Tài liệu Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi tích phân phi tuyến fredholm loại ii

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ THANH HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN PHI TUYẾN FREDHOLM LOẠI II LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ THANH HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN PHI TUYẾN FREDHOLM LOẠI II LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Khuất Văn Ninh HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hà Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc. Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hà 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Một số kiến thức về Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Không gian C[a,b] và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Một số kiến thức về Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Một số kiến thức về giải tích số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 11 1.3.1. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Sai phân và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1. Định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Phương pháp tính toán trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Phương pháp lặp biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Phương pháp chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Phương pháp giải số phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1. Sự kết hợp của phương pháp cầu phương và phương pháp sai phân giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II 37 3.2. Các ví dụ minh họa và ứng dụng Maple trong tính toán. . . 40 2 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Cùng với sự phát triển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng. Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi-tích phân. Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm là loại phương trình xuất hiện trong toán học và các ngành khoa học ứng dụng và từ lâu đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Việc tìm nghiệm chính xác của phương trình nói trên gặp rất nhiều khó khăn. Vì vậy người ta nghiên cứu việc giải xấp xỉ phương trình đó. Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II có thể giải bằng các phương pháp khác nhau. Trong đó, phương pháp giải tích cho nghiệm dưới dạng biểu thức giải tích và phương pháp số cho nghiệm thu được dưới dạng bảng số. Trong quá trình giải, ta có thể kết hợp sử dụng phần mềm Maple trong tính toán. Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh tôi đã nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II” để thực hiện luận văn của mình. 4 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II và ứng dụng Maple trong tính toán. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II; • Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có và hệ thống lại các vấn đề liên quan tới đề tài. 6. Đóng góp của luận văn Luận văn trình bày một cách hệ thống một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II và ứng dụng các phương pháp đó vào giải các phương trình cụ thể. Áp dụng phần mềm Maple trong tính toán. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta nêu lại một số kết quả về Giải tích, Giải tích số và Giải tích hàm sẽ được sử dụng trong các chương sau. Các kết quả này được trích dẫn chủ yếu trong các tài liệu [1]-[6]. 1.1. Một số kiến thức về Giải tích hàm 1.1.1. Không gian Metric Cho X là một tập tùy ý. Định nghĩa 1.1.1. Một metric trong X là một ánh xạ d:X ×X →R thỏa mãn các điều kiện sau đây (i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; (ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y; (iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; (iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X. Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp ấy. Các phần tử của một không gian metric được gọi là điểm của không gian ấy. Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y. 6 Định nghĩa 1.1.2. Một dãy các điểm (xn ), n = 1, 2, . . . trong không gian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim d(a, xn ) = 0. n→∞ Khi đó ta kí hiệu lim xn = a hoặc xn → a khi n → ∞. n→∞ Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm (xn ) được gọi là dãy cơ bản trong không gian metric X nếu với mọi > 0 cho trước, tồn tại một số n0 sao cho với mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có d (xn , xm ) < ε. Nói cách khác ta có lim d(xn , xm ) = 0. n,m→∞ Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản. Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X. Định nghĩa 1.1.5. Cho X, Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ f : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α với 0 ≤ α < 1 sao cho với mọi x, x ∈ X ta đều có d (f (x) , f (x )) ≤ αd (x, x ) và α được gọi là hệ số co của ánh xạ f. Hiển nhiên một ánh xạ co là ánh xạ liên tục đều. Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co). Giả sử X là một metric đầy đủ và f : X → X là một ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại duy 7 nhất một điểm x∗ ∈ X sao cho f (x∗ ) = x∗ . Hơn nữa x∗ là giới hạn của dãy (xn ) được xây dựng như sau: x0 tùy ý thuộc X, xn+1 = f (xn ), n ≥ 0 và tốc độ hội tụ được đánh giá theo công thức αn d(xn , x ) ≤ d(x1 , x0 ), 1−α trong đó α là hệ số co của f. ∗ 1.1.2. Không gian định chuẩn Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc P = C). Định nghĩa 1.1.6. Một chuẩn, kí hiệu · trong X là một ánh xạ từ X vào P thỏa mãn các điều kiện (i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X; (ii) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không); (iii) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ P và với mọi x ∈ X; (iv) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X. Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Định nghĩa 1.1.7. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo P là thực hoặc phức). Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x ∈ X đặt d(x, y) = x − y . Khi đó d là một metric trên X. 8 Định nghĩa 1.1.8. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim xn − x0 = 0. Khi đó ta kí hiệu lim xn = x0 n→∞ n→∞ hay xn → x0 (n → ∞). Định nghĩa 1.1.9. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơ bản nếu lim n,m→∞ xn − xm = 0. Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. 1.1.3. Không gian C[a,b] và các tính chất Định nghĩa 1.1.11. C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], −∞ < a < b < +∞. Các tính chất: (i) Không gian C[a,b] là không gian metric. ∀x, y ∈ C[a,b] , d(x, y) = max |x(t) − y(t)| ; a≤t≤b (ii) Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn x = max |x(t)| ; a≤t≤b (iii) Không gian C[a,b] là không gian Banach. (iv) Tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] . Cho nên C[a,b] là không gian tách được. n Định nghĩa 1.1.12. Không gian C[a,b] gồm tất cả các hàm x(t) xác định trên đoạn [a, b] và có đạo hàm liên tục đến cấp n, với chuẩn được xác định bởi x = max {|x(t)| , |x (t)| , ..., |xn (t)|} . a≤t≤b 9 1.2. Một số kiến thức về Giải tích 1.2.1. Chuỗi lũy thừa +∞ Định nghĩa 1.2.1. Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng an (x − x0 )n n=0 trong đó x0 , a0 , a1 , a2 , . . . là những số thực. Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa. Để ý rằng chuỗi lũy thừa luôn luôn hội tụ tại điểm x = x0 . +∞ Nếu đặt y = x − x0 thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng an y n , n=0 chuỗi có tâm tại y = 0. Các tính chất của tổng chuỗi lũy thừa. +∞ Định lý 1.2.1. Giả sử chuỗi lũy thừa an xn có bán kính hội tụ R > 0, n=0 khi đó tổng S(x) của nó là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ (−R, R). +∞ Định lý 1.2.2. Giả sử chuỗi lũy thừa an xn có bán kính hội tụ R > 0. n=0 Khi đó tổng S của nó là một hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b] nằm trong khoảng hội tụ (−R, R) và b b +∞ S(x)dx = n=0 a xn dx. an a Đặc biệt nếu x ∈ (−R, R) thì x +∞ S(t)dt = n=0 0 an xn+1 . n+1 +∞ Định lý 1.2.3. Giả sử chuỗi lũy thừa an xn có bán kính hội tụ R > 0 n=0 và +∞ an xn , S(x) = n=0 x ∈ (−R, R) . 10 Khi đó: +∞ + Chuỗi lũy thừa nan xn−1 nhận được bằng cách đạo hàm từng số n=1 hạng của chuỗi lũy thừa đã cho, cũng có bán kính hội tụ là R. + Tổng S là hàm khả vi trong khoảng hội tụ (−R, R) và +∞ nan xn−1 . S (x) = n=1 1.2.2. Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với X thuộc đoạn [a, b] và y thuộc một tập hợp số thực Y nào đó, sao cho mỗi y cố định thuộc Y hàm f (x, y) khả tích trong đoạn [a, b]. Đặt b I(y) = f (x, y)dx. a Khi đó I(y) là một hàm số xác định trên tập Y và được gọi là tích phân phụ thuộc tham số của hàm f (x, y) trong đoạn [a, b]. Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D = [a, d; c, d] = [a, b] × [c, d] = {(x, y), a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d} . Định lý 1.2.4. Nếu hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ nhật D thì tích phân phụ thuộc tham số b I(y) = f (x, y)dx a là một hàm liên tục trong đoạn [c, d]. 11 Định lý 1.2.5. Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D liên tục theo x ∈ [a, b] với mỗi y cố định thuộc đoạn [c, d]. Hơn nữa ∂f f (x, y) có đạo hàm riêng (x, y) là một hàm liên tục trong hình chữ ∂y nhật D. Khi đó tích phân phụ thuộc tham số b I(y) = f (x, y)dx, y ∈ [c, d] a là một hàm khả vi và b ∂f (x, y)dx, ∂y I (y) = y ∈ [c, d]. a Định lý 1.2.6. Nếu f (x, y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D = [a, b] × [c, d] thì ta có công thức d d b I(y)dy = c b d f (x, y)dx dy = c a f (x, y)dy dx, a c hay là b d dy c b f (x, y)dx = a d dx a f (x, y)dy. c 1.3. Một số kiến thức về giải tích số 1.3.1. Phương pháp cầu phương Cho hàm f xác định trên đoạn [a, b], f là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] do đó f khả tích trên [a, b]. Ta chia đoạn [a, b] thành n phần a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. 12 Công thức sau được gọi là công thức cầu phương b n Ak ϕ(xk ) + Rn (∆ϕ), ϕ(x)dx = a (1.1) k=0 trong đó, Ak và xk tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương, Rn (∆ϕ) là phần dư của công thức cầu phương. Đối với công thức hình thang, thì chúng ta có 1 A1 = An = h, Ak = h, k = 2, ..., n − 1; 2 b−a ; xk = a + (k − 1)h, k = 1, ..., n, h = n−1 (b − a)3 ∂ 2 (Kϕ ) Rn (Kϕ ) = − . ∂y 2 y=ξ,a≤ξ≤b 12(n − 1)2 Đối với công thức Simpson, ta có n = 2m và h 2 , A2 = A4 = ... = A2m−2 = h, 3 3 4 A1 = A3 = A5 = ... = A2m−1 = h, 3 b−a xk = a + kh, k = 0, 1, ..., 2m, h = ; 2m 1 (b − a)5 ∂ 5 (Kϕ ) Rn (Kϕ ) = − . 90 (2m)4 ∂y 5 y=ξ,a≤ξ≤b A0 = A2m = Nếu một quy tắc nào đó được chọn thì các đại lượng Ak , xk , Rk có thể được viết một cách tương tự. 1.3.2. Sai phân và các tính chất Định nghĩa 1.3.1. Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên tập X, h là hằng số lớn hơn 0. Biểu thức ∆f (x) = f (x + h) − f (x) được gọi là sai 13 phân cấp 1 của f (x) tại điểm x. Biểu thức ∆2 f = ∆ [∆f (x)] = [f (x + 2h) − f (x + h)]− [f (x + h) − f (x)] = ∆f (x + h) − ∆f (x) được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x. Tương tự, ta có ∆k f = ∆ ∆k−1 f được gọi là sai phân cấp k của f tại x. Các tính chất của sai phân: (i) ∆k [f ± g] = ∆k f ± ∆k g. (ii) ∆k [λf (x)] = λ∆k [f (x)] . (iii) ∆n [pn (x)] = const, ∆m [pn (x)] = 0, khi m > n, trong đó pn (x) là đa thức cấp n của x. n (iv) f (x + nh) = i Cn ∆i f (x). i=0 (v) ∆n f (x) = n i (−1)i Cn f [x + (n − i)h]. i=0 (vi) f (n) ∆n f (x) . (x) ≈ hn 14 Chương 2 Phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II Trong chương này chúng ta trình bày một số phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình vi - tích phân phi tuyến Fredholm loại II. Nội dung chương này được dựa vào các tài liệu tham khảo [7, 8, 9]. Xét phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II được cho bởi công thức: b u(n) (x) = f (x) + K(x, t)F (u(t))dt, u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1, (2.1) a ở đó u(n) (x) là đạo hàm bậc n của hàm u(x) với biến số x và bk là cho trước. Giả sử K(x, t) liên tục trên D = [a, b]×[a, b] , M = max |K(x, t)| . (x,t)∈D Đặt b K(x, t)F (u(t))dt, Ω = [a, b] × R. G(x, u) = f (x) + a Khi đó phương trình trên có dạng u(n) (x) = G(x, u) (x, u) ∈ Ω u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1 Định nghĩa 2.0.2. Hàm u(x) liên tục và có đạo hàm liên tục cấp n trên 15 đoạn [a, b] thỏa mãn phương trình (2.1) gọi là nghiệm của phương trình đó. 2.1. Định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình Định lý 2.1.1 ([7]). Nếu hàm G(x, u) liên tục trên Ω và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u trên Ω thì phương trình có nghiệm duy nhất u = u(x) xác định trên [a, b] và thỏa mãn điều kiện ban đầu. Để chứng minh định lí trên người ta đưa phương trình vi phân cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp một. Sau đó xây dựng dãy xấp xỉ liên tiếp Picard đối với hệ phương trình đó. Định lý 2.1.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) Hàm f liên tục trên [a, b], hàm K(x, t) liên tục trên tập D và |K(x, t)| ≤ M, ∀(x, t) ∈ D 2) Hàm F (u) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u. Tồn tại hằng số L sao cho |F (v) − F (¯)| ≤ L |v − v | , v ¯ ∀ v, v ∈ R. ¯ Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u = u(x) định trên đoạn [a, b] thỏa mãn điều kiện ban đầu u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1. Chứng minh. Theo tính chất của tích phân phụ thuộc tham số là hàm 16 số liên tục trên đoạn [a, b]. Ta lại có b b K(x, t)F (v(t))dt − |G(x, v) − G(x, v )| = ¯ a K(x, t)F (¯(t))dt v a b K(x, t) [F (u(t)) − F (v(t))] dt = a b |K(x, t)| |F (u(t)) − F (v(t))| dt ≤ a b ≤ M L |v(t)) − v (t)| dt ¯ a ≤ M L(b − a) u − v = q u − v , với q = M L(b − a). Khi đó hàm G(x, u) liên tục trên Ω thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u nên theo Định lí 2.1.1 phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu. 2.2. Phương pháp tính toán trực tiếp Xét phương trình vi-tích phân Fredholm được cho bởi công thức (2.1). Thay thế K(x, t) = g(x).h(t) vào công thức (2.1) ta được b u(n) (x) = f (x) + g(x). h(t)F (u(t))dt, u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1. a (2.2) Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng tích phân xác định trong phương trình vi-tích phân (2.2) liên quan đến một tích phân phụ thuộc tham biến t. Điều này có nghĩa là tích phân xác định ở vế phải của (2.2) là