Tài liệu Một số phương pháp giải phương trình lượng giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN NHẬT DUẬT MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Họ và tên: Hồ Hải Hà Chức vụ: Giáo viên Tổ chuyên môn: Toán – Tin Đơn vị: THPT Trần Nhật Duật NĂM HỌC 2015 - 2016 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Đối tƣợng nghiên cứu 1 4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 1 5. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 6. Phƣơng pháp nghiên cứu 2 7. Thời gian nghiên cứu 2 NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 3 PHẦN I PHẦN II Chƣơng 1 Cơ sở lí luận của đề tài 3 1. Cơ sở pháp lý 3 2. Cơ sở thƣ̣c tiễn 3 Chƣơng 2 Thực trạng của đề tài 4 Chƣơng 3 Giải quyết vấn đề 5 A MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC B DẠNG BÀI TẬP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG ĐẠI HỌC C BÀI TẬP TỰ LUYỆN D KẾT QUẢ CỦA QUÁ TRÌNH VẬN DỤNG PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 6 21 31 32 34 PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong chƣơng trình toán THPT, lƣợng giác là một chủ đề trọng tâm và đƣợc giảng dạy trong lƣơ ̣ng thời gian tƣơng đố i lớn . Trong các kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng thì đây là một chủ đề luôn luôn đƣợc đề cập tới, chiếm 1 điểm trong 10 điểm của bài thi, và đây cũng là một đề tài tƣơng đối quen thuộc trong nhiều sách tham khảo bộ môn toán bậc trung học phổ thông để ôn và luyện thi. Với mong muốn mang kiến thức một cách có hệ thống và sâu sắc về bài toán " Giải phương trình lượng giác" đến với học sinh và qua đó giúp các em học sinh có một cái nhìn khái quát, đầy đủ và chắc chắn, giúp học sinh tự tin bƣớc vào các kì thi tuyển sinh đạt thành tích cao tôi lựa chọn trình bày đề tài: " MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC " 2. Mục đích nghiên cứu  Nghiên cứu một số kiến thức cơ bản liên quan đến nội dung của đề tài.  Nghiên cứu một số phƣơng trình lƣợng giác cơ bản, phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp.  Nghiên cứu một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác sử dụng trong chƣơng trình ở cấp độ cơ bản, nâng cao và ở một số kì thi tuyển sinh đại học khối A; B; D.  Thông qua việc nghiên cứu nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, hƣớng dẫn học sinh giải quyết bài toán này một cách rõ ràng và chắc chắn về kiến thức. Đồng thời nhằm nâng cao chất lƣợng hiệu quả của quá trình giảng dạy và học tập của học sinh lớp 11, 12 mở rộng kiến thức cho học sinh nhằm phát huy tinh thần tự giác học tập cũng nhƣ khả năng sáng tạo trong học tập của học sinh để các em tự tin đạt thành tích cao trong các kì thi tuyển sinh. 3. Đối tƣợng nghiên cứu:  Bài toán Giải phƣơng trình lƣợng giác.  Học sinh khối 11, 12, học sinh ôn thi đại học.  Nội dung chƣơng trình toán THPT. 4. Giới hạn phạm vi và nội dung nghiên cứu  Các bài báo và các tài liệu liên quan đến bài toán Giải phƣơng trình lƣợng giác. Sách giáo khoa môn Toán bậc PTTH và bậc THPT. Chƣơng 5 Đại số và Giải tích - Lớp 10; Chƣơng 1 Giải tích lớp 11. Sách Đa ̣i số cơ bản và nâng cao lớp 10. Sách giải tích nâng cao và cơ bản lớp 11. Tài liệu ôn thi ĐH, CĐ môn toán. Sách tham khảo bộ môn Toán lớp 10;11.  Nội dung nghiên cứu: Tập trung nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn, đúc rút kinh nghiệm phƣơng pháp giảng dạy và trình bày bài toán Giải phƣơng trình lƣợng giác. Thông qua đó giúp các em học sinh nắm vững các khái niệm, các định lí, các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản, các phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp từ đó biết phân tích và sử dụng chúng trong từng trƣờng hợp cụ thể một cách linh hoạt sáng tạo. Giúp các em nâng cao nhận thức và rèn tính độc lập sáng tạo, kiên trì trong học tập nói chung và môn toán nói riêng cũng nhƣ các vấn đề khác trong đời sống sinh hoạt.  