Tài liệu Một số kết quả về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian

  • Số trang: 103 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 57 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o Tr­êng §¹i Häc Vinh NguyÔn Thanh DiÖu MétsèkÕtqu¶vÒgi¶itÝch ngÉunhiªntrªnthangthêigian LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Vinh - 2012 Bé Gi¸o Dôc vµ §µo t¹o Tr­êng §¹i Häc Vinh NguyÔn Thanh DiÖu MétsèkÕtqu¶vÒgi¶itÝch ngÉunhiªntrªnthangthêigian Chuyªn ngµnh: Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ Thèng kª to¸n häc M· sè: 62.46.01.06 LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: Vinh - 2012 GS.TS NguyÔn H÷u D­ Môc lôc Môc lôc i Lêi cam ®oan iii Lêi c¶m ¬n iv Më ®Çu 1 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 7 1.1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ gi¶i tÝch trªn thang thêi gian . . . . . . . 7 1.2 Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 KÕt luËn ch­¬ng 1 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 TÝch ph©n ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian 24 2.1 §Þnh lý khai triÓn Doob - Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 TÝch ph©n ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 TÝch ph©n theo martingale b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch . . . . . . 35 2.2.2 TÝch ph©n theo martingale ®Þa ph­¬ng b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch 40 2.3 C«ng thøc It« vµ øng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Ph¸t biÓu bµi to¸n martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5 KÕt luËn ch­¬ng 2 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ph­¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian i 65 3.1 Ph­¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian . . . . . . 65 3.2 TÝnh Markov cña nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3 ¦íc l­îng moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4 KÕt luËn ch­¬ng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Danh môc c«ng tr×nh ®· c«ng bè . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 93 Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña t«i d­íi sù h­íng dÉn cña GS.TS NguyÔn H÷u D­. C¸c kÕt qu¶ nªu trong luËn ¸n lµ trung thùc, ®­îc c¸c ®ång t¸c gi¶ cho phÐp sö dông vµ luËn ¸n kh«ng trïng lÆp víi bÊt k× tµi liÖu nµo kh¸c. NghÖ An, ngµy .... th¸ng .... n¨m 2012 T¸c gi¶ NguyÔn Thanh DiÖu iii Lêi c¶m ¬n B¶n luËn ¸n ®­îc thùc hiÖn t¹i Tr­êng §¹i häc Vinh d­íi sù h­íng dÉn cña GS.TS NguyÔn H÷u D­, ThÇy ®· ®Æt bµi to¸n, dµy c«ng d¹y cho t«i kiÕn thøc, kinh nghiÖm trong nghiªn cøu. ChÝnh ThÇy ®· cho t«i niÒm tin vµ kh¸t väng trong nghiªn cøu khoa häc. Trong cuéc sèng, gia ®×nh ThÇy ®· dµnh cho gia ®×nh t«i t×nh c¶m vµ sù quan t©m ®Æc biÖt, t×nh c¶m ®ã kh«ng chØ gióp cho b¶n th©n t«i v­ît qua mäi khã kh¨n trong cuéc sèng ®Ó häc tËp mµ cßn cho t«i c¶ bµi häc lµm ng­êi nh©n hËu. Nh©n dÞp nµy, t«i xin ®­îc bµy tá lßng biÕt ¬n v« h¹n ®Õn gia ®×nh ThÇy C«. Ngoµi ra, trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ viÕt luËn ¸n t«i còng ®· nhËn ®­îc sù quan t©m gióp ®ì cña quý thÇy gi¸o c« gi¸o trong: Khoa To¸n häc (Tr­êng §¹i häc Vinh); bé m«n To¸n Sinh - Khoa To¸n C¬ Tin häc (Tr­êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn §¹i häc Quèc gia Hµ Néi). §Æc biÖt lµ sù quan t©m gióp ®ì cña PGS.TS NguyÔn V¨n Qu¶ng, TS NguyÔn Trung Hßa, PGS.TS Phan §øc Thµnh, PGS.TS TrÇn Xu©n Sinh, PGS.TS TrÇn V¨n ¢n, PGS.TS §inh Huy Hoµng, PGS.TS Ng« Sü Tïng, PGS.TS Ph¹m Ngäc Béi, PGS.TS NguyÔn Thµnh Quang, TS NguyÔn ThÞ Hång Loan, TS §inh §øc Tµi,... T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n nh÷ng sù gióp ®ì quý b¸u ®ã. NghÖ An, ngµy ... th¸ng ... n¨m 2012 T¸c gi¶ iv Më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi Gi¶i tÝch ngÉu nhiªn lµ mét lÜnh vùc to¸n häc nghiªn cøu c¸c phÐp tÝnh gi¶i tÝch (tÝch ph©n, ®¹o hµm, tÝnh liªn tôc, kh¶ vi, . . . ) ®èi víi qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn, nh»m môc ®Ých x©y dùng c¸c m« h×nh to¸n häc cho c¸c hÖ ®éng lùc cã sù t¸c ®éng cña c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn. Do ®ã, gi¶i tÝch ngÉu nhiªn lµ ngµnh khoa häc cã nhiÒu øng dông trong sinh häc, y häc, vËt lý häc, kinh tÕ, khoa häc x· héi,... vµ ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m nghiªn cøu. Cho ®Õn nay, gi¶i tÝch ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc vµ thêi gian rêi r¹c ®· ®­îc nghiªn cøu kh¸ ®Çy ®ñ. N¨m 1923, N. Wiener ®· sö dông lý thuyÕt ®é ®o ®Ó x©y dùng qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng Brown vµ chøng minh sù tån t¹i duy nhÊt cña nã. Trong c«ng tr×nh cña m×nh, N. Wiener ®· chØ ra r»ng quü ®¹o cña qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng Brown cã biÕn ph©n kh«ng giíi néi. Do ®ã, tÝch ph©n theo qu¸ tr×nh Wiener kh«ng thÓ x©y dùng theo c¸ch th«ng th­êng nh­ lµ tÝch ph©n Lebesgue-Stieljes. §iÒu nµy ®· ®­îc kh¾c phôc bëi K. It«, nhµ to¸n häc ng­êi NhËt b¶n, «ng ®· x©y dùng tÝch ph©n ngÉu nhiªn theo qu¸ tr×nh Wiener vµo n¨m 1944 trong [24]. Sau ®ã, J. L. Doob [8] ®· më réng tÝch ph©n ngÉu nhiªn theo qu¸ tr×nh cã gia sè trùc giao. TÝch ph©n ngÉu nhiªn tiÕp tôc ®­îc më réng ®èi víi martingale b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch bëi P. A. Meyer [40]; bëi H. Kunita vµ S. Watanabe [31]. N¨m 1970, P. A. Meyer vµ C. DolÐans-Dade [42] ®· x©y dùng tÝch ph©n theo martingale ®Þa ph­¬ng b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch. Còng trong n¨m ®ã, C. Dellacherie vµ K. Bichteler ®· x©y dùng tÝch ph©n ngÉu nhiªn theo semimartingale. Ngµy nay, ng­êi ta gäi tÝch ph©n ngÉu nhiªn ®­îc chØ ra ë trªn lµ tÝch ph©n ngÉu nhiªn It« . §èi víi c¸c tÝnh to¸n ngÉu nhiªn víi thêi gian rêi r¹c, c¸c phÐp biÕn ®æi martingale ®­îc xem lµ tÝch ph©n ngÉu nhiªn It«. C«ng thøc It« ®èi víi qu¸ tr×nh Wiener ®· ®­îc K. It« [25] x©y dùng n¨m 1951 vµ ®­îc xem lµ c«ng cô then chèt trong tÝnh to¸n ngÉu nhiªn. N¨m 1967, 1 H. Kunita vµ S. Watanabe [31] ®· më réng c«ng thøc It« ®èi víi martingale b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch; P. A. Meyer [39] ®· më réng c«ng thøc It« ®èi víi martingale cã b­íc nh¶y. C«ng thøc It« ®èi víi semimartingale ®­îc x©y dùng n¨m 1969 bëi McKean trong [36], ®­îc më réng bëi P. A. Meyer vµ C. DolÐans-Dade trong [42]. §èi víi tÝnh to¸n ngÉu nhiªn víi thêi gian rêi r¹c, c«ng thøc It« ®­îc x©y dùng n¨m 2002 bëi D. Kannan vµ B. Zhan trong [28]. N¨m 1953, J. L. Doob [8] ®· ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lý khai triÓn Doob ®èi víi submartingale víi thêi gian rêi r¹c vµ pháng ®o¸n ®Þnh lý ®èi víi submartingale víi thêi gian liªn tôc. C¸c ®Þnh lý nµy ®­îc chøng minh vµo n¨m 1962 vµ 1963 bëi P. A. Meyer (xem [40, 41]). Do ®ã, ng­êi ta gäi ®Þnh lý khai triÓn Doob lµ . ®Þnh lý khai triÓn Doob - Meyer Ph­¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn víi nhiÔu lµ qu¸ tr×nh Wiener ®­îc x©y dùng vµo n¨m 1951 bëi K. It« [26]vµ tiÕp tôc ®­îc nghiªn cøu bëi H. P. McKean [36], I. I. Gihman vµ A. V. Skorohod trong [15]. Ph­¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn víi nhiÔu lµ martingale b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch ®­îc nghiªn cøu bëi N. Kazamaki [29] n¨m 1972. C¸c kÕt qu¶ nµy ®­îc ph¸t triÓn bëi P. E. Protter [44] vµ nhiÒu nhµ to¸n häc kh¸c (xem [23, 27, 32, 45]). Nh÷ng n¨m gÇn ®©y, X. Mao vµ céng sù ®· nghiªn cøu ph­¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn víi nhiÔu lµ semimartingale (xem [33, 34]). Bªn c¹nh ®ã, ph­¬ng tr×nh sai ph©n ngÉu nhiªn lµ d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt cña ph­¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn. Nã ®ãng vai trß quan träng trong nghiªn cøu c¸c hÖ ®éng lùc ngÉu nhiªn. Trong rÊt nhiÒu tr­êng hîp, ng­êi ta th­êng chuyÓn viÖc nghiªn cøu ph­¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn vÒ nghiªn cøu ph­¬ng tr×nh sai ph©n b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p rêi r¹c hãa ph­¬ng tr×nh vi ph©n. Víi nh÷ng ý nghÜa ®ã, ph­¬ng tr×nh sai ph©n ngÉu nhiªn ®­îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m nghiªn cøu (xem [20, 35, 49, 50]). Khi x©y dùng m« h×nh to¸n häc cho c¸c hÖ thèng tiÕn triÓn theo thêi gian 2 ng­êi ta th­êng gi¶ thiÕt hÖ thèng ho¹t ®éng liªn tôc hoÆc rêi r¹c ®Òu, tøc lµ c¸c thêi ®iÓm quan s¸t c¸ch nhau mét kho¶ng cè ®Þnh. Tõ ®ã, c¸c phÐp tÝnh gi¶i tÝch liªn tôc (phÐp tÝnh vi ph©n) vµ rêi r¹c (phÐp tÝnh sai ph©n) ®­îc nghiªn cøu ®Ó m« t¶ hÖ thèng t­¬ng øng víi c¸c gi¶ thiÕt lý t­ëng ®­îc ®Æt ra. Song trªn thùc tÕ, hÇu hÕt c¸c hÖ thèng ho¹t ®éng kh«ng hoµn toµn liªn tôc vµ còng kh«ng hoµn toµn c¸ch ®Òu nhau. §«i khi c¸c quan s¸t cßn xen lÉn c¸c kho¶ng thêi gian liªn tôc víi c¸c thêi ®iÓm rêi r¹c. Ch¼ng h¹n mét loµi s©u nµo ®ã chØ ph¸t triÓn trong suèt mïa hÌ nh­ng ®Õn mïa ®«ng th× sù ph¸t triÓn cña chóng bÞ gi¸n ®o¹n. V× vËy, trong nhiÒu tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh vi ph©n hoÆc sai ph©n kh«ng ®ñ ®Ó m« t¶ c¸c th«ng tin cÇn thiÕt cña m« h×nh. Lý thuyÕt thang thêi gian ra ®êi nh»m kh¾c phôc nh­îc ®iÓm nµy cña gi¶i tÝch cæ ®iÓn. Lý thuyÕt nµy ®­îc ®­a ra lÇn ®Çu tiªn n¨m 1988 bëi S. Hilger, mét nhµ To¸n häc ng­êi §øc (xem [21]). C¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ gi¶i tÝch trªn thang thêi gian cho phÐp chóng ta x©y dùng ®­îc m« h×nh to¸n häc cña c¸c hÖ thèng tiÕn triÓn kh«ng ®Òu theo thêi gian, ph¶n ¸nh ®óng c¸c m« h×nh thùc tÕ. Do ®ã, chñ ®Ò thang thêi gian thu hót ®­îc sù quan t©m nghiªn cøu cña nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi vµ ®· cã nhiÒu c«ng tr×nh ®­îc c«ng bè trªn c¸c t¹p chÝ to¸n häc cã uy tÝn (xem [3, 4, 5, 12, 13, 22]). Cho ®Õn nay, c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ thang thêi gian chØ míi dõng l¹i ë gi¶i tÝch tÊt ®Þnh. V× thÕ c¸c kÕt qu¶ nµy chØ m« t¶ ®­îc c¸c m« h×nh ph¸t triÓn trong c¸c ®iÒu kiÖn m«i tr­êng kh«ng cã nhiÔu biÕn ®æi. HiÓn nhiªn, c¸c m« h×nh thùc tÕ kh«ng nh­ vËy vµ ta ph¶i tÝnh ®Õn c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn t¸c ®éng vµo m«i tr­êng. Do ®ã, viÖc chuyÓn c¸c kÕt qu¶ vÒ gi¶i tÝch trªn thang thêi gian cña c¸c m« h×nh tÊt ®Þnh sang m« h×nh ngÉu nhiªn lµ mét nhu cÇu cÊp thiÕt. Víi c¸c lý do nªu trªn, trªn c¬ së c¸c vÊn ®Ò cña gi¶i tÝch ngÉu nhiªn vµ lý thuyÕt thang thêi gian, chóng t«i lùa chän ®Ò tµi nghiªn cøu cho luËn ¸n lµ: "Mét sè kÕt qu¶ vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian". 3 2. Môc ®Ých nghiªn cøu Môc ®Ých cña luËn ¸n lµ nghiªn cøu lý thuyÕt qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian, nh»m thèng nhÊt vµ më réng mét sè kÕt qu¶ vÒ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn vµ lý thuyÕt qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc. 3. §èi t­îng nghiªn cøu Nghiªn cøu mét sè vÊn ®Ò vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian, cô thÓ lµ ®Þnh lý khai triÓn Doob - Meyer ®èi víi submartingale trªn thang thêi gian; tÝch ph©n ngÉu nhiªn theo semimartingale trªn thang thêi gian; c«ng thøc It« vµ c¸c øng dông; c¸c tÝnh chÊt ®Þnh tÝnh vµ ®Þnh l­îng cña ph­¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian. 4. Ph¹m vi nghiªn cøu Nghiªn cøu mét sè kÕt qu¶ b­íc ®Çu vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian. 5. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu Chóng t«i sö dông ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt. Trªn c¬ së c¸c kÕt qu¶ vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn víi thêi gian rêi r¹c vµ liªn tôc chóng t«i t×m c¸ch tæng qu¸t hãa c¸c kÕt qu¶ ®ã trªn thang thêi gian. 6. ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiÔn Thèng nhÊt vµ më réng mét sè kÕt qu¶ vÒ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn vµ lý thuyÕt qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc. T¹o ra bøc tranh chung cho lý thuyÕt d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn vµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc. Lµm phong phó thªm c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn. Cã thÓ sö dông luËn ¸n lµm tµi liÖu tham kh¶o vÒ lÜnh vùc gi¶i tÝch ngÉu nhiªn cho sinh viªn, häc viªn cao häc vµ nghiªn cøu sinh. 7. Tæng quan vµ cÊu tróc luËn ¸n 7.1. Tæng quan luËn ¸n N¨m 2008, S. Bhamidi vµ céng sù trong [2] ®· c«ng bè kÕt qu¶ nghiªn cøu 4 vÒ chuyÓn ®éng Brown nhËn gi¸ trÞ trªn thang thêi gian. S. Sanyal trong luËn ¸n tiÕn sü cña m×nh n¨m 2008 ®· ®Þnh nghÜa ''tÝch ®éng lùc ngÉu nhiªn ph©n ngÉu nhiªn vµ ph­¬ng tr×nh " trªn thang thêi gian víi hµm h¹t d­¬ng trong [47]. N¨m 2011, S. Sanyal vµ D. Grow [18] ®· c«ng bè kÕt qu¶ cña m×nh vÒ chuyÓn ®éng Brown trªn thang thêi gian. Cho ®Õn nay, míi chØ cã mét sè Ýt kÕt qu¶ nghiªn cøu vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian. Trong khi ®ã, c¸c bµi to¸n vÒ lý thuyÕt qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc vµ rêi r¹c ®· ®­îc nghiªn cøu kh¸ ®Çy ®ñ. Trong luËn ¸n nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè kÕt qu¶ vÒ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian b»ng c¸ch thèng nhÊt vµ më réng c¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh to¸n ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc vµ rêi r¹c. Cô thÓ lµ ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lý khai triÓn Doob - Meyer ®èi víi submartingale trªn thang thêi gian; x©y dùng tÝch ph©n ngÉu nhiªn theo semimartingale trªn thang thêi gian; thiÕt lËp c«ng thøc It« ®èi víi bé d−semimartingale trªn thang thêi gian vµ øng dông; x©y dùng ph­¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn víi nhiÔu lµ martingale b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch, chØ ra mét sè tÝnh chÊt nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nµy. 7.2 CÊu tróc luËn ¸n Ngoµi phÇn më ®Çu, kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o, LuËn ¸n ®­îc chia lµm 3 ch­¬ng. Ch­¬ng 1. Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ. Néi dung chÝnh cña ch­¬ng nµy chñ yÕu tr×nh bµy nh÷ng vÊn ®Ò c¬ b¶n vÒ gi¶i tÝch tÊt ®Þnh vµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian. Ch­¬ng 2. TÝch ph©n ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian. Néi dung cña ch­¬ng nµy ®­îc viÕt thµnh 4 môc: Môc 2.1 tr×nh bµy ®Þnh lý khai triÓn Doob Meyer ®èi víi submartingale trªn thang thêi gian. Môc 2.2 x©y dùng tÝch ph©n ngÉu nhiªn theo martingale b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch, martingale ®Þa ph­¬ng b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch vµ më réng tÝch ph©n ®èi víi semimartingale trªn thang thêi 5 gian. Môc 2.3 x©y dùng c«ng thøc It« ®èi víi bé d−semimartingale trªn thang thêi gian. Môc 2.4 tr×nh bµy ®é ®o ®Õm sinh bëi martingale b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch, øng dông c«ng It« ph¸t biÓu martingale. Ch­¬ng 3. Ph­¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian. Néi dung cña ch­¬ng nµy ®­îc viÕt thµnh 3 môc. Môc 3.1 x©y dùng ph­¬ng tr×nh ®éng lùc ngÉu nhiªn víi nhiÔu lµ martingale b×nh ph­¬ng kh¶ tÝch, chØ ra ®iÒu kiÖn vÒ sù tån t¹i duy nhÊt nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®ã. Môc 3.2 tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ tÝnh Markov cña nghiÖm vµ to¸n tö sinh phô thuéc thêi gian cña qu¸ tr×nh Markov nghiÖm. Môc 3.3 x©y dùng c«ng thøc ­íc l­îng moment ®èi víi nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. NghÖ An, ngµy..... th¸ng .... n¨m 2012 T¸c gi¶ 6 Ch­¬ng 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch­¬ng nµy, chóng t«i tr×nh bµy (kh«ng chøng minh) mét sè kÕt qu¶ c¬ b¶n cña gi¶i tÝch tÊt ®Þnh vµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian ®Ó lµm c¬ së cho viÖc tr×nh bµy néi dung chÝnh cña LuËn ¸n ë c¸c ch­¬ng sau. Mét vµi chç lµ kÕt qu¶ nghiªn cøu cña t¸c gi¶ LuËn ¸n, chóng t«i cã tr×nh bµy chøng minh. 1.1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ gi¶i tÝch trªn thang thêi gian C¸c kÕt qu¶ tr×nh bµy trong môc nµy ®­îc tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu [3] vµ [4]. §Þnh nghÜa 1.1.1. Mét tËp con ®ãng, kh¸c rçng cña tËp sè thùc thang thêi gian (time scales). Ký hiÖu thang thêi gian lµ DÔ thÊy r»ng c¸c tËp hîp: R, R ®­îc gäi lµ T. Z, N, N0 , [0, 1]∪[2, 3], [0, 1]∪N vµ tËp Cantor lµ c¸c thang thêi gian. Trong khi ®ã c¸c tËp hîp: Q, R \ Q, (0, 1) kh«ng ph¶i lµ thang thêi gian v× chóng kh«ng ph¶i lµ c¸c t©p ®ãng. Trong LuËn ¸n, chóng t«i lu«n gi¶ thiÕt r»ng trªn thang thêi gian cã mét t«p«, chÝnh lµ t«p« c¶m sinh cña t«p« th«ng th­êng trªn tËp hîp c¸c sè thùc. 7 §Þnh nghÜa 1.1.2. T Gi¶ sö ¸nh lµ mét thang thêi gian. x¹ σ :T→T x¸c ®Þnh bëi σ(t) = inf{s ∈ T : s > t}, ®­îc gian gäi lµ to¸n tö b­íc nh¶y tiÕn (forward jump operator) trªn thang thêi T. ¸ nh x¹ ρ:T→T x¸c ®Þnh bëi ρ(t) = sup{s ∈ T : s < t}, ®­îc gian gäi lµ to¸n tö b­íc nh¶y lïi (backward jump operator) trªn thang thêi T. Quy ­íc inf ∅ = sup T phÇn tö lín nhÊt lµ gian T M (nghÜa lµ sup ∅ = inf T ) vµ cã phÇn tö nhá nhÊt lµ §Þnh nghÜa 1.1.3. Gi¶ sö T ρ(t) < t lµ mét thang thêi gian. Mét ®iÓm σ(t) = t ký hiÖu t­¬ng tù, ký hiÖu c¸c tËp hîp nÕu thang thêi , t∈T ®­îc gäi c« lËp ph¶i (right-scattered) nÕu , c« lËp tr¸i (left-scattered) nÕu t võa c« lËp tr¸i võa c« lËp ph¶i. lµ tËp hîp {t ∈ T : a 6 t 6 b}, (a, b]; (a, b); [a, b) t­¬ng øng lµ c¸c tËp hîp [a, b] {t ∈ T : a < t 6 b}; {t ∈ T : a < t < b}; {t ∈ T : a 6 t < b}. Ta = {t ∈ T : t > a} vµ   T kT =  T \ [m, σ(m)) Tk = cã ρ(t) = t vµ lµ ®iÓm c« lËp (isolated) nÕu a, b ∈ T, ρ(m) = m T ). , trï mËt tr¸i (left-dense) nÕu Víi mçi (nghÜa lµ nÕu thang thêi gian m lµ trï mËt ph¶i (right-dense) nÕu σ(t) > t σ(M ) = M   T  T \ (ρ(M ), M ] 8 nÕu min T = −∞ nÕu min T = m, nÕu max T = +∞ nÕu max T = M. Ký hiÖu Ký hiÖu I1 = {t : t MÖnh ®Ò 1.1.4. c« lËp tr¸i TËp hîp c« lËp ph¶i }, I = I1 ∪ I2 . (1.1) gåm tÊt c¶ c¸c ®iÓm c« lËp tr¸i hoÆc c« lËp ph¶i T lµ tËp kh«ng qu¸ ®Õm ®­îc. cña thang thêi gian §Þnh nghÜa 1.1.5. I }, I2 = {t : t Gi¶ sö T lµ thang thêi gian. ¸nh x¹ µ : Tk → R+ x¸c ®Þnh bëi µ(t) = σ(t) − t, ®­îc gäi lµ hµm h¹t tiÕn (forward graininess function) trªn thang thêi gian ¸nh x¹ ν : T → R+ T. x¸c ®Þnh bëi ν(t) = t − ρ(t), ®­îc gäi lµ hµm h¹t lïi (backward graininess function) trªn thang thêi gian VÝ dô 1.1.6. +) NÕu +) NÕu +) Víi T=Z h T=R th× th× T. ρ(t) = t = σ(t), µ(t) = ν(t) = 0; ρ(t) = t − 1, σ(t) = t + 1, µ(t) = ν(t) = 1. lµ sè thùc d­¬ng, chóng ta ®Þnh nghÜa thang thêi gian T = hZ x¸c ®Þnh nh­ sau: hZ = {kh : k ∈ Z} = {· · · − 3h, −2h, −h, 0, h, 2h, 3h, · · · }, khi ®ã ρ(t) = t − h, σ(t) = t + h, µ(t) = ν(t) = h. +) Víi a, b lµ c¸c sè thùc d­¬ng, ta xÐt thang thêi gian Pa,b = ∞ [ T = Pa,b [k(a + b), k(a + b) + b]. k=1 Khi ®ã, σ(t) =    t   t + a nÕu nÕu t∈ ∞ S t∈ k=1 ∞ S [k(a + b), k(a + b) + b) {k(a + b) + b}, k=1 9 nh­ sau ρ(t) =    t nÕu   t − a µ(t) =    0 nÕu ∞ S t∈ k=1 ∞ S nÕu ∞ S t∈ k=1 ∞ S [k(a + b), k(a + b) + b) {k(a + b) + b} k=1    0 nÕu   a +) Víi {k(a + b)}, t∈ vµ ν(t) = (k(a + b), k(a + b) + b] k=1 nÕu   a t∈ nÕu t∈ ∞ S t∈ k=1 ∞ S (k(a + b), k(a + b) + b] {k(a + b)}. k=1 n ∈ N0 , xÐt d·y sè ®iÒu hßa H0 = 0, Hn = n X 1 k=1 k , n > 1. X¸c ®Þnh thang thêi gian nh­ sau H = {Hn : n ∈ N}. Khi ®ã, σ(Hn ) = n+1 X 1 k=1 k , ρ(Hn ) =  n−1 P1    k   0 vµ µ(Hn ) = §Þnh nghÜa 1.1.7.   1 1 n , ν(Hn ) =  n+1 0 Cho hµm sè i) chÝnh quy (regulated) nÕu f :T→R f nÕu n>2 nÕu n = 0, 1, k=1 nÕu n>1 nÕu n = 0. . Hµm sè f ®­îc gäi lµ cã giíi h¹n tr¸i t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt tr¸i vµ cã giíi h¹n ph¶i t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt ph¶i. 10 ii) rd−liªn tôc ( rd−continuous ) nÕu f liªn tôc t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt ph¶i vµ cã giíi h¹n tr¸i t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt tr¸i. TËp hîp c¸c hµm tôc ký hiÖu lµ iii) Crd hoÆc ( ) nÕu f liªn tôc t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt tr¸i, cã giíi h¹n ph¶i t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt ph¶i. Gi¶ sö Cld hoÆc liªn Crd (T, R). ld−liªn tôc ld−continuous ký hiÖu lµ rd− TËp hîp c¸c hµm ld− liªn tôc Cld (T, R). f :T→R lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn T. Khi ®ã, chóng ta viÕt f ρ : T → R lµ hµm sè x¸c ®Þnh bëi f ρ = f◦ ρ, nghÜa lµ f ρ (t) = f (ρ(t)) víi mäi t∈ k T. Ký hiÖu lim f (s) bëi f (t− ) hoÆc ft− σ(s)↑t t lµ ®iÓm c« lËp tr¸i th× ft− = f ρ (t). r»ng nÕu §Þnh lý 1.1.8. Gi¶ sö f : T → R lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn T. Khi ®ã, i) NÕu f lµ hµm sè liªn tôc th× ii) NÕu f lµ hµm sè f lµ hµm sè §Þnh nghÜa 1.1.9. f l©n cËn U Gi¶ sö t ∈ kT cña t σ rd−liªn tôc vµ ld−liªn tôc. lµ hµm sè chÝnh quy. lµ hµm sè ld−liªn tôc th× f ρ ®­îc gäi lµ cã ®¹o hµm) t¹i lµ hµm sè rd−liªn tôc. ρ lµ hµm sè ld−liªn tôc. iv) To¸n tö b­íc nh¶y lïi v) NÕu f rd−liªn tôc th× f iii) To¸n tö b­íc nh¶y tiÕn Hµm sè nÕu tån t¹i giíi h¹n tr¸i. Ta thÊy f còng lµ hµm sè lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn ∇−®¹o hµm nÕu tån t¹i T , nhËn gi¸ trÞ trªn (cã ®¹o hµm Hilger hoÆc ®¬n gi¶n f ∇ (t) ∈ R sao cho víi mäi ε>0 ®­îc gäi lµ ∇−®¹o hµm cña hµm sè f 11 t¹i t. víi mäi R . cã tån t¹i mét ®Ó |f (ρ(t)) − f (s) − f ∇ (t)(ρ(t) − s)| 6 ε|ρ(t) − s| f ∇ (t) ∈ R ld−liªn tôc. s ∈ U. NÕu hµm sè f ∇− cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm t ∈ kT th× f ®­îc gäi lµ cã ∇−®¹o hµm trªn T . VÝ dô 1.1.10. +) NÕu +) NÕu T=Z §Þnh lý 1.1.11. T=R th× Gi¶ sö th× f ∇ (t) ≡ f 0 (t) chÝnh lµ ®¹o hµm th«ng th­êng. f ∇ (t) = f (t) − f (t − 1) f :T→R chÝnh lµ sai ph©n lïi cÊp mét. lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn T vµ t∈ k T. Khi ®ã, ∇−®¹o hµm t¹i t th× f i) NÕu hµm sè f cã ii) NÕu hµm sè f liªn tôc t¹i ®iÓm c« lËp tr¸i f ∇ (t) = iii) NÕu t lµ ®iÓm trï mËt tr¸i th× f lµ hµm sè liªn tôc t¹i t th× f cã t. ∇−®¹o hµm t¹i t vµ f (t) − f (ρ(t)) . ν(t) lµ hµm sè cã ∇−®¹o hµm t¹i t nÕu vµ chØ nÕu giíi h¹n f (t) − f (s) , s→t t−s lim tån t¹i vµ h÷u h¹n. Trong tr­êng hîp ®ã, f (t) − f (s) . s→t t−s f ∇ (t) = lim iv) NÕu hµm sè f cã ∇−®¹o hµm t¹i t th× f ρ (t) = f (t) − ν(t)f ∇ (t). §Þnh lý 1.1.12. Gi¶ sö f, g : T → R lµ c¸c hµm sè x¸c ®Þnh trªn ∇−®¹o hµm t¹i t ∈ k T. Khi ®ã, i) Hµm tæng f + g : T → R cã ∇−®¹o hµm t¹i t vµ (f + g)∇ (t) = f ∇ (t) + g ∇ (t). 12 T vµ cã ii) Hµm tÝch f g : T → R cã ∇−®¹o hµm t¹i t vµ ta cã quy t¾c ®¹o hµm cña tÝch (f g)∇ (t) = f ∇ (t)g(t) + f ρ (t)g ∇ (t) = f (t)g ∇ (t) + f ∇ (t)g ρ (t). iii) NÕu f g g(t)g ρ (t) 6= 0, th× hµm sè cã ∇−®¹o hµm t¹i t vµ quy t¾c ®¹o hµm cña th­¬ng lµ  ∇ f f ∇ (t)g(t) − f (t)g ∇ (t) . (t) = g g(t)g ρ (t) Sau ®©y lµ quy t¾c tÝnh ®¹o hµm cña lòy thõa bËc §Þnh lý 1.1.13. (i) NÕu f Gi¶ sö n. α lµ mét h»ng sè vµ n ∈ N. Khi ®ã, f (t) = (t − α)n lµ hµm sè x¸c ®Þnh bëi ∇ f (t) = n−1 X th× (ρ(t) − α)i (t − α)n−i−1 . i=0 (ii) NÕu g lµ hµm sè x¸c ®Þnh bëi ∇ g (t) = − g(t) = n−1 X i=0 víi ®iÒu kiÖn 1 (t−α)n th× 1 (ρ(t) − α)n−i (t − α)i+1 , (t − α)(ρ(t) − α) 6= 0. §Þnh nghÜa 1.1.14. Hµm sè p x¸c ®Þnh trªn thang thêi gian T ®­îc gäi lµ håi quy (regressive) nÕu 1 + µ(t)p(t) 6= 0, víi mäi t ∈ Tk . Ký hiÖu R = {p : T → R : p lµ R+ = {p : T → R : p lµ rd − liªn tôc vµ rd − liªn tôc vµ 13 1 + µ(t)p(t) 6= 0}. 1 + µ(t)p(t) > 0}. TiÕp theo, chóng t«i giíi thiÖu s¬ bé vÒ ®é ®o Lebesgue-Stieltjes trªn thang thêi gian. Gi¶ sö A lµ hµm t¨ng, liªn tôc ph¶i, x¸c ®Þnh trªn {(a; b] : a, b ∈ T} Khi ®ã, M1 T. Ký hiÖu M1 = lµ hä tÊt c¶ c¸c kho¶ng më bªn tr¸i vµ ®ãng bªn ph¶i cña lµ nöa vµnh c¸c tËp con cña T. LÊy m1 lµ hµm tËp x¸c ®Þnh trªn T. M1 vµ ®­îc x¸c ®Þnh bëi m1 ((a, b]) = Ab − Aa . Chóng ta thÊy r»ng m1 lµ hµm tËp céng tÝnh ®Õm ®­îc trªn lµ më réng CarathÐodory cña hµm tËp ∇A −®é (1.2) ®o Lebesgue - Stieltjes m1 liªn kÕt víi hä liªn kÕt víi A M1 M1 . Ký hiÖu µA ∇ vµ nã ®­îc gäi lµ trªn thang thêi gian T. Chóng ta chøng minh ®­îc c¸c kÕt qu¶ sau: Víi t ∈ k T, tËp mét ®iÓm {t} lµ ∇A −®o ®­îc vµ µA ∇ ({t}) = At − At− . Víi a, b ∈ T vµ a 6 b, A A µA ∇ ((a, b)) = Ab− − Aa ; µ∇ ([a, b)) = Ab− − Aa− ; µ∇ ([a, b]) = Ab − Aa− . Chøng minh chi tiÕt cho c¸c kÕt qu¶ nµy cã thÓ xem trong [5]. A ⊂ k T lµ mét tËp µA ∇ −®o ®­îc vµ f : T → R lµ mét hµm sè µ∇ −®o R ®­îc. Ký hiÖu E fτ ∇Aτ lµ tÝch ph©n cña hµm sè f liªn kÕt víi ®é ®o µA ∇ trªn E LÊy E ∇A −tÝch ph©n Lebesgue - Stieltjes. NÕu A(t) = t víi mäi t ∈ T R ta cã µA lµ ∇− ®é ®o Lebesgue trªn T vµ ∇ E fτ ∇τ lµ ∇− tÝch ph©n Lesbesgue. Rb R Trong luËn ¸n, chóng t«i sö dông ký hiÖu a f (τ )∇τ thay cho (a,b] f (τ )∇τ. vµ ®­îc gäi lµ Sau ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt quen thuéc cña §Þnh lý 1.1.15. hµm sè i) Rb Gi¶ sö a, b, c ∈ T, α ∈ R ∇−tÝch ph©n. vµ f : T → R, g : T → R ld−liªn tôc. Khi ®ã, a (f (τ ) + g(τ ))∇τ = Rb a f (τ )∇τ + 14 Rb a g(τ )∇τ ; lµ c¸c
- Xem thêm -