Tài liệu Một số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử (lv261)

  • Số trang: 29 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 128 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8489 tài liệu

Mô tả:

-1- Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, các thầy, cô Phòng sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội II đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Đặc biệt, tôi xin xin cảm ơn TS Trần Văn Vuông đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu lựa chọn đề tài và hoàn chỉnh đề tài. Xin cảm ơn các bạn học viên lớp K11 Toán giải tích đã giúp đỡ và có những đóng góp quý báu cho bản luận văn này. Hà Nội, tháng 8 năm 2009 Tác giả -2- Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 8 năm 2009 Tác giả -3- Mục lục Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ 1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn 1.3. Toán tử compak 1.4. Không gian Hilbert 1.5. Nguyên lý Banach về ánh xạ co Chương 2: Một số phương pháp chiếu 2.1. Dạng tổng quát của phương pháp chiếu và định lý về sự hội tụ 2.2. Phương pháp Ritz 2.3. Phương pháp Bupnôp - Galoockin 2.4. Phương pháp đường dốc nhất Chương 3: Một số ứng dụng 3.1. Giải bài toán biên tuyến tính đối với phương trình vi phân thường 3.2. Giải phương trình vi phân Eliptic 3.3. Bài toán tìm giá trị riêng của toán tử tự liên hợp xác định dương 3.4. Giải phương trình vi phân cấp 2 3.5. Giải phương trình tích phân Fredhom Kết luận Tài liệu tham khảo -4- MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình toán tử có liên quan rất lớn đến các vấn đề, các bài toán, trong khoa học tự nhiên, trong kinh tế, kỹ thuật, cuộc sống. Đã có rất nhiều nhà toán học nổi tiếng đề cập đến phương trình toán tử có dạng tổng quát Ax = y hoặc những dạng cụ thể với những khía cạnh muôn hình, muôn vẻ của phương trình trên. Rõ ràng, các trường hợp đặc biệt của phương trình Ax = y xảy ra khi A là toán tử vi phân thường, là toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân, là toán tử giả vi phân, siêu giả vi phân ….. Toán tử A có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến, đơn trị hoặc đa trị, tất định hoặc ngẫu nhiên. A cũng có thể kí hiệu cho toán tử được xác định bởi các bài toán biến cổ điển hoặc không cổ điển, với biến trơn hoặc không trơn. Miền xác định của A có thể là các đa tạp Euclid hoặc không Euclid. Chính vì vậy, mà phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử là rất rộng lớn. Hiện nay, vịêc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng một cách tổng quát nhờ áp dụng các kết quả của phương pháp giải tích hàm đã đem lại nhiều kết quả quan trọng. Trong số những phương pháp giải gần đúng phải kể đến các loại phương pháp chiếu như phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov − Galerkin, phương pháp đường dốc nhất. Việc nghiên cứu phương trình toán tử sẽ giúp tôi tìm hiểu sâu sắc hơn toán học hiện đại và nó sẽ vô cùng quan trọng với một giáo viên toán phổ thông. -5- Bởi vậy, tôi đã chọn đề tài “Một số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu một số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài này tập trung nghiên cứu các phương pháp chiếu cụ thể: phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov − Galerkin, phương pháp đường dốc nhất và một số ứng dụng. 4. Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo. - Tổng hợp kiến thức và vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng của nó. 5. Những đóng góp mới về khoa học và thực tiễn của đề tài Đề tài này tập trung nghiên cứu các phương pháp chiếu cụ thể: phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov − Galerkin, phương pháp đường dốc nhất và một số ứng dụng. -6- Chương 1. Một số kiến thức cơ bản 1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.1.1. Định nghĩa không gian định chuẩn Một không gian tuyến tính X trên trường P ( P =  hoặc P =  ) cùng với một ánh xạ ||.|| : X →  gọi là một không gian định chuẩn, nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau: 1) ( ∀x ∈ X ) || x || ≥ 0 , || x || = 0 ⇔ x = θ (phần tử không). 2) ( ∀x ∈ X ) ( ∀α ∈ P ) || α x || = | α | || x ||. 3) ( ∀x, y ∈ X ) || x + y || ≤ || x || + || y ||. 1.1.2. Định lý 1.1 Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai vectơ bất kì x, y ∈ X ta đặt d ( x, y ) = || x − y ||. Khi đó d là một metric trên X . Chứng minh. Ta sẽ chứng minh d : X × X →  , d ( x, y ) = || x − y || thỏa mãn các tiên đề của không gian metric. 1) ∀x, y ∈ X , d ( x, y ) = || x − y || ≥ 0 . d ( x, y ) = 0 ⇔ || x − y || = 0 ⇔ x− y =θ ⇔ x = y (vì X là không gian tuyến tính). 2) ∀x, y ∈ X , d ( x, y ) = || x − y || = ||( − 1) ( y − x )|| = | − 1| || y − x || = || y − x || = d ( y, x) . -7- 3) ∀x, y, z ∈ X : d ( x, y ) = || x − y || = || x − z + z − y || ≤ || x − z || + || z − y || = d ( x, z ) + d ( y , z ) . Vậy d ( x, y ) là một metric trên X . Ý nghĩa. Dựa vào định lý 1.1, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric d ( x, y ) = || x − y ||. Do đó, mọi khái niệm và tính chất đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn. 1.1.3. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 1.1.3.1. Định nghĩa 1.1.1 Dãy điểm ( xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X , nếu lim || xn − x || = 0 . x→∞ Kí hiệu lim xn = x hay xn → x (khi n → ∞ ). x→∞ 1.1.3.2. Tính chất 1) Nếu dãy ( xn ) hội tụ tới x thì dãy chuẩn (|| xn ||) hội tụ tới || x ||. 2) Nếu dãy ( xn ) hội tụ trong không gian định chuẩn X thì dãy chuẩn tương ứng (|| xn ||) bị chặn. 3) Nếu dãy điểm ( xn ) hội tụ tới x , dãy điểm (yn) hội tụ tới y trong không gian định chuẩn X , dãy số (αn) hội tụ tới số α, thì: xn + yn → x + y (n → ∞ ) và α n xn → α x 1.1.4. Định nghĩa không gian Banach (n → ∞) . -8- 1.1.4.1. Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm ( xn ) trong không gian định chuẩn gọi là dãy cơ bản, nếu lim || xn - xm || = 0. n , m→∞ 1.1.4.2. Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. 1.2.Toán tử tuyến tính bị chặn 1.2.1.Một số định nghĩa Định nghĩa 1.2.1. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P =  hoặc P =  ). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện : 1) (∀x, x ' ∈ X ) A( x + x ' ) = Ax + Ax ' . 2) (∀x ∈ X )(∀α ∈ P ) Aα x = α Ax. Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử Α chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì Α gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử Α chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì Α gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính Α thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.2.2. Cho hai không gian định chuẩn X , Y . Toán tử tuyến tính Α từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho: Αx ≤ C x , ∀x ∈ X (1.2.1). Định nghĩa 1.2.3. Cho Α là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Hằng số C nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.2.1) gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A . -9- Định nghĩa 1.2.4. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, { At , t ∈ T } là một họ các toán tử tuyến tính At : X → Y . Ta nói rằng họ { At , t ∈ T } liên tục đồng bậc, nếu với mọi ε  0 đều có δ  0 để cho với mọi t ∈ T : x ≺ δ ⇒ At ( x ) ≤ ε . Một họ liên tục đồng bậc thì sẽ bị chặn đều, theo nghĩa: chuẩn của mọi toán tử trong họ cùng bị chặn bởi một hằng số K  0 : ( ∀t ∈ T ) At ≤ K . 1.2.2. Định lý ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính liên tục Định lý 1.2.1. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn Χ vào không gian định chuẩn Y . Ba mệnh đề sau tương đương : 1) A liên tục. 2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X . 3) A bị chặn. Chứng minh. 1) ⇒ 2) Hiển nhiên. Vì nếu A liên tục thì nó liên tục tại mỗi điểm x ∈ X , do đó toán tử A liên tục tại điểm x0 ∈ X . 2) ⇒ 3) Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x0 ∈ X nhưng toán tử A không bị chặn. Khi đó ( ∀n ∈  * ) ( ∃xn ∈ X ) || Axn || > n || xn || ≥ 0. Vì vậy xn ≠ θ , ∀n ∈  * . Đặt y n = xn 1 thì || y n || = → 0 ( n → ∞ ), n || xn || n nghĩa là yn → θ khi n → ∞ ⇒ yn + x0 → x0 (n → ∞) . Theo giả thiết, ta có: || A( yn + x0 ) - A x0 || → 0 ⇒ || A y n || → 0 ( n → ∞ ). Nhưng || Ayn || = A( xn 1 ) || = || Axn || >1, ∀n ∈  * . n || xn || n || xn || - 10 - Điều này mâu thuẫn với || A y n || → 0 ( n → ∞ ). Vì vậy nếu toán tử A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì nó bị chặn. 3) ⇒ 1) Giả sử toán tử A bị chặn. Theo định nghĩa, ∃C > 0 : || Ax ||≤ C || x ||, ∀x ∈ X . (1.2.2) Lấy một điểm bất kỳ x ∈ X và dãy điểm tùy ý ( xn ) ⊂ X hội tụ tới x . Nhờ hệ thức (1.2.2) || Axn − Ax ||=|| A( xn − x) ||≤ C || xn − x ||→ 0 (n → ∞) . Do đó A liên tục tại điểm x . Suy ra A liên tục. 1.2.3. Định lý Banach – Steinhaus Nếu X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn, thì mọi họ toán tử tuyến tính liên tục { At : X → Y }t∈T mà bị chặn tại mỗi điểm thì sẽ bị chặn đều và do đó sẽ liên tục đồng bậc. 1.2.4. Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu L( X , Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y . Ta đưa vào L( X , Y ) hai phép toán: Tổng của hai toán tử A, B ∈ L( X , Y ) là toán tử, kí hiệu A + B , xác định bằng hệ thức: ( A + B )( x) = Ax + Bx , ∀x ∈ X . Tích của vô hướng α ∈ P với toán tử A ∈ L( X , Y ) là toán tử, kí hiệu α A , xác định bằng hệ thức: (α A)( x) = α ( Ax) . - 11 - Ta thấy A + B ∈ L( X , Y ) , α A ∈ L( X , Y ) và hai phép toán trên đây thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính. Tập L( X , Y ) trở thành một không gian tuyến tính trên trường P. Với toán tử bất kỳ A ∈ L ( X , Y ) ta đặt : A = sup Ax (1.2.3). x ≤1 Ta thấy công thức (1.2.3) thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn và không gian tuyến tính L ( X , Y ) trên trường P trở thành không gian định chuẩn. Sự hội tụ trong không gian định chuẩn L ( X , Y ) gọi là sự hội tụ đều của dãy toán tử bị chặn. Dãy toán tử ( An ) ⊂ L ( X , Y ) gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A ∈ L ( X , Y ) , nếu với mỗi x ∈ X , lim An x − Ax = 0 trong không gian Y . n →∞ Một dãy toán tử ( An ) ⊂ L ( X , Y ) hội tụ đều tới toán tử A ∈ L ( X , Y ) thì dãy ( An ) hội tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y . Định lý 1.2.2. Nếu Y là không gian Banach, thì L ( X , Y ) là không gian Banach. Chứng minh. Lấy một dãy cơ bản bất kỳ ( An ) ⊂ L( X , Y ) . Theo định nghĩa, (∀ε > 0)(∃n0 ∈ * )(∀n, m ≥ n0 ) || An − Am ||< ε . (1.2.4) Nhờ đó, với mọi x ∈ X ta có: An x − Am x = ( An − Am ) x ≤ An − Am x < ε x . (1.2.5) Từ (1.2.4) và (1.2.5) suy ra dãy điểm ( An x ) ⊂ Y là dãy cơ bản trong không gian Banach Y , nên tồn tại giới hạn : lim An x = y ∈ Y . n →∞ - 12 - Đặt y = Ax , nhờ tính chất của phép chuyển qua giới hạn, ta nhận được toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian Banach Y . Cho qua giới hạn trong hệ thức (1.2.5) ta được : An x − Ax ≤ ε x , ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ X hay || ( An − A) x ||≤ ε || x ||, ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ X . Do đó An − A ≤ ε , ∀n ≥ n0 . Từ đó suy ra : A = An − ( An − A) ∈ L( X , Y ) với n1 > n0 và An − A → 0 khi n → ∞ . 1 1 Vì vậy, dãy toán tử ( An ) ⊂ L( X , Y ) hội tụ với toán tử A trong không gian L( X , Y ) . Vậy L( X , Y ) là không gian Banach. 1.3. Toán tử compact 1.3.1. Định nghĩa toán tử compact Định nghĩa 1.3.1. Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y gọi là toán tử compact, nếu toán tử A ánh xạ tập bị chặn bất kỳ trong không gian X thành tập compact tương đối trong không gian Y. Toán tử compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục. 1.3.2. Tính chất của toán tử compact Định lý 1.3.1. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , B là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Y vào không gian định chuẩn Z . Khi đó, nếu một trong hai toán tử A, B là compact thì toán tử tích B  A là compact. Chứng minh. Giả sử B là toán tử compact và E là tập bị chặn bất kỳ trong không gian X . Khi đó A ( E ) là tập bị chặn trong không gian Y , do - 13 - đó, B ( A ( E ) ) là tập compact tương đối trong không gian Z . Vì vậy toán tử tích B  A là compact. Giả sử A là toán tử compact