Tài liệu Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HÙNG CƯỜNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HÙNG CƯỜNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2015 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng” là của tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ. Tác giả Nguyễn Hùng Cường ii Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo của khoa sau Đại học, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã trang bị kiến thức cơ bản, tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Trần Nguyên An, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015 Tác giả Nguyễn Hùng Cường iii Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Danh sách ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Các phép biến hình trong mặt phẳng . . . . . . . . . 2 1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Phép tịnh tiến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Phép đối xứng qua đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Phép quay xung quanh một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6. Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7. Phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8. Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Các phép biến hình trong không gian . . . . . . . . 25 2.1. Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Phép quay xung quanh một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4. Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5. Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6. Phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.7. Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 iv Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng một số ký hiệu sau. ⊥ // ∩ ≡ |~v | ∆ABC T~v D∆ DP QαO Qα∆ D VIk D(k) NIk Vuông góc. Song song. Giao nhau. Trùng nhau. Độ dài véc tơ ~v . Tam giác ABC. Phép tịnh tiến theo véc tơ ~v . Phép đối xứng qua đường thẳng ∆. Phép đối xứng qua mặt phẳng P. Phép quay tâm O, góc quay α. Phép quay xung quanh đường thẳng ∆, góc quay α. Phép dời hình. Phép vị tự tâm I, tỉ số k. Phép đồng dạng tỉ số k. Phép nghịch đảo cực I, phương tích k. 1 Mở đầu Các phép biến hình là công cụ hữu hiệu và quan trọng trong việc nghiên cứu Hình học sơ cấp. Ở chương trình phổ thông, học sinh đã được làm quen với một số phép biến hình trong mặt phẳng như phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự,.... Các phép biến hình giúp ta giải quyết được một số dạng toán: Chứng minh, quĩ tích, dựng hình, cực trị,.... Một cách tự nhiên ta có thể mở rộng các phép biến hình trong mặt phẳng sang các phép biến hình trong không gian. Mục đích chính của luận văn là trình bày một số phép biến hình trong không gian và đưa ra một số ví dụ áp dụng. Để thấy được sự mở rộng từ các phép biến hình trong mặt phẳng sang các phép biến hình trong không gian luận văn trình bày hệ thống lại một số kết quả của phép biến hình trong mặt phẳng. Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 2 chương: Chương 1 Phép biến hình trong mặt phẳng. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số phép biến hình trong mặt phẳng và 24 bài toán sử dụng phép biến hình để giải. Chương 2 Phép biến hình trong không gian.Trong Chương 2, chúng tôi trình bày một số phép biến hình trong không gian và mở rộng 24 bài toán hình học phẳng sang bài toán hình học trong không gian. 2 Chương 1 Các phép biến hình trong mặt phẳng Chương này trình bày một số phép biến hình cơ bản trong mặt phẳng và một số ví dụ áp dụng. Mục đích của việc trình bày chương này là hệ thống lại các phép biến hình trong mặt phẳng để từ đó mở rộng tương ứng sang các phép biến hình trong không gian. 1.1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Định nghĩa (Phép biến hình). Trong mặt phẳng (không gian) cho một quy tắc f . Với mỗi điểm M bất kì, theo quy tắc f ta xác định được duy nhất điểm M 0 . Khi đó ta nói M 0 là ảnh của M qua quy tắc f và được kí hiệu f : M → M 0 . Điểm M được gọi là tạo ảnh của M 0 , f được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng (phép biến hình trong không gian). 1.2. Định nghĩa (Phép biến hình 1-1). Ta biết rằng mỗi ảnh của một điểm M qua phép biến hình f có thể có nhiều tạo ảnh khác M . Nếu mỗi ảnh của M chỉ có duy nhất một tạo ảnh ứng với nó, thì ta nói f là phép biến hình 1 − 1. 1.3. Định nghĩa (Phép biến hình đồng nhất). Ta nói f là phép biến hình đồng nhất, nếu f biến mọi điểm M thành chính M . 1.4. Định nghĩa (Phép biến hình ngược). Giả sử f : M → M 0 với mọi điểm M trong mặt phẳng (không gian). Nếu tồn tại một phép biến hình g biến M 0 thành M , thì ta nói g là phép biến hình ngược của f và f là phép biến hình có ngược. 1.5. Định nghĩa (Tích của phép biến hình). Tích của hai (hoặc nhiều) 3 phép biến hình là một phép biến hình nhận được từ việc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến hình đã cho. 1.6. Định nghĩa (Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một phép biến hình). Ta nói O là một điểm bất động (hoặc điểm kép) của một phép biến hình f , nếu f biến O thành O. Ta nói đường thẳng d là bất động (hoặc kép hoàn toàn) của một phép biến hình f , nếu mọi điểm thuộc d là điểm bất động của f . Ta nói mặt phẳng (P ) là bất động (hoặc kép hoàn toàn) của một phép biến hình f , nếu mọi điểm thuộc (P ) là điểm bất động của f . Ta nói đường thẳng d (mặt phẳng (P )) là bất biến của một phép biến hình f , nếu f biến đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P )) thành chính nó. Khi đó đường thẳng d (mặt phẳng (P )) còn được gọi là đường thẳng kép (hoặc mặt phẳng kép). 1.7. Định nghĩa (Phép biến hình đối hợp). Phép biến hình f được gọi là phép biến hình có tính chất đối hợp nếu f (M ) = M 0 , f (M 0 ) = M 00 thì M 00 ≡ M. 1.8. Định nghĩa (Góc định hướng). Góc tạo bởi hai tia Ox, Oy có phân biệt thứ tự tia đầu và tia cuối được gọi là góc định hướng. Nếu tia Ox là tia đầu, tia Oy là tia cuối thì người ta kí hiệu góc định hướng là (Ox, Oy). Thường người ta chọn chiều dương là chiều quay ngược chiều kim đồng hồ. 1.9. Định nghĩa (Chiều quay của tam giác). Chiều quay của tam giác ABC là chiều quay từ A đến B, tiếp đó đến C. Nếu chiều quay của tam giác ABC ngược chiều kim đồng hồ thì tam giác ABC có chiều thuận (hay chiều dương). 