Tài liệu Mot so dang toan ve do thi ham so

§Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ phÇn I §Æt vÊn ®Ò To¸n häc lµ m«n khoa häc c¬ b¶n, cã liªn quan ®Õn nhiÒu ngµnh, nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau. C¸c thµnh tùu cña to¸n häc lu«n gãp phÇn to lín vµo viÖc c¶i t¹o tù nhiªn, ®em l¹i lîi Ých phôc vô cho cuéc sèng cña loµi ngêi ngµy mét tèt ®Ñp h¬n. D¹y to¸n häc nh»m trang bÞ cho häc sinh mét hÖ thèng tri thøc khoa häc phæ th«ng c¬ b¶n t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em ®îc h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn c¸c phÈm chÊt, n¨ng lùc trÝ tuÖ, ®ång thêi trang bÞ cho c¸c em hÖ thèng tri thøc ®¶m b¶o ®ñ ®Ó nghiªn cøu vµ kh¸m ph¸ thÕ giíi xung quanh, gãp phÇn c¶i t¹o thÕ giíi, c¶i t¹o thiªn nhiªn mang l¹i cuéc sèng Êm no h¹nh phóc cho mäi ngêi. Trong ch¬ng tr×nh to¸n bËc trung häc c¬ së, hai chñ ®Ò lín cña m«n ®¹i sè lµ "Sè" vµ "Hµm sè". Kh¸i niÖm "Hµm sè" xuyªn suèt ch¬ng tr×nh m«n ®¹i sè ë phæ th«ng, b¾t ®Çu tõ líp 7 vµ nã lµ kiÕn thøc träng t©m cña m«n ®¹i sè. Víi c¸c kh¸i niÖm hµm bËc nhÊt, bËc hai vµ c¸c d¹ng ®å thÞ t¬ng øng, phÇn hµm sè ®îc ph©n lîng thêi gian kh«ng nhiÒu. Tuy vËy bµi tËp vÒ hµm sè th× thËt lµ nhiÒu d¹ng vµ kh«ng thÓ thiÕu trong c¸c kú kiÓm tra, kú thi. Kh¸i niÖm hµm sè lµ kh¸i niÖm trõu tîng mµ thêi gian luyÖn tËp l¹i kh«ng nhiÒu, nªn kÕt qu¶ cña häc sinh kh«ng cao. Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m ë bËc THCS vµ t×m hiÓu t©m lý cña ®èi tîng häc sinh t«i thÊy c¸c bµi tËp vÒ ®å thÞ vµ hµm sè häc sinh cßn rÊt lóng tóng chÝnh v× vËy t«i ®· quyÕt ®Þnh tiÕn hµnh nghiªn cøu: "Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ". Trong ®Ò tµi nµy t«i cè g¾ng lµm s¸ng tá kh¸i niÖm hµm sè, ®å thÞ vµ ®a ra mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ c¸c bµi tËp cã liªn quan. B»ng c¸ch s¾p xÕp c¸c d¹ng to¸n, ph¬ng ph¸p truyÒn thô phï hîp víi ®èi tîng häc sinh, ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh, chó ý söa sai cho c¸c em, t«i ®· gióp häc sinh hiÓu ®©y lµ phÇn bµi tËp cã thuËt gi¶i râ rµng, chÝnh x¸c, cã nhiÒu néi dung øng dông phong phó. Hµm sè cßn ®îc coi lµ c«ng cô gi¶i quyÕt mét sè bµi to¸n kh¸c nh t×m cùc trÞ, gi¶i ph¬ng tr×nh, gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh, sau ®©y lµ néi dung ®Ò tµi. PhÇn II 1 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ Néi dung ®Ò tµi Ch¬ng I: lý thuyÕt c¬ b¶n §Ó lµm tèt c¸c bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ tríc hÕt chóng ta vµ häc sinh cÇn n¾m v÷ng kh¸i niÖm hµm sè. I. Kh¸i niÖm hµm sè: Kh¸i niÖm hµm sè ®îc ®Þnh nghÜa theo quan ®iÓm hiÖn ®¹i " Hµm sè lµ mét ¸nh x¹ tõ tËp hîp sè ®Õn mét tËp hîp sè" Tríc tiªn ta lµm quen víi ¸nh x¹: 1. ¸nh x¹: a. §Þnh nghÜa: Cho tËp hîp X  vµ Y  : f lµ mét ¸nh x¹ tõ tËp hîp X ®Õn tËp hîp Y lµ mét quy t¾c cho t¬ng øng mçi phÇn tö x  X víi mét vµ chØ mét y  Y KÝ hiÖu: f: X Y x a y = f(x) Ta gäi X lµ tËp nguån cña ¸nh x¹ f Y lµ tËp ®Ých cña ¸nh x¹ f PhÇn tö y = f(x)  Y gäi lµ ¶nh cña x qua ¸nh x¹ f b. C¸c lo¹i ¸nh x¹: * §¬n ¸nh ¸nh x¹: f: X Y x a y = f(x) 2 