Tài liệu Một số quy trình suy diễn trong hệ mờ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ HỒ KHÁNH LÊ MỘT SỐ QUY TRÌNH SUY DIỄN TRONG HỆ MỜ Ngành: Công nghệ thông tin Chuyên ngành: Hệ thống thông tin Mã số: 60.48.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TSKH. Bùi Công Cường Hà Nội – 2009 ii MỤC LỤC Trang Trang bìa phụ.......................................................................................................................... LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................................... LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................................ MỤC LỤC ............................................................................................................................ ii BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT .......................................................................... iv DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................................. iv DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ............................................................................. iv MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 1 CHƢƠNG I - CƠ SỞ LOGIC MỜ....................................................................................... 3 1.1. Logic rõ và sự xuất hiện của logic mờ ...................................................................... 3 1.2. Các phép toán về tập mờ ........................................................................................... 4 1.2.1. Phép phủ định .................................................................................................... 4 1.2.2. T - chuẩn ............................................................................................................ 5 1.2.3. T - đối chuẩn .................................................................................................... 10 1.3. Một số vấn đề liên quan của các toán tử trong Logic Mờ ....................................... 15 1.3.1. Phép đối ngẫu................................................................................................... 16 1.3.2. Quan hệ giữa t - chuẩn và t - đối chuẩn. .......................................................... 16 1.3.3. Một số qui tắc với phép hội và phép tuyển ...................................................... 17 1.4. Phép kéo theo .......................................................................................................... 19 1.4.1. Định nghĩa phép kéo theo ................................................................................ 19 1.4.2. Một số dạng hàm kéo theo cụ thể .................................................................... 20 1.4.3. Đồ thị một số hàm kéo theo đƣợc quan tâm .................................................... 26 1.5. Quan hệ mờ và phép hợp thành............................................................................... 27 1.5.1. Quan hệ mờ ...................................................................................................... 27 1.5.2. Phép hợp thành ................................................................................................ 28 CHƢƠNG 2 – LUẬT MỜ VÀ HỆ SUY DIỄN MỜ ......................................................... 29 2.1. Hệ mờ trên cơ sở các luật mờ.................................................................................. 29 2.1.1. Định nghĩa luật mờ .......................................................................................... 