Áp dụng đề tài: Khối 11, học sinh ôn thi tuyển sinh cao đẳng và đại học Trƣờng THPT Trần Nhật Duật. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu:  Trình bày một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác.  Trình bày một số dạng toán phƣơng trình lƣợng giác có mặt trong kì thi tuyển sinh cao đẳng , đại học khối A; B; D.  Trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến nội dung của đề tài giúp tra cƣ́u và ôn tâ ̣p thuâ ̣n lơ ̣i hơn. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu  Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết.  Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp. 7. Thời gian nghiên cứu và kế hoạch thực hiện  Thời gian nghiên cứu đề tài: Trong quá trình đƣợc phân công giảng dạy ban KHTN và lớp cơ bản A bậc THPT từ năm 2008 cho đến nay.  Kế hoạch thực hiện đề tài: 1) Thu thập, tích lũy, và học hỏi kinh nghiệm từ tài liệu và từ đồng nghiệp. 2) Hè 2011 và năm học 2011- 2012, trình bày lý thuyết tổng quan về bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác. 3) Trình bày một số bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác vận dụng trong chƣơng trình ở cấp độ nâng cao và ở một số kì thi tuyển sinh đại học khối A; B; D. Phân tích và đánh giá và rút kinh nghiệm đề tài sau quá trình vận dụng. Áp dụng trong những năm học tiếp theo. PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1. Cơ sở pháp lý Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học đã đƣợc thể chế hóa trong luật giáo dục năm 2005, và đƣợc cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo. Đất nƣớc ta đang bƣớc vào giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa với mục tiêu đến năm 2020 Việt nam từ một đất nƣớc nông nghiệp về cơ bản trở thành một đất nƣớc công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế. Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nƣớc là hội nhập con ngƣời, là nguồn lực con ngƣời đƣợc phát triển về số lƣợng và chất lƣợng toàn diện. Đáp ứng nhu cầu ấy mỗi giáo viên phải xây dựng và hình thành một nền tảng kiến thức kĩ năng chuẩn và trên chuẩn. Năm học này là năm học mà thủ tƣớng chính phủ tiếp tục phát động công cuộc vận động " Mỗi thầy giáo, cô giáo là một tấm gƣơng đạo đức tự học và sáng tạo", " Xây dựng trƣờng học thân thiện, học sinh tích cực", để hƣởng ứng và thực hiện cuộc vận động đó tổ Toán-Tin trƣờng THPT Trần Nhật Duật cũng nhƣ bản thân tôi đã cố gắng vận dụng và áp dụng công nghệ thông tin, cũng nhƣ sáng tạo trong việc xây dựng và thực hiện kế hoạch làm dụng cụ học tập và hƣớng dẫn học sinh cùng tham gia làm dụng cụ học tập, làm tiểu luận. Giúp học sinh gần gũi với môn Toán, tạo sự tự tin chiếm lĩnh kiến thức bộ môn. 2. Cơ sở thực tiễn Trong thực tế, đề thi tuyển sinh các kì thi cao đẳng và đại học luôn có bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác và nó chiếm 1 điểm trong 10 điểm của bài thi. Mặc dù kiến thức để giải bài toán này đƣợc trang bị ở chƣơng 1 của môn Đại số và Giải tích lớp 11 rất rõ ràng. Nhƣng với học sinh thì đây không phải là bài toán dễ, và đề bài thì thƣờng không phải là những phƣơng trình cho ở dạng trực tiếp thƣờng gặp trong sách giáo khoa , mà ta cần phải sử dụng một vài bƣớc biến đổi mới nhâ ̣n đƣơ ̣c da ̣ng toán mô ̣t cách rõ ràng . Do vâ ̣y ho ̣c sinh hay bỏ qua hoă ̣c lời giải chƣa đƣơ ̣c chính xác . Nguyên nhân có thể do các em chƣa thực sự có cái nhìn tổng quan và bản chất của việc giải bài toán này, hơn nữa thời gian để trình bày lý thuyết và thời gian vận dụng giải quyết bài toán này theo phân phối chƣơng trình không nhiều. Mà đây cũng là dạng toán điển hình và phƣơng pháp giải quyết nó cần nhiều kĩ năng. Qua thực tế khảo sát kết quả thi, và qua quá trình dạy học tôi thấy học sinh còn khó khăn trong việc xác định, phân loại và qui phƣơng trình đã cho về những phƣơng trình đã có cách giải. Căn cứ vào mục tiêu và nhiệm vụ giáo dục, nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy và học, rèn luyện kiến thức, kĩ năng để học sinh đạt đƣợc kết quả cao nhất trong các kì thi nên tôi đã lựa chọn để trình bày đề tài này. CHƢƠNG 2: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Đã có nhiều tài liệu trình bày nội dung đề tài này trong các sách tham khảo bộ môn Toán, và tài liệu ôn luyện thi môn toán cùng với các nội dung khác. Nhƣng đối với các em học sinh lớp 11, 12 đặc biệt học sinh không phải lớp chọn của nhà trƣờng thì việc tìm tài liệu và xây dựng cho mình kiến thức về nội dung chuyên đề đƣa ra là tƣơng đối khó khăn về cả thời gian cũng nhƣ các điều kiện khác. Ngay từ những năm học trƣớc cũng nhƣ từ đầu năm của năm học này, tôi đã thu thập và trang bị tài liệu cho mình và một bộ phận học sinh có niềm say mê có sự đầu tƣ cho việc học môn Toán để hƣớng dẫn các em tổng hợp và trình bày tiểu luận về chuyên đề này. Trên cơ sở đó, tôi khảo sát và nắm bắt những vấn đề khó khăn mà các em gặp phải, cùng với những vấn đề mà các em học sinh vƣớng mắc khi học để từ đó xây dựng chuyên đề này. Lúc mới đầu tôi chƣa hƣớng dẫn thì có ít em học sinh giải quyết triệt để bài toán này, đặc biệt khi đề bài cho phƣơng trình không đúng dạng phƣơng trình có trong chƣơng trình thì các em thƣờng có tâm lí ngại làm và nghĩ rằng không làm đƣợc nên bỏ qua. Sau khi hƣớng dẫn thì những học sinh có lực học bộ môn Toán từ Trung bình trở lên đã phân loại và giải quyết đƣợc bài toán trong các đề thi một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn, và với số học sinh còn lại thì các em cũng đã biết phân loại và có lời giải tƣơng đối tốt. Cụ thể: Khi khảo sát chấ t lƣơ ̣ng ho ̣c sinh về chủ đề "giải phƣơng trình lƣợng giác" sau khi ho ̣c sinh hoàn thành chƣơng triǹ h sách giáo khoa với thời lƣơ ̣ng khảo sát là 45 phút và trƣớc khi da ̣y chuyên đề này trong các năm học 2010-2011; 20112012 kết quả cụ thể nhƣ sau: Điểm khảo sát chuyên đề giải phương trình lượng giác của học sinh Năm hoc̣ 2010-2011 Sĩ số Giỏi Sl Tl % Khá Sl Tl % TB Sl Tl % 217 7 15 51 3,2 6,9 Yếu Sl Tl % 23,5 95 43,8 Kém Sl Tl % TB↑ Sl Tl % 49 73 22,6 33,6 Bảng 1 Điểm khảo sát chuyên đề giải phương trình lượng giác của học sinh Năm hoc̣ 2011-2012 Sĩ số Giỏi Sl Tl % Khá Sl Tl % TB Sl Tl % Yếu Sl Tl % Kém Sl Tl % TB↑ Sl Tl % 205 5 15 56 86 43 76 2,4 7,3 27,3 42,0 21 37,1 Bảng 2 CHƢƠNG 3: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Xuất phát từ thực tế, học sinh thƣờng quên kiến thức, lƣời suy nghĩ và hay bỏ qua bài toán khi gặp các bài toán lạ hoă ̣c nhƣ̃ng bài toán nhìn nhìn đã nga ̣i mà không chịu suy nghĩ để đƣa bài toán lạ thành bài toán quen thuô ̣c đã biết cách làm. Đặc biệt khi gặp bài toán liên quan đến lƣợng giác các em thƣờng ngại làm và luôn nghĩ rằng đó là bài toán khó nên đã tạo cho mình sự khó khăn khi giải toán lƣợng giác.Tôi thấy cần phải hƣớng dẫn và định hƣớng, giúp các em làm chủ kiến thức từ đó tự tin vào khả năng học tập của mình. Từ đó các em sẽ tìm tòi trong suy nghĩ, giải quyết các yêu cầu và hoàn thành mục tiêu học tập của bản thân. Để thực hiện đề tài tôi đã thực hiện theo các bƣớc: Bƣớc 1: - Thu thập và nghiên cứu tài liệu, tham khảo ý kiến của đồng nghiệp. - Khảo sát chất lƣợng học sinh. - Trang bị tài liệu và hƣớng dẫn học sinh làm tiểu luận về nội dung của đề tài. Bƣớc 2: - Thực hiện nội dung nghiên cứu - Trang bị một số kiến thức chuẩn bị cho nội dung của đề tài mà học sinh đã đƣợc học từ trƣớc đó mà có thể các em đã quên(Phụ lục 1). - Trang bị một số phƣơng triǹ h lƣơ ̣ng giác cơ bản , phƣơng triǹ h lƣơ ̣ng giác đơn giản, phƣơng trin ̀ h lƣơ ̣ng giác đã biế t các giải (Phụ lục 2). - Trình bày một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác đã đƣợc học trong chƣơng trình mô ̣t cách có hê ̣ thố ng(nô ̣i dung chiń h của chuyên đề). - Vận dụng các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản và các phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp trong thực hành giải toán. Bƣớc 3: - Khảo sát kết quả vận dụng của học sinh. - Rút kinh nghiệm cho những năm sau. A. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Để giải một phương trình lượng giác thông thường ta làm như sau  Đặt điều kiện để phương trình xác định.  Quy phương trình đã cho về một trong các dạng phương trình lượng giác đã có các giải, và tiến hành giải phương trình theo dạng phương trình đã biết.  So sánh các nghiệm tìm được với điều kiện xác định để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai. Cũng giống như giải các phương trình khác viê ̣c đặt điề u kiê ̣n của phương trình lượng giác rấ t quan trọng.Ngoaig những điề u kiê ̣n thông thường đố i với mẫu số và các biểu thức trong căn bậc chẵn có mặt trong phương trình. Đối với phương trình lượng giác chúng ta cầ n lưu ý đế n các điề u kiê ̣n sau   k ; k . 2 - Để cot x có nghiã thì điề u kiê ̣n là: x  k ; k . - Để tan x có nghiã thì điề u kiê ̣n là: x  Ngoài một số dạng phương trình lượng giác đúng dạng phương trình đã có cách giải học trong chương trình , chúng ta không có phương pháp tổng quát để giải tất cả các dạng phương trình lượng giác vì chúng rất phong phú. Đường lối chung là sử dụng các phép biến đổi toán học để đưa việc giải phương trình đã cho về việc giải một hay một số phương trình lượng giác cơ bản hoặc dạng quen thuộc.Với mỗi phương trình lượng giác cụ thể ta phải tìm và sử dụng những cách biến đổi thích hợp. Do đó việc nhớ các công thức lượng giác và khả năng biến đổi thành thạo các công thức toán học nói chung và lượng giác nói riêng đóng một vai trò quan trọng trong khi giải phương trình lượng giác. Ngoài ra chúng ta còn sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp đánh giá để giải phương trình lượng giác. Sau đây là một số phương pháp thường dùng để giải phương trình lượng giác và một số ví dụ minh họa. 1. Phƣơng pháp dùng các phép biến đổi Trong phương pháp này chúng ta sử dụng các công thức toán học để thu gọn phương trình hay biến đổi phương trình thành tích. Ví dụ 1. Giải phƣơng trình sau: cos3x  sin 2 x  sin 4 x Giải cos3x  sin 2 x  sin 4 x  cos3x  sin 2 x  sin 4 x  0  cos3x  2cos3x sin x  0  cos3x(1  2sin x)  0 (3.1)    x   k    6 3  cos3 x  0  x   k   6 3  x    k 2     ;(k  ). 1  sin x  5  6 x   k 2  2   5 6 x   k 2 6    5  k 2 ; k  . 6 3 6 Trong ví dụ này chúng ta đã sử dụng công thức biế n đổ i tổ ng thàn h tích để biế n đổ i phương trình đã cho thành phương trình tích giải được. Vậy phƣơng trình (3.1) có nghiệm: x  k ;x Ví dụ 2. Giải phƣơng trình: sin5x cos3x  sin 6x cos2x  0 (3.2) Giải: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng chúng ta có 1 1 sin 5 x cos3x  sin 6 x cos 2 x  0  (sin8 x  sin 2 x)  (sin8 x  sin 4 x)  0 2 2  x  k  sin 4 x  sin 2 x  0  sin 4 x  sin 2 x     ;k  x   k 6 3  Vậy phƣơng trình có nghiệm: x  k ; x   k  ; k  6 3 Trong ví dụ này chúng ta đã sử dụng công thức biế n đổ i tích thành tổ ng để biế n đổ i phương trình đã cho trở thành một phương trình giải được. Tương tự như giải các phương trình đại số đối với mỗi phương trình chúng ta có thể có nhiề u cách biế n đổ i để hoàn thành mục tiêu là giải phương trình, cách biế n đổ i tùy vào cách sử dụng công thức của mỗi người làm toán và với mỗ i phương trình được cho. Chúng ta xem một cách biến đổi của phương trình sau: Ví dụ 3. Giải phƣơng trình :1  sin x  cos3x  cos x  sin 2 x  cos2 x Giải: Chúng ta có: 1  sin x  cos3x  cos x  sin 2x  cos2x  1  sin x  cos3x  cos x  sin 2 x  cos2 x  0  sin x  (1  cos2 x)  (cos3x  cos x)  sin 2 x  0  sin x  2sin 2 x  2sin 2 x sin x  sin 2 x  0  sin x(1  2sin x)  2sin 2 x(2sin x  1)  0  sin x(1  2sin x)(1  2cos x)  0 (3.3)  x  k    sin x  0  x    k 2  6  1   sin x     ; k  . 7  2  k 2 x  6   1 cos x      2  x   3  k 2 Vậy phƣơng trình (3.3) có nghiệm: 7   x  k ; x   k 2 ; x    k ; x    k 2 (k ) 6 6 3 Ví dụ 4. Giải phƣơng trình sau: cos2 2 x  cos2 x  cos2 3x  1 (3.4) Giải: Sử dụng công thức hạ bậc, phƣơng trình (3.4) tƣơng đƣơng với cos 2 x  cos 4 x  2cos 2 3 x  0  2cos3 x(cos x  cos3 x)  0   x   k  2 cos x  0      4cos x cos 2 x cos3 x  0  cos 2 x  0   x   k (k  ).   4 2 cos3 x  0    x   k  6 3 Vậy phƣơng trình (3.4) có nghiệm: x  2  k ; x   4 k  2 ;x   6 k  3 ; k . Ví dụ 5. Giải phƣơng trình sau: cos3x cos3 x  sin3x sin 3 x  0 Giải: Sử dụng công thức góc nhân ba chúng ta có: cos3x  3cos x 3sin x  sin 3x , do đó: cos3 x  ;sin 3x  4 4 (3.3)  cos3 x(cos3 x  3cos x)  sin 3 x(3sin x  sin 3 x)  0  3(cos3 x cos x  sin 3 x sin x)  cos6 x  0 (3.5)  3cos 2 x  cos6 x  0  4cos3 2 x  0  cos 2 x  0  x   2  k , k  .   k , k  2 Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của a để phƣơng trình sau có nghiệm sin 6 x  cos6 x  a  sin 4 x  cos 4 x  Vậy phƣơng trình (3.5) có nghiệm: x  (3.6) Giải: Sử dụng các công thức lƣợng giác chúng ta có 3 sin 6 x  cos6 x  1  3sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2 x 4 1 sin 4 x  cos 4 x  1  2sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2 x 4 Do đó phƣơng trình (3.6) trở thành: sin 2 2 x  nghiệm khi và chỉ khi: 0  4(a  1) , nên phƣơng trình có 2a  3 4(a  1) 1  1   a  1. 2a  3 2 Qua việc giải các Ví dụ 4, Ví dụ 5, Ví dụ 6 chúng ta đã sử dụng công thức hạ bậc để giải phương trình lượng giác. Trong Ví dụ 4 chúng ta đã hạ bậc từng nhân tử(một số sách tham khảo gọi cách hạ bậc này là "hạ bậc đơn"), Ví dụ 5 chúng ta đã hạ bậc biểu thức có dạng A  cos3x cos3 x  sin3x sin3 x bằng cách như trên hoặc hạ bậc bằng cách như sau( kiểu hạ bậc này một số sách tham khảo gọi là "hạ bậc đối xứng") A  cos3x cos3 x  sin3x sin 3 x  cos3 x cos x(1  sin 2 x)  sin3 xsin x(1  cos 2 x) . Áp dụng với các phương trình hỗn hợp chứa sin n x;cosn x (Ví dụ 6) chúng ta đã sử dụng kiểu hạ bậc còn được một số tác giả gọi là "hạ bậc toàn cục". Ví dụ 7. Với giá trị của a , phƣơng trình sau có duy nhất một nghiệm nằm trong   khoảng  ;  : 2  (sin x  cos x)sin 2 x  a sin 3 x  cos3 x  (3.7) Giải: Sử dụng công thức lƣợng giác chúng ta có: 1 sin 3 x  cos3 x  (sin x  cos x)(1  sin 2 x) 2 Phƣơng trình (3.7) tƣơng đƣơng với: sin x  cos x  0 (sin x  cos x) (a  2)sin 2 x  2a   0   (a  2)sin 2 x  2a  0 (1) (2) 3   Trong khoảng  ;  phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất x  . Vậy 4 2  các giá trị a cần tìm là những giá trị a để phƣơng trình (2) không có nghiệm nằm 3   trong khoảng  ;  hoặc chỉ có nghiệm x  . 4 2  +) Với a  2 phƣơng trình (2) vô nghiệm nên giá trị a  2 thỏa mãn đề bài. 2a   . Vì x   ;   1  sin 2 x  0 a2 2   2a a  0 a  2   Nên phƣơng trình (2) vô nghiệm khi và chỉ khi  2  2a  1  a   3   a  2 3 3 2a 2a 2 Phƣơng trình (2) có nghiệm x  thì: sin 2.    1  a   4 4 a2 a2 3 2 Và ngƣợc lại khi a   phƣơng trình (2) trở thành sin 2 x  1 và có nghiệm 3 3 2   x trong khoảng  ;  . Do đó a   thỏa mãn bài toán. 4 3 2  2  Vậy các giá trị cần tìm của a là a   0;   . 3  +) Với a  2 chúng ta có (2)  sin 2 x  Ví dụ 8. Giải phƣơng trình: 4cos x  2sin x  3  cos2 x (3.8) Giải:  3.8  (cos x  sin x)  3(cos x  sin x)  3  (cos x  sin x)(cos x  sin x) Sử dụng đẳng thức: au  bv  ab  uv  (u  b)(a  v)  0 , nên (3.8)  (cos x  sin x  3)(cos x  sin x  1)  0  cos x  sin x  1  x  k 2    2 cos  x    1   ; k  .   x    k 2 4   2 Vậy phƣơng trình (3.8) có nghiệm: x  k 2 ; x     k 2 ; k  . 2 Khi sử dụng phép biế n đổ i để giải phương trình lượng giác thực chấ t là chúng ta đã sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với công thức lượng giác , vì thế cách giải nhiề u phương trình lượng giác giố ng với các h giải của phương trình và hệ phương trình đại số. Chúng ta xem xét Ví dụ 6 và bài toán: Bài toán 1. Tìm tấ t cả các giá tri ̣của a để hê ̣ sau có nghiê ̣m:  x 6  y 6  a( x 4  y 4 )  2 2  x  y  1 Chúng ta xem xét kĩ hơn điều này qua lời giải của bài bài toán sau: Bài toán 2. Giải phƣơng trình, hê ̣ phƣơng triǹ h sau  x3  y 3  x  y a)  2 b) sin3 x  cos3 x  sin x  cos x (*) 2  x  y  1 Giải: a) Chúng ta có  x3  y 3  x  y  x3  y 3  ( x 2  y 2 )( x  y )  2 y 3  yx 2  xy 2  0  y  0    2  2   2 2 2 2 x  y  1 x  y  1 x  y  1  x  1     x  1  x  1 Vâ ̣y hê ̣ có nghiê ̣m  ; y  0 y  0 b) sin3 x  cos3 x  sin x  cos x  sin 3 x  cos3 x  (sin x  cos x)(sin 2 x  cos 2 x)  2cos3 x  sin 2 x cos x  sin x cos2 x  0  cos x(2cos 2 x  sin 2 x  sin x cos x)  0   k , k  là nghiệm của phƣơng trình 2 +) Với cos x  0 , chia hai vế của phƣơng triǹ h cho cos3 x  0 ta thu đƣơ ̣c tan 2 x  tan x  2  0 (phƣơng trin ̀ h này vô nghiê ̣m)ƣơng triǹ h +) Với cos x  0 thì x    k , k  2 Qua ví dụ trên chúng ta thấ y một số phương trình lượng giác được giải bằ ng các p hép biến đổi hoàn toàn đại số . Mà các phép biến đổi đại số đối với nhiề u người trong chúng ta thấ y quen thuộc và dễ dàng hơn. Đây cũng là một gợi ý để giúp chúng ta tư duy trong quá trình biến đổi, thu gọn phương trình lượng giác. Trong các phầ n sau cách biế n đổ i này sẽ còn được minh hoạ thêm qua một số ví dụ nữa. Vâ ̣y phƣơng trin ̀ h (*) có nghiệm: x  3.2 Phƣơng pháp đổi biến Bằng cách đưa ra một ẩn t  f ( x) thích hợp nào đó chúng ta có thể đưa việc giải một phương trình lượng giác về giải một phương trình đại số ẩn t (gọi là phương trình trung gian): F (t )  0 (*) Chúng ta thường dùng các ẩn phụ như sau: t  sin ax; t  cos ax; t  t anx; t  cot x; t  sinx+cos x; t  sinx+cos x ;… Chú ý rằng: khi đặt t  sin ax; t  cos ax; ta có điều kiện t  1 và khi đặt t  sin x  cos x hay t  sin x  cos x ta có điều kiện t  2 . Sau khi tìm được các nghiệm của phương trình trung gian (*), việc giải phương trình lượng giác đã cho sẽ quy về việc giải các phương trình cơ bản hoặc phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx dạng hay sin x  cos x  t (Xem thêm ở mục 2.3 và 2.5 Phụ lục 2). Sau đây là một số ví dụ minh họa cho phương pháp này: Ví dụ 9: Giải phƣơng trình sau: sin 2 x(tan x  1)  3sin x(cos x  sin x)  3 (3.9) Giải: Điều kiện xác định của phƣơng trình : cos x  0 , Với điề u kiê ̣n trên chúng ta có: sin 2 x(tan x  1)  3sin x(cos x  sin x)  3  sin 2 x(tan x  1)  3(sin x cos x  sin 2 x)  tan 2 x(tan x  1)  3(tan x  tan 2 x)  (tan x  1)(tan 2 x  3)  0   x   k  4  tan x  1      tan x  3   x   k ;(k  ). ( Thỏa mãn điều kiện)  3  tan x   3     x    k  3 Vậy phƣơng trình (3.9) có các nghiệm là : x  4  k ; x   3  k ; x    3  k ; k  Chú ý: Trong phương trình (3.9), sau khi biến đổi thành phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác(hàm tan x) chúng ta có thể đặt t = tan x,để chuyển thành phương trình f(t) = 0, chúng ta cũng có thể coi đây là phương trình ẩn là tan x mà không cần phải đặt t như đã trình bày ở trên. x Ví dụ 10: Giải phƣơng trình sau: 2cos2 (2  sin x )  sin x  0 (3.10) 2 Giải: x Chúng ta có : 2cos 2 (2  sin x)  sin x  0  2  2(sin x  cos x)  sin x  cos x  0 2 Đặt t  sin x  cos x, t  2 , phƣơng trình (3.10) trở thành t  1(tmdk) t 2  4t  3  0   t  3( ktmdk)   x   k 2   2    ; k  . Với t  1  2 cos  x    1  cos  x     2  4 4 2    x    k 2 Vậy phƣơng trình (3.10) có nghiệm: x   2  k 2 ; x    k 2 ; k  Ví dụ 11: Giải phƣơng trình sau: 3sin x  2cos x  1  1 (3.11) Giải: sin x  0 +) Với x    k 2   không thoả mañ phƣơng cos x  1 x    k 2 không là nghiê ̣m. trình (3.11), nên x x 2t 1 t2 +) Với x    k 2  cos  0 đă ̣t t  tan  sin x  ta có: ;cos x  2 2 1 t2 1 t2 1  3t 2 6t 2  2t 2 6t (3.11) trở thành:  1  1   1 1 t2 1 t2 1 t2 1 t2  1  3t 2  0  t  0 2 2  6t  1  3t  1  t    3  13 2 t   1  3t  0  2  6t  1  3t 2  1  t 2  x   x  k 2  tan 2  0   3  13   ;k  Suy ra:  x  2arctan   k 2 x 3  13    2    tan 2   2  3  13  Vâ ̣y phƣơng trình (3.11) có nghiệm: x  k 2 ; x  2arctan    k 2 ; k   . 2   Ví dụ 12: Giải phƣơng trình sau: cos x  sin x  1  cos x sin x Giải: (3.12) Điề u kiê ̣n: sin x cos x  0 mà cos x  1  sin x cos x  sin x  0 nên cos x  0 , sin x  0 . Đặt u  cos x ; v  sin x (u; v  0) ta có hê ̣ phƣơng trình: u 2  v 2  1  u.v u 2  v 2  1  u.v u 2  v 2  1  u.v     2 2 2   4 4 2 2 2 2 2 u  v  1 ( u  v )  2 u v  1   (1  u.v)  2u v  1    u 2  v 2  1  u.v . Hê ̣ có nghiệm  uv  0  v  0 (thoả mãn điều kiện)  u  1 sin x  0 Vâ ̣y phƣơng trin  x  k 2 , k  . ̀ h có nghiê ̣m:  cos x  1  Lưu ý: Đối với những phương trình lượng giác chứa các cung và góc lượng giác mang tính chất phức tạp chúng ta có thể dùng phương pháp biến đổi để giải phương trình lượng giác nhưng quá trình biến đổi này dễ gặp sai sót. Để tránh những sai sót đáng tiếc chúng ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến để biế n đổ i phương trình ban đầu về phương trình chứa các cung t;2t;3t;...; kt rồi sử dụng công thức góc nhân đôi; nhân ba, …. Xem xét một số ví dụ minh hoạ sau:   Ví dụ 13: Giải phƣơng trình: 8cos3  x    cos3x (3.13) 3  Giải   3x  3t   , phƣơng trình (3.13) trở thành 3 8cos 3 t  cos(3t   )  8cos 3 t   cos3t  8cos 3 t  (4cos 3 t  3cos t) Đặt t  x    cos t  0  t  2  k   (1  2cos 2t )cos t  0  1 cos 2t    t     k  2  3   x   k    6    x  3  2  k 2   x    k ; k  .    3  x     k  x  k  3 3   Vậy phƣơng trình (3.13) có nghiệm x  k ; x   6  k ; x   2  k ; k  3   Ví dụ 14: Giải phƣơng trình: 32cos6  x    sin 6 x  1 4  Giải  3 Đặt t  x   6 x  6t  , phƣơng trình (3.14) trở thành 4 2 (3.14) 3    1  cos 2t  32cos t  sin  6t    1  32    cos6t  1 2 2     2 3 3  4(1  3cos2t  3cos 2t  cos 2t )  (4cos 2t  3cos2t )  0 3 6 cos 2t  1   t   k   4cos 2t  5cos 2t  1  0   2 1 1 cos 2t   (  cos 2 )   4 4 t    k      x    k  x   k   1 4 2 4   ; k  . ( Với :   cos 2 ) 4  x      k  x      k  4  4 2 Vậy phƣơng trình (3.14) có nghiệm: x  4x 3 Giải Ví dụ 15: Giải phƣơng trình: cos 2 x  cos  4  k ; x     4  k ; k  , (3.15) 1 1  2 x  Chúng ta có: cos 2 x  (1  cos 2 x)  1  cos  3.   2 2  3  Đặt t  2x , Phƣơng trình (3.15) trở thành: 3 1 (1  cos3t )  cos 2t  1  4cos3 t  3cos t  2(2cos 2 t  1) 2  4cos3 t  4cos 2 t  3cos t  3  0  (cos t  1)(2cos 2t  1)  0  2x cos t  1 t  k 2  x  3k  3  k 2      1   3 ; k  . cos 2t   t    k  2 x  x    k     k  2  12  4 2  3 12  3 Vậy phƣơng trình (3.15) có nghiệm: x  3k ; x    k ; k  . 4 2 3x 4x  3cos 5 5 Giải 3x 1  6x  1   2x    1  cos   1  cos  3.   Chúng ta có : cos 2 5 2 5  2  5  Ví dụ 16: Giải phƣơng trình: 1  2cos 2 (3.16) 2x , Phƣơng trình (3.16) trở thành 5 1  1  cos3t  3cos2t  2  4cos3 t  3cos t  3(2cos 2 t  1) Đặt t   cos t  1    1  21  1  21  (cos t  1)(4cos 2 t  2cos t  5)  0  cos t  ;  cos   4   4   cos t  1  21  4  2x  x  5k  5  k 2 t  k 2    ( k  ) 5  2 x x    5 k  t    k 2     k 2  2  5 Vâ ̣y phƣơng trin ̀ h (3.16) có nghiệm: x  5k ; x   5 1  21  5k ;cos   ;(k ). 