọi phương trình đạo hàm riêng; nhất là với các phương trình phi tuyến A[u ] 0; (1) trong đó, A[] ký hiệu toán tử đạo hàm riêng (nói chung là phi tuyến) đã cho, còn u ký hiệu ẩn hàm. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp (chẳng hạn, với phương trình Hamilton – Jacobi và các luật bảo toàn), toán tử phi tuyến A[] có thể biểu diễn được như là một kiểu “đạo hàm” của một phiếm hàm “năng lượng” I [] thích hợp, và (1) trở thành I '[u ] 0. Lúc này, thay vì giải phương trình (1) một cách trực tiếp – một việc khó, người ta quan tâm đến việc tìm các “điểm tới hạn” của phiếm hàm I []  một việc dường như là dễ hơn, nhờ vào các công cụ của giải tích hàm phi tuyến: phép tính biến phân. Rất nhiều bài toán – trên thực tế – được đưa về bài toán “cực trị của phiếm hàm”. Có thể nói: Phép tính biến phân được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, cơ học và kỹ thuật. Vì lý do đó, dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, tôi chọn “Một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học của mình. 2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Chúng tôi mong muốn tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các nguồn khác nhau, nghiên cứu kỹ càng các tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy đủ các kiến thức cũ và mới về phép tính biến phân để có thể trình bày lại các kiến thức cơ sở – theo cách mình hiểu – trong luận văn này với các chứng minh chi tiết và các ví dụ minh họa. Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên các trường cao đẳng, đại học. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu: phép tính biến phân. 3.2. Phạm vi nghiên cứu: các khái niệm, các định lý cơ sở và một số bài toán liên quan. 4. Phương pháp nghiên cứu Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin nhằm hệ thống lại các vấn đề lý thuyết một cách logic, chi tiết hóa các chứng minh và tìm hiểu các bài toán, các ví dụ minh họa. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Mong muốn đề tài sẽ là tài liệu bổ ích cho sinh viên ngành toán trong việc tiếp cận với một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương Chương 1 giới thiệu biến phân thứ nhất, phương trình Euler-Lagrange, biến phân thứ hai và hệ phương trình Euler-Lagrange. 3 Chương 2 trình bày điều kiện cưỡng bức, tính nửa liên tục dưới, tính lồi, nghiệm yếu của phương trình Euler-Lagrange, trường hợp hệ phương trình và tính chính quy của nghiệm. Chương 3 trình bày về bài toán giá trị riêng phi tuyến, ràng buộc một bên, bất đẳng thức biến phân, định lý qua núi và ứng dụng trong phương trình elliptic nửa tuyến tính. 4 CHƯƠNG 1 BIẾN PHÂN 1.1. BIẾN PHÂN THỨ NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH EULER- LAGRANGE Giả sử U ⊂ Rn là một tập mở, bị chặn với biên ∂ U trơn, Ú là một tập compact và cho trước một hàm trơn L :R × R× Ú →ℝ. n Ta gọi L làtoántử Lagrange. Kí hiệu . L=L ( p , z , x ) =L ( p1 , … , p n , z , x 1 , … , x n ) với p ∈ Rn , z ∈ R , và x ∈ U Ta viết .Như vậy p là biến sốdưới đây được thế chỗ bởi Dw ( x), và z là biến sẽ được thế chỗ bởi w (x) . Ta cũng đặt { D p L=(L p , … , L p ) Dz L=L z D x L=( L x , … , Lx ) . 1 1 n n Kí hiệu này sẽ làm cho phần lí thuyết sau dễ hiểu. Bây giờ để chính xác hoá ý tưởng đã nói trong lời mở đầu, ta giả sử rằng phiếm hàm I [ ∙ ] có dạng ❑ ( 1 ) I [ w ] ≔∫ L ( Dw ( x ) , w ( x ) , x ) dx , U với các hàm trơn w : Ú →ℝ thỏa mãn điều kiện biên (2) w=g trên ∂ U . Giả sử thêm rằng một hàm trơn u nào đó thỏa mãn điều kiện biên cần thiết: u=g trên ∂ U , và là điểm đạt cực tiểu của phiếm hàm I [ ∙ ] trong số tất cả 5 các hàmw thỏa mãn (2). Khi đó, ta chứng minh rằng u tự động là một nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng nào đó. Để khẳng định điều này, trước tiên ta chọn tuỳ ý hàm trơn v ∈C ∞c ( U ) và xét hàm giá trị thực (3) i ( τ ) ≔ I [ u+ τv ] ( τ ∈ R ) . Vì u là một điểm cực tiểu của phiếm hàm I [ ∙ ] và u+ τv=u=g trên ∂ U , dễ dàng ta thấy i(∙) có một cực tiểu tại τ =0. Do đó ' (4) i ( 0 )=0. Đạo hàm trên được gọi là biến phân thứ nhất và ta tính toán nó một cách tường minh bằng cách viết ❑ ( 5 ) i ( τ )=∫ L ( Du + τDv ,u+ τv , x ) dx . U Do đó ❑ n i ' ( τ )=∫ ∑ L p ( Du+τDv , u+ τv , x ) v x + L z ( Du+ τDv ,u+ τv , x ) vdx i U i=1 i Cho τ =0, từ (4) suy ra rằng ❑ n 0=i ' ( 0 ) =∫ ∑ L p (Du , u , x )v x + Lz ( Du, u , x ) vdx . i U i=1 i Cuối cùng, vì v có tính compact nên ta có thể lấy tích phân từng phần và thu được ❑ 0=i ' ( 0 ) =∫ ¿ ¿ U Vì đẳng thức này đúng với mọi hàm thử v, do đó ta kết luận u nghiệm đúng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến n ( 6 )− ∑ ¿ ¿ i=1 6 Đây là phương trình Euler-Lagrange liên quan với phiếm hàm năng lượng I [ ∙ ] được định nghĩa bởi (1). Nhận thấy rằng (6) là một phương trình đạo hàm riêng cấp hai tựa tuyến tính ở dạng phân tán. Tóm lại, mọi cực tiểu trơn của phiếm hàm I [ ∙ ] là một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange (6) vì thế đảo lại ta có thể tìm được một nghiệm của (6) bằng cách tìm các cực tiểu của (1). Ví dụ 1(Nguyên lý của Dirichlet). Cho 1 2 L ( p , z , x )= | p| . 2 Khi đó L p = pi ( i=1 ,… , n ) , Lz =0; vì thế phương trình Euler-Lagrange liên i kết với phiếm hàm ❑ I [w ]≔ 1 2 |Dw| dx ∫ 2U là ∆ u=0 trong U . Đây là nội dung của nguyên lý Dirichlet. Ví dụ 2 (Nguyên lý Dirichlet suy rộng). Xét n 1 L ( p , z . x )= ∑ aij ( x ) pi p j−zf ( x ) , 2 i , j=1 n Trong đó a ij=a ji (i , j=1 , … , n) . Khi đó L p =∑ aij ( x ) p j ( i=1 , … , n ) , L z=−f ( x ). i j=1 Do đó phương trình Euler- Lagrange liên kết với phiếm hàm ❑ n 1 I [ w ] :=∫( ∑ aij w x w x −wf )dx U 2 i , j=1 i j 7 là phương trình tuyến tính cấu trúc phân tán n − ∑ ( aij u x )x =f trong U . i i , j=1 i Điều kiện eliptic đồng đều trên a ij (i , j=1 , … , n) là một giả thiết xa hơn mà ta sẽ áp đặt một cách tự nhiên để chứng minh được sự tồn tại của điểm cực tiểu của phiếm hàm năng lượng. Vì vậy cho nên trên quan điểm phi tuyến tính của phép tính biến phân, dạng cấu trúc phân tán của một phương tình đạo hàm riêng eliptic cấp hai là hoàn toàn tự nhiên. Ví dụ 3 (Phương trình Poisson phi tuyến). z Cho một hàm trơn f : R → R và F ( z )=∫ f ( y ) dy . Khi đó phương trình Euler0 Lagrange liên kết với phiếm hàm ❑ 1 2 I [ w ] :=∫ ( |Dw| −F ( w )) dx U 2 là phương trình Poisson phi tuyến −∆ u=f ( u ) trong U . Ví dụ 4 (Các mặt cực tiểu). Cho L ( p , z , x )=¿ vì thế ❑ 2 1 /2 I [ w ] ≔ ∫ (1+|Dw| ) dx U là diện tích của đồ thị của hàm w : U → R. Phương trình Euler-Lagrange được liên kết là n ( 7) ∑ i=1 ( Du =0 trong U . 2 1 /2 (1+|Du| ) x ) i 8 Phương trình đạo hàm riêng này là phương trình mặt cực tiểu. Biểu thức ( div Du 2 1/ 2 ở vế trái của (7) là n lần độ cong trung bình của đồ thị của u . (1+|Du| ) ) Do đó một mặt cực tiểu có độ cong trung bình bằng 0. Diện tch mặt của đồồ thị =I[u] u Một mặt cực tểu 1.2. BIẾN PHÂN THỨ HAI Biến phân thứ hai của phiếm hàm I [∙] tại hàm u được tính toán dựa trên phép tính của biến phân thứ nhất. Ta bắt đầu bằng nhận xét quan trọng rằng vì u là một cực tiểu đối với phiếm hàm I [∙] , nên ta cần phải có '' i ( 0 ) ≥0, với i(∙) được định nghĩa bởi (3)như ở trên. Từ (5) ta có thể tính n ❑ i ' ' ( τ )=∫ ∑ L p p (Du+ τDv ,u+ τv , x) v x v x i U i , j=1 j i j n +2 ∑ L p z ( Du+ τDv , u+τv , x ) v x v i=1 i i 2 + L zz ( Du+τDv , u+τv , x ) v dx . Lấy τ =0, ta thu được bất đẳng thức đúng với mọi hàm thử v ∈C ∞c (U ) sau đây: ❑ n 0 ≤ i' ' ( 0 )=∫ ∑ L p p ( Du ,u , x)v x v x U i , j=1 i j i j 9 n ( 8 ) +2 ∑ L p z ( Du, u , x ) v x v+ Lzz ( Du , u , x ) v 2 dx . i i=1 i Từ bất đẳng thức (8) ta có thể rút ra một số thong tin hữu ích như sau. Trước hết bằng cách lập luận xấp xỉ thông thường thì việc ước tính (8) là đúng với mọi hàm liên tục Lipschitz v triệt tiêu trên ∂ U . Khi đó, cố định n ξ ∈ R và định nghĩa ( 9 ) v ( x ) ≔ ϵρ ( xϵ. ξ ) ζ ( x )( x ∈ U ) , trong đóζ ∈C ∞c ( U ) và ρ : R → R là hàm tuần hoàn “zic-zắc” xác định bởi { 1−x nếu∧0 ≤ x ≤ ρ ( x )= 1 2 , ρ ( x+ 1 )=ρ(x )( x ∈ R) nếu∧1 ≤ x≤1 2 x Vì vậy (10) |ρ '|=1 hầu khắp nơi. Xem xét kỹ ta thấy v x =ρ' i ( xϵ. ξ ) ξ ζ +O( ϵ) i khi ϵ →0 , và vì vậy thay thế (9) vào (8) ta được ❑ 0 ≤∫ n 2 ∑ L p p ( Du ,u , x ) ( ρ' ) ξ i ξ j ζ 2 dx +O ( ϵ ) . i U i , j=1 j Cho ϵ →0 và sử dụng (10) ta thu được bất đẳng thức ❑ 0 ≤∫ n ∑ L p p ( Du ,u , x ) ξi ξ j ζ 2 dx . i U i , j=1 j Vì ước lượng này đúng với mọi ζ ∈C ∞c ( U ), ta suy ra n ( 11 ) ∑ i , j=1 Lp p ( Du , u , x ) ξ i ξ j ≥ 0 ( ξ ∈ R n , x ∈U ) . i j 10 Trong chương 2 ta sẽ thấy điều kiện cần (11) này chính là gợi ý cho giả thiết lồi cơ bản được đặt trên toán tử Lagrange L cần thiết cho lý thuyết tồn tại nghiệm. 1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE 1.3.1.Các phương trình Euler-Lagrange Các nhận xét trên nhìn chung khá dễ đối với trường hợp của hệ, chỉ duy nhất sự phức tạp là có quá nhiều kí hiệu. Giả sử cho trước hàm trơn Lagrange L : M m × n × Rm × Ú → R Kí hiệu . Ta viết 1 m 1 m L=L ( P , z , x ) =L(p 1 , … , pn , z , … , z , x 1 , … , x n) với P ∈ M n ×m , z ∈ R m, và x ∈ U trong đó p11 ⋯ p 1n P= ⋮ ⋱ ⋮ pm1 ⋯ p mn ( ) m× n (Ta dùng chỉ số trên để kí hiệu các hàng, quy ước kí hiệu này sẽ đơn giản hóa các công thức tiếp theo). Vì trong 1.1 hàm L liên qua với phiếm hàm ❑ ( 12 ) I [ w ] ≔∫ L ( D w ( x ) , w ( x ) , x ) dx , U với các hàm trơn w được định nghĩa làw : Ú → Rm , w=(w 1 , … w m ), thỏa mãn điều kiện biênw=gtrên∂ U , g :∂ U → Rm là cho trước. Từ đó, ta có w 1x ⋯ w1x D w( x)= ⋮ ⋱ ⋮ w mx ⋯ wmx ( 1 n 1 n ) m ×n là ma trận gradient của w tại x. 11 Bây giờ ta chứng tỏ rằng bất kì cực tiểu trơn u=(u1 , … um ) của phiếm hàm I [∙] được lấy trong các hàm bằng gtrên∂ U , ta cần phải giải một hệ các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tính nào đó. Do đó ta chọn v=(v 1 , … v m) ∈C ∞c ( U ; R m ), và viết i ( τ ) ≔ I [ u+ τ v ] . Vì đã có i ' ( 0 )=0. Từ điều này ta suy ra đẳng thức như trên ❑ ' n m n 0=i ( 0 ) =∫ ∑ ∑ L p (Du ,u , x)v + ∑ L z ( D u ,u , x) v k dx . U i=1 k=1 k i k xi k i=0 Vì đẳng thứcc này có giá trị với mọi cách chọn v1 , … , v m nên lấy tích phân từng phần ta được n ( 13 )−∑ ¿ ¿ ¿ i=1 Nói chung hệ phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính bao gồm các phương trình Euler-Lagrange với các phiếm hàm I [∙] được định nghĩa bởi (12). 1.3.2.Các Lagrangian không Lagrangian không rất thú vị để nghiên cứu hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến nào đó mà mỗi hàm trơn là một nghiệm. Định nghĩa. Hệ phương trình Euler-Lagrange n ( 14 )−∑ ¿ ¿ ¿ i=1 Hiển nhiên được giải bởi tất cả hàm u :U → Rm. Khi đó hàm L được gọi là một Lagrangian không. 12 Tầm quan trọng của Lagrangian không là khả năng tương ứng mà phiếm hàm ❑ I [ w ] =∫ L ( D w , w , x ) dx U chỉ phụ thuộc vào các điều kiện biên: Định lý 1.( Các Lagrangian không và các điều kiện biên). Cho L là một Lagrangian không. Giả sử u , ~u là hai hàm trongC 2( Ú , Rm ) sao cho u ≡~ u trên ∂ U (15) Khi đó I [ u ]=I [ ~ u] (16) Chứng minh. Định nghĩa i ( τ ) ≔ I [τ u+ ( 1−τ ) ~ u ] ( 0≤ τ ≤ 1 ) . Khi đó ❑ n m m i ' ( τ )=∫ ∑ ∑ L p (τD u+ ( 1−τ ) D ~ u , τ u+ ( 1−τ ) ~u , x )(ukx −~ u kx )+ ∑ L z (τD u+(1−τ ) D ~ u , τ u+ ( 1−τ ) ~ u , x)(u k U i=1 k=1 m k i i i k k=1 ❑ ¿∑∫¿ ¿¿ k=1 U = 0, phương trình cuối đúng vì hệ phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange được thỏa mãn bởi τ u+ ( 1−τ ) ~u. Từ đó suy ra đồng nhất thức (16). Trong trường hợp vô hướng, khi m=1 thì chỉ các Lagranian không là những ví dụ không hay mà L là tuyến tính với biến phân p. Tuy nhiên đối với trường hợp các hệ khim>1 thì có những ví dụ không tầm thường mà đóng vai trò quan trọng cho các phần sau. Kí hiệu. Nếu A là một ma trận vuông n × n . Ta kí hiệu 13 cof A cof A – ma trận đồng nhân tố mà khi ta bỏ đi (k , i)th thì (cof A ¿ki =(−1)i+k d ( A)ki , trong đó d ( A)ki bằng định thức của ma trận (n−1) ×(n−1)-thu được bằng việc bỏ đi hàng thứ k và cột thứ i của ma trận A . Bổ đề(Những hàng không phân kỳ) Cho u : Rn → Rn là một hàm trơn. Khi đó n ( 17 ) ∑ ¿ ¿ i=1 Chứng minh 1. Trong đại số tuyến tính ta có đồng nhất thức (det P ¿ I =PT ( cof P ) (P ∈ M n × n); (18) mà n ( 19 ) ( det P ) δ ij=∑ p ki ¿ ¿ k=1 Vì vậy ( 20 ) δ det P =(cof P)km (k , m=1 , … ,n) k δ pm 2. Trong (19) ta đặt P=D u, lấy vi phân với chú ý đến x j và tổng j=1 ,… , n ta tìm được n ∑ j , k ,m =1 δ ij ¿ ¿ với i=1 , … , n . Rút gọn đồng nhất thức này ta được n ( 21 ) ∑ ukx ¿ k=1 i 3. Nếu det Du( x0 )≠ 0 , từ (21) ta suy ra rằng n ∑ ¿¿ j=1 14 tại x 0. Nếu det Du ( x 0 ) =0 thì ta chọn một số ϵ >0 rất nhỏ để mà det ( D u ( x0 ) + ϵI ) ≠ 0, áp dụng vào bước 1-3 thì được ~u ≔u+ ϵx với ϵ →0 . Định lý 2(Các định thức là những Lagrangian không ). Hàm định thức L ( P )=detP ( P ∈ M n ×n ) là một Lagrangian không. Chứng minh. Ta cần chứng minh rằng với bất kì hàm trơn u :U → Rn, thì n ∑ (L p ( D u ) )x =0 ( k=1 , … , n ) . i=1 k i i Theo (20) ta có L p =¿ . Nhưng khi đó theo kí hiệu và kết luận của bổ đề thì ta k i thấy n n ∑ (L p ( D u ) )x =∑ ¿ ¿ i=1 k i i i=1 1.3.3. Ứng dụng Một ứng dụng hay của hệ phương trình Euler-Lagrange là chứng minh nhanh định lý điểm bất động tôpô. Định lý 3. ( Định lý điểm Brouwer bất động) Giả sử u :B (0 ; 1) → B(0; 1) là hàm liên tục, trong đó B(0 ;1) là quả cầu đơn vị đóng trong Rn. Khi đó, u có một điểm cố định có nghĩa là tồn tại một điểm x ∈ B (0 ; 1) với u ( x )=x . Chứng minh 15 1. Kí hiệu B=B(0 ; 1). Trước hết ta cho rằng không tồn tại một hàm trơn (22) w:B→∂B Sao cho (23) w ( x )=x , ∀ x ∈∂ B . w cho hàm Giả sử ngược lại rằng tồn tại một w như thế. Ta tạm thời viết ~ w ( x )=x , ∀ x ∈ B . Từ (23) suy ra w=~ w trên∂ B. Vì định đồng nhất thức sao cho~ thức là một Lagrangian không, theo định lý 1 ta có ❑ ❑ B B ( 24 )∫ det D w dx=∫ det D ~ w dx=|B|≠ 0. Mặt khác, theo (23) ý nói |w|2 ≡1 ; vì thế lấy vi phân ta được T (25) (D w) w=0 . Vì |w|=1 nên từ (25) ta nói 0 là một giá trị riêng của ( D w)T với mỗi x ∈ B . Vì thế D w ≡ 0 trong B, điều này mâu thuẫn với (24) và do đó chứng minh hàm trơn w thỏa mãn (22), (23) không thể tồn tại. 2. Tiếp theo ta chứng minh không có hàm w liên tục nào kiểm tra (22), (23).Thật vậy nếu w là một hàm như thế, ta tiếp tục mở rộng w bằng việc đặt w ( x )=x nếu x ∈ R n−B . Nhận xét rằngw ( x ) ≠ 0(x ∈ R n), chọn ϵ >0 nhỏ để mà w 1 ≔η ϵ∗w thỏa mãnw 1 ( x ) ≠ 0 (x ∈ R n). Chú ý rằng vìη ϵ là radian nên ta có w 1 ( x )=x nếu x ∈ Rn−B ( 0 ; 2 ) với ϵ >0 đủ nhỏ. Khi đó w 2 := 2 w1 |w1| sẽ là một ánh xạ trơn thỏa mãn (22), (23) (với quả cầu B ( 0; 2 ) thay thế cho B=B ( 0 ; 1 )) , mâu thuẫn với bước 1. 3. Cuối cùng giả sử hàmu :B → B liên tục nhưng không có điểm cố định.Bâygiờ ta xác định ánh xạ w : B → B bằng việc đặt w (x) là điểm trên ∂ B