Tài liệu Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGÔ THƯỢNG THỦY MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG THÁI NGUYÊN, 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGÔ THƯỢNG THỦY MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN, 2019 Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn Khoa học PGS. TS. Hà Trần Phương Mục lục Lời mở đầu 1 Bảng kí hiệu 3 Chương 1. Không gian metric riêng 4 1.1 Định nghĩa và ví dụ về không gian metric riêng . . . . . . . . . . 4 1.2 Sự hội tụ trong không gian metric riêng . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Metric riêng Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Một số tính chất cơ bản của không gian metric riêng . . . . . . . 16 Chương 2. Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng 20 2.1 Định lí điểm bất động cho ánh xạ giãn . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co đơn trị . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Sự tồn tại nghiệm chung của các phương trình tích phân kiểu Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 41 1 Lời mở đầu Các định lý điểm bất động đóng vai trò khá quan trọng trong lý thuyết tối ưu. Những kết quả đầu tiên được biết đến đó là nguyên lý ánh xạ co Banach trên lớp các không gian metric đầy đủ. Về sau có rất nhiều tác giả mở rộng nguyên lý này với các điều kiện khác nhau của không gian và ánh xạ. Vào năm 1994, S. Matthews (xem [8]) là người đầu tiên đưa ra giới thiệu khái niệm không gian metric riêng. Đây là lớp không gian mở rộng tự nhiên từ không gian metric thông thường, có vai trò khá quan trọng và có một số ứng dụng trong việc phát triển toán lý thuyết, đặc biệt là các định lý điểm bất động. Trong một số năm trở lại đây, một số nhà Toán học đã nghiên cứu về không gian metric riêng và tính chất của nó, đồng thời tổng quát hóa và mở rộng được một số kết quả của S. Matthews. Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ hơn về các vấn đề liên quan đến khái niệm, tính chất và một số định lí điểm bất động trong không gian metric riêng, tôi đã thực hiện nghiên cứu luận văn của mình với tên gọi là: "Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng và ứng dụng". Các nghiên cứu trong luận văn này được chia ra thành 2 chương: • Chương 1: Không gian metric riêng: Trong chương này, tôi trình bày lại một số kiến thức cần phải nắm vững khi nghiên cứu về lí thuyết điểm bất động. Đây hầu hết là những những định nghĩa, tính chất... khá cơ bản, chẳng hạn như: không gian metric riêng, dãy Cauchy, dãy 0-Cauchy, sự hội tụ trong không gian metric riêng. Ngoài ra, tôi còn nghiên cứu về metric riêng Hausdorff và đưa một số ví dụ minh họa. Trong phần cuối của chương, tôi có trình bày một số tính chất cơ bản của không gian metric riêng để phục vụ cho các nội dung có trong Chương 2. 