Tài liệu Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¹i häc Th¸i Nguyªn NguyÔn ThÞ Ng©n Mét sè líp hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp vµ øng dông LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Chuyªn ngµnh: M· sè: To¸n Gi¶i tÝch 62 46 01 02 TËp thÓ h­íng dÉn khoa häc: 1. TS. NguyÔn V¨n Ngäc 2. PGS. TS. Hµ TiÕn Ngo¹n Th¸i Nguyªn, 2013 Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña t«i. C¸c kÕt qu¶ viÕt chung víi t¸c gi¶ kh¸c ®· ®­îc sù nhÊt trÝ cña ®ång t¸c gi¶ khi ®­a vµo luËn ¸n. C¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n lµ míi vµ ch­a tõng ®­îc c«ng bè trong bÊt kú c«ng tr×nh khoa häc cña ai kh¸c. T¸c gi¶ luËn ¸n NguyÔn ThÞ Ng©n i Lêi c¶m ¬n LuËn ¸n ®­îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i khoa To¸n thuéc tr­êng §¹i häc S­ ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn, d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña TS. NguyÔn V¨n Ngäc vµ PGS. TS. Hµ TiÕn Ngo¹n. C¸c ThÇy ®· truyÒn cho t¸c gi¶ kiÕn thøc, kinh nghiÖm häc tËp vµ nghiªn cøu khoa häc. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c ®èi víi c¸c ThÇy. Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu, t¸c gi¶ còng lu«n nhËn ®­îc sù gãp ý, ®éng viªn cña GS. TSKH. §inh Nho Hµo, PGS. TSKH. NguyÔn Minh TrÝ, TS. Ph¹m Minh HiÒn, Ths. §µo Quang Kh¶i (ViÖn To¸n häc, ViÖn Hµn l©m Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam), GS. TSKH. NguyÔn V¨n MËu, PGS. TS. NguyÔn Minh TuÊn, PGS. TS. TrÇn Huy Hæ (tr­êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, §¹i häc Quèc gia Hµ Néi), GS. TSKH. Lª Hïng S¬n, PGS. TS. Phan T¨ng §a (khoa To¸n - Tin øng dông, §¹i häc B¸ch Khoa Hµ Néi), PGS. TS. §Æng Quang ¸ (ViÖn C«ng nghÖ Th«ng tin, ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam). T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù quan t©m gióp ®ì cña c¸c ThÇy. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy, c« gi¸o cïng c¸c anh chÞ em NCS, Cao häc trong seminar cña Bé m«n Gi¶i tÝch khoa To¸n, tr­êng §¹i häc S­ ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn, Phßng Ph­¬ng tr×nh vi ph©n - ViÖn To¸n häc, khoa To¸n - C¬ - Tin häc, tr­êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn - §¹i häc Quèc gia Hµ Néi, ®· lu«n gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong nghiªn cøu khoa häc vµ cuéc sèng. T¸c gi¶ xin tr©n träng c¶m ¬n Ban Gi¸m ®èc §¹i häc Th¸i Nguyªn, Ban §µo t¹o Sau ®¹i häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn, Ban Gi¸m hiÖu tr­êng §¹i häc S­ ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn, c¸c Phßng Ban chøc n¨ng, Phßng Qu¶n lý ®µo t¹o Sau ii ®¹i häc, Ban chñ nhiÖm khoa To¸n cïng toµn thÓ gi¸o viªn trong khoa, ®Æc biÖt lµ Bé m«n Gi¶i tÝch ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi, gióp ®ì t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn ¸n. T¸c gi¶ ch©n thµnh c¶m ¬n b¹n bÌ, ®ång nghiÖp, ®Æc biÖt lµ chång, c¸c con cïng nh÷ng ng­êi th©n trong gia ®×nh ®· gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn ¸n. Môc lôc B×a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Lêi cam ®oan Lêi c¶m ¬n Môc lôc Mét sè ký hiÖu dïng trong luËn ¸n Më ®Çu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . viii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 HÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier tæng qu¸t 19 1.1 . . . . . . . . . . 20 S cña c¸c hµm c¬ b¶n gi¶m nhanh . . . . . . 20 BiÕn ®æi Fourier cña c¸c hµm c¬ b¶n . . . . . . . . . . . 20 BiÕn ®æi Fourier cña hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . . . . . . 21 S 0 cña c¸c hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . 21 1.2.2 BiÕn ®æi Fourier cña hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . . . 22 1.2.3 23 BiÕn ®æi Fourier cña hµm c¬ b¶n gi¶m nhanh 1.1.1 Kh«ng gian 1.1.2 1.2 1.2.1 Kh«ng gian 1.3 BiÕn ®æi Fourier cña tÝch chËp . . . . . . . . . . . . . . . C¸c kh«ng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 H s (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Kh«ng gian 1.3.2 C¸c kh«ng gian s H◦s (Ω), H◦,◦ (Ω), H s (Ω) . . . . . . . . 24 1.3.3 §Þnh lý nhóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iv 1.4 1.5 1.6 2 C¸c kh«ng gian Sobolev vect¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.1 Kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.2 PhiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . 28 To¸n tö gi¶ vi ph©n vect¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.1 Kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.2 ChuÈn vµ tÝch v« h­íng t­¬ng ®­¬ng . . . . . . . . . . . 32 1.5.3 Nhóng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 TÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.1 §Þnh lý duy nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.2 §Þnh lý tån t¹i 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HÖ ph­¬ng tr×nh cÆp cña mét sè bµi to¸n biªn hçn hîp ®èi víi ph­¬ng tr×nh ®iÒu hoµ vµ song ®iÒu hoµ trong miÒn h×nh d¶i 2.1 Bµi tr×nh to¸n ®iÒu biªn hçn hîp thø nhÊt ®èi víi ph­¬ng hoµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n 41 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.2 §­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 43 2.1.3 TÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.10) . 45 2.1.4 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1.5 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy vÒ hÖ v« 2.2 h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 49 Bµi to¸n biªn hçn hîp ®èi víi d¶i ®µn håi . . . . . . . . . . . . 56 2.2.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.2 §­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 58 2.2.3 TÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.51) . 61 2.2.4 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2.5 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy vÒ hÖ v« 2.3 h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 67 Bµi to¸n biªn hçn hîp ®èi víi ph­¬ng tr×nh song ®iÒu hoµ . . . . 72 2.3.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.3.2 §­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 74 2.3.3 TÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.106) . 77 2.3.4 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n nh©n logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3.5 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n nh©n logarithm vÒ hÖ v« h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 2.4 86 Bµi to¸n biªn hçn hîp thø hai ®èi víi ph­¬ng tr×nh ®iÒu hoµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.4.1 Ph¸t biÓu bµi to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.4.2 §­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n . . . . . . . . . . . 91 2.4.3 TÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (2.157) . 92 2.4.4 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4.5 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy vÒ hÖ v« h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . 3 Gi¶i gÇn ph­¬ng ®óng tr×nh hÖ cÆp ph­¬ng tÝch tr×nh ph©n tÝch ph©n kú dÞ cña mét 96 hÖ Fourier 102 3.1 §­a hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ vÒ d¹ng kh«ng thø nguyªn 102 3.2 TÝnh gÇn ®óng nghiÖm cña mét hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ 106 3.2.1 TÝnh gÇn ®óng ma trËn h¹ch cña hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.2.2 TÝnh nghiÖm gÇn ®óng cña hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ 110 3.2.3 VÒ tèc ®é héi tô KÕt luËn vµ ®Ò nghÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 134 Danh môc c«ng tr×nh cña t¸c gi¶ ®· c«ng bè liªn quan ®Õn luËn ¸n Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Mét sè ký hiÖu dïng trong luËn ¸n R: ®­êng th¼ng thùc Ω: kho¶ng hoÆc hÖ c¸c kho¶ng kh«ng giao nhau trong R Rn : kh«ng gian vect¬ Euclide n chiÒu Cn : kh«ng gian phøc n chiÒu C k (Ω): tËp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k trªn Ω C◦k (Ω): tËp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k trªn Ω, cã gi¸ compact trong Ω C ∞ (Ω): tËp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n trªn Ω C◦∞ (R): tËp hîp tÊt c¶ c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n cã gi¸ compact trong R `2 : kh«ng gian cña c¸c d·y sè {fn }, n ∈ N, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ∞ X |fn |2 < ∞ n=0 L1 (R): kh«ng gian c¸c hµm kh¶ tÝch trªn R L2 (R): kh«ng gian c¸c hµm b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch trªn R L2ρ±1 (a, b): kh«ng gian c¸c hµm u(x) cho trªn (a, b) sao cho ||u||L2±1 = Z ρ b 1/2 ρ (x)|u(x)| dx < +∞, ±1 2 a víi ρ(x) = p (x − a)(b − x), a < x < b viii S : kh«ng gian c¸c hµm c¬ b¶n gi¶m nhanh trªn R S 0 : kh«ng gian c¸c hµm suy réng t¨ng chËm trªn R D(Ω): kh«ng gian c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n vµ cã gi¸ compact trong Ω D0 (Ω): kh«ng gian ®èi ngÉu cña D(Ω) s H s (R), H◦s (Ω), H◦,◦ (Ω), H s (Ω): c¸c kh«ng gian Sobolev s H~s (R), H~s◦ (Ω), H~◦,◦ (Ω), H~s (Ω): c¸c kh«ng gian Sobolev vect¬ F : phÐp biÕn ®æi Fourier F −1 : phÐp biÕn ®æi Fourier ng­îc p, p0 : c¸c to¸n tö h¹n chÕ `, `0 : c¸c to¸n tö th¸c triÓn Tn (x): ®a thøc Chebyshev bËc n lo¹i mét Un (x): ®a thøc Chebyshev bËc n lo¹i hai Jm : hµm Bessel lo¹i mét cÊp m Më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi Ph­¬ng tr×nh cÆp (dual equations) vµ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp (systems of dual equations) xuÊt hiÖn khi gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña VËt lý to¸n b»ng c¸ch sö dông c¸c biÕn ®æi tÝch ph©n thÝch hîp. NhiÒu bµi to¸n cña lý thuyÕt ®µn håi, c¸c bµi to¸n vÒ vÕt nøt, c¸c bµi to¸n vÒ tiÕp xóc, . . . cã thÓ ®­îc ®­a ®Õn gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp kh¸c nhau. Trong kho¶ng n¨m thËp niªn gÇn ®©y nh÷ng nghiªn cøu vÒ ph­¬ng tr×nh cÆp chñ yÕu lµ c¸c ph­¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i h×nh thøc cña c¸c ph­¬ng tr×nh nµy [17, 44]. HiÖn nay c¸c kÕt qu¶ ®Þnh tÝnh vÒ ph­¬ng tr×nh cÆp cßn h¹n chÕ [2- 5, 9, 11, 18, 23, 47], tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp hÇu nh­ ch­a ®­îc nghiªn cøu. ViÖc nghiªn cøu hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp sÏ më réng ph¹m vi ¸p dông cho ph­¬ng tr×nh cÆp trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña VËt lý to¸n. V× vËy, viÖc nghiªn cøu vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp lµ cÇn thiÕt vµ cã tÝnh thêi sù. Trong c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n th× phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier cã vÞ trÝ ®Æc biÖt quan träng ®èi víi c¸c ph¸t triÓn lý thuyÕt cña to¸n häc còng nh­ øng dông trong nhiÒu ngµnh khoa häc tù nhiªn kh¸c. Víi c¸c lý do nªu trªn, chóng t«i chän ®Ò tµi nghiªn cøu cho luËn ¸n cña m×nh lµ " Mét sè líp hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp vµ øng dông ". 