Tài liệu Một số kết quả dạng farkas cho các hệ không lồi và áp dụng vào lý thuyết tối ưu ncs. trần hồng mơ

  • Số trang: 28 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 80 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8489 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN HỒNG MƠ MỘT SỐ KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO CÁC HỆ KHÔNG LỒI VÀ ÁP DỤNG VÀO LÝ THUYẾT TỐI ƯU Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu Mã số: 62 46 20 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh-2015 Công trình này được hoàn thành tại: • Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Tp. HCM Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Nguyễn Định Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Huy Phản biện 2: PGS.TS. Đinh Ngọc Thanh Phản biện 3: PGS.TS. Phạm Hoàng Quân Phản biện độc lập 1: TS. Bùi Trọng Kiên Phản biện độc lập 2: TS. Nguyễn Xuân Hải Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Tp. HCM vào lúc ........... giờ ........... ngày ........... tháng ........... năm ........... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM - Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên MỞ ĐẦU Bổ đề Farkas được đưa ra đầu tiên vào năm 1894 bởi nhà toán học và vật lý học người Hungary - Gyula Farkas khi ông nghiên cứu bài toán cân bằng trong cơ khí. Tuy nhiên, đến tám năm sau, năm 1902, ông mới đưa ra được chứng minh đúng của bổ đề. Bổ đề này được phát biểu như sau: cho bất kỳ các vectơ a1 , a2 , · · · , am và c trong Rn . Khi đó các mệnh đề sau đây tương đương: (i) x ∈ Rn , aTi x ≥ 0, i = 1, 2, . . . , m =⇒ cT x ≥ 0; P (ii) ∃λi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , m, c = m i=1 λi ai . Trong những năm 1950, sau khi Gale, Kuhn, và Tucker áp dụng thành công bổ đề này vào quy hoạch tuyến tính và quy hoạch phi tuyến, Bổ đề Farkas đã trở thành một trong những công cụ nổi tiếng trong tối ưu và trong toán ứng dụng. Kể từ đó, có nhiều nỗ lực mở rộng bổ đề này, và các kết quả này đã có nhiều ứng dụng không chỉ trong toán ứng dụng mà còn trong các lĩnh vực khác như tài chính và kinh tế. Về lý thuyết, dạng mở rộng cho hệ lồi của Bổ đề Farkas, gọi là Bổ đề FarkasMinkowski, đã được chứng minh tương đương với Định lý Hahn-Banach. Hơn nữa, bổ đề này là “dạng toán" của nguyên lý cơ bản thứ nhất của toán tài chính. Bởi tầm quan trọng, trong những thập kỷ cuối của thế kỷ 20, nó liên tục được phát triển bởi nhiều nhà toán học từ hệ tuyến tính đến hệ lồi, không lồi; từ không gian hữu hạn chiều đến không gian vô hạn chiều; từ hàm đơn trị đến hàm đa trị. Chú ý rằng những dạng mở rộng của Bổ đề Farkas trong không gian vô hạn chiều hoặc cho hệ phi tuyến chỉ xảy ra khi có điều kiện chính quy nào đó như điều kiện Slater hoặc các dạng tổng quát của nó (được gọi là điều kiện về điểm trong). Gần đây, các tác giả V. Jeyakumar, N. Dinh, R. Burachik, R. I. Bot, G. Wanka đã giới thiệu một số điều kiện chính quy gọi là điều kiện về tính đóng, điều kiện này yếu hơn điều kiện về điểm trong. Hơn nữa, điều kiện về tính đóng này được chứng minh là điều kiện cần và đủ để đảm bảo tồn tại Bổ đề Farkas mở rộng. Tất cả các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas được gọi là “các kết quả dạng Farkas" và chúng có nhiều áp dụng trong tối ưu. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn đề, câu hỏi mở chưa được giải chẳng hạn như Bổ đề Farkas có thể được thiết lập cho hệ liên quan hàm hợp? cho hệ liên quan hàm vectơ? Các kết quả này nếu thiết lập được thì giúp ích gì trong việc nghiên cứu lớp bài toán liên quan hàm hợp hoặc bài toán tối ưu vectơ? Mặt khác, trong những năm gần đây đã xuất hiện một số dạng mở rộng Bổ đề Farkas không có điều kiện chính quy. Câu hỏi quan trọng sau cùng, có hay không mối quan hệ giữa các dạng mở rộng của Bổ đề Farkas và các định lý cơ bản trong giải tích toán học? Từ những vấn đề vừa nêu, trong luận án này chúng tôi đặt kế hoạch nghiên cứu các vấn đề sau: 1 Vấn đề 1. Bổ đề Farkas cho hệ liên quan hàm hợp: Nghiên cứu và thiết lập một số dạng tổng quát Bổ đề Farkas cho hệ liên quan hàm hợp có/không có tính lồi và nửa liên tục dưới. Áp dụng các kết quả nhận được vào bài toán tối ưu liên quan hàm hợp với lồi/không lồi. Vấn đề 2. Bổ đề Farkas mở rộng và các