và G là tập bị chặn bất kỳ trong không gian X . Khi đó A ( G ) là tập compact tương đối trong không gian Y . Do tính liên tục của toán tử B , nên tập B ( A ( G ) ) là tập compact tương đối trong không gian Z . Vì vậy, toán tử B  A là compact. Hệ quả 1.3.1. Nếu A là toán tử compact ánh xạ không gian định chuẩn vô hạn chiều X vào không gian định chuẩn Y , thì A không có toán tử ngược bị chặn. Định lý 1.3.2. Nếu A và B là hai toán tử compact ánh xạ không gian định chuẩn vô hạn chiều X vào không gian định chuẩn Y , thì với mọi số p, q toán tử pA + qB là toán tử compact. Chứng minh. Giả sử E là tập bị chặn trong không gian X và ( yn ) là dãy tùy ý các phần tử của tập ( pA + qB)( E ). Khi đó tồn tại dãy ( xn ) ⊂ E sao cho yn = ( pA + qB ) xn , n = 1, 2,.... . Vì A là toán tử compact, nên tồn tại dãy con ( B xn ) ⊂ ( B xn ) hội tụ trong không gian Y . kj k Do đó dãy ( pA + qB ) xn = pA xn + qB xn (j = 1,2,…) hội tụ trong không kj kj kj gian Y . Vậy dãy ( yn ) chứa dãy con hội tụ trong không gian Y . Suy ra ( pA + qB ) ( E ) là tập compact tương đối trong không gian Y . Vì vậy pA + qB là toán tử compact. - 14 - Định lý 1.3.3. Nếu ( An ) là dãy các toán tử compact ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian Banach Y hội tụ tới toán tử A trong không gian I ( X , Y ) thì A là toán tử compact. Chứng minh. Giả sử E là tập bị chặn bất kì trong không gian X và ( yn ) là dãy tùy ý của tập A ( E ). Khi đó tồn tại số dương r sao cho || x || < r, ∀x ∈ E và tồn tại dãy ( xn ) ⊂ E sao cho y n = Ax n (n = 1,2,…). Vì A 1 là toán tử compact, nên tồn tại dãy con ( x1,n ) ⊂ ( xn ) sao cho dãy ( A 1 x1,n ) hội tụ trong không gian Y ; Vì A 2 là toán tử compact, nên tồn tại dãy con ( x2,n ) ⊂ ( x1,n ) sao cho ( A 2 x2,n ) hội tụ trong không gian Y ,… Giả sử tiếp tục quá trình này đến bước thứ k ta tìm được dãy con ( xk ,n ) ⊂ ( xk −1,n ) sao cho dãy ( A k xk ,n ) hội tụ trong không gian Y . Vì Ak +1 là toán tử compact, nên tồn tại dãy con ( xk +1,n ) ⊂ ( xk , n ) sao cho ( A k+1 xk +1,n ) hội tụ trong không gian Y . Tiếp tục quá trình này mãi mãi ta nhận được dãy con ( xn ,n ) ⊂ ( xn ), trong đó với mỗi k = 1,2,… dãy ( xn ,n ) với n ≥ k là dãy con của dãy ( xn ,k ), do đó dãy ( A k xn ,n ) hội tụ trong không gian Y . Từ giả thiết ta có với ε > 0 cho trước tùy ý, tồn tại số nguyên dương no sao cho || An − A || < 0 ε 3r . Theo chứng minh trên, dãy ( An xn ,n ) hội tụ trong không gian Y , nên tồn tại số 0 nguyên dương n1 > n0 sao cho ∀ n, m ≥ n1 ta có || An xn ,n − An xm,m || < 0 Suy ra ∀ n, m ≥ n1 ta có: 0 ε 3 . - 15 - || A xn ,n − A xm,m ( A xn ,n − An xn ,n )|| + || An xn ,n − An xm,m || ≤ 0 0 0 + || An0 xm , m − A xm , m || ≤ || A − An0 || || xn ,n || + || A n0 xn ,n − A n0 xm , m || + || A n0 − A || || xm , m || < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Điều này chứng tỏ dãy ( A xn ,n ) là dãy cơ bản trong không gian Banach Y, nên dãy đó phải hội tụ, nghĩa là dãy yn = A xn ( n = 1, 2,... ) chứa dãy con hội tụ. Vì vậy, A là toán tử compact. 