Tài liệu MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Toàn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Toàn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TRẦN T UẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Xin gửi lời cám ơn chân thành đến Ban giám hiệu, quý Thầy cô và các bạn học viên khóa 23, Trường đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh, đã giúp tôi trong suốt quá trình học và hoàn thành luận văn này, tôi đã thực sự nhận được nhiều sự giúp đỡ và động viên từ mọi người. Em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy PGS.TS Trần Tuấn Nam, người đã dành thời gian chỉnh sửa, và hướng dẫn, giúp em có thể hoàn thành luận văn. Xin cám ơn về những đóng góp quý báu của Thầy. Xin cám ơn toàn thể quý Thầy đã tận tình giảng dạy, giúp chúng em trang bị những kiến thức bổ ích trong quá trình học tập, để hoàn thành tốt luận văn này. Tôi xin gửi lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Khoa toán và Phòng sau đại học, Trường đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoàn thành luận văn trong thời hạn cho phép. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ sự biết ơn đến gia đình, bạn bè, những người luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. TP. Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2014 Nguyễn Thanh Toàn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 2 1.1. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ mô đun ...................................... 2 1.2. Dãy khớp ................................................................................................ 3 1.3. Mô đun nội xạ và mô đun xạ ảnh ........................................................... 4 1.4. Nhóm Abel ............................................................................................. 7 1.5. Hàm tử .................................................................................................... 8 1.6. Hệ xạ ảnh .............................................................................................. 10 Chương 2. TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC ................................. 13 2.1. Hàm tử .................................................................................................. 13 2.2. Một số kết quả trên tập các chỉ số đếm được ....................................... 19 2.3. Thứ nguyên đối đồng điều của một tập hợp bậc xk ............................. 28 ( ) 2.4. Các dãy phổ cho lim  ........................................................................ 33 KẾT LUẬN .................................................................................................... 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 39 n 1 MỞ ĐẦU Giới hạn ngược được định nghĩa trên cơ sở định nghĩa của hệ xạ ảnh trong phạm trù các R-mô đun trái. Tức là, với I là tập chỉ số, định hướng, ta định nghĩa giới hạn ngược như sau: “Cho { Aα , f αβ } là một hệ xạ ảnh của R-mô đun trên tập chỉ số I. Giới hạn ( uα : lim  Aα → Aα )α∈I ngược là limA  α và một họ các đồng cấu chiếu thỏa: f αβuβ = uα khi α < β , với mỗi R-mô đun M và với mọi đồng cấu ψ α : M → Aα thỏa mãn f αβψβ =ψ α với α < β , tồn tại duy nhất đồng cấu θ : M → lim  Aα sao cho uα θ = ψ α ”. Với định nghĩa giới hạn ngược như trên, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của hàm tử lim  trên một tập các chỉ số đếm được, cũng như thứ nguyên đối ( ) đồng điều của một tập hợp bậc xk , các dãy phổ cho lim  . n Toàn bộ luận văn được chia làm 2 chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức đã được biết đến trong đại số đại cương, đại số đồng điều. Chương 2: Nội dung của chương 2 được chia làm 4 phần. Phần 1: Trình bày định nghĩa hàm tử lim  và một số tính chất đối với các hệ xạ ảnh mềm và cận mềm. Phần 2: Nêu kết quả trên tập các chỉ số đếm được. Phần 3: Thứ nguyên đối đồng điều của một tập hợp bậc xk . ( ) Phần 4: Về các dãy phổ cho lim  . n 2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần kiến thức chuẩn bị này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cần thiết về lý thuyết mô đun cần dùng cho việc triển khai nội dung ở chương 2. 1.1. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ mô đun 1.1.1. Định nghĩa Cho A, B là các R- mô đun trái. Khi đó tập tích Descartes A × B với hai phép toán cộng và nhân ngoài được định bởi, ( a1 , b1 ) + ( a2 , b2 ) =( a1 + a2 , b1 + b2 ) , r ( a, b ) = ( ra, rb ) , Với mọi ( a1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a, b ) ∈ A × B và với mọi r ∈ R , là một R-mô đun, được gọi là mô đun tổng trực tiếp của hai mô đun A và B, kí hiệu là: A⊕ B. 1.1.2. Định nghĩa Cho một họ bất kì các R- mô đun trái {M i }i∈I . Khi đó tích Descartes = ∏ Mi i∈I {( x ) i i∈I } xi ∈ M i với hai phép toán như sau: ( xi )i∈I + ( xi′ )i∈I = ( xi + x′ )i∈I , r ( xi )i∈I = ( rxi )i∈I , Với mọi ( xi )i∈I , ( xi′ )i∈I ∈ ∏ M i và với mọi r ∈ R , là một R-mô đun trái i∈I và được gọi là mô đun tích trực tiếp của họ { X i }i∈I . 1.1.3. Định lý Cho họ khác rỗng các R-mô đun {M i }i∈I . Khi đó với bất kỳ R- mô đun M, mỗi họ đồng cấu { fi : M → M i } được phân tích một cách duy nhất qua họ 3   các phép chiếu  pi : ∏ M t → M i  . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một t∈I   đồng cấu f : M → ∏ M i sao cho fi = pi f với mọi i ∈ I (Tính phổ dụng của i∈I tích trực tiếp)[1, định lý 5, tr.28]. 1.1.4. Định nghĩa Cho họ khác rỗng các R-mô đun {M i }i∈I . Mô đun con của ∏M i∈I i gồm các bộ số x = ( xi ) mà hầu hết các thành phần xi = 0 trừ ra một số hữu hạn được gọi là mô đun tổng trực tiếp của họ {M i }i∈I và ký hiệu là ⊕ M i hay i∈I ⊕M i . 1.1.5. Định lý Cho họ khác rỗng các R-mô đun {M i }i∈I . Khi đó với bất kỳ R- mô đun M, mỗi họ đồng cấu { ft : M t → M } được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép nhúng { jt : M t → ⊕ M i } . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một đồng cấu f : ⊕ M i → M sao cho ft = fjt với mọi t ∈ I (Tính phổ dụng của tổng trực tiếp)[1, Định lý tr 32]. 1.2. Dãy khớp 1.2.1. Một số định nghĩa Dãy các đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn) f g ...  → A  → B  → C  → ... được gọi là khớp tại mô đun B nếu imf = ker g Một mô đun trong dãy các đồng cấu được gọi là mô đun trung gian nếu tại đó vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra. Dãy các đồng cấu các R-mô đun được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi mô đun trung gian. 4 f g Dãy khớp có dạng 0  → A  → B  → C  → 0 được gọi là dãy khớp ngắn. f g Dãy khớp các đồng cấu ...  → A  → B  → C  → ... được gọi là chẻ ra tại mô đun B nếu Imf là một hạng tử trực tiếp của B, tức là tồn tại một mô đun con B1 sao cho= B Imf ⊕ B1 . Một dãy khớp được gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi mô đun trung gian. 1.2.2. Định lý χ σ Đối với mỗi dãy khớp ngắn 0  → A  → B  → C  → 0 , ba phát biểu sau là tương đương [1, định lý 1, tr 40]. i. Dãy là chẻ. ii. Đồng cấu χ có nghịch đảo trái. iii. Đồng cấu σ có nghịch đảo phải. 1.2.3. Mệnh đề Nếu dãy khớp f g ...  → A  → B  → C  → ... chẻ ra tại B thì B ≅ Imf ⊕ Img [1, hệ quả 2, tr 41]. 1.2.4. Mệnh đề α β Cho dãy khớp 0  → A  → B  → C với β là một đơn cấu thì A=0. Chứng minh : Theo tính khớp của dãy trên, ta có A ≅ Im α = ker= β 0. Tương tự ta có mệnh đề sau. 1.2.5. Mệnh đề β α Cho C  → B  → A  → 0 với β là một toàn cấu thì A=0. 1.3. Mô đun nội xạ và mô đun xạ ảnh 1.3.1. Định nghĩa Một R- mô đun J là mô đun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu χ : A → B , mỗi đồng cấu f : A → J , tồn tại đồng cấu f : B → J thỏa f = f χ . 5 1.3.2. Định lý Hai mệnh đề sau đây là tương đương nhau : i. R- mô đun J là nội xạ. χ σ ii. Bất kỳ dãy với ngắn 0  → A  → B  → C  → 0 dãy các nhóm Abel sau là khớp σ χ 0  → Hom ( C , J )  → Hom ( B, J )  → Hom ( A, J )  →0 * * [1, tr. 76]. 1.3.3. Mệnh đề R-mô đun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kỳ ideal trái I của R và bất kì đồng cấu f : I → J , luôn luôn tồn tại một phần tử q ∈ J sao cho với mọi λ ∈ I , ta có f ( λ ) =λq . Nói cách khác mỗi đồng cấu f : I → J đều có thể mở rộng được tới đồng cấu f : R → J (Tiểu chuẩn Baer)[1, Định lý 5, tr. 77]. 1.3.4. Mệnh đề Mỗi mô đun M đều có thể nhúng vào một mô đun nội xạ N ( M ) nào đó [1, Định lý 9, tr. 82]. 1.3.5. Định lý Đối với bất kì R-mô đun J, các phát biểu sau là tương đương : i. J là mô đun nội xạ. ii. Mọi dãy khớp 0 → J → B → C → 0 là chẻ ra. iii . J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một mô đun nội xạ nào đó [1, Định lý 10, tr. 82]. 1.3.6. Mệnh đề Tích trực tiếp của một họ mô đun J = ∏ J i là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi i∈I mô đun thành phần J i là nội xạ. 1.3.7. Định nghĩa Mô đun P được gọi là mô đun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ : B → C và 6 mỗi đồng cấu f : P → C tồn tại một đồng cấu ϕ : P → B sao cho f = σϕ . 1.3.8. Định nghĩa Mô đun X được gọi là mô đun tự do nếu X có một cơ sở. 1.3.9. Định lý Mỗi mô đun tự do X đều là mô đun xạ ảnh [1, Định lý 1, tr. 73]. 1.3.10. Định lý Tổng trực tiếp của một họ mô đun P = ⊕ Pi là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi i∈I mô đun thành phần Pi là xạ ảnh [1, Định lý 2, tr. 73]. 1.3.11. Định lý Đối với mỗi mô đun P, ba phát biểu sau là tương đương : i. P là mô đun xạ ảnh. χ σ ii. Mỗi dãy khớp 0  → A  → B  → P  → 0 là chẻ ra. iii. P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một mô đun tự do. [1, Định lý 3, tr. 75]. 1.3.12. Bổ đề con rắn Cho sơ đồ giao hoán f g A  → B  → C  →0 a b c f′ g′ → A′  → B′  → C′ 0  Với các dòng là khớp, thì ta có dãy khớp Kera → Kerb → Kerc → Cokera → Cokerb → Cokerc . Hơn nữa, nếu f là đơn cấu thì Kera → Kerb là đơn cấu, nếu g ′ là toàn cấu thì Cokerb → Cokerc cũng là toàn cấu. 7 1.3.13. Bổ đề năm ngắn Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu sau, trong đó dòng là khớp: 0  → A  → B  → C  →0 α β γ 0  → A′  → B′  → C ′  →0 Khi đó, nếu α, γ là đơn (toàn, đẳng) cấu thì β cũng là đơn (toàn, đẳng) cấu. 1.4. Nhóm Abel Ext ( X , Y ) 1.4.1. Định nghĩa Cho X, Y là hai R-mô đun. Ta gọi một mở rộng của Y bởi X là một dãy khớp ngắn E của các R-mô đun χ σ E : 0 → Y  → W  →X →0. 1.4.2. Định nghĩa Giả sử χ σ E : 0 → Y  → W  →X →0, χ′ σ′ E ′ : 0 → Y  → W′  →X →0 Là hai mở rộng của Y bởi X. Kí hiệu E  E ′ nếu tồn tại một R-đồng cấu β :W → W ′ sao cho biểu đồ sau giao hoán χ σ E : 0 → Y  → W  →X →0 β χ′ σ′ → W′  →X →0 E ′ : 0 → Y  Dễ thấy β là một đẳng cấu và quan hệ  là một quan hệ tương đương. Kí hiệu : Ext( X ,Y ) là tập hợp tất cả các lớp tương đương của các mở rộng của Y bởi X. Và [E] là lớp tương đương của mở rộng E. 1.4.3. Định nghĩa Cho [ E1 ] , [ E2 ] ∈ Ext ( X , Y ) . Khi đó, 8 ∇Y [ E1 + E2 ] ∆ X . [ E1 ] + [ E2 ] = Trong đó : χ1 ⊕χ 2 σ1 ⊕σ2  E1 ⊕ E2 : 0 → Y ⊕ Y  →W1 ⊕ W2  →X ⊕ X →0 với χ1 σ1 χ2 σ2 E1 : 0 → Y  →W1  → X → 0 ; E2 : 0 → Y  →W2  →X →0  ∆ X là đồng cấu chéo của mô đun X xác định bởi công thức ∆ X= ( x) ∆X : X → X ⊕ X , ( x, x ) , ∀x ∈ ∆ X  ∇ X là đồng cấu đối chéo của mô đun X cho bởi công thức ∇X : X ⊕ X → X , x + x′ ∇Y ( x, x′ ) = 1.4.4. Định lý Với phép toán cộng được định nghĩa như trên thì tập Ext(X,Y) lập thành một nhóm Abel. 1.5. Hàm tử Ext n 1.5.1. Các định nghĩa Cho A và B là các mô đun trái, X là phép giải xạ ảnh của mô đun A và X là phức thu gọn của phép giải X. Xét phức sau : ( ) δ Hom X , B : Hom ( X 0 , B )  → Hom ( X 1 , B ) → ... δ → Hom ( X n , B )  → Hom ( X n+1 , B ) → ... Trong đó các đồng cấu δn = ( −1) ( ( Khi đó, H n Hom X , B n +1 Hom ( ∂ n , iB ) , ∀n ≥ 0 . ) ) được gọi là tích mở rộng n- chiều trên R của các mô đun A, B và được kí hiệu là: ExtRn ( A, B ) hay Ext n ( A, B ) . 1.5.2. Định lý Nếu A là mô đun trái xạ ảnh (tương ứng: B là mô đun trái nội xạ) thì ta có ngay Ext n ( A, B ) = 0 với mọi n ∈ N và mọi mô đun trái B (tương ứng: mọi 9 mô đun trái A) [1, Định lý 1&2, tr. 163]. 1.5.3. Định lý Với mọi mô đun trái A với mọi dãy khớp ngắn các mô đun trái f g 0 → B′  → B  → B′′ → 0 . Ta có dãy khớp ( ) ( ) δ → Hom ( A, B )  → Hom ( A, B′′ )  → Ext1 ( A, B′ ) → 0 → Hom ( A, B′ )  Hom i , f Hom i , g f g δ → Ext n ( A, B )  → Ext n ( A, B′′ )  → Ext n+1 ( A, B′ ) → ... ... → Ext n ( A, B′ )  * * Tương tự , ([1], Định lý 6, tr 168) nếu B là mô đun trái và mọi dãy khớp f g ngắn các mô đun trái 0 → A′  → A  → A′′ → 0 thì ta có dãy khớp Hom( g ,i ) Hom( f ,i ) δ → Hom ( A, B )  → Hom ( A′, B )  → Ext1 ( A′′, B ) → 0 → Hom ( A′′, B )  g f δ → Ext n ( A, B )  → Ext n ( A′, B )  → Ext n+1 ( A′′, B ) → ... ... → Ext n ( A′′, B )  * * [1, Định lý 5, tr. 168]. 1.5.4. Mệnh đề f g Cho A,B là các mô đun trái và 0 → M  → P  → A → 0 là một dãy khớp ngắn,trong đó P là mô đun xạ ảnh. Khi đó Ext1 ( A, B ) ≅ Hom ( M , B ) Im ( Hom ( f , iB ) ) . 1.5.5. Hệ quả Với giả thiết như trong Mệnh đề 1.5.4, ta có Ext1 ( A, B ) ≅ Ext ( A, B ) nhờ đẳng cấu ϕ : ( Hom ( M , B ) Im ( Hom ( f , i ) ) → Ext ( A, B ) ) Định bởi ϕ α + Im ( Hom ( f , i ) ) = α [ E ] với mọi α ∈ Hom ( M , B ) . 1.5.6. Định lý Cho A là mô đun trái. Khi đó các khẳng định sau là tương đương : i. A là xạ ảnh. 10 ii. Ext1 ( A, B ) = 0 với mọi mô đun trái B. iii. Ext n ( A, B ) = 0 với mọi n > 0 và với mọi mô đun trái B [2, tr. 69]. 1.6. Hệ xạ ảnh 1.6.1. Định nghĩa I được gọi là một tập định hướng bên phải khi, với mỗi cặp phần tử ( α, β ) thuộc I, tồn tại phần tử γ ∈ I mà γ ≥ α và γ ≥ β . 1.6.2. Định nghĩa { Aα } , α ∈ I ( α, β ) thuộc là một họ các R-mô đun với I là tập định hướng. Với mỗi I, α ≤ β , f αβ là R-đồng cấu từ Aβ vào Aα . Giả sử f αβ thỏa mãn điều kiện: i. Với mỗi α ∈ I , f αα là tự đồng cấu. ii. Nếu có α ≤ β ≤ γ thì f αγ = f αβ fβγ . Ta gọi { Aα , f αβ } là một hệ xạ ảnh của R-mô đun trên I. Nếu { Aα , f αβ } và {Bα , g αβ } là các hệ xạ ảnh, cấu xạ từ { Aα , f αβ } vào {B , g } là một họ các R-đồng cấu {u } của A α α α αβ vào Bα , cho α ≤ β , ta có sơ đồ giao hoán Aα ← Aβ f αβ uβ uα Bα ← Bβ f αβ Dễ thấy hệ xạ ảnh I (I cố định) với cấu xạ trên là giao hoán. 1.6.3. Định nghĩa Ta có dãy sau { A , f }  { } →{ B , g }  { } →{C , h } α αβ là khớp khi và chỉ khi uα α αβ vα α αβ 11 1. Aα  → Bα  → Cα uα vα là dãy khớp, với mỗi α ∈ I . 1.6.4. Định nghĩa Cho { Aα , f αβ } là một hệ xạ ảnh của R-mô đun trên tập định hướng I. Giới hạn ngược là limA  α và một họ các đồng cấu chiếu ( uα : lim  Aα → Aα )α∈I thỏa: i. f αβuβ = uα khi α < β . ii. Với mỗi R-mô đun M và với mọi đồng cấu ψ α : M → Aα thỏa mãn f αβψβ =ψ α với α < β , tồn tại duy nhất đồng cấu θ : M → lim  Aα sao cho uα θ = ψ α . 1.6.5. Mệnh đề Giới hạn ngược của bất kì hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } các R-mô đun trái trên tập chỉ số định hướng I là tồn tại. Tất nhiên, giới hạn ngược là một hàm tử khớp trái. 1.6.6. Mệnh đề Nếu { Aα , f αβ } là hệ xạ ảnh của R-mô đun trái, ta có đẳng cấu tự nhiên Hom ( M ,lim  Aα )  lim Hom ( M , Aα ) với mọi R-mô đun trái M. 1.6.7. Định nghĩa Cho { Aα } , α ∈ I là một họ các R-mô đun với I là một tập định hướng. Với mỗi ( α, β ) thuộc I, α ≤ β , g αβ là R-đồng cấu từ Aα vào Aβ . Giả sử g αβ thỏa mãn điều kiện: i. Với mỗi α ∈ I , g αα là tự đồng cấu. ii. Nếu có α ≤ β ≤ γ thì g αg = gβg g αβ . 12 Ta gọi { Aα , g αβ } là một hệ cảm ứng của R-mô đun trên tập chỉ số I. 1.6.8. Định nghĩa Cho { Aα , g αβ } là một hệ cảm ứng của R-mô đun trên tập định hướng I. Giới hạn trực tiếp là limA  α và một họ các đồng cấu nhúng ( vα : Aα → lim  Aα )α∈I i. thỏa: vβ g αβ = vα khi α < β . ii. Với mỗi R-mô đun M và với mọi đồng cấu ψ α : Aα → M thỏa mãn ψβ g αβ = ψ α với α < β , tồn tại duy nhất đồng cấu θ : limA  α → M sao cho θvα = ψα . 1.6.9. Mệnh đề Giới hạn trực tiếp của bất kì hệ xạ ảnh { Aα , g αβ } các R-mô đun trái trên tập chỉ số định hướng I là tồn tại [3, tr. 239]. 1.6.10. Mệnh đề Nếu {A , g } α αβ là hệ cảm ứng của R-mô đun trái, ta có đẳng cấu Hom ( lim  Aα , M ) ≅ lim Hom ( Aα , M ) với mọi R-mô đun trái M [3, tr. 240] 13 Chương 2. TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC 2.1. Hàm tử lim  2.1.1. Định nghĩa Với mỗi hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } , T { Aα , f αβ } là mô đun con của mô đun tích ∏A α α∈I {a } được tạo thành bởi các phần tử a , a a = f aβ aβ với mỗi ( α, β ) ∈ I , α ≤ β . 2.1.2. Định nghĩa Nếu {uα } là một họ các R-đồng cấu từ { Aα , f αβ } vào {Bα , g αβ } , T {uα } ({ } ) là R-đồng cấu xác định bởi T {uaaa } a a = {u a } . T được gọi là hàm tử giới hạn xạ ảnh, kí hiệu T { Aα , f αβ } = lim  uα .  Aα hay T {uα } = lim I I 2.1.3. Định nghĩa { } Cho A α , f αβ là một hệ xạ ảnh và { } { } là một phép giải của {A , f } ; hàm tử dẫn xuất R T được định nghĩa 0 1 (0) (1) → Qα( ) , pαβ → ... (1) 0 → { Aα , f αβ } → Qα( ) , pαβ α n αβ R nT { Aα , f αβ } = H n ( lim  {Qα , pα } ) { } Ta thấy R nT chỉ phụ thuộc vào A α , f αβ . Nếu {uα } là một cấu xạ từ {A , f } đến {B , g } , R T {u } được xác định hiển nhiên. α αβ α n αβ α ( ) n Nếu không có sự nhầm lẫn, ta viết lim  Aα để chỉ R T { Aα , f αβ } . n Từ đó, nếu 0 → { Aα , f αβ } → { Bα , g αβ } → {Cα , hαβ } → 0 là dãy khớp, ta có dãy sau khớp 14 () () 0 → lim  Aα → lim Bα → lim Cα → lim  Aα → lim  Bα → ... 1 1 ( ) ( ) ( ( ) → lim  Aα → lim  Bα → lim  Cα → lim  n n n n +1) Aα → ... (2) 2.1.4. Định nghĩa { } Hệ xạ ảnh A α , f αβ được gọi mà mềm nếu với mỗi đồng cấu chính tắc lim  Aα → lim  Aα là toàn ánh với mọi J ⊆ I . I J 2.1.5. Mệnh đề Mọi hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } có thể nhúng vào một hệ xạ ảnh mềm. Chứng minh : Mô đun Bα = ∏ Aα0 với phép chiếu là một hệ xạ ảnh, Bα là xạ ảnh mềm. α 0 ≤α { } : A → B , g ( a ) = f 0 a , a0 ≤ a xác định phép Hơn nữa, đồng cấu g aaaaaaaaa nhúng của { Aα , f αβ } vào hệ xạ ảnh tạo bởi Bα .  2.1.6. Hệ quả Nếu hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } là một vật nội xạ trong phạm trù các hệ xạ ảnh thì { Aα , f αβ } là mềm. Chứng minh : Theo Mệnh đề 2.1.5, { Aα , f αβ } là hệ con của hệ xạ ảnh mềm. Từ { A , f } là nội xạ, nên là nhân tử trực tiếp của một hệ xạ ảnh mềm, do đó α αβ { A , f } là hệ xạ ảnh mềm. α αβ 2.1.7. Định nghĩa Một tập con U ⊆ I là mở nếu U chứa bất kỳ phần tử α thì U chứa tất cả phần tử trước α 15 2.1.8. Bổ đề Cho hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } , các điều kiện sau là tương đương : i. Với mỗi tập định hướng J ⊂ I , đồng cấu chính tắc lim Aα → lim Aα là ←  I ←  J toàn ánh. ii. Với mỗi U ⊂ I là tập mở định hướng, đồng cấu chính tắc lim Aα → lim Aα là toàn ánh. ←  I ←  U Chứng minh : Hiển nhiên ta có i → ii . Hơn nữa, tập hợp con định hướng J được chứa trong một tập mở tối tiểu U. U chứa các phần tử của J do đó U là tập định hướng và mỗi phần tử thuộc J đều thuộc U, vậy ta có ii → i .  2.1.9. Định nghĩa Ta nói rằng một hệ xạ ảnh là cận mềm nếu thỏa các điều kiện tương đương của Bổ đề 2.1.8. Rõ ràng một hệ mềm là cận mềm, điều ngược lại nói chung không đúng. Bổ đề sau đây là một hệ quả trực tiếp từ định nghĩa của một hệ cận mềm. 2.1.10. Bổ đề Nếu một hệ xạ ảnh là cận mềm thì thu hẹp của nó tới bất kì tập hợp con định hướng nào của I cũng là cận mềm. 2.1.11. Định nghĩa Một thứ tự λ là tự số giới hạn khi và chỉ khi tồn tại thứ tự nhỏ hơn λ, và ∀β < λ, ∃γ thỏa β <γ <λ. 2.1.12. Định nghĩa Cho X là không gian tôpô, C là phạm trù các nhóm Aben. Một cậnbó F trên X là một hàm với giá trị trong C được cho bởi: i.Với mỗi tập mở U của X, có một tương ứng với F(U) trong C. ii. Với mỗi bao hàm tập hợp V ⊆ U, tương ứng với một cấu xạ thu 16 hẹp : F(U) → F(V) trong C. Nếu F là một cận-bó trên X, và U là một tập mở của X, thì F(U) được gọi là phần của F trên U. Một phần trên X được gọi là phần toàn cục. 2.1.13. Mệnh đề Cho 0 → {A α , f αβ }  {vα } →{Cα , hαβ } → 0 {uα } →{ Bα , g αβ }  là dãy khớp các hệ xạ ảnh. Nếu {A α , f αβ } là cận mềm, thì → lim → lim 0 → limA  α  Bα  Cα → 0 (*) lim lim uα vα Là khớp. Chứng minh : Ta có giới hạn ngược là một hàm tử khớp trái, từ đó ta có limv  α là toàn ánh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Nếu I là hữu hạn,ta có (*) hiển nhiên là dãy khớp. Giả sử nếu I vô hạn, và giả sử bổ đề đúng với bất kì tập hợp các chỉ số (thứ tự và định hướng ). I có thể được biểu diễn bởi hợp của một họ sắp thứ tự tốt I µ , µ ∈ Ω , Ω có thứ tự, định hướng, có bậc nhỏ hơn x sao cho mỗi giới hạn v , thì= Iv I µ ,µ ⊂ ν . Cho s là bất kì trong {Cα , hαβ } . Do Bổ đề 2.1.10 và giả thiết quy nạp, các thu hẹp sµ của s tới I µ là một phần tµ của {Bα } . Để chứng minh limv  α toàn ánh, ta chứng minh có thể chọn tµ , µ ∈ Ω sao cho tµ là thu hẹp của tv với mỗi cặp µ, v : µ < v , tức là để tµ , µ ∈ Ω là phần của {Bα , g αβ } trên I. Theo giả thiết quy nạp, với v ∈ Ω , có tµ thuộc {Bα } , µ < v để tλ là thu hẹp của tµ với λ < µ . Ta sẽ chỉ ra rằng có thể tìm được tv thu hẹp đến tµ , với µ < v