Tài liệu MỘT SỐ MÔ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG TÀI CHÍNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————– TRẦN PHƯƠNG DUNG MỘT SỐ MÔ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 1 Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 1.2 1.3 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . 3 1.1.3 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown . . . . . . . . . . . 4 1.1.6 Kì vọng có điều kiện đối với một σ− trường . . . . . . . . . . 5 Tích phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Phép biến đổi độ đo và định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . 7 Các khái niệm cơ bản trong tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Thị trường tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Danh mục đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.4 Danh mục tự cân đối tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.5 Ac-bit (Cơ hội có độ chênh thị giá) . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.6 Xác suất trung hòa rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính 2.1 13 Mô hình định giá trái phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Định giá trái phiếu với lãi suất cố định . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Định giá trái phiếu với lãi suất ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 17 2 2.2 2.3 2.4 2.5 Mô hình định giá cổ phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Mô hình cây nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Mô hình GBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Mô hình định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Mô hình cây nhị phân định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . 27 2.3.2 Quyền chọn kiểu Âu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.3 Quyền chọn kiểu Mỹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Từ mô hình với thời gian rời rạc đến mô hình với thời gian liên tục . 37 2.4.1 Tổng hợp các kết quả thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 Giới hạn trong mô hình CRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.3 Mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.4 Danh mục tự cân đối tài chính và sự phòng hộ . . . . . . . . . 45 Hàm lỗ - lãi và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.1 Lãi - lỗ của một chiến lược khả đoán . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5.2 Biểu diễn martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5.3 Hàm P &L và martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.4 Thị trường không có Acbit (Không kinh doanh chênh lệch giá) 53 2.5.5 Sự tồn tại của P∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 3 Lời mở đầu Hiện nay, các mô hình ngẫu nhiên đã trở thành một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong lí thuyết toán tài chính, giúp chúng ta có công cụ để phân tích và định giá tài sản tài chính một cách tốt nhất. Công trình có tính chất cách mạng trong việc tính toán tài chính xuất hiện vào năm 1973 của F.Black và M.Scholes về tính giá trị hợp lý của các quyền chọn (“Pricing of Option and Corporate Liabilities”). Tiếp đó, có một loạt công trình về tính giá hợp lý của các quyền chọn và các loại hoạt động chứng khoán với những mô hình ở nhiều cấp độ từ đơn giản đến phức tạp khác nhau, đáng chú ý là công trình của J. Cox, A. Ross và M. Rubinstein năm 1976. Trong những năm gần đây, đã có nhiều tài liệu nghiên cứu về các mô hình ngẫu nhiên này, tuy nhiên trong số đó chưa