1.10. Định nghĩa (Chiều của tứ diện). Tứ diện ABCD được gọi là có chiều dương nếu trong nửa không gian với biên là mặt phẳng (BCD) chứa đỉnh A, tam giác BCD có chiều âm. Nếu tam giác BCD xét trong nửa không gian trên có chiều dương thì tứ diện ABCD có chiều âm. 1.2. Phép tịnh tiến 1.2.1. Định nghĩa Trong mặt phẳng cho một véc tơ ~v = 6 ~0, một phép biến hình f : M → − − − → M 0 sao cho M M 0 = ~v thì f được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ ~v , kí hiệu T~v : M → M 0 . 4 1.2.2. Tính chất 1. Phép tịnh tiến là một phép biến hình 1 - 1. 2. Phép tịnh tiến không có điểm kép. − 3. Mọi đường thẳng a//→ v thì a là đường thẳng kép. 4. Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm. 5. Phép tịnh tiến biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A0 , B 0 , C 0 thẳng hàng, do đó nó biến đường thẳng d thành đường thẳng d0 song song hoặc trùng với d. 6. Phép tịnh tiến biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm A0 , B 0 , C 0 không thẳng hàng, do đó nó biến tam giác ABC thành tam giác A0 B 0 C 0 bằng với nó. 0 − 7. Phép tịnh tiến bảo toàn số đo góc. T→ v : α → α = α. 8. Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 1.2.3. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1.2.1. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng ∆ cố định, một đường tròn (O0 , R0 ) luôn tiếp xúc với (O, R), trong đó R0 không đổi. Ở mỗi vị trí của (O0 , R0 ) kẻ tiếp tuyến M x//∆. Tìm tập hợp tiếp điểm M khi (O0 , R0 ) chuyển động. Giải. a. Trường hợp đường tròn (O0 , R0 ) tiếp xúc ngoài với (O, R). Vì O0 M ⊥ M X mà ∆//M X nên ta suy ra O0 M ⊥ ∆, do đó ∃T~v : O0 → M , trong đó |~v | = R0 và ~v ⊥ ∆. Tập hợp điểm O0 là đường tròn W (O, R+R0 ), nên từ đó ta suy ra tập hợp điểm M là W 0 (O1 , R+R0 ) − là ảnh của đường tròn W qua T→ v. Vì có hai ~v (ngược hướng nhau) cùng thỏa mãn điều kiện trên nên bài toán có hai nghiệm hình. b. Trường hợp đường tròn Hình 1.1 0 (O , R0 ) tiếp xúc trong với (O, R). Tương tự như trên, ta có hai tập hợp điểm M và tập hợp điểm M 0 cũng là hai đường tròn. Vì tập hợp O0 là đường tròn λ(O, |R − R0 |) nên tập 5 0 − hợp M là đường tròn λ0 (O2 , |R − R0 |), trong đó λ0 = T→ v (λ). Tập hợp M là đường tròn λ1 (O20 , |R − R0 |), trong đó λ1 là ảnh của λ qua T−~v . Ví dụ 1.2.2. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B bất kì không thuộc d. Tìm trên d hai điểm M, N sao cho M N = m và M A = N B. Giải. a. Phân tích. Giả sử đã dựng được M, N thỏa mãn điều kiện đầu bài. Chọn ~v sao cho |~v | = m, ~v //d, A0 = T~v (A), N = T~v (M ) từ đó ta có M A = N A0 = N B, nên ta suy ra N là giao của d và d0 . (d0 là đường trung trực của A0 B). b. Cách dựng. • Dựng A; B; m; d. • Dựng ~v //d; |~v | = m. • Dựng A0 = T~v (A). • Dựng d0 là đường trung trực của A0 B. Hình 1.2 • Dựng N ≡ d ∩ d0 . • Dựng M = T−~v (N ). c. Biện luận. Nếu A0 B ⊥ d thì bài toán vô nghiệm. Ví dụ 1.2.3. Cho đường tròn (O, R), điểm A cố định thuộc (O, R) và một điểm I cố định không thuộc (O, R). Một đường thẳng d chuyển động qua I, đường thẳng d cắt (O, R) ở B và C. Chứng minh rằng trực tâm H luôn thuộc một đường tròn cố định. Giải. Do H là trực tâm của ∆ABC nên ta suy ra AH = 2OM. (OM là khoảng cách từ O đến BC). Gọi O0 là điểm đối xứng của O qua −−→ −−→ BC khi đó OO0 = AH do đó ta có −−0→ −→ → : O 0 → H. O H = OA cho nên T− OA Vì O0 I = OI nên ta suy ra O0 thuộc đường tròn tâm I bán kính IO từ đó ta suy ra H thuộc đường