1.4. Không gian Hilbert 1.4.1. Tích vô hướng 1.4.1.1. Định nghĩa 1.4.1. Cho không gian tuyến tính X trong trường P ( P =  hay P =  ). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P , kí hiệu (.,.), thỏa mãn các tiên đề: _____ 1) ( ∀x, y ∈ X ) ( y, x ) = ( x, y ). 2) ( ∀x, y, z ∈ X ) ( x + y, z ) = ( x, y ) + ( y, z ). 3) ( ∀x, y ∈ X ) ( ∀α ∈ P ) ( α x, y ) = α ( x, y ). 4) ( ∀x, y ∈ X ) ( x, x ) > 0 nếu x ≠ θ , ( x, x ) = 0 nếu x = θ . 1.4.1.2. Tính chất 1) ( ∀x ∈ X ) ( θ , x ) = 0 . __ 2) ( ∀x, y ∈ X ) ( ∀α ∈ P ) ( x, α y ) = α ( x, y ). 3) ( ∀x, y, z ∈ X ) ( x, y + z ) = ( x, y ) + ( x, z ). - 16 - 1.4.2. Bất đẳng thức Schwarz Định lý 1.4.1. Đối với mỗi x ∈ X ta đặt || x || = ( x, x ) (1.4.1). Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Shwarz: |( x, y )| ≤ || x || || y || (1.4.2). Chứng minh. Nếu ( x, y ) = 0 thì bất đẳng thức (1.4.2) hiển nhiên đúng. Nếu ( x, y ) ≠ 0 thì ∀λ ∈  ta có 0 ≤ ( x − λ ( x, y ) y , x − λ ( x, y ) y ) 2 = x − λ ( x, y )( y − x ) − λ ( x, y )( y, x ) + λλ ( x, y )( x, y )( y, y ) 2 2 = x − 2λ ( x , y ) + λ 2 ( x , y ) 2 y 2 Ta nhận được một tam thức bậc hai đối với λ không âm với mọi giá trị λ ∈  . Do đó : ( x, y ) 4 − ( x, y ) 2 2 ⇔ ( x, y ) ≤ x x 2 y 2 2 y ≤0 2 ⇔ ( x, y ) ≤ x y Vì vậy, ( x, y ) ≤ x y ( ∀x, y ∈ X ) . Hệ quả 1.4.1. Công thức (1.4.1) xác định một chuẩn trên không gian X . Định nghĩa 1.4.2. Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert. Hệ quả 1.4.2. Tích vô hướng ( x, y ) là một hàm liên tục của hai biến x và y theo chuẩn (1.4.1). Chứng minh. Giả sử dãy điểm bất kỳ ( xn ) ⊂ X hội tụ tới x , dãy điểm bất kỳ ( yn ) ⊂ X hội tụ tới y . Khi đó : - 17 - (∃C > 0)(∀n ∈ * ) || yn || ≤ C | ( xn , yn ) − ( x, y ) | ≤ | ( xn , yn ) − ( x, yn ) | + | ( x, yn ) − ( x, y ) | ≤ || xn − x || || yn || + || x || || yn − y || ≤ C || xn − x || + || x || || yn − y || (∀n ∈ * ) Suy ra lim( xn , yn ) = ( x, y ) . n →∞ 1.4.3. Định nghĩa không gian Hilbert Định nghĩa 1.4.3. Ta gọi một tập H ≠ ∅ gồm những phần tử x, y, z,... nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện : 1) H là không gian tuyến tính trên trường P ; 2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.) ; 3) H là không gian Banach với chuẩn || x ||= ( x, x) , x ∈ H . Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H . 1.4.4. Toán tử đối xứng, giá trị riêng, véc tơ riêng Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert X. Ta có ( Ax,y ) là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục, cho nên có một toán tử liên tục duy nhất A* để cho: (Ax,y) = (x,A*y). Toán tử A* gọi là toán tử liên hợp của A. Nếu A* = A thì A gọi là toán tử tự liên hợp hay toán tử đối xứng. Ta nói một số λ là giá trị riêng của toán tử A, nếu phương trình Ax = λ x có nghiệm x không tầm thường. Khi ấy nghiệm x này gọi là một vectơ riêng của A, ứng với giá trị riêng λ . Tập hợp tất cả các vectơ riêng của toán tử tuyến tính liên tục A ứng với cùng một giá trị riêng λ ( cùng với phần tử 0) làm thành một không gian con - 18 - đóng của λ bất biến đối với A. Không gian con này gọi là không gian con riêng ứng với giái trị riêng λ . 