Tài liệu MỘT SỐ TÌM HIỂU TIẾP THEO VỀ BỔ TÚC XÁC SUẤT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ DUNG MỘT SỐ TÌM HIỂU TIẾP THEO VỀ BỔ TÚC XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số : 60 46 01 06 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHAN VIẾT THƯ HÀ NỘI, 2014 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 5 BẢNG KÝ HIỆU 7 1 MARTINGALE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 1.1 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Trường hợp rời rạc . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Trường hợp Gauss . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Hàm mật độ có điều kiện . . . . . . . . . . 1.1.4 Sự tồn tại và tính duy nhất . . . . . . . . . 1.1.5 Các tính chất của kì vọng có điều kiện . . . 1.2 Lý thuyết Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Dừng tùy chọn . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Các bất đẳng thức Doob . . . . . . . . . . 1.2.4 Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Các ứng dụng Martingale . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Tổng các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . 1.3.2 Martingale không âm và sự thay đổi độ đo . 1.3.3 Xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Điều khiển ngẫu nhiên tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN THỜI GIAN LIÊN TỤC 2.1 Quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Quỹ đạo chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Martingale với thời gian liên tục . . . . . . . . . . 2.2 Hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 8 9 9 11 13 13 14 15 18 21 21 22 25 27 . . . . . 29 29 29 30 32 35 2.2.1 2.2.2 2.2.3 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Định lý Prohorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Hội tụ yếu và hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . 37 3 CHUYỂN ĐỘNG BROWN 3.1 Định lý Wiener . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Tính bất biến . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Tính chất Markov mạnh . . . . . . . . . 3.5 Thời điểm chạm . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Tính chất quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . 3.7 Hồi quy và sự nhất thời . . . . . . . . . . 3.8 Chuyển động Brown và bài toán Dirichle 3.9 Nguyên tắc bất biến của Donsker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON VÀ QUÁ TRÌNH LEVY 4.1 Độ đo ngẫu nhiên Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Cấu trúc và thuộc tính cơ bản . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Tích phân đối với một độ đo ngẫu nhiên Poisson . . 4.2 Quá trình Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Định lý Levy-Khinchin . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo 39 39 41 42 44 46 46 48 50 54 58 58 58 60 63 63 64 67 3 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình và cũng hết sức nghiêm khắc của PGS.TS. Phan Viết Thư. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luận văn. Tôi muốn tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của mình. Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013, đặc biệt là các thầy cô tham gia giảng dạy nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 lời cám ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời gian của khóa học. Tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các anh chị em trong nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện và động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành được khóa học này. 4 LỜI MỞ ĐẦU Bổ túc xác suất là một quá trình chuyển tiếp từ các khái niệm xác suất cơ bản; cùng lý thuyết độ đo để xây dựng lý thuyết xác suất hiện đại thông qua giải tích ngẫu nhiên. Với các khái niệm cơ bản như Lý thuyết Martingale, Xích Markov, Di động ngẫu nhiên, Quá trình ngẫu nhiên liên tục, Quá trình Wiener,...làm cơ sở để nghiên cứu tiếp về quá trình ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên và tiếp cận các ứng dụng quan trọng của lý thuyết xác suất như trong toán tài chính, phân tích chuỗi thời gian, lý thuyết dự báo,... Đây là lý do để chúng tôi chọn đề tài: Một số tìm hiểu tiếp theo về bổ túc xác suất. Luận văn trình bày nhiều khái niệm đã được học ở chương trình cao học nhưng do khi học các khái niệm, định lý, tính chất chỉ được giới thiệu mà chưa có chứng minh đầy đủ. Trong luận văn các khái niệm, định lý, mệnh đề, tính chất đều được chứng minh chặt chẽ. Giúp tìm hiểu sâu hơn về Bổ túc xác suất. Luận văn gồm có 4 chương: Chương 1. Martingale và một số ứng dụng. Kỳ vọng có điều kiện: Trường hợp rời rạc, Trường hợp Gauss, hàm mật độ có điều kiện, sự tồn tại và duy nhất, tính chất cơ bản. Martingale tham số rời rạc, martingale dưới và martingale trên, dừng tùy chọn, bất đẳng thức Doob, cắt ngang, định lý hội tụ, martingale ngược. Các ứng dụng của martingale: Tổng của biến ngẫu nhiên độc lập, luật mạnh số lớn, đồng nhất thức của Wald, martingale không âm và sự biến đổi độ đo, định lý Radon – Nikodym, định lý tích martingale của Kakutani, kiểm tra tính vững của tỷ số hợp lý, Xích Markov, điều khiển tối ưu ngẫu nhiên. 5 Chương 2. Quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục. Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục: Tiêu chuẩn Kolmogorov, định lý quỹ đạo chính quy đối với martingale, martingale với thời gian liên tục. Hội tụ yếu trong Rn : hội tụ của hàm phân phối, hội tụ đối với các hàm liên tục bị chặn, phép nhúng Skorokhod, định lý Helly, hàm đặc trưng, định lý liên tục của Levy. Chương 3. Chuyển động Brown. Chuyển động Brown: định lý Wiener, tính chất chia tỷ lệ và phép đối xứng, Martingale liên quan đến chuyển động Brown, tính chất Markov mạnh, định luật phản xạ, thời gian va chạm, tính chất đường dẫn, phép hồi quy và sự nhất thời, chuyển động Brown và bài toán Dirichle, nguyên tắc bất biến của Donske. Chương 4. Độ đo ngẫu nhiên Poisson và quá trình Levy. Quá trình Levy: Cấu trúc thuần túy bước nhảy của quá trình Levy bởi tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên Poisson, luật chia được vô hạn, định lý Levy – Khinchin. Do thời gian gấp rút và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, xin trân trọng cám ơn. Hà Nội, tháng 08 năm 2014 6 BẢNG KÝ HIỆU M1 : Tập các martingale khả tích đều Mp : Tập các martingale bị chặn trong Lp với p > 1 gi : Giá phát sinh chi phí trên mỗi lần tới i trước T fi : Giá phát sinh khi đến tại i ∈ ∂D Dn : Tập hợp số nguyên bội của 2−n trên [0, ∞) h.c.c: hầu chắc chắn 7 Chương 1 MARTINGALE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 1.1 1.1.1 Kỳ vọng có điều kiện Trường hợp rời rạc Cho (Gi : i ∈ I) ký hiệu một họ đếm được các biến cố không giao nhau, hợp của chúng là cả không gian xác suất. Đặt G = σ (Gi : i ∈ I). Đối với biến ngẫu nhiên khả tích X, chúng ta có thể định nghĩa X Y = E(X |Gi ) 1Gi i trong đó đặt E (X |Gi ) = E (X1Gi ) /P (Gi ) khi P (Gi ) > 0 và định nghĩa E (X |Gi ) một cách tùy ý khi P (Gi ) = 0. Khi đó dễ dàng thấy Y có 2 tính chất sau: (a) Y là G -đo được, (b) Y khả tích và E (X1A ) = E (Y 1A ) với mọi A ∈ G . 1.1.2 Trường hợp Gauss Cho (W, X) là biến ngẫu nhiên Gauss trong R2 . Đặt G = σ (W) và Y = aW + b, trong đó a, b ∈ R được chọn để thỏa mãn: aE (W) + b = E (X) , a varW = cov (W, X) Khi đó E (X − Y ) = 0 và cov (W, X − Y ) = cov (W, X) − cov (W, Y ) = 0 8 nên W và X − Y độc lập. Do đó Y thỏa mãn: (a) Y là G -đo được, (b) Y khả tích và E (X1A ) = E (Y 1A ) với mọi A ∈ G . 1.1.3 Hàm mật độ có điều kiện Giả sử U và V là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời fU,V (u, v) trong R2 . Khi đó U có hàm mật độ fU , xác định bởi Z fU (u) = fU,V (u, v) dv. R Hàm mật độ có điều kiện fV |U (v| u) của V với U đã cho được xác định bởi fV |U (v| u) = fU,V (u, v)/fU (u) ở đây chúng ta quy ước 0/0 = 0. Cho h : R → R là hàm Borel và giả sử rằng X = h (V ) khả tích. Đặt Z g (u) = h (v) fV |U (v| u) dv. R Đặt G = σ (U ) và Y = g (U ). Khi đó Y thỏa mãn: (a) Y là G -đo được, (b) Y khả tích và E (X1A ) = E (Y 1A ) với mọi A ∈ G . Để chứng minh (b) ta chú ý rằng với mọi A ∈ G có dạng A = {U ∈ B}, với một tập Borel B nào đó. Khi đó, từ định lý Fubini, Z E (X1A ) = h (v) 1B (u) fU,V (u, v) d (u, v) R2  Z Z = h (v) fV |U (v |u) dv fU (u) 1B (u) du = E (Y 1A ) . R 1.1.4 R Sự tồn tại và tính duy nhất Định lý 1.1. Cho X là một biến ngẫu nhiên khả tích và G ⊆ F là một σ -đại số. Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên Y sao cho: (a) Y là G -đo được, 9 (b) Y khả tích và E (X1A ) = E (Y 1A ) với mọi A ∈ G . Hơn nữa, nếu Y 0 cũng thỏa mãn (a) và (b), khi đó Y = Y 0 h.c.c. Chúng ta gọi Y (một bản sao của) kỳ vọng có điều kiện của X với G đã cho và viết Y = E (X |G ) h.c.c. Trong trường hợp G = σ (G) với một biến ngẫu nhiên G nào đó, chúng ta cũng viết Y = E (X |G) h.c.c. Ba ví dụ trên đây cho thấy làm thế nào xây dựng cụ thể kỳ vọng có điều kiện trong các trường hợp đơn giản nào đó. Nói chung, chúng ta phải tiếp cận theo cách gián tiếp được cho bởi các định lý. Chứng minh. (Tính duy nhất.) Giả sử rằng Y thỏa mãn (a) và (b) và Y 0 thỏa mãn (a) và (b) với một biến ngẫu nhiên khả tích X 0 khác, với X ≤ X 0 h.c.c. Xét biến ngẫu nhiên không âm Z = (Y − Y 0 ) 1A , trong đó A = {Y ≥ Y 0 } ∈ G . Khi đó E (Z) = E (Y 1A ) − E (Y 0 1A ) = E (X1A ) − E (X 0 1A ) ≤ 0 nên Z = 0 h.c.c, suy ra Y ≤ Y 0 h.c.c. Trong trường hợp X = X 0 , chúng ta suy ra Y = Y 0 h.c.c. (Sự tồn tại.) Khởi đầu giả sử X ∈ L2 (F). Do V = L2 (G) là một không gian con đóng của L2 (F), chúng ta có X = Y +W với Y ∈ V và W ∈ V ⊥ . Khi đó, với bất kỳ A ∈ G, chúng ta có 1A ∈ V , nên E (X1A ) − E (Y 1A ) = E (W1A ) = 0. Do đó Y thỏa mãn (a) và (b). Bây giờ giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm bất kỳ. Khi đó, Xn = X ∧ n ∈ L2 (F) và 0 ≤ Xn ↑ X khi n → ∞. Chúng ta phải chứng minh, với mỗi n, tồn tại Yn ∈ L2 (G) sao cho, với mọi A ∈ G , E (Xn 1A ) = E (Yn 1A ) và hơn nữa 0 ≤ Yn ≤ Yn+1 h.c.c. Cho Y = limn→∞ Yn , khi đó Y là G -đo được và theo hội tụ đơn điệu, với mọi A ∈ G , E (X1A ) = E (Y 1A ) . Đặc biệt, nếu E (X) hữu hạn thì E (Y ) cũng như vậy. Cuối cùng, đối với một biến ngẫu nhiên khả tích X nói chung, chúng ta có thể sử dụng cách xây dựng trước cho X − và X + để thu được Y − và Y + . Khi đó Y = Y + − Y − thỏa mãn (a) và (b). 10 1.1.5 Các tính chất của kì vọng có điều kiện Cho X là một biến ngẫu nhiên khả tích và G ⊆ F là một σ -đại số. Các tính chất sau được suy ra trực tiếp từ định lý 1.1: (i) E (E (X |G )) = E (X), (ii) Nếu X là G -đo được thì E (X |G ) = X h.c.c, (iii) Nếu X độc lập với G thì E (X |G ) = E (X) h.c.c. Trong chứng minh của định lý 1.1, chúng ta cũng thấy (iv) Nếu X ≥ 0 h.c.c thì E (X |G ) ≥ 0 h.c.c. Tiếp đó, cho α, β ∈ R và biến ngẫu nhiên khả tích bất kì Y , chúng ta có (v) E (αX + βY |G ) = αE (X |G ) + β E (Y |G ) h.c.c. Để thấy điều này, kiểm tra vế phải có các tính chất của định nghĩa (a) và (b) như của vế trái. Các định lý hội tụ cơ bản cho kỳ vọng tương tự với kỳ vọng có điều kiện. Chúng ta hãy xét một dãy các biến ngẫu nhiên Xn trong giới hạn n → ∞. Nếu 0 ≤ Xn ↑ X h.c.c, thì E (Xn |G ) ↑ Y h.c.c, đối với một biến ngẫu nhiên Y G -đo được; vì thế, bởi hội tụ đơn điệu, với mọi A ∈ G , E (X1A ) = lim E (Xn 1A ) = lim E (E(Xn |G ) 1A ) = E (Y 1A ) . suy ra Y = E (X |G ) h.c.c. Chúng ta đã chứng minh được định lý hội tụ đơn điệu có điều kiện: (vi) Nếu 0 ≤ Xn ↑ X h.c.c thì E (Xn |G ) ↑ E (X |G ) h.c.c. Tiếp đó, bằng lập luận tương tự đã sử dụng để có các kết quả đầu tiên, chúng ta có thể suy ra các dạng điều kiện của bổ đề Fatou và định lý hội tụ trội (vii) Nếu Xn ≥ 0 với mọi n thì E (lim inf Xn |G ) ≤ lim inf E (Xn |G ) h.c.c, (viii) Nếu Xn → X và |Xn | ≤ Y với mọi n, h.c.c, đối với một biến ngẫu nhiên khả tích Y , thì E (Xn |G ) → E (X |G ) h.c.c. 11 Dạng điều kiện của bất đẳng thức Jensen. Cho c : R → (−∞, ∞] là một hàm lồi. Khi đó c là cận trên của một số đếm được các hàm afin: c (x) = sup (ai x + bi ) , i x∈R Do đó, E (c (X) |G ) được xác định tốt và gần như chắc chắn, với mọi i, E (c (X) |G ) ≥ ai E (X |G ) + bi Vì thế, chúng ta nhận được (ix) Nếu c : R → (−∞, ∞] là lồi thì E (c (X) |G ) ≥ cE (X |G ) h.c.c. Đặc biệt, đối với 1 ≤ p < ∞ kE (X |G )kpp = E (E |(X |G )|p ) ≤ E (E (|X|p |G )) = E (|X|p ) = kXkpp Vì vậy, chúng ta có (x) kE (X |G )kp ≤ kXkp với mọi 1 ≤ p < ∞ Đối với σ -đại số bất kì H ⊆ G , biến ngẫu nhiên Y = E (E (X |G ) |H) là H-đo được và thỏa mãn, đối với mọi A ∈ H E (Y 1A ) = E (E (X |G ) |1A ) = E (X1A ) vì thế chúng ta tính chất tháp: (xi) Nếu H ⊆ G thì E (E (X |G ) |H) = E (X |H) h.c.c. Chúng ta luôn đưa ra những cái đã biết: (xii) Nếu Y bị chặn và G -đo được thì E (Y X |G ) = Y E (X |G ) h.c.c. Để thấy điều này, trước hết xét trường hợp Y = 1B đối với B ∈ G nào đó. Khi đó, với A ∈ G , E (Y E (X |G ) 1A ) = E (E (X |G ) 1A∩B ) = E (X1A∩B ) = E (Y X1A ) , có nghĩa là E (Y X |G ) = Y E (X |G ) h.c.c. Mở rộng kết quả này cho biến ngẫu nhiên đơn giản G -đo được Y bởi tính tuyến tính, khi đó với trường hợp X ≥ 0 và bất kì biến ngẫu nhiên Y không âm G -đo được bởi sự hội tụ đơn điệu. Trường hợp tổng quát được suy ra bởi biểu diễn X = X + − X − và Y = Y + − Y − Cuối cùng, 12 (xiii) Nếu σ (X, G) là độc lập với H thì E (X |σ (G, H)) = E (X |G ) . h.c.c. Vì giả sử A ∈ G và B ∈ H, khi đó E (E(X |σ (G, H)) 1A∩B ) = E (X1A∩B ) = E (E (X |G ) 1A ) P (B) = E (E (X |G ) 1A∩B ) . Tập của các giao như A ∩ B là một π -hệ sinh ra σ (G, H) . Bổ đề 1.1. Cho X ∈ L1 . Khi đó tập các biến ngẫu nhiên Y có dạng Y = E (X |G ), trong đó G ⊆ F là một σ -đại số, khả tích đều. Chứng minh. Cho ε > 0, tìm được δ > 0 sao cho E (| X |1A ) ≤ ε khi P (A) ≤ δ . Khi đó chọn λ < ∞ sao cho E (|X|) ≤ λδ . Giả sử Y = E (X |G ), khi đó |Y | ≤ E (|X| |G ). Đặc biệt, E (|Y |) ≤ E (|X|), do đó P (|Y | ≥ λ) ≤ λ−1 E (|Y |) ≤ δ. Suy ra

E |Y | 1|Y |≥λ ≤ E |X| 1|Y |≥λ ≤ ε. Do λ được chọn độc lập với G , ta có điều phải chứng minh. 1.2 1.2.1 Lý thuyết Martingale Định nghĩa Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, (E, ε) là một không gian đo được và I là tập đếm được của R. Một quá trình trong E là một họ X = (Xt )t∈I của biến ngẫu nhiên trong E . Một bộ lọc (Ft )t∈I là một họ tăng các σ -đại số con của F : do đó Fs ⊆ Ft khi s ≤ t. Đặt F−∞ = ∩t∈I Ft
và F∞ = σ (Ft : t ∈ I). Mỗi quá trình có một bộ lọc tự nhiên FtX t∈I , xác định bởi FtX = σ (Xs : s ≤ t) . Chúng ta sẽ luôn giả thiết một bộ lọc (Ft )t∈I đã cho. Một σ -đại số Ft giải thích như mô hình hóa trạng thái về thông tin ta biết tại thời điểm t. Đặc biệt, FtX chứa tất cả các biến cố chỉ phụ thuộc (đo được) vào Xs , s ≤ t, nghĩa là, tất cả mọi thứ chúng ta biết về quá trình X đến thời điểm t. Ta nói rằng X thích nghi (đối với (Ft )t∈I ) nếu Xt là Ft -đo được với mọi 13 t. Hiển nhiên mọi quá trình thích nghi với bộ lọc tự nhiên của nó. Trừ trường hợp được chỉ rõ khác đi, từ bây giờ sẽ hiểu rằng E = R. Chúng ta nói rằng X khả tích nếu Xt khả tích với mọi t. Một martingale X là quá trình thích nghi khả tích sao cho, mọi s, t ∈ I với s ≤ t, E (Xt |Fs ) = Xs h.c.c. Thay dấu bằng trong điều kiện trên bởi ≤ hoặc ≥, tương ứng chúng ta được khái niệm martingale trên và martingale dưới. Chú ý rằng mọi quá trình là một martingale đối với bộ lọc cho trước cũng là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của nó. 1.2.2 Dừng tùy chọn Chúng ta nói rằng một biến ngẫu nhiên T : Ω → I ∪ {∞} là thời điểm dừng nếu {T ≤ t} ∈ Ft với mọi t. Đối với thời điểm dừng T , ta đặt  Ft = A ∈ F : A ∩ {T ≤ t} ∈ Ft với mọi t . Dễ dàng kiểm tra được rằng, nếu T ≡ t, thì T là thời điểm dừng và FT = Ft . Với một quá trình X đã cho, ta đặt XT (ω) = XT (ω) (ω) khi T (ω) < ∞. Chúng ta cũng định nghĩa quá trình dừng lại (stoped process) X T bởi XtT = XT ∧t . Chúng ta giả sử trong 2 kết quả sau đây rằng I = {0, 1, 2, ...}. Trong trường hợp này, chúng ta viết n, m hoặc k là các phần tử của I , chứ không phải là t hoặc s. Mệnh đề 1.1. Cho S và T là các thời điểm dừng và X = (Xn )n≥0 là một quá trình thích nghi. Khi đó (a) S ∧ T là thời điểm dừng, (b) Nếu S ≤ T thì FS ⊆ FT , (c) XT 1T <∞ là một biến ngẫu nhiên FT -đo được, (d) X T là thích nghi, (e) Nếu X khả tích thì X T khả tích. Định lý 1.1. (Định lý dừng tùy chọn). Cho X = (Xn )n≥0 là một quá trình thích nghi khả tích. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: 14 (a) X là một martingale trên, (b) Với mọi thời điểm dừng bị chặn T và mọi thời điểm dừng S , E (XT |FS ) ≤ XS∧T h.c.c, (c) Với mọi thời điểm dừng T , X T là martingale trên, (d) Với mọi thời điểm dừng bị chặn T và S , với S ≤ T , E (XS ) ≥ E (XT ) . Chứng minh. Cho S ≥ 0 và T ≤ n, chúng ta có X (Xk+1 − Xk ) XT = XS∧T + = XS∧T + S≤k k} ∈ Fk nên E ((Xk+1 − Xk ) 1S≤k b, ..., Xsn < a, Xtn > b với mọi s1 < t1 < ... < sn < tn trong J . Khi đó U [a, b] = U {[a, b] , I} là số lần cắt ngang lên [a, b] của X . 15 Định lý 1.2. (Bất đẳng thức cắt ngang của Doob). Cho X là một martingale trên. Khi đó
(b − a) E (U [a, b]) ≤ sup E (Xt − a)− t∈I Chứng minh. Từ U ([a, b] , I) = limJ↑I,J hữu hạn U ([a, b] , J), theo sự hội tụ đơn điệu, ta chỉ cần xét các trường hợp trong đó I hữu hạn là đủ. Giả sử I = {0, 1, ...., n}. Viết U = U [a, b] và chú ý rằng U ≤ n. Đặt T0 = 0 và định nghĩa bằng quy nạp với k ≥ 0: Sk+1 = inf {m ≥ Tk : Xm < a} , Tk+1 = inf {m ≥ Sk+1 : Xm > b} . Theo quy ước inf∅ = ∞. Khi đó U = max {k : Tk < ∞}. Với k ≤ U , đặt Gk = XTk − XSk và chú ý rằng Gk ≥ b − a. Chú ý rằng TU ≤ n và TU +1 = ∞. Đặt  Xn − XSU +1 nếu SU+1 < ∞, R= 0 nếu SU+1 = ∞ và chú ý rằng R ≥ −(Xn − a)− . Khi đó chúng ta có n X k=1 (XTk ∧n − XSk ∧n ) = U X Gk + R ≥ (b − a) U − (Xn − a)− . (1.2) k=1 Bây giờ X là một martingale trên và Sk ∧ n và Tk ∧ n các thời điểm dừng bị chặn, với Sk ∧ n ≤ Tk ∧ n. Do đó, theo dừng lại tùy chọn, E (XTk ∧n ) ≤ E (XSk ∧n ) và lấy kỳ vọng trong (1.2) được kết quả bất đẳng thức cần chứng minh trên. Với bất kì quá trình X , với J ⊆ I , ta đặt X ∗ (J) = sup |Xt | , X ∗ = X ∗ (I) . t∈J Định lý 1.3. (Bất đẳng thức cực đại của Doob). Cho X là một martingale hoặc một martingale dưới không âm. Khi đó, với mọi λ ≥ 0, λP (X ∗ ≥ λ) ≤ sup E (|Xt |) . t∈I 16 Chứng minh. Chú ý rằng λP (X ∗ ≥ λ) = lim ν P (X ∗ > ν) ≤ lim ν↑λ lim ν↑λ J↑I,J hữu hạn ν P (X ∗ (J) ≥ ν) . Chỉ cần xét các trường hợp trong đó I hữu hạn. Giả thiết rằng I = {0, 1, 2, ...., n}. Nếu X là một martingale thì |X| là một martingale dưới không âm. Ta chỉ cần xét các trường hợp trong đó X không âm. Đặt T = inf {m ≥ 0 : Xm ≥ λ} ∧ n. Khi đó T là thời điểm dừng và T ≤ n theo dừng tùy chọn, E (Xn ) ≥ E (XT ) = E (XT 1X ∗ ≥λ )+E (XT 1X ∗ <λ ) ≥ λP (X ∗ ≥ λ)+E (Xn 1X ∗ <λ ) . Do đó, λP (X ∗ ≥ λ) ≤ E (Xn 1X ∗ ≥λ ) ≤ E (Xn ) . (1.3) Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Lp của Doob). Cho X là một martingale hoặc một martingale dưới không âm. Khi đó, với mọi p > 1 và q = p/(p − 1), kX ∗ kp ≤ q sup kXt kp . t∈I Chứng minh. Nếu X là một martingale thì |X| là một martingale dưới không âm. Sẽ là đủ khi xét các trường hợp X không âm. Từ X ∗ = limJ↑I,J hữu hạn X ∗ (J), theo định lý hội tụ đơn điệu sẽ là đủ khi xét trường hợp I hữu hạn. Giả sử rằng I = {0, 1, 2, ...., n}. Cố định k < ∞. Theo định lý Fubini, phương trình (1.3) và bất đẳng thức Holder, Z k Z k E [(X ∗ ∧ k)p ] = E pλp−1 1X ∗ ≥λ dλ = pλp−1 P (X ∗ ≥ λ) dλ 0 ≤ Z 0 k p−2 pλ  ∗ p−1 E (Xn 1X ∗ ≥λ ) dλ = q E Xn (X ∧ k)  0 ≤ qkXn kp kX ∗ ∧ kkpp−1 . Do đó kX ∗ ∧ kkp ≤ qkXn kp và được kết quả sau khi áp dụng sự hội tụ đơn điệu khi cho k → ∞. 17 1.2.4 Định lý hội tụ Nhớ lại rằng, với p ≥ 1, một quá trình X bị chặn trong Lp nếu supt∈I kXt kp < ∞. Cũng như vậy X khả tích đều nếu
sup E |Xt | 1|Xt |>k → 0 khi k → ∞. t∈I Nếu X bị chặn trong Lp với p > 1, khi đó X là khả tích đều. Và nếu X là khả tích đều thì X bị chặn trong L1 . Hai kết quả tiếp theo được phát biểu trong trường hợp sup I = ∞. Định lý 1.5. (Định lý martingale hội tụ hầu chắc chắn). Cho X là martingale trên bị chặn trong L1 . Khi đó Xt → X∞ h.c.c khi t → ∞, với X∞ ∈ L1 (F∞ ) nào đó. Chú ý rằng, nếu inf I ∈ I thì martingale trên không âm bị chặn trong L1 . Chứng minh. Bất đẳng thức cắt ngang Doob, với mọi a < b, E (U [a, b]) ≤ (b − a)−1 sup E (|Xt | + |a|) < ∞. t∈I Xét với a < b, các tập hợp   Ωa,b = lim inf Xt < a < b < lim sup Xt . t→∞ t→∞  Ω0 = Xt hội tụ trong [−∞, ∞] khi t → ∞ . Từ U [a, b] = ∞ trên Ωa,b chúng ta có P (Ωa,b ) = 0. Nhưng Ω0 ∪ (∪a,b∈Q,a 1, Mp là tập các martingale bị chặn trong Lp . Định lý 1.6. (Định lý martingale hội tụ trong Lp ). Cho p ∈ [1, ∞). (a) Giả sử X ∈ Mp . Khi Xt → X∞ khi t → ∞, h.c.c và trong Lp , với X∞ ∈ Lp (F∞ ) nào đó. Hơn nữa, Xt = E (X∞ |Ft ) h.c.c với mọi t. (b) Giả sử Y ∈ Lp (F∞ ) và đặt Xt = E (Y |Ft ). Khi đó X = (Xt )t∈I ∈ Mp và Xt → Y khi t → ∞, h.c.c và trong Lp . Do đó ánh xạ X 7→ X∞ là sự tương ứng 1-1 giữa Mp và Lp (F∞ ). Chứng minh. Với p = 1. Cho X là một martingale khả tích đều. Khi đó Xt → X∞ h.c.c do định lý martingale hội tụ hầu chắc chắn. Từ X là U I , suy ra Xt → X∞ trong L1 . Tiếp theo, với s ≥ t, kXt − E (X∞ |Ft )k1 = kE (Xs − X∞ |Ft )k1 ≤ kXs − X∞ k1 . Cho s → ∞ suy ra Xt = E (X∞ |Ft ) h.c.c. Bây giờ giả sử rằng Y ∈ L1 (F∞ ) và đặt Xt = E (Y |Ft ). Khi đó, X = (Xt )t∈I là martingale do tính chất “tháp” và khả tích đều do Bổ đề 1.1. Do đó Xt hội tụ hầu chắc chắn và trong L1 với giới hạn X∞ . Với mọi t và mọi A ∈ Ft , chúng ta có E (X∞ 1A ) = lim E (Xt 1A ) = E (Y 1A ) t→∞ Bây giờ X∞ , Y ∈ L1 (F∞ ) và ∪t Ft là π -hệ sinh ra F∞ . Do đó X∞ = Y h.c.c. Chứng minh. .Cho trường hợp p > 1. Cho X là một martingale bị chặn trong Lp với p > 1. Khi đó Xt → X∞ h.c.c do định lý martingale hội tụ hầu chắc chắn. Theo bất đẳng thức Doob trong Lp , kX ∗ kp ≤ q sup kXt kp < ∞. t∈I Từ |Xt − X∞ |p ≤ (2X ∗ )p với mọi t, ta có thể sử dụng hội tụ trội suy ra Xt → X∞ trong Lp . Suy ra Xt = E (X∞ |Ft ) h.c.c, như trong trường hợp p = 1. 19 Bây giờ giả sử Y ∈ Lp (F∞ ) và đặt Xt = E (Y |Ft ). Khi đó, X = (Xt )t∈I là một martingale do tính chất “tháp” và kXt kp = kE (Y |Ft )kp ≤ kY kp với mọi t, nên X bị chặn trong Lp . Do đó, Xt hội tụ hầu chắc chắn, và trong Lp , với giới hạn X∞ , và chúng ta có thể chỉ ra X∞ = Y h.c.c, như trong trường hợp p = 1. Trong kết quả tiếp theo chúng ta giả sử inf I = −∞. Định lý 1.7. (Định lý martingale ngược hội tụ). Cho p ∈ [1, ∞) và Y ∈ Lp . Đặt Xt = E (Y |Ft ). Khi đó, Xt → E (Y |F−∞ ) khi t → −∞, h.c.c và trong Lp . Chứng minh. Suy luận ở đây là một sự thay đổi nhỏ của suy luận đã được sử dụng trong định lý 1.2, 1.5, 1.6. Quá trình X tự động U I do bổ đề 1.1 và bị chặn trong Lp bởi vì kXt kp = kE (Y |Ft )kp ≤ kY kp với mọi t. Chúng ta để lại các chi tiết đó cho người đọc. Trong kết quả sau, chúng ta lấy I = {0, 1, 2, ...} Định lý 1.8. (Định lý dừng tùy chọn(tiếp theo)). Cho X là một U I martingale và cho S và T là các thời điểm dừng. Khi đó E (XT |FS ) = XS∧T h.c.c Chứng minh. Chúng ta đã chứng minh định lý khi T bị chặn. Nếu T không bị chặn, thì T ∧ n là thời điểm dừng bị chặn, như vậy
T E XnT |FS = E (XT ∧n |FS ) = XS∧T ∧n = XS∧n h.c.c (1.4) Bây giờ
E X T |FS − E (XT |FS ) ≤ X T − X T n n ∞ 1 1 (1.5) Chúng ta có Xn → X∞ trong L1 . Như vậy, trong trường hợp T ≡ ∞ chúng ta có thể lấy được giới hạn trong (1.4) thu được E (X∞ |FS ) = XS h.c.c Khi đó, trở lại (1.5), với T tổng quát, chúng ta có T X − X T = kE (Xn − X∞ |FT )k ≤ kXn − X∞ k n ∞ 1 1 1 và kết quả có được khi qua giới hạn trong (1.4). 20