2 4 3.3 Phƣơng pháp đánh giá Trong phương pháp này chú ng ta sẽ sử dụng các bấ t đ ẳng thức đại số hay lượng giác , hoặc tính chấ t c ủa hàm số để so sánh , đánh giá hai vế của phương trình và đi đến kết luận phương trình chỉ đúng khi và chỉ khi dấ u đẳ ng thứccủa các bấ t đẳ ng thức xảy ra. Phương pháp này được áp dụng khi giải một số phương trình lượng giác thuộc loại "không mẫu mực" . Chúng ta đánh giá phương trình dựa trên các dạng:  Tính chất của các hàm số và biểu thức  Phương trình lượng giác dạng Pitago  Sử dụng bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân  Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski … Chúng ta sẽ minh họa phương pháp này thông qua một số ví dụ sau: Ví dụ 17: Giải phƣơng trình: cos7 x  sin 4 x  1 Giải: Chúng ta có: sinx  1  sin 4 x  sin 2 x   . cos x  1  cos 7 x  cos 2 x   sin 4 x  cos7 x  sin 2 x  cos 2 x  1  cos x  0 7 2 cos x  cos x     cos x  1 Nên: cos 7 x  sin 4 x  1   4 2 sin x  sin x sin 4 x  sin 2 x   cos x  0  cos x  0  4  2  2  x   k sin x  sin x sin x  1      , k  . 2  cos x  1  cos x  1   4  2  x  k 2 2  sin x  sin x  sin x  0 Vậy phƣơng trình (3.17) có hai họ nghiệm là: x  k 2 ; x   2 (3.17)  k ; k . Ví dụ 18 : Giải phƣơng trình: sin 20 x  cos20 x  1 (3.18) Giải: 20 sin x  1  sin x  sin 2 x   sin 20 x  cos 20 x  sin 2 x  cos 2 x  1 Chúng ta có: 20 2  cos x  1  cos x  cos x   sin x  0 sin 20 x  sin 2 x  Nên: sin x  cos x  1   20   sin 2 x  1 2 cos x  cos x  20 2 cos x  cos x 20 20  sin x  0  2  cos x  1   x  k ; k  .  sin 2 x  1 2   cos x  0 Vậy phƣơng trình (3.18) có nghiệm: x  k  2 1 1 Ví dụ 19: Giải phƣơng trình : sin 4 x  cos 4 x  2 3 Giải : ; k  . (3.19) abc Sử dụng bất đẳng thức : a  b  c  3  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ 3   khi a  b  c , chúng ta có : 2 2 2 2 2 2 2 1 1  1  sin x  cos 4 x   sin 2 x    cos 2 x    cos 2 x  2 2  2  1 1  2  2 2  sin x  2 cos x  2 cos x  1 3  3   3   Dấu " = " khi và chỉ khi 4 cos 2 x 1 1 1 1 sin x   sin 2 x   cos 2 x   x   arccos  k , k . 2 3 3 2 3 1 1 Vậy phƣơng trình (3.19) có nghiệm: x   arccos  k , k . 2 3 2 sin 3x  sin x sin 2 3x Ví dụ 20: Giải phƣơng trình: sin 2 x  (3.20) 4 Giải: +) Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân chúng ta có: 2 sin 2 3x sin 2 3x  2 sin 2 x  sin x sin 3x (*) 4 4 sin 2 3x 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin x  4 sin 2 3x 2 2  sin x sin 2 3x +) Vì sin x  sin x và sin3x  sin 3x nên (*)  sin x  4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: sin 2 x    sin 2 3x sin 2 3 x  2 2   x  k sin x  sin x   4 4 sin x  0         sin x  sin x    sin x  sin x 1   x   k 2 ; k  . sin x   6   2  2 sin 3 x  sin 3 x sin 3 x  0  5   x   k 2   sin 3x  1 6  Vậy phƣơng trình (3.20) có nghiệm: x  k ; x   6  k 2 ; x  5  k 2 ; k  . 6 Ví dụ 21: Giải phƣơng trình : 8cot 2 x  2tan8 x  10 (3.21) Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 10 số hạng không âm cot 2 x chúng ta có: 8cot 2 x  2 tan 8 x  cot 2 x  cot 2 x  ...  cot 2 x  tan 8 x  tan 8 x  1010 cot16 x.tan16 x  10 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi : cot 2 x  tan 8 x  x   4 k  2 Dó đó (3.21) ⇔ 8cot 2 x  2 tan 8 x  10  cot 2 x  tan 8 x  x  Vậy phƣơng trình (3.21) có nghiệm x   4 k  2 , k .  4 k  2 , k . , k  . Ví dụ 22: Giải phƣơng trình: cos2 4 x  cos2 8x  sin 2 12 x  sin 2 16 x  2 Giải  3.22   1  sin 2 4 x  1  sin 2 8 x  sin 2 12 x  sin 2 16 x  2 (3.22)  sin 2 4 x  sin 2 8 x  sin 2 12 x  sin 2 16 x  0 sin 4 x  0 sin8 x  0 k    sin 4 x  0  x  , k  . sin12 x  0 4  sin16 x  0 Vậy phƣơng trình (3.22) có nghiệm: x  k , k  4 Ví dụ 23: Giải phƣơng trình: (sin x  3 cos x)sin3x  2 (3.23) Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chúng ta có:  sin x  3 cos x   sin 2  sin x  3 cos x  2 2  x  cos 2 x  1  ( 3) 2 