có nhiều tài liệu trình bày một cách có hệ thống cũng như chưa thấy sự liên hệ giữa một số mô hình, chẳng hạn như mô hình ngẫu nhiên trong trường hợp thời gian rời rạc với trường hợp thời gian liên tục. Mục đích của luận văn là hệ thống lại một cách cơ bản một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính, chỉ ra mối liên hệ giữa một số mô hình rời rạc và liên tục, cụ thể là đối với các hợp đồng quyền chọn. Luận văn cũng cung cấp các bài toán ứng dụng để làm rõ các vấn đề đã nêu. Bố cục luận văn bao gồm 2 chương: • Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm các quá trình ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, các khái niệm cơ bản về thị trường tài chính và cấu trúc của nó. • Chương 2 là chương chính, trình bày một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính, bao gồm mô hình định giá trái phiếu, mô hình định giá cổ phiếu và mô hình định giá quyền chọn, trong định giá quyền chọn đề cập đến các mô hình với thời gian rời rạc và thời gian liên tục, đánh giá sự hội tụ từ trường hợp rời rạc đến liên tục, cụ thể là từ mô hình CRR đến mô hình Black - Scholes. Ngoài ra chương 2 của luận văn còn trình bày về hàm lỗ - lãi của một chiến lược khả đoán cùng với các tính chất của nó. Luận văn được hoàn thành nhờ có sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên. Qua đây, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. 1 Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo giảng dạy tại trường Đại học Khoa học tự nhiên đã tận tình cung cấp kiến thức nền tảng cho em trong những năm học vừa qua. Hà Nội, tháng 5. 2012 Trần Phương Dung 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất. Một quá trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) là một hàm hai biến X(t, ω) xác định trên R+ × Ω, lấy giá trị trong R và là hàm đo được đối với σ - trường tích BR+ × F , trong đó BR+ là σ - trường các tập Borel trên R+ . Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán St , giá trái khoán Pt , giá sản phẩm phái sinh Ct ... đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc Một họ các σ - trường con (Ft , t ≥ 0) của F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu: • (Ft ) là một họ tăng theo t, tức là Fs ⊆ Ft nếu s ≤ t, • (Ft ) là liên tục phải, tức là Ft = ∩>0 Ft+ , • Nếu A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0 . Một quá trình ngẫu nhiên Y = (Yt , t ≥ 0) gọi là thích nghi với bộ lọc (Ft , t ≥ 0) nếu với mọi t, Yt là đo được đối với σ - trường Ft . Xét một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt ) và σ - trường FtX sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FtX = σ(Xs , s ≤ t). σ - trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t. Ta gọi đó là bộ lọc tự 3 nhiên của quá trình X, hay là lịch sử của X. Khi đó mọi quá trình X = (Xt , t ≥ 0) là thích nghi với lịch sử của nó. 1.1.3 Martingale Định nghĩa 1.1. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 thích nghi với bộ lọc (Ft ) và khả tích E|Xt | < ∞ với mọi t ≥ 0. Giả sử s và t là hai giá trị bất kì sao cho s ≤ t. Khi đó: 1. Nếu E(Xt | Fs ) ≤ Xs thì X gọi là martingale trên; 2. Nếu E(Xt | Fs ) ≥ Xs thì X gọi là martingale dưới; 3. Nếu E(Xt | Fs ) = Xs thì X gọi là martingale đối với bộ lọc (Ft )t≥0 . 1.1.4 Thời điểm dừng Cho một không gian xác suất (Ω, F , P) và bộ lọc (Ft ). Một biến ngẫu nhiên τ được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0 {ω ∈ Ω : τ (ω) ≤ t} ∈ Ft . Một thời điểm Markov được gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn hầu chắc chắn, tức là P{ω ∈ Ω : τ (ω) < ∞} = 1. 