Tài liệu Một số định lý giới hạn trong lý thuyết martingale

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 8460112.02. LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng Hà Nội - Năm 2018 Mục lục Lời cảm ơn 2 Danh sách ký hiệu 3 Lời nói đầu 4 Chương 1. Martingale và các bất đẳng thức cơ bản 7 1.1 1.2 Martingale và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Định nghĩa Martingale và các ví dụ . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Luật số lớn và các định lý hội tụ 22 2.1 Định lý hội tụ martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Hội tụ trong Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Chương 3. Định lý giới hạn trung tâm 46 3.1 Hội tụ L1 − yếu, hội tụ ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm . . . . . . . . . . 53 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 1 Lời cảm ơn Với tình cảm chân thành, em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học cùng các quí thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, chủ nhiệm bộ môn Xác suất và thống kê toán học, Khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, người Thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn khoa học cho em. Xin được cảm ơn lãnh đạo chỉ huy Học viện Phòng Không - Không Quân, lãnh đạo chỉ huy Phòng Quản Lý học viên Đoàn 871 Tổng cục chính trị - Bộ Quốc Phòng, cùng các đồng nghiệp, người thân trong gia đình, bạn bè thân thiết đã động viên giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập nâng cao trình độ chuyên môn của mình. Dù tác giả đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý, chỉ dẫn của quí thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp và những người quan tâm tới đề tài nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 12 năm 2018 Học viên Dương Thị Ánh Tuyết 2 Danh sách ký hiệu ||.||p Chuẩn của không gian Banach Lp (Xn ) Dãy các biến ngẫu nhiên ↓ h.c.c Giảm Hầu chắc chắn d → Hội tụ theo phân phối p → Hội tụ theo xác suất (Ω, F , P ) Không gian xác suất Lp Tập các biến ngẫu nhiên X sao cho E|X|p < ∞ Lp Tập hợp các biến ngẫu nhiên X sao cho E|X|p < ∞ ↑ Tăng 3 Lời nói đầu Cái tên martingale đã được Ville đưa vào trong ngôn ngữ xác suất hiện đại (1939) và chủ đề này được làm nổi bật qua các công trình của Doob trong những năm 1940 và đầu những năm 1950. Lý thuyết Martingale, giống như lý thuyết xác suất, bắt nguồn từ trò chơi cờ bạc, nay trở thành một loại quá trình ngẫu nhiên có rất nhiều ứng dụng về lý thuyết cũng như thực tiễn, đặc biệt là một công cụ không thể thiếu trong tính toán ngẫu nhiên và toán học trong tài chính. Thật ra, thuật ngữ martingale đã có một lịch sử lâu dài trong trò chơi cờ bạc, khi đó ban đầu nó có nghĩa là một hệ thống để bù đắp tổn thất bằng cách tăng gấp đôi tiền thưởng sau mỗi mất mát. Từ điển tiếng Anh của Oxford bắt đầu sử dụng thuật ngữ này từ năm 1815. Khái niệm hiện đại ít nhất có trong một tài liệu tham khảo trong Bachelier (1900). Các nghiên cứu về lý thuyết martingale bởi Bernstein (1927, 1939, 1940, 1941) và Lévy (1935a, b, 1937) có trước khi sử dụng tên martingale. Các tác giả này giới thiệu martingale dưới dạng các tổng liên tiếp để tổng quát hoá các kết quả giới hạn cho tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập. Tuy nhiên, công trình tiếp theo của Doob, bao gồm cả việc khám phá ra định lý hội tụ martingale, đã hoàn toàn thay đổi hướng của đề tài. Cuốn sách của ông (1953) vẫn là một ảnh hưởng lớn trong gần ba thập niên. Chỉ mới gần đây có sự hồi sinh quan tâm thực sự và các hoạt động trong lĩnh vực lý thuyết giới hạn martingale mà đề cập tới việc tổng quát hóa các kết quả cho tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập. Lý thuyết xác suất nói chung, lý thuyết martingale nói riêng đóng góp một vai trò vô cùng quan trọng trong sự phát triển chung của toán học hiện đại. Nó 4 chính là một nghành toán học lớn, vừa có tầm lý thuyết ở trình độ cao, đáp ứng đầy đủ các tiêu chuẩn chặt chẽ chính xác của toán học thuần túy đồng thời lại có phạm vi ứng dụng hết sức rộng rãi trong khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y sinh học... Với tính ứng dụng cao như vậy, martingale là một mảng rất đáng được quan tâm nghiên cứu và phát triển sâu rộng hơn nữa. Tuy nhiên, với vốn kiến thức hết sức hạn hẹp của mình về chuyên nghành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, tác giả cũng đã rất cố gắng học hỏi, tìm tòi, cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo vô cùng tận tình từ Thầy hướng dẫn, tác giả xin được trình bày kết quả tìm hiểu được của mình thông qua luận văn mang tên: Một số định lý giới hạn trong lý thuyết Martingale. Nội dung chính của luận văn được chia làm 3 chương. Cụ thể: Chương 1: Martingale và các bất đẳng thức cơ bản. Nội dung chương 1 của luận văn không chọn trình bày lại một số kiến thức cơ bản cũng như một số các kết qua đã được học tập, nghiên cứu trong các môn học trong chương trình đào tạo thạc sĩ Toán học chuyên nghành Xác suất và thống kê toán học mà tập trung chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản nhất trong lý thuyết Martingale. Đó là định nghĩa martingale, một số ví dụ, tính chất của nó và các bất đẳng thức cơ bản liên quan như: Bất đẳng thức Doob, Bất đẳng thức cắt ngang, Bất đẳng thức Burkholder, Bất đẳng thức Rosenthal.. Tiếp theo, nội dung chương 2: Luật só lớn và các định lý hội tụ. Bố cục chương này được trình bày chi tiết như sau: 2.1. Định lý hội tụ Martingale 2.2. Luật số lớn 2.2.1. Luật số lớn 2.2.2. Luật mạnh số lớn 2.3 Hội tụ trong Lp . Đó cũng chính là những nội dung trọng tâm của chương này.Ở đây, hầu hết các chứng minh của các định lý hôi tụ Martingale dựa trên một số mở rộng 5 của các bất đẳng thức, và các bất đẳng thức thiết lập ở đây sẽ được sử dụng nhiều lần trong phần sau. Trong chương này tác giả áp dụng chúng để chứng minh luật số lớn và chỉ trình bày các công cụ cơ bản. Sau cùng chương 3: Định lý giới hạn trung tâm. Trọng tâm chương 3 giới thiệu định lý giới hạn trung tâm và tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm . Bản chất martingale cũng là một dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn một số điều kiện đặc biệt. Lý thuyết về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên, luật số lớn, luật mạnh số lớn, định lý giới hạn trung tâm..có lẽ đã ko còn quá xa lạ trong lý thuyết xác suất. Và hãy cùng tìm hiểu chút khác biệt lý thú của chúng qua ngôn ngữ mới, ngôn ngữ martingale. 6 Chương 1 Martingale và các bất đẳng thức cơ bản 1.1 Martingale và các tính chất 1.1.1 Định nghĩa Martingale và các ví dụ Giả sử (Ω, F , P ) là không gian xác suất, G ⊂ F là σ−trường con của F . Một biến ngẫu nhiên X được gọi là tương thích với G nếu X là G −đo được. Trong trường hợp ấy, ta viết X ∈ G . Một dãy Fn , n = 1, 2, ... được gọi là một dãy tăng các σ− trường nếu Fn ⊂ Fn+1 ⊂ F , ∀n 1. Cho dãy tăng các σ− trường Fn . Dãy các biến ngẫu nhiên (Xn ) được gọi là tương thích với dãy Fn nếu với mỗi n, Xn ∈ Fn . 2. Dãy (Xn ) được gọi là thuộc Lp và ta viết (Xn ) ∈ Lp nếu với mọi n thì E|Xn |p < ∞. 3. Dãy Xn ∈ L1 được gọi là một martingale đối với dãy Fn nếu nó tương thích với dãy Fn và với mọi m < n thì E(Xn |Fm ) = Xm . Kí hiệu: martingale {Xn , Fn } 7 4. Dãy Xn ∈ L1 được gọi là một supermartingale (martingale trên) đối với dãy Fn nếu nó tương thích với dãy Fn và với mọi m < n thì E(Xn |Fm ) 6 Xm . 5. Dãy Xn ∈ L1 được gọi là một submartingale (martingale dưới) đối với dãy Fn nếu nó tương thích với dãy Fn và với mọi m < n thì E(Xn |Fm ) > Xm . Chú ý: 1. Điều kiện E(Xn |Fm ) = Xm . Tương đương với E(Xn+1 |Fn ) = Xn . Thật vậy, do Fn ⊂ Fn+1 nên theo tính chất của kỳ vọng có điều kiện thì E(Xn+2 |Fn ) = E(E(Xn+2 |Fn+1 )|Fn ) = E(Xn+1 |Fn ) = Xn . Tiếp tục như vậy, bằng quy nạp ta có với mọi k thì E(Xn+k |Fn ) = Xn . Tương tự cho các điều kiện E(Xn |Fm ) 6 Xm và E(Xn |Fm ) > Xm . 2. Dãy(Xn ) là martingale trên đối với dãy Fn khi và chỉ khi −Xn là martingale dưới đối với dãy Fn 3. Giả sử σ(X)n là trường bé nhất sinh bởi {Xm , m 6 n} . Hiển nhiên dãy (σ(X)n ) là một dãy tăng và ta gọi nó là σ− trường tự nhiên sinh bởi dãy (Xn ). Hiển nhiên dãy (Xn ) luôn tương thích với dãy (σ(X)n ). Ta nói (Xn ) là một martingale nếu nó là một martingale đối với σ−trường tự nhiên. 8 Ví dụ 1.1.1. Cho dãy σ−trường tăng Fn và giả sử X là một biến ngẫu nhiên X ∈ L1 . Đặt Xn = E(X|Fn ). Khi đó, với m < n ta có do tính chất của kỳ vọng có điều kiện E(Xn |Fm ) = E(E(X|Fn )|Fm ) = E(X|Fm ) = Xm . Vậy (Xn )là một martingale đối với Fn . Ví dụ 1.1.2. Cho (Yn ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với EYn = 0 với mọi n. Giả sử Fn = B (Y1 , ..., Yn ). Khi đó, các tổng riêng S n = Y1 + Y2 + · · · + Yn Lập thành martingale đối với Fn . Thật vậy do Sn ⊂ Fn và Yn+1 độc lập với Fn nên ta có E(Sn+1 |Fn ) = E(Sn + Yn+1 |Fn ) = Sn + E(Yn+1 |Fn ) = Sn + E(Yn+1 ) = Sn . Ví dụ 1.1.3. Cho (Yn ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và EYn = 1 với mọi n. Giả sử Fn = B (Y1 , ..., Yn ). Khi đó, các tích riêng Un = Y1 Y2 ...Yn lập thành martingale đối với Fn . Thật vậy do Un ∈ Fn và Un+1 độc lập với Fn , nên ta có E(Un+1 |Fn ) = E(Un Yn+1 |Fn ) = Un E(Yn+1 |Fn ) = Un E(Yn+1 ) = Un . Ví dụ 1.1.4. Cho (Yn ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng 0, EYn = 0 với mọi n. Gọi Fn là σ đại số sinh bởi (Y1 , .., Yn ). Giả sử (Vn ) là dãy cácbiến ngẫu nhiên sao cho với mỗi n > 1 thì Vn ∈ Fn−1 . Xét dãy (Xn ) như sau X0 = 0, Xn+1 = Xn + Vn+1 Yn+1 9 Khi đó (Xn ) là một martingale đối với dãy (Fn ). Thật vậy, vì Vn+1 ∈ Fn , EYn+1 = 0 nên Xn ∈ Fn và E(Xn+1 |Fn ) = E(Xn |Fn ) + E(Vn+1 Yn+1 |Fn ) = Xn + Vn+1 EYn+1 = Xn . 1.1.2 Các tính chất Định lý 1.1.5. Cho {Zn , Fn , n ≥ 1} là một martingale dưới L1 -bị chặn. Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên Z sao cho limn→∞ Zn = Z hầu chắc chắn và E|Z| ≤ lim inf n→∞ < ∞. Nếu martingale khả tích đều, thì Zn hội tụ tới Z trong L1 , và nếu {Zn , Fn } là một martingale L2 -bị chặn, thì Zn hội tụ tới Z trong L2 . Định lý 1.1.6. Cho (Xn ) là martingale đối với Fn . Cho Φ là hàm lồi sao cho Φ(Xn ) ∈ L1 . Khi đó (Φ(Xn )) là một martingale dưới đối với Fn . Chứng minh. Theo bất đẳng thức Jensen ta có với m < n Φ(Xm ) = Φ(E(Xn |Fm )) 6 E(Φ(Xn )|Fm ) Nói riêng |Xn | là martingale dưới và nếu Xn ∈ Lp , p > 1 thì |X|p là martingale dưới. Định lý 1.1.7. 1. Cho {Xn , Fn } là một martingale. Khi đó, kỳ vọng EXn là một hằng số (không phụ thuộc n). 2. Cho {Xn , Fn } là một martingale dưới. Khi đó, dãy kỳ vọng an = EXn là dãy không giảm theo n. 3. Cho {Xn , Fn } là một martingale và Xn ∈ Lp , p > 1. Khi đó, dãy un = E|Xn |p là dãy không giảm theo n. 10 Thật vậy, với m 6 n ta có EXm = E((EXn |Fm )) = EXn nếu Xn là một martingale . Nếu Xn là một martingale dưới thì EXm 6 E[(EXn |Fm )] = EXn . 1.2 Các bất đẳng thức cơ bản 1.2.1 Một số bất đẳng thức cơ bản Có nhiều bất đẳng thức liên quan tới martingale và martingale trên, dưới. Dưới đây sẽ trình bày một vài bất đẳng thức cơ bản nhất. Các bất dẳng thức này sẽ được sử dụng để thiết lập các định lý hội tụ và luật số lớn cho martingale. Ta bắt đầu bằng một kết quả tổng quát hóa và chặt của bất đẳng thức Kolmogorov. Định lý 1.2.1. Nếu {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là một martingale dưới, thì với mỗi số thực λ ta có:     λP max Si > λ ≤ E Sn I(max Si > λ) . i6n i≤n Chứng minh. Đặt   [  [ n  n E = max Si > λ = Si > λ; max Sj ≤ λ = Ei . i≤n 1≤j 0, p λP   max |Si | > λ ≤ E|Sn |p . i≤n Định lý 1.2.1 có một ứng dụng theo một hướng khác, mà kéo theo kết quả sau. Định lý 1.2.3 (Bất đẳng thức Doob). Nếu {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì với p > 1, kSn kp ≤ max |Si | ≤ qkSn kp , i≤n p trong đó p−1 + q −1 = 1, ||Sn ||p = (E|Sn |p )1/p , n > 1 là chuẩn Lp của Sn ∈ Lp Chứng minh. Vế trái của bất đẳng thức là hiển nhiên. Để chứng minh vế phải của bất đẳng thức ta chú ý rằng, theo Định lý 1.2.1 và bất đẳng thức Holder ta được     Z ∞ p p−1 E max |Si | = p x P max |Si | > x dx i≤n i≤n 0    Z ∞ p−2 ≤p x E |Sn |I max |Si | > x dx i≤n 0 " # Z maxi≤n |Si | xp−2 dx = pE |Sn | 0    p−1 = qE |Sn | max |Si | i≤n p 1/p ≤ q(E|Sn | )   1/q p E max |Si | . i≤n Nếu −∞ < a < b < ∞, kí hiệu v = v(a, b, n) là số lần vượt qua từ một giá trị ≤ a tới một giá trị > b của dãy {Si , 1 6 i 6 n}, khi đó v được gọi là số lần cắt đoạn [a, b] (từ dưới lên trên) bởi dãy {Si } 12 Định lý 1.2.4. (Bất đẳng thức cắt ngang) Ký hiệu v là số lần cắt đoạn compact [a, b] bởi martingale dưới {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n}. Khi đó (b − a)E(v) ≤ E(Sn − a)+ − E(S1 − a)+ . (1.1) Chứng minh. Do {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới, nên {(Si − a)+ = max(Si − a, 0), Fi , 1 ≤ i ≤ n}, và số lần cắt đoạn [a, b] bởi dãy {Si } bằng số lần cắt đoạn [0, b − a] bởi {(Si − a)+ }. Cho nên ta chỉ cần chứng minh rằng với martingale dưới không âm {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} số lần cắt v trên đoạn [0, b] thỏa mãn bE(v) ≤ E(Sn − S1 ). (1.2) Đặt τ0 = 1, τ1 bằng giá trị j nhỏ nhất sao cho Sj = 0, τ2i bằng giá trị j nhỏ nhất trong khoảng τ2i−1 < j ≤ n sao cho Sj ≥ b (i ≥ 1), và τ2i−1 bằng giá trị j nhỏ nhất trong khoảng τ2i−2 < j ≤ n sao cho Sj = 0 (i ≥ 2). Ký hiệu l là giá trị i lớn nhất sao cho τi xác định đúng (1 ≤ l ≤ n), và đật τi = n với i > l. Khi đó τn = n, và Sn − S1 = n−1 X X (Sτi +1 − Sτi ) = t=0 i chẵn + X . i lẻ Giả sử rằng i lẻ. Nếu i > l thì Sτi+1 ≥ b > 0 = Sτi ; nếu i = l thì Sτi+1 = Sn ≥ 0 = Sτi ; và nếu i > l thì Sτi+1 = Sn = Sτi . Cho nên X i lẻ (Sτi+1 − Sτi ) ≥ X (Sτi+1 − Sτi ) ≥ [l/2]b = vb. (1.3) i lẻ i 0,   λP max |Si | > 2λ ≤ λP (|Sn | > λ) + E[(|Sn | − 2λ)I(|Sn | ≥ 2λ)] i≤n ≤ E[|Sn |I(|Sn | > λ)]. (1.4) Chứng minh. Đặt En = {mini≤n Si ≤ −2λ} và S0 = 0, ký hiệu F0 là σtrường thông thường. Do E(S1 ) = 0, dãy mở rộng {Si , Fi , 0 ≤ i ≤ n} là một martingale. Ký hiệu v là số vượt qua đoạn [−2λ, −λ] bởi {Si , 0 ≤ i ≤ n}. Từ Định lý 1.2.4 ta có λE(v) ≤ E(Sn + 2λ)+ − E(S0 + 2λ)− = E(Sn + 2λ)+ − 2λ. Bây giờ, P (En ) = P (En ; Sn ≥ −λ) + P (En ; Sn < −λ) ≤ P (v > 0) + P (Sm < −λ) ≤ E(v) + P (Sn < −λ). Cho nên λP (En ) ≤ E(Sn + 2λ)+ − 2λ + λP (Sn < −λ). Bằng cách xét số lần cắt đoạn [−2λ, −λ] bởi {Si , 0 ≤ i ≤ n} ta suy ra   λP max Si > 2λ ≤ E(−Sn + 2λ)+ − 2λ + λP (Sn > λ). i≤n Cộng hai bất đẳng thức cuối cùng lại ta thu được bất đẳng thức đầu tiên trong (1.4), và bất đẳng thức thứ hai thu được sau một số thao tác nhỏ. 14 1.2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương Bất đẳng thức hàm bình phương được phát triển bởi Burkholder và một số tác giả khác. Trước tiên, ta xét một số bổ đê mà kết quả của nó được dùng nhiều trong các bất đẳng thức quan trọng trong mục này, đó là bất đẳng thức Burkholder, bất đẳng thức Rosenthal,... Đặt X1 = S1 và ký hiệu Xi = Si − Si−1 , 2 ≤ i ≤ n là hiệu của 2 martingale Si , Si−1 của dãy {Si , 1 ≤ i ≤ n}. Bổ đề 1.2.6. Giả sử {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là một martingale L1 -bị chặn hoặc martingale dưới không âm. Với λ > 0 xác định thời điểm dừng τ bởi  min{i ≤ n | |Si | > λ} nếu tập này khác rỗng, τ= n + 1 nếu ngược lại. Khi đó E τ −1 X ! Xi2 + E(Sτ2−1 ) ≤ 2λE|Sn |. i=1 Chứng minh. Với bất kỳ m ≤ n + 1 m−1 X X 2 2 Xi2 + Sm−1 = 2Sm−1 −2 i=1 Xi Xj 1≤i 0. Khi đó với mỗi λ > 0, λP (Y > βλ) ≤ 3E[Si I(Y > λ)], (1.5) trong đó β = (1 + 2θ2 )1/2 , và với mỗi 1 < p < ∞, !1/2 X n 2 ≤ 9p1/2 qkSn kp , X i i=1 (1.6) p trong đó p−1 + q −1 = 1. Chứng minh. Vì β > 1, vế trái của (1.5) không vượt quá n  X 1/2  2 λP (max Sn > λ) + λP θ Xi > βλ, max Si ≤ λ . i≤n i≤n i=1 Sử dụng Định lý 1.2.1 ta có thể chặn số hạng đầu tiên bởi    E Sn I max Si > λ ≤ E[Sn I(Y > λ)]. i≤n Pn 2 1/2 i=1 Xi ) > λ), m ≤ n. Vì " #   m−1  X 1/2  Xi2 > λ Fm−1 E(Tm | Fm−1 ) ≥ E Sn I θ Đặt Tm = Sm I(θ( i=1   m−1  X 1/2 2 = E(Sm | Fm−1 )I θ Xi >λ i=1 16 (1.7) (1.8) ≥ Tm−1 , {Ti , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới không âm. Ký hiệu Y1 = T1 và Yi = Ti − Ti−1 . Ta sẽ chứng minh rằng     !1/2 !1/2 n n  X   X  2 2 θ Xi > βλ, max Si ≤ λ ⊆ Yi > λ, max Ti ≤ λ . i≤n i≤n     i=1 i=1 (1.9) Từ đây suy ra số hạng thứ hai trong (1.7) bị chặn bởi   !1/2 " n !  # n X X λP  Yi2 > λ, max Ti ≤ λ ≤ λ−1 E Yi2 I max Ti ≤ λ i=1 i≤n i=1 i≤n ≤ 2E(Tn ) ≤ 2E[Sn I(Y > λ)], sử dụng Bổ đề 1.2.6 để thu đưược bất đẳng thức thứ hai. Kết hợp với bất đẳng thức (1.8) ta thu được (1.5). Bất đẳng thức (1.6) được suy ra từ (1.5): Z ∞ E(Y p ) = p xp−1 P (Y > x)dx 0 Z ∞ p y p−1 P (Y > βy)dy = pβ 0 Z ∞ p y p−2 E[Sn I(Y > y)]dy ≤ 2pβ 0 i h Z ∞ p−2 p y dy = 3pβ E Sn 0 p = 3qβ E[Sn Y p−1 ] ≤ 3qβ p (ESnp )1/p (EY p )1/q . Do đó, n  X 1/2 Xi2 θ ≤ kY kp ≤ 3qβ p kSn kp . i=1 p Nếu θ = p−1/2 , thì β p = (1 + 2/p)p/2 < e < 3, và suy ra (1.6). Ta còn phải chứng minh 1.9. Xét thời điểm dừng     P 1/2  i  2 min i ≤ nθ >λ nếu tập này khác rỗng j=1 Xj v=  n nếu ngược lại. 17 Trong tập ở vế trái của (1.9), maxi≤n Ti ≤ λ và 2 2 2 β λ <θ n X Xi2 =θ 2 i=1 < λ2 + θ2 λ2 + θ2 v−1 X i=1 n X Xi2 +θ 2 Xv2 +θ n X 2 Xi2 i=v+1 Yi2 . i=1 Bổ đề 1.2.8. Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên không âm và giả sử β > 1, δ > 0, và ε > 0 thỏa mãn rằng với mọi λ > 0, P (X > βλ; Y ≤ δλ) ≤ εP (X > λ). (1.10) Khi đó nếu 0 < p < ∞ và ε < β −p thì E(X p ) ≤ β p δ −p (1 − εβ p )−1 E(Y p ). (1.11) Chứng minh. Từ (1.10), P (X > βλ) = P (X > βλ, Y ≤ δλ) + P (X > βλ, Y > δλ) ≤ εP (X > λ) + P (Y > δλ). Cho nên p E(X ) = pβ p ≤ εpβ Z p ∞ xp−1 P (X > βx)dx Z0 ∞ x p−1 P (X > x)dx + pβ 0 p p ∞ Z xp−1 P (Y > δx)dx 0 p p −p p = εβ E(X ) + β δ E(Y ), kéo theo (1.11). Định lý 1.2.9 (Bất đẳng thức Burkholder). Nếu {Si , Fi , 1 ≤ i ≤ n} là một martingale và 1 < p < ∞, khi đó tồn tại các hằng số C1 và C2 chỉ phụ thuộc vào p sao cho  p/2  p/2 n n X  X    p 2 2 C1 E  Xi  ≤ E|Sn | ≤ C2 E  Xi  .     i=1 i=1 18 (1.12)