2. Môc ®Ých cña ®Ò tµi luËn ¸n 2.1. Môc ®Ých cña ®Ò tµi luËn ¸n lµ thiÕt lËp tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n trong nh÷ng kh«ng gian hµm thÝch hîp. C¸c kh«ng gian hµm ®­îc sö dông trong luËn ¸n lµ kh«ng gian c¸c hµm suy réng t¨ng chËm vµ c¸c kh«ng gian Sobolev vect¬. 1 2.2. Môc ®Ých thø hai cña ®Ò tµi luËn ¸n lµ nghiªn cøu c¸c ph­¬ng ph¸p h÷u hiÖu t×m nghiÖm cña hÖ c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n. Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i sö dông ph­¬ng ph¸p biÓu diÔn nghiÖm cña c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n th«ng qua c¸c hµm phô trî thÝch hîp, vµ ®­a hÖ c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vÒ hÖ c¸c ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ víi nh©n Cauchy hoÆc nh©n logarithm. 2.3. Môc ®Ých thø ba cña ®Ò tµi luËn ¸n lµ vËn dông c¸c ph­¬ng ph¸p h÷u hiÖu gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ, ®Ó tõ ®ã cã thÓ t×m ®­îc nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n. Trong luËn ¸n nµy chóng t«i vËn dông ph­¬ng ph¸p ®a thøc trùc giao [32- 37] ®Ó ®­a hÖ c¸c ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ víi nh©n Cauchy hoÆc nh©n logarithm vÒ hÖ v« h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh tùa hoµn toµn chÝnh qui [14], thuËn tiÖn cho viÖc t×m nghiÖm gÇn ®óng cña c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n ®Ò cËp trong luËn ¸n nµy. 3. §èi t­îng nghiªn cøu §èi t­îng nghiªn cøu cña luËn ¸n lµ thiÕt lËp tÝnh gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier tæng qu¸t víi biÓu tr­ng (symbol) lµ ma trËn x¸c ®Þnh d­¬ng. XÐt øng dông cña lý thuyÕt hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier tæng qu¸t vµo nghiªn cøu mét sè líp hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp xuÊt hiÖn khi gi¶i mét sè bµi to¸n biªn hçn hîp cho c¸c ph­¬ng tr×nh ®iÒu hoµ vµ song ®iÒu hoµ trong miÒn h×nh d¶i cña mÆt ph¼ng. 4. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu Chóng t«i vËn dông tiÕp cËn lý thuyÕt hµm suy réng vµ to¸n tö gi¶ vi ph©n ®Ó nghiªn cøu hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n mµ luËn ¸n quan t©m. TiÕp cËn lý thuyÕt hµm suy réng ®­îc sö dông ®Ó nghiªn cøu c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp d¹ng Titchmash ®­îc Walton J. R. lÇn ®Çu tiªn nghiªn cøu vµo n¨m 1975 [47], cßn tiÕp cËn to¸n tö gi¶ vi ph©n do NguyÔn V¨n Ngäc vËn dông n¨m 1988 [24] ®Ó nghiªn cøu tÝnh gi¶i ®­îc cña ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier víi biÓu tr­ng t¨ng chËm. 5. Tæng quan vÒ ®Ò tµi luËn ¸n 5.1. Ph­¬ng tr×nh cÆp tæng qu¸t HiÖn nay trong sè c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i tÝch gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña VËt lý to¸n th× ph­¬ng ph¸p ph­¬ng tr×nh cÆp lµ tæng qu¸t vµ linh ho¹t h¬n c¶. Nh÷ng c«ng tr×nh nÒn mãng cña ph­¬ng ph¸p nµy lµ c¸c c«ng tr×nh cña c¸c nhµ to¸n häc Beltrami E., Boussinesq J. vµ Abramov V. M. Sù ph¸t triÓn cña ph­¬ng ph¸p ®· dùa trªn c¸c c«ng tr×nh sau ®ã cña Tranter C., Cooke J., Sneddon I., Ufliand Ia. S., Babloian A. A., Valov G. N., Mandal B. N., Aleksandrov B. M., . . . . C¸c ph­¬ng tr×nh cÆp xuÊt hiÖn khi sö dông phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n nµo ®ã ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. Cã nhiÒu phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n kh¸c nhau vµ mçi phÐp biÕn ®æi l¹i t­¬ng øng víi mét lo¹i ph­¬ng tr×nh cÆp. §é phøc t¹p cña mçi lo¹i ph­¬ng tr×nh cÆp phô thuéc vµo biÓu tr­ng vµ sè kho¶ng cã trong ph­¬ng tr×nh. Ph­¬ng tr×nh cÆp tæng qu¸t cã thÓ ®­îc ph¸t biÓu nh­ sau: Gi¶ sö J lµ kho¶ng h÷u h¹n hay v« h¹n cña trôc thùc R vµ T lµ biÕn ®æi tÝch ph©n nµo ®ã trªn J víi biÕn ®æi ng­îc T −1 . Ký hiÖu v b(ξ) lµ T − biÕn ®æi cña hµm v(x). Ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n ®èi víi phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n T cã d¹ng ( pT −1 [A1 (ξ)b v (ξ)](x) = f (x), p0 T −1 [A2 (ξ) vb(ξ)](x) = g(x), x ∈ Ω, x ∈ Ω0 , (1) A1 (ξ) vµ A2 (ξ) lµ c¸c hµm ®· biÕt, Ω, Ω0 lµ c¸c hÖ kho¶ng kh«ng giao nhau cña J, sao cho Ω ∪ Ω0 = J, p vµ p0 lÇn l­ît lµ c¸c to¸n tö h¹n chÕ trªn Ω vµ Ω0 t­¬ng øng. NÕu ký hiÖu trong ®ã u b(ξ) = A2 (ξ)b v (ξ), A(ξ) = A1 (ξ) , A2 (ξ) u(x) = T −1 [b u](x) th× (1) cã thÓ ®­îc viÕt l¹i ë d¹ng ( pT −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) = f (x), p0 u(x) = g(x), x ∈ Ω0 , x ∈ Ω, (2) hµm A(ξ) ®­îc gäi lµ biÓu tr­ng (symbol) cña to¸n tö (gi¶ vi ph©n): Au := T −1 [A(ξ)b u(ξ)](x). NhËn xÐt r»ng, ph­¬ng tr×nh cÆp (2) cã thÓ ®­îc xem nh­ lµ bµi to¸n Dirichlet ®èi víi ph­¬ng tr×nh gi¶ vi ph©n Au = f (x) trªn Ω. 5.2. C¸c ph­¬ng ph¸p h×nh thøc Trong kho¶ng 50 n¨m qua ®· xuÊt hiÖn nhiÒu nghiªn cøu vÒ nh÷ng ph­¬ng ph¸p h×nh thøc gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vµ c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp chuçi ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n kh¸c nhau. Nh÷ng ph­¬ng ph¸p nµy nh×n chung cßn mang tÝnh h×nh thøc, tøc lµ ch­a xÐt ®Õn tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp, còng nh­ ch­a cã sù ®¶m b¶o to¸n häc chÆt chÏ ®èi víi c¸c biÕn ®æi. Tuy nhiªn, c¸c ph­¬ng ph¸p nµy ®· thóc ®Èy sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña lý thuyÕt ph­¬ng tr×nh cÆp ®èi víi c¸c biÕn ®æi tÝch ph©n kh¸c nhau. PhÇn lín c¸c ph­¬ng ph¸p nµy cã thÓ t×m thÊy trong c¸c tµi liÖu [17, 31, 44]. Tr­íc hÕt ®Ò cËp tíi nh÷ng ph­¬ng ph¸p h×nh thøc nghiªn cøu vÒ ph­¬ng tr×nh cÆp liªn quan ®Õn biÕn ®æi Fourier (gäi t¾t lµ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier) d¹ng:  Z ∞ 1   u](x) := u b(ξ)A(ξ)e−ixξ dξ = f (x), x ∈ Ω ⊂ R, F −1 [Ab 2πZ −∞ ∞ 1  −1  u](x) := u b(ξ)e−ixξ dξ = g(x), x ∈ R \ Ω, F [b 2π −∞ (3) trong ®ã u b(ξ) lµ hµm cÇn t×m, A(ξ), f (x), g(x) lµ nh÷ng hµm ®· biÕt, Ω = ∪nk=1 Jk , Jk = (ak , bk ), Ji ∩ Jj = ∅ (i 6= j). • Khi Ω = (0, ∞) ph­¬ng ph¸p th­êng ®­îc sö dông lµ ph­¬ng ph¸p nh©n tö ho¸ Wiener- Hopf [11, 19, 31]. Tr­êng hîp nµy th­êng gÆp trong c¸c bµi to¸n vÒ t¸n x¹ c¸c sãng vµ vÒ c¸c vÕt nøt nöa v« h¹n. • Khi Ω = (a, b) lµ kho¶ng h÷u h¹n, ph­¬ng tr×nh (3) cßn ®­îc gäi lµ ph­¬ng tr×nh bé ba (triple equation) ®­îc ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n d¹ng chËp [1, 7, 36, 37]: Z (a ∗ u)(x) := b a(x − t)u(t)dt = f (x) + g̃(x), a < x < b, a (4) trong ®ã a(x), u(x) t­¬ng øng lµ biÕn ®æi Fourier ng­îc cña A(ξ) vµ u b(ξ), cßn g̃(x) lµ hµm sè phô thuéc tuyÕn tÝnh vµo hµm g(x). Ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n d¹ng chËp (4) th­êng lµ ph­¬ng tr×nh víi nh©n logarithm, hoÆc lµ ph­¬ng tr×nh víi nh©n kú dÞ Cauchy vµ ®­îc gi¶i gÇn ®óng b»ng ph­¬ng ph¸p ®a thøc trùc giao [36, 37], ph­¬ng ph¸p tiÖm cËn [1]. • Eswaran (1990) [17] ®· ®Ò xuÊt mét ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ph­¬ng p tr×nh (3) víi A(ξ) = ξ 2 − k 2 , Ω = (−1, 1), g(x) = 0 gÆp trong lý thuyÕt nhiÔu x¹ (difraction) sãng ®iÖn tõ. Ph­¬ng ph¸p cña Eswaran dùa trªn qu¸ tr×nh trùc giao ho¸ vµ hÖ thøc Z ∞ Jm (ξx) ixξ e dξ = 0, |x| > 1. ξ −∞ (5) NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (3) ®­îc t×m ë d¹ng u b(ξ) = ∞ X am (m + 1)im+2 m=0 Jm+1 (ξx) , ξ (6) §­a (6) vµo (3), thay ®æi thø tù lÊy tæng vµ tÝch ph©n ta ®­îc ∞ X am ψm (x) = f (x), |x| < 1, (7) m=0 trong ®ã ψm (x) = (m + 1)i m+2 Z ∞ p Jm+1 (ξx) ξ 2 − k2 dξ. ξ −∞ (8) C¸c hÖ sè ch­a biÕt ®­îc t×m b»ng c¸ch tiÕn hµnh trùc giao ho¸ d·y hµm ψm (x), x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc (8). • C¸c ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n víi h¹ch l­îng gi¸c th­êng gÆp trong c¸c bµi to¸n vÒ vÕt nøt vµ tiÕp xóc cña lý thuyÕt ®µn håi hai chiÒu [40, 41]. Trong [17] giíi thiÖu c¸ch t×m nghiÖm h×nh thøc cña mét sè ph­¬ng tr×nh cÆp lo¹i nµy liªn quan ®Õn c¸c phÐp biÕn ®æi Fourier-sin vµ Fourier- cosin. • C¸c ph­¬ng ph¸p h×nh thøc t×m nghiÖm cña c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp liªn quan ®Õn biÕn ®æi Hankel, biÕn ®æi Mehler- Fock, Weber-Orr vµ Legendre ®­îc giíi thiÖu kh¸ chi tiÕt trong [17, 44]. Nh­ trªn ®· nãi, c¸c ph­¬ng ph¸p trªn ®©y vÒ c¬ b¶n cßn mang tÝnh h×nh thøc, ch­a quan t©m ®Õn vÊn ®Ò tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm trong c¸c kh«ng gian hµm thÝch hîp nµo ®ã, còng nh­ nh÷ng ®¶m b¶o to¸n häc cÇn thiÕt trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi ®­a ph­¬ng tr×nh cÆp vÒ c¸c ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n t­¬ng øng. D­íi ®©y chóng t«i sÏ tr×nh bµy tæng quan nh÷ng kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ tÝnh gi¶i ®­îc cña mét sè líp ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n, ®Æc biÖt lµ tÝch ph©n Fourier, lµ ®èi t­îng nghiªn cøu cña ®Ò tµi luËn ¸n nµy. 5.3. TÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp Sè l­îng c¸c nghiªn cøu vÒ tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp so víi c¸c nghiªn cøu vÒ c¸c ph­¬ng ph¸p t×m lêi gi¶i h×nh thøc cña c¸c ph­¬ng tr×nh nµy lµ rÊt khiªm tèn. Trong phÇn nµy chóng t«i sÏ ®Ò cËp ®Õn mét sè kÕt qu¶ nghiªn cøu ®¹i diÖn cña c¸c chuyªn gia vµ cña t¸c gi¶ luËn ¸n vÒ tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n th­êng gÆp trong c¸c bµi to¸n biªn hçn hîp cña vËt lý to¸n. • N¨m 1975, Walton J. R. [47] vËn dông tiÕp cËn hµm suy réng Zemanian [48], xÐt tÝnh duy nhÊt nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh cÆp d¹ng Titchmarsh Z ∞    t−2α ψ(t)Jµ (tx) = f (x), 0 < x < 1, Z0 ∞   t−2β ψ(t)Jν (tx) = g(x), 1 < x < ∞,  (9) 0 trong líp c¸c hµm suy réng chÝnh qui. ë ®©y Jµ , Jν lµ c¸c hµm Bessel lo¹i mét, ψ(t) lµ hµm cÇn t×m, f (x), g(x), α, β lµ c¸c hµm vµ c¸c sè ®· cho. Còng víi c¸ch tiÕp cËn ®ã, ph­¬ng tr×nh (9) còng ®· ®­îc nghiªn cøu sau ®ã trong [9, 20]. N¨m 2000, c¸c t¸c gi¶ trong [5] ®· xÐt tÝnh gi¶i ®­îc cña ph­¬ng tr×nh nµy trong c¸c kh«ng gian Lebesgue. • NguyÔn V¨n Ngäc [25, 26] xÐt tÝnh gi¶i ®­îc cña mét sè líp ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Hankel b»ng c¸ch sö dông c¸c to¸n tö vi ph©n Mµm , Nνm vµ c¸c −m −m tÝch ph©n ph©n Mµ,J , Nµ,J trong kh«ng gian c¸c hµm suy réng Zemanian Hµ0 . NguyÔn V¨n Ngäc vµ Hµ TiÕn Ngo¹n [30] ®· x©y dùng c¸c kh«ng gian Sobolev liªn quan ®Õn phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Hankel ®Ó nghiªn cøu to¸n tö gi¶ vi ph©n d¹ng A[u] = Bµ [A(.)b u(.)], trong ®ã u b = Bµ [u] lµ biÕn ®æi Hankel cña hµm suy réng u, A(t) lµ biÓu tr­ng (symbol) ®· cho. TÝnh bÞ chÆn vµ tÝnh compact cña to¸n tö gi¶ vi ph©n A[u] ®­îc vËn dông ®Ó nghiªn cøu tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n d¹ng Z ∞    A(t)b u(t)Jµ (tx) = f (x), x ∈ Ω ⊂ R+ , Z0 ∞   u b(t)Jµ (tx) = g(x), x ∈ R+ \ Ω.  (10) 0 • XÐt tÝnh gi¶i ®­îc cña ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier. Trong [11] xÐt ph­¬ng tr×nh cÆp ®èi víi tÝch chËp trªn c¸c nöa trôc kh«ng ph¶i b»ng ph­¬ng ph¸p Wiener- Hopf (Ph­¬ng ph¸p nh©n tö ho¸), mµ b»ng ph­¬ng ph¸p bµi to¸n biªn Riemann (xem môc 5.3, trang 53). Ph­¬ng tr×nh nµy cã thÓ ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier d¹ng ( F −1 [(1 + K1 (ξ))b u(ξ)](x) = f (x), x > 0, F −1 [(1 + K2 (ξ))b u(ξ)](x) = g(x), x < 0 (11) víi c¸c gi¶ thiÕt 1 + Kj (ξ) 6= 0, kj (x) = F −1 [Kj (ξ)], fe(x) ∈ {0} (j = 1, 2), (12) {0} lµ líp c¸c hµm cã Fourier thuéc kh«ng gian L2 (R) vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Holder ®Þa ph­¬ng trªn kho¶ng bÞ chÆn bÊt kú vµ t¹i l©n cËn cña ±∞ trong ®ã vµ ( f (x), x ≥ 0, fe(x) = g(x), x < 0. • Gohberg I. C vµ Fel'man I. A. [12] ®· nghiªn cøu ph­¬ng tr×nh (11) víi c¸c gi¶ thiÕt trong ®ã f˜(x), kj (x) = F −1 [Kj (ξ)] ∈ L1 (R), (13) 1 + Kj (ξ) 6= 0, Ind[1 + Kj (ξ)]R = 0 (j = 1, 2), (14) IndK(ξ)R lµ chØ sè cña hµm K(ξ) trªn trôc thùc theo chiÒu d­¬ng. KÕt qu¶ nhËn ®­îc lµ c¸c ®iÒu kiÖn (13)-(14) lµ cÇn vµ ®ñ ®Ó ph­¬ng tr×nh (11) cã nghiÖm trong L1 (R). • Poletaev G. S [33-35] ®· xÐt ph­¬ng tr×nh (11) víi gi¶ thiÕt F −1 [K1 (ξ)](x) ∈ L1 (R), ecx F −1 [K2 (ξ)](x) ∈ L1 (R), trong ®ã c lµ h»ng sè d­¬ng nµo ®ã, b»ng ph­¬ng ph¸p dùa trªn kü thuËt nh©n tö ho¸ Wiener-Hopf trong c¸c ®¹i sè Banach ®· thiÕt lËp mét sè ®Þnh lý vÒ tÝnh gi¶i ®­îc cña ph­¬ng tr×nh (11) trong c¸c kh«ng gian thÝch hîp. • N¨m 1986, NguyÔn V¨n Ngäc vµ Popov G. Ya. [23] ®· xÐt tÝnh gi¶i ®­îc cña ph­¬ng tr×nh cÆp vi-tÝch ph©n víi nh©n l­îng gi¸c trªn hÖ kho¶ng  Z ∞ d    A(ξ)γ(ξ) sin(ξx)dξ, x ∈ In , n = 1, N , Zdx∞ 0   A(ξ) cos(ξx)dξ = 0, x ∈ R+ \ ∪N  n=1 In , (15) 0 trong ®ã In = (an , bn ), In ∩Im = ∅, A(ξ) lµ hµm cÇn t×m. Víi mét sè gi¶ thiÕt vÒ biÓu tr­ng γ(ξ), ®· chøng minh ®­îc sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (15) trong líp hµm CN (R, {ρj }). NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho ®­îc t×m ë d¹ng N 2X A(ξ) = ξ j=1 víi ®iÒu kiÖn Z Z bj Φj (y) sin(yξ)dy aj bj Φj (y)dy = 0, j = 1, N . aj Ph­¬ng tr×nh cÆp trªn hÖ 2N + 1 kho¶ng  ®­îc ®­a vÒ hÖ N ph­¬ng tr×nh tÝch x − y   ph©n lo¹i mét víi nh©n chÝnh ln   ®èi víi c¸c hµm Φj (y), j = 1, N . x+y • Manam S. R. [18] ®Ò xuÊt ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm h÷u hiÖu cña mét líp ph­¬ng tr×nh cÆp liªn quan ®Õn tæ hîp cña c¸c hµm l­îng gi¸c. §· nhËn ®­îc tiªu chuÈn gi¶i ®­îc, theo ®ã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ duy nhÊt. • N¨m 1988, NguyÔn V¨n Ngäc [24] ®· vËn dông tiÕp cËn to¸n tö gi¶ vi ph©n trong c¸c kh«ng gian Sobolev cÊp thùc ®Ó xÐt tÝnh gi¶i ®­îc cña ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier (3) trong c¸c kh«ng gian Sobolev thÝch hîp. KÕt qu¶ c¬ b¶n cña nghiªn cøu nµy lµ: nÕu biÓu tr­ng A(ξ) cña ph­¬ng tr×nh (3) d­¬ng vµ A(ξ) ≤ C(1 + |ξ|)α th× víi mçi f (x) ∈ H −α/2 (Ω), g(x) ∈ H α/2 (R \ Ω), ph­¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm duy nhÊt trong H α/2 (R). • N¨m 2009, NguyÔn V¨n Ngäc ®· ®­a ra c¸ch gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp ®èi víi biÕn ®æi Fourier víi symbol t¨ng cÊp p ∈ N sau ®©y [28]: ( F −1 [|ξ|p A(ξ)b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ (a, b), (16) F −1 [b u(ξ)](x) = 0, x ∈ R \ (a, b), u b(ξ) ∈ S 0 ∩ C ∞ (R) lµ hµm cÇn t×m, f (x) lµ hµm ®· cho thuéc kh«ng gian Sobolev H −p/2 (a, b). Hµm ®· biÕt A(ξ) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn trong ®ã i) A(ξ) ∈ C ∞ (R), A(−ξ) = A(ξ), ReA(ξ) ≥ 0(6≡ 0), ii) L(ξ) := 1 − A(ξ) = O(|ξ|−q ), |ξ| → ∞, q >> 1. Khi p = 2m (m = 1, 2, . . .) nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (16) ®­îc t×m ë d¹ng Z b 1 ϕ(t)eiξt dt, (17) u b(ξ) = m (−iξ) a Z b tk ϕ(t)dt = 0, k = 0, 1, . . . , m − 1. (18) a Khi p = 2m + 1 (m = 0, 1, 2, . . .) nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (16) ®­îc t×m t­¬ng tù nh­ trªn, trong ®ã trong c¸c c«ng thøc (17)-(18) m ®­îc thay bëi m + 1. Ph­¬ng tr×nh cÆp (16) ®­îc ®­a vÒ gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ nh©n Cauchy ®èi víi víi hµm ϕ(t). • Míi ®©y Banerji P. K. vµ Deshnar Loonker [2] xÐt tÝnh gi¶i ®­îc trong kh«ng gian c¸c hµm suy réng cña mét líp ph­¬ng tr×nh cÆp liªn quan ®Õn biÕn ®æi Mehler-Fock Z ∞    τ f (τ )P− 21 +iτ (cosh α)dτ = g1 (α), 0 ≤ α ≤ a, Z0 ∞   tanh(πτ )f (τ )P− 21 +iτ (cosh α)dτ = g2 (α), α > a,  (19) 0 trong ®ã P− 21 +iτ (cosh α) lµ hµm Legendre. • Nh÷ng kÕt qu¶ gÇn ®©y cña NguyÔn V¨n Ngäc vµ NguyÔn ThÞ Ng©n dµnh cho viÖc nghiªn cøu tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier ( pF −1 [A(ξ)b u(ξ)](x) = f (x), x ∈ Ω, p0 F −1 [b u(ξ)](x) = g(x), x ∈ Ω0 = R \ Ω, (20) trong ®ã b lµ vect¬ hµm cÇn t×m, f , g Ω lµ mét kho¶ng h÷u h¹n cña trôc thùc, u lµ c¸c vect¬ hµm ®· cho, A(ξ) lµ mét ma trËn vu«ng x¸c ®Þnh vµ ®­îc gäi lµ biÓu tr­ng ( symbol) cña hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp (20), p vµ p0 lÇn l­ît lµ to¸n tö h¹n chÕ trªn Ω vµ Ω0 . Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu lµ sö dông tiÕp cËn to¸n tö gi¶ vi ph©n cña c¸c hµm suy réng trong c¸c kh«ng gian Sobolev thÝch hîp. VËn dông §Þnh lý Riesz vÒ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trong kh«ng gian Hilbert vµ §Þnh lý Fredholm ®Ó chøng minh sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp. §­a ra c¸c biÓu diÔn nghiÖm thÝch hîp ®Ó ®­a c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n kú dÞ hoÆc hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n víi nh©n logarithm. VËn dông ph­¬ng ph¸p ®a thøc trùc giao [36] ®­a hÖ c¸c ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n trªn ®©y vÒ hÖ v« h¹n c¸c ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh tùa hoµn toµn chÝnh qui [14]. V× ®èi t­îng nghiªn cøu cña luËn ¸n nµy lµ tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n liªn quan ®Õn biÕn ®æi Fourier, nªn trong luËn ¸n nµy chóng t«i chØ ®Ò cËp ®Õn c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n (chñ yÕu lµ tÝch ph©n Fourier) mµ ch­a quan t©m ®Õn c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp chuçi. Tuy nhiªn, nhËn xÐt r»ng mét sè kÕt qu¶ vÒ tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp chuçi cã thÓ t×m thÊy, vÝ dô trong [15, 22, 27, 29, 38, 39]. NhËn xÐt r»ng, c¸c ph­¬ng ph¸p ®­îc sö dông trong nghiªn cøu tÝnh gi¶i ®­îc cña c¸c ph­¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n vµ chuçi cã thÓ ph©n thµnh c¸c nhãm tiÕp cËn sau ®©y: - C¸ch tiÕp cËn gi¶i tÝch vµ gi¶i tÝch hµm [5, 11, 12, 18, 23, 33, 34, 35, 38, 39, . . . ]. - C¸ch tiÕp cËn hµm suy réng [2, 9, 20, 25, 26, 47, . . . ]. - C¸ch tiÕp cËn to¸n tö gi¶ vi ph©n cña c¸c hµm suy réng trong c¸c kh«ng gian Sobolev vµ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n [24, 27- 29, . . . ]. 6. CÊu tróc vµ tæng quan luËn ¸n LuËn ¸n gåm phÇn Më ®Çu, ba ch­¬ng, KÕt luËn vµ Tµi liÖu tham kh¶o.