1.1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 là một quá trình Wiener hay chuyển động Brown nếu: 1. X0 = 0 hầu chắc chắn. 2. Hiệu Xt − Xs là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kì vọng 0 và phương sai là t − s, (s < t). 3. Các số gia Xt4 − Xt3 và Xt2 − Xt1 (với mọi t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4 ) là các biến ngẫu nhiên độc lập. Kí hiệu W = (Wt , t ≥ 0) là một chuyển động Brown. Khi đó Wt là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của nó, với Ft = FtW = σ(Ws , s ≤ t) là σ− trường nhỏ nhất sinh bởi quá khứ của W tính đến thời điểm t. 4 1.1.6 Kì vọng có điều kiện đối với một σ− trường Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất, G ⊂ F là một σ− trường con của F , X : (Ω, F ) → (R, BR ) là một biến ngẫu nhiên. Khi đó, một biến ngẫu nhiên X ∗ được gọi là kì vọng có điều kiện của X đối với σ− trường G nếu: • X ∗ là biến ngẫu nhiên đo được đối với G • Với mọi tập A ∈ G thì ta có Z ∗ X dP = A Z XdP. A Biến ngẫu nhiên X ∗ này được kí hiệu là E(X|G). Mệnh đề 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên trên Ω. Khi đó có các tính chất sau: 1. E(X|{Ω, ∅}) = EX. 2. Với a, b là hai số thực bất kì thì E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G). 3. Nếu Y ∈ G thì E(XY |G) = Y E(X|G). 4. Nếu G1 ⊆ G2 thì E(E(X|G2 )|G1 ) = E(X|G1 ). 5. Nếu X độc lập với G thì E(X|G) = EX. 1.2 1.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Tích phân Itô Cho f (t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên và Wt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn, tất cả quỹ đạo của f và của W là xác định trên đoạn a ≤ t ≤ b. Xét một phân hoạch của đoạn [a, b]: a = t0 < t1 < ... < tn = b và lập tổng tích phân Sn (ω) = Pn−1 i=0 f (ti , ω)[W (ti+1, ω) − W (ti , ω)] trong đó f (ti , ω) là giá trị của f (t, ω) tại đúng t = ti . Khi max |ti+1 − ti | → 0, nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên S ∗ (ω) sao cho 5 E|Sn (ω) − S ∗ (ω)|2 → 0 khi n → ∞ thì S ∗ (ω) được gọi là tích phân Itô của quá trình f (t, ω) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là I= Rb a f (t, ω)dWt. Giới hạn S ∗ (ω) chính là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình của Sn (ω), kí hiệu là l.i.m Sn (ω). Vậy tích phân Itô của quá trình ngẫu nhiên f (t, ω) là giới hạn n→∞ theo nghĩa bình phương trung bình sau đây nếu nó tồn tại: I= Zb f (t, ω)dWt = a l.i.m max|ti+1 −ti |→0 X   f (ti , ω) Wti+1 − Wti Các tính chất quan trọng của tích phân Itô Rt 1. E 0 f (t, ω)dWs = 0, t ∈ [a, b]. Rt 2 Rt  2. E 0 f (s, ω)dWs = E 0 f 2 (s, ω)ds . 3. Tích phân Itô là Xt = 1.2.2 Rt 0 f (s, ω)dWs là một martingale đối với σ− trường FtW . Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô 1.2.2.1 Vi phân Itô Giả sử X = (Xt )t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên sao cho: 1. Hầu hết các quỹ đạo t → Xt là liên tục, 2. Xt có biểu diễn Xt = X0 + Rt h(t, ω)ds + 0 Rt 0 f (s, ω)dWs trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được dần sao cho các tích phân trong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX - là một biểu thức hình thức được viết như sau: dXt = h(t, ω)dt + f (t, ω)dWt . 1.2.2.2 Công thức Itô Định lí 1.1. Cho X là một quá trình Itô với dX = hdt + f dW . Giả sử g(t, x) : R2 → R 6 là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến t, hai lần khả vi liên tục theo biến x. Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt ) là một quá trình Itô có vi phân Itô cho bởi dYt = ∂g 1 ∂2g ∂g (t, Xt )dt + (t, Xt )dXt + (t, Xt )f 2 (t, ω)dt. ∂t ∂x 2 ∂x2 (1.1) Đó là công thức Itô, có dạng tương đương sau: Z Z t Z t 1 t ∂2 ∂g ∂g (s, Xs )ds + (s, Xs )dXs + (s, Xs )f 2 (s, ω)ds. Yt = g(0, X0) + 2 ∂s ∂x 2 ∂x 0 0 0 (1.2) 1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 1.2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2. Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính là phương trình có dạng: dXt = [a(t)Xt + b(t)]dt + [c(t)Xt + d(t)]dWt , (1.3) trong đó a(t), b(t), c(t), d(t) là các quá trình thích nghi và liên tục theo t. 1.2.3.2 Lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ∈ [0, T ]) được gọi là một lời giải của phương trình (1.3) với điều kiện ban đầu X0 = Z, (1.4) trong đó Z là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W = (Wt , t ≥ 0) sao cho E(Z 2 ) < ∞, nếu X thỏa mãn các giả thiết sau: 1. Xt là thích nghi với Ft = FtW = σ(Ws , s ≥ t) và là đo được đối với σ− trường tích B[0,T ] × Ft , 2. E Rt 0 Xt2 dt < ∞, ∀t ∈ [0, T ], 3. Xt thỏa mãn các hệ thức (1.3) và (1.4). 1.2.4 Phép biến đổi độ đo và định lí Girsanov Xét bộ lọc F = FW và σ− đại số FT . Ta xác định một biến ngẫu nhiên 1 Z(T ) = exp(−aW (T ) − a2 T ). 2 7 (1.5) Rõ ràng Z(T ) ≥ 0 và EP Z(T ) = 1, do đó ta có thể dùng Z(T ) để xác định một độ đo xác suất mới Q trên FT với Q(F ) = EP 1F Z(T ) với mọi F ∈ FT . (1.6) Với t ∈ [0, T ] tùy ý ta có
Z(T ) = Z(t) exp − a(W (T ) − W (t)) − 21 a2 (T − t) , với Z(t) = exp(−aW (t) − 21 a2 t) là Ft − đo được. Từ tính chất của phân phối chuẩn suy ra
EP exp − a(W (T ) − W (t)) − 12 a2 (T − t) = 1.
Ngoài ra EP [Z(T )|Ft] = Z(t)EP [exp(−a(W (T ) − W (t)) − 12 a2 (T − t) )|Ft ] = Z(t). Do đó {Z(t) : t ∈ [0, T ]} là một martingale dưới hạn chế của F. Ta đã biết EP W (T ) = 0, vậy còn EQ W (T )? Ta có 1 EQ W (T ) = EP [W (T )Z(T )] = EP (W (T ) exp(−aW (T ))) exp(− a2 T ) = −aT, 2 vì EP (W (T ) exp(−aW (T ))) = −aT exp( 12 a2 T ). Một cách tương tự ta cũng tính được EQ W (t) = −at. Như vậy dưới độ đo Q, quá trình W không là chuyển động Brown. Để khắc phục vấn đề này, ta sẽ xét quá trình W Q xác định bởi (1.7) W Q (t) = W (t) + at có kì vọng 0. Kết quả dưới đây được biết đến là định lí Girsanov cho trường hợp đơn giản. Mệnh đề 1.2. Quá trình W Q xác định như trên là một chuyển động Brown trên miền thời gian [0, T ] dưới xác suất Q. Dưới đây là hệ quả của nó. Hệ quả 1.1. Cho X là một quá trình xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P) cho bởi X(t) = at + σW (t), trong đó W là một chuyển động Brown (hạn chế dưới P). Định nghĩa một xác suất mới Q trên (Ω, FT ) bởi với γ = a−b . σ dQ dP = Z(T ) = exp(−γWT − 12 γ 2 T ), Khi đó X(t) = bt + σW Q (t), trong đó W Q là một chuyển động Brown dưới Q trên [0, T ]. Có thể chỉ ra rằng Q là độ đo xác suất duy nhất sao cho X có thể được viết dưới dạng X(t) = bt + σW (t), trong đó W là chuyển động Brown dưới Q. Vì vậy, Z(T ) cũng là biến ngẫu nhiên duy nhất đưa ra độ đo Q để X có biểu diễn trên. 8 1.3 Các khái niệm cơ bản trong tài chính 1.3.1 Thị trường tài chính Thị trường tài chính là thị trường tại đó các tác nhân có thể phát hành, mua bán, trao đổi, chuyển nhượng các tài sản tài chính theo các quy tắc, luật lệ ấn định trước. Tài sản tài chính Hàng hóa được giao dịch trên thị trường gọi là tài sản tài chính (công cụ tài chính). Nhìn chung, nếu phân loại các công cụ tài chính theo hình thức huy động vốn của các đơn vị phát hành, chúng ta có thể phân chia chúng thành 2 loại: Nếu huy động vốn bằng cách phát hành nợ, ta có các chứng khoán