29 2.1.2. Định nghĩa hệ mờ trên cơ sở các luật mờ ........................................................ 31 2.2. Hệ suy diễn mờ........................................................................................................ 32 2.2.1. Kiến trúc cơ bản của hệ suy diễn mờ ............................................................... 32 2.2.3. Các bƣớc suy diễn mờ ..................................................................................... 33 2.2.4. Một số phƣơng pháp suy diễn trong hệ mờ ..................................................... 38 CHƢƠNG III - LẬP LUẬN XẤP XỈ TRONG HỆ MỜ TRÊN CƠ SỞ CÁC LUẬT MỜ41 3.2. Mô hình ngôn ngữ - Linguistic models (LM) ......................................................... 41 3.3. Suy diễn với mô hình mờ ........................................................................................ 42 iii 3.4. Mô hình Mamdani (Constructive) và Logical (Destructive) .................................. 44 3.4.1. Phƣơng pháp lập luận Mandani ....................................................................... 45 3.4.2. Phƣơng pháp lập luận logic ............................................................................. 48 3.5. Mô hình ngôn ngữ với tập hợp các đầu ra .............................................................. 53 3.6. Mô hình Takagi – Sugeno – Kang (TSK) ............................................................... 55 3.6.1. Mô hình ............................................................................................................ 55 3.6.2. Một số ví dụ mô hình TSK đơn giản ............................................................... 57 CHƢƠNG 4 – BỘ CÔNG CỤ LOGIC MỜ CỦA MATLAB VÀ CÀI ĐẶT THỬ THUẬT TOÁN ................................................................................................................................. 59 4.1. Giới thiệu chung môi trƣờng MATLAB ................................................................. 59 4.2. Bộ công cụ Logic Mờ (Fuzzy logic toolbox) .......................................................... 60 4.2.1. Giới thiệu ......................................................................................................... 60 4.2.2. Các tính năng cơ bản của FLT ......................................................................... 63 4.2.3. Xây dựng hệ suy diễn bằng GUI của FLT ....................................................... 63 4.2.4. Cấu trúc của hệ suy diễn mờ trong Matlab ...................................................... 65 4.3. Bài toán ví dụ và cài đặt thử thuật toán 1, 2 ............................................................ 65 4.3.1. Bài toán điều khiển tín hiệu đèn giao thông .................................................... 66 4.3.2. Tiêu chí và ràng buộc....................................................................................... 67 4.3.3. Thiết kế bộ điều khiển giao thông mờ ............................................................. 68 KẾT LUẬN ........................................................................................................................ 74 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ .................................................................. 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 76 iv BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT Ký hiệu Tên đầy đủ LM Linguistic Model TSK Takagi – Sugeno – Kang Model FIS Fuzzy Inference System FLT Fyzzy Logic Toolbox DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 1.1: Các cặp đối ngẫu với n(x) = 1-x ....................................................................... 