Tài liệu Một số tính chất cơ bản của mảng các biến ngẫu nhiên

Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o Tr­êng §¹i Häc Vinh NguyÔn §«n MétsètÝnhchÊtc¬b¶ncña m¶ngc¸cbiÕnngÉunhiªn LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc NghÖ An - 2014 Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o Tr­êng §¹i Häc Vinh NguyÔn §«n MétsètÝnhchÊtc¬b¶ncña m¶ngc¸cbiÕnngÉunhiªn Chuyªn ngµnh: Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ Thèng kª to¸n häc M· sè: 60.46.15 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: GS.TS. NguyÔn V¨n Qu¶ng NghÖ An - 2014 i Më ®Çu Lý thuyÕt x¸c suÊt lµ mét bé phËn cña to¸n häc nghiªn cøu c¸c hiÖn t­îng ngÉu nhiªn nh»m t×m ra nh÷ng quy luËt trong nh÷ng hiÖn t­îng t­ëng chõng nh­ kh«ng cã quy luËt. Lý thuyÕt x¸c suÊt ra ®êi vµo nöa cuèi thÕ kØ 17 ë Ph¸p. Ngµy nay, lý thuyÕt x¸c suÊt ®· ph¸t triÓn m¹nh mÏ, cã c¬ së lý thuyÕt chÆt chÏ vµ cã nhiÒu øng dông trong ®êi sèng cña con ng­êi, tõ ©m nh¹c ®Õn vËt lý, tõ v¨n häc tíi thèng kª x· héi, tõ c¬ häc tíi thÞ tr­êng chøng kho¸n, tõ dù b¸o thêi tiÕt ®Õn kinh tÕ, tõ n«ng häc ®Õn y häc... M¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn lµ mét h­íng nghiªn cøu cña Lý thuyÕt x¸c suÊt ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m nghiªn cøu vµ ®· cã nhiÒu øng dông trong thèng kª, kinh tÕ.... ChÝnh v× vËy viÖc nghiªn cøu m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh«ng chØ cã ý nghÜa lý thuyÕt mµ cßn cã ý nghÜa thùc tiÔn to lín. §èi víi m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn, cÊu tróc nhiÒu chiÒu cña c¸c chØ sè lµm n¶y sinh nhiÒu vÊn ®Ò. Trªn tËp c¸c chØ sè ®ã, quan hÖ thø tù th«ng th­êng kh«ng cã tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh; ta cã thÓ x©y dùng c¸c quan hÖ thø tù kh¸c nhau; c¸c d¹ng héi tô cã thÓ ®­îc xÐt khi max hoÆc min c¸c to¹ ®é tiÕn tíi v« cïng. C¸c ®Æc ®iÓm ®ã gãp phÇn t¹o nªn tÝnh ®a d¹ng cña c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ tÝnh chÊt cña m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn. Trong nh÷ng thËp niªn gÇn ®©y, nhiÒu t¸c gi¶ nh­ Smythe, Gut, Stadtmuller, Hwang, Volodin, Czerebak-Mrozowicz, Klesov... ®· thu ®­îc nhiÒu kÕt qu¶ quan träng khi nghiªn cøu vÒ m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn. 1 Trong n­íc, m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn còng ®­îc nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m nghiªn cøu vµ ®· thu ®­îc nhiÒu kÕt qu¶ quan träng nh­ c¸c kÕt qu¶ cña GS.TSKH NguyÔn Duy TiÕn, GS.TS. NguyÔn V¨n Qu¶ng, TS. NguyÔn V¨n Hïng, TS. Lª V¨n Thµnh...HiÖn nay m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn vÉn ®ang lµ vÊn ®Ò cã tÝnh thêi sù cña Lý thuyÕt x¸c suÊt. Víi nh÷ng lý do ®ã chóng t«i quyÕt ®Þnh chän ®Ò tµi nghiªn cøu cho luËn v¨n cña m×nh lµ:" Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña m¶ng c¸c biÕn cè vµ m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn". Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña m¶ng c¸c biÕn cè vµ m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn, lµm s¸ng tá vµ phong phó thªm c¸c kÕt qu¶ vÒ m¶ng c¸c biÕn cè vµ m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn. LuËn v¨n sÏ tËp trung tr×nh bµy vÒ viÖc më réng mét sè kÕt qu¶ vÒ d·y c¸c biÕn cè vµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn cho m¶ng c¸c biÕn cè vµ m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn. C¸c vÊn ®Ò mµ chóng t«i sÏ ®Ò cËp ®Õn lµ: Bæ ®Ò Borel-Cantelli cho m¶ng c¸c biÕn cè; mét sè d¹ng héi tô cña m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn; c¸c ®Þnh lý héi tô ®èi víi m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn. Néi dung cña luËn v¨n ®­îc tr×nh bµy trong hai ch­¬ng. Trong ch­¬ng 1, chóng t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ së cña lý thuyÕt x¸c suÊt, cÇn thiÕt cho viÖc nghiªn cøu ch­¬ng sau. Ch­¬ng 2 lµ néi dung chÝnh cña luËn v¨n. Trong ch­¬ng nµy, tr­íc hÕt chóng t«i nghiªn cøu vÒ sù héi tô cña m¶ng vµ chuçi c¸c sè. TiÕp theo, chóng t«i tr×nh bµy vÒ Bæ ®Ò Borel-Cantelli ®èi víi m¶ng c¸c biÕn cè vµ c¸c d¹ng héi tô cña m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn, ®ång thêi nghiªn cøu mçi quan hÖ gi÷a c¸c d¹ng héi tô ®ã. Cuèi cïng, chóng t«i thiÕt lËp c¸c tÝnh chÊt cña giíi h¹n cña m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn (Bæ ®Ò Fatou; §Þnh lý héi tô bÞ chÆn Lebesgue). Khi nghiªn cøu sù héi tô cña m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn hai tr­êng hîp (Xmn ; m > 1, n > 1), chóng t«i xÐt c¶ max(m, n) → ∞ vµ min(m, n) → ∞. 2 LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn cña GS. TS. NguyÔn V¨n Qu¶ng. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt tíi ThÇy v× sù ®Þnh h­íng vµ sù gîi më vÊn ®Ò cña ThÇy trong nghiªn cøu, sù nghiªm kh¾c cña ThÇy trong häc tËp vµ sù quan t©m cña ThÇy dµnh cho t¸c gi¶ trong cuéc sèng. T¸c gi¶ xin göi lêi c¶m ¬n tíi khoa To¸n, Phßng Sau ®¹i häc, Tr­êng §¹i Häc Vinh, n¬i t¸c gi¶ häc tËp vµ nghiªn cøu. T¸c gi¶ xin göi lêi c¶m ¬n tíi c¸c ThÇy, C« ë bé m«n X¸c suÊt vµ thèng kª Tr­êng §¹i Häc Vinh, ®· gióp ®ì t¸c gi¶ rÊt nhiÒu trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n. Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n, t¸c gi¶ nhËn ®­îc sù quan t©m gióp ®ì vµ gãp ý cña TS. Lª V¨n Thµnh, TS. NguyÔn ThÞ ThÕ, TS. NguyÔn Thanh DiÖu, Th¹c Sü D­¬ng Xu©n Gi¸p...T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n ThÇy Lª V¨n Thµnh vµ ThÇy D­¬ng Xu©n Gi¸p vÒ nhiÒu sù gióp ®ì quý b¸u. T¸c gi¶ xin göi lêi c¶m ¬n tíi tÊt c¶ thÇy c«, b¹n bÌ vµ gia ®×nh ®· gãp ý, ñng hé vµ ®éng viªn t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n. MÆc dï ®· cã nhiÒu cè g¾ng, song luËn v¨n kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt. T¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®­îc nh÷ng lêi chØ b¶o, nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña quý thÇy c« vµ b¹n ®äc ®Ó luËn v¨n ®­îc hoµn thiÖn h¬n. NghÖ An, ngµy 20 th¸ng 10 n¨m 2014 T¸c gi¶ 3 Ch­¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 BiÕn cè vµ x¸c suÊt 1.1.1 Kh«ng gian x¸c suÊt Gi¶ sö Khi ®ã, cÆp Ω lµ mét tËp tuú ý kh¸c rçng, F lµ mét σ -®¹i sè c¸c tËp con cña Ω. (Ω, F) ®­îc gäi lµ mét kh«ng gian ®o. Gi¶ sö (Ω, F) lµ mét kh«ng gian ®o. ®é ®o x¸c suÊt trªn F Mét ¸nh x¹ P : F → R ®­îc gäi lµ nÕu (i) P(A) > 0 víi ∀A ∈ F (tÝnh kh«ng ©m); (ii) P(Ω) = 1 (tÝnh chuÈn ho¸); (iii) NÕu An ∈ F (n = 1, 2, 3, . . . ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i 6= j) P ∞ P(∪∞ n=1 An ) = n=1 P(An ) (tÝnh céng tÝnh ®Õm ®­îc). th× C¸c ®iÒu kiÖn (i)-(iii) ®­îc gäi lµ hÖ tiªn ®Ò Kolmogorov vÒ x¸c suÊt. Bé ba (Ω, F, P) ®­îc gäi lµ kh«ng gian x¸c suÊt. TËp Ω ®­îc gäi lµ kh«ng gian biÕn cè s¬ cÊp (kh«ng gian BCSC). σ - ®¹i sè F ®­îc gäi lµ Mçi ®­îc gäi lµ mét biÕn cè. A∈F σ - ®¹i sè c¸c biÕn cè. BiÕn cè Ω∈F gäi lµ biÕn cè ch¾c ch¾n. BiÕn cè ∅∈F gäi lµ biÕn cè kh«ng thÓ cã. BiÕn cè A = Ω\A ®­îc gäi lµ biÕn cè ®èi lËp cña biÕn 4 cè A. NÕu A ∩ B = AB = ∅ th× A, B Kh«ng gian x¸c suÊt ®­îc gäi lµ c¸c biÕn cè xung kh¾c. (Ω, F, P) gäi lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ nÕu mäi tËp con cña biÕn cè cã x¸c suÊt kh«ng ®Òu lµ biÕn cè. §Ó ®¬n gi¶n, tõ nay vÒ sau, khi nãi ®Õn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, F, P), ta lu«n xem ®ã lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ. Chó ý. §iÒu kiÖn (ii) trong ®Þnh nghÜa trªn ®¶m b¶o r»ng biÕn cè ch¾c ch¾n cã x¸c suÊt b»ng 1. Tuy nhiªn, cã nh÷ng biÕn cè cã x¸c suÊt b»ng 1 nh­ng ch­a ch¾c ®· lµ biÕn cè ch¾c ch¾n. Nh÷ng biÕn cè nh­ vËy gäi lµ biÕn cè hÇu ch¾c ch¾n. 1.1.2 C¸c tÝnh chÊt cña x¸c suÊt Gi¶ sö A, B, C, . . . lµ nh÷ng biÕn cè. Khi ®ã, x¸c suÊt cña chóng cã c¸c tÝnh chÊt sau: 1. P(∅) = 0. 2. NÕu 3. AB = ∅ th× P(A ∪ B) = P(A) + P(B). P(A) = 1 − P(A). 4. NÕu A⊂B th× P(B\A) = P(B) − P(A) vµ do ®ã P(A) 6 P(B). 5. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB). Sn Pn P P 6. P( k=1 Ak ) = P(A )− P(A A )+ k k i k=1 16k 1) lµ d·y ®¬n ®iÖu t¨ng, A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ . . . , th× tån t¹i lim P(An ) = P( n→∞ (ii) NÕu (An , n > 1) ∞ [ An ). n=1 lµ d·y ®¬n ®iÖu gi¶m, 5 A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ . . . , th× tån t¹i lim P(An ) = P( n→∞ ∞ \ An ). n=1 1.1.3 X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (Ω, F, P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt. A, B ∈ F , P(A) > 0. Khi ®ã sè P(B/A) = P(AB) P(A) ®­îc gäi lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè B (1.1) ®èi víi biÕn cè A. TÝnh chÊt 1. P(B/A) > 0. 2. NÕu B ⊃ A th× P(B/A) = 1, ®Æc biÖt P(Ω/A) = 1. 3. NÕu (Bn ) lµ d·y c¸c biÕn cè ®«i mét xung kh¾c th× P( ∞ [ ∞ X Bn /A) = n=1 Tõ c¸c tÝnh chÊt 1−3 P(Bn /A). n=1 suy ra r»ng nÕu A lµ mét biÕn cè, P(A) > 0 th× ¸nh x¹ PA : F → R x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc PA (B) = P(B/A) (∀B ∈ F) còng lµ x¸c suÊt trªn F . Do ®ã PA 4. ( Quy t¾c nh©n). Gi¶ sö cã ®Çy ®ñ c¸c tÝnh chÊt cña ®é ®o x¸c suÊt. A1 , A2 , ..., An (n > 2), lµ n biÕn cè bÊt k× sao cho P(A1 A2 ...An−1 ) > 0. Khi ®ã P(A1 A2 ...An ) = P(A1 )P(A2 /A1 )...P(An /A1 ...An−1 ). 1.1.4 TÝnh ®éc lËp cña c¸c biÕn cè 6 (1.2) Gi¶ sö (Ω, F, P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt. §Þnh nghÜa 1. Hai biÕn cè A vµ B ®­îc gäi lµ ®éc lËp nÕu P(AB) = P(A)P(B). TÝnh chÊt 1. Gi¶ sö P(A) > 0, P(B) > 0. Khi ®ã A, B ®éc lËp khi vµ chØ khi P(A/B) = P(A) hoÆc P(B/A) = P(B). 2. Hai biÕn cè A vµ B ®éc lËp khi vµ chØ khi mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau tho¶ m·n (i) A, B ®éc lËp; (ii) A, B ®éc lËp; (iii) A, B ®éc lËp. D­íi ®©y sÏ tr×nh bµy kh¸i niÖm ®éc lËp cña mét hä biÕn cè. §Þnh nghÜa 2. Hä c¸c biÕn cè (Ai )i∈I ®­îc gäi lµ ®éc lËp ®«i mét nÕu hai biÕn cè bÊt kú cña hä ®Òu ®éc lËp. Hä c¸c biÕn cè lËp), (Ai )i∈I ®­îc gäi lµ ®éc lËp toµn côc (gäi v¾n t¾t lµ ®éc nÕu ®èi víi mäi hä h÷u h¹n c¸c biÕn cè Ai1 , Ai2 , . . . , Ain cña hä ®ã, ta ®Òu cã P(Ai1 Ai2 . . . Ain ) = P(Ai1 )P(Ai2 )...P(Ain ). Mét hä ®éc lËp th× ®éc lËp ®«i mét. Tuy nhiªn ®iÒu ng­îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng. §èi víi d·y c¸c biÕn cè, ta cã tÝnh chÊt quan träng sau ®©y, gäi lµ Bæ ®Ò Borel-Cantelli. §Þnh lý. (Bæ ®Ò Borel-Cantelli). Gi¶ sö (An , n > 1) lµ d·y c¸c biÕn cè. Khi ®ã P∞ n=1 P(An ) < ∞ th× P(lim sup An ) = 0. P∞ (ii) NÕu n=1 P(An ) = ∞ vµ (An , n > 1) ®éc lËp th× (i) NÕu 7 P(lim sup An ) = 1. Trong ®ã lim sup An = ∞ [ ∞ \ Ak . n=1 k=n Tõ ®Þnh lý trªn, cã thÓ suy ra ngay hÖ qu¶ sau ®©y HÖ qu¶. (LuËt Borel-Cantelli). NÕu 0−1 (An , n > 1) lµ d·y biÕn cè ®éc lËp, P(lim sup An ) chØ cã thÓ nhËn mét trong hai gi¸ trÞ 0 hoÆc 1 tïy theo chuçi P∞ n=1 P(An ) héi tô hay ph©n kú. th× ¸nh 1.2 1.2.1 x¹ ®o ®­îc vµ biÕn ngÉu nhiªn ¸nh x¹ ®o ®­îc §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (Ω1 , F1 ) vµ (Ω2 , F2 ) lµ hai kh«ng gian ®o. ¸nh x¹ X : Ω1 −→ Ω2 gäi lµ ¸nh x¹ F1 /F2 ®o ®­îc nÕu víi mäi B ∈ F2 th× X −1 (B) ∈ F1 . TÝnh chÊt 1. Gi¶ sö F1 , G1 c¸c tËp con cña F1 /F2 Ω2 . ®o ®­îc th× lµ hai σ -®¹i sè c¸c tËp con cña Ω1 , F2 , G2 Khi ®ã, nÕu X lµ ¸nh x¹ F1 ⊂ G1 , G2 ⊂ F2 G1 /G2 vµ lµ hai X : Ω 1 → Ω2 σ -®¹i sè lµ ¸nh x¹ ®o ®­îc. 2. Gi¶ sö X : Ω1 → Ω2 lµ ¸nh x¹ F1 /F2 ®o ®­îc, Y : Ω2 → Ω3 lµ ¸nh x¹ F2 /F3 ®o ®­îc. Khi ®ã Y ◦ X : Ω1 → Ω3 lµ ¸nh x¹ F1 /F3 3. Gi¶ sö F2 = σ(C). Khi ®ã ¸nh x¹ X : Ω1 → Ω2 vµ chØ khi X −1 (C) ∈ F1 HÖ qu¶. Gi¶ sö Ω2 víi mäi lµ ®o ®­îc. F1 /F2 ®o ®­îc khi C ∈ C. (Ω1 , τ1 ), (Ω1 , τ1 ), lµ c¸c kh«ng gian t«p«, ¸nh x¹ X : Ω1 → liªn tôc. Khi ®ã X lµ ¸nh x¹ B(Ω1 )/B(Ω2 ) ®o ®­îc. 1.2.2 BiÕn ngÉu nhiªn §Þnh nghÜa. Gi¶ sö ®¹i sè F. (Ω, F, P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, G Khi ®ã ¸nh x¹ nÕu nã lµ ¸nh x¹ X :Ω→R lµ σ - ®¹i sè con cña σ - ®­îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn G- ®o ®­îc G/B(R) ®o ®­îc (tøc lµ víi mäi B ∈ B(R) th× X −1 (B) ∈ G ). NÕu biÕn ngÉu nhiªn X chØ nhËn h÷u h¹n gi¸ trÞ, th× nã ®­îc gäi lµ biÕn 8 ngÉu nhiªn ®¬n gi¶n. Trong tr­êng hîp ®Æc biÖt, khi X lµ biÕn ngÉu nhiªn F- ®o ®­îc, th× X ®­îc gäi mét c¸ch ®¬n gi¶n lµ biÕn ngÉu nhiªn. HiÓn nhiªn, biÕn ngÉu nhiªn thÊy r»ng nÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn th× hä σ(X) = lËp thµnh mét bëi G - ®o ®­îc lµ biÕn ngÉu nhiªn. MÆt kh¸c, dÔ −1 σ - ®¹i sè con cña σ - ®¹i sè F , σ - ®¹i sè nµy gäi lµ σ - ®¹i sè sinh X . §ã lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt mµ X nhiªn (B) : B ∈ B(R) ®o ®­îc. Tõ ®ã suy ra r»ng X lµ biÕn ngÉu G - ®o ®­îc khi vµ chØ khi σ(X) ⊂ G . BiÕn ngÉu nhiªn cßn ®­îc gäi lµ ®¹i l­îng ngÉu nhiªn. TÝnh chÊt §Þnh lý 1. X lµ biÕn ngÉu nhiªn khi vµ chØ khi mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y tho¶ m·n (i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F víi mäi a ∈ R. (ii) (X 6 a) := (ω : X(ω) 6 a) ∈ F víi mäi a ∈ R. (iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F víi mäi a ∈ R. (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F víi mäi a ∈ R. (iv) §Þnh lý 2. Gi¶ sö trªn X1 , X2 , ..., Xn (Ω, F, P), f : Rn −→ R lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn cïng x¸c ®Þnh lµ hµm ®o ®­îc (tøc f lµ B(Rn )/B(R) ®o ®­îc). Khi ®ã Y = f (X1 , ..., Xn ) : Ω −→ R ω 7→ f (X1 (ω), ..., Xn (ω)) lµ biÕn ngÉu nhiªn. HÖ qu¶. Gi¶ sö X, Y lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn cïng x¸c ®Þnh trªn (Ω, F, P ), f : R −→ R lµ hµm liªn tôc a ∈ R. Khi ®ã aX, X ± Y, XY, |X|, f (X), X + = 9 max(X, 0), X − = max(−X, 0), §Þnh lý 3. Gi¶ sö (Xn , n > 1) X Y , (Y 6= 0) ®Òu lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn. lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn cïng x¸c ®Þnh trªn (Ω, F, P). Khi ®ã, nÕu inf Xn , sup Xn h÷u h¹n, th× inf Xn , sup Xn , limXn , limXn , n lim n→∞ n n Xn (nÕu tån t¹i), ®Òu lµ biÕn ngÉu nhiªn. §Þnh lý 4. NÕu X n lµ biÕn ngÉu nhiªn kh«ng ©m th× tån t¹i d·y biÕn ngÉu nhiªn (Xn , n > 1) sao cho Xn ↑ X ®¬n gi¶n, kh«ng ©m (khi n → ∞). 1.2.3 Ph©n phèi x¸c suÊt §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (Ω, F, P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, X : Ω −→ R lµ biÕn ngÉu nhiªn. Khi ®ã hµm tËp PX : B(R) −→ R B 7→ PX (B) = P(X −1 (B)) ®­îc gäi lµ ph©n phèi x¸c suÊt cña X. TÝnh chÊt 1. PX 2. NÕu lµ ®é ®o x¸c suÊt trªn Q B(R). lµ ®é ®o x¸c suÊt trªn mét biÕn ngÉu nhiªn X B(R) th× Q lµ ph©n phèi x¸c suÊt cña nµo ®ã. Chó ý. T­¬ng øng gi÷a biÕn ngÉu nhiªn vµ ph©n phèi x¸c suÊt cña chóng kh«ng ph¶i lµ t­¬ng øng 1-1. Nh÷ng biÕn ngÉu nhiªn cã cïng ph©n phèi x¸c suÊt ®­îc gäi lµ nh÷ng biÕn ngÉu nhiªn cïng ph©n phèi. 1.2.4 Hµm ph©n phèi §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (Ω, F, P) lµ mét kh«ng gian x¸c suÊt, X : Ω −→ R lµ biÕn ngÉu nhiªn. Khi ®ã, hµm sè FX (x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) < x) ®­îc gäi lµ hµm ph©n phèi cña X.  −1  NhËn xÐt. FX (x) = P X (−∞, x) = PX [(−∞, x)]. TÝnh chÊt 10 1. 0 6 F (x) 6 1. 2. NÕu a 0), E|X| < ∞, th× X th× ta nãi X kh¶ tÝch bËc ®­îc gäi lµ biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch. TÝnh chÊt. Kú väng cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1. NÕu X > 0 th× EX > 0. 2. NÕu X=C th× EX = C . 3. NÕu tån t¹i EX th× víi mäi 4. NÕu tån t¹i EX vµ 5. NÕu EY th× C ∈ R, ta cã E(CX) = CEX. E(X ± Y ) = EX ± EY. X > 0 vµ EX = 0 th× X = 0. 11 p. §Æc biÖt, 6.  P     i xi pi nÕu X rêi r¹c nhËn c¸c gi¸ trÞ x1 , x2 , . . .   EX = víi P(X = xi ) = pi .    R +∞    −∞ xp(x)dx nÕu X liªn tôc cã hµm mËt ®é p(x). Tæng qu¸t: NÕu f : R → R lµ hµm ®o ®­îc vµ Y = f (X) th×  P     i f (xi )pi nÕu X rêi r¹c nhËn c¸c gi¸ trÞ x1 , x2 , . . .   EY = víi P(X = xi ) = pi    R +∞    −∞ f (x)p(x)dx nÕu X liªn tôc cã hµm mËt ®é p(x). 7. (§Þnh lý B. Levi vÒ héi tô ®¬n ®iÖu). NÕu tån t¹i n ®Ó EXn− < ∞ (t­¬ng øng Xn ↑ X EXn+ < ∞), th× (t­¬ng øng Xn ↓ X ) EXn ↑ EX vµ (t­¬ng øng EXn ↓ EX ). 8. (Bæ ®Ò Fatou). NÕu Xn > Y víi mäi n > 1 vµ EY > −∞ th× ElimXn 6 limEXn . NÕu Xn 6 Y víi mäi n > 1 vµ EY < +∞ th× ElimXn > limEXn . NÕu |Xn | 6 Y víi mäi n > 1 vµ EY < ∞ th× ElimXn 6 limEXn 6 limEXn 6 ElimXn . 9. (§Þnh lý Lebesgue vÒ héi tô bÞ chÆn). NÕu EY < ∞ vµ Xn → X th× X kh¶ tÝch, |Xn | 6 Y E|Xn − X| → 0 vµ víi mäi n > 1, EXn → EX (khi n → ∞). 10. (BÊt ®¼ng thøc Markov). Gi¶ sö víi mäi X lµ biÕn ngÉu nhiªn kh«ng ©m. Khi ®ã ε > 0 ta cã P(X > ε) 6 12 EX . ε 1.2.6 C¸c bÊt ®¼ng thøc moment Víi p > 0, (x¸c ®Þnh trªn ký hiÖu Lp = Lp (Ω, F, P) lµ tËp hîp c¸c biÕn ngÉu nhiªn X (Ω, F, P)) sao cho E|X|p < ∞. Khi X ∈ Lp , p > 1, ta ký hiÖu kXkp = (E|X|p )1/p . Nã ®­îc gäi lµ chuÈn bËc p cña X. Trong lý thuyÕt x¸c suÊt, c¸c bÊt ®¼ng thøc sau th­êng ®­îc sö dông. 1. BÊt ®¼ng thøc Cauchy- Bunhiakowski Gi¶ sö X, Y ∈ L2 . Khi ®ã E|XY | 6 kXk2 kY k2 (1.3) 2. BÊt ®¼ng thøc H older Gi¶ sö p, q ∈ (1; +∞) sao cho 1 p + 1 q = 1 vµ X ∈ Lp , Y ∈ Lq . Khi ®ã E|XY | 6 kXkp kY kq (1.4) 3. BÊt ®¼ng thøc Minkovski Gi¶ sö X, Y ∈ Lp , 1 6 p < ∞. Khi ®ã X + Y ∈ Lp kX + Y kp 6 kXkp + kY kp . 4. BÊt ®¼ng thøc Gi¶ sö (1.5) cr X, Y ∈ Lr , r > 0. Khi ®ã E|X + Y |r 6 cr (E|X|r + E|Y |r ), trong ®ã vµ cr = max(1, 2r−1 ) chØ phô thuéc vµo r. 5. BÊt ®¼ng thøc Jensen 13 (1.6) Gi¶ sö ϕ:R→R lµ hµm låi, X vµ ϕ(X) lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch. Khi ®ã Eϕ(X) > ϕ(EX). (1.7) 6. BÊt ®¼ng thøc Liapunov §èi víi biÕn ngÉu nhiªn X ∈ Lt bÊt kú vµ 0 < s < t, ta cã kXks 6 kXkt . NhËn xÐt. Ta nãi Râ rµng, kXkp X vµ Y (1.8) lµ hai biÕn ngÉu nhiªn t­¬ng ®­¬ng nÕu X=Y h.c.c. chØ phô thuéc vµo líp t­¬ng ®­¬ng. Do ®ã, nÕu ®ång nhÊt c¸c biÕn ngÉu nhiªn t­¬ng ®­¬ng trong Lp , p > 1, th× tõ c¸c tÝnh chÊt trªn suy ra r»ng Lp , p > 1 lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn. H¬n n÷a, ng­êi ta ®· chØ ra ®­îc r»ng Lp lµ kh«ng gian Banach. 1.2.7 TÝnh ®éc lËp cña c¸c líp vµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn §Þnh nghÜa. Gi¶ sö (Ci ⊂ F) biÕn cè (Ω, F, P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt. Hä c¸c líp biÕn cè (Ci )i∈I ®­îc gäi lµ ®éc lËp (®éc lËp ®«i mét) nÕu víi mäi (Ai )i∈I hä c¸c ®éc lËp (®éc lËp ®«i mét). Hä c¸c biÕn ngÉu nhiªn hä Ai ∈ Ci , σ -®¹i sè (σ(Xi ))i∈I (Xi )i∈I ®­îc gäi lµ ®éc lËp (®éc lËp ®«i mét) nÕu ®éc lËp (®éc lËp ®«i mét). TÝnh chÊt 1. Hä con bÊt k× cña hä c¸c líp (c¸c biÕn ngÉu nhiªn) ®éc lËp lµ ®éc lËp. 2. Hä c¸c líp con cña mét hä ®éc lËp còng lµ hä ®éc lËp. 3. Hä c¸c líp (c¸c biÕn ngÉu nhiªn) lµ hä ®éc lËp khi vµ chØ khi mäi hä con h÷u h¹n cña nã ®éc lËp. 4. Gi¶ sö (Xi )i∈I lµ hä c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, ®o ®­îc. Khi ®ã hä
fi (Xi ) i∈I fi : R → R(i ∈ I) lµ hµm ®éc lËp. 5. Gi¶ sö (Xi )i∈I lµ hä c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, I1 ⊂ I, I2 ⊂ I, I1 ∩I2 = ∅.



Khi ®ã σ (Xi )i∈I1 vµ σ (Xi )i∈I2 ®éc lËp (trong ®ã σ (Xi )i∈I1 vµ σ (Xi )i∈I2 14 σ - ®¹i sè bÐ nhÊt chøa t­¬ng øng lµ c¸c 6. D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn S i∈I1 σ(Xi ) vµ S i∈I2 σ(Xi )). (Xn , n > 1) ®éc lËp khi vµ chØ khi, víi mäi n > 1, σ(Xk , 1 6 k 6 n) vµ σ(Xk , k > n + 1) ®éc lËp . 7. NÕu X Y vµ lµ hai biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp th× E(XY ) = EXEY. X1 , X2 , . . . , Xn Tæng qu¸t. NÕu lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp th× E(X1 X2 . . . Xn ) = EX1 EX2 . . . EXn . 8. NÕu X vµ Y lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp th× Tæng qu¸t: NÕu X1 , X2 , ..., Xn D(X ± Y ) = DX + DY . lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp ®«i mét th× D(X1 + · · · + Xn ) = DX1 + · · · + DXn . 1.3 C¸c d¹ng héi tô 1.3.1 §Þnh nghÜa. Gi¶ sö suÊt {X, Xn , n > 1} lµ hä biÕn ngÉu nhiªn cïng x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian x¸c (Ω, F, P). Ta nãi: • t¹i tËp D·y {Xn , n > 1} héi tô hÇu ch¾c ch¾n ®Õn X khi n → ∞ nÕu tån Xn (ω) → X(ω) khi n → ∞ víi mäi sao cho P(N ) = 0 vµ Xn → X h. c. c. hoÆc Xn −−−→ X N ∈ F ω ∈ Ω\N . Ký hiÖu • D·y {Xn , n > 1} héi th× ∞ X h. c. c. tô ®Çy ®ñ ®Õn X khi khi n → ∞ nÕu víi mäi ε > 0 P(|Xn − X| > ε) < ∞. n=1 15 n → ∞. Ký hiÖu c Xn → − X khi n → ∞. • D·y {Xn , n > 1} héi tô theo x¸c suÊt ®Õn X khi n → ∞ nÕu víi mäi ε > 0 th× lim P(|Xn − X| > ε) = 0. n→∞ Ký hiÖu P Xn −→ X khi n → ∞. • D·y {Xn , n > 1} héi tô theo trung b×nh cÊp p > 0 ®Õn X nÕu n→∞ X, Xn (n > 1) kh¶ tÝch bËc p vµ lim E|Xn − X|p = 0. n→∞ Ký hiÖu Lp Xn −→ X khi n → ∞. • D·y {Xn , n > 1} theo ph©n phèi (héi tô yÕu) ®Õn X lim Fn (x) = F (x) víi mäi n→∞ Trong ®ã Xn khi vµ vµ Fn (x) F (x) khi n → ∞ nÕu x ∈ C(F ). t­¬ng øng lµ hµm ph©n phèi cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn X , C(F ) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm mµ t¹i ®ã F (x) liªn tôc. Ký hiÖu D → X. Xn − Héi tô hÇu ch¾c ch¾n cßn ®­îc gäi lµ héi tô víi x¸c suÊt 1, héi tô theo trung b×nh cÊp p cßn ®­îc gäi lµ héi tô trong Lp . 1.3.2 TÝnh chÊt §Þnh lý 1. h.c.c Xn −−→ X khi vµ chØ khi víi mäi ε>0 lim P(sup |Xm − X| > ε) = 0. n→∞ c m>n h.c.c HÖ qu¶ 1. NÕu Xn → − X §Þnh lý 2. NÕu Xn −−→ X §Þnh lý 3. NÕu (Xn , n > 1) lµ d·y biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp vµ Xn −−→ C h.c.c th× Xn −−→ X . hoÆc L r Xn −→ X th× P Xn − → X. h.c.c c Xn → − C. 1.3.3 D·y c¬ b¶n §Þnh nghÜa. Ta nãi d·y biÕn ngÉu nhiªn • HÇu ch¾c ch¾n (h.c.c) nÕu (Xn , n > 1) lµ d·y c¬ b¶n P( lim |Xm − Xn | = 0) = 1. m,n→∞ 16 th× • Theo x¸c suÊt nÕu • Theo trung b×nh cÊp lim P(|Xm − Xn | > ε) = 0 víi mäi ε > 0. m,n→∞ p > 0 nÕu lim E|Xm − Xn |p = 0. m,n→∞ TÝnh chÊt §Þnh lý 1. D·y (Xn , n > 1) c¬ b¶n h.c.c khi vµ chØ khi d·y (Xn , n > 1) héi tô h.c.c. §Þnh lý 2. D·y (Xn , n > 1) lµ c¬ b¶n h.c.c khi vµ chØ khi mét trong hai ®iÒu kiÖn sau tho¶ m·n (i) (ii) lim P( sup |Xk − Xl | > ε) = 0 víi mäi ε > 0. n→∞ k,l>n lim P(sup |Xk − Xn | > ε) = 0 víi mäi ε > 0. n→∞ k>n §Þnh lý 3. NÕu d·y (Xn , n > 1) c¬ b¶n theo x¸c suÊt th× tån t¹i d·y con (Xnk ; k > 1) ⊂ (Xn , n > 1) sao cho (Xnk ; k > 1) héi tô h.c.c. §Þnh lý 4. D·y (Xn , n > 1) héi tô theo x¸c suÊt khi vµ chØ khi d·y (Xn , n > 1) c¬ b¶n theo x¸c suÊt. Tõ hai ®Þnh lý trªn, suy ra ngay hÖ qu¶ sau ®©y HÖ qu¶. NÕu d·y (Xn , n > 1) héi tô theo x¸c suÊt th× tån t¹i d·y con (Xnk ; k > 1) ⊂ (Xn , n > 1) sao cho (Xnk ; k > 1) héi tô h.c.c. §Þnh lý 5. D·y khi d·y (Xn , n > 1) héi tô theo trung b×nh cÊp p ( p > 1) khi vµ chØ (Xn , n > 1) c¬ b¶n theo trung b×nh cÊp p. Do ®ã Lp (p > 1) lµ kh«ng gian Banach. 17 Ch­¬ng 2 Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn 2.1 Sù héi tô cña m¶ng c¸c sè 2.1.1 §Þnh nghÜa Ta nãi m¶ng sè thùc {xmn , m > 1, n > 1} héi tô tíi sè thùc x khi m∨n → ∞ nÕu víi ∀ε > 0, tån t¹i n0 ∈ N sao cho víi mäi m, n ∈ N mµ m ∨ n > n0 th× |xmn − x| < ε, (trong ®ã m ∨ n = max{m, n} ). Lóc ®ã ta ký hiÖu lim xmn = x. m∨n→∞ 2.1.2 §Þnh nghÜa Ta nãi m¶ng sè thùc khi m∧n → ∞ {xmn ; m > 1, n > 1} nÕu víi mäi m, n ∈ N mµ m ∧ n > n0 ε > 0 ®Òu tån t¹i th× |xmn − x| < ε, (trong ®ã m ∧ n = min{m, n} ). 18 héi tô tíi sè thùc x n0 ∈ N sao cho víi mäi