nợ (trái phiếu); nếu huy động vốn bằng cách phát hành vốn ta có chứng khoán vốn (cổ phiếu). • Chứng khoán nợ (trái phiếu): Là giấy chứng nhận do chính phủ hay doanh nghiệp phát hành. Số tiền ghi trên giấy chứng nhận nợ gọi là mệnh giá. Trái phiếu có thời hạn tồn tại nhất định, có mệnh giá xác định và lãi suất được hưởng trên mệnh giá (coupon rate) cố định. Người phát hành (người vay) cam kết sẽ trả cho người mua (người cho vay) lãi định kỳ theo lãi suất ghi trên trái phiếu và hoàn trả vốn gốc vào ngày đáo hạn của chúng. • Chứng khoán vốn (cổ phiếu): Số tiền mà người mua bỏ ra để sở hữu các chứng khoán vốn (cổ phiếu) chính là phần vốn họ góp với đơn vị phát hành là các công ty cổ phần. Vì vậy thời hạn tồn tại của cổ phiếu sẽ đi cùng với sự tồn tại của công ty. Cổ phiếu cũng có mệnh giá xác định nhưng không được hưởng lãi suất cố định trên mệnh giá như trái phiếu. Phần lãi hưởng được (gọi là cổ tức) sẽ tùy thuộc vào kết quả kinh doanh và vào quyết định chia hay giữ lại của doanh nghiệp. Chính vì vậy, mục đích chủ yếu khi mua cổ phiếu không phải là hưởng lãi trên mệnh giá như đối với mua trái phiếu, nhà đầu tư chủ yếu nhắm tới việc hưởng lợi từ việc thay đổi giá cả của cổ phiếu trên thị trường. • Tài sản phái sinh: Là loại tài sản tài chính được tạo ra trên tài sản cơ sở và giá trị của nó phụ thuộc vào giá trị của tài sản cơ sở. Tùy theo mục đích, những người tham gia mua bán các tài sản này sẽ được chia làm hai loại: người phòng hộ rủi ro – hedger và người đầu cơ – speculator. Những người phòng hộ rủi ro tham gia thị trường để như một hình thức bảo hiểm trước những thay đổi bất thường của thị trường. Trong khi đó, người đầu cơ tham gia thị trường để 9 khai thác và mong muốn hưởng lợi từ sự biến động giá của hàng hóa trên thị trường. Các công cụ phái sinh được giao dịch chủ yếu bao gồm hợp đồng kỳ hạn – forwards và hợp đồng tương lai – futures là thoả thuận mua hoặc bán một tài sản cơ sở (hàng hoá hoặc các tài sản tài chính) tại một thời điểm trong tương lai với giá cả và số lượng đã xác định trước. Tuy nhiên, hợp đồng tương lai là các công cụ được chuẩn hóa, được thỏa thuận và ký kết thông qua nhà môi giới và được giao dịch trên thị trường tập trung như các tài sản tài chính khác. Hợp đồng kỳ hạn được thỏa thuận và ký kết giữa hai bên tham gia hợp đồng và không được giao dịch trên thị trường. Người tham gia hợp đồng kỳ hạn hay tương lai có bổn phận thực hiện hợp đồng (mua hoặc bán tài sản cơ sở) khi hợp đồng đáo hạn. Hợp đồng quyền chọn – options cũng là thoả thuận mua hoặc bán một tài sản cơ sở (hàng hoá hoặc các tài sản tài chính) tại một thời điểm trong tương lai với giá cả và số lượng đã xác định trước. Tuy nhiên, người mua hợp đồng sẽ có quyền, chứ không phải bổn phận, thực hiện hợp đồng hay không. Ta sẽ tìm hiểu kĩ về hợp đồng quyền chọn trong mục tiếp theo. Ngoài ra công cụ phái sinh còn bao gồm hợp đồng hoán chuyển (swaps) là thỏa thuận giữa hai bên nhằm trao đổi nghĩa vụ thanh toán hay các dòng tiền (cash flows) dựa vào các loại tiền tệ, lãi suất hoặc các tài sản tài chính vào một thời điểm xác định trong tương lai. 1.3.2 Quyền chọn Hợp đồng quyền chọn về một loại tài sản, gọi tắt là quyền chọn (về tài sản cơ sở) là hợp đồng quy định người nắm giữ có quyền mua hoặc bán tài sản theo giá và tại thời điểm được ấn định trước. Giá định trước trong hợp đồng gọi là giá thực hiện (Strike price), thời điểm thực hiện mua hoặc bán tài sản gọi là thời điểm đáo hạn của quyền chọn (Exercise date). Có hai loại quyền chọn: quyền chọn mua (Call