Tài liệu Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến f(x)=0

  • Số trang: 68 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 178 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8489 tài liệu

Mô tả:

Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo, cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 15 chuyên ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Khuất Văn Ninh đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Trần Văn Cường Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả. Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Trần Văn Cường Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Một số kiến thức về giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Phương pháp dây cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Phương pháp Newton và các mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Phương pháp Newton (Phương pháp tiếp tuyến) . . . . . . . . 9 1.3.2. Phương pháp Newton - Raphson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3. Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. PHƯƠNG PHÁP LẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Phân loại các hàm lặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Hàm lặp một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3. Hàm lặp nhiều điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.4. Bậc hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Các định lý tổng quát về phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1. Một số mệnh đề về điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2. Sự hội tụ tuyến tính và trên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 i 2.2.3. Thực hiện phép lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 29 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP LẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ii Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Nhiều vấn đề trong thực tế dẫn tới việc giải các phương trình và hệ phương trình. Chúng có thể là các phương trình, hệ phương trình đại số, vi phân, hay đạo hàm riêng. Việc giải đúng của các phương trình này nói chung là rất khó. Ta chỉ có thể mong muốn tìm được nghiệm gần đúng của chúng. Có rất nhiều phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của phương trình. Mỗi phương pháp có những ưu điểm riêng, và phù hợp với những loại phương trình khác nhau. Nhưng có thể thấy rằng nhiều thuật toán giải phương trình được mô tả bởi các hàm lặp. Việc trình bày một cách hệ thống về lý thuyết của các thuật toán lặp và bậc hội tụ của chúng trong việc giải gần đúng phương trình và hệ phương trình giúp cho ta có một cái nhìn sâu hơn và tổng quát hơn về các phương pháp lặp riêng biệt đã biết, và có thể tìm ra được ứng dụng của những phương pháp đó trong việc giải phương trình. Vì những lí do trên, được sự định hướng của PGS. TS. Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN”. 1 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết về các phương pháp lặp giải gần đúng phương trình f (x) = 0 trong không gian một chiều. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu cơ sở lý thuyết, các tính chất của phương pháp lặp được biểu diễn dưới dạng hàm lặp, trong việc giải phương trình. Trong đó nghiên cứu về thuật toán, về bậc hội tụ. Nghiên cứu các ứng dụng của phương pháp lặp trong việc giải phương trình cụ thể. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các phương pháp lặp trong việc giải gần đúng phương trình f (x) = 0 trong không gian một chiều. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo. - Sử dụng các phương pháp của Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống về phương pháp lặp về bậc hội tụ và ứng dụng của nó trong các bài toán cụ thể. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về giải tích hàm giải tích số, phương trình toán tử, một số phương pháp lặp giải phương tình phi tuyến f (x) = 0. Phương pháp Newton và một số mở rộng. Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1,3,5,7,8,9]. 1.1. Một số kiến thức về giải tích hàm 1.1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1. Cho tập X 6= ∅. Ánh xạ d : X × X → R được gọi là metric trên X nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau: i) ∀x, y ∈ X, d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y; ii) ∀x, y ∈ X, d (x, y) = d (y, x); iii) ∀x, y, z ∈ X, d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z). Cặp (X, d) được gọi là không gian metric. Các phần tử của Xgọi là các điểm, các tiên đề i), ii), iii) gọi là hệ tiên đề metric, d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. Định nghĩa 1.2. Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn } ⊂ X được 3 gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀m, n ≥ n0 : d (xm , xn ) < ε hay lim d (xm , xn ) = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.3. Không gian metric (X, d) gọi là đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ đến một điểm thuộc X. Định nghĩa 1.4. Cho không gian metric (X, d). Ánh xạ A từ không gian (X, d) vào chính nó gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α, 0 ≤ α < 1, sao cho d (Ax, Ax0 ) ≤ αd (x, x0 ) , ∀x, x0 ∈ X. Định lý 1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x̄ duy nhất, nghĩa là x̄ ∈ X thỏa mãn hệ thức Ax̄ = x̄. Ví dụ 1.1. Trong không gian R1 cho ánh xạ A được xác định bởi công thức Ax = π − a sin x, |a| < 1. Khi đó A ánh xạ không gian đủ R1 vào chính nó. Hơn nữa, 0 0 x + x x − x sin |Ax − Ax0 | = |a sin x − a sin x0 | = 2 |a| cos 2 2 x − x0 = |a| |x − x0 | . ≤ 2 |a| 2 Suy ra A là ánh xạ co, vì |a| < 1. Theo nguyên lý Banach về ánh xạ co, ánh xạ A có điểm bất động duy nhất x̄. Ta dễ dàng kiểm tra được điểm bất động duy nhất đó là x̄ = π. 4 Ví dụ 1.2. Cho ánh xạ A ánh xạ nửa khoảng [1, +∞) vào chính nó xác định bằng công thức 1 Ax = x + . x Ta có [1, +∞) là một tập hợp con đóng của R1 với metric d(x, y) = |x − y|. Do đó [1, +∞) cùng với metric của R1 lập thành một không gian metric đủ. Giả sử ánh xạ A : [1, +∞) → [1, +∞) x 7→ A(x) là ánh xạ co, suy ra tồn tại duy nhất x0 ∈ [1, +∞) sao cho Ax0 = x0 ⇔ x0 + 1 1 = x0 ⇔ = 0 (vô lý). x0 x0 Vậy A không có điểm bất động, do đó A không là ánh xạ co. 1.1.2. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là k·k và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây: i) ∀x ∈ X, kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ); ii) ∀x ∈ X, ∀α ∈ P , kαxk = |α| kxk; iii) ∀x, y ∈ X, kx + yk ≤ kxk + kyk. Số kxk được gọi là chuẩn của véctơ x. Ta ký hiệu không gian định chuẩn 5 là (X, k·k). Nếu trên X chỉ trang bị một chuẩn ta có thể ký hiệu là X. Các tiên đề i), ii), iii) gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.6. Dãy điểm {xn } trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu lim kxn − xm k = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.7. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Ví dụ 1.3. Cho không gian véctơ thực n chiều Rn . Đối với véctơ bất kì x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ta đặt v uX u n kxk = t |xj |2 . (1.1) j=1 Từ công thức kxk = d(x, θ) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.1) cho một chuẩn trên Rn . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là Rn . Dễ thấy Rn là không gian Banach. Ví dụ 1.4. Cho không gian véctơ C[a,b] . Đối với véctơ bất kì x(t) ∈ C[a,b] ta đặt kxk = max |x(t)| . a≤t≤b (1.2) Từ công thức kxk = d(x, θ) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.2) cho một chuẩn trên C[a,b] . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là C[a,b] . Dễ thấy C[a,b] là không gian Banach. Ví dụ 1.5. Cho không gian véctơ L[a,b] . Đối với véctơ bất kì x(t) ∈ L[a,b] ta đặt Zb kxk = |x(t)| dt. a 6 (1.3) Từ công thức kxk = d(x, θ) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.3) cho một chuẩn trên L[a,b] . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là L[a,b] . Dễ thấy L[a,b] là không gian Banach. Áp dụng Định lý 1.1 cho X là không gian Banach ta có định lý sau: Định lý 1.2. (Nguyên lý ánh xạ co trong không gian Banach) Cho không gian Banach Xvà một ánh xạ co T đi từ X vào chính nó, nghĩa là tồn tại một hằng số M , 0M < 1, thỏa mãn kT v1 − T v2 k M kv1 − v2 k , ∀v1 , v2 ∈ X. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm u thuộc X sao cho u = T u. 1.2. Phương pháp dây cung Xét phương trình f (x) = 0. Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và f (a).f (b) < 0. Giả sử f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục và f 00 (x) > 0 trên đoạn [a, b]. Khi đó đồ thị y = f (x) nằm phía dưới dây cung AB với A (a, f (a)), B (b, f (b)). Trường hợp 1: Nếu f (a) > 0, ta xây dựng dãy {xn } theo hệ thức    x0 = b    f (xn ) xn+1 = xn − (xn − a) (1.4)  f (x ) − f (a) n     n ∈ N. Khi đó ta sẽ có dãy {xn } đơn điệu giảm, bị chặn và a < x∗ < ... < xn+1 < xn < ... < x0 = b. 7 Trường hợp 2: Nếu f (a) < 0, ta xây dựng dãy {xn } theo hệ thức    x0 = a    f (xn ) xn+1 = xn − (b − xn ) (1.5)  f (b) − f (x ) n     n ∈ N. Khi đó ta sẽ có dãy {xn } đơn điệu tăng, bị chặn và a = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 < ... < x∗ < b. Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a, b], dãy {xn } ⊂ [a, b], f 0 (x) giữ nguyên dấu và ngoài ra ta có 0 < m ≤ |f 0 (x)| ≤ M < +∞. Khi đó ta có thể chứng minh được ước lượng sai số sau |xn − x∗ | ≤ M −m |xn − xn−1 | ; n = 1, 2, .... m Ví dụ 1.6. Tìm nghiệm dương của phương trình sau đây nhờ phương pháp dây cung với độ chính xác đến ε = 0, 002: f (x) = x3 − 0, 2x2 − 0, 2x − 1, 2 = 0. Ta có f 0 (x) = 3x2 − 0, 4x − 0, 2 f (1) = −0, 6 < 0; f (1, 5) = 1, 425 > 0. Do đó x∗ ∈ (1; 1, 5). Mặt khác f 0 (x) > 0 trên (1; 1, 5) và f 00 (x) > 0, ∀x ∈ (1; 1, 5). Với x0 = 1, áp dụng (1.5), ta có x1 = 1, 15; x2 = 1, 190; x3 = 1, 198; .... 8 Để ý rằng nghiệm đúng của phương trình trên là x = 1, 2. Vì |x3 − x∗ | = 0, 002 nên x3 là nghiệm gần đúng chấp nhận được. 1.3. Phương pháp Newton và các mở rộng 1.3.1. Phương pháp Newton (Phương pháp tiếp tuyến) Cho phương trình f (x) = 0, (1.6) trong đó f (x) là hàm số biến số thực. Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn: i) Phương trình (1.6) có nghiệm ξ duy nhất trên [a, b], 2 ii) f ∈ C[a,b] và f 0 (x), f 00 (x) không đổi dấu trên [a, b]. Điểm x0 ∈ [a, b] gọi là điểm Fourier của hàm f nếu nó thỏa mãn điều kiện f (x0 )f 00 (x0 ) > 0. Chọn xấp xỉ ban đầu x0 là điểm Fourier. Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm M0 (x0 , f (x0 )) có dạng y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ). Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành là 0 = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) hay x1 = x0 − f (x0 ) . f 0 (x0 ) Làm tương tự như vậy với điểm x1 ta tìm được giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành là x2 . Tổng quát ta có xn+1 = xn − 9 f (xn ) . f 0 (xn ) (1.7) Không giảm tính tổng quát, hàm f (x) trong phương trình (1.6) có thể coi có đạo hàm f 00 (x) > 0, nếu không ta xét phương trình g(x) = 0 với g = −f . Sau đây ta chỉ xét trường hợp f 0 (x) < 0. Trường hợp f 0 (x) > 0 hoàn toàn tương tự. Khai triển f (xn ) tại điểm xn−1 theo công thức Taylor, ta có f 00 (ξn−1 ) (xn − xn−1 )2 . f (xn ) = f (xn−1 ) + f (xn−1 )(xn − xn−1 ) + 2 0 Từ (1.7) suy ra f (xn ) = f 00 (ξn−1 ) (xn − xn−1 )2 ≥ 0. 2 Mặt khác f (xn ) f 00 (ξn−1 )(xn − xn−1 )2 xn+1 − xn = − 0 =− ≥ 0, f (xn ) 2f 0 (xn ) do đó dãy {xn } đơn điệu không giảm. Nếu có xn > ξ, thì do f 0 (x) < 0 nên f (xn ) < f (ξ) = 0. Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức f (xn ) ≥ 0. Như vậy xn ≤ xn+1 ≤ ... ≤ ξ, suy ra tồn tại giới hạn lim xn = ζ. n→∞ Ta có từ (1.7): |f (xn )| = |f 0 (xn )| |xn+1 − xn | ≤ M |xn+1 − xn | , trong đó M = sup {|f 0 (x)| : x ∈ [a, b]} . Cho n → ∞ ta được f (ζ) = 0. Từ giả thiết i) suy ra ζ = ξ. 10 Để đánh giá sai số phương pháp Newton, ta giả thiết |f 00 (x)| ≤ M2 0 và f (x) ≥ M1 > 0 với mọi x ∈ [a, b] . Mặt khác, ta có f (xn+1 ) = f (xn+1 ) − f (ξ) = f 0 (x̄n+1 )(xn+1 − ξ). Từ đây suy ra |xn+1 − ξ| ≤ |f (xx+1 )| . M1 (1.8) Sử dụng (1.7) và triển khai Taylor ta có f 0 (ξn ) f (xn+1 ) = f (xn ) + f (xn )(xn+1 − xn ) + (xn+1 − xn )2 2 00 f (ξn ) = (xn+1 − xn )2 . 2 0 Từ bất đẳng thức cuối suy ra |f (xn+1 )| ≤ M2 |xn+1 − xn |2 . 2 Áp dụng (1.8) ta được |xn+1 − ξ| ≤ M2 |xn+1 − xn |2 . 2M1 (1.9) Khi n lớn, độ lệch |xn+1 − xn | khá nhỏ. Từ công thức (1.9) suy ra xn+1   2 rất gần ξ vì |xn+1 − ξ| = O |xn+1 − xn | . Phương pháp Newton có bậc hội tụ bằng 2. (Khái niệm bậc hội tụ sẽ được nêu trong chương 2.) 1.3.2. Phương pháp Newton - Raphson Bây giờ ta xét ánh xạ f : Rn → Rn và phương trình f (x) = 0, 11 (1.10) trong đó x = (x1 , ..., xn )T ∈ Rn , f (x) = (f1 (x), ..., fn (x))T ∈ Rn . Ta có     0 f (x)  1        f (x) = 0 ⇔  ...  =  ...  .     0 fn (x) Giả sử (1.10) có nghiệm duy nhất ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ S̄(x0 , R). Ta viết phương trình (1.10) dưới dạng: f (x) − f (x0 ) = −f (x0 ). (1.11) Ta có f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ), trong đó ko(x − x0 )k = 0. x→x0 kx − x0 k lim Thay f (x) − f (x0 ) ≈ f 0 (x0 )(x − x0 ), trong đó f 0 (x0 ) là đạo hàm Frechet của f tại x0 , vào (1.11) ta được f 0 (x0 )(x − x0 ) = −f (x0 ). (1.12) Giả sử ánh xạ f có f 0 (x), ∀x ∈ S(x0 , R) và tồn tại [f 0 (x)]−1 , x ∈ S̄(x0 , R). Ta có   ∂f1 (x0 ) ∂f1 (x0 ) ···  ∂x ∂xn  1     0 f (x0 ) =  · · · .    ∂fn (x0 ) ∂fn (x0 )  ··· ∂x1 ∂xn Phương trình (1.12) là hệ phương trình đại số tuyến tính f 0 (x0 )x = −f (x0 ) + f 0 (x0 )x0 . 12 Giả sử phương trình (1.12) có nghiệm x1 . Khi đó −1 x1 − x0 = −[f 0 (x0 )] f (x0 ) −1 ⇔ x1 = x0 − [f 0 (x0 )] f (x0 ). Ta có x1 là nghiệm xấp xỉ đầu tiên của phương trình (1.10). Tiếp tục, ta viết phương trình (1.10) dưới dạng: f (x) − f (x1 ) = −f (x1 ). Lập luận tương tự như trên ta tìm được x2 là nghiệm của phương trình f 0 (x1 )(x − x1 ) = −f (x1 ). Khi đó ta có f 0 (x1 )(x2 − x1 ) = −f (x1 ) −1 ⇒ x2 = x1 − [f 0 (x1 )] f (x1 ). Tương tự như vậy ta được dãy −1 xk+1 = xk − [f 0 (xk )] f (xk ); k = 0, 1, 2.... (1.13) (1.13) được gọi là phương pháp Newton - Raphson và ta cũng chứng minh được k kxk − ξk ≤ c1 q 2 ; c1 = const, 0 ≤ q < 1. 1.3.3. Phương pháp Newton - Kantorovich Nhà toán học Liên xô L. Kantorovich đã mở rộng phương pháp Newton cho ánh xạ từ một không gian Banach X vao một không gian Banach Y. 13 Giả sử X và Y là các không gian Banach, S = S(x0 , R) hình cầu tâm x0 bán kính R, S ⊂ X. Xét phương trình toán tử dạng P (x) = 0, (1.14) trong đó toán tử phi tuyến P xác định trong hình cầu S, giá trị thuộc không gian Banach Y . Các xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau: Lấy phần tử x0 ∈ S. Giả sử toán tử P có đạo hàm liên tục P 0 (x) trong S. Thay thế phương trình (1.14) bởi phương trình tương đương sau P (x0 ) − P (x) = P (x0 ). Giả sử x∗ là nghiệm của phương trình (1.14). Giá trị P (x0 ) − P (x∗ ) được thay bởi giá trị gần đúng P 0 (x0 )(x0 −x∗ ). Ta có thể suy luận rằng nghiệm của phương trình P 0 (x0 )(x0 − x) = P (x0 ) sẽ gần nghiệm x∗ . Vì vậy xấp xỉ đầu tiên x1 được chọn là nghiệm của phương trình nói trên, tức là −1 P 0 (x0 )(x0 − x1 ) = P (x0 ) ⇒ x1 = x0 − [P 0 (x0 )] P (x0 ). Những xấp xỉ tiếp theo được xác định tương tự từ những phương trình tuyến tính sau P 0 (xn )(xn − x) = P (xn ); n = 0, 1, 2..., Gọi xn+1 là nghiệm của phương trình nói trên: P 0 (xn )(xn − xn+1 ) = P (xn ). 14 Nếu tồn tại [P 0 (xn )]−1 , thì −1 xn+1 = xn − [P 0 (xn )] P (xn ); n = 0, 1, 2.... (1.15) Phương pháp xây dựng các xấp xỉ xn như trên gọi là phương pháp Newton - Kantorovich. Nếu dãy {xn } hội tụ đến x∗ và x0 được chọn gần x∗ thì các toán tử P 0 (xn ) và P 0 (x0 ) sẽ gần nhau. Điều đó làm cơ sở cho việc thay thế công thức (1.15) bằng công thức đơn giản hơn −1 yn+1 = yn − [P 0 (x0 )] P (yn ); n = 0, 1, 2...; y0 ≡ x0 . (1.16) Phương pháp xây dựng dãy {yn } như trên được gọi là phương pháp Newton - Kantorovich cải biên. Sau đây ta nêu một số điều kiện đủ để dãy (1.15) hoặc (1.16) hội tụ dựa trên phương pháp làm trội (majorant): Định lý 1.3. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn 1) toán tử P được xác định trong hình cầu đóng S và có đạo hàm cấp hai liên tục P 00 (x) trong S; S = S(x0 , R); 2) tồn tại hàm số ψ(u)(u0 ≤ u ≤ u0 ), u0 = u0 + r, r > 0 hai lần khả vi liên tục và ϕ(u) = u + c0 ψ(u); 3 ) tồn tại toán tử tuyến tính liên tục Γ0 = [P 0 (x0 )]−1 ; 4) c0 = − ψ(u1 0 ) > 0; 5) kΓ0 P (x0 )k ≤ c0 ψ(u0 ); 6) kΓ0 P 00 (x)k ≤ c0 ψ 00 (u), nếu kx − x0 k ≤ u − u0 ≤ r; 15 7) phương trình ψ(u) = 0 (1.17) có ít nhất một nghiệm trong đoạn [u0 , u0 ] . Khi đó dãy xây dựng theo phương pháp Newton - Kantorovich cải biên (1.16) hội tụ đến nghiệm của phương trình (1.14). Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức kyn − x∗ k ≤ u − v n , trong đó u là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1.17); v n được xác định bởi các đẳng thức v n = v n−1 + c0 ψ(v n−1 ); n = 1, 2...; v 0 = uo . Định lý 1.4. Giả sử các điều kiện của Định lý 1.3 được thỏa mãn, ngoài ra ψ(u0 ) ≤ 0. Khi đó nếu phương trình (1.17) có một nghiệm duy nhất trong [u0 , u0 ], thì phương trình (1.14) có một nghiệm duy nhất. Định lý 1.5. Giả sử các điều kiện của Định lý 1.3 được thỏa mãn. Khi đó các nghiệm xấp xỉ Newton - Kantorovich (1.15) hội tụ đến nghiệm của phương trình (1.14). Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức kxn − x∗ k ≤ u − un , trong đó u là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1.17), còn un được xác định bởi các đẳng thức un = un−1 + cn−1 ψ(un−1 ), u0 = u0 , 16
- Xem thêm -