17 Bảng 2.1: Phƣơng pháp giải mờ trung bình tâm với m = 2 ............................................... 39 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Trang Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn yếu nhất T0 ................................................................................... 7 Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn Lukasiewiez ................................................................................. 7 Hình 1.3: Đồ thị t-chuẩn T2 .................................................................................................. 8 Hình 1.4: Đồ thị t-chuẩn t(x,y) = x*y ................................................................................... 8 Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn min................................................................................................ 8 Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn Min-Nilpotent............................................................................... 8 Hình 1.6: Đồ thị t-chuẩn T4 .................................................................................................. 9 Hình 1.7: Giao của 2 tập mờ dạng tích............................................................................... 10 Hình 1.8: Giao của 2 tập mờ dạng min .............................................................................. 10 Hình 1.8: Đồ thị hàm t-đối chuẩn SN.................................................................................. 12 Hình 1.9: Đồ thị T-đối chuẩn SM ........................................................................................ 13 Hình 1.10: Đồ thị T-đối chuẩn SP ....................................................................................... 13 Hình 1.11: Đồ thị T-đối chuẩn S2 ....................................................................................... 13 Hình 1.13: Đồ thị T-đối chuẩn S4 ....................................................................................... 13 Hình 1.14: Đồ thị T-đối chuẩn SL ...................................................................................... 14 Hình 1.15: Đồ thị T-đối chuẩn S0 ....................................................................................... 14 v Hình 1.16: Hợp của hai tập mờ dạng Max ......................................................................... 15 Hình 1.17: Hợp của hai tập mờ dạng Lukasewiez ............................................................. 15 Hình 1.18: Đồ thị IQL= 1-x+x2y .......................................................................................... 23 Hình 1.19: Đồ thị IQL= max(y,1-x) ..................................................................................... 23 Hình 1.20: Đồ thị I(x,y)=max(1-x,min(x,y)) ...................................................................... 26 Hình 1.21: Đồ thị hàm I(x,y) - Godeh ................................................................................ 26 Hình 1.22: Đồ thị hàm I(x,y) - Goguen .............................................................................. 27 Hình 2.1: Động cơ điều khiển tốc độ không khí. ............................................................... 30 Hình 2.2: Cấu trúc cơ bản của hệ suy diễn mờ .................................................................. 32 Hình 2.3: Giải mờ bằng phƣơng pháp cực đại ................................................................... 36 Hình 2.4: Giải mờ bằng phƣơng pháp trung bình .............................................................. 