Option) và quyền chọn bán (Put Option) tùy thuộc vào quyền được mua hoặc bán tài sản của người nắm giữ quyền chọn. Loại quyền cho phép người nắm giữ có thể thực hiện tại thời điểm bất kì trước trước khi đáo hạn gọi là quyền chọn kiểu Mỹ. Quyền chọn chỉ được phép thực hiện tại thời điểm đáo hạn gọi là quyền chọn kiểu Âu. Ngày nay hầu hết các quyền chọn được giao dịch trên thị trường là quyền chọn kiểu Mỹ, tuy nhiên quyền chọn kiểu Âu dễ phân tích hơn và một số tính chất của quyền chọn kiểu Mỹ có thể suy ra từ quyền chọn kiểu Âu. Người nắm giữ quyền chọn có quyền thực hiện hoặc không thực hiện 10 việc mua, bán tài sản nếu họ xét thấy có lợi, đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa quyền chọn và hợp đồng kỳ hạn. Có thể nói lí thuyết tài chính hiện đại bắt đầu từ việc giải các bài toán về định giá rủi ro tài chính và khả năng phòng hộ rủi ro. Đối với một quyền chọn mua, giá trị của thu hoạch là 0 nếu giá trị S của tài sản cơ sở nhỏ hơn hoặc bằng giá thực hiện K, vì chủ sở hữu quyền mua sẽ không thực hiện lúc đáo hạn để mua S ở giá K nếu như anh ta có thể mua với giá thấp hơn, giá trị của thu hoạch sẽ bằng S − K nếu S ≥ K vì khi thêm vào giá thực hiện K ta thu được giá thực S. 1.3.3 Danh mục đầu tư Một danh mục đầu tư (hay phương án đầu tư) là một tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với các trọng số nào đó. Giả sử có n chứng khoán với các giá trị tại thời điểm t là S1 (t), ..., Sn (t). Một danh mục đầu tư là một cách chọn ra α1 (t) chứng khoán S1 , ..., αn (t) chứng khoán Sn tại mỗi thời điểm t để đầu tư. Vậy giá trị của danh mục đầu tư tại thời điểm t được xác định là V (t) = n X αi (t)Si (t) (1.8) i=1 Vì các giá chứng khoán Si (t) là các quá trình ngẫu nhiên nên giá của danh mục đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên. Một danh mục đầu tư có thể kí hiệu là φ = (α, S) và còn gọi là phương án đầu tư hay chiến lược buôn bán. 1.3.4 Danh mục tự cân đối tài chính Một danh mục đầu tư gọi là tự cân đối tài chính (self - financing) nếu giá của danh mục này không thay đổi khi ta thay đổi các trọng số của danh mục đó. Tức là n X αi (t)Si (t) = i=1 hay n X i=1 n X βi (t)Si (t) i=1 [βi (t) − αi (t)]Si (t) = 0 Có nghĩa là với danh mục đầu tư tự cân đối tài chính thì muốn tăng đầu tư cho một số chứng khoán nào đó thì phải giảm đầu tư các chứng khoán khác. 11 1.3.5 Ac-bit (Cơ hội có độ chênh thị giá) Định nghĩa 1.3. Một danh mục φ được gọi là ac-bit (arbitrage hay cơ hội có độ chênh thị giá) nếu quá trình giá Vt (φ) của danh mục thỏa mãn các điều kiện: 1. P{V0 (φ) = 0} = 1, 2. P{VT (φ) ≥ 0} = 1, 3. P{VT (φ) > 0} > 0. Như vậy ac-bit là cơ hội kiếm lợi nhuận từ sự đầu tư ban đầu bằng không. Định nghĩa 1.4. Một thị trường M gồm các chứng khoán S và một họ các phương án đầu tư {φ = (α, S)} là một thị trường không có ac-bit nếu không tồn tại một danh mục đầu tư nào có ac-bit. 1.3.6 Xác suất trung hòa rủi ro Xét một tài sản phái sinh kiểu Âu (X) có giá đáo hạn là XT đối với tài sản cơ sở S = (St , 0 ≤ t ≥ T ), thời gian đáo hạn là T . Giả thiết rằng các giá của S đều là một quá trình ngẫu nhiên trên một không gian xác suất (Ω, F , Ft , P) trong đó (Ft ) là bộ lọc mang thông tin về thị trường. Giả sử hệ số chiết khấu là k(t) = 1 , β(t) trong đó β(t) nói chung là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên không gian nói trên. Định nghĩa 1.5. Một độ đo xác suất Q trên (Ω, F ) được gọi là xác suất trung hòa rủi ro nếu: 1. Q tương đương với P, tức là Q(A) = 0 khi và chỉ khi P(A) = 0 với A ∈ F . St 2. Với mọi 0 ≤ t ≥ T ta có EQ [ β(t) | Ft ] = 12 Ss β(s) - hầu chắc chắn. Chương 2 Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính 2.1 Mô hình định giá trái phiếu Giá trái phiếu liên quan tới ba loại giá: Mệnh giá, giá thuần và giá tổng. Mệnh giá (Face value) là số tiền ghi trên trái phiếu và được trả cho trái chủ khi đáo hạn, tức có thể được coi là số tiền gốc trái chủ đã cho chủ thể phát hành trái phiếu vay. Giá thuần (Quoted price) là mức giá được niêm yết trên thị trường trái phiếu. Giá tổng là mức giá người mua phải trả tại thời điểm mua. Trong mục này ta đưa thêm một vài khái niệm sau đây. • Trái phiếu lãi suất - không (zero - coupon): Là loại trái phiếu mà người phát hành chi trả cho người sở hữu trái phiếu số tiền theo mệnh giá vào đúng thời điểm đáo hạn T . • Trái phiếu có phiếu lãi (coupon bond): Là loại trái phiếu mà người phát hành ngoài việc phải trả số tiền theo mệnh giá vào ngày đáo hạn, còn phải trả thêm một số tiền lãi theo một định kì cố định ghi rõ trên trái phiếu trước thời điểm đáo hạn. • Lãi suất trái phiếu (coupon rate): Là số tiền phải trả định kì, tính theo từng năm, và tính theo tỉ lệ phần trăm của mệnh giá của trái phiếu. • Lãi suất giao ngay là lãi suất được thực hiện ngay tại thời điểm thỏa thuận vay - cho vay giữa các đối tác. Lãi suất kì hạn là lãi suất được các đối tác thỏa thuận ấn định trước ở hiện tại và thực hiện trong tương lai. 13 • Cấu trúc kì hạn của lãi suất: Nếu ta coi kì hạn T như tham số và xét toàn bộ chuỗi lãi suất giao ngay trên thị trường {rT } với T : các kì hạn tại một thời điểm thì chuỗi {rT } gọi là "Cấu trúc kì hạn của lãi suất" tại thời điểm đó. • Lợi tức hiện hành (current yield): Là số tiền phải trả hàng năm tính theo tỉ lệ phần trăm của giá thị trường hiện hành của trái phiếu. • Lợi tức đến khi đáo hạn (yield to maturity): Là số tiền tính theo tỉ lệ phần trăm của giá trái phiếu nếu người mua giữ trái phiếu cho đến lúc đáo hạn, kí hiệu là YTM (hoặc y). Nếu B(t, T ) là giá tại t của trái phiếu zero mênh giá 1 đơn vị, thời điểm đáo hạn T , y(t, T ) là YTM thì ta có: B(t, T ) = exp[−y(t, T )(T − t)]. Suy ra y(t, T ) = 1 ln B(t, T ). T −t • Cấu trúc kì hạn của lợi tức: YTM của các trái phiếu zero với các kì hạn khác nhau tại một thời điểm ta được tập {yt } gọi là cấu trúc kì hạn của lợi tức tại thời điểm đó. Giá trị của trái phiếu phụ thuộc vào luồng tiền trái chủ sẽ nhận, mặc dù luồng tiền của trái phiếu được xác định trước nhưng việc định giá trái phiếu còn phụ thuộc vào những yếu tố khác: lãi suất trên thị trường, khả năng trả nợ của người phát hành, giá của các hàng hóa khác... Những yếu tố này tạo ra sự rủi ro của trái phiếu. 2.1.1 Định giá trái phiếu với lãi suất cố định • Nếu biết cấu trúc kì hạn của lãi suất giao ngay và biết mệnh giá trái phiếu zero ta có thể tính được giá trái phiếu. Xét trái phiếu zero có mệnh giá F , kì hạn T . Việc trái chủ mua trái phiếu với giá P và nắm giữ trái phiếu có thể xem như trái chủ cho vay khoản P và cuối kì được trả khoản F , do đó ta có: P = F (1 + rT )T (2.1) với rT là lãi suất giao ngay kì hạn T . Công thức trên dùng để định giá trái phiếu zero cả ở thời điểm phát hành và thời điểm bất kì trong thời gian còn lại của trái phiếu. Để thuận tiện trong định giá, người ta thường tính sẵn nhân tử chiết khấu: B(rT , T ) = BT = 14 1 (1 + rT )T với các kì hạn T khác nhau. Có thể coi BT là giá trái phiếu zero kì hạn T với mệnh giá 1 đơn vị tiền tệ. Từ đó để tính giá trái phiếu với mệnh giá F ta dùng ngay công thức P = BT F . • Nếu có số liệu về mệnh giá và giá trái phiếu zero với các kì hạn khác nhau, ta có thể xác định cấu trúc kì hạn của lãi suất theo công thức: F rT = ( )1/T − 1 (2.2) P Cấu trúc kì hạn của lãi suất có thể khác nhau tùy thuộc vào từng nhóm trái phiếu zero dùng để tính lãi suất giao ngay. Nếu trên thị trường không có ac-bit thì sẽ tồn tại một nhóm các trái phiếu để từ đó chúng ta tính ra cấu trúc kì hạn {rT } và với cấu trúc này ta sẽ tính ra giá của các trái phiếu còn lại. Nhưng nếu trên thị trường có ac-bit thì sẽ không có một hệ thống cấu trúc kì hạn mà có thể định giá tất cả các trái phiếu. Về mặt lí thuyết có thể tồn tại ac-bit khi ta phân tích các trái phiếu nhưng về mặt thực tế phải tính đầy đủ các chi phí kèm theo việc thực hiện danh mục ac-bit. • Nếu biết cấu trúc kì hạn của lãi suất giao ngay, mệnh giá coupon (hay tỉ suất coupon) ta có thể tính được giá trái phiếu coupon. Xét trái phiếu coupon có mệnh giá F , coupon P (trả định kì hàng năm) và kì hạn T (năm), khi đó ta có sơ đồ luồng tiền của trái phiếu: trong đó CFt = C (t = 1, ..., T − 1) và tại thời điểm đáo hạn: CFT = C + F . Chiết khấu luồng tiền trên với tỉ suất chiết khấu là lãi suất giao ngay với kì hạn tương ứng, ta sẽ được giá trị hiện tại của dòng tiền sinh ra từ trái phiếu. Để không có ac-bit thì giá trị hiện tại phải bằng thị giá của trái phiếu. Như vậy ta có công thức định giá trái phiếu coupon: P = P V (CF ) = T X t=1 trong đó rt : lãi suất giao ngay kì hạn t. CFt (1 + rt )t (2.3) Ví dụ 2.1. Cho cấu trúc kì hạn của lãi suất: r1 = 5%, r2 = 6%, r3 = 6.5%. Hãy định giá trái phiếu A có mệnh giá 1.000.000đ, kì hạn 3 năm và lãi suất coupon 4.5% (coupon trả định kì hàng năm). Ta có coupon C = CF = 1.000.000 × 0.045 = 45.000đ. Theo công thức (2.3) giá trái phiếu A sẽ là 45.000 45.000 1.000.000 + 45.000 PA = + + ≈ 948.000 2 (1 + 0.05) (1 + 0.06) (1 + 0.65)3 Vậy PA = 948.000đ. 15 Trong trường hợp tổng quát nếu trái phiếu có mệnh giá F và trả coupon Ct1 , ..., Ctn tại các thời điểm t1 , ..., tn và nếu biết cấu trúc kì hạn rti , i = 1, .., n ta có công thức định giá sau: P = n X i=1 CFti (1 + rti )ti (2.4) với CFti là luồng tiền tương ứng tại ti . Ví dụ 2.2. Trái phiếu B có mệnh giá 1.000.000đ, lãi suất coupon 6%/năm trả lãi định kì nửa năm, kì trả tiếp theo sau 3 tháng nữa và có kì hạn 1 năm 3 tháng. Hãy tính giá trái phiếu nếu cấu trúc kì hạn của lãi suất là r0.25 = 5%, r0.75 = 5%, r1.25 = 6%. Coupon C = 1.000.000 × 0.03 = 30.000đ. Khoảng thời gian [0, t1 ] : 3 tháng ∼ 0.25 năm, [t1 , t2 ] = [t2 , t3 ] = 6 tháng ∼ 0.5 năm, do đó [0.t2 ] ∼ 0.75 năm, [0, t3 ] ∼ 1.25 năm. Theo công thức (2.4) ta có PB = 30.000 30.000 1.030.000 + + ≈ 1.106.200. 0.25 0.75 (1 + 0.05) (1 + 0.05) (1 + 0.06)1.25 • Giả sử biết giá của trái phiếu coupon như sau: Trái phiếu Giá CF1 CF2 CF3 A PA CFA1 B PB CFB1 CFB2 C PC CFC1 CFC2 CFC3 ... ... ... ... ... ... ... Khi đó giá trái phiếu lần lượt là PA = PB = PC = CFA1 (1+r1 ) CFB1 (1+r1 ) CFC1 (1+r1 ) + + CFB2 (1+r2 ) CFC2 (1+r2 ) + CFC3 (1+r3 ) ... Giải hệ phương trình trên đối với rt ta xác định được cấu trúc kì hạn của lãi suất và do đó xác định được giá trái phiếu zero. Ở trạng thái cân bằng của thị trường trái phiếu, giá của tất cả trái phiếu sẽ được xác định bởi cùng một cấu trúc kì hạn của lãi suất. Nếu trên thị trường trái phiếu không có ac-bit thì sẽ tồn tại (ít nhất) một cấu trúc kì hạn của lãi suất để định giá mọi trái phiếu. Nhưng nếu trên thị trường trái phiếu có ac-bit thì sẽ không tồn tại cấu trúc kì hạn của lãi suất mà có thể định giá mọi trái phiếu. 16