tròn tâm I’ bán kính I 0 M = IO0 = IO, Hình 1.3 → (I). trong đó I 0 = T− OA Ví dụ 1.2.4. Cho hai đường tròn (O, R) và (O0 , R0 ). Dựng M ∈ (O) và N ∈ (O0 ) sao cho M N = m và M N//OO0 . (m là độ dài cho trước). −−→ Giải. Dễ thấy điểm N ≡ T~v (M ), trong đó véc tơ ~v //OO0 , |~v | = m, 6 mà điểm M ∈ (O, R) nên ta suy ra N ∈ (O1 , R) là ảnh của (O, R) qua T~v . Vậy N ≡ (O1 ) ∩ (O) từ đó ta suy ra M = T~v (N ). (hình 1.4) Chú ý: Bài toán có thể vô nghiệm, 1 nghiệm, 2 nghiệm hình. Ví dụ 1.2.5. Cho hai đường tròn Hình 1.4 0 0 (O, R), (O , R ) và một đường thẳng ∆. Dựng đường thẳng d//∆, d cắt (O) và (O0 ) theo hai dây M N = M 0 N 0 . (M, N ∈ (O) và M 0 , N 0 ∈ (O0 )). Giải. Gọi H, K là hình chiếu của O, O0 trên ∆. Vì HK không đổi cho nên −−−→0 −−→ −−→ M M = N N 0 = HK do đó ta suy ra M 0 ≡ T~v (M ), trong đó ~v //∆, |~v | = HK từ đó ta suy ra M 0 = (O0 , R0 ) ∩ (O1 , R). (hình 1.5). (O1 , R) = T~v [(O, R)], nên ta suy ra đường thẳng d qua M 0 và d//∆ thì d là đường thẳng cần dựng. Chú ý: Bài toán có thể vô nghiệm Hình 1.5 hoặc có một nghiệm. 1.3. Phép đối xứng qua đường thẳng 1.3.1. Định nghĩa Cho một đường thẳng ∆ cố định, một phép biến hình f biến M thành M 0 sao cho ∆ là đường trung trực của M M 0 thì f được gọi là phép đối xứng trục qua đường thẳng ∆, ký hiệu D∆ : M → M 0 . 1.3.2. Tính chất 1. D∆ là một phép biến hình 1 - 1. 2. ∆ là đường thẳng kép hoàn toàn. 3. D∆ là một phép biến hình có tính chất đối hợp. 4. D∆ bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm. 5. D∆ bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của 3 điểm A, B, C. 7 6. D∆ biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm A’, B’, C’ không thẳng hàng, biến 4ABC thành 4A0 B 0 C 0 = 4ABC. 7. D∆ bảo toàn độ lớn góc. 8. D∆ biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 1.3.3. Trục đối xứng của hình F Nếu D∆ : F → F 0 và F 0 ≡ F thì ∆ là trục đối xứng của F . 1.3.4. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1.3.1. Cho một đường tròn (O, R), đường thẳng ∆ và một điểm A, B ∈ (O). Tìm tập hợp điểm C sao cho AB = AC và BC//∆. Giải. Qua điểm A kẻ đường thẳng d ⊥ ∆. Do điểm A, đường thẳng ∆ cho trước nên d cố định, vì BC//∆ nên d ⊥ BC do đó d là đường trung trực của đoạn thẳng BC, từ đó ta suy ra Dd : B → C. Vì B ∈ (O, R) nên ta suy ra C ∈ (O0 , R), trong đó đường tròn (O0 , R) là ảnh của đường tròn (O, R) qua Dd . (hình 1.6) Hình 1.6 Ví dụ 1.3.2. Cho đường thẳng ∆ và hai điểm A, B nằm cùng phía bờ ∆. Tìm trên đường thẳng ∆ một điểm M sao cho M A + M B nhỏ nhất. Giải. Hình 1.7 Lấy A0 là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục D∆ , điểm M là giao 8 của A0 B và đường thẳng ∆ khi đó M A + M B nhỏ nhất. Thật vậy, lấy điểm M 0 bất kỳ thuộc đường thẳng ∆, ta suy ra M 0 A + M 0 B = M 0 A0 + M 0 B > BA0 = M B + M A0 . Hay M 0 A + M 0 B > M A + M B. Ví dụ 1.3.3. Cho góc xOy và hai điểm A, B nằm trong góc xOy. Tìm hai điểm M ∈ Ox, N ∈ Oy sao cho AM + M N + N B nhỏ nhất. Giải. Nếu A, B nằm ngoài góc xOy thì M, N là giao của AB với Ox, Oy. Nếu A, B cùng nằm trong góc Ox, Oy thì M ≡ Ox∩A0 B 0 ; N ≡ Oy∩A0 B 0 , trong đó A0 = DOx (A), B 0 = DOy (B). Cách dựng. • Dựng xOy; A, B ở trong góc xOy. • Dựng A0 = DOx (A). • Dựng B 0 = DOy (B). • Dựng A0 B 0 . • Dựng M ≡ Ox ∩ A0 B 0 . 