36 Hình 2.5: Giải mờ theo phƣơng pháp trung bình tâm ........................................................ 36 Hình 2.6: Hàm thuộc hợp thành dạng đối xứng ................................................................. 36 Hình 2.7: Giải mờ trung bình tâm với m=2........................................................................ 37 Hình 3.1: Phân phối kết hợp luật R1(x,y): IF U là Bi THEN V là Di ................................. 44 Hình 3.2: Phƣơng pháp lập luận Mamdani/Constructive ................................................... 47 Hình 3.3: Kết quả tính toán đầu ra bằng hình phƣơng pháp Mamdani .............................. 47 Hình 3.4: Sơ đồ khối của phƣơng pháp lập luận lôgic ....................................................... 51 Hình 3.5: Tính toán kết quả đầu ra bằng hình của phƣơng pháp logic .............................. 51 Hình 3.6: Biểu diễn các quan hệ mờ R tƣơng ứng với phƣơng pháp Mamdani ................ 52 Hình 3.7: Sơ đồ khối của cơ chế suy diễn đơn giản ........................................................... 54 Hình 3.8: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn ở ví dụ 2 .................................................... 58 Hình 4.1: Cửa sổ soạn thảo phân lớp Mờ- Neuron thích nghi ........................................... 61 Hình 4.2: Hệ thống suy diễn Mờ đƣợc thiết kế bằng Simulink ......................................... 62 Hình 4.3: Mô hình cấu trúc GUI trong Matlab .................................................................. 64 Hình 4.4: Cấu trúc FIS ....................................................................................................... 65 Hình 4.5: Hàm thuộc biến mờ của biến vào Arrival .......................................................... 69 Hình 4.6: Hàm thuộc biến mờ của biến vào Queue ........................................................... 69 Hình 4.7: Hàm thuộc biến mờ của biến ra Extention ......................................................... 69 Hình 4.8: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn dạng Mamdani .......................................... 73 Hình 4.9: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn dạng lập luận logic .................................... 73 1 MỞ ĐẦU Từ những năm đầu của thập kỷ 90 cho đến nay, hệ điều khiển mờ và mạng nơron (Fuzzy system and neuron network) đƣợc các nhà khoa học, các kỹ sƣ và sinh viên trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật đặc biệt quan tâm nghiên cứu và ứng dụng vào sản xuất. Tập mờ và logic mờ (Fuzzy set and Fuzzy logic) dựa trên các suy luận của con ngƣời về các thông tin “không chính xác” hoặc “không đầy đủ” về hệ thống để hiểu biết và điều khiển hệ thống một cách chính xác. Điều khiển mờ chính là bắt chƣớc cách xử lý thông tin và điều khiển của con ngƣời đối với các đối tƣợng, do vậy, điều khiển mờ đã giải quyết thành công các vấn đề điều khiển phức tạp trƣớc đây chƣa giải quyết đƣợc. Hiện nay, có thể nói, công nghệ tính toán mờ là một trong những lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh mẽ nhất, đƣợc đánh dấu bằng sự ra đời của hàng loạt phƣơng pháp kỹ thuật ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc tích hợp các kỹ thuật logic mờ với các phƣơng pháp phân tích khác ngày càng diễn ra mạnh mẽ. Logic mờ đƣợc ứng dụng rộng rãi để giải quyết rất nhiều bài toán của khoa học ứng dụng. Những lĩnh vực có thể kể ra ở đây là vận trù học, hỗ trợ quyết định, điều khiển, nhận dạng mẫu, kinh tế, quản lý, xã hội học, mô hình thống kê, máy học, thiết kế cơ khí, chế tạo, phân lớp, suy luận, thu nhận thông tin, quản lý cơ sở dữ liệu, chuẩn