1.4.5. Toán tử nghịch đảo Xét phương trình Ax = y trong dó A là toán tử tuyến tính từ X vào Y. Nếu với mỗi y ∈ Im A ứng với một x hoàn toàn xác định sao cho Ax = y. Khi ấy, toán tử biến y thành x gọi là toán tử nghịch đảo của toán tử A và ký hiệu là A-1. 1.5. Nguyên lý Banach về ánh xạ co Định nghĩa 1.5.1. Cho hai không gian metric M 1 = ( X , d1 ) , M 2 = (Y , d 2 ) . Ánh xạ A không gian M1 vào không gian M2 gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số α , 0 ≤ α < 1 , sao cho: d 2 ( Ax, Ax ') ≤ α d1 ( x, x ') , ∀x, x ' ∈ X . Định lý 1.5.1. Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = ( X , d ) vào chính nó đều có điểm bất động x duy nhất, nghĩa là x ∈ X thỏa mãn hệ thức Ax = x . Chứng minh. Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X và lập dãy xn = Axn −1 , (n = 1, 2,...) ta được: d ( x2 , x1 ) = d ( Ax1 , Ax0 ) ≤ α d ( x1 , x0 ) = α d ( Ax0 , x0 ) d ( x3 , x2 ) = d ( Ax2 , Ax1 ) ≤ α d ( x2 , x1 ) ≤ α 2 d ( Ax0 , x0 ) … d ( xn +1 , xn ) = d ( Axn , Axn−1 ) ≤ α d ( xn , xn −1 ) ≤ α n d ( Ax0 , x0 ) với n = 1, 2,... . Từ đó suy ra ∀n, p = 1, 2,... ta có p p d (x , x ) ≤ ∑ d (x ,x ) ≤ d ( Ax , x ) ∑ α n + k − 1 n+ p n n + k n + k −1 0 0 k =1 k =1 n− n+ p α n d ( Ax , x ) . =α α d ( Ax , x ) ≤ 0 0 0 0 1−α 1−α - 19 - Vì 0 ≤ α < 1 , nên lim α n = 0 , do đó lim d ( xn + p , xn ) = 0 , ∀p ∈  * , nghĩa là dãy ( xn ) n →∞ n →∞ là dãy cơ bản trong không gian metric đầy M . xn = x ∈ X . Ta có Từ đó tồn tại lim n →∞ d ( Ax, x) ≤ d ( Ax, xn ) + d ( xn , x) = d ( Ax, Axn −1 ) + d ( xn , x) ≤ α d ( xn−1 , x) + d ( xn , x) , ∀n = 1, 2,... Cho n → ∞ ta được d ( Ax, x) = 0 hay Ax = x , nghĩa là x là điểm bất động của ánh xạ A . Giả sử tồn tại điểm y ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A . Khi đó d ( x, y ) = d ( Ax, Ay ) ≤ α d ( x, y ) ⇒ (1 − α )d ( x, y ) ≤ 0 ⇒ d ( x, y ) = 0 (0 ≤ α < 1) ⇒ x = y . Vậy x là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A . - 20 - Chương 2. Một số phương pháp chiếu 2.1. Dạng tổng quát của phương pháp chiếu và định lý về sự hội tụ 2.1.1. Giả sử X , Y là hai không gian Banach. Xét phương trình Ax = y , (2.1) trong đó A là toán tử tuyến tính với miền xác định D( A) ⊂ X và miền giá trị R ( A) ⊂ Y . Cho hai dãy không gian con { X n } và {Yn } , sao cho: X n ⊂ D ( A) ⊂ X ; Yn ⊂ R ( A) ⊂ Y (n = 1, 2,...) . Xét các toán tử Pn chiếu Y → Yn : Pn2 = Pn , PnY = Yn . Xét họ phương trình gần đúng: Pn ( Axn − y ) = 0 ( xn ∈ X n ) . (2.2) Phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình (2.1) nhờ (2.2) được gọi là phương pháp chiếu. Trong trường hợp X = Y và X n = Yn phương pháp trên được gọi là phương pháp Galerkin. Có nhiều cách xây dựng các không gian con X n , Yn . Dưới đây là mô tả một cách thường dùng. Giả sử X , Y là những không gian Hilbert. Chọn hai dãy đầy đủ {ϕ j } và {ψ j } ϕ j ∈ D ( A ) ⊂ X ,ψ j ∈ Y ( j = 1, 2,...) . Nghiệm gần đúng được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính n xn = ∑ α jϕ j . (2.3) j =1
- Xem thêm -