Tài liệu Một số ứng dụng của lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ***************** MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THẾ KHÔI Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN Thái Nguyên - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Lêi nãi ®Çu 2 1 4 Mét sè vÝ dô vÒ nhãm vµ t¸c ®éng nhãm 1.1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 T¸c ®éng nhãm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Nhãm ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 C¸c kh¸i niÖm ®¹i sè c¬ së cña phÐp biÓu diÔn nhãm 2.1 PhÐp biÓu diÔn tuyÕn tÝnh 2.2 BiÓu diÔn t­¬ng ®­¬ng 2.3 2.4 3 Nhãm ma trËn C¸c vÝ dô . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Tæng vµ tÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn - PhÐp biÓu diÔn th­¬ng 16 2.4.1 Tæng cña phÐp biÓu diÔn 2.4.2 TÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.3 PhÐp biÓu diÔn ®èi ngÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.4 PhÐp biÓu diÔn th­¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . 23 . 2.5 Ph©n tÝch bÊt kh¶ quy cña mét phÐp biÓu diÔn 2.6 §Æc tr­ng cña phÐp biÓu diÔn h÷u h¹n . . . . BiÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ c«ng thøc Frobenius 3.1 3.2 3.3 3.4 §Æc tr­ng hÖ trùc chuÈn BiÓu diÔn chÝnh quy . . 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . 29 HÖ trùc chuÈn c¸c ®Æc tr­ng vµ sè c¸c biÓu diÔn bÊt kh¶ quy ø ng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2 Lêi nãi ®Çu Lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm cã nguån gèc tõ lý thuyÕt ®Æc tr­ng cña nhãm abel ®­îc ph¸t biÓu cho c¸c nhãm cyclic bëi Gauss, Dirichlet vµ sau ®ã më réng sang cho nhãm abel h÷u h¹n bëi Frobenius vµ Stickelberger. Lý thuyÕt biÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n ®­îc ph¸t biÓu vµo cuèi thÕ kû XIX trong c¸c c«ng tr×nh cña Frobenius, Schur vµ Burnside. Nãi mét c¸ch ®¬n gi¶n, lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm nghiªn cøu c¸c c¸ch mµ mét nhãm t¸c ®éng trªn kh«ng gian vÐct¬ b»ng c¸c tù ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh. Lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm kh«ng chØ lµ mét phÇn quan träng trong ®¹i sè hiÖn ®¹i mµ cßn cã nhiÒu øng dông quan träng trong lý thuyÕt sè, tæ hîp vµ c¶ vËt lý. Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ ®äc hiÓu vµ tr×nh bµy l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n trong lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm h÷u h¹n vµ tr×nh bµy chøng minh cña B.Zagier c«ng thøc Frobenius. Bè côc cña luËn v¨n cña chóng t«i gåm ba ch­¬ng: Ch­¬ng 1 Mét sè vÝ dô vÒ nhãm vµ t¸c ®éng nhãm. chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n nh­: Trong ch­¬ng nµy Nhãm ma trËn, t¸c ®éng nhãm, nhãm ®èi xøng. Nh÷ng kiÕn thøc nµy sÏ ®­îc sö dông trong phÇn cßn l¹i cña luËn v¨n. Ch­¬ng 2 C¸c kh¸i niÖm ®¹i sè c¬ së cña phÐp biÓu diÔn nhãm. Trong ch­¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm vµ mét sè vÝ dô ®¬n gi¶n ®Ó minh ho¹ cho c¸c kh¸i niÖm cña phÐp biÓu diÔn nhãm. Ch­¬ng 3 BiÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ c«ng thøc Frobenius. ch­¬ng chÝnh cña luËn v¨n. §©y lµ Trong ch­¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy l¹i mét sè kÕt qu¶ c¬ b¶n cña lý thuyÕt biÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ ®Æc biÖt lµ chóng t«i d· tr×nh bµy l¹i mét chøng minh cña c«ng thøc Frobenius th«ng qua lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm. Qua ®©y, t¸c gi¶ còng xin ®­îc bµy tá lßng biÕt ¬n s©u x¾c tíi ng­êi thÇy, ng­êi h­íng dÉn khoa häc cña m×nh, TS. Vò ThÕ Kh«i, nhê sù h­íng dÉn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3 chØ b¶o tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña thÇy mµ luËn v¨n ®· ®­îc hoµn thµnh mét c¸ch khoa häc vµ ®óng tiÕn ®é. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« c«ng t¸c t¹i ViÖn To¸n, t¹i c¸c tr­êng §¹i häc thuéc §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· trùc tiÕp gi¶ng d¹y vµ quan t©m. Xin c¶m ¬n anh Ph¹m Hång Nam, gi¶ng viªn khoa To¸n - Tin tr­êng §¹i häc Khoa häc Th¸i Nguyªn, c¶m ¬n b¹n bÌ ®ång nghiÖp vµ gia ®×nh ®· ®éng viªn, gióp ®ì t¸c gi¶ trong suèt thêi gian häc tËp vµ nghiªn cøu. Th¸i Nguyªn, th¸ng 09 n¨m 2009 Häc Viªn TrÇn Danh Tuyªn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng 1 Mét sè vÝ dô vÒ nhãm vµ t¸c ®éng nhãm Ta nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc cÇn dïng trong luËn v¨n. 1.1 Nhãm ma trËn Cho cÊp C lµ tr­êng sè phøc, kÝ hiÖu m×n trªn C. trong tr­êng hîp ®Þnh ®­îc mét Mm,n (C) m = n Mm,n (C) lËp nªn mét th× ta kÝ hiÖu lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ma trËn C-kh«ng Mn (C) gian vÐc t¬ thay cho m×n Mn,n (C) . chiÒu, Ta x¸c nhãm tuyÕn tÝnh: GL(n, C) := {A ∈ Mn (C), detA 6= 0}. Ta x¸c ®Þnh nhãm tuyÕn tÝnh ®Æc biÖt, SL(n, C) := {A ∈ Mn (C); detA = 1}. Ta còng x¸c ®Þnh nhãm trùc giao: O(n) := {A ∈ Mn (R); t AA = En }, vµ cho n=p+q , th× ta cã: O(p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q }, trong ®ã Dp,q lµ c¸c ma aii = −1, ∀i = p + 1, n trËn ®­êng . Vµ x¸c ®Þnh chÐo mµ aii = 1, ∀i = 1, p nhãm unita: U (n) := {A ∈ Mn (C); t AA = En } 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn vµ c¸c 5 lµ nhãm kh¶ nghÞch. Cho n=p+q th× c¸c nhãm U (p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q }. Tõ nhãm O(n) ta x¸c ®Þnh ®­îc nhãm con SO(n) cña nhãm O(n) nh­ sau: SO(n) := {A ∈ O(n); detA = 1}. A(n) := {D(a1 , ..., an ); a1 , ..., an ∈ C∗ } phÇn tö 1.2 a1 , ..., an lµ ma trËn ®­êng chÐo víi c¸c n»m trªn ®­êng chÐo. T¸c ®éng nhãm Trong phÇn nµy lu«n cho G lµ mét nhãm, phÇn tö ®¬n vÞ lµ e vµ χ lµ mét tËp. §Þnh nghÜa 1.2.1. G ®­îc gäi lµ t¸c ®éng tr¸i trªn χ nÕu tån t¹i ¸nh x¹ G×χ→χ (g, x) 7→ g · x tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: i) ii) g · (g 0 · x) = (gg 0 ) · x e·x=x víi mäi g, g 0 ∈ G, x ∈ χ Chó ý: §Æt Autχ . lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c song ¸nh tõ χ vµo χ th× tõ ®Þnh nghÜa ta ®­îc ®ång cÊu nhãm ϕ :G → Autχ g 7→ g · x • Trong tr­êng hîp • T¸c ®éng nhãm ®­îc gäi lµ sao cho G t¸c ®éng tr¸i trªn b¾c cÇu χ ta còng gäi nÕu mäi cÆp χ lµ x, x0 ∈ χ G−tËp tr¸i th× tån t¹i x0 = g · x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn . g∈G 6 • Víi mäi x0 ∈ χ ta x¸c ®Þnh ®­îc tËp con G · x0 cña χ : G · x0 := {g · x0 ; g ∈ G}, G · x0 • ®­îc gäi lµ Víi mäi x0 ∈ χ G quü ®¹o (chøa x0 ). χ ta x¸c ®Þnh ®­îc nhãm con cña Gx0 := {g ∈ G, g · x0 = x0 } vµ ®­îc gäi lµ VÝ dô 1.2.2. tr¸i trªn χ nhãm ®¼ng h­íng Cho hay G = GL(n, C) vµ nhãm æn ®Þnh cña χ ⊆ Cn x0 . , ta x¸c ®Þnh ®­îc mét t¸c ®éng bëi ¸nh x¹: G×χ→χ (A, x) 7→ A · x víi mäi x ∈ Cn . §Þnh nghÜa 1.2.3. nhãm G χ ®­îc gäi lµ χ t¸c ®éng b¾c cÇu trªn §Þnh nghÜa 1.2.4. ®¹o trong x∈χ Mét tËp χ vµ sao cho Chó ý: χG Víi mäi χ tËp, ta x¸c ®Þnh χ/G G cã cÊu tróc ®¹i sè, vÝ dô nÕu χ tËp c¸c ®iÓm bÊt ®éng víi mäi nÕu cã mét . cña lµ g·x=x NÕu G− kh«ng gian thuÇn nhÊt hay χG lµ tËp c¸c G− quü , nghÜa lµ tËp c¸c phÇn tö g∈G . lµ kh«ng gian vÐc t¬ th× trong tr­êng hîp nµy ¸nh x¹: λ :G → χ x 7→ g · x lµ tuyÕn tÝnh víi mçi §Þnh nghÜa 1.2.5. x¹. ¸nh x¹ x∈χ f g∈G Cho . χ ®­îc gäi lµ vµ χ0 lµ c¸c ®¼ng biÕn G− hay tËp tr¸i vµ G−®ång cÊu f : χ → χ0 lµ mét ¸nh nÕu víi mäi g∈G , ta cã : g · f (x) = f (g · x). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn vµ 7 Cho H lµ mét nhãm con cña G , ta ®Þnh nghÜa nhãm con cña G trong H lµ NG (H) := {g ∈ G; gHg −1 = H}. Râ rµng Aut(G/H) chuÈn t¾c ho¸ cña NG (H) lµ nhãm con chuÈn t¾c tèi ®¹i cña lµ ®¼ng cÊu víi NG (H)/H . G trong , ®­îc gäi lµ trong vµ nhãm Ta còng x¸c ®Þnh ®­îc nhãm con CG (H) := {g ∈ G; ghg −1 = h, ∀h ∈ H} H H nhãm t©m G . Trong tr­êng hîp ®Æc biÖt H=G nhãm t©m ho¸ x¸c ®Þnh bëi: CG (G) = {g ∈ G; gh = hg, ∀h ∈ H} =: C(G). Hoµn toµn t­¬ng tù nh­ vËy ta còng cã nhãm t¸c ®éng ph¶i cña mét nhãm G trªn tËp χ : §Þnh nghÜa 1.2.6. G ®­îc gäi lµ t¸c ®éng ph¶i trªn χ nÕu tån t¹i ¸nh x¹ G×χ→χ (g, x) 7→ x · g tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: i) ii) (x · g) · g 0 = x · (gg 0 ) x · e = x ∀x ∈ χ, g, g 0 ∈ G Chó ý: , . Ta cã thÓ ®­a nhãm t¸c ®éng ph¶i vÒ t¸c ®éng tr¸i vµ ng­îc l¹i nhê ph¶n ®¼ng cÊu: G→G g 7→ g −1 Do ®ã cho χ lµ G− tËp ph¶i th× ®­îc t¸c ®éng tr¸i cho bëi: g · x := x · g −1 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 8 1.3 Nhãm ®èi xøng Sn §Þnh nghÜa 1.3.1. Nhãm ®èi xøng n nhãm t¹o bëi c¸c song ¸nh cña Râ rµng Autχ {1, 2, ..., n} th× lµ nhãm c¸c ho¸n vÞ, nghÜa lµ phÇn tö. lµ nhãm song ¸nh tõ tËp Sn = Autχn cña χ vµo chÝnh tËp χ d¹ng c¸c , chän χn := . Chó ý: • Sè phÇn tö cña nhãm • Mçi phÇn tö Sn σ ∈ Sn #Sn = n! lµ ®Òu cã thÓ viÕt d­íi tÝch cña chuyÓn vÞ, nghÜa lµ ho¸n vÞ ë ®ã chØ cã hai phÇn tö chuyÓn chç cho nhau. • Cho σ ∈ Sn , ta x¸c ®Þnh hµm dÊu cña Sign(σ) := ε(σ) := • σ bëi: σ(i) − σ(j) . i − j 1≤i1 vµ lµ r = 1. Mçi mét ho¸n vÞ cã mét ph©n tÝch duy nhÊt thµnh mét tÝch c¸c xÝch rêi nhau. §Þnh nghÜa 1.3.2. nhiªn ni ∈ N §Þnh lý 1.3.3 víi Mét ph©n ho¹ch ni ≥ nj nÕu i:V × V → C (v, v 0 ) 7→< v, v 0 > tho¶ m·n 3 tÝnh chÊt: i) TuyÕn tÝnh theo biÕn thø hai vµ ph¶n tuyÕn tÝnh theo biÕn thø nhÊt . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn v« 12 ii) Lµ d¹ng Hemitian, nghÜa lµ víi mäi v, v 0 ∈ V ta cã < v, v 0 >= < v, v 0 > iii) ra víi X¸c ®Þnh d­¬ng , nghÜa lµ: ∀v ∈ V ta cã < v, v > ≥ 0 dÊu ”=” x¶y v=0 . Cho V = Cn th× ta th­êng sö dông tÝch v« h­íng n X < x, y >:= xi yi , ∀x, y ∈ Cn . i=1 §Þnh nghÜa 2.1.4. π(g) Mét phÐp biÓu diÔn lµ unita, nghÜa lµ víi mäi π v, v 0 ∈ V G cña trong g∈G vµ V lµ unita nÕu mçi ta cã: < π(g)v, π(g)v 0 > = < v, v 0 > . 