2 • Chương 2: Một số định lí về điểm bất động trong không gian metric riêng. Đây là phần trọng tâm của luận văn, tôi có trình bày chủ yếu về các kiến thức xoay quanh khái niệm điểm bất động trong không gian metric riêng cho một số các ánh xạ: ánh xạ giãn, ánh xạ co đơn trị .... Ngoài việc trình bày một cách có hệ thống các kiến thức, tôi đã đưa ra các ví dụ và bài tập nhằm giảm bớt tính trừu tượng của các khái niệm cũng như các định lí, mệnh đề đã được đề cập. Phần cuối cùng của chương, tôi có trình bày một ứng dụng của định lí điểm bất động trong không gian metric riêng, đó là sự tồn tại nghiệm chung của các phương trình tích phân kiểu Volterra. Tôi đã cố gắng chọn lọc, sắp xếp để nội dung luận văn được ngắn gọn và phù hợp hơn, nhưng do thời gian và khuôn khổ của luận văn Thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Chính vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ phía các thầy cô giảng viên, các nhà nghiên cứu và các anh chị học viên Cao học để luận văn được hoàn thiện hơn. Trong quá trình thực hiện luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy giáo Hà Trần Phương. Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, các thầy cô giáo và anh chị học viên lớp Cao học Toán K11A trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2019 Học viên Cao học Ngô Thượng Thủy 3 Bảng kí hiệu Trong toàn luận văn này, ta dùng một số kí hiệu sau N tập hợp các số tự nhiên R tập hợp các số số thực R+ tập hợp các số thực không âm ∪ phép hợp ∩ phép giao × tích Descartes ∅ tập hợp rỗng id ánh xạ đồng nhất A bao đóng của tập hợp A Bp (x, ε) hình cầu mở tâm tại x, bán kính ε [a, b] đoạn đóng của tập số thực với các đầu mút a, b và a < b 4 Chương 1 Không gian metric riêng Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa, đưa ra một số ví dụ cụ thể và tập trung nghiên cứu một số tính chất cơ bản của không gian metric riêng. Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho việc trình bày các nội dung trọng tâm trong Chương 2 của luận văn. Nội dung trong chương được trích dẫn chủ yếu từ các nguồn tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [6] và [8]. 1.1 Định nghĩa và ví dụ về không gian metric riêng Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng, một metric riêng trên X là một hàm số p : X × X −→ R+ sao cho với mọi x, y, z ∈ X ta có (P1) p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) nếu và chỉ nếu x = y; (P2) p(x, x) 6 p(x, y); (P3) p(x, y) = p(y, x); (P4) p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y). Khi đó, cặp (X, p) được gọi là một không gian metric riêng. Ví dụ 1.1.2. Cho X = R+ và p : X × X −→ R+ là một hàm số xác định bởi p(x, y) = max {x, y} , với mọi x, y ∈ X. Khi đó, (X, p) là một không gian metric 5 riêng. Thật vậy, rõ ràng p thỏa mãn Điều kiện (P1), (P2), (P3) của Định nghĩa 1.1.1 nên ta chỉ cần chứng minh p thỏa mãn Điều kiện (P4). Rõ ràng vai trò của x, z như nhau nên không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử x 6 z. Ta có đánh giá p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) ⇔ max {x, z} 6 max {x, y} + max {y, z} − max {y, y} ⇔z 6 max {x, y} + max {y, z} − y. ⇔ (max {x, y} − y) + (max {y, z} − z) > 0. Bất đẳng thức cuối luôn thỏa mãn nên p thỏa mãn điều kiện (P4). Do đó (X, p) là một không gian metric riêng. Ví dụ 1.1.3. Cho X = {[a, b] | a, b ∈ R, a 6 b} và p : X × X −→ R+ là hàm số cho bởi p ([a, b], [c, d]) = max {b, d} − min {a, c}. Dễ thấy p thỏa mãn các Điều kiện (P1), (P2), (P3) của Định nghĩa 1.1.1. Đặt x = [a, b], y = [c, d], z = [e, g]. Vì vai trò của x, z như nhau nên không giảm tính tổng quát, ta chỉ xét 3 trường hợp sau: Trường hợp 1: a 6 b < e 6 g. Ta có đánh giá p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) ⇔ g − a 6 max {b, d} − min {a, c} + max {d, g} − min {c, e} − d + c ⇔ (max {d, g} − g) + (a − min {a, c}) + (max {b, d} − d) + (c − min {c, e}) > 0. Bất đẳng thức cuối thỏa mãn. Trường hợp 2: a 6 e < b 6 g. Tương tự như trường hợp 1, ta cũng có p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y). Trường hợp 3: a 6 e 6 g 6 b. Ta có đánh giá p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y) ⇔ b − a 6 max {b, d} − min {a, c} + max {d, g} − min {c, e} − d + c ⇔ (max {b, d} − b) + (a − min {a, c}) + (max {d, g} − d) + (c − min {c, e}) > 0. Bất đẳng thức cuối thỏa mãn. Vậy p thỏa mãn Điều kiện (P4) nên p là một metric riêng trên X, hay (X, p) là một không gian metric riêng. 6 Nhận xét 1.1.4. 1. Một không gian metric luôn là một không gian metric riêng. Thật vậy, giả sử (X, p) là một không gian metric. Khi đó, rõ ràng (X, p) thỏa mãn các Điều kiện (P1), (P2), (P3) của Định nghĩa 1.1.1. Theo tiên đề tam giác ta có p(x, z) 6 p(x, y) + p(y, z) = p(x, y) + p(y, z) − 0 6 p(x, y) + p(y, z) − p(y, y). Vậy (X, p) thỏa mãn Điều kiện (P4) nên nó là một không gian metric riêng. 2. Từ Định nghĩa 1.1.1, ta nhận thấy rằng nếu p(x, y) = 0 thì từ Điều kiện (P1), (P2), ta suy ra được x = y. Tuy nhiên điều ngược lại nhìn chung không còn đúng; nghĩa là nếu x = y thì p(x, y) chưa chắc đã bằng 0. Thật vậy, chẳng hạn trong Ví dụ 1.1.2 ta thấy p(x, x) = x không nhất thiết phải bằng 0. 3. Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Khi đó hàm ps : X×X −→ R+ xác định bởi ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) với mọi x, y ∈ X là một metric trên X. Thật vậy, ta kiểm tra được • ps (x, y) = 0 ⇔ 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) = 0 ⇔ x = y. • ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) = 2p(y, x) − p(y, y) − p(x, x) = ps (y, x). Mặt khác, ta có đánh giá ps (x, y) + ps (y, z) = [2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y)] + [2p(y, z) − p(y, y) − p(z, z)] = 2 [p(x, y) + p(y, z) − p(y, y)] − p(x, x) − p(z, z) > 2p(x, z) − p(x, x) − p(z, z) = ps (x, z). Vậy ps thỏa mãn 3 tiên đề của metric nên ps là một metric trên X. Định nghĩa 1.1.5. Cho (X, p) là một không gian metric riêng, x ∈ X và ε > 0. Ta gọi tập hợp Bp (x, ε) = {y ∈ X | p(x, y) < p(x, x) + ε} là một p-hình cầu mở tâm tại x, bán kính ε. 7 1.2 Sự hội tụ trong không gian metric riêng Định nghĩa 1.2.1. Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Ta có các định nghĩa sau: 1. Một dãy {xn } trong X hội tụ về một điểm x ∈ X nếu và chỉ nếu lim p(x, xn ) = p(x, x); n→∞ nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n > n0 ta có |p(x, xn ) − p(x, x)| < ε. Ta gọi x là giới hạn của dãy {xn } , kí hiệu là xn → x. 2. Một dãy {xn } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu giới hạn lim p(xn , xm ) n,m→∞ tồn tại và nhận giá trị hữu hạn; nghĩa là lim p(xn , xm ) = a, a hữu hạn n,m→∞ khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n > n0 ta có |p(xn , xm ) − a| < ε. 3. (X, p) được gọi là không gian metric riêng đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy {xn } trong X hội tụ về một điểm x ∈ X p(x, x) = lim p(xn , xm ), n,m→∞ nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n > n0 ta có |p(xn , xm ) − p(x, x)| < ε. Mệnh đề 1.2.2. (xem [6]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, khi đó các khẳng định sau là đúng: (i) Nếu {xn } là một dãy hội tụ trong X thì {xn } là một dãy Cauchy. (ii) Nếu {xn } là một dãy trong X hội tụ về x và y thì x = y. (iii) Nếu {xn } và {yn } là các dãy trong X hội tụ lần lượt về x và y thì lim p(xn , yn ) = p(x, y). n→∞ 8 Chứng minh. (i) Giả sử {xn } là một dãy trong X hội tụ về x. Khi đó p(x, x) = lim p(x, xm ) = lim p(xn , xn ). n→∞ n→∞ Với n, m ∈ N ta có đánh giá p(xn , xm ) 6 p(x, x) + p(x, xm ) − p(x, x), p(x, x) 6 p(x, xn ) + p(xn , xm ) + p(xm , x) − p(xn , xn ) − p(xm , xm ). Trong các đánh giá trên, cho n, m → ∞ ta được p(x, x) 6 lim p(xn , xm ) 6 p(x, x). n,m→∞ Suy ra lim p(xn , xm ) = p(x, x) hay {xn } là một dãy Cauchy trong X. n,m→∞ (ii) Giả sử {xn } là một dãy trong X hội tụ về x và y. Từ Định nghĩa 1.2.1 ta có p(x, x) = lim p(x, xn ) = lim p(xn , xn ), n→∞ n→∞ p(y, y) = lim p(y, xn ) = lim p(xn , xn ). n→∞ n→∞ Suy ra p(x, x) = p(y, y). Trong đánh giá p(x, y) 6 p(x, xn ) + p(xn , y) − p(xn , xn ), cho n → ∞ ta được p(x, y) 6 p(x, x). Tương tự, trong đánh giá p(xn , xn ) 6 p(xn , x) + p(x, y) + p(y, xn ) − p(x, x) − p(y, y), cho cho n → ∞ ta được p(x, x) 6 p(x, y). Dẫn tới p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) hay x = y. (iii) Giả sử {xn } và {yn } là các dãy trong X hội tụ lần lượt về x và y. Từ Định nghĩa 1.2.1 ta có p(x, x) = lim p(x, xn ) = lim p(xn , xn ), n→∞ n→∞ p(y, y) = lim p(y, yn ) = lim p(yn , yn ). n→∞ n→∞ 9 Với mỗi n ∈ N ta có đánh giá p(xn , yn ) 6 p(xn , x) + p(x, y) + p(y, yn ) − p(x, x) − p(y, y), p(x, y) 6 p(x, xn ) + p(xn , yn ) + p(yn , y) − p(xn , xn ) − p(yn , yn ). Trong hai đánh giá trên, cho n → ∞ và thu gọn ta có lim p(xn , yn ) 6 p(x, y) n→∞ và p(x, y) 6 lim p(xn , yn ). n→∞ Vậy lim p(xn , yn ) = p(x, y). n→∞ Định lí 1.2.3. (xem [3]) Dãy {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) nếu và chỉ nếu nó là một dãy Cauchy trong không gian metric (X, ps ). Chứng minh. Giả sử {xn } là một dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p), ta có ps (xn , xm ) =2p(xn , xm ) − p(xn , xn ) − p(xm , xm ) = [p(xn , xm ) − p(xn , xn )] + [p(xn , xm ) − p(xm , xm )] . Chú ý rằng, do {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) nên với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n, m ∈ N mà n, m > n0 ta có |p(xn , xm ) − p(xn , xn )| < ε 2 và ε |p(xn , xm ) − p(xm , xm )| < . 2 Suy ra ps (xn , xm ) < ε nên {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric (X, ps ). Ngược lại, giả sử {xn } là một dãy Cauchy trong không gian metric (X, ps ). Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N, sao cho với mọi n, m > n0 ta có ps (xn , xm ) < ε. Ta có đánh giá p(xn , xm ) 6 p(xn , xk ) + p(xk , xm ) − p(xk , xk ) 6 p(xn , xk ) + p(xk , xl ) + p(xl , xm ) − p(xl , xl ) − p(xk , xk ). Suy ra p(xn , xm ) − p(xk , xl ) 6 [(p(xn , xk ) − p(xk , xk )] + [p(xl , xm ) − p(xl , xl )] < ε. Vậy {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p). 10 Định lí 1.2.4. (xem [4]) Không gian metric riêng (X, p) là không gian metric riêng đầy đủ nếu và chỉ nếu không gian metric (X, ps ) là không gian đầy đủ. Hơn nữa, lim ps (xn , x) = 0 nếu và chỉ nếu n→∞ p(x, x) = lim p(xn , x) = lim p(xn , xm ). n→∞ n,m→∞ Chứng minh. Giả sử (X, p) là không gian metric riêng đầy đủ và {xn } là một dãy Cauchy trong không gian metric (X, ps ). Theo Định lí 1.2.4 thì {xn } là một dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p). Vì (X, p) là không gian đầy đủ nên dãy {xn } hội tụ về x ∈ X, tức là p(x, x) = lim p(xn , x) = lim p(xn , xn ). n→∞ n→∞ Theo định nghĩa của ps ta có ps (xn , x) = 2p(xn , x) − p(xn , xn ) − p(x, x). (1.1) Trong Đẳng thức (1.1) cho n → ∞ ta nhận được lim ps (xn , x) = 0, hay dãy n→∞ {xn } hội tụ về x trong không gian metric (X, ps ). Vậy (X, ps ) là không gian metric đầy đủ. Ngược lại, giả sử (X, ps ) là không gian metric đầy đủ và {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric riêng (X, p). Theo Định lí 1.2.3 thì dãy {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric (X, ps ). Vì (X, ps ) là không gian đầy đủ nên dãy {xn } hội tụ về x ∈ X hay lim ps (xn , x) = 0. Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại n→∞ n0 ∈ N, sao cho với mọi n > n0 ta có ps (xn , x) < ε ⇒ |2p(xn , x) − p(xn , xn ) − p(x, x)| < ε. ⇒ |[p(xn , x) − p(xn , xn )] + [p(xn , x) − p(x, x)]| < ε. Từ đây suy ra |p(xn , x) − p(xn , xn )| < ε và |p(xn , x) − p(x, x)| < ε. Dẫn tới lim p(xn , x) = lim p(xn , xn ) = p(x, x). n→∞ n→∞ Do đó {xn } hội tụ về x ∈ X, hay (X, p) là không gian metric riêng đầy đủ. 11 Định nghĩa 1.2.5. Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Một ánh xạ f : X −→ X được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho f (Bp (x, δ)) ⊆ Bp (f (x), ε). Ánh xạ f được gọi là liên tục trên A ⊆ X nếu f liên tục tại mọi x ∈ A. Nếu f liên tục trên X thì ta nói f là ánh xạ liên tục. Định lý 1.2.6. (xem [4]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng, một ánh xạ f : X −→ X liên tục và {xn } là một dãy trong X. Khi đó, nếu dãy {xn } hội tụ về x ∈ X thì dãy {f (xn )} hội tụ về f (x). Chứng minh. Với mọi ε > 0, ta cần chỉ ra |p(f (xn ), f (x)) − p(f (x), f (x))| < ε. Thật vậy, vì f liên tục tại x nên tồn tại δ > 0 sao cho f (Bp (x, δ)) ⊂ Bp (f (x), ε). Vì xn → x nên tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho |p(xn , x) − p(x, x)| < δ, tức là ta có xn ∈ Bp (x, δ), với mọi n > n0 . Suy ra f (xn ) ∈ Bp (f (x), ε), với mọi n > n0 . Điều này dẫn tới p(f (xn ), f (x)) − p(f (x), f (x)) < ε. Vậy {f (xn )} hội tụ về f (x). Định nghĩa 1.2.7. Một dãy {xn } trong không gian metric riêng (X, p) được gọi là dãy 0-Cauchy nếu lim p(xn , xm ) = 0. Không gian metric riêng (X, p) n,m→∞ được gọi là không gian 0-đầy đủ nếu mọi dãy 0-Cauchy trong X hội tụ về một điểm x ∈ X sao cho p(x, x) = 0. Chú ý 1.2.8. 1. Mọi dãy 0-Cauchy trong không gian metric riêng (X, p) đều là dãy Cauchy. Tuy nhiên điều ngược lại không còn đúng, chẳng hạn xét X = {a, b} và hàm p cho bởi  1 p(x, y) = 2 nếu x = y . nếu x 6= y Khi đó, rõ ràng dãy {xn } cho bởi xn = a với mọi n ∈ N là dãy Cauchy hội tụ về a, nhưng không là dãy 0-Cauchy. 12 2. Mọi không gian metric riêng đầy đủ đều là không gian metric 0-đầy đủ. Tuy nhiên điều ngược lại không còn đúng, tức là một không gian metric riêng 0-đầy đủ thì chưa chắc đã là không gian đầy đủ. Chẳng hạn, không gian metric (Q ∩ [0, ∞) , p), trong đó Q là tập hợp các số hữu tỉ và metric riêng p cho bởi p(x, y) = max {x, y} , với mọi x, y > 0 là một ví dụ về không gian metric riêng 0-đầy đủ nhưng không là không gian metric riêng đầy đủ. Định lí dưới đây là điều kiện cần và đủ để một không gian metric riêng là một không gian metric. Định lí 1.2.9. (xem [4]) Không gian metric riêng (X, p) là không gian metric nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy 0-Cauchy. Chứng minh. Rõ ràng nếu (X, p) là không gian metric thì mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy 0-Cauchy. Ngược lại, giả sử mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy 0-Cauchy. Khi đó, với mỗi a ∈ X, a là hằng số, xét dãy {xn } cho bởi xn = a với mọi n ∈ N. Thế thì, rõ ràng {xn } là một dãy Cauchy trong X nên nó là dãy 0-Cauchy. Theo định nghĩa ta có lim p(xn , xm ) = p(a, a) = 0, n,m→∞ hay p(x, x) = 0, với mọi x ∈ X. Suy ra p(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y và p(x, y) 6 p(x, z) + p(y, z), với mọi x, y, z ∈ X. Hơn nữa, ta có p(x, y) = p(y, x) với mọi x, y ∈ X. Vậy (X, p) là một không gian metric. 1.3 Metric riêng Hausdorff Kí hiệu CB p (X) là tập hợp tất cả các tập khác rỗng, đóng và bị chặn của không gian metric riêng (X, p). Chú ý rằng tính đóng được tạo nên từ (X, τp ) (τp là tôpô được sinh bởi p) và tính bị chặn được xác định như sau: tập con A bị chặn trong không gian (X, p) nếu tồn tại x0 ∈ X và M > 0 sao cho với mọi a ∈ A ta có a ∈ Bp (x0 , M ), nghĩa là p(x0 , a) < p(a, a) + M, với mọi a ∈ A. Với A, B ∈ CB p (X) và x ∈ X, ta kí hiệu 13 p(x, A) = inf p(x, a), a∈A δp (A, B) = sup p(a, B), a∈A δp (B, A) = sup p(b, A), b∈B Hp (A, B) = max {δp (A, B), δp (B, A)} . Ta kiểm tra được rằng từ điều kiện p(x, A) = 0 suy ra ps (x, A) = 0, trong đó ps (x, A) = inf ps (x, a). a∈A Chú ý 1.3.1. Cho (X, p) là một không gian metric riêng và A là một tập khác rỗng trong (X, p). Khi đó, a ∈ A nếu và chỉ nếu p(a, A) = p(a, a), trong đó A là bao đóng của A. Thật vậy, do A là tập đóng trong không gian metric riêng (X, p) nên A = A. Ta có a ∈ A ⇔ Bp (a, ε) ∩ A 6= ∅ với mọi ε > 0 ⇔ tồn tại x ∈ A : p(a, x) < ε + p(a, a) với mọi ε > 0 ⇔ tồn tại x ∈ A : p(a, x) − p(a, a) < ε với mọi ε > 0 ⇔ inf {p(a, x) − p(a, a)} = 0 x∈A ⇔ inf p(a, x) − p(a, a) = 0 x∈A ⇔ p(a, A) = p(a, a). Tiếp theo, ta đi nghiên cứu một số tính chất quan trọng của ánh xạ δp : CB p (X) × CB p (X) −→ [0, ∞). Mệnh đề 1.3.2. (xem [3]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Khi đó, với mọi A, B, C ∈ CB p (X), ta có (i) δp (A, A) = sup p(a, a); a∈A (ii) δp (A, A) 6 δp (A, B); (iii) δp (A, B) = 0 suy ra A ⊆ B; 14 (iv) δp (A, B) 6 δp (A, C) + δp (C, B) − inf p(c, c). c∈C Chứng minh. (i) Vì A là tập đóng nên A = A. Theo Chú ý 1.3.1, tồn tại a ∈ A sao cho p(a, A) = p(a, a). Do vậy δp (A, A) = sup p(a, A) = sup p(a, a). a∈A a∈A (ii) Lấy a ∈ A, ta có p(a, a) 6 p(a, b) với mọi b ∈ B. Do đó p(a, a) 6 p(a, B) 6 δp (A, B). Theo (i), suy ra δp (A, A) = sup p(a, a) 6 δp (A, B). a∈A (iii) Giả sử δp (A, B) = 0, dẫn tới p(a, B) = 0 với mọi a ∈ A. Từ (i) và (ii) suy ra p(a, a) 6 δp (A, B) = 0 với mọi a ∈ A. Do đó p(a, a) = 0 hay p(a, B) = p(a, a) với mọi a ∈ A. Theo Chú ý 1.3.1 ta có a ∈ B = B. Vậy A ⊆ B. (iv) Lấy a ∈ A, b ∈ B và c ∈ C, ta có p(a, b) 6 p(a, c) + p(c, b) − p(c, c), suy ra p(a, B) 6 p(a, c) + p(c, B) − p(c, c), p(a, B) + p(c, c) 6 p(a, c) + δp (C, B). Vì c là phần tử bất kì của C nên p(a, B) + inf p(c, c) 6 p(a, C) + δp (C, B). c∈C Chú ý rằng, do a là phần tử bất kì của A nên ta nhận được δp (A, B) 6 δp (A, C) + δp (C, B) − inf p(c, c). c∈C Mệnh đề 1.3.3. (xem [3]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Khi đó, với mọi A, B, C ∈ CB p (X), ta có (H1 ) Hp (A, A) = Hp (A, B), (H2 ) Hp (A, B) = Hp (B, A), (H3 ) Hp (A, B) 6 Hp (A, C) + Hp (C, B) − inf p(c, c), c∈C 15 Chứng minh. Theo (ii) của Mệnh đề 1.3.2, ta có Hp (A, A) = δp (A, A) 6 δp (A, B) 6 Hp (A, B). Theo định nghĩa, ta có (H2 ). Từ Tính chất (iv) trong Mệnh đề 1.3.2 ta có Hp (A, B) = max {δp (A, B), δp (B, A)}   6 max δp (A, C) + δp (C, B) − inf p(c, c), δp (B, C) + δp (C, A) − inf p(c, c) c∈C c∈C = max {δp (A, C) + δp (C, B), δp (B, C) + δp (C, A)} − inf p(c, c) c∈C 6 max {δp (A, C), δp (C, A)} + max {δp (C, B), δp (B, C)} − inf p(c, c) c∈C = Hp (A, C) + Hp (C, B) − inf p(c, c). c∈C Mệnh đề 1.3.4. (xem [3]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Với A, B ∈ CB p (X), nếu Hp (A, B) = 0 thì A = B. Chứng minh. Giả sử Hp (A, B) = 0, từ định nghĩa của Hp suy ra δp (A, B) = δp (B, A) = 0. Sử dụng (iii) trong Mệnh đề 1.3.2 ta được A ⊆ B và A ⊆ B. Vậy A = B. Nhận xét 1.3.5. Điều ngược lại của Mệnh đề 1.3.4 nhìn chung không còn đúng. Chẳng hạn, xét X = [0, 1] với metric riêng p : X × X −→ R+ xác định bởi p(x, y) = max {x, y} . Ta sẽ chỉ ra Hp (X, X) 6= 0. Thật vậy, theo (i) của Mệnh đề 1.3.2 ta có Hp (X, X) = δp (X, X) = sup {x} = 1 6= 0. 06x61 Theo Mệnh đề 1.3.3 và Mệnh đề 1.3.4, ta gọi ánh xạ Hp : CB p (X) × CB p (X) −→ [0, +∞) là một metric riêng Hausdorff sinh bởi metric riêng p. Rõ ràng, mọi metric Hausdorff luôn là metric riêng Hausdorff. Tuy nhiên, theo Nhận xét 1.3.2 thì điều ngược lại không đúng. 16 1.4 Một số tính chất cơ bản của không gian metric riêng Mệnh đề 1.4.1. (xem [6]) Cho (X, p) là một không gian metric riêng. Khi đó, hàm d : X × X → R+ xác định bởi  0 d(x, y) = p(x, y) nếu x = y nếu x 6= y là một metric trên X thỏa mãn τps ⊆ τd . Hơn nữa, (X, d) là không gian metric riêng đầy đủ nếu và chỉ nếu (X, p) là không gian 0-đầy đủ. Chứng minh. Rõ ràng d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y và d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X. Lấy x, y, z ∈ X, chú ý rằng ta đã có d(x, y) 6 p(x, y) 6 p(x, z) + p(y, z) − p(z, z). + Nếu x 6= y và x = z thì d(x, y) 6 p(z, z) + d(z, y) − p(z, z) = d(z, y) = d(x, y). + Nếu x 6= y và y = z thì d(x, y) 6 d(x, z) + p(y, y) − p(y, y) = d(x, y). + Nếu x = y thì d(x, y) = 0 6 d(x, z) + d(z, y). Do vậy (X, d) là một không gian metric. Giả sử (X, p) là không gian 0-đầy đủ và {xn } là một dãy Cauchy trong (X, d). Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử xn 6= xm với mọi n 6= m. Do đó d(xn , xm ) = p(xn , xm ) với mọi n, m > 1. Vậy {xn } là một dãy Cauchy trong (X, p). Vì (X, p) là không gian 0-đầy đủ nên lim p(xn , x∗ ) = 0 với x∗ ∈ X. Chú ý rằng x∗ 6= xn với mọi n nên n→∞ lim d(xn , x∗ ) = 0 và do đó (X, d) là không gian metric đầy đủ. n→∞ Ngược lại, giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và {xn } là một dãy 0-Cauchy trong (X, p). Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử xn 6= xm với mọi n 6= m. Do đó p(xn , xm ) = d(xn , xm ) với mọi n, m > 1. Vậy {xn } là một dãy Cauchy trong (X, d). Vì (X, d) là không gian đầy đủ nên tồn tại x∗ ∈ X sao cho lim d(xn , x∗ ) = 0. Suy ra lim p(xn , x∗ ) = 0 hay (X, p) là không gian 0-đầy n→∞ đủ. n→∞