Tài liệu MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ĐẶNG VĂN THOẠI MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN -CƠ- TIN HỌC ĐẶNG VĂN THOẠI MỘT SỐ MÔ HÌNH PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60460106 Người hướng dẫn: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2013 LỜI CÁM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của Luận văn em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG - người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. PHẦN MỞ ĐẦU Nhân loại đã bước sang thập niên thứ hai của thế kỉ 21. Cùng với sự phát triển không ngừng của các lĩnh vực kinh tế- xã hội, các môn khoa học cơ bản cũng đã đạt được rất nhiều thành tựu đáng kể. Đặc biệt là trong lĩnh vực Toán học, rất nhiều kết quả thu được không những giúp nhân loại giải quyết các bài toán có tính chất lý thuyết mà còn góp phần giải quyết các được bài toán thực tế của cuộc sống đặt ra. Trong đó phải kể đến bộ môn Xác suất- Thống kê. Xác suất-Thống kê hiện nay đang là một trong những ngành Toán học thu hút được rất nhiều sự quan tâm của không chỉ các nhà khoa học mà còn có cả các nhà quản lý, nhà đầu tư... Dự báo là lĩnh vực ra đời từ rất sớm, gắn liền với cuộc sống thực tiễn của con người từ xa xưa. Các quan sát trong thực tế thường được thu thập dưới dạng chuỗi dữ liệu. Từ những chuỗi dữ liệu này người ta phân tích và rút ra những quy luật của một quá trình được mô tả thông qua chuỗi dữ liệu, từ đó có thể đưa ra những dự báo hay những quyết định đúng đắn, kịp thời. Ví dụ như dự báo thời tiết, dự báo chỉ số chứng khoán, mức tăng dân số, dự báo nhu cầu sử dụng điện, dự báo số lượng sinh viên nhập học của một trường đại học... Các kết quả ứng với từng thời điểm được ghi lại tạo thành một chuỗi thời gian . Chuỗi thời gian đang được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để phân tích trong nhiều lĩnh vực của kinh tế, xã hội cũng như trong nghiên cứu khoa học. Chính do tầm quan trọng đó mà nhiều tác giả đã đề xuất những mô hình khác nhau để phân tích chuỗi thời gian như là các mô hình hồi qui, phân tích Furie... Trong đó mô hình ARIMA của Box-Jenkins là mô hình được đánh giá rất cao. iii Mô hình cho kết quả khá tốt trong phân tích dữ liệu. Tuy nhiên, sự phức tạp của thuật toán đã gây ra những khó khăn trong quá trình phân tích, nhất là khi chuỗi số liệu có những thay đổi phản ánh sự phi tuyến của mô hình như chuỗi thời gian tài chính. Trong khuôn khổ của Luận văn, tác giả đã trình bày về mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH) và một số mô hình mở rộng của nó (GARCH, GARCH − M, TGARCH). Sau đó, các mô hình này được áp dụng vào việc định giá quyền chọn của cổ phiếu IBM. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 6 chương có nội dung tương ứng như sau: • Chương 1: Những khái niệm ban đầu • Chương 2: Mô hình ARCH • Chương 3: Mô hình GARCH • Chương 4: Mô hình GARCH − M • Chương 5: Mô hình TGARCH • Chương 6: Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việc định giá quyền chọn Trong các chương 2, 3, 4, 5 tác giả lần lượt trình bày về vấn đề: cấu trúc , tính chất, ước lượng, kiểm định của các mô hình và cuối cùng là áp dụng vào ví dụ thực tế. Trong chương 6, tác giả đã áp dụng các kiểu mô hình được trình bày trong các chương trước vào định giá quyền chọn của cổ phiếu IBM và so sánh chúng với giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes. Các ví dụ được trình bày trong luận văn đều sử dụng phần mềm R để phân tích. Đây là phần mềm hoàn toàn miễn phí nhưng các kết quả thu được lại rất tốt cho việc phân tích và dự báo. Phần mềm R có thể chạy trên nhiều hệ điều hành, sử dụng ngôn ngữ lập trình hiện đại và đang được sử dụng rất phổ biến trên thế giới. Mục lục Lời cám ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Chương 1. Những khái niệm ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2. Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4. Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Mô hình ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Đánh giá về mô hình ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Lợi suất cổ phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 2. Mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1. Cấu trúc của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1. Sự biểu diễn tự hồi quy và hiệp phương sai dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2. Moment không có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4. Kiểm định hiệu ứng ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5. Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7. Ưu và nhược điểm của mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iv v Chương 3. Mô hình GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1. Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.1. GARCH được biểu diễn như là ARCH (∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.2. Điều kiện dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.3. Moment không có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.4. Độ nhọn của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4. Kiểm định mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5. Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.6. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.7. Ưu điểm và nhược điểm của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Chương 4. Mô hình GARCH-M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1. Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.4. Kiểm định mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.5. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.6. Một vài lưu ý khi áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Chương 5. Mô hình TGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.1. Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.2.1. Sự biểu diễn hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2.2. Điều kiện dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2.3. Moment không có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2.4. Dáng điệu của đuôi mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3. Ước lượng và kiểm định mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.5. Ưu và nhược điểm của mô hình TGARCH . . . . . . . . . . . . . . . 62 vi Chương 6. Ứng dụng của các kiểu mô hình ARCH trong việc định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.1. Hợp đồng quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.2. Dữ liệu và phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.3. Kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Danh sách hình vẽ 1.1 Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/10/2013) . . . 4 1.2 Biểu đồ phân bố lợi suất hàng tuần và phân phối chuẩn . . 7 1.3 Biểu đồ lợi suất hàng tuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Đồ thị ACF của lợi suất hàng tuần (IBM) . . . . . . . . . . . 18 2.2 Đồ thị PACF của bình phương lợi suất . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Lợi suất thực tế với 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 20 2.5 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.7 Đồ thị QQ-norm của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.8 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.9 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 24 2.10 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.11 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.12 Đồ thị QQ-std của phần dư tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . 26 2.13 Giá trị dự báo của ARCH trong 10 bước . . . . . . . . . . . 27 2.14 Đồ thị mô phỏng chuỗi lợi suất . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.15 Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 vii viii 3.1 Độ lệch chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 41 3.3 Đồ thì QQ-std của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6 Kết quả dự báo của GARCH trong 10 bước . . . . . . . . . 44 3.7 Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . 46 3.8 Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 52 4.3 Đồ thị QQ-std của phần dư trung bình . . . . . . . . . . . . 52 4.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.6 Kết quả dự báo GARCH-M trong 10 bước . . . . . . . . . . 54 5.1 Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 60 5.3 Đồ thị QQ-std của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.4 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.5 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.6 Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . 63 5.7 Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Danh sách bảng 6.1 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $190 bằng các kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $195 bằng các kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.3 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $200 bằng các kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.4 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $205 bằng các kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.5 Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $210 bằng các kiểu mô hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.6 Dự báo giá quyền chọn bằng mô hình Black-Scholes . . . 72 1 Chương 1 Những khái niệm ban đầu 1.1. Quá trình dừng 1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên Cho (Ω, F, P) là không xác suất; BR là σ− trường Borel trên R Định nghĩa 1.1. Một quá trình ngẫu nhiên { X (t); t ∈ R} là một hàm hai biến xác định trên R × Ω và là hàm đo được đối với σ− trường BR × F Giả sử X (t), t ∈ T là một quá trình (ngẫu nhiên), trong đó T là tập chỉ số thời gian. Tập chỉ số T có thể là tập thời gian liên tục R = (−∞; +∞); R+ = [0; +∞) hoặc rời rạc Z = {0; ±1; ±2; ...} Định nghĩa 1.2. Quá trình X (t), t ∈ R được gọi là một quá trình cấp 2 nếu E| X (t)|2 < ∞; ∀t ∈ R 1.1.2. Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai Định nghĩa 1.3. Hàm trung bình của quá trình ngẫu nhiên X (t) kí hiệu là m(t) và được tính theo công thức m(t) = EX (t). Hàm hiệp phương sai của quá trình ngẫu nhiên kí hiệu là r (s, t) và được tính theo công thức r (s; t) = Cov [ X (s) ; X (t)] = E [( X (s) − m (s)) ( X (t) − m (t))] . 3 Định lí 1.1. Hàm hiệp phương sai r (s; t) là đối xứng và xác định không âm, tức là 1. r (s; t) = r (t; s), ∀s, t ∈ T n n
2. ∀n ∈ N, ∀t1 ; t2 ; ...tn ∈ T, ∀b1 , b2 , ...bn ∈ R thì ∑ ∑ bi b j r ti ; t j ≥ 0 i =1 j =1 1.1.3. Quá trình dừng Định nghĩa 1.4. Giả sử X (t) là quá trình cấp 2. X (t) được gọi là quá trình dừng nếu hàm trung bình m(t) là hằng số và hàm hiệp phương sai r (s; t) chỉ phụ thuộc vào s − t hay r (s; s + h) không phụ thuộc và s với mỗi h ∈ R Nói cách khác quá trình X (t), t ∈ R là quá trình dừng nếu nó có cùng hàm trung bình và hàm hiệp phương sai với quá trình Y (t) = X ( t + h ), ∀ h ∈ R Định nghĩa 1.5. Quá trình X (t), t ∈ R được gọi là quá trình dừng mạnh (hay dừng theo nghĩa hẹp) nếu với mọi h ∈ R, và với mọi t1 < t2 < .. < tn thì hàm phân phối đồng thời của { X (t1 + h); X (t2 + h); ...; X (tn + h)} và của { X (t1 ); X (t2 ); ...; X (tn )} là như nhau. Điều đó có nghĩa là phân phối hữu hạn chiều không thay đổi khi ta tịnh tiến bộ chỉ số thời gian (t1 ; t2 ; ..; tn ) Định nghĩa 1.6. Chuỗi thời gian { X (t), t ∈ T } hay X (t), t ∈ T là tập hợp các giá trị quan sát theo thời gian t, t ∈ T về cùng một đối tượng. Nếu T là tập rời rạc thì X (t) được gọi là chuỗi thời gian rời rạc. Nếu T là liên tục thì X (t) được gọi là chuỗi thời gian liên tục. Định nghĩa 1.7. Chuỗi thời gian X (t) được gọi là dừng nếu X (t) là quá trình dừng. Ví dụ về chuỗi thời gian 4 Hình 1.1: Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/10/2013) (Số liệu được lấy từ http://ichart.finance.yahoo.com) 1.1.4. Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng Định nghĩa 1.8. Cho { X (t)} là chuỗi thời gian dừng. Hàm tự hiệp phương sai (ACVF) với độ trễ h của { X (t)} là r (h) = Cov( X (t); X (t + h)) Hàm tự tương quan ( ACF ) của { X (t)} với độ trễ h là ρ (h) = r (h) r (0) Hàm tương quan riêng ( PACF ) kí hiệu là ρkk và được tính theo công thức ρkk = Corr (Yt , Yt−k |Yt−1 , Yt−2 , .., Yt−k+1 ) 5 1.2. Mô hình ARMA 1.2.1. Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA Định nghĩa 1.9. Quá trình ngẫu nhiên { Zt ; t ∈ T } được gọi là dãy ồn
trắng, kí hiệu { Zt } ∼ WN 0; σ2 nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: EZt Zs = 0, ∀t 6= s EZt = 0; EZt2 = σ2 ; ∀t ∈ T Định nghĩa 1.10. Quá trình ngẫu nhiên { Xt ; t ∈ T } được gọi là quá trình tự hồi quy cấp p, kí hiệu Xt ∼ AR ( p) nếu { Xt ; t ∈ Z} thỏa mãn Xt = a0 + a1 Xt−1 + a2 Xt−2 + ... + a p Xt− p + Zt ; a p 6= 0
Trong đó { Zt } ∼ W N 0; σ2 Điều kiện để quá trình AR( p) dừng là các nghiệm của phương p trình đặc trưng 1 − ∑ ai Li = 0 nằm ngoài vòng tròn đơn vị. i =1 Định nghĩa 1.11. Quá trình ngẫu nhiên { Xt , t ∈ T } được gọi là quá trình trung bình trượt cấp q, kí hiệu Xt ∼ MA (q) nếu thỏa mãn Xt = Zt + b1 Zt−1 + b2 Zt−2 + ... + bq Zt−q
Trong đó { Zt } ∼ W N 0; σ2 ,bi ∈ R, bq 6= 0 Điều kiện để quá trình MA(q) khả nghịch là các nghiệm của phương q trình đặc trưng 1 + ∑ bi Li = 0 nằm ngoài vòng tròn đơn vị. i =1 Định nghĩa 1.12. { Xt } là một quá trình trung bình trượt tự hồi quy cấp (p;q), kí hiệu Xt ∼ ARMA( p; q) nếu { Xt } thỏa mãn Xt − φ1 Xt−1 − φ2 Xt−2 − ... − φ p Xt− p = φ0 + Zt + θ1 Zt−1 + θ2 Zt−2 + ... + θq Zt−q
Trong đó { Zt } ∼ WN 0; σ2 Quá trình ARMA( p, q) dừng khi và chỉ khi các nghiệm của phương p trình đặc trưng 1 − ∑ φi Li = 0 nằm ngoài vòng tròn đơn vi. i =1 6 1.2.2. Đánh giá về mô hình ARMA Mô hình ARMA thu được thành công lớn khi áp dụng cho các chuỗi thời gian xuất phát từ các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật nhưng thất bại khi áp dụng cho các chuỗi thời gian kinh tế và tài chính. Nguyên nhân chính là giả thiết về mặt toán học phương sai của các chuỗi thời gian tài chính không thay đổi theo thời gian là không phù hợp. Vì vậy mô hình ARMA có thể dự báo được kỳ vọng nhưng thất bại khi dự báo phương sai của chuỗi thời gian tài chính như dãy lợi nhuận của một tài sản (cổ phiếu). Đã có nhiều ví dụ thể hiện rõ sự không phù hợp của mô hình ARMA đối với chuỗi thời gian tài chính. Mặc dù mô hình ARMA tỏ ra không phù hợp với chuỗi thời gian tài chính nhưng những kỹ thuật mà nó cung cấp là một cơ sở rất quan trọng và mang lại nhiều gợi ý cho các công trình nghiên cứu về chuỗi thời gian sau Box-Jenkins. Chính Box-Jenkins là những người đầu tiên đưa ra các kỹ thuật lấy sai phân để khử khuynh hướng tất định nhằm tăng khả năng dừng của một chuỗi thời gian. Với những vận dụng sáng tạo khái niệm khuynh hướng này, những người nghiên cứu đi sau Box - Jenkins đã cho ra đời hai lớp mô hình rất quan trọng đối với chuỗi thời gian tài chính. Đó là mô hình cộng tích, Cointegration (Granger,1981) và mô hình phương sai có điều kiện thay đổi tự hồi quy ARCH. Mô hình ARCH là cống hiến mang tính khai phá của Engle, nó có thể giải thích sự bất thường của phương sai mà chỉ sử dụng những thông tin quá khứ của bản thân nhiễu. Mô hình ARCH và một số mở rộng của nó sẽ được tác giả lần lượt trình bày trong các chương tiếp theo của luận văn. 1.3. Lợi suất cổ phiếu Trong thực tế, có rất nhiều dữ liệu tài chính như chuỗi lợi suất cổ phiếu được coi như một là chuỗi thời gian . Tuy