2.2 BiÓu diÔn t­¬ng ®­¬ng Cho hai phÐp t­¬ng øng víi V0 biÓu diÔn π vµ π0 cña , ta cÇn t×m mét ¸nh x¹ G trong G− C− kh«ng gian vÐc t¬ V ®¼ng cÊu víi F :V →V0 §Þnh nghÜa 2.2.1. to¸n tö bÖn gi÷a π Mét ¸nh x¹ vµ π0 C− tuyÕn tÝnh F : V → V0 ®­îc gäi lµ mét g∈G nÕu víi mäi , ta cã F π(g) = π 0 (g)F, nghÜa lµ biÓu ®å sau lµ giao ho¸n F V −−→   π(g)y V0  π0 (g) y F V −−→ V 0 π π0 vµ π0 ®­îc gäi lµ t­¬ng ®­¬ng trong tr­êng hîp ®ã viÕt lµ nÕu cã mét ®¼ng cÊu π ∼ π0 F :V →V0 bÖn . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn π vµ 13 NhËn xÐt: gian vÐc t¬ C(V, V 0 ) . Kh«ng gian cña nh÷ng to¸n tö bÖn gi÷a trªn H¬n tr­êng n÷a C . chóng Nã ta ®­îc th­êng ®Þnh sö nghÜa dông kÝ π bëi hiÖu vµ π0 lµ mét kh«ng HomG (V, V 0 ) hoÆc C(V ) := C(V, V ) vµ c(π, π 0 ) = c(V, V 0 ) = dim C(V, V 0 ) vµ c(π, π 0 ) còng ®­îc gäi lµ PhÐp biÓu diÔn π vµ π0 béi cña víi π trong π0 vµ kÝ hiÖu bëi c(π, π 0 ) = c(π 0 , π) = 0 mult(π, π 0 ) . ®­îc gäi lµ rêi nhau. Ta cÇn x¸c ®Þnh c¸c líp t­¬ng ®­¬ng cña c¸c phÐp biÓu diÔn bÊt kh¶ quy bÊt biÕn cña 2.3 G . C¸c vÝ dô VÝ dô 2.3.1. π0 Cho G lµ nhãm c¸c ma trËn th× G , nghÜa lµ víi mçi nhãm ma trËn thùc (phøc) trong V = Cn unita víi liªn kÕt víi mäi G = SO(n) hoÆc cã phÐp biÓu diÔn tù nhiªn G ⊂ GL(n, C) cã biÓu diÔn A∈G SU (n) . Râ rµng phÐp biÓu diÔn tù nhiªn lµ nh­ng trong tr­êng hîp tæng qu¸t th× nã hoÆc kh«ng lµ unita hoÆc kh«ng lµ bÊt kh¶ quy, ®iÒu ®ã ®­îc suy ra tõ vÝ dô sau: VÝ dô 2.3.2. y := (1, 2, 3) Cho G = S3 , xÐt c¸c phÇn tö cña S3 lµ: id = (1) x := (1, 2) , , râ rµng ta cã:      1 2 3 1 2 3 1 2 3 x = = = id 2 1 3 2 1 3 1 2 3     
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 y = = = 1 3 2 2 3 1 2 3 1 3 1 2     
1 2 3 1 2 3 1 2 3 xy = = = 2 3 2 1 3 2 3 1 1 3 2 2  yx =    
1 2 3 1 2 3 1 2 3 = = 1 3 2 3 1 2 1 3 3 2 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) 14  1 2 xyx = 2 1  1 y3 = 3  3 1 2 3 2 3  1 2 3 3 2 1 Do ®ã mçi phÇn tö thõa cña x vµ y  3 1 2 1 2 1  2 3 1 2 1 3 g ∈ S3 . Tõ ®ã suy ra   3 1 2 = 3 2 3   2 3 1 = 2 1 1 
3 = 1 2 3 1  2 3 = id. 2 3 (2.5) (2.6) ®Òu cã thÓ biÓu diÔn thµnh tÝch cña c¸c luü S3 =< x, y > lµ nhãm con sinh bëi Do ®ã ta dÔ dµng t×m ®­îc phÐp biÓu diÔn trong V =C x vµ y . , ®ã lµ phÐp biÓu diÔn tÇm th­êng π1 (g) = 1, ∀g ∈ S3 vµ phÐp biÓu diÔn dÊu π2 (g) = sign g ∈ {±1}, ∀g ∈ S3 . Ta còng t×m ®­îc phÐp biÓu diÔn 3 chiÒu π0 trªn V = C3 bëi ma trËn ho¸n vÞ sau  0 0 1 π0 (y) = A(y) = 1 0 0 0 1 0  phÐp biÓu