0 Hình 1.8 0 • Dựng N ≡ Oy ∩ A B . Chứng minh. Lấy M 0 ∈ Ox, N 0 ∈ Oy ta chứng minh AM + M N + N B < AM 0 + M 0 N 0 + N 0 B. Ta có AM + M N + N B = A0 B 0 < A0 M 0 + M 0 N 0 + N 0 B 0 = AM 0 + M 0 N 0 + N 0 B. 1.4. Phép quay xung quanh một điểm 1.4.1. Định nghĩa 9 Cho một điểm O và một góc α có hướng. Một phép biến hình f biến M thành M 0 sao −−→ −−→ cho: OM = OM 0 , (OM , OM 0 ) = α + k2π thì f được gọi là phép quay tâm O, góc quay α, ký hiệu: QαO : M → M 0 . Đặc biệt. α = 2kπ : Qk2π O ≡ E. (phép đồng nhất) (2k+1)π α = (2k + 1)π : QO ≡ DO . Hình 1.9 1.4.2. Tính chất 1. QαO là một phép biến hình 1-1. 2. O là điểm kép. 3. QαO Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm. QαO (A) = A0 , QαO (B) = B 0 ⇒ AB = A0 B 0 . 4. QαO Bảo toàn tính thẳng hàng của 3 điểm và thứ tự của chúng, do đó phép quay biến đường thẳng d thành d0 sao cho (d, d0 ) = α. Hình 1.10 5. Phép quay biến 4ABC → 4A0 B 0 C 0 = 4ABC, do đó phép quay biến góc α → α0 = α. 6. Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 1.4.3. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1.4.1. Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. Điểm C ∈ −→ −−→ d dựng hình vuông CBEF sao cho (− AB, BC, BE) = −900 . Tìm tập hợp điểm E. 0 −90 Giải. Qua QB : C → E, vì C thuộc nửa đường tròn đường kính AB, 10 nên điểm E thuộc nửa đường tròn đường kính A0 B là ảnh của nửa đường tròn đường kính AB 0 qua phép quay Q−90 . (hình 1.11) B 1.5. Phép dời hình 1.5.1. Định nghĩa Hình 1.11 Một phép biến hình D được gọi là một phép dời hình nếu D(M ) = M 0 và D(N ) = N 0 thì M N = M 0 N 0 . 1.5.2. Tính chất • Phép dời hình biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng, biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. • Phép dời hình biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm A’, B’, C’ không thẳng hàng, biến tam giác thành tam giác bằng nó. • Phép dời hình bảo toàn độ lớn góc. • Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 1.5.3. Sự liên hệ giữa các phép tịnh tiến, đối xứng và phép quay Ta có một số kết quả sau: 1. Tv~2 .Tv~1 = T~v ; ~v = v~1 + v~2 . 2. Nếu ∆1 //∆2 . thì D∆2 .D∆1 = T~v . Ngược lại T~v = D∆2 .D∆1 . (Sự phân tích trên là vô số cách) 3. Nếu ∆1 ∩ ∆2 ≡ O. thì D∆2 .D∆1 = QαO . 4. QαO2 .QαO1 = QαO , trong đó α = α1 + α2 . α2 α1 α − 5. QαO22 .QαO11 = T→ v , hoặc QO2 .QO1 = QO . α 6. QO .T~v = QαO0 . 7. Một phép dời hình có thể xem là tích không quá 3 phép đối xứng trục. 11 1.5.4. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1.5.1. Cho 2 điểm O và O0 , hãy xét tích DO0 .DO ? Giải. Lấy điểm M bất kỳ, qua DO : M → M 0 , DO0 : M 0 → M 00 , −−−→ do đó qua DO0 .DO : M → M 00 ⇔ M M ” = −−→ −→ : M → M 00 . 2OO0 . Từ đó ta suy ra qua T2− OO0 −→ . (Hình 1.12). Vậy DO0 .DO = T2− OO0 Ví dụ 1.5.2. Cho 3 đường thẳng a, b, c. Hãy xác định tích: Dc .Db .Da trong hai trường hợp sau: a. a//b//c. b. a ∩ b ∩ c ≡ O. Hình 1.12 Giải. a. Dựng d sao cho: a//b//c//d, khoảng cách từ d đến c Hình 1.13 bằng khoảng cách từ a đến b và chiều d → c là chiều a → b. (hình 1.13) Vì a//b//c//d nên Dc .Db .Da = Dc .T~v = Dc .Dc .Dd = Dd . b. Dựng đường thẳng d sao cho d qua O, góc (d, c) = (a, b) = α. Hình 1.14 Ta có Dc .Db .Da = Dc .Q2α o = Dc .Dc .Dd = Dd . Ví dụ 1.5.3. Cho một hình F có diện tích S. Chứng minh rằng F không thể có quá một tâm đối xứng. 12 Hình 1.15 Giải. Giả sử hình F có hai tâm đối xứng là O1 và O2 . Lấy một điểm M bất kỳ, qua DO1 : M → M 0 , qua DO2 : M 0 → M 00 từ đó ta suy ra −−→ : M → M 00 . Xây dựng hệ trục tọa độ vuông góc xO1 y DO2 .DO1 = T2− O1 O2 sao cho O1 O2 ≡ O1 x, O1 y ⊥ O1 O2 . Giả sử M có hoành độ lớn nhất mà −−−→00 −−−→ M M = 2O1 O2 từ đó ta suy ra hoành độ M ” lớn hơn hoành độ của M tức là M 00 ∈ / F . Trái giả thiết O2 là tâm đối xứng của F nên ta suy ra O2 ≡ O1 . Vậy F chỉ có một tâm đối xứng. Ví dụ 1.5.4. Cho một hình F có diện tích S, chứng minh rằng nếu F có từ hai trục đối xứng trở lên thì các trục đối xứng phải cắt nhau tại một điểm. Giải. a) Giả sử F có hai trục đối xứng là a và b trong đó a//b. (hình 1.16). Hình 1.16 −−−→ Lấy M ∈ F , khi đó qua Db .Da (M ) = M 00 = T~v (M ) ta suy ra M M 00 = ~v , trong đó |~v | = 2h và h = ρ(a, b). (ρ(a, b) là khoảng cách từ a đến b). Qua −−−−→ −−−−→ Db .Da : M 00 → M 000 suy ra |M 00 M 000 | = 2h do đó |M M 000 | = 4h, cứ tiếp tục như vậy thì ảnh của M là Mx sẽ không thuộc F . Vậy a phải cắt b. b) Giả sử F có 3 trục đối xứng a, b, c ta chứng minh a, b, c đồng quy 13 tại O. (hình 1.17). Hình 1.17 Thật vậy, giả sử a, b, c không đồng quy tại một điểm, chúng tạo thành ∆ABC. Gọi M là một điểm nằm trong ∆ABC, I ∈ F và M I lớn nhất. Gọi I 0 = Da (I), N ≡ M I 0 ∩ a ta suy ra N I = N I 0 và M N + N I 0 = M I 0 = M N + N I > M I. Vậy I 0 có khoảng cách tới M lớn hơn khoảng cách từ I tới M từ đó ta suy ra I 0 không thuộc F , (điều đó vô lí vì a là trục đối xứng của F ). Do đó a, b, c phải cắt nhau tại một điểm.Vậy nếu F có quá 2 trục đối xứng trở lên thì chúng phải đồng quy. 1.6. Phép vị tự 1.6.1. Định nghĩa Trong mặt phẳng cho một điểm I cố định và một số thực k 6= 0. Một −−→ −−→ phép biến hình f biến M → M 0 sao cho IM 0 = k.IM thì f được gọi là phép vị tự tâm I, tỷ số k, ký hiệu là VIk : M → M 0 . Chú ý: 0 1. Nếu k = 1 thì VI1 ≡ E ≡ Q360 . I 0 2. Nếu k = −1 thì VI1 ≡ DI ≡ Q180 . I 3. Nếu k > 0 thì M và M 0 cùng phía đối với I. 4. Nếu k < 0 thì M và M 0 khác phía đối với I. 5. Nếu |k| > 1 thì IM 0 > IM . 6. Nếu |k| < 1 thì IM 0 < IM . 14 1.6.2. Tính chất 1. Phép vị tự là phép biến hình 1 − 1. 2. Phép vị tự có điểm I là điểm kép. 3. Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. 4. Phép vị tự biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng, do đó nó biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó. 5. Phép vị tự bảo toàn số đo góc. 6. Phép vị tự biến đường tròn (O, R) thành đường tròn (O0 , R0 ) sao −→ −→ cho IO0 = k.IO, và R0 = |k|.R. Chú ý: Hai đường tròn (O, R) và (O0 , R0 ) có thể coi là vị tự của nhau 0 bằng phép vị tự (O0 , R0 ). k= R VI R 0 0 0 : (O, R) → (O , R ) và k=− R VJ R : (O, R) → Hình 1.18 Trong đó I là tâm vị tự ngoài, J là tâm vị tự trong. 7. Trục vị tự của 3 đường tròn. Cho 3 đường tròn (O1 , R1 ), (O2 , R2 ) và (O3 , R3 ) có 3 tâm O1 , O2 , O3 không thẳng hàng; sẽ có 6 tâm vị tự, cứ 3 tâm (trong 6 tâm đó) thẳng hàng; đường thẳng chứa 3 tâm gọi là trục vị tự của 3 đường tròn, có 4 trục vị tự. 8. Tích hai phép vị tự: a. Tích hai phép vị tự cùng tâm: VIk2 .VIk1 = VIk , k = k1 .k2 .