đoán y tế, hệ cơ sở tri thức, … Đặc biệt trong lĩnh vực xử lý tri thức, công nghệ tính toán mờ tỏ ra vô cùng hiệu quả. Do tri thức con ngƣời thƣờng đƣợc biểu diễn bằng các thể hiện ngôn ngữ, bằng các câu hỏi, các phát biểu về thế giới đang xét. Vấn đề đối với việc xử lý tri thức là không chỉ ở việc liên kết các tri thức, các phát biểu về thế giới đang xét, mà còn ở việc đánh giá sự đúng đắn của chúng. Logic hình thức cổ điển cho phép chúng ta đánh giá một phát biểu về thế giới là hoặc đúng, hoặc sai. Tuy nhiên, trong thực tế, đánh giá một phát biểu chỉ có đúng hoặc sai là rất khó nếu không muốn nói là phi thực tế. Lấy ví dụ: đối với các tri thức dạng “Áp suất cao”, “Thể tích nhỏ”, “Quả táo đỏ”, việc xác định một cách chính xác trị chân lý của chúng là đúng hay sai là rất khó do các từ “cao”, “nhỏ” hay “đỏ” hoàn toàn có tính chất mơ hồ. Từ đó Zadeh đã mở rộng logic mệnh đề thành logic mờ, trong đó, mỗi mệnh đề P sẽ đƣợc gán cho 1 trị chân lý (P), một giá trị trong đoạn [0, 1], biểu diễn mức độ đúng đắn của mệnh đề đó. 2 Luận văn với mục tiêu chính là tìm hiểu các quy trình suy diễn mờ sẽ tập trung vào các nội dung nhƣ sau: Chƣơng I tìm hiểu về cơ sở của logic mờ, nhắc lại các khái niệm, định nghĩa cơ bản của các toán tử trong logic mờ nhƣ t-chuẩn, t-đối chuẩn, phép phủ định, phép kéo theo, hàm thuộc, phép hợp thành… Chƣơng II của luận văn tìm hiểu về khái niệm, định nghĩa của luật mờ và hệ mờ trên cơ sở các luật mờ. Giới thiệu kiến thức cơ bản về kiến trúc, các bƣớc suy diễn của hệ suy diễn mờ và tìm hiểu một số phƣơng pháp suy diễn trong hệ mờ. Chƣơng III đi sâu vào nghiên cứu kỹ hơn về các phƣơng pháp lập lập xấp xỉ trong hệ mờ. Tìm hiểu lại các mô hình ngôn ngữ, mô hình Mamdani và đặc biệt là mô hình Takagi – Sugeno – Kang với đầu ra của hệ suy diễn không phải là biến mờ đơn mà là một hàm đầu ra. Chƣơng IV giới thiệu lại bộ công cụ logic mờ của phần mềm Matlab – bộ công cụ với đầy đủ các tính năng để thiết kế và xây dựng các hệ suy diễn mờ rất hữu ích. Đồng thời giới thiệu bài toán thiết kế hệ suy diễn điều khiển tín hiệu đèn giao thông, sử dụng để cài đặt thử kết quả cho các thuật toán giới thiệu trong chƣơng III của luận văn. 3 CHƢƠNG I - CƠ SỞ LOGIC MỜ Để có thể tiến hành các phép toán logic trên các mệnh đề, chúng ta cần phải có các phép toán logic mờ. Đó chính là các phép toán phủ định, t - chuẩn tƣơng ứng với phép hội, t - đối chuẩn ứng với phép tuyển, và phép kéo theo mờ. Trong chƣơng này, chúng ta sẽ nhắc lại các khái niệm về cơ sở logic mờ và tìm hiểu hệ suy diễn mờ. Do giới hạn của luận văn nên có nhiều khái niệm, chứng minh sẽ không đƣợc trình bày hết trong nội dung bài viết. Kiến thức cơ sở của logic mờ có thể đƣợc xem thêm ở các tài liệu [1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 18]. Trƣớc hết, chúng ta bắt đầu bằng việc tìm hiểu về các toán tử mờ và một số tính chất đặc trƣng của chúng. 1.1. Logic rõ và sự xuất hiện của logic mờ Logic rõ (logic thông thƣờng) ta đã quá quen thuộc hàng ngày với những khái niệm rất rõ ràng và từ đó cho ta các kết luận dứt khoát [9]. Chẳng hạn một cơ quan cần tuyển dụng ngƣời làm việc, trong các tiêu chuẩn tuyển chọn có một tiêu chuẩn nhƣ sau: Nếu ngƣời cao từ 1,6m trở lên thì thuộc loại ngƣời cao và đƣợc chấp nhận, còn dƣới 1,6m thì thuộc loại ngƣời thấp và bị loại. Nhƣ vậy nếu có một ngƣời nào đó có đủ tất cả các tiêu chuẩn khác nhƣng chỉ cao 1,59m thì sẽ bị loại. Logic suy nghĩ đó rất rõ ràng theo sơ đồ “máy tính” ≥1.6m nhƣ sau: Nhƣ vậy, điểm 1,6m là điểm tới hạn để ra quyết định, cứ 1,6m trở lên là thuộc loại ngƣời cao, còn dƣới 1,6m là loại