GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
Tæ: To¸n – Tin
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
Mét sè kinh nghiÖm vÒ ph−¬ng ph¸p gi¶i
hÖ ph−¬ng tr×nh bËc hai hμi Èn
PHẦN MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của đề tài, tình hình nghiên cứu, mục đích và nhiệm vụ của
sáng kiến kinh nghiệm, đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Trong ch−¬ng tr×nh to¸n 10 mét néi dung kiÕn thøc rÊt quan träng vµ rÊt
khã, ®ã lµ hÖ ph−¬ng tr×nh bËc hai hai Èn. §èi víi häc sinh ®¹i trµ, trung b×nh yÕu
gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n khi lµm bµi kiÓm tra cuèi ch−¬ng, thi tèt nghiÖp còng nh−
thi §¹i häc, Cao ®¼ng. VÊn ®Ò cÊp thiÕt ®Æt ra lµ lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh hiÓu vµ
n¾m ®−îc ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh bËc hai hai Èn, biÕt vËn dông vµo bµi
tËp thi cuèi kú còng nh− «n thi §¹i häc, Cao ®¼ng.
- Qua nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y víi ®èi t−îng häc sinh cña tr−êng THPT sè I B¾c
Hµ, t«i ®· nghiªn cøu vµ rót ra mét sè kinh nghiÖm gi¶ng d¹y ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ
ph−¬ng tr×nh bËc hai hai Èn ®Ó häc sinh hiÓu râ vµ biÕt lµm bµi tËp.
BiÖn ph¸p thùc hiÖn:
- Nghiªn cøu c¸c tµi liªô, c¸c s¸ch tham kh¶o.
- Giíi thiÖu kho¶ng 8 tiÕt khi häc xong chư¬ng ph−¬ng tr×nh – HÖ ph−¬ng
tr×nh - §¹i sè 10.
1
GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
Tæ: To¸n – Tin
PhÇn néi dung
Trong ch−¬ng tr×nh To¸n ë tr−êng THPT víi ®èi t−îng häc sinh vïng cao,
tr−êng t«i d¹y ch−¬ng tr×nh chuÈn. Trong ch−¬ng tr×nh chuÈn phÇn lý thuyÕt vÒ hÖ
ph−¬ng tr×nh bËc hai hai Èn hÕt søc thu gän, ®¬n gi¶n. Tuy nhiªn phÇn ¸p dông ®Ó
lµm bµi tËp th× rÊt ®a d¹ng, phong phó. Chóng t«i th−êng ph¶i lÊy quü thêi gian
trong ch−¬ng tr×nh tù chän b¸m s¸t, thêi gian båi d−ìng buæi chiÒu ®Ó gi¶ng d¹y,
bæ sung thªm cho häc sinh. §Ó gi¶m bít sù khã kh¨n cho häc sinh vÒ ph−¬ng ph¸p
gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh bËc hai hai Èn bao giê t«i còng ®i tõ ®¬n gi¶n tíi phøc t¹p, quy
l¹i vµ quen cho häc sinh, häc sinh n¾m ch¾c ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ ®¬n gi¶n, c¬ b¶n
nhÊt. Tõ ®ã ph©n tÝch thªm vÒ ph−¬ng ph¸p gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh phøc t¹p h¬n.
T«i ph©n lo¹i c¸c d¹ng bµi tËp vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh.
§µu tiªn häc sinh cÇn n¾m ch¾c ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ gåm mét ph−¬ng tr×nh
bËc nhÊt vµ mét ph−¬ng tr×nh bËc hai cña hai Èn. Trong phÇn nµy ph−¬ng ph¸p gi¶i
c¬ b¶n ¸p dông ®−îc cho mäi bµi lµ ph−¬ng ph¸p thÕ. Rót mét Èn tõ ph−¬ng tr×nh
bËc nhÊt thÕ vµo ph−¬ng tr×nh bËc hai.
C¸c d¹ng bμi tËp ¸p dông:
1. HÖ ph−¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1:
Cho häc sinh nhËn ®−îc thÕ nµo lµ hÖ ®èi xøng lo¹i 1, häc sinh biÕt c¸ch
nhËn d¹ng ®−îc c¸c hÖ ®èi xøng lo¹i 1 dï ®ã lµ hÖ bËc 2 hay bËc cao.
* Ph−¬ng ph¸p gi¶i ®Æt S = x + y, P = x.y
Gi¶i hÖ tæng qu¸t tõ S, P sau ®ã lËp luËn ra x vµ y lµ nghiÖm ph−¬ng tr×nh bËc
2: t 2 − St + Pt = 0 . Cã thÓ biÖm luËn lu«n hÖ cã nghiÖm (x,y) khi vµ chØ khi S 2 ≥ 4 P .
⎧ x + y + xy = 5
VÝ dô 1: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎨⎩ x 2 + y 2 = 5
Gi¶i:
§Æt S = x+y, P = x.y cã hÖ
2
Tæ: To¸n – Tin
GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
⎧S + P = 5
⎧P = 5 − S
⇔⎨ 2
⎨ 2
⎩S + 2P = 5
⎩ S − 2(5 − S ) = 5
⎡⎧S = 3
⎧P = 5 − S
⎢⎨
⎧P = 5 − S
⎪
⎩P = 2
⇔⎨ 2
⇔ ⎨⎡ S = 3 ⇔ ⎢
⎢ ⎧ S = −5
⎩ S + 2 S − 15 = 0
⎪ ⎢ S = −5
⎢⎨
⎣
⎩
⎣⎢ ⎩ P = 10
+ Víi S = 3, P = 2 suy ra x vµ y la nghiÖm ph−¬ng tr×nh
⎡t = 1
t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ ⎢
⎣t = 2
Tr−êng hîp nµy hÖ cã 2 nghiÖm: (1;2), (2;1)
+ Víi S = -5, P = 10 suy ra x vµ y la nghiÖm ph−¬ng tr×nh
t 2 + 5t + 10 = 0 Ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
VËy hÖ cã 2 nghiÖm: (1;2), (2;1)
⎧ xy + x + y = 11
VÝ dô 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎨⎩ x 2 y + xy 2 = 30
Gi¶i:
⎧ xy + x + y = 11
HÖ trªn t−¬ng ®−¬ng víi ⎩⎨ xy ( x + y ) = 30
§Æt S = x+y, P = x.y
⎡⎧S = 5
⎢⎨
⎧ S + P = 11 ⎢ ⎩ P = 6
HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ⎨
⇔
⎢⎧S = 6
⎩ S .P = 30
⎢⎨
⎣⎢ ⎩ P = 5
T×m x, y trong hai tr−êng hîp suy ra hÖ cã 4 nghiÖm (1;5), (5;1), (2;3), (3;2).
⎧ xy + x + y = m + 2
VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎩⎨ x 2 y + xy 2 = m + 1
a) Gi¶i hÖ khi m = -3
b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
3
GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
Tæ: To¸n – Tin
Gi¶i:
⎧ S + P = m + 2(1)
⎩ S .P = m + 1(2)
§Æt S = x+y, P = x.y cã hÖ ⎨
⎧ S + P = −1 ⎧ S = 1
⎧ S = −2
hoÆc ⎨
⇔⎨
⎩P = 1
⎩ S .P = −2
⎩ P = −2
a) Víi m = -3 cã hÖ ⎨
+ Víi S = 1, P = -2 suy ra x vµ y la nghiÖm ph−¬ng tr×nh
⎡ t = −1
t2 − t − 2 = 0 ⇔ ⎢
⎣t = 2
Tr−êng hîp nµy hÖ cã 2 nghiÖm: (-1;2), (2;-1)
+ Víi S = -2, P = 1 suy ra x vµ y la nghiÖm ph−¬ng tr×nh
t 2 + 2t + 1 = 0 ⇔ t1 = t2 = −1
Tr−êng hîp nµy hÖ cã 1 nghiÖm: (-1;-1)
VËy hÖ cã 3 nghiÖm: (-1;2), (2;-1), (-1;-1)
b) Tõ (1) ⇒ S = m + 2 − P thay vµo (2) ®−îc
(m + 2 − P) P = m + 1
⇔ (m + 2) P − P 2 = m + 1
⇔ P 2 − (m + 2) P + m + 1 = 0(∗)
⎡ P1 = 1
⇔⎢
⎣ P2 = m + 1
+ Víi P = 1 ⇒ S = m+1 . §Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt th×:
⎡m = 3
S 2 = 4 P ⇔ (m + 1) 2 = 4 ⇔ ⎢
⎣ m = −5
+ Víi P = m + 1 ⇒ S = 1
§Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt th× S 2 = 4 P ⇔ 1 = 4(m + 1) ⇔ 4m = −3 ⇔ m = −
VËy víi m = 3 ; m = -5 hoÆc m = −
3
th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
4
⎧ x 2 + y 2 = 2(1 + a)
VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎪⎨
2
⎪⎩( x + y ) = 4
a) Gi¶i hÖ khi a = 1
4
3
4
GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
Tæ: To¸n – Tin
b) T×m m ®Ó hÖ cã ®óng 2 nghiÖm
Gi¶i:
2
⎪⎧ S − 2 P = 2(1 + a )
2
⎪⎩ S = 4
§Æt S = x+y, P = x.y cã hÖ ⎨
⎧S − 2P = 4
⎧P = 0
a) Víi a = 1 cã hÖ ⎪⎨ 2
⇔⎨
2
⎩ S = ±2
⎪⎩ S = 4
+ Víi S = 2, P = 0 ⇒ hÖ cã hai nghiÖm (0;2), (2;0)
+ Víi S =-2, P = 0 ⇒ hÖ cã hai nghiÖm (0;-2), (-2;0)
VËy hÖ cã 4 nghiÖm (0;2), (2;0), (0;-2), (-2;0)
b) Gi¶ sö hÖ cã nghiÖm ( x0 ; y0 ) ⇒ c¸c cÆp sè (− x0 ; − y0 ) ; ( y0 ; x0 ) , (− y0 ; − x0 )
còng lµ nghiÖm cña hÖ. CÆp sè ( x0 ; y0 ) ≠ (− x0 ; − y0 ) v× nÕu ng−îc l¹i th× x0 = 0 vµ
y0 = 0 mµ cÆp sè (0;0) kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hÖ.
VËy hÖ cã 2 nghiÖm lµ ( x0 ; y0 ) vµ (− x0 ; − y0 ) ⇒ ( x0 ; y0 ) = ( y0 ; x0 ) ,
(− x0 ; − y0 ) = (− y0 ; − x0 )
⎧⎪2 x0 = 2(1 + a)
⇒a=0
⇒ x0 = y0 khi ®ã ta cã: ⎨ 2
⎪⎩4 x0 = 4
⎧ x2 + y 2 = 2
Ng−îc l¹i víi a = 0 ta cã hÖ ⎪⎨
2
⎪⎩( x + y ) = 4
Gi¶i hÖ ®−îc 2 nghiÖm (-1;-1), (1;1)
VËy a = 0 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.
2
2
⎪⎧ x + y + xy = 7
VÝ dô 5: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎨ 4 4 2 2
⎪⎩ x + y + x y = 21
Gi¶i:
HÖ nµy lµ hÖ ®èi xøng lo¹i 1:
{( x + y)
HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi
2
− xy = 7(1)
( x 2 + y 2 ) 2 − x 2 y 2 = 21(2)
§Æt S = x+y, P = x.y ⇒ Ph−¬ng tr×nh (1) ⇔ S 2 − P = 7 ⇒ S 2 = P + 7
5
GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
Tæ: To¸n – Tin
Thay vµo (2) ⇒ ⇒ (7 − P)2 − P = 21 ⇔ 14 P = 28 ⇔ P = 2
VËy S 2 = 9 ⇒ S = ±3
+ Víi S = 3, P = 2 suy ra x vµ y lµ nghiÖm ph−¬ng tr×nh
⎡t = 1
t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ ⎢ 1
⎣t 2 = 2
⇒ HÖ cã 2 nghiÖm (1;2) vµ (2;1)
+ Víi S = -3, P = 2 suy ra x vµ y lµ nghiÖm ph−¬ng tr×nh
⎡t1 = −1
t 2 + 3t + 2 = 0 ⇔ ⎢
⎣t2 = −2
⇒ HÖ cã 2 nghiÖm (-1;-2) vµ (-2;-1)
VËy hÖ ®· cho cã 4 nghiÖm (1;2), (2;1), (-1;-2) vµ (-2;-1)
2. HÖ ph−¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2
Ph©n tÝch cho häc sinh n¾m ch¾c d¹ng tæng qu¸t cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®èi
xøng lo¹i 2, c¸ch nhËn d¹ng hÖ ph−¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2 vµ n¾m ®−îc ph−¬ng
ph¸p gi¶i hÖ nµy lµ trõ tõng vÕ cña hÖ sau ®ã biÕn ®æi ph−¬ng tr×nh t×m ®−îc vÒ
ph−¬ng tr×nh tÝch, ®−a viÖc gi¶i hÖ ®· cho vÒ viÖc gi¶i 2 hÖ ph−¬ng tr×nh quen
thuéc.
⎧x = 7x + 3y
VÝ dô 1: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎪⎨ 3
3
⎪⎩ y = 7 y + 3 x
Gi¶i:
x3 − y 3 = 7( x − y ) + 3( y − x)
⇔ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) = 4( x − y )
Trõ tõng vÕ hÖ ph−¬ng tr×nh ta ®−îc: ⇔ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 − 4) = 0
⎡x − y = 0
⇔⎢ 2
2
⎣ x + xy + y − 4 = 0
⎡⎧ x − y = 0
⎢⎨ 3
⎩x = 7x + 3
VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ⎢⎢ 2
2
⎢ ⎪⎨⎧ x + xy + y − 4 = 0
⎢ ⎪⎩ x 3 = 7 x + 3 y
⎣
6
Tæ: To¸n – Tin
GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
Hai hÖ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n gi¶i ®−îc nghiÖm
⎧⎪ x 3 = 5 x + y
VÝ dô 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎨ 3
⎪⎩ y = 5 y + x
x3 − y 3 = 5( x − y ) + y − x
Trõ tõng vÕ hÖ ph−¬ng tr×nh ta ®−îc: ⇔ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) = ( x − y )
⎡x − y = 0
⇔⎢ 2
2
⎣ x + xy + y − 4 = 0
Gi¶i t−¬ng tù vÝ dô 1
3. HÖ ®¼ng cÊp bËc 2:
2
2
⎪⎧a1 x + b1 xy + c1 y = m
D¹ng tæng qu¸t ⎨ 2
2
⎪⎩a2 x + b2 xy + c2 y = n
Trong ®ã x, y lµ Èn, cßn laiij lµ hÖ sè:
Ph−¬ng ph¸p gi¶i: Quy ®ång hÖ sè ë vÕ ph¶i sau ®ã trõ tõng vÕ hÖ ph−¬ng
tr×nh t×m ®−îc råi ®Æt x = ky (BiÖm luËn y ≠ 0 )
2
2
⎪⎧ x + 2 xy + 3 y = 9(1)
VÝ dô1: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ⎨ 2
2
⎪⎩2 x + 2 xy + y = 2(2)
Gi¶i:
⎧⎪2 x 2 + 4 xy + 6 y 2 = 18
⇔ 16 x 2 + 14 xy + 3 y 2 = 0
HÖ trªn t−¬ng ®−¬ng víi: ⎨ 2
2
⎪⎩18 x + 18 xy + 9 y = 18
Tõ hÖ ta thÊy y = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hÖ nªn cã
3
⎡x
=−
⎢
8
y
⎛x⎞
x
16 ⎜ ⎟ + 14 + 3 = 0 ⇔ ⎢
1
y
⎢x
⎝ y⎠
⎢y =−2
⎣
2
Tõ
x
3
3
= − ⇒ x = − y Thay vµo (2) ta ®−îc:
y
8
8
7
GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
Tæ: To¸n – Tin
2
⎛ 3 ⎞
⎛ 3 ⎞
2 ⎜ − y ⎟ + 2 ⎜ − y ⎟ y + y2 = 2
⎝ 8 ⎠
⎝ 8 ⎠
9 2 3 2
⇔
y − y + y2 = 2
32
4
2
⇔ 9 y − 24 y 2 + 32 y 2 = 64
⇔ 17 y 2 = 64 ⇔ y 2 =
64
64
8 17
⇒ y=±
=±
17
17
17
⎛ 3 17 −8 17 ⎞ ⎛ −3 17 8 17 ⎞
;
;
⎟⎟ ; ⎜⎜
⎟
17
17
17
17 ⎟⎠
⎝
⎠ ⎝
HÖ cã 2 nghiÖm ⎜⎜
Tõ
x −1
=
⇒ y = −2 x thay y = −2 x vµo (2) ta ®−îc:
y 2
2 x 2 + 2 x(−2 x) + (−2 x) 2 = 2
⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1
VËy hÖ cã 2 nghiÖm (1;-2), (-1:2)
⎧ x 2 − 4 xy + y 2 = k
VÝ dô2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ⎪⎨ 2
⎪⎩ y − 3 xy = 4
a) Gi¶i hÖ khi k = 1
b) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm víi mäi k
Gi¶i:
⎧⎪ x 2 − 4 xy + y 2 = 1
⎨ 2
⎪⎩ y − 3 xy = 4
2
2
⎪⎧4 x − 16 xy + 4 y = 4
⇔⎨ 2
Víi k = 1 cã hÖ ⎪⎩ y − 3xy = 4
⇔ 4 x 2 − 13xy + 3 y 2 = 0
⎡x = 3y
⇔⎢
⎢x = y
4
⎣
+ Víi x = 3 y Thay vµo (2) ⇒ y 2 − 9 y 2 = 4 ⇔ −8 y 2 = 4 ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.
+ Víi x =
y
3y2
Thay vµo (2) ⇒ y 2 −
= 4 ⇔ y 2 = 16 ⇔ y = ±4
4
4
Tr−êng hîp nµy hÖ cã 2 nghiÖm (1;4) vµ (-1;-4)
8
Tæ: To¸n – Tin
GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
b) Trong tr−êng hîp tæng qu¸t tõ ph−¬ng tr×nh (2) ⇒ y ≠ 0 . VËy x =
y2 − 4
3y
thay vµo ph−¬ng tr×nh (1) rót ngän ®−îc: 14 y 4 + ( 9k − 4 y ) y 2 − 16 = 0
Víi mäi k ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm y 2 > 0 tõ ®ã t×m ®−îc y. Do ®ã hÖ ®· cho
cã nghiÖm víi mäi k.
Ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh bËc 2 hai Èn chñ yÕu b»ng c¸ch biÕn ®æi
t−¬ng ®−¬ng ®−a vÒ hÖ c¬ b¶n hoÆc ®Æt Èn phô ®−a vÒ hÖ c¬ b¶n. TÊt c¶ c¸c hÖ
ph−¬ng tr×nh ®· nãi trªn ®Òu coi nh− hÖ c¬ b¶n mµ häc sinh ph¶i n¾m ch¾c ph−¬ng
ph¸p gi¶i. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô vÒ gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng c¸ch ®Æt Èn phô ®−a
hÖ ®· cho vÒ hÖ c¬ b¶n.
⎧⎪ y + xy 2 = 6 x 2 (1)
VÝ dô1: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ⎨
2 2
2
⎪⎩1 + x y = 5 x (2)
Gi¶i:
Tõ (2) ⇒ x ≠ 0 . Chia c¸c vÕ cña tõng ph−¬ng tr×nh trong hÖ cho x2 ®−îc hÖ
ph−¬ng tr×nh:
⎧y⎛1
⎞
⎧ y y2
+ y⎟ = 6
⎜
⎪
+
=
6
⎪⎪ x 2 x
⎠
⎪x⎝ x
⇔⎨
⎨
2
⎪ 1 + y=5
⎪⎛ 1 + y ⎞ − 2 y = 5
2
⎜
⎟
⎩⎪ x
x
⎠
⎩⎪⎝ x
⎧
v2 − 5
⎧
v2 − 5
u
=
⎪⎪
⎧u.v = 6
=
u
⎧u = 2
y
1
⎪
2
§Æt = u, = v §−îc hÖ ⎨ 2
⇔⎨ 2
⇔⎨
⇔⎨
2
x
x
⎩v = 3
⎩v − 2u = 5 ⎪ v − 5 .v = 6
⎪v 3 − 5v − 12 = 0
⎩
⎪⎩ 2
ViÖc gi¶i hÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi gi¶i hÖ
⎧1
⎧1
⎪⎪ x + y = 3 ⎪⎧ 1 = 1
⎪ =2
hoÆc ⎨ x
⇔ ⎨x
⎨
⎪⎩ y = 1
⎪ 1 .y = 2
⎪⎩ y = 2
⎪⎩ x
1
VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh (1;2) vµ ⎛⎜ ;1⎞⎟
2
⎝
⎠
9
GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
Tæ: To¸n – Tin
⎧ xy + x + 1 = 7 y (1)
VÝ dô2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ⎨
2 2
2
⎩ x y + xy + 1 = 13 y (2)
Gi¶i:
Tõ ph−¬ng tr×nh (2) suy ra y = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hÖ
1 x
⎧
⎪x + y + y = 7
Do y ≠ 0 hÖ ®É cho t−¬ng ®−¬ng víi ⎪⎨
⎪ x 2 + 1 + x = 13
⎪⎩
y2 y
1
y
§Æt u = x + ; v =
x
Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh
y
⎡ ⎧u = −5
⎢⎨
⎧u + v = 7
⎧v = 7 − u
⎧v = 7 − u
⎩v = 12
⎢
⇔⎨ 2
⇔⎨ 2
⇔
⎨ 2
⎢ ⎧u = 4
⎩u − v = 13 ⎩u − 7 + u − 13 = 0
⎩u + u − 20 = 0
⎢⎨
⎢⎣ ⎩v = 3
1
⎧
⎪ x + y = −5
+ Víi u = -5; v = 12 Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh ⎪⎨
⎪ x = 12
⎪⎩ y
1
⎧
⎪x + y = 4
+ Víi u = 4; v = 3 Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh ⎪⎨
⎪x =3
⎪⎩ y
Hai hÖ ph−¬ng tr×nh nµy lµ hÖ c¬ b¶n cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p thÕ.
⎧ x 2 + 1 + y ( y + x) = 4 y
VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ⎪⎨ 2
⎪⎩( x + 1)( y + x − 2) = y
Gi¶i:
Ta thÊy y = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh. Nªn chia tõng vÕ
⎧ x2 + 1
+ ( y + x) = 4
⎪
⎪ y
cña c¸c ph−¬ng tr×nh trong hÖ ph−¬ng tr×nh cho y ta ®−îc: ⎨ 2
⎪ x + 1 ( y + x − 2) = 1
⎪⎩ y
10
GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
Tæ: To¸n – Tin
§Æt u =
x2 + 1
; v = y + x Ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh
y
⎧v = 4 − u
⎧u + v = 4
⎧v = 4 − u
⎧u = 1
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨ 2
⎨
⎩u (v − 2) = 1 ⎩u (2 − u ) − 1 = 0
⎩v = 3
⎩u − 2u + 1 = 0
⎧ x2 + 1
=1
HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ⎪⎨ y
⎪
⎩x + y = 3
§Õn ®©y gi¶i hÖ b»ng ph−¬ng ph¸p thÕ
PhÇn kÕt luËn
Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y líp 10 A1 vµ «n thi §¹i häc, Cao ®¼ng cho häc sinh
líp 12A1 khi vËn dông c¸c ph−¬ng ph¸p trªn trong phÇn nµy. T«i nhËn thÊy häc
sinh tiÕp cËn kiÕn thøc mét c¸ch dÔ dµng, häc sinh høng thó häc tËp vµ n¾m ®−îc
ph−¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh bËc hai hai Èn. Cô thÓ qua bµi
kh¶o s¸t lÇn hai sè häc sinh ®¹t ®iÓm trung b×nh trë lªn lµ 80%.
Trªn ®©y lµ mét vµi kinh nghiÖm cña t«i vÒ phg−¬ng ph¸p gi¶ng d¹y phÇn hÖ
ph−¬ng tr×nh bËc hai hai Èn víi môc tiªu häc sinh n¾m ®−îc kiÕn thøc c¬ b¶n vµ
biÕt vËn dông vµo gi¶i bµi tËpk. RÊt mong ®−îc sù ®ãng gãp cña c¸c ®ång chÝ ®ång
nghiÖp vÒ bµi viÕt cña t«i.
B¾c Hμ, ngμy 15 th¸ng 3 n¨m 2011
Ng−êi viÕt s¸ng kiÕn
Vò ThÞ H¶i Anh
11
Tæ: To¸n – Tin
GV: Vũ Hải Anh - Tr−êng THPT sè 1 B¾c Hµ
12
- Xem thêm -
.PDF 
12 
239 
64 