diÔn ®ã gäi lµ phÐp biÓu diÔn ho¸n vÞ. 3 V =C = 3 X (2.7) Ta cã ei C i=1 víi ω = e1 z1 + e2 z2 + e2 z2 ∈ V trong ®ã π0 e1 = t (1, 0, 0), e2 = t (0, 1, 0), e3 = t (0, 0, 1) vµ z1 , z2 , z3 ∈ C ®­îc cho bëi π0 (g)ω = X eg(i) zi = X ei zg−1 (i) . i Nh­ ®· biÕt §Æt π0 lµ phÐp biÓu diÔn unita, nh­ng kh«ng bÊt kh¶ quy: V1 := (e1 + e2 + e3 )C lµ kh«ng gian con bÊt biÕn cña V . ThËt vËy: π0 (g)(e1 + e2 + e3 ) = eg(1) + eg(2) + eg(3) = e1 + e2 + e3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn th× 15 do ®ã π0 |V1 = π1 lµ phÐp biÓu diÔn tÇm th­êng trong ω= X V1 . Cho zi ei i th× < e1 + e2 + e3 , ω >= X zi i V3 = {ω, Ta dÔ dµng chøng minh ®­îc cña V vµ lµ phÇn bï cña V1 X trong V g ∈ S3 nªn V3 dµng chøng minh ®­îc r»ng π2 zi = π0 X i a, b vµ b := e1 + e2 ξ + e3 ξ 2 lµ c¬ së cña V3 . §Æt ξ = e2πi/3 víi π2 := π0 |V3 , ta dÔ ta còng chØ ra TÊt c¶ c¸c phÐp biÓu diÔn trong S3 lµ t­¬ng ®­¬ng víi π 1 π2 , . VÝ dô 2.3.3. Cho χ lµ G− tËp víi G t¸c ®éng tr¸i lµ kh«ng gian vÐc t¬ cña c¸c hµm phøc fg ∈ V zg−1 (i) lµ bÊt kh¶ quy. NhËn xÐt: hoÆc lµ kh«ng gian con lµ kh«ng gian con bÊt biÕn. a := e1 ξ + e2 + e3 ξ 2 §Æt zi = 0} i , mÆt kh¸c ta cã i víi mäi P trong ®ã fg x 7→ g · x f :χ→C vµ V = F(χ) tho¶ m·n víi f ∈V th× x¸c ®Þnh bëi: fg (x) = f (g −1 x). NhËn xÐt: cña G trong Hµm V Chøng minh. (λ(g)f )(x) := f (g −1 x) x¸c ®Þnh mét phÐp biÓu diÔn . ThËt vËy, (gg 0 ) · x = g · g 0 · x vµ suy ra −1 λ(gg 0 )f (x) = f ((gg 0 )−1 · x) = f (g 0 g −1 · x) = f (g 0 −1 · g −1 · x) vµ λ(g)λ(g 0 )f (x) = λ(g)fg0 (x) = fg0 (g −1 · x) = f (g 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên −1 · g −1 · x). http://www.Lrc-tnu.edu.vn λ 16 Suy ra λ(g.g 0 )f (x) = λ(g)λ(g 0 )f (x). Hoµn toµn t­¬ng tù ta còng cã thÓ x©y dùng mét phÐp biÓu diÔn cña trong V th«ng qua phøc vµ víi G− t¸c ®éng ph¶i víi f g = f (x · g) ρ phÐp biÓu diÔn cña G khi ®ã hµm trong V G V = F(χ)− kh«ng gian c¸c hµm (ρ(g)f )(x) := f (g · x) x¸c ®Þnh mét . ThËt vËy x · (gg 0 ) = x · g · g 0 do ®ã suy ra ρ(gg 0 )f (x) = f (x · (gg 0 )) = f (x · g · g 0 ) vµ 0 ρ(g)ρ(g 0 )f (x) = ρ(g)f g (x) = f (x · g · g 0 ). Suy ra ρ(gg 0 )f (x) = ρ(g)ρ(g 0 )f (x). 2.4 Tæng vµ tÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn - PhÐp biÓu diÔn th­¬ng 2.4.1 Tæng cña phÐp biÓu diÔn Cho (π, V ) tæng trùc tiÕp vµ (π 0 , V 0 ) π ⊕ π0 cña lµ c¸c phÐp biÓu diÔn (tuyÕn tÝnh) cña nhãm π vµ π0 G th× ®­îc cho bëi: (π ⊕ π 0 )(g)(v ⊕ v 0 ) := π(g)v ⊕ π 0 (g)v 0 , ∀v ⊕ v 0 ∈ V ⊕ V 0 . Cho V = Cn V 0 = Cm GL(m, C) , vµ π(g) = A(g) ∈ GL(n, C) π 0 (g) = A0 (g) ∈ , th× ta cã:   A(g) 0 (π ⊕ π 0 )(g) = ∈ GL(n + m, C). 