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ ¸nh x¹ f lµ ®¬n ¸nh   x1, x2  X: x1  x2 th× f(x1) f(x2) HoÆc   x1, x2  X: x1  x2 th× f(x1) = f(x2) th× x1= x2 VÝ dô: f: R R x a y = f(x) = 3x * Toµn ¸nh: ¸nh x¹ f: X Y x a y = f(x) ¸nh x¹ f lµ toµn ¸nh   y  Y th×  x  X: (x) = y HoÆc f lµ toµn ¸nh  ph¬ng tr×nh f(x) = y lu«n cã nghiÖm víi mçi y  y cho tríc VÝ dô: f: R R x a y = f(x) = 2x Lµ mét toµn ¸nh v× ph¬ng tr×nh 2x = y lu«n cã nghiÖm x = y víi y x¸c ®Þnh. 2 * Song ¸nh: ¸nh x¹ f: X Y x a y = f(x) ¸nh x¹ f lµ song ¸nh  f lµ ®¬n ¸nh vµ f lµ toµn ¸nh 2. Hµm sè: a. Theo quan ®iÓm hiÖn ®¹i, ®Þnh nghÜa hµm sè dùa trªn c¸c kh¸i niÖm tËp hîp vµ ¸nh x¹: Hµm sè lµ mét ¸nh x¹ tõ tËp hîp sè X ®Õn tËp hîp sè Y. Trong ch¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa trung häc c¬ së (1991 - 2001) Kh¸i niÖm hµm sè ®îc tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa líp 7 (®îc nh¾c l¹i trong s¸ch gi¸o khoa líp 9) nh sau: Mét hµm sè f ®i tõ tËp hîp sè X ®Õn tËp hîp sè Y lµ mét quy t¾c cho t¬ng øng mçi gi¸ trÞ x  X mét vµ chØ mét gi¸ trÞ y  Y mµ kÝ hiÖu lµ y = f(x) Ngêi ta viÕt:f: X Y x a y = f(x) X lµ tËp x¸c ®Þnh, x  X lµ biÕn sè, y = f(x) lµ gi¸ trÞ cña hµm sè f t¹i x. Trong ch¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa míi (2001) ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm hµm sè ë to¸n 7 ®· nªu râ nh÷ng thuéc tÝnh nµy: " Gi¶ sö x vµ y lµ hai ®¹i lîng biÕn thiªn vµ nhËn c¸c gi¸ trÞ sè. NÕu thay ®æi phô thuéc vµo x sao cho: Víi mçi gi¸ trÞ cña x ta x¸c ®Þnh ®îc chØ mét gi¸ trÞ t¬ng øng cña y th× y ®îc gäi lµ hµm sè cña x vµ x gäi lµ biÕn sè" 3 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ * Chó ý: Nh vËy hµm sè dï ®îc ®Þnh nghÜa b»ng c¸ch nµo còng ®Òu cã thuéc tÝnh b¶n chÊt: + X vµ Y lµ hai tËp hîp sè + Sù t¬ng øng: øng víi mçi sè x  X ®Òu x¸c ®Þnh duy nhÊt mét sè y  Y + BiÕn thiªn: x vµ y lµ c¸c ®¹i lîng nhËn gi¸ trÞ biÕn ®æi + Phô thuéc: x lµ ®¹i lîng biÕn thiªn ®éc lËp cßn y lµ ®¹i lîng biÕn thiªn phô thuéc b. §å thÞ hµm sè: (Dùa trªn kh¸i niÖm tËp hîp) + §å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm cña mÆt ph¼ng to¹ ®é cã to¹ ®é (x;f(x)) víi x  X + Chó ý: - Mçi hµm sè cã mét ®å thÞ x¸c ®Þnh duy nhÊt vµ ngîc l¹i - §iÓm M(xM;yM)  ®å thÞ hµm sè y = f(x)  yM= f(xM) c. C¸ch cho mét hµm sè: Víi ®Þnh nghÜa hµm sè, ®å thÞ hµm sè ta thÊy mét hµm sè cã thÓ cho bëi c¸c c¸ch: + C¸ch 1: Cho quy t¾c t¬ng øng thÓ hiÖn bëi c«ng thøc y = f(x) + C¸ch 2: Cho quan hÖ t¬ng øng thÓ hiÖn bëi b¶ng gi¸ trÞ + C¸ch 3: Cho b»ng ®å thÞ hµm sè II. C¸c hµm sè trong ch¬ng tr×nh THCS: 1. Hµm sè bËc nhÊt: a. §Þnh nghÜa: Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®îc cho bëi c«ng thøc y = ax + b, trong ®ã a,b lµ c¸c h»ng sè x¸c ®Þnh a 0, x  R 4 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ b. TÝnh chÊt: + TËp x¸c ®Þnh: R + TÝnh biÕn thiªn: a > 0 th× hµm sè ®ång biÕn trong R a < 0 th× hµm sè nghÞch biÕn trong R c. §å thÞ: + §å thÞ hµm sè y = ax + b (a 0, x  R) lµ ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(0;b) vµ ®iÓm B(  a b ; 0) + Khi b = 0 th× ®å thÞ hµm sè y = ax lµ ®êng th¼ng ®i qua gèc to¹