vậy, việc nắm bắt được các đặc trưng của chuỗi thời gian tài chính là điều rất khó khăn. Trong 7 mục này tác giả sẽ trình bày một số tính chất đặc trưng của lợi suất và cố gắng minh họa điều đó bằng những ví dụ. • Chuỗi lợi suất có phần đuôi nặng hơn chuỗi có phân phối chuẩn. So sánh đồ thị mật độ của chuỗi lợi suất với mật độ phân phối chuẩn có cùng trung bình và phương sai, ta có thể thấy rằng chuỗi lợi suất có phân bố cao hơn và gầy hơn nhưng có phần đế rộng hơn so với mật độ phân bố chuẩn. Hình 1.2: Biểu đồ phân bố lợi suất hàng tuần và phân phối chuẩn Hình 1.3: Biểu đồ lợi suất hàng tuần 8 • Mặc dù những biến động của tập các giá trị lợi suất ta không quan sát được nhưng chúng có những tính chất đặc trưng là xu hướng bầy đàn. Tức là lợi suất có thể biến động cao trong những thời kì này và thấp trong các thời kì khác. Nhìn vào biểu đồ 1.3 ta thấy, lợi suất hàng tuần của cổ phiếu IBM cao vào giai đoạn (2000-2003) và (2007-2009)- khi cuộc khủng hoảng kinh tế bắt đầu. Trong suốt từng thời kì những sự thay đổi lớn thường được xuất hiện theo sau những sự thay đổi lớn. Lợi suất IBM tương đối ổn định (ít có sự thay đổi lớn) trong giai đoạn (2003-2007) • Những biến động của lợi suất có tính chất đòn bẩy. Điều đó có nghĩa là độ biến động của lợi suất thường xuất hiện để tác động trở lại sự tăng hay giảm của giá cả. • Lợi suất biến động theo thời gian theo cơ chế liên tục, tức là ít có các bước nhảy của độ biến động lợi suất • Lợi suất không phân kì đến vô vùng, nghĩa là lợi suất biến thiên trong một miền xác định nào đó. Về mặt toán học thì lợi suất tài sản thường là một chuỗi dừng. Chương 2 Mô hình ARCH Các mô hình kinh tế truyền thống thường giả định rằng phương sai ở các thời kì dự báo là bất biến. Tuy nhiên, trong thực tế điều này không thật sự đúng đắn. Vì thế Robert Engle đã đề xuất một mô hình mới để phù hợp với các quá trình có gia số độc lập mà ở đó phương sai có thể thay đổi theo thời gian nhưng vẫn thỏa mãn phương sai không có điều kiện là hằng số. Mô hình này được ông giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1982 [15] và được gọi là mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy ( ARCH ). 2.1. Cấu trúc của mô hình Cho { Xt } là chuỗi thời gian Định nghĩa 2.1. Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy bậc p, kí hiệu ARCH ( p) là mô hình có dạng Xt = g( Ft−1 ; b) + at , at = ε t .σt σt2 = Var ( at | Ft−1 ) = h( at−1 ; ..; at− p ; α) Trong đó g( Ft−1 ; b) là hàm của Ft−1 và vectơ tham số b; Ft−1 là tập hợp các thông tin có được cho tới thời điểm t − 1; p được gọi là bậc của mô hình ARCH 10 Var ( at | Ft−1 ) là phương sai của at với điều kiện Ft−1 và là hàm xác định không âm, phụ thuộc vào thời gian và tham số α ε t là dãy độc lập cùng phân phối với trung bình = 0, phương sai =1 at được gọi là cú sốc hay phần dư của Xt tại thời điểm t Định nghĩa 2.2. Mô hình ARCH được gọi mô hình tuyến tính bậc p, kí hiệu ARCH ( p) nếu p σt2 = α0 + ∑ αi a2t−i ; α0 > 0; αi ≥ 0, ∀i ≥ 1 (2.1.1) i =1 Định nghĩa 2.3. Mô hình ARCH được gọi là mô hình tuyến tính bậc vô cùng, kí hiệu ARCH (∞) nếu ∞ σt2 = α0 + ∑ αi a2t−i ; α0 > 0; αi ≥ 0, ∀i ≥ 1 i =1 Mô hình ARCH ( p) tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong việc mô hình hóa chuỗi tài chính vì có khả năng nắm bắt các tính chất của biến động và thể hiện nó một cách đơn giản . 2.2. Tính chất 2.2.1. Sự biểu diễn tự hồi quy và hiệp phương sai dừng 
Giả sử at  Ft−1 ∼ N 0; σt2 tức là phân bố của at với điều kiện Ft−1 là phân bố chuẩn có trung bình 0 và phương sai σt2 . Đặt ηt = a2t − σt2 . Ta có Eηt = 0 và ηt là không tương quan (Tsay, 2005, trang 107). Khi đó phương trình (2.1.1) có dạng p a2t = α0 + ∑ αi a2t−i + ηt (2.2.1) i =1 Như vậy a2t là một quá trình tự hồi quy bậc p ( AR( p)). Tính chất này rất hữu ích trong việc xác định bậc p phù hợp với mô hình ARCH cũng