định lý cơ bản trong toán học: Như đã đề cập ở trên, Bổ đề Farkas tương đương Định lý Hahn-Banach. Vì thế, một câu hỏi tự nhiên: Có tồn tại hay không các dạng mở rộng của Định lý Hahn-Banach tương đương với các dạng mở rộng gần đây hoặc dạng mới của Bổ đề Farkas? Vấn đề 3. Bổ đề Farkas theo dãy và Định lý Hahn-Banach xấp xỉ Thiết lập các dạng mới của Bổ đề Farkas không có điều kiện chính quy (gọi là Bổ đề Farkas theo dãy). Tìm các dạng mới của Định lý Hahn-Banach không có điều kiện chính quy (gọi là Định lý Hahn-Banach xấp xỉ) tương đương với Bổ đề Farkas theo dãy. Trong thời gian nghiên cứu thực hiện luận án, chúng tôi đã phần nào trả lời được các vấn đề đã nêu ở trên. Cụ thể, chúng tôi nhận được các kết quả sau đây liên quan đến các Vấn đề 1, 2 và 3: Các kết quả dạng Farkas cho hệ liên quan hàm hợp (Chương 2). Xét bất đẳng thức liên quan hàm hợp có dạng: f (x) + g(x) + (k ◦ H)(x) ≥ h(x) ∀x ∈ X. (1) Chúng tôi nhận được các kết quả sau: • Sáu loại điều kiện chính quy dùng để thiết lập các kết quả dạng Farkas liên quan bất đẳng thức (1) mà không đòi hỏi tính lồi cũng như tính nửa liên tục dưới. • Các kết quả dạng Farkas được thiết lập dưới điều kiện yếu nhất. • Thiết lập được các kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát liên quan hàm hợp. Các kết quả này mở rộng các kết quả trước đây theo ba mặt: các hàm không cần lồi, giả thiết yếu hơn, và các điều kiện là cần và đủ. • Nhiều định lý thay thế, các đặc trưng của tập bao hàm của một tập lồi trong tập DC hoặc tập lồi ngược, và các kết quả đối ngẫu Fenchel-Rockafellar được suy ra. Các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý Hahn-Banach dưới điều kiện dạng Slater (Chương 3). • Thiết lập được các dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón K (K -lồi) và hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính (S -lồi) dưới điều kiện dạng Slater không có tính nửa liên tục dưới và tính đóng. • Mở rộng Định lý Hahn-Banach-Lagrange và dạng mở rộng này tương đương với các dạng mới của Bổ đề Farkas vừa đề cập ở trên. 2 • Các kết quả này mở rộng các định lý cơ bản khác như Định lý sandwich, Định lý Mazur-Orlicz, và Định lý Hahn-Banach cho hàm dưới tuyến tính mở rộng. • Các kết quả trên cũng được áp dụng để nhận các kết quả về đối ngẫu và điều kiện tối ưu cho lớp bài toán tối ưu liên quan ánh xạ S -lồi. • Như các ví dụ minh họa, chúng tôi xét bài toán penalty, công thức đối ngẫu của supremum một họ các hàm lồi (vô hạn, không nửa liên tục dưới), và bài toán liên quan đến định lý đối ngẫu Fenchel tổng quát và định lý tách tập lồi. Từ Bổ đề Farkas đến Định lý Hahn-Banach (Chương 4). Các kết quả trong chương này là mở rộng và phát triển các kết quả trong Chương 3. Các kết quả này được thiết lập với điều kiện yếu nhất (điều kiện cần và đủ). Cụ thể: • Thiết lập được các điều kiện tính đóng mới−đặc trưng hóa các Bổ đề Farkas cho hệ K-lồi và hệ S-lồi. • Các Bổ đề Farkas mở rộng suy ra đặc trưng cho các dạng giải tích của Định lý Hahn-Banach-Lagrange, Định lý Mazur-Orlicz cho hàm dưới tuyến tính mở rộng. • Các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý Hahn-Banach-Lagrange tương đương nhau. Các bổ đề Farkas theo dãy và các định lý Hahn-Banach xấp xỉ (Chương 5). • Các dạng mới của bổ đề Farkas theo dãy cho hệ K-lồi và hệ S-lồi được thiết lập. • Các dạng xấp xỉ của định lý Hahn-Banach-Lagrange được suy ra. • Các dạng mới của bổ đề Farkas theo dãy và định lý Hahn-Banach-Lagrange xấp xỉ tương đương nhau. Chúng có thể suy ra được các dạng xấp xỉ của định lý Hahn-Banach, định lý sandwich cho hàm dưới tuyến tính mở rộng. • Các kết quả này được áp dụng vào lớp bài toán tối ưu liên quan ánh xạ S-lồi. Chúng tôi giới thiệu một công thức đối ngẫu xấp xỉ của supremum của họ (vô hạn) các hàm lồi. Nội dung chính của luận án được trích từ các bài báo được đăng trên tạp chí chuyên ngành quốc tế. Trong bản tóm tắt này, tên của các chương, mục, mệnh đề, định lí, v.v... được giữ nguyên như trong luận án. Vì giới hạn số trang của bản tóm tắt nên chúng tôi chỉ trình bày những kết quả chính. 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa và kiến thức cơ bản sẽ được sử dụng trong luận án này. Vì sự giới hạn về số trang của bản tóm tắt nên chúng tôi chỉ trình bày ngắn gọn. Người đọc có thể tra cứu trong các quyển sách về giải tích lồi của Zalinescu, R. I. Bot, D. T. Luc, H.H. Bauschke và P.L. Combettes... Cho X và Y là các không gian tôpô lồi địa phương. X ∗ và Y ∗ là không gian đối ngẫu (tương ứng), được trang bị tôpô yếu∗ . Hàm chỉ trên tập A ⊂ X (hoặc A ⊂ Y ), iA , được định bởi: iA (x) := 0 nếu x ∈ A và iA (x) := +∞ nếu x ∈ / A. Hàm đối ngẫu của f : X → R ∪ {+∞} là hàm f ∗ : X ∗ → R ∪ {±∞} được định bởi f ∗ (x∗ ) = sup {hx∗ , xi − f (x)} , ∀x∗ ∈ X ∗ . x∈X Tập trên đồ thị của f là epi f := {(x, r) ∈ X × R : x ∈ domf, f (x) ≤ r}. Tập tất cả các hàm lồi chân chính nửa liên tục dưới xác định trên X được ký hiệu bởi Γ (X) . Với  ≥ 0, -dưới vi phân của hàm chân chính f tại x̄ ∈ dom f được định bởi ∂ f (x̄) = {x∗ ∈ X ∗ | f (x) − f (x̄) ≥ hx∗ , x − x̄i −  ∀x ∈ dom f }. Cho K là nón trong Y , K + kí hiệu nón đối ngẫu của K , định bởi K + := {y ∗ ∈ Y ∗ | hy ∗ , yi ≥ 0 với mọi y ∈ K}. Chúng tôi định nghĩa ≤K là quan hệ thứ tự trên Y bởi nón lồi K chứa 0Y ∈ Y , nghĩa là, y1 ≤K y2 nếu y2 − y1 ∈ K. Chúng tôi thêm vào Y một phần tử lớn nhất theo quan hệ ≤K , kí hiệu ∞K , phần tử này không thuộc Y và đặt Y • = Y ∪ {∞K }. Khi đó ta có y ≤K ∞K for every y ∈ Y • . Một ánh xạ h : X → Y • , chúng tôi gọi miền xác định của h là tập dom h = {x ∈ X : h(x) ∈ Y }, và h là chân chính nếu dom h 6= ∅. K -epigraph của h là tập epiK h := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ h(x) + K}. Hơn nữa, với bất kỳ y ∗ ∈ Y ∗ và h : X → Y • chúng ta định nghĩa hàm hợp y ∗ ◦ h : X → R ∪ {+∞} như sau:  ∗ hy , h(x)i , nếu x ∈ domh, ∗ (y ◦ h)(x) = +∞, khác. 4 Định nghĩa 1.0.1 Ánh xạ h : X → Y • được gọi là K -lồi nếu x1 , x2 ∈ X, µ ∈ [0, 1] ⇒ h((1 − µ)x1 + µx2 ) ≤K (1 − µ)h(x1 ) + µh(x2 ), trong đó ≤K là quan hệ mở rộng trên Y • bởi quy ước y ≤K ∞K với mọi y ∈ Y • . Rõ ràng h là K -lồi nếu và chỉ nếu epiK h là tập lồi. Định nghĩa 1.0.2 Ánh xạ h : X → Y • được gọi là K -epi closed nếu epiK h là tập đóng trong không gian tích. Định nghĩa 1.0.3 S : Y → R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính (mở rộng) nếu y1 , y2 ∈ Y ⇒ S(y1 + y2 ) ≤ S(y1 ) + S(y2 ), (a) y ∈ Y và α > 0 ⇒ S(αy) = αS(y). (b) và Chúng tôi giả sử S(0Y ) = 0 (quy ước này phù hợp với S là nửa liên tục dưới). Hàm S như thế có thể mở rộng trên Y • bởi quy ước S(∞K ) = +∞. Một hàm dưới tuyến tính mở rộng S : Y → R ∪ {+∞} cho phép ta giới thiệu một quan hệ hai ngôi trong Y • : y1 ≤S y2 nếu S(y1 − y2 ) ≤ 0. Định nghĩa 1.0.4 Ánh xạ h : X →Y • được gọi là S -lồi (mở rộng) nếu với mọi x1 , x2 ∈ X, µ1 , µ2 > 0, µ1 + µ2 = 1, ta có h(µ1 x1 + µ2 x2 ) ≤S µ1 h(x1 ) + µ2 h(x2 ). Dễ dàng thấy rằng nếu h là S -lồi thì h là K -lồi với K := {y ∈ Y : S(−y) ≤ 0}. Ngược lại, nếu h là K -lồi với K là nón lồi thì h là S -lồi với S = i−K . Định nghĩa 1.0.5 Cho (ai )i∈I là lưới các số thực mở rộng xác định trên tập định hướng (I, >). Chúng ta định nghĩa giới hạn dưới của một lưới (ai )i∈I là lim inf ai := lim inf aj = sup inf aj . i∈I i∈I j >i i∈I j >i Tương tự, ta định nghĩa giới hạn trên của một lưới (ai )i∈I là lim sup ai := lim sup aj = inf sup aj . i∈I i∈I j >i i∈I j >i Ta nói rằng (ai )i∈I hội tụ đến a ∈ R, kí hiệu lim ai = a hoặc ai −→ a, nếu với i∈I bất kì  > 0, tồn tại i0 ∈ I sao cho |ai − a| <  với mọi i > i0 . Bây giờ lấy (u∗i )i∈I là lưới trong không gian tôpô X ∗ . Ta nói rằng (u∗i )i∈I hội tụ về u∗ ∈ X ∗ theo tôpô w∗ nếu limhu∗i , xi = hu∗ , xi for all x ∈ X, và viết u∗i −→∗ u∗ . i∈I 5 Chương 2 KẾT QUẢ DẠNG FARKAS CHO HỆ LIÊN QUAN HÀM HỢP Trong chương này, chúng tôi đưa ra những điều kiện liên quan đến bất đẳng thức f (x) + g(x) + (k ◦ H)(x) ≥ h(x) ∀x ∈ X. (1) Khi đó những điều kiện này chính là điều kiện cần và đủ cho những kết quả dạng Farkas liên quan đến (1) không có giả thiết lồi và nửa liên tục dưới. Những kết quả này mở rộng và bao gồm nhiều kết quả dạng Farkas trước đây. Hơn nữa chúng được áp dụng vào giải tích lồi và tối ưu: định lý dạng thay thế, các đặc trưng của tập bao hàm và công thức đối ngẫu Fenchel-Rockafellar. 2.1 Các điều kiện chính quy đối ngẫu và mối liên hệ của chúng Trong phần này chúng tôi giới thiệu mối liên hệ giữa các điều kiện đối ngẫu thuần túy đại số . 2.1.1 Các điều kiện chính quy đối ngẫu thuần túy đại số Cho X, Y là các không gian vectơ tôpô lồi Hausdorff (k.g.v.t.l.H) với X ∗ , Y ∗ là các không gian đối ngẫu tương ứng, f, g, h : X → R ∪ {+∞} là các hàm chân chính, H : dom H ⊂ X → Y là ánh xạ, và k : Y → R ∪ {+∞} là hàm chân chính. Chú ý các hàm không nhất thiết lồi và cũng không nửa liên tục dưới. Bây giờ chúng tôi giới thiệu các điều kiện sau: [ (CA) epi f ∗ + epi g ∗ + epi(λH − k ∗ (λ))∗ = epi(f + g + k ◦ H)∗ , λ∈dom k∗ (CB) epi f ∗ + [ epi(g + λH − k ∗ (λ))∗ = epi(f + g + k ◦ H)∗ , λ∈dom k ∗ [ (CC) epi(f + g)∗ + epi(λH − k ∗ (λ))∗ = epi(f + g + k ◦ H)∗ , λ∈dom k∗ (CD) epi g ∗ + [ epi(f + λH − k ∗ (λ))∗ = epi(f + g + k ◦ H)∗ , λ∈dom k∗ (CE) [ epi(f + g + λH − k ∗ (λ))∗ = epi(f + g + k ◦ H)∗ , λ∈dom k∗ ∗ (CF) epi f + epi(g + k ◦ H)∗ = epi(f + g + k ◦ H)∗ . 6 Sau đây là mối liên hệ giữa các điều kiện trên. Định lý 2.1.1 Các phép kéo theo sau đây xảy ra: (CF) ! J !  J        (CB)                     a a ! (CC) (CA) ! Z ZZ ZZ ZZ ZZ ZZS ` Z ` S (CD) Z Z Z Z Z Z   Z Z Z Z Z Z S ` ` S a a ! ! (CE)          Với (A) =⇒ (B) nghĩa là (A) suy ra (B). 2.1.2 Các điều kiện chính quy đối ngẫu với tính lồi Bây giờ giả sử f, g ∈ Γ(X), k ∈ Γ(Y ), λH ∈ Γ(X) với mọi λ ∈ dom k ∗ , và dom(f + g + k ◦ H) 6= ∅. Khi đó ta được Mệnh đề 2.1.1 Các mệnh đề sau tương đương: (i) epi (f + g + k ◦ H)∗ = C nếu và chỉ nếu C là đóng yếu∗ , (ii) epi (f + g + k ◦ H)∗ = D nếu và chỉ nếu D là đóng yếu∗ , (iii) epi (f + g + k ◦ H)∗ = E nếu và chỉ nếu E là đóng yếu∗ , (iv) epi (f + g + k ◦ H)∗ = F nếu và chỉ nếu F là đóng yếu∗ . 2.2 Các đặc trưng của điều kiện chính quy đối ngẫu– Kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát Sau đây chúng tôi thiết lập đặc trưng cho các điều kiện (CA)–(CF). Các đặc trưng này chính là các kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát. Các kết quả này mở rộng và bao gồm các kết quả đối ngẫu Fenchel, định lý Moreau-Rockafellar. 2.2.1 Điều kiện chính quy đối ngẫu đặc trưng kết quả Moreau-Rockafellar tổng quát Giả sử rằng f, g, k , λH (λ ∈ Y ∗ ) là các hàm chân chính không nhất thiết lồi và nửa liên tục dưới và dom(f + g + k ◦ H) 6= ∅. Định lý 2.2.1 Các mệnh đề sau đây tương đương: 7 (a) (CA) xảy ra, (b) Với mọi x∗ ∈ X ∗ , (f + g + k ◦ H)∗ (x∗ ) n o = min ∗ f ∗ (u) + g ∗ (v) + (λH)∗ (x∗ − u − v) + k ∗ (λ) , λ∈dom k u∈dom f ∗ , v∈dom g ∗ (c) Với mọi x̄ ∈ dom(f + g + k ◦ H) và mọi  ≥ 0, = ∂ (f + g + k ◦ H)(x̄) [ [ n o ∂1 f (x̄) + ∂2 g(x̄) + ∂3 (λH)(x̄) . 1 ,2 ,3 ≥0 λ∈dom k∗ 1 +2 +3 +k∗ (λ)+(k◦H)(x̄)=+(λH)(x̄) Các đặc trưng cho (CB), (CC), (CD), (CE) và (CF) được thiết lập tương tự. 2.2.2 Các trường hợp đặc biệt Các đặc trưng cho các điều kiện (CA)–(CF) có thể mở rộng các kết quả trước đây. Trường hợp đặc biệt với H = A ∈ L(X, Y ), trong đó L(X, Y ) là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y . Khi đó ta nhận được kết quả mà đã được thiết lập trong quyển sách của R. I. Bot (2010) và bài báo của R. I. Bot, S. M. Grad and G. Wanka (2008) với giả thiết f lồi nửa liên tục dưới, k là lồi nửa liên tục dưới và K -tăng. Các kết quả ở đây chúng tôi không sử dung các giả thiết vừa nêu. Kí hiệu A∗ là toán tử đối ngẫu của A và (A∗ × IdR )(epi k ∗ ) là tập ảnh của epi k ∗ qua hàm A∗ × IdR : Y ∗ × R −→ X ∗ × R, được định bởi (A∗ × IdR )(y ∗ , r) = (A∗ y ∗ , r). Hệ quả 2.2.2. Giả sử A ∈ L(X, Y ). Giả sử rằng epi (f + k ◦ A)∗ = epi f ∗ + (A∗ × IdR )(epi k ∗ ). (2) Khi đó (a) Với mọi x∗ ∈ dom(f + k ◦ A)∗ , (f + k ◦ A)∗ (x∗ ) = min [k ∗ (λ) + f ∗ (x∗ − A∗ λ)], λ∈domk∗ (b) Nếu thêm, f ∈ Γ(X) và k ∈ Γ(Y ) thì với mỗi x̄ ∈ dom f ∩ A−1 (dom k), ∂(f + k ◦ A)(x̄) = ∂f (x̄) + A∗ ∂k(Ax̄). 8 2.3 Các kết quả dạng Farkas không lồi Sau đây là các kết quả chính trong chương này – các kết quả dạng Farkas mở rộng cho hàm hợp không có lồi và không có giả thiết tôpô. Hơn nữa nó được thiết lập với điều kiện yếu nhất – điều kiện cần và đủ. 2.3.1 Các kết quả dạng Farkas không lồi Giả sử rằng f, g, k , và λH (λ ∈ Y ∗ ) là các hàm chân chính không nhất thiết lồi và nửa liên tục. Giả sử thêm f + g + k ◦ H là hàm chân chính. Đầu tiên chúng tôi giới thiệu điều kiện đủ cho các kết quả dạng Farkas (hay các đặc trưng của bất đẳng thức (1)). Định lý 2.3.1. Giả sử (CA) xảy ra và h ∈ Γ(X). Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (I) f (x) + g(x) + (k ◦ H)(x) ≥ h(x) ∀x ∈ X; (II) Với mọi x∗ ∈ X ∗ , tồn tại λ ∈ dom k ∗ , u ∈ dom f ∗ , v ∈ dom g ∗ sao cho h∗ (x∗ ) ≥ f ∗ (u) + g ∗ (v) + (λH)∗ (x∗ − u − v) + k ∗ (λ); (III) Với mọi x∗ ∈ X ∗ , tồn tại λ ∈ dom k ∗ , u ∈ dom f ∗ sao cho h∗ (x∗ ) ≥ f ∗ (u) + (g + λH)∗ (x∗ − u) + k ∗ (λ); (IV) Với mọi x∗ ∈ X ∗ , tồn tại λ ∈ dom k ∗ sao cho h∗ (x∗ ) ≥ (f + g + λH)∗ (x∗ ) + k ∗ (λ); (V) Với mọi x∗ ∈ X ∗ , tồn tại λ ∈ dom k ∗ , u ∈ dom g ∗ sao cho h∗ (x∗ ) ≥ g ∗ (u) + (f + λH)∗ (x∗ − u) + k ∗ (λ); (VI) Với mọi x∗ ∈ X ∗ , tồn tại λ ∈ dom k ∗ , u ∈ dom(f + g)∗ sao cho h∗ (x∗ ) ≥ (f + g)∗ (u) + (λH)∗ (x∗ − u) + k ∗ (λ); (VII) Với mọi x∗ ∈ X ∗ , tồn tại u ∈ dom f ∗ sao cho h∗ (x∗ ) ≥ f ∗ (u) + (g + k ◦ H)∗ (x∗ − u). 9 Chú ý 2.3.1. Chú ý một trong số các cặp tương đương giữa (I) với một trong số (II)–(VII), là một đặc trưng của (1) hay là một kết quả dạng Farkas. Do đó Định lý 2.3.1 bao gồm 6 dạng kết quả Farkas cho hệ bất đẳng thức (1). Mặc dù định lý này chỉ cho điều kiện đủ nhưng nó mở rộng và bao gồm các kết quả dạng Farkas trước đây. Bây giờ chúng tôi giới thiệu điều kiện cần và đủ cho các kết quả dạng Farkas. Định lý 2.3.2. Các khẳng định sau đúng:   (i) (CA) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (II)],   (ii) (CB) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (III)],   (iii) (CC) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (VI)],   (iv) (CD) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (V)],   (v) (CE) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (IV)],   (vi) (CF) xảy ra ⇐⇒ [∀h ∈ Γ(X), (I) ⇐⇒ (VII)]. Chú ý 2.3.2 Các đặc trưng của các kết quả dạng Farkas trong Định lý 2.3.2 rất tổng quát. Nó có thể suy ra các kết quả mới, mở rộng và chứa nhiều kết quả dạng Farkas liên quan hàm lồi và hàm DC. Hơn nữa các kết quả (i) và (ii) đã được giới thiệu trong bài báo của N. Dinh, G. Vallet và M. Volle (JOGO, 2014). 2.3.2 Các trường hợp đặc biệt Sau đây là một vài trường hợp đặc biệt. Chúng tôi nhận được các kết quả mới, mở rộng cho trường hợp lồi và không lồi. h là hàm affine Lấy h là hàm affine, h(·) = hx∗ , ·i + α với α ∈ R và x∗ ∈ X ∗ , bởi Định lý 2.3.2, ta có Mệnh đề 2.3.1 Cho C là tập con khác rỗng của X . Khi đó các mệnh đề sau tương đương: S (a) epi (g + iC + k ◦ H)∗ = epi (g + iC + λH − k ∗ (λ))∗ ; λ∈domk∗ (b) Với mọi α ∈ R và bất kỳ x∗ ∈ X ∗ ,  ∗ g(x)+(k◦H)(x) ≥ hx , xi+α ∀x ∈ C 10   ⇐⇒ ∃λ ∈ dom k ∗ ∀x ∈ C g(x) + (λH)(x) ≥ hx∗ , xi + α + Đặc trưng của các kết quả dạng Farkas trong trường hợp lồi Bây giờ giả sử C là tập con lồi đóng khác rỗng của X , K là nón lồi đóng trong Y , f ∈ Γ(X) và H là K -convex. Giả sử thêm λH ∈ Γ(X) với mọi λ ∈ K + và C ∩ H −1 (−K) 6= ∅. Kết quả sau đây là hệ quả của Định lý 2.3.2. Hệ quả 2.3.2 Mệnh đề (a) và (b) tương đương: S (a) epi (f + iC + λH)∗ đóng yếu∗ ; λ∈K + (b) Với bất kỳ h ∈ Γ(X), các khẳng định sau tương đương: (i) H(x) ∈ −K, x ∈ C =⇒ f (x) ≥ h(x); (ii) ∀x∗ ∈ dom h∗ , ∃λ ∈ K + , f (x) + λH(x) ≥ hx∗ , xi − h∗ (x∗ ) ∀x ∈ C. 2.4 Các áp dụng 2.4.1 Định lý dạng thay thế Trong phần này, chúng tôi sẽ sử dụng Định lý 2.3.2 và các hệ quả của nó để suy ra các định lý dạng thay thế. Chúng tôi bắt đầu với việc áp dụng Định lý 2.3.2 (iii). Chú ý rằng mỗi mục trong định lý này cho một định lý dạng thay thế không có tính lồi và cũng không có tính nửa liên tục dưới. Chú ý rằng kết quả dạng thay thế trong Định lý 2.4.1 dưới đây được cho với điều kiện cần và đủ. Định lý 2.4.1 Cho f, g : X → R ∪ {+∞}, k : Y → R ∪ {+∞} là các hàm chân chính và H : dom H ⊂ X → Y sao cho f + g + k ◦ H là chân chính. Khi đó, epi (f + g + k ◦ H)∗ = C nếu và chỉ nếu với mọi h ∈ Γ(X), một và chỉ một trong hai mệnh đề sau đây là đúng: (i) ∃x ∈ X, f (x) + g(x) + k[H(x)] < h(x); (ii) Với mọi x∗ ∈ dom h∗ , tồn tại λ ∈ domk ∗ , u ∈ dom (f + g)∗ sao cho h∗ (x∗ ) ≥ (f + g)∗ (u) + (λH)∗ (x∗ − u) + k ∗ (λ). Bây giờ ta xét một kết quả dạng thay thế là hệ quả của Hệ quả 2.3.2 trong trường hợp có giả thiết về tính lồi. Hệ quả 2.4.2 Cho C là tập con lồi đóng của X , K là nón lồi đóng trong Y , cho fS ∈ Γ(X). Giả sử λH ∈ Γ(X) với mọi λ ∈ K + và C ∩ H −1 (−K) 6= ∅. Khi đó ∗ ∗ λ∈K + epi (f + iC + λH) là đóng yếu nếu và chỉ nếu với mọi h ∈ Γ(X), một và chỉ một trong hai mệnh đề sau đây là đúng: (i) H(x) ∈ −K, x ∈ C and f (x) < h(x), 11 (ii) ∀x∗ ∈ dom h∗ , ∃λ ∈ K + sao cho f (x) + λH(x) ≥ hx∗ , xi − h∗ (x∗ ) ∀x ∈ C. 2.4.2 Tập bao hàm Định lý 2.3.2 cũng có thể suy ra các đặc trưng cho các kết quả tập bao hàm trong những trường hợp tổng quát. Như những ví dụ minh họa, chúng tôi chỉ xét một vài kết quả trong tập lồi ngược và tập DC. Giả sử C ⊂ X là tập lồi đóng, f ∈ Γ(X), và H : dom H → Y là ánh xạ K -lồi, trong đó K ⊂ Y là nón lồi đóng. Cho g = iC (do đó, g ∈ Γ(X)). Lấy [H ≤K 0], [f ≥ h] ký hiệu cho {x ∈ X | H(x) ∈ −K} và {x ∈ X | f (x) ≥ h(x)}, tương ứng. Khi đó với mọi h ∈ Γ(X), bất đẳng thức f + iC + i−K ◦ H ≥ h chính là C ∩ [H ≤K 0] ⊂ [f ≥ h], biểu thức này chính là tập bao hàm của tập lồi trong tập DC. Trong trường hợp h ≡ 0, nó trở thành tập bao hàm của tập lồi nghịch đảo C ∩ [H ≤K 0] ⊂ [f ≥ 0]. Giả sử C ∩ [H ≤K 0]S6= ∅. Kết quả sau được suy ra từ Hệ quả 2.3.2: Hệ quả 2.4.4 Tập λ∈K + epi (f + iC + λH)∗ là đóng yếu∗ nếu và chỉ nếu với mọi h ∈ Γ(X) các mệnh đề sau đây tương đương: (i) C ∩ [H ≤K 0] ⊂ [f ≥ h]; (ii) ∀x∗ ∈ dom h∗ , ∃λ ∈ K + , f (x) + λH(x) ≥ hx∗ , xi − h∗ (x∗ ) ∀x ∈ C. 2.4.3 Công thức đối ngẫu Fenchel-Rockafellar Bây giờ xét trường hợp f và k là các hàm chân chính, g ≡ 0, h ≡ 0, và H = A ∈ L(X, Y ), với L(X, Y ) kí hiệu tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X tới Y . Giả sử dom (f + k ◦ A) 6= ∅. A∗ là toán tử liên hợp của A. (FR) inf {f (x) + k(A(x))}. x∈X Như hệ quả của Định lý 2.3.2, chúng tôi nhận được đối ngẫu mạnh của bài toán (FR) 12 Mệnh đề 2.4.1[Đối ngẫu Fenchel-Rockafellar] Giả sử inf(F R) ∈ R. Nếu điều kiện sau đây xảy ra: epi (f + k ◦ A)∗ = epi f ∗ + (A∗ × IdR )(epi k ∗ ) thì inf {f (x) + k(A(x))} = max {−f ∗ (A∗ y ∗ ) − k ∗ (−y ∗ )}. ∗ ∗ x∈X y ∈Y Chú ý rằng nếu ta đặt Y = X và A = IdX thì điều kiện (2) trở thành epi (f + k)∗ = epi f ∗ + epi k ∗ và kết luận của Mệnh đề 2.4.1 trở thành inf {f (x) + k(x)} = max {−f ∗ (y ∗ ) − k ∗ (−y ∗ )}, ∗ ∗ x∈X y ∈X kết quả này chính là Định lý Fenchel cho trường hợp không lồi. Chương 3 NHỮNG DẠNG MỚI CỦA BỔ ĐỀ FARKAS VÀ ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH DƯỚI ĐIỀU KIỆN DẠNG SLATER Trong chương này chúng tôi giới thiệu các dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón và hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính mở rộng với điều kiện Slater không có tính nửa liên tục dưới của hàm liên quan và tính đóng của tập ràng buộc. Từ đó suy ra các dạng mở rộng của định lý Hahn-Banach cho hàm dưới tuyến tính mở rộng (trường hợp này định lý Hahn-Banach không đúng xem quyển sách của S.Simons (2007)), định lý Hahn-Banach-Lagrange, định lý sandwich và định lý Mazur-Orlicz. Hơn nữa kết quả trên có thể áp dụng vào lớp bài toán tối ưu cho hàm hợp liên quan đến S -lồi. Khi đó chúng tôi nhận được các kết quả như: công thức đối ngẫu của supremum họ các hàm lồi (có thể vô hạn, không nửa liên tục dưới), định lý đối ngẫu Fenchel tổng quát, định lý tách hai tập lồi, và các kết quả về đối ngẫu và điều kiện tối ưu cho bài toán penalty. 3.1 Những dạng mới của Bổ đề Farkas dưới điều kiện dạng Slater 3.1.1 Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón Bây giờ chúng tôi giới thiệu Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo nón với điều kiện Slater. Kết quả này mới theo nghĩa không có tính nửa liên tục dưới của các hàm và tính đóng của tập ràng buộc. Nó mở rộng kết quả trong quyển sách của R. Holmes (1975). Định lý 3.1.1 [Bổ đề Farkas cho hệ K -lồi] Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi khác rỗng của X , K là nón lồi đóng trong Y , f : X → R ∪ {+∞} là hàm 13 lồi chân chính, g : X → Y • là ánh xạ K -lồi, và β ∈ R. Giả sử điều kiện Slater sau đây xảy ra: (SC1) ∃x̄ ∈ (domf ) ∩ C sao cho g(x̄) ∈ −int K. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (i) x ∈ C, g(x) ∈ −K =⇒ f (x) ≥ β , (ii) tồn tại y ∗ ∈ K + sao cho f + y ∗ ◦ g ≥ β trên C. Chú ý 3.1.1 Kết quả dạng Farkas trên (i.e., sự tương đương giữa (i) và (ii) trong Định lý 3.1.1) đã được chứng minh trong những bài báo N. Dinh và V. Jeyakumar (Top,2014) và các tài liệu khác dưới các điều kiện ràng buộc khác chẳng hạn điều kiện tính đóng trong N. Dinh, M.A. Goberna, M. A. Lopez và T.H. Mo (SIAM J. Optim., 2014), N. Dinh, G. Vallet và T. T. A. Nghia (J. Convex Anal., 2008). Tuy nhiên, những kết quả này luôn phải cần giả thiết về tính đóng của C , tính nửa liên tục dưới của f và y ∗ ◦ g với mọi y ∗ ∈ K + . Định lý 3.1.1 sử dụng điều kiện mạnh hơn các điều kiện tính đóng nên không cần sử dụng các giả thiết vừa đề cập ở trên. 3.1.2 Bổ đề Farkas cho hệ lồi theo hàm dưới tuyến tính mở rộng Chúng tôi sử dụng kỹ thuật trong bài báo của N. Dinh, M.A. Goberna, M. A. Lopez và T.H. Mo (SIAM J. Optim., 2014) để nhận được dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ S -lồi. Dạng mới này có thể được xem như phần tiếp theo của Định lý 3.4 trong bài báo trên. Ở đây chúng tôi không dùng giả thiết về tính đóng và tính nửa liên tục nhưng sử dụng điều kiện chính quy dạng Slater, điều kiện này mạnh hơn điều kiện về tính đóng trong bài báo vừa đề cập. Định lý 3.1.2 Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi khác rỗng của X , S : Y → R ∪{+∞} là hàm dưới tuyến tính nửa liên tục, g : X → Y • là ánh xạ S -lồi, f : X → R ∪ {+∞} và ψ : R → R ∪ {+∞} là các hàm lồi chân chính. Giả sử điều kiện dạng Slater xảy ra: (SC2) ∃ā ∈ C ∩ (domf ), ∃ᾱ ∈ R sao cho (ᾱ, +∞) ∩ (domψ) 6= ∅ và g(ā) ∈ int{y ∈ Y : S(y) ≤ ᾱ}. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (a) x ∈ C, α ∈ R, (S ◦ g)(x) ≤ α =⇒ f (x) + ψ(α) ≥ 0, 14 (b) tồn tại γ ≥ 0 và y ∗ ∈ Y ∗ sao cho y ∗ ≤ γS trên Y và f + y ∗ ◦ g ≥ ψ ∗ (γ) trên C. 3.2 Những dạng mới của Định lý Hahn-Banach dưới điều kiện dạng Slater Trong phần này chúng tôi trình bày dạng tổng quát của Định lý HahnBanach-Lagrange, đã được giới thiệu bởi S. Simons, dưới điều kiện dạng Slater nhưng không có tính đóng và nửa liên tục dưới của các hàm và tập ràng buộc. Kết quả này sẽ mở rộng các định lý cơ bản: Định lý sandwich, Định lý Mazur-Orlicz, và Định lý Hahn-Banach. 3.2.1 Định lý Hahn-Banach-Lagrange mở rộng Giả sử X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi khác rỗng (không nhất thiết đóng) của X . Như hệ quả của Định lý 3.1.2, chúng tôi nhận được Định lý 3.2.1[Định lý Hahn-Banach-Lagrange mở rộng] Cho S : Y → R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính nửa liên tục, g : X → Y • là ánh xạ S -lồi, f : X → R ∪ {+∞} là các hàm lồi chân chính. Giả sử điều kiện sau xảy ra: (SC3) ∃ā ∈ C ∩ (dom f ), ∃ᾱ ∈ R s.t. g(ā) ∈ int{y ∈ Y : S(y) ≤ ᾱ}. Khi đó các mệnh đề sau tương đương:   (i) inf C f + S ◦ g ∈ R, (ii) tồn tại y ∗ ∈ Y ∗ sao cho y ∗ ≤ S trên Y và     inf f + y ∗ ◦ g = inf f + S ◦ g ∈ R. C C 3.2.2 Các dạng mở rộng của Định lý Hahn-Banach, Định lý sandwich và Định lý Mazur-Orlicz Chúng ta biết rằng Định lý Hahn-Banach không còn đúng khi hàm dưới tuyến tính nhận giá trị vô cùng. Định lý Hahn-Banach-Lagrange mở rộng, Định lý 3.2.1, có thể mở rộng Định lý Hahn-Banach trong trường hợp hàm dưới tuyến tính nhận giá trị vô cùng dưới điều kiện dạng điểm trong. Hệ quả 3.2.2 [Định lý Hahn-Banach mở rộng] Cho X là k.g.v.t.l.H, S : X → R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính nửa liên tục function, M là không gian con của X , φ : M → R tuyến tính thỏa φ ≤ S trên M . Giả sử điều kiện sau xảy ra: ∃ᾱ ∈ R : M ∩ int{x ∈ X : S(x) ≤ ᾱ} = 6 ∅. Khi đó tồn tại L ∈ X ∗ sao cho L ≤ S trên X và L|M = φ, trong đó L|M là thu hẹp của L trên M . 15 Hơn nữa Định lý 3.2.1 có thể mở rộng Định lý sandwich và Định lý MazurOrlicz cho trường hợp hàm dưới tuyến tính nhận giá trị vô cùng (vì bản tóm tắt hạn chế số trang nên không trình bày ở đây). 3.2.3 Sự tương đương giữa các dạng mới của Bổ đề Farkas và Định lý Hahn-Banach-Lagrange mở rộng Chúng tôi khẳng định rằng các Định lý 3.1.1 Định lý 3.1.2 và Định lý 3.2.1 tương đương nhau. 3.3 Áp dụng vào bài toán tối ưu lồi theo hàm dưới tuyến tính Bây giờ chúng tôi áp dụng dạng mới của Bổ đề Farkas cho hệ S -lồi vào lớp bài toán tối ưu liên quan đến hàm hợp và ánh xạ S -lồi. Lớp bài toán này bao gồm nhiều bài toán như: bài toán best approximate, bài toán penalty, bài toán đưa đến dạng tổng quát của đối ngẫu Fenchel, định lý tách hai tập lồi và công thức đối ngẫu cho supremum cua họ các hàm lồi chân chính (có thể vô hạn và không nhất thiết nửa liên tục dưới). 3.3.1 Bài toán tối ưu tổng quát lồi theo hàm dưới tuyến tính Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi khác rỗng của X , S : Y → R ∪{+∞} là hàm dưới tuyến tính nửa liên tục, g : X → Y • là ánh xạ S -lồi, f : X → R ∪ {+∞} và ψ : R → R ∪ {+∞} là các hàm lồi chân chính. Giả sử tồn tại x ∈ C ∩ (dom f ) và α ∈ dom ψ sao cho (S ◦ g)(x) ≤ α. Xét hai bài toán tối ưu có dạng sau: (PS1) inf [f (x) + ψ(α)] (x,α) s.t. (S ◦ g)(x) ≤ α, x ∈ C, α ∈ domψ. (PS2) inf x∈C∩(g −1 (domS)) [f (x) + ψ((S ◦ g)(x))]. Nhận thấy rằng lớp bài toán (PS1) chứa nhiều bài toán khác nhau dựa vào việc chọn hàm S và ánh xạ g . Hơn nữa, lớp bài toán (PS2) bao gồm nhiều bài toán đã biết như: bài toán best approximate, bài toán penalty, bài toán đưa đến dạng tổng quát của đối ngẫu Fenchel, điểm Fenchel-Moreau, tách hai tập lồi và công thức đối ngẫu cho supremum cua họ các hàm lồi chân chính (có thể vô hạn và không nhất thiết nửa liên tục dưới). Bài toán đối ngẫu (DPS) của (PS1) được định nghĩa: (DPS) sup inf {f (x) + (y ∗ ◦ g)(x) − ψ ∗ (γ)} . y ∗ ∈Y ∗ , y ∗ ≤γS x∈C γ≥0 16 Nhắc lại rằng trong trường hợp bài toán (DPS) có ít nhất một nghiệm, chúng tôi viết max (DSP) là giá trị của (DPS) thay vì sup (DPS). Định lý 3.3.1 (Đối ngẫu mạnh cho (PS1)) Nếu (SC2) được thỏa mãn, thì đối ngẫu mạnh xảy ra cho (PS1), i.e., inf (PS1) = max (DPS). S Hệ quả 3.3.1 Giả sử (SC2) xảy ra và ψ là hàm không giảm trên [(S ◦ a∈C  g)(a), +∞ . Khi đó inf (PS2) = inf (PS1) = max (DSP). 3.3.2 Một trường hợp đặc biệt - Bài toán penalty trong quy hoạch lồi Các kết quả ở phần trước có thể được áp dụng để nhận các kết quả đối ngẫu và điều kiện tối ưu cho bài toán penalty. Tuy nhiên vì tính ngắn gọn của bản tóm tắt nên các kết quả này không trình bày. 3.3.3 Định lý đối ngẫu Fenchel tổng quát và định lý tách Gần đây S. Simons đã sử dụng kết quả mới gọi là Định lý Hahn-BanachLagrange để chứng minh dạng tổng quát của Định lý đối ngẫu Fenchel trong trường hợp không có giả thiết nửa liên tục dưới. Kết quả này thôi thúc chúng tôi nghiên cứu lớp bài toán tối ưu liên quan ánh xạ S -lồi. Kết quả đối ngẫu mạnh của bài toán này có thể suy ra dạng tổng quát của Định lý đối ngẫu Fenchel với hàm dưới tuyến tính mở rộng. Từ đây chúng tôi suy ra định lý tách hai tập lồi trong không gian định chuẩn. Cho E là k.g.v.t.l.H, với không gian đối ngẫu E ∗ , D và F là hai tập con lồi khác rỗng của E , S : E → R ∪ {+∞} là hàm dưới tuyến tính mở rộng nửa liên tục dưới, và h, k : E → R ∪ {+∞} là hàm lồi chân chính. Giả sử (domh − domk) ∩ domS 6= ∅. Định lý 3.3.5 (Định lý đối ngẫu Fenchel tổng quát) Giả sử điều kiện sau xảy ra: (SC3) ∃ā ∈ D ∩ (dom h), ∃b̄ ∈ F ∩ (dom k) và ∃ᾱ ∈ R sao cho ā − b̄ ∈ int{v ∈ E : S(v) ≤ ᾱ}.   Nếu inf h(x) + k(y) + S(x − y) ∈ R thì x∈D y∈F   inf h(x) + k(y) + S(x − y) = max {−(h + iD )∗ (−z ∗ ) − (k + iF )∗ (z ∗ )} . ∗ ∗ z ∈E z ∗ ≤S x∈D y∈F Hệ quả 3.3.8 Cho D và F là hai tập con lồi khác rỗng của không gian định chuẩn (E, k.k). Khi đó   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∃z̄ ∈ E : kz̄ kE ∗ ≤ 1 và suphz̄ , zi < inf hz̄ , zi ⇐⇒ 0E ∈ / cl(D − F ). z∈D z∈F 17 3.3.4 Công thức đối ngẫu cho supremum của họ các hàm lồi Cho X là k.g.v.t.l.H và T là tập chỉ số tùy ý (có thể vô hạn). Công thức đối ngẫu của hàm supremum sup gt được suy ra từ Hệ quả 3.3.1. t∈T Mệnh đề 3.3.1 Cho gt : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi chân chính (không nhất thiết nửa liên tục dưới) với mọi t ∈ T . Giả sử điều kiện sau xảy ra:  ∃x̄ ∈ X, ∃ᾱ ∈ R : (gt (x̄))t∈T ∈ int (yt )t∈T ∈ RT : sup yt ≤ ᾱ . (3) t∈T Khi đó với bất kỳ x∗ ∈ X ∗ thỏa  sup gt ∗ (x∗ ) ∈ R, ta có t∈T  sup gt ∗ (x∗ ) = min (T ) R+ (λtP )t∈T ∈ λt =1 t∈T X λ t gt ∗ (x∗ ). t∈T t∈T Chương 4 TỪ BỔ ĐỀ FARKAS ĐẾN ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các dạng mới của Bổ đề Farkas và các dạng mở rộng của Định lý Hahn-Banach-Lagrange dưới điều kiện yếu nhất (điều kiện tính đóng). Các dạng này tương đương với nhau. Hơn nữa, các kết quả có thể suy ra các dạng giải tích và đại số của Định lý Hahn-Banach, Định lý Mazur-Orlicz và Định lý sandwich cho hàm dưới tuyến tính mở rộng. 4.1 Đặc trưng hóa các Bổ đề Farkas mở rộng cho hệ lồi theo nón Cho X, Y là k.g.v.t.l.H, C là tập con lồi đóng khác rỗng của X , K ⊂ Y là nón lồi, g : X → Y • là ánh xạ K -lồi và K -epi closed, and f ∈ Γ(X). Giả sử dom f ∩ C ∩ g −1 (−K) 6= ∅. Định lý 4.1.1[Bổ đề Farkas cho hệ K -lồi] Các mệnh đề sau tương đương: (a1 ) C đóng theo {0X ∗ } × R. (b1 ) Với bất kỳ β ∈ R,   x ∈ C, g(x) ∈ −K ⇒ f (x) ≥ β m ∗ + ∃y ∈ K sao cho f + y ∗ ◦ g ≥ β trên C. 18
- Xem thêm -