0 A0 (g) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (2.8) 17 2.4.2 TÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn (π, V ) Cho tenx¬ cña V (π 0 , V 0 ) vµ V0 vµ th× lµ c¸c phÐp biÓu diÔn cña nhãm tÝch tenx¬ π ⊗ π0 cña π π0 vµ G vµ V ⊗V0 tÝch ®­îc cho bëi: (π ⊗ π 0 )(g)(v ⊗ v 0 ) := π(g)v ⊗ π 0 (g)v 0 , ∀v ⊗ v 0 ∈ V ⊗ V 0 . V = Cn V 0 = Cm Cho , GL(m, C) V ⊗V0 π(g) = A(g) ∈ GL(n, C) π 0 (g) = A0 (g) ∈ th× tÝch tenx¬ cho bëi (π ⊗ π 0 )(g) = Chó ý: vµ NÕu V , tÝch Kronecker a1,1 A0 (g) · · · a1,n A0 (g) an,1 A0 (g) · · · an,n A0 (g)  A(g) vµ A0 (g) :  cã mét c¬ së lµ cã c¬ së lµ cña ma trËn (ei )i∈I (ei ⊗ fj )(i,j)∈I×J vµ V0 ∈ GL(nm, C). (2.9) (fj )j∈J cã mét c¬ së lµ th× . B»ng quy n¹p ta cã thÓ ®Þnh nghÜa ®­îc tÝch tenx¬ cña nhiÒu h¬n hai nh©n tö vµ tÝch tenx¬ lu«n cã hai tÝnh chÊt giao ho¸n vµ kÕt hîp. VÝ dô 2.4.1. Cho V lµ mét kh«ng gian vÐc t¬ ba chiÒu víi c¬ së lµ (e1 , e2 , e3 ) th× ta cã: • ⊗2 V cã sè chiÒu lµ 9 víi mét c¬ së lµ (e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e1 , ..., e3 ⊗ e3 ) • S 2V cã sè chiÒu lµ 6 víi mét c¬ së lµ (e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e2 , e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e2 , e3 ⊗ e3 ) • ∧2 V cã sè chiÒu lµ 3 víi mét c¬ së lµ e1 ∧ e2 := e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1 e1 ∧ e3 := e1 ⊗ e3 − e3 ⊗ e1 e2 ∧ e3 := e2 ⊗ e3 − e3 ⊗ e2 Trong tr­êng hîp tæng qu¸t ta cã c¬ së cña S pV vµ ∧p V trong ⊗2 V øng lµ ei1 .....eip := X eig(1) ⊗ .... ⊗ eig(p) , i1 ≤ · · · ≤ ip . g∈Sp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn t­¬ng 18 X ei1 ∧ ... ∧ eip := sign g eig(1) ⊗ .... ⊗ eig(p) , i1 < ... < ip . g∈Sp Chó ý: • NÕu V lµ kh«ng gian 3 chiÒu th× C[u, v, w]p cã thÓ ®ång nhÊt víi kh«ng gian con p c¸c ®a thøc thuÇn nhÊt bËc G lµ phÐp biÓu diÔn cña biÓu diÔn tuyÕn tÝnh • S pV trong S pπ vµ V ∧p π cña c¸c kh«ng gian 3 biÕn. NÕu th× ¸nh x¹ S pV trong ei 7→ π(g)ei t­¬ng øng π c¶m sinh mét phÐp ∧p V . Mét tÝnh chÊt quan trong cña cÊu tróc cña phÐp biÓu diÔn víi chiÒu h÷u h¹n tíi phÐp biÓu diÔn chiÒu tù nhiªn π0 vµ tíi phÐp biÓu diÔn bÊt kh¶ quy bëi tÝch Tenx¬ vµ quy vÒ c¸c tæng cña c¸c thµnh phÇn bÊt kh¶ quy. 2.4.3 Cho PhÐp biÓu diÔn ®èi ngÉu V∗ kh«ng gian ®èi ngÉu cña C-kh«ng lµ V ∗ = Hom(V, C) = {ϕ : V → C, ϕ NÕu dim V ∗ < ∞ ϕ ∈ V∗ v ∈ V. vµ dim V ∗ = n dim V ∗ = th× NÕu V dim dim V = n nªn tån t¹i mét c¬ së . víi < e∗i , ej >= δij (= 1 , i = j khi ®ã ta gäi (e∗1 , ..., e∗n ) §Þnh nghÜa 2.4.2. diÔn ®èi ngÉu π∗ Cho trong lµ π mét cña }. ϕ(v) =:< ϕ, v > c¬ së V∗ V∗ lµ víi mäi (e1 , ..., en ) th× do ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau: . lµ mét phÐp biÓu diÔn cña V∗ th×: = 0 , i 6= j) vµ c¬ së ®èi ngÉu cña V lµ C - tuyÕn tÝnh §Æt (e∗1 , ..., e∗n ) gian vÐc t¬ G trong V th× phÐp biÓu ®­îc x¸c ®Þnh bëi: (π ∗ (g)ϕ)(v) := ϕ(π(g −1 )v), ∀ϕ ∈ V ∗ , v ∈ V. 2.4.4 Cho ®ã PhÐp biÓu diÔn th­¬ng (π1 , V1 ) lµ phÐp biÓu diÔn con cña phÐp biÓu diÔn phÐp biÓu diÔn th­¬ng trong V /V1 kÝ hiÖu lµ π π . (π, V ) cña G ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau: π(g) = π(g) + V1 , ∀g ∈ G. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên . Khi http://www.Lrc-tnu.edu.vn 19 NhËn xÐt: Ta dÔ thÊy: π(g) = 0 + V1 ⇔ π(g) = π1 (g) vµ π(g) 6= 0 + V1 ⇔ π(g) 6= π1 (g) Mét tÝnh chÊt chÝnh cña phÐp biÓu diÔn lµ chóng ta cã thÓ ph©n tÝch ®­îc chóng thµnh c¸c phÐp biÓu diÔn bÊt kh¶ quy. PhÇn tiÕp theo chóng ta sÏ giíi thiÖu vÒ ph©n tÝch bÊt kh¶ quy ®­îc cña mét phÐp biÓu diÔn. 2.5 Ph©n tÝch bÊt kh¶ quy cña mét phÐp biÓu diÔn Nh¾c l¹i r»ng mét phÐp biÓu diÔn (π, V ) lµ bÊt kh¶ quy nÕu nã kh«ng cã phÐp biÓu diÔn con thùc sù nµo. §Þnh nghÜa 2.5.1. tÝch ®­îc biÕn V2 Cho (π, V ) phÐp biÓu diÔn V = V1 ⊕ V2 G §Þnh nghÜa 2.5.2. quy ®Çy ®ñ V1 trong Cho vµ . Th× khi ®ã ta cã π2 (π, V ) ®­îc gäi lµ V1 ⊂ V nÕu tån t¹i mét kh«ng gian con bÊt biÕn , nghÜa lµ (π, V ) lµ mét phÐp biÓu diÔn, víi phÇn bï bÊt π = π1 + π2 lµ phÐp biÓu diÔn G lµ mét phÐp biÓu diÔn, trong ph©n trong ®ã V2 (π, V ) π1 lµ . ®­îc gäi lµ kh¶ (π, V ) ®Òu nÕu mäi phÐp biÓu diÔn con kh«ng tÇm th­êng cña cã phÇn bï bÊt biÕn. §Þnh lý 2.5.3 h÷u h¹n biÕn . Cho ([4], §Þnh lý 1.1) (π, V ) lµ mét phÐp biÓu diÔn cña nhãm G vµ (π1 , V1 ) lµ mét phÐp biÓu diÔn con. Khi ®ã tån t¹i phÇn bï bÊt V2 . Chøng minh. kh«ng gian Cho <, >0 V ' Cn lµ mét tÝch v« h­íng trong V . Ta x¸c ®Þnh mét tÝch v« h­íng < v, v 0 >:= X v× lu«n tån t¹i Ýt nhÊt G− bÊt biÕn lµ: < π(g)v, π(g)v 0 > ∀v, v 0 ∈ G. g∈G §Æt V2 := {v ∈ V, < v, v1 >= 0, ∀v1 ∈ V1 } bï cña . Râ rµng V1 vµ V2 lµ π V2 lµ kh«ng gian con bÊt biÕn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn