ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
*****************
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT
BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05
Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THẾ KHÔI
Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN
Thái Nguyên - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc
Lêi nãi ®Çu
2
1
4
Mét sè vÝ dô vÒ nhãm vµ t¸c ®éng nhãm
1.1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
1.2
T¸c ®éng nhãm .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
1.3
Nhãm ®èi xøng
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
C¸c kh¸i niÖm ®¹i sè c¬ së cña phÐp biÓu diÔn nhãm
2.1
PhÐp biÓu diÔn tuyÕn tÝnh
2.2
BiÓu diÔn t¬ng ®¬ng
2.3
2.4
3
Nhãm ma trËn
C¸c vÝ dô .
.
.
.
.
.
.
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
Tæng vµ tÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn - PhÐp biÓu diÔn th¬ng
16
2.4.1
Tæng cña phÐp biÓu diÔn
2.4.2
TÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
2.4.3
PhÐp biÓu diÔn ®èi ngÉu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
2.4.4
PhÐp biÓu diÔn th¬ng
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
.
2.5
Ph©n tÝch bÊt kh¶ quy cña mét phÐp biÓu diÔn
2.6
§Æc trng cña phÐp biÓu diÔn h÷u h¹n
.
.
.
.
BiÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ c«ng thøc Frobenius
3.1
3.2
3.3
3.4
§Æc trng hÖ trùc chuÈn
BiÓu diÔn chÝnh quy
.
.
24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
.
29
HÖ trùc chuÈn c¸c ®Æc trng vµ sè c¸c biÓu diÔn bÊt kh¶ quy
ø
ng dông
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
32
Tµi liÖu tham kh¶o
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
2
Lêi nãi ®Çu
Lý
thuyÕt
biÓu
diÔn
nhãm
cã
nguån
gèc
tõ
lý
thuyÕt
®Æc
trng
cña
nhãm abel ®îc ph¸t biÓu cho c¸c nhãm cyclic bëi Gauss, Dirichlet vµ sau
®ã më réng sang cho nhãm abel h÷u h¹n bëi Frobenius vµ Stickelberger. Lý
thuyÕt biÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n ®îc ph¸t biÓu vµo cuèi thÕ kû XIX trong
c¸c c«ng tr×nh cña Frobenius, Schur vµ Burnside.
Nãi mét c¸ch ®¬n gi¶n,
lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm nghiªn cøu c¸c c¸ch
mµ mét nhãm t¸c ®éng trªn kh«ng gian vÐct¬ b»ng c¸c tù ®¼ng cÊu tuyÕn
tÝnh. Lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm kh«ng chØ lµ mét phÇn quan träng trong ®¹i
sè hiÖn ®¹i mµ cßn cã nhiÒu øng dông quan träng trong lý thuyÕt sè, tæ hîp
vµ c¶ vËt lý.
Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ ®äc hiÓu vµ tr×nh bµy l¹i mét sè kiÕn thøc c¬
b¶n trong lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm h÷u h¹n vµ tr×nh bµy chøng minh cña
B.Zagier c«ng thøc Frobenius.
Bè côc cña luËn v¨n cña chóng t«i gåm ba ch¬ng:
Ch¬ng 1
Mét sè vÝ dô vÒ nhãm vµ t¸c ®éng nhãm.
chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n nh:
Trong ch¬ng nµy
Nhãm ma trËn, t¸c ®éng
nhãm, nhãm ®èi xøng. Nh÷ng kiÕn thøc nµy sÏ ®îc sö dông trong phÇn cßn
l¹i cña luËn v¨n.
Ch¬ng 2
C¸c kh¸i niÖm ®¹i sè c¬ së cña phÐp biÓu diÔn nhãm.
Trong
ch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm vµ mét sè vÝ dô ®¬n gi¶n ®Ó
minh ho¹ cho c¸c kh¸i niÖm cña phÐp biÓu diÔn nhãm.
Ch¬ng 3
BiÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ c«ng thøc Frobenius.
ch¬ng chÝnh cña luËn v¨n.
§©y lµ
Trong ch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy l¹i mét
sè kÕt qu¶ c¬ b¶n cña lý thuyÕt biÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ ®Æc biÖt lµ
chóng t«i d· tr×nh bµy l¹i mét chøng minh cña c«ng thøc Frobenius th«ng
qua lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm.
Qua ®©y, t¸c gi¶ còng xin ®îc bµy tá lßng biÕt ¬n s©u x¾c tíi ngêi thÇy,
ngêi híng dÉn khoa häc cña m×nh, TS. Vò ThÕ Kh«i, nhê sù híng dÉn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3
chØ b¶o tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña thÇy mµ luËn v¨n ®· ®îc hoµn thµnh
mét c¸ch khoa häc vµ ®óng tiÕn ®é. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« c«ng
t¸c t¹i ViÖn To¸n, t¹i c¸c trêng §¹i häc thuéc §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· trùc
tiÕp gi¶ng d¹y vµ quan t©m.
Xin c¶m ¬n anh Ph¹m Hång Nam, gi¶ng viªn
khoa To¸n - Tin trêng §¹i häc Khoa häc Th¸i Nguyªn, c¶m ¬n b¹n bÌ ®ång
nghiÖp vµ gia ®×nh ®· ®éng viªn, gióp ®ì t¸c gi¶ trong suèt thêi gian häc tËp
vµ nghiªn cøu.
Th¸i Nguyªn, th¸ng 09 n¨m 2009
Häc Viªn
TrÇn Danh Tuyªn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1
Mét sè vÝ dô vÒ nhãm vµ t¸c ®éng nhãm
Ta nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc cÇn dïng trong luËn v¨n.
1.1
Nhãm ma trËn
Cho
cÊp
C
lµ trêng sè phøc, kÝ hiÖu
m×n
trªn
C.
trong trêng hîp
®Þnh ®îc mét
Mm,n (C)
m = n
Mm,n (C)
lËp nªn mét
th× ta kÝ hiÖu
lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ma trËn
C-kh«ng
Mn (C)
gian vÐc t¬
thay cho
m×n
Mn,n (C)
.
chiÒu,
Ta x¸c
nhãm tuyÕn tÝnh:
GL(n, C) := {A ∈ Mn (C), detA 6= 0}.
Ta x¸c ®Þnh
nhãm tuyÕn tÝnh ®Æc biÖt,
SL(n, C) := {A ∈ Mn (C); detA = 1}.
Ta còng x¸c ®Þnh nhãm
trùc giao:
O(n) := {A ∈ Mn (R); t AA = En },
vµ cho
n=p+q
, th× ta cã:
O(p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q },
trong
®ã
Dp,q
lµ
c¸c
ma
aii = −1, ∀i = p + 1, n
trËn
®êng
. Vµ x¸c ®Þnh
chÐo
mµ
aii = 1, ∀i = 1, p
nhãm unita:
U (n) := {A ∈ Mn (C); t AA = En }
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
vµ
c¸c
5
lµ nhãm kh¶ nghÞch.
Cho
n=p+q
th× c¸c nhãm
U (p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q }.
Tõ nhãm
O(n)
ta x¸c ®Þnh ®îc nhãm con
SO(n)
cña nhãm
O(n)
nh
sau:
SO(n) := {A ∈ O(n); detA = 1}.
A(n) := {D(a1 , ..., an ); a1 , ..., an ∈ C∗ }
phÇn tö
1.2
a1 , ..., an
lµ ma trËn ®êng chÐo víi c¸c
n»m trªn ®êng chÐo.
T¸c ®éng nhãm
Trong phÇn nµy lu«n cho
G
lµ mét nhãm, phÇn tö ®¬n vÞ lµ
e
vµ
χ
lµ mét
tËp.
§Þnh nghÜa 1.2.1.
G
®îc gäi lµ
t¸c ®éng tr¸i trªn
χ
nÕu tån t¹i ¸nh x¹
G×χ→χ
(g, x) 7→ g · x
tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:
i)
ii)
g · (g 0 · x) = (gg 0 ) · x
e·x=x
víi mäi
g, g 0 ∈ G, x ∈ χ
Chó ý:
§Æt
Autχ
.
lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c song ¸nh tõ
χ
vµo
χ
th× tõ ®Þnh
nghÜa ta ®îc ®ång cÊu nhãm
ϕ :G → Autχ
g 7→ g · x
•
Trong trêng hîp
•
T¸c ®éng nhãm ®îc gäi lµ
sao cho
G
t¸c ®éng tr¸i trªn
b¾c cÇu
χ
ta còng gäi
nÕu mäi cÆp
χ
lµ
x, x0 ∈ χ
G−tËp tr¸i
th× tån t¹i
x0 = g · x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
.
g∈G
6
•
Víi mäi
x0 ∈ χ
ta x¸c ®Þnh ®îc tËp con
G · x0
cña
χ
:
G · x0 := {g · x0 ; g ∈ G},
G · x0
•
®îc gäi lµ
Víi mäi
x0 ∈ χ
G quü ®¹o
(chøa
x0
).
χ
ta x¸c ®Þnh ®îc nhãm con cña
Gx0 := {g ∈ G, g · x0 = x0 }
vµ ®îc gäi lµ
VÝ dô 1.2.2.
tr¸i trªn
χ
nhãm ®¼ng híng
Cho
hay
G = GL(n, C)
vµ
nhãm æn ®Þnh cña
χ ⊆ Cn
x0
.
, ta x¸c ®Þnh ®îc mét t¸c ®éng
bëi ¸nh x¹:
G×χ→χ
(A, x) 7→ A · x
víi mäi
x ∈ Cn
.
§Þnh nghÜa 1.2.3.
nhãm
G
χ
®îc gäi lµ
χ
t¸c ®éng b¾c cÇu trªn
§Þnh nghÜa 1.2.4.
®¹o trong
x∈χ
Mét tËp
χ
vµ
sao cho
Chó ý:
χG
Víi mäi
χ
tËp, ta x¸c ®Þnh
χ/G
G
cã cÊu tróc ®¹i sè, vÝ dô nÕu
χ
tËp c¸c ®iÓm bÊt ®éng
víi mäi
nÕu cã mét
.
cña
lµ
g·x=x
NÕu
G−
kh«ng gian thuÇn nhÊt
hay
χG
lµ tËp c¸c
G−
quü
, nghÜa lµ tËp c¸c phÇn tö
g∈G
.
lµ kh«ng gian vÐc t¬ th×
trong trêng hîp nµy ¸nh x¹:
λ :G → χ
x 7→ g · x
lµ tuyÕn tÝnh víi mçi
§Þnh nghÜa 1.2.5.
x¹. ¸nh x¹
x∈χ
f
g∈G
Cho
.
χ
®îc gäi lµ
vµ
χ0
lµ c¸c
®¼ng biÕn
G−
hay
tËp tr¸i vµ
G−®ång cÊu
f : χ → χ0
lµ mét ¸nh
nÕu víi mäi
g∈G
, ta cã :
g · f (x) = f (g · x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
vµ
7
Cho
H
lµ mét nhãm con cña
G
, ta ®Þnh nghÜa
nhãm con cña
G
trong
H
lµ
NG (H) := {g ∈ G; gHg −1 = H}.
Râ rµng
Aut(G/H)
chuÈn t¾c
ho¸
cña
NG (H)
lµ nhãm con chuÈn t¾c tèi ®¹i cña
lµ ®¼ng cÊu víi
NG (H)/H
.
G
trong
, ®îc gäi lµ
trong
vµ nhãm
Ta còng x¸c ®Þnh ®îc nhãm con
CG (H) := {g ∈ G; ghg −1 = h, ∀h ∈ H}
H
H
nhãm t©m
G
.
Trong trêng hîp ®Æc biÖt
H=G
nhãm t©m ho¸ x¸c ®Þnh bëi:
CG (G) = {g ∈ G; gh = hg, ∀h ∈ H} =: C(G).
Hoµn toµn t¬ng tù nh vËy ta còng cã nhãm t¸c ®éng ph¶i cña mét nhãm
G
trªn tËp
χ
:
§Þnh nghÜa 1.2.6.
G
®îc gäi lµ
t¸c ®éng ph¶i trªn
χ
nÕu tån t¹i ¸nh x¹
G×χ→χ
(g, x) 7→ x · g
tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:
i)
ii)
(x · g) · g 0 = x · (gg 0 )
x · e = x ∀x ∈ χ, g, g 0 ∈ G
Chó ý:
,
.
Ta cã thÓ ®a nhãm t¸c ®éng ph¶i vÒ t¸c ®éng tr¸i vµ ngîc l¹i
nhê ph¶n ®¼ng cÊu:
G→G
g 7→ g −1
Do ®ã cho
χ
lµ
G−
tËp ph¶i th× ®îc t¸c ®éng tr¸i cho bëi:
g · x := x · g −1 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
8
1.3
Nhãm ®èi xøng
Sn
§Þnh nghÜa 1.3.1. Nhãm ®èi xøng
n
nhãm t¹o bëi c¸c song ¸nh cña
Râ rµng
Autχ
{1, 2, ..., n}
th×
lµ
nhãm
c¸c
ho¸n
vÞ,
nghÜa
lµ
phÇn tö.
lµ nhãm song ¸nh tõ tËp
Sn = Autχn
cña
χ
vµo chÝnh tËp
χ
d¹ng
c¸c
, chän
χn :=
.
Chó ý:
•
Sè phÇn tö cña nhãm
•
Mçi
phÇn
tö
Sn
σ ∈ Sn
#Sn = n!
lµ
®Òu
cã
thÓ
viÕt
díi
tÝch
cña
chuyÓn vÞ,
nghÜa lµ ho¸n vÞ ë ®ã chØ cã hai phÇn tö chuyÓn chç cho nhau.
•
Cho
σ ∈ Sn
, ta x¸c ®Þnh
hµm dÊu cña
Sign(σ) := ε(σ) :=
•
σ
bëi:
σ(i) − σ(j)
.
i
−
j
1≤i1
vµ lµ
r = 1.
Mçi mét ho¸n vÞ cã mét ph©n tÝch duy nhÊt thµnh mét tÝch c¸c xÝch rêi
nhau.
§Þnh nghÜa 1.3.2.
nhiªn
ni ∈ N
§Þnh lý 1.3.3
víi
Mét
ph©n ho¹ch
ni ≥ nj
nÕu
i:V × V → C
(v, v 0 ) 7→< v, v 0 >
tho¶ m·n 3 tÝnh chÊt:
i) TuyÕn tÝnh theo biÕn thø hai vµ ph¶n tuyÕn tÝnh theo biÕn thø nhÊt .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
v«
12
ii) Lµ
d¹ng Hemitian,
nghÜa lµ víi mäi
v, v 0 ∈ V
ta cã
< v, v 0 >= < v, v 0 >
iii)
ra víi
X¸c ®Þnh d¬ng
, nghÜa lµ:
∀v ∈ V
ta cã
< v, v > ≥ 0
dÊu
”=”
x¶y
v=0
.
Cho
V = Cn
th× ta thêng sö dông tÝch v« híng
n
X
< x, y >:=
xi yi , ∀x, y ∈ Cn .
i=1
§Þnh nghÜa 2.1.4.
π(g)
Mét phÐp biÓu diÔn
lµ unita, nghÜa lµ víi mäi
π
v, v 0 ∈ V
G
cña
trong
g∈G
vµ
V
lµ
unita
nÕu mçi
ta cã:
< π(g)v, π(g)v 0 > = < v, v 0 > .
2.2
BiÓu diÔn t¬ng ®¬ng
Cho
hai
phÐp
t¬ng øng víi
V0
biÓu
diÔn
π
vµ
π0
cña
, ta cÇn t×m mét ¸nh x¹
G
trong
G−
C−
kh«ng
gian
vÐc
t¬
V
®¼ng cÊu víi
F :V →V0
§Þnh nghÜa 2.2.1.
to¸n tö bÖn gi÷a
π
Mét ¸nh x¹
vµ
π0
C−
tuyÕn tÝnh
F : V → V0
®îc gäi lµ mét
g∈G
nÕu víi mäi
, ta cã
F π(g) = π 0 (g)F,
nghÜa lµ biÓu ®å sau lµ giao ho¸n
F
V −−→
π(g)y
V0
π0 (g)
y
F
V −−→ V 0
π
π0
vµ
π0
®îc gäi lµ
t¬ng ®¬ng
trong trêng hîp ®ã viÕt lµ
nÕu cã mét ®¼ng cÊu
π ∼ π0
F :V →V0
bÖn
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
π
vµ
13
NhËn xÐt:
gian
vÐc
t¬
C(V, V 0 )
.
Kh«ng gian cña nh÷ng to¸n tö bÖn gi÷a
trªn
H¬n
trêng
n÷a
C
.
chóng
Nã
ta
®îc
thêng
®Þnh
sö
nghÜa
dông
kÝ
π
bëi
hiÖu
vµ
π0
lµ mét kh«ng
HomG (V, V 0 )
hoÆc
C(V ) := C(V, V )
vµ
c(π, π 0 ) = c(V, V 0 ) = dim C(V, V 0 )
vµ
c(π, π 0 )
còng ®îc gäi lµ
PhÐp biÓu diÔn
π
vµ
π0
béi cña
víi
π
trong
π0
vµ kÝ hiÖu bëi
c(π, π 0 ) = c(π 0 , π) = 0
mult(π, π 0 )
.
®îc gäi lµ
rêi nhau.
Ta cÇn x¸c ®Þnh c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c phÐp biÓu diÔn bÊt kh¶ quy bÊt
biÕn cña
2.3
G
.
C¸c vÝ dô
VÝ dô 2.3.1.
π0
Cho
G
lµ nhãm c¸c ma trËn th×
G
, nghÜa lµ víi mçi nhãm ma trËn thùc (phøc)
trong
V = Cn
unita víi
liªn kÕt víi mäi
G = SO(n)
hoÆc
cã phÐp biÓu diÔn tù nhiªn
G ⊂ GL(n, C)
cã biÓu diÔn
A∈G
SU (n)
. Râ rµng phÐp biÓu diÔn tù nhiªn lµ
nhng trong trêng hîp tæng qu¸t th× nã
hoÆc kh«ng lµ unita hoÆc kh«ng lµ bÊt kh¶ quy, ®iÒu ®ã ®îc suy ra tõ vÝ dô
sau:
VÝ dô 2.3.2.
y := (1, 2, 3)
Cho
G = S3
, xÐt c¸c phÇn tö cña
S3
lµ:
id = (1) x := (1, 2)
,
,
râ rµng ta cã:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x =
=
= id
2 1 3
2 1 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
y =
=
= 1 3 2
2 3 1
2 3 1
3 1 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
xy =
=
= 2 3
2 1 3
2 3 1
1 3 2
2
yx =
1 2 3
1 2 3
1 2 3
=
= 1 3
2 3 1
2 1 3
3 2 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
14
1 2
xyx =
2 1
1
y3 =
3
3
1 2
3
2 3
1
2 3
3
2 1
Do ®ã mçi phÇn tö
thõa cña
x
vµ
y
3
1 2
1
2 1
2 3
1
2 1
3
g ∈ S3
. Tõ ®ã suy ra
3
1 2
=
3
2 3
2 3
1
=
2 1
1
3
= 1 2 3
1
2 3
= id.
2 3
(2.5)
(2.6)
®Òu cã thÓ biÓu diÔn thµnh tÝch cña c¸c luü
S3 =< x, y >
lµ nhãm con sinh bëi
Do ®ã ta dÔ dµng t×m ®îc phÐp biÓu diÔn trong
V =C
x
vµ
y
.
, ®ã lµ phÐp biÓu
diÔn tÇm thêng
π1 (g) = 1, ∀g ∈ S3
vµ phÐp biÓu diÔn dÊu
π2 (g) = sign g ∈ {±1}, ∀g ∈ S3 .
Ta còng t×m ®îc phÐp biÓu diÔn 3 chiÒu
π0
trªn
V = C3
bëi ma trËn
ho¸n vÞ sau
0 0 1
π0 (y) = A(y) = 1 0 0
0 1 0
phÐp biÓu diÔn ®ã gäi lµ
phÐp biÓu diÔn ho¸n vÞ.
3
V =C =
3
X
(2.7)
Ta cã
ei C
i=1
víi
ω = e1 z1 + e2 z2 + e2 z2 ∈ V
trong ®ã
π0
e1 = t (1, 0, 0), e2 = t (0, 1, 0), e3 = t (0, 0, 1)
vµ
z1 , z2 , z3 ∈ C
®îc cho bëi
π0 (g)ω =
X
eg(i) zi =
X
ei zg−1 (i) .
i
Nh ®· biÕt
§Æt
π0
lµ phÐp biÓu diÔn unita, nhng kh«ng bÊt kh¶ quy:
V1 := (e1 + e2 + e3 )C
lµ kh«ng gian con bÊt biÕn cña
V
.
ThËt vËy:
π0 (g)(e1 + e2 + e3 ) = eg(1) + eg(2) + eg(3) = e1 + e2 + e3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
th×
15
do ®ã
π0 |V1 = π1
lµ phÐp biÓu diÔn tÇm thêng trong
ω=
X
V1
. Cho
zi ei
i
th×
< e1 + e2 + e3 , ω >=
X
zi
i
V3 = {ω,
Ta dÔ dµng chøng minh ®îc
cña
V
vµ lµ phÇn bï cña
V1
X
trong
V
g ∈ S3
nªn
V3
dµng chøng minh ®îc
r»ng
π2
zi =
π0
X
i
a, b
vµ
b := e1 + e2 ξ + e3 ξ 2
lµ c¬ së cña
V3
. §Æt
ξ = e2πi/3
víi
π2 := π0 |V3
, ta dÔ
ta còng chØ ra
TÊt c¶ c¸c phÐp biÓu diÔn trong
S3
lµ t¬ng ®¬ng víi
π 1 π2
,
.
VÝ dô 2.3.3.
Cho
χ
lµ
G−
tËp víi
G
t¸c ®éng tr¸i
lµ kh«ng gian vÐc t¬ cña c¸c hµm phøc
fg ∈ V
zg−1 (i)
lµ bÊt kh¶ quy.
NhËn xÐt:
hoÆc
lµ kh«ng gian con
lµ kh«ng gian con bÊt biÕn.
a := e1 ξ + e2 + e3 ξ 2
§Æt
zi = 0}
i
, mÆt kh¸c ta cã
i
víi mäi
P
trong ®ã
fg
x 7→ g · x
f :χ→C
vµ
V = F(χ)
tho¶ m·n víi
f ∈V
th×
x¸c ®Þnh bëi:
fg (x) = f (g −1 x).
NhËn xÐt:
cña
G
trong
Hµm
V
Chøng minh.
(λ(g)f )(x) := f (g −1 x)
x¸c ®Þnh mét phÐp biÓu diÔn
.
ThËt vËy,
(gg 0 ) · x = g · g 0 · x
vµ suy ra
−1
λ(gg 0 )f (x) = f ((gg 0 )−1 · x) = f (g 0 g −1 · x) = f (g 0
−1
· g −1 · x)
vµ
λ(g)λ(g 0 )f (x) = λ(g)fg0 (x) = fg0 (g −1 · x) = f (g 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
−1
· g −1 · x).
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
λ
16
Suy ra
λ(g.g 0 )f (x) = λ(g)λ(g 0 )f (x).
Hoµn toµn t¬ng tù ta còng cã thÓ x©y dùng mét phÐp biÓu diÔn cña
trong
V
th«ng qua
phøc vµ víi
G−
t¸c ®éng ph¶i víi
f g = f (x · g)
ρ
phÐp biÓu diÔn
cña
G
khi ®ã hµm
trong
V
G
V = F(χ)−
kh«ng gian c¸c hµm
(ρ(g)f )(x) := f (g · x)
x¸c ®Þnh mét
. ThËt vËy
x · (gg 0 ) = x · g · g 0
do ®ã suy ra
ρ(gg 0 )f (x) = f (x · (gg 0 )) = f (x · g · g 0 )
vµ
0
ρ(g)ρ(g 0 )f (x) = ρ(g)f g (x) = f (x · g · g 0 ).
Suy ra
ρ(gg 0 )f (x) = ρ(g)ρ(g 0 )f (x).
2.4
Tæng vµ tÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn - PhÐp biÓu diÔn
th¬ng
2.4.1
Tæng cña phÐp biÓu diÔn
Cho
(π, V )
tæng trùc tiÕp
vµ
(π 0 , V 0 )
π ⊕ π0
cña
lµ c¸c phÐp biÓu diÔn (tuyÕn tÝnh) cña nhãm
π
vµ
π0
G
th×
®îc cho bëi:
(π ⊕ π 0 )(g)(v ⊕ v 0 ) := π(g)v ⊕ π 0 (g)v 0 , ∀v ⊕ v 0 ∈ V ⊕ V 0 .
Cho
V = Cn V 0 = Cm
GL(m, C)
,
vµ
π(g) = A(g) ∈ GL(n, C) π 0 (g) = A0 (g) ∈
,
th× ta cã:
A(g)
0
(π ⊕ π 0 )(g) =
∈ GL(n + m, C).
0 A0 (g)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(2.8)
17
2.4.2
TÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn
(π, V )
Cho
tenx¬ cña
V
(π 0 , V 0 )
vµ
V0
vµ
th×
lµ c¸c phÐp biÓu diÔn cña nhãm
tÝch tenx¬
π ⊗ π0
cña
π
π0
vµ
G
vµ
V ⊗V0
tÝch
®îc cho bëi:
(π ⊗ π 0 )(g)(v ⊗ v 0 ) := π(g)v ⊗ π 0 (g)v 0 , ∀v ⊗ v 0 ∈ V ⊗ V 0 .
V = Cn V 0 = Cm
Cho
,
GL(m, C)
V ⊗V0
π(g) = A(g) ∈ GL(n, C) π 0 (g) = A0 (g) ∈
th× tÝch tenx¬ cho bëi
(π ⊗ π 0 )(g) =
Chó ý:
vµ
NÕu
V
,
tÝch Kronecker
a1,1 A0 (g) · · · a1,n A0 (g)
an,1 A0 (g) · · · an,n A0 (g)
A(g)
vµ
A0 (g)
:
cã mét c¬ së lµ
cã c¬ së lµ
cña ma trËn
(ei )i∈I
(ei ⊗ fj )(i,j)∈I×J
vµ
V0
∈ GL(nm, C).
(2.9)
(fj )j∈J
cã mét c¬ së lµ
th×
.
B»ng quy n¹p ta cã thÓ ®Þnh nghÜa ®îc tÝch tenx¬ cña nhiÒu h¬n hai nh©n
tö vµ tÝch tenx¬ lu«n cã hai tÝnh chÊt giao ho¸n vµ kÕt hîp.
VÝ dô 2.4.1.
Cho
V
lµ mét kh«ng gian vÐc t¬ ba chiÒu víi c¬ së lµ
(e1 , e2 , e3 )
th× ta cã:
• ⊗2 V
cã sè chiÒu lµ 9 víi mét c¬ së lµ
(e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e1 , ..., e3 ⊗ e3 )
• S 2V
cã sè chiÒu lµ 6 víi mét c¬ së lµ
(e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e2 , e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e2 , e3 ⊗ e3 )
• ∧2 V
cã sè chiÒu lµ 3 víi mét c¬ së lµ
e1 ∧ e2 := e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1
e1 ∧ e3 := e1 ⊗ e3 − e3 ⊗ e1
e2 ∧ e3 := e2 ⊗ e3 − e3 ⊗ e2
Trong trêng hîp tæng qu¸t ta cã c¬ së cña
S pV
vµ
∧p V
trong
⊗2 V
øng lµ
ei1 .....eip :=
X
eig(1) ⊗ .... ⊗ eig(p) , i1 ≤ · · · ≤ ip .
g∈Sp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
t¬ng
18
X
ei1 ∧ ... ∧ eip :=
sign g eig(1) ⊗ .... ⊗ eig(p) , i1 < ... < ip .
g∈Sp
Chó ý:
•
NÕu
V
lµ kh«ng gian 3 chiÒu th×
C[u, v, w]p
cã thÓ ®ång nhÊt víi kh«ng gian con
p
c¸c ®a thøc thuÇn nhÊt bËc
G
lµ phÐp biÓu diÔn cña
biÓu diÔn tuyÕn tÝnh
•
S pV
trong
S pπ
vµ
V
∧p π
cña c¸c kh«ng gian 3 biÕn. NÕu
th× ¸nh x¹
S pV
trong
ei 7→ π(g)ei
t¬ng øng
π
c¶m sinh mét phÐp
∧p V
.
Mét tÝnh chÊt quan trong cña cÊu tróc cña phÐp biÓu diÔn víi chiÒu h÷u
h¹n tíi phÐp biÓu diÔn chiÒu tù nhiªn
π0
vµ tíi phÐp biÓu diÔn bÊt kh¶ quy
bëi tÝch Tenx¬ vµ quy vÒ c¸c tæng cña c¸c thµnh phÇn bÊt kh¶ quy.
2.4.3
Cho
PhÐp biÓu diÔn ®èi ngÉu
V∗
kh«ng gian ®èi ngÉu cña C-kh«ng
lµ
V ∗ = Hom(V, C) = {ϕ : V → C, ϕ
NÕu
dim V ∗ < ∞
ϕ ∈ V∗
v ∈ V.
vµ
dim V ∗ = n
dim V ∗ =
th×
NÕu
V
dim
dim V = n
nªn tån t¹i mét c¬ së
.
víi
< e∗i , ej >= δij (= 1 , i = j
khi ®ã ta gäi
(e∗1 , ..., e∗n )
§Þnh nghÜa 2.4.2.
diÔn ®èi ngÉu
π∗
Cho
trong
lµ
π
mét
cña
}.
ϕ(v) =:< ϕ, v >
c¬
së
V∗
V∗
lµ
víi mäi
(e1 , ..., en )
th×
do
®îc x¸c ®Þnh nh sau:
.
lµ mét phÐp biÓu diÔn cña
V∗
th×:
= 0 , i 6= j)
vµ
c¬ së ®èi ngÉu cña
V
lµ C - tuyÕn tÝnh
§Æt
(e∗1 , ..., e∗n )
gian vÐc t¬
G
trong
V
th×
phÐp biÓu
®îc x¸c ®Þnh bëi:
(π ∗ (g)ϕ)(v) := ϕ(π(g −1 )v), ∀ϕ ∈ V ∗ , v ∈ V.
2.4.4
Cho
®ã
PhÐp biÓu diÔn th¬ng
(π1 , V1 )
lµ phÐp biÓu diÔn con cña phÐp biÓu diÔn
phÐp biÓu diÔn th¬ng trong
V /V1
kÝ hiÖu lµ
π π
.
(π, V )
cña
G
®îc x¸c ®Þnh nh sau:
π(g) = π(g) + V1 , ∀g ∈ G.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
. Khi
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
19
NhËn xÐt:
Ta dÔ thÊy:
π(g) = 0 + V1 ⇔ π(g) = π1 (g)
vµ
π(g) 6= 0 + V1 ⇔ π(g) 6= π1 (g)
Mét tÝnh chÊt chÝnh cña phÐp biÓu diÔn lµ chóng ta cã thÓ ph©n tÝch ®îc
chóng thµnh c¸c phÐp biÓu diÔn bÊt kh¶ quy. PhÇn tiÕp theo chóng ta sÏ giíi
thiÖu vÒ ph©n tÝch bÊt kh¶ quy ®îc cña mét phÐp biÓu diÔn.
2.5
Ph©n tÝch bÊt kh¶ quy cña mét phÐp biÓu diÔn
Nh¾c l¹i r»ng mét phÐp biÓu diÔn
(π, V )
lµ bÊt kh¶ quy nÕu nã kh«ng cã
phÐp biÓu diÔn con thùc sù nµo.
§Þnh nghÜa 2.5.1.
tÝch ®îc
biÕn
V2
Cho
(π, V )
phÐp biÓu diÔn
V = V1 ⊕ V2
G
§Þnh nghÜa 2.5.2.
quy ®Çy ®ñ
V1
trong
Cho
vµ
. Th× khi ®ã ta cã
π2
(π, V )
®îc gäi lµ
V1 ⊂ V
nÕu tån t¹i mét kh«ng gian con bÊt biÕn
, nghÜa lµ
(π, V )
lµ mét phÐp biÓu diÔn,
víi phÇn bï bÊt
π = π1 + π2
lµ phÐp biÓu diÔn
G
lµ mét phÐp biÓu diÔn,
trong
ph©n
trong ®ã
V2
(π, V )
π1
lµ
.
®îc gäi lµ
kh¶
(π, V )
®Òu
nÕu mäi phÐp biÓu diÔn con kh«ng tÇm thêng cña
cã phÇn bï bÊt biÕn.
§Þnh lý 2.5.3
h÷u h¹n
biÕn
. Cho
([4], §Þnh lý 1.1)
(π, V ) lµ mét phÐp biÓu diÔn cña nhãm
G vµ (π1 , V1 ) lµ mét phÐp biÓu diÔn con. Khi ®ã tån t¹i phÇn bï bÊt
V2 .
Chøng minh.
kh«ng gian
Cho
<, >0
V ' Cn
lµ mét tÝch v« híng trong
V
. Ta x¸c ®Þnh mét tÝch v« híng
< v, v 0 >:=
X
v× lu«n tån t¹i Ýt nhÊt
G−
bÊt biÕn lµ:
< π(g)v, π(g)v 0 > ∀v, v 0 ∈ G.
g∈G
§Æt
V2 := {v ∈ V, < v, v1 >= 0, ∀v1 ∈ V1 }
bï cña
. Râ rµng
V1
vµ
V2
lµ
π
V2
lµ kh«ng gian con
bÊt biÕn:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -