Tài liệu Một số quy trình suy diễn trong hệ mờ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỒ KHÁNH LÊ MỘT SỐ QUY TRÌNH SUY DIỄN TRONG HỆ MỜ Ngành: Công nghệ thông tin Chuyên ngành: Hệ thống thông tin Mã số: 60.48.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. Bùi Công Cường Hà Nội – 2009 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn “Một số quy trình suy diễn trong hệ Mờ” là công trình nghiên cứu của riêng tôi, không sao chép của bất kỳ ai. Nội dung của luận án được trình bày từ những kiến thức tổng hợp của cá nhân, tổng hợp từ các nguồn tài liệu có xuất xứ rõ ràng và trích dẫn hợp pháp. Kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn này chưa từng được công bố tại bất kỳ công trình nào khác. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm, và nếu sai, tôi xin chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy định. Hà Nội, ngày 7 tháng 12 năm 2009 Học viên thực hiện Hồ Khánh Lê iii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TSKH Bùi Công Cường, người hướng dẫn khoa học, đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tôi. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân và các bạn bè đồng nghiệp đã chia sẻ, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã hết sức cố gắng với tất cả sự nỗ lực của bản thân, nhưng chắc luận văn vẫn còn những thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn bè đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 7 tháng 12 năm 2009 Học viên thực hiện Hồ Khánh Lê iv MỤC LỤC Trang Trang bìa phụ.......................................................................................................................... LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................................. ii LỜI CẢM ƠN .....................................................................................................................iii MỤC LỤC ........................................................................................................................... iv BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT .......................................................................... vi DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................................. vi DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ............................................................................. vi MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 1 CHƯƠNG I - CƠ SỞ LOGIC MỜ....................................................................................... 3 1.1. Logic rõ và sự xuất hiện của logic mờ ...................................................................... 3 1.2. Các phép toán về tập mờ ........................................................................................... 4 1.2.1. Phép phủ định .................................................................................................... 4 1.2.2. T - chuẩn ............................................................................................................ 5 1.2.3. T - đối chuẩn .................................................................................................... 10 1.3. Một số vấn đề liên quan của các toán tử trong Logic Mờ....................................... 15 1.3.1. Phép đối ngẫu................................................................................................... 16 1.3.2. Quan hệ giữa t - chuẩn và t - đối chuẩn. .......................................................... 16 1.3.3. Một số qui tắc với phép hội và phép tuyển ...................................................... 17 1.4. Phép kéo theo .......................................................................................................... 19 1.4.1. Định nghĩa phép kéo theo ................................................................................ 19 1.4.2. Một số dạng hàm kéo theo cụ thể .................................................................... 20 1.4.3. Đồ thị một số hàm kéo theo được quan tâm .................................................... 26 1.5. Quan hệ mờ và phép hợp thành............................................................................... 27 1.5.1. Quan hệ mờ ...................................................................................................... 27 1.5.2. Phép hợp thành ................................................................................................ 28 CHƯƠNG 2 – LUẬT MỜ VÀ HỆ SUY DIỄN MỜ ......................................................... 29 2.1. Hệ mờ trên cơ sở các luật mờ.................................................................................. 29 2.1.1. Định nghĩa luật mờ .......................................................................................... 29 2.1.2. Định nghĩa hệ mờ trên cơ sở các luật mờ ........................................................ 31 2.2. Hệ suy diễn mờ........................................................................................................ 32 2.2.1. Kiến trúc cơ bản của hệ suy diễn mờ ............................................................... 32 2.2.3. Các bước suy diễn mờ ..................................................................................... 33 2.2.4. Một số phương pháp suy diễn trong hệ mờ ..................................................... 38 CHƯƠNG III - LẬP LUẬN XẤP XỈ TRONG HỆ MỜ TRÊN CƠ SỞ CÁC LUẬT MỜ41 3.2. Mô hình ngôn ngữ - Linguistic models (LM) ......................................................... 41 3.3. Suy diễn với mô hình mờ ........................................................................................ 42 3.4. Mô hình Mamdani (Constructive) và Logical (Destructive) .................................. 44 3.4.1. Phương pháp lập luận Mandani ....................................................................... 45 v 3.4.2. Phương pháp lập luận logic ............................................................................. 48 3.5. Mô hình ngôn ngữ với tập hợp các đầu ra .............................................................. 53 3.6. Mô hình Takagi – Sugeno – Kang (TSK) ............................................................... 55 3.6.1. Mô hình ............................................................................................................ 55 3.6.2. Một số ví dụ mô hình TSK đơn giản ............................................................... 57 CHƯƠNG 4 – BỘ CÔNG CỤ LOGIC MỜ CỦA MATLAB VÀ CÀI ĐẶT THỬ THUẬT TOÁN ................................................................................................................................. 59 4.1. Giới thiệu chung môi trường MATLAB ................................................................. 59 4.2. Bộ công cụ Logic Mờ (Fuzzy logic toolbox) .......................................................... 60 4.2.1. Giới thiệu ......................................................................................................... 60 4.2.2. Các tính năng cơ bản của FLT ......................................................................... 63 4.2.3. Xây dựng hệ suy diễn bằng GUI của FLT ....................................................... 63 4.2.4. Cấu trúc của hệ suy diễn mờ trong Matlab ...................................................... 65 4.3. Bài toán ví dụ và cài đặt thử thuật toán 1, 2 ............................................................ 65 4.3.1. Bài toán điều khiển tín hiệu đèn giao thông .................................................... 66 4.3.2. Tiêu chí và ràng buộc....................................................................................... 67 4.3.3. Thiết kế bộ điều khiển giao thông mờ ............................................................. 68 KẾT LUẬN ........................................................................................................................ 74 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ .................................................................. 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 76 vi BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT Ký hiệu Tên đầy đủ LM Linguistic Model TSK Takagi – Sugeno – Kang Model FIS Fuzzy Inference System FLT Fyzzy Logic Toolbox DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 1.1: Các cặp đối ngẫu với n(x) = 1-x ....................................................................... 17 Bảng 2.1: Phương pháp giải mờ trung bình tâm với m = 2 ............................................... 39 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Trang Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn yếu nhất T0 ................................................................................... 7  Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn Lukasiewiez ................................................................................. 7  Hình 1.3: Đồ thị t-chuẩn T2 .................................................................................................. 8  Hình 1.4: Đồ thị t-chuẩn t(x,y) = x*y ................................................................................... 8  Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn min ............................................................................................... 8  Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn Min-Nilpotent............................................................................... 8  Hình 1.6: Đồ thị t-chuẩn T4 .................................................................................................. 9  Hình 1.7: Giao của 2 tập mờ dạng tích............................................................................... 10  Hình 1.8: Giao của 2 tập mờ dạng min .............................................................................. 10  Hình 1.8: Đồ thị hàm t-đối chuẩn SN.................................................................................. 12  Hình 1.9: Đồ thị T-đối chuẩn SM ........................................................................................ 13  Hình 1.10: Đồ thị T-đối chuẩn SP....................................................................................... 13  Hình 1.11: Đồ thị T-đối chuẩn S2 ....................................................................................... 13  Hình 1.13: Đồ thị T-đối chuẩn S4 ....................................................................................... 13  Hình 1.14: Đồ thị T-đối chuẩn SL ...................................................................................... 14  Hình 1.15: Đồ thị T-đối chuẩn S0 ....................................................................................... 14  vii Hình 1.16: Hợp của hai tập mờ dạng Max ......................................................................... 15  Hình 1.17: Hợp của hai tập mờ dạng Lukasewiez ............................................................. 15  Hình 1.18: Đồ thị IQL= 1-x+x2y .......................................................................................... 23  Hình 1.19: Đồ thị IQL= max(y,1-x) ..................................................................................... 23  Hình 1.20: Đồ thị I(x,y)=max(1-x,min(x,y)) ...................................................................... 26  Hình 1.21: Đồ thị hàm I(x,y) - Godeh ................................................................................ 26  Hình 1.22: Đồ thị hàm I(x,y) - Goguen .............................................................................. 27  Hình 2.1: Động cơ điều khiển tốc độ không khí. ............................................................... 30  Hình 2.2: Cấu trúc cơ bản của hệ suy diễn mờ .................................................................. 32  Hình 2.3: Giải mờ bằng phương pháp cực đại ................................................................... 36  Hình 2.4: Giải mờ bằng phương pháp trung bình .............................................................. 36  Hình 2.5: Giải mờ theo phương pháp trung bình tâm ........................................................ 36  Hình 2.6: Hàm thuộc hợp thành dạng đối xứng ................................................................. 36  Hình 2.7: Giải mờ trung bình tâm với m=2 ....................................................................... 37  Hình 3.1: Phân phối kết hợp luật R1(x,y): IF U là Bi THEN V là Di ................................. 44  Hình 3.2: Phương pháp lập luận Mamdani/Constructive ................................................... 47  Hình 3.3: Kết quả tính toán đầu ra bằng hình phương pháp Mamdani .............................. 47  Hình 3.4: Sơ đồ khối của phương pháp lập luận lôgic ....................................................... 51  Hình 3.5: Tính toán kết quả đầu ra bằng hình của phương pháp logic .............................. 51  Hình 3.6: Biểu diễn các quan hệ mờ R tương ứng với phương pháp Mamdani ................ 52  Hình 3.7: Sơ đồ khối của cơ chế suy diễn đơn giản ........................................................... 54  Hình 3.8: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn ở ví dụ 2 .................................................... 58  Hình 4.1: Cửa sổ soạn thảo phân lớp Mờ- Neuron thích nghi ........................................... 61  Hình 4.2: Hệ thống suy diễn Mờ được thiết kế bằng Simulink ......................................... 62  Hình 4.3: Mô hình cấu trúc GUI trong Matlab .................................................................. 64  Hình 4.4: Cấu trúc FIS ....................................................................................................... 65  Hình 4.5: Hàm thuộc biến mờ của biến vào Arrival .......................................................... 69  Hình 4.6: Hàm thuộc biến mờ của biến vào Queue ........................................................... 69  Hình 4.7: Hàm thuộc biến mờ của biến ra Extention ......................................................... 69  Hình 4.8: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn dạng Mamdani .......................................... 73  Hình 4.9: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn dạng lập luận logic .................................... 73  1 MỞ ĐẦU Từ những năm đầu của thập kỷ 90 cho đến nay, hệ điều khiển mờ và mạng nơron (Fuzzy system and neuron network) được các nhà khoa học, các kỹ sư và sinh viên trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật đặc biệt quan tâm nghiên cứu và ứng dụng vào sản xuất. Tập mờ và logic mờ (Fuzzy set and Fuzzy logic) dựa trên các suy luận của con người về các thông tin “không chính xác” hoặc “không đầy đủ” về hệ thống để hiểu biết và điều khiển hệ thống một cách chính xác. Điều khiển mờ chính là bắt chước cách xử lý thông tin và điều khiển của con người đối với các đối tượng, do vậy, điều khiển mờ đã giải quyết thành công các vấn đề điều khiển phức tạp trước đây chưa giải quyết được. Hiện nay, có thể nói, công nghệ tính toán mờ là một trong những lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh mẽ nhất, được đánh dấu bằng sự ra đời của hàng loạt phương pháp kỹ thuật ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc tích hợp các kỹ thuật logic mờ với các phương pháp phân tích khác ngày càng diễn ra mạnh mẽ. Logic mờ được ứng dụng rộng rãi để giải quyết rất nhiều bài toán của khoa học ứng dụng. Những lĩnh vực có thể kể ra ở đây là vận trù học, hỗ trợ quyết định, điều khiển, nhận dạng mẫu, kinh tế, quản lý, xã hội học, mô hình thống kê, máy học, thiết kế cơ khí, chế tạo, phân lớp, suy luận, thu nhận thông tin, quản lý cơ sở dữ liệu, chuẩn đoán y tế, hệ cơ sở tri thức, … Đặc biệt trong lĩnh vực xử lý tri thức, công nghệ tính toán mờ tỏ ra vô cùng hiệu quả. Do tri thức con người thường được biểu diễn bằng các thể hiện ngôn ngữ, bằng các câu hỏi, các phát biểu về thế giới đang xét. Vấn đề đối với việc xử lý tri thức là không chỉ ở việc liên kết các tri thức, các phát biểu về thế giới đang xét, mà còn ở việc đánh giá sự đúng đắn của chúng. Logic hình thức cổ điển cho phép chúng ta đánh giá một phát biểu về thế giới là hoặc đúng, hoặc sai. Tuy nhiên, trong thực tế, đánh giá một phát biểu chỉ có đúng hoặc sai là rất khó nếu không muốn nói là phi thực tế. Lấy ví dụ: đối với các tri thức dạng “Áp suất cao”, “Thể tích nhỏ”, “Quả táo đỏ”, việc xác định một cách chính xác trị chân lý của chúng là đúng hay sai là rất khó do các từ “cao”, “nhỏ” hay “đỏ” hoàn toàn có tính chất mơ hồ. Từ đó Zadeh đã mở rộng logic mệnh đề thành logic mờ, trong đó, mỗi mệnh đề P sẽ được gán cho 1 trị chân lý υ(P), một giá trị trong đoạn [0, 1], biểu diễn mức độ đúng đắn của mệnh đề đó. 2 Luận văn với mục tiêu chính là tìm hiểu các quy trình suy diễn mờ sẽ tập trung vào các nội dung như sau: Chương I tìm hiểu về cơ sở của logic mờ, nhắc lại các khái niệm, định nghĩa cơ bản của các toán tử trong logic mờ như t-chuẩn, t-đối chuẩn, phép phủ định, phép kéo theo, hàm thuộc, phép hợp thành… Chương II của luận văn tìm hiểu về khái niệm, định nghĩa của luật mờ và hệ mờ trên cơ sở các luật mờ. Giới thiệu kiến thức cơ bản về kiến trúc, các bước suy diễn của hệ suy diễn mờ và tìm hiểu một số phương pháp suy diễn trong hệ mờ. Chương III đi sâu vào nghiên cứu kỹ hơn về các phương pháp lập lập xấp xỉ trong hệ mờ. Tìm hiểu lại các mô hình ngôn ngữ, mô hình Mamdani và đặc biệt là mô hình Takagi – Sugeno – Kang với đầu ra của hệ suy diễn không phải là biến mờ đơn mà là một hàm đầu ra. Chương IV giới thiệu lại bộ công cụ logic mờ của phần mềm Matlab – bộ công cụ với đầy đủ các tính năng để thiết kế và xây dựng các hệ suy diễn mờ rất hữu ích. Đồng thời giới thiệu bài toán thiết kế hệ suy diễn điều khiển tín hiệu đèn giao thông, sử dụng để cài đặt thử kết quả cho các thuật toán giới thiệu trong chương III của luận văn. 3 CHƯƠNG I - CƠ SỞ LOGIC MỜ Để có thể tiến hành các phép toán logic trên các mệnh đề, chúng ta cần phải có các phép toán logic mờ. Đó chính là các phép toán phủ định, t - chuẩn tương ứng với phép hội, t - đối chuẩn ứng với phép tuyển, và phép kéo theo mờ. Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại các khái niệm về cơ sở logic mờ và tìm hiểu hệ suy diễn mờ. Do giới hạn của luận văn nên có nhiều khái niệm, chứng minh sẽ không được trình bày hết trong nội dung bài viết. Kiến thức cơ sở của logic mờ có thể được xem thêm ở các tài liệu [1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 18]. Trước hết, chúng ta bắt đầu bằng việc tìm hiểu về các toán tử mờ và một số tính chất đặc trưng của chúng. 1.1. Logic rõ và sự xuất hiện của logic mờ Logic rõ (logic thông thường) ta đã quá quen thuộc hàng ngày với những khái niệm rất rõ ràng và từ đó cho ta các kết luận dứt khoát [9]. Chẳng hạn một cơ quan cần tuyển dụng người làm việc, trong các tiêu chuẩn tuyển chọn có một tiêu chuẩn như sau: Nếu người cao từ 1,6m trở lên thì thuộc loại người cao và được chấp nhận, còn dưới 1,6m thì thuộc loại người thấp và bị loại. Như vậy nếu có một người nào đó có đủ tất cả các tiêu chuẩn khác nhưng chỉ cao 1,59m thì sẽ bị loại. Logic suy nghĩ đó rất rõ ràng theo sơ đồ “máy tính” 1.6m như sau: Như vậy, điểm 1,6m là điểm tới hạn để ra quyết định, cứ 1,6m trở lên là thuộc loại người cao, còn dưới 1,6m là loại người thấp. Loại Nhận Những suy nghĩ về logic mờ (logic không rõ): trong cuộc sống hàng ngày, đặc biệt là rất nhiều hiện tượng (nếu không nói là tất cả) được thể hiện bằng ngôn ngữ đã đưa ta đến một khái niệm logi không rõ, logic mờ, chẳng hạn: Anh này trông rất cao. Cô này trông được đấy. 4 Hay như có nhà thơ viết: Trời thì không nắng không mưa, Chỉ hiu hiu mát cho vừa lòng nhau. Các khái niệm như: trông rất cao, được đấy, không nắng không mưa, hiu hiu mát, … thật khó cho ta đưa ra một con số cụ thể. Tuy vậy khi nghe các từ này ta vẫn hình dung được một đặc tính cụ thể rõ rệt về đối tượng. Những suy nghĩ này đưa đến khái niệm về logic mờ, chính logic mờ đã xóa đi được khái niệm cứng nhắc của logic rõ, vì rằng logic mờ đã: - Cho phép mô tả các trạng thái sự việc khi sử dụng các mức độ thay đổi giữa đúng và sai. - Có khả năng lượng hóa các hiện tượng nhập nhằng hoặc là thông tin hiểu biết về các đối tượng không đủ hoặc không chính xác. - Cho phép phân loại các lớp quan niệm chèn lấp lên nhau. 1.2. Các phép toán về tập mờ 1.2.1. Phép phủ định * Định nghĩa 1.1: Hàm n: [0, 1] → [0, 1] không tăng thỏa mãn các điều kiện n(0) = 1, n(1) = 0 gọi là hàm phủ định (negation-hay là phép phủ định). * Định nghĩa 1.2: a) Hàm phủ định n là chặt nếu nó là hàm liên tục và giảm chặt. b) Hàm phủ định n là mạnh nếu nó là chặt và thỏa mãn n(n(x)) = x, x [0,1] * Ví dụ 1: - Hàm phủ định thường dùng n(x) = 1-x. Đây là hàm phủ định mạnh - Hàm n(x) = 1-x2. Đây là một phủ định chặt nhưng không mạnh. - Họ phủ định (Sugeno) N λ ( x) = 1− x , λ > −1 . Với họ Sugeno này ta có 1+ λx mệnh đề sau: * Mệnh đề 1.3: Với mỗi λ > −1 , N λ ( x) là một phủ định mạnh. 5 * Chứng minh: Thật vậy, do 1 +λ>0 với x1 < x2 , λ x1 + x1 < λ x2 + x2 . Điều này tương đương với N λ ( x1 ) > N λ ( x2 ) . Hơn nữa, N λ ( N λ ( x)) = (1 + λ x) − (1 − x) = x với mỗi 0 ≤ x ≤ 1 . (1 + λ x) + λ (1 − x) Để thuận lợi ta cần thêm định nghĩa sau: Một cách định nghĩa phần bù của một tập mờ: Cho Ω là không gian nền, một tập mờ A trên Ω tương ứng với hàm thuộc A: Ω 0,1 . * Định nghĩa 1.4: Cho n là hàm phủ định, phần bù AC của tập mờ A là một tập mờ với hàm thuộc cho bởi AC (a ) = n( A(a )) , với mỗi a Ω. Rõ ràng định nghĩa phần bù cho trong phần 1.1 là trường hợp riêng khi n(x) là hàm phủ định thường dùng. 1.2.2. T - chuẩn 1.2.2.1. Phép hội Phép hội (vẫn quen gọi là phép AND - Conjunction) là một trong mấy phép toán logic cơ bản nhất, nó cũng là cơ sở để định nghĩa phép giao của hai tập mờ. Phép hội cần thoả mãn mãn các tiên đề sau: C0: v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1) và v(P2). C1: Nếu v(P1) =1 thì v(P1 AND P2) = v(P2) với mọi mệnh đề P2. C2: Giao hoán v(P1 AND P2) =v(P2 AND P1). C3: v(P1) ≤ v(P2) thì v(P1 AND P3) ≤ v(P2 AND P3), với mọi mệnh đề P3. C4: Kết hợp: v(P1 AND (P1 AND P3)) = v((P2 AND P2) AND P3). Nếu diễn đạt phép hội mờ (fuzzy conjunction) như một hàm T: [0, 1] → [0, 1], thì chúng ta có thể cần tới hàm sau: * Định nghĩa 1.5: Hàm T: [0, 1]2 → [0, 1] là một t - chuẩn (t-norm), khi và chỉ khi thoả các điều kiện sau: 6 C5: T(1, x) = x với ∀ x ∈ [0, 1]. C6: T có tính giao hoán, tức là T(x, y) = T(y, x), với ∀ x, y ∈ [0, 1] C7: T không giảm theo nghĩa T(x, y) ≤ T(u, v), với ∀ x ≤ u, y ≤ v C8: T có tính kết hợp, tức làT(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z), với ∀ 0≤ x, y, z ≤1. Từ các tiên đề trên chúng ta suy ra ngay T(0, x) = 0. Hơn nữa, tiên đề C8 đảm bảo tính thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến. 1.2.2.2 Một số t - chuẩn thông dụng 1) T - chuẩn yếu nhất (drastic product) ⎧min{x, y} khi max{x, y} = 1⎫ Z(x, y) = T0(x, y) = ⎨ ⎬ khi max{x, y} < 1⎭ ⎩0 2) T - chuẩn LukasiewiczTL (x, y) = max(0, x+y-1) 3) T2(x, y)= xy 2 − ( x + y − xy ) 4) Dạng tích TP (x, y) = x.y 5) T4(x, y) = xy x + y − xy 6) Dạng min (Zadeh, 1965) TM(x, y) = min(x, y) 7) Dạng Min Nilpotent (Fordor) ⎧min{x, y} khi x + y > 1⎫ TN(x, y) = min0(x, y) = ⎨ ⎬ khi x + y ≤ 1⎭ ⎩0 * Định lý 1.6: Với T là một t - chuẩn bất kỳ thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y ∈ [0, 1] T0(x, y) ≤ T(x, y) ≤ TM(x, y) T0 ≤ TL ≤ T2 ≤ TP ≤ T4 ≤ TN ≤ TM Phần chứng minh các định lý xem trong tài liệu dẫn [7] 7 * Định nghĩa 1.7: Cho T là t - chuẩn. Khi ấy a) T gọi là liên tục nếu T là hàm liên tục trên [0, 1]2. b) T là Archimed nếu T(x, x) < x, với ∀ x∈ (0, 1). c) T gọi là chặt nếu T là hàm tăng chặt trên [0, 1]2. * Ví dụ: 1) T2 (x, y) = xy là Archimed vì: T2(a, a) = a2/(2 - (2a - a2)). 2 − ( x + y − xy ) a2 < a2 ≤ a Do a2 - 2a + 2 = (a - 1)2 + 1 > 1 ⇒ 2 − (2a − a 2 ) Vậy T2(a, a) < a, với ∀ a ∈(0, 1). 2) TP(x, y) = xy là chặt vì 0 ≤ x1 < x2, 0 ≤ y1 < y2, ta có x1y1 < x2y2. 3) TM(x, y) = min(x, y) là một hàm liên tục trên [0, 1]2, nên t - chuẩn T là liên tục. Hơn thế nữa, ta luôn có TM(x, x) = min(x, x) = x. 1.2.2.3 Đồ thị của một số hàm t - chuẩn: ⎧min{x, y} khi max{x, y} = 1⎫ T0(x, y)= ⎨ ⎬ khi max{x, y} < 1⎭ ⎩0 Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn yếu nhất T0 TL(x, y) = max(0, x+y-1) Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn Lukasiewiez 8 T2(x, y) = xy . 2 − ( x + y − xy ) Hình 1.3: Đồ thị t-chuẩn T2 TP(x, y) = xy Hình 1.4: Đồ thị t-chuẩn t(x,y) = x*y TM(x, y) = min(x, y) Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn min ⎧min{x, y} khi x + y > 1⎫ TN(x, y)= ⎨ ⎬ khi x + y ≤ 1⎭ ⎩0 Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn Min-Nilpotent 9 T4(x, y) = xy x + y − xy Hình 1.6: Đồ thị t-chuẩn T4 1.2.2.4. Định nghĩa tổng quát phép giao của 2 tập mờ. Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền Ω với hàm thuộc tương ứng là A(x), B(x). Cho T là một t - chuẩn. * Định nghĩa 1.8: Ứng với t - chuẩn T, tập giao của hai tập mờ A, B là một tập mờ (A∩TB) trên X với hàm thuộc cho bởi: (A∩TB)(x) = T(A(x), B(x)), với ∀x∈X Việc lựa chọn phép giao, tương ứng với t - chuẩn T nào tuỳ thuộc vào bài toán được quan tâm. * Ví dụ: Hamacher(1978) đề nghị dùng ( A ∩ p B)(a ) = A(a ).B (a) p + (1 − p )( A(a ) + B (a ) − A(a ).B(a )) với p ≥ 0, với mỗi a ∈ Ω, còn Yager (1980) xét phép giao hai tập mờ A, B với hàm thuộc cho bởi (A ∩p B)(a)= 1 - min{ 1, ((1- A(a))p +(1- B(a))p) 1/p }, p≥ 1, với mỗi a ∈[0, 1]. Cùng thời, Dubois và Prade cũng đề nghị một họ toán tử phụ thuộc tham số t, đó là phép giao (A ∩tB) với hàm thuộc (A∩t B)(a)=A(a).B(a)/ max{ A(a), B(a), t }, với 0≤ t≤1, với mỗi a∈[0, 1]. * Ví dụ: Cho U là không gian nền: U = [0, 120] - thời gian sống; A = {Những người ở tuổi trung niên}; B = {Những người ở tuổi thanh niên} 10 Khi đó giao của hai tập mờ A và B với T(x, y) = min(x, y) và T(x, y) = xy chúng được biểu diễn trên hình vẽ như sau: Hình 1.7: Giao của 2 tập mờ dạng tích Hình 1.8: Giao của 2 tập mờ dạng min 1.2.3. T - đối chuẩn 1.2.3.1. Phép tuyển Giống như phép hội, phép tuyển hay toán tử logic OR thông thường cần thỏa mãn các tiên đề sau: D0: v(P1 OR P2), chỉ phụ thuộc vào v(P1) và v(P2). D1: Nếu v(P1) = 0, thì v(P1 OR P2) = v(P2), với mỗi mệnh đề P2. D2: Giao hoán v(P1 OR P2) = v(P2 OR P1). D3: Nếu v(P1) ≤ v(P2), thì v(P1 OR P3) ≤ v(P2 OR P3), với bất kỳ P3. D4: Kết hợp v(P1 OR(P2 OR P3)) = v((P1 OR P2) OR P3). Khi ấy ta có thể nghĩ tới các phép tuyển được định nghĩa bằng con đường tiên đề như sau: * Định nghĩa 1.9: 11 Hàm S: [0, 1]2 → [0, 1] gọi là một hàm tuyển (OR suy rộng) hay là t - đối chuẩn (t-conorm) nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau: D5: S(0, x) = x, với ∀x ∈ [0, 1]. D6: S có tính chất giao hoán: S(x, y) = S(y, x), với ∀x, y ∈ [0, 1]. D7: S không giảm: S(x, y) ≤ S(u, v) với ∀ 0 ≤ x ≤ u ≤ 1; 0 ≤ y ≤ v ≤ 1. D8: S có tính kết hợp: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z), với ∀x, y ∈ [0, 1]. Từ định nghĩa ta thấy: S(0, 1) ≤ S(x, 1) ⇔ 1 ≤ S(x, 1) ≤ 1 ⇒ S(x, 1) = 1. 1.2.3.2. Một số hàm t - đối chuẩn thông dụng Chọn phép phủ định n(x) = 1- x ta có các hàm t - đối chuẩn thông dụng như sau: 1) SM(x, y) = max (x, y). 2) SP(x, y) = x + y - xy. 3) S2(x, y) = x + y − 2 xy . 1 − xy 4) S4(x, y) = x+ y . 1 + xy 5) SL(x, y) = min(1, x+y). ⎧max{x, y} khi (x + y ) < 1⎫ 6) SN(x, y) = max1(x, y) = ⎨ ⎬ khi (x + y ) ≥ 1 ⎭ ⎩0 ⎧max{x, y} khi min(x, y ) = 0 ⎫ 7) S0(x, y) = ⎨ ⎬ khi min(x, y ) > 0 ⎭ ⎩0 * Định lý 1.10: Với S là một t - đối chuẩn bất kỳ thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y ∈ [0, 1]. a) SM(x, y) ≤ S(x, y) ≤ S0(x, y). b) SM ≤ SP ≤ S2 ≤ SL ≤ S4 ≤ S0 12 c) SM ≤ S2 ≤ SL ≤ S4 ≤ SN ≤ S0 Phần chứng minh các định lý xem trong tài liệu dẫn [2, 6] * Chú ý: SP và SN không so sánh được với nhau, bởi vì khi x + y ≤ 1 ta có: SN(x, y) = max(x, y) ≤ x + y - xy = SP(x, y). Khi x + y > 1 ta có: SN(x, y) =1 > x + y - xy = SP(x, y). * Định nghĩa 1.11: Cho S là t - đối chuẩn. Khi ấy: S gọi là liên tục nếu S là hàm liên tục trên [0, 1]2. Hàm S gọi là Archimed nếu S(x, x) > x với ∀ 0 < x < 1. S gọi là chặt nếu S là hàm tăng trên [0, 1]2 * Ví dụ: - SP(x, y) = x + y - xy, là chặt vì: Giả sử x1 < x2, ta có SP(x1, y) = x1 + y - x1y < x2 + y - x2y = SP(x2, y), với ∀y∈(0, 1). Mặt khác do S có tính chất giao hoán nên ta có SP(x1, y1) < SP(x2, y2), với mọi 0 < x1 < x2 < 1; 0< y1 < y2 < 1. - SM(x, y) = max(x, y) là một hàm liên tục trên [0, 1]2, nên t - đối chuẩn S là liên tục. Hơn thế nữa, ta luôn có SM(x, x) = max(x, x) = x. - SL(x, y) = min{1, x + y} là Archimed vì SL(x, x) = min(1, x + x) = min(1, 2x) > x 1.2.3.3. Đồ thị của một số hàm t - đối chuẩn ⎧max{x, y} khi (x + y ) < 1⎫ SN(x, y)= ⎨ ⎬ khi (x + y ) ≥ 1 ⎭ ⎩0 Hình 1.8: Đồ thị hàm t-đối chuẩn SN 13 SM(x, y) = max (x, y) Hình 1.9: Đồ thị T-đối chuẩn SM SP(x, y) = x + y - xy Hình 1.10: Đồ thị T-đối chuẩn SP S2(x, y)= x + y − 2 xy 1 − xy Hình 1.11: Đồ thị T-đối chuẩn S2 S4(x, y) = x+ y 1 + xy Hình 1.13: Đồ thị T-đối chuẩn S4