ngƣời thấp. Loại Nhận Những suy nghĩ về logic mờ (logic không rõ): trong cuộc sống hàng ngày, đặc biệt là rất nhiều hiện tƣợng (nếu không nói là tất cả) đƣợc thể hiện bằng ngôn ngữ đã đƣa ta đến một khái niệm logi không rõ, logic mờ, chẳng hạn: Anh này trông rất cao. Cô này trông được đấy. 4 Hay nhƣ có nhà thơ viết: Trời thì không nắng không mưa, Chỉ hiu hiu mát cho vừa lòng nhau. Các khái niệm nhƣ: trông rất cao, được đấy, không nắng không mưa, hiu hiu mát, … thật khó cho ta đƣa ra một con số cụ thể. Tuy vậy khi nghe các từ này ta vẫn hình dung đƣợc một đặc tính cụ thể rõ rệt về đối tƣợng. Những suy nghĩ này đƣa đến khái niệm về logic mờ, chính logic mờ đã xóa đi đƣợc khái niệm cứng nhắc của logic rõ, vì rằng logic mờ đã: - Cho phép mô tả các trạng thái sự việc khi sử dụng các mức độ thay đổi giữa đúng và sai. - Có khả năng lƣợng hóa các hiện tƣợng nhập nhằng hoặc là thông tin hiểu biết về các đối tƣợng không đủ hoặc không chính xác. - Cho phép phân loại các lớp quan niệm chèn lấp lên nhau. 1.2. Các phép toán về tập mờ 1.2.1. Phép phủ định * Định nghĩa 1.1: Hàm n: [0, 1]  [0, 1] không tăng thỏa mãn các điều kiện n(0) = 1, n(1) = 0 gọi là hàm phủ định (negation-hay là phép phủ định). * Định nghĩa 1.2: a) Hàm phủ định n là chặt nếu nó là hàm liên tục và giảm chặt. b) Hàm phủ định n là mạnh nếu nó là chặt và thỏa mãn n(n(x)) = x, ∀x∈[0,1] * Ví dụ 1: - Hàm phủ định thƣờng dùng n(x) = 1-x. Đây là hàm phủ định mạnh - Hàm n(x) = 1-x2. Đây là một phủ định chặt nhƣng không mạnh. - Họ phủ định (Sugeno) N ( x)  1 x ,   1 . Với họ Sugeno này ta có 1 x mệnh đề sau: * Mệnh đề 1.3: Với mỗi   1 , N ( x) là một phủ định mạnh. 5 * Chứng minh: Thật vậy, do 1 +>0 với x1  x2 ,  x1  x1   x2  x2 . Điều này tƣơng đƣơng với N ( x1)  N ( x2 ) . Hơn nữa, N ( N ( x))  (1   x)  (1  x)  x với mỗi 0  x  1 . (1   x)   (1  x) Để thuận lợi ta cần thêm định nghĩa sau: Một cách định nghĩa phần bù của một tập mờ: Cho  là không gian nền, một tập mờ A trên  tƣơng ứng với hàm thuộc A: →[0,1]. * Định nghĩa 1.4: Cho n là hàm phủ định, phần bù AC của tập mờ A là một tập mờ với hàm thuộc cho bởi AC (a)  n( A(a)) , với mỗi a∈. Rõ ràng định nghĩa phần bù cho trong phần 1.1 là trƣờng hợp riêng khi n(x) là hàm phủ định thƣờng dùng. 1.2.2. T - chuẩn 1.2.2.1. Phép hội Phép hội (vẫn quen gọi là phép AND - Conjunction) là một trong mấy phép toán logic cơ bản nhất, nó cũng là cơ sở để định nghĩa phép giao của hai tập mờ. Phép hội cần thoả mãn mãn các tiên đề sau: C0: v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1) và v(P2). C1: Nếu v(P1) =1 thì v(P1 AND P2) = v(P2) với mọi mệnh đề P2. C2: Giao hoán v(P1 AND P2) =v(P2 AND P1). C3: v(P1)  v(P2) thì v(P1 AND P3)  v(P2 AND P3), với mọi mệnh đề P3. C4: Kết hợp: v(P1 AND (P1 AND P3)) = v((P2 AND P2) AND P3). Nếu diễn đạt phép hội mờ (fuzzy conjunction) nhƣ một hàm T: 0, 1  0, 1, thì chúng ta có thể cần tới hàm sau: * Định nghĩa 1.5: Hàm T: 0, 12  0, 1 là một t - chuẩn (t-norm), khi và chỉ khi thoả các điều kiện sau: 6 C5: T(1, x) = x với  x  [0, 1]. C6: T có tính giao hoán, tức là T(x, y) = T(y, x), với  x, y  [0, 1] C7: T không giảm theo nghĩa T(x, y)  T(u, v), với  x  u, y  v C8: T có tính kết hợp, tức làT(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z), với  0 x, y, z 1. Từ các tiên đề trên chúng ta suy ra ngay T(0, x) = 0. Hơn nữa, tiên đề C8 đảm bảo tính thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến. 1.2.2.2 Một số t - chuẩn thông dụng 1) T - chuẩn yếu nhất (drastic product) min{x, y} khi max{x, y}  1 Z(x, y) = T0(x, y) =   khi max{x, y}  1 0 2) T - chuẩn LukasiewiczTL (x, y) = max(0, x+y-1) 3) T2(x, y)= xy 2  ( x  y  xy ) 4) Dạng tích TP (x, y) = x.y 5) T4(x, y) = xy x  y  xy 6) Dạng min (Zadeh, 1965) TM(x, y) = min(x, y) 7) Dạng Min Nilpotent (Fordor) min{x, y} khi x  y  1 TN(x, y) = min0(x, y) =   khi x  y  1 0 * Định lý 1.6: Với T là một t - chuẩn bất kỳ thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y  [0, 1] T0(x, y)  T(x, y)  TM(x, y) T0  TL  T2  TP  T4  TN  TM Phần chứng minh các định lý xem trong tài liệu dẫn [7] 7 * Định nghĩa 1.7: Cho T là t - chuẩn. Khi ấy a) T gọi là liên tục nếu T là hàm liên tục trên [0, 1]2. b) T là Archimed nếu T(x, x)  x, với  x (0, 1). c) T gọi là chặt nếu T là hàm tăng chặt trên [0, 1]2. * Ví dụ: 1) T2 (x, y) = xy là Archimed vì: T2(a, a) = a2/(2 - (2a - a2)). 2  ( x  y  xy ) a2 Do a2 - 2a + 2 = (a - 1)2 + 1 > 1  < a2  a 2  (2a  a 2 ) Vậy T2(a, a)  a, với  a (0, 1). 2) TP(x, y) = xy là chặt vì 0  x1 < x2, 0  y1 < y2, ta có x1y1 < x2y2. 3) TM(x, y) = min(x, y) là một hàm liên tục trên [0, 1]2, nên t - chuẩn T là liên tục. Hơn thế nữa, ta luôn có TM(x, x) = min(x, x) = x. 1.2.2.3 Đồ thị của một số hàm t - chuẩn: min{x, y} khi max{x, y}  1 T0(x, y)=   khi max{x, y}  1 0 Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn yếu nhất T0 TL(x, y) = max(0, x+y-1) Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn Lukasiewiez 8 T2(x, y) = xy . 2  ( x  y  xy ) Hình 1.3: Đồ thị t-chuẩn T2 TP(x, y) = xy Hình 1.4: Đồ thị t-chuẩn t(x,y) = x*y TM(x, y) = min(x, y) Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn min min{x, y} khi x  y  1 TN(x, y)=   khi x  y  1 0 Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn Min-Nilpotent 9 T4(x, y) = xy x  y  xy Hình 1.6: Đồ thị t-chuẩn T4 1.2.2.4. Định nghĩa tổng quát phép giao của 2 tập mờ. Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền  với hàm thuộc tƣơng ứng là A(x), B(x). Cho T là một t - chuẩn. * Định nghĩa 1.8: Ứng với t - chuẩn T, tập giao của hai tập mờ A, B là một tập mờ (ATB) trên X với hàm thuộc cho bởi: (ATB)(x) = T(A(x), B(x)), với xX Việc lựa chọn phép giao, tƣơng ứng với t - chuẩn T nào tuỳ thuộc vào bài toán đƣợc quan tâm. * Ví dụ: Hamacher(1978) đề nghị dùng ( A  p B)(a)  A(a).B(a) p  (1  p)( A(a)  B(a)  A(a).B(a)) với p  0, với mỗi a  , còn Yager (1980) xét phép giao hai tập mờ A, B với hàm thuộc cho bởi (A p B)(a)= 1 - min{ 1, ((1- A(a))p +(1- B(a))p) 1/p }, p 1, với mỗi a [0, 1]. Cùng thời, Dubois và Prade cũng đề nghị một họ toán tử phụ thuộc tham số t, đó là phép giao (A tB) với hàm thuộc (At B)(a)=A(a).B(a)/ max{ A(a), B(a), t }, với 0 t1, với mỗi a[0, 1]. * Ví dụ: Cho U là không gian nền: U = [0, 120] - thời gian sống; A = Những ngƣời ở tuổi trung niên; B = Những ngƣời ở tuổi thanh niên 10 Khi đó giao của hai tập mờ A và B với T(x, y) = min(x, y) và T(x, y) = xy chúng đƣợc biểu diễn trên hình vẽ nhƣ sau: Hình 1.7: Giao của 2 tập mờ dạng tích Hình 1.8: Giao của 2 tập mờ dạng min 1.2.3. T - đối chuẩn 1.2.3.1. Phép tuyển Giống nhƣ phép hội, phép tuyển hay toán tử logic OR thông thƣờng cần thỏa mãn các tiên đề sau: D0: v(P1 OR P2), chỉ phụ thuộc vào v(P1) và v(P2). D1: Nếu v(P1) = 0, thì v(P1 OR P2) = v(P2), với mỗi mệnh đề P2. D2: Giao hoán v(P1 OR P2) = v(P2 OR P1). D3: Nếu v(P1)  v(P2), thì v(P1 OR P3)  v(P2 OR P3), với bất kỳ P3. D4: Kết hợp v(P1 OR(P2 OR P3)) = v((P1 OR P2) OR P3). Khi ấy ta có thể nghĩ tới các phép tuyển đƣợc định nghĩa bằng con đƣờng tiên đề nhƣ sau: * Định nghĩa 1.9: 11 Hàm S: [0, 1]2  [0, 1] gọi là một hàm tuyển (OR suy rộng) hay là t - đối chuẩn (t-conorm) nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau: D5: S(0, x) = x, với x  [0, 1]. D6: S có tính chất giao hoán: S(x, y) = S(y, x), với x, y  [0, 1]. D7: S không giảm: S(x, y)  S(u, v) với  0  x  u  1; 0  y  v  1. D8: S có tính kết hợp: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z), với x, y  [0, 1]. Từ định nghĩa ta thấy: S(0, 1)  S(x, 1)  1  S(x, 1)  1  S(x, 1) = 1. 1.2.3.2. Một số hàm t - đối chuẩn thông dụng Chọn phép phủ định n(x) = 1- x ta có các hàm t - đối chuẩn thông dụng nhƣ sau: 1) SM(x, y) = max (x, y). 2) SP(x, y) = x + y - xy. 3) S2(x, y) = x  y  2 xy . 1  xy 4) S4(x, y) = x y . 1  xy 5) SL(x, y) = min(1, x+y). max{x, y} khi (x  y )  1 6) SN(x, y) = max1(x, y) =   khi (x  y )  1  0 max{x, y} khi min(x, y )  0  7) S0(x, y) =   khi min(x, y )  0  0 * Định lý 1.10: Với S là một t - đối chuẩn bất kỳ thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y  [0, 1]. a) SM(x, y)  S(x, y)  S0(x, y). b) SM SP  S2  SL  S4  S0 12 c) SM  S2 SL  S4 SN S0 Phần chứng minh các định lý xem trong tài liệu dẫn [2, 6] * Chú ý: SP và SN không so sánh đƣợc với nhau, bởi vì khi x + y  1 ta có: SN(x, y) = max(x, y)  x + y - xy = SP(x, y). Khi x + y > 1 ta có: SN(x, y) =1 > x + y - xy = SP(x, y). * Định nghĩa 1.11: Cho S là t - đối chuẩn. Khi ấy: S gọi là liên tục nếu S là hàm liên tục trên [0, 1]2. Hàm S gọi là Archimed nếu S(x, x)  x với  0  x  1. S gọi là chặt nếu S là hàm tăng trên [0, 1]2 * Ví dụ: - SP(x, y) = x + y - xy, là chặt vì: Giả sử x1 < x2, ta có SP(x1, y) = x1 + y - x1y < x2 + y - x2y = SP(x2, y), với y(0, 1). Mặt khác do S có tính chất giao hoán nên ta có SP(x1, y1) < SP(x2, y2), với mọi 0 < x1 < x2 < 1; 0< y1 < y2 < 1. - SM(x, y) = max(x, y) là một hàm liên tục trên [0, 1]2, nên t - đối chuẩn S là liên tục. Hơn thế nữa, ta luôn có SM(x, x) = max(x, x) = x. - SL(x, y) = min{1, x + y} là Archimed vì SL(x, x) = min(1, x + x) = min(1, 2x) > x 1.2.3.3. Đồ thị của một số hàm t - đối chuẩn max{x, y} khi (x  y )  1 SN(x, y)=   khi (x  y )  1  0 Hình 1.8: Đồ thị hàm t-đối chuẩn SN 13 SM(x, y) = max (x, y) Hình 1.9: Đồ thị T-đối chuẩn SM SP(x, y) = x + y - xy Hình 1.10: Đồ thị T-đối chuẩn SP S2(x, y)= x  y  2 xy 1  xy Hình 1.11: Đồ thị T-đối chuẩn S2 S4(x, y) = x y 1  xy Hình 1.13: Đồ thị T-đối chuẩn S4 14 SL(x, y) = min(1, x+y) Hình 1.14: Đồ thị T-đối chuẩn SL max{x, y} khi min(x, y )  0  S0(x, y)=   khi min(x, y )  0  0 Hình 1.15: Đồ thị T-đối chuẩn S0 1.2.3.4. Định nghĩa tổng quát phép hợp của 2 tập mờ * Định nghĩa 1.12: Cho A và B là 2 tập mờ trên không gian nền , với hàm thuộc A(x), B(x) tƣơng ứng. Cho S là một t - đối chuẩn. Phép hợp (ASB) là một tập mờ trên X với hàm thuộc cho bởi biểu thức: (ASB)(x) = S(A(x), B(x)), với x X. Việc lựa chọn phép hợp, tƣơng ứng với t - đối chuẩn S nào tuỳ thuộc vào bài toán ta quan tâm. * Ví dụ: Hamacher, 1978, đã cho họ phép hợp hai tập mờ với hàm thuộc theo tham số q, ( A  q B)(a)  (q ) A(a).B(a)  A(a)  B(a) với q -1, a   1  a( A(a).B(a) 15 Còn họ phép hợp (Ap B) tƣơng ứng của Yager cho bởi hàm thuộc với tham số p, (A p B)(a)=min {1, (A(a)p+ B(a)p) 1/p}, với p 1, a  . Tƣơng tự, họ phép hợp do Dubois và Prade đề nghị với các hàm thuộc với tham số t, có dạng: ( A t B)(a)  A(a)  B(a)  A(a).B(a)  min{ A(a), B(a), (1  t )} max{(1  A(a)),(1  B(a)),t} với t [0, 1], a. * Ví dụ: Cho U là không gian nền: U = [0, 120] là thời gian sống. A={Những ngƣời ở tuổi trung niên}; B ={Những ngƣời ở tuổi thanh niên}. Khi đó hợp của hai tập mờ A, B với T(x, y) = max(x, y) và T(x, y)= max(1, x+y). Biểu diễn trên hình vẽ nhƣ sau: Hình 1.16: Hợp của hai tập mờ dạng Max Hình 1.17: Hợp của hai tập mờ dạng Lukasewiez 1.3. Một số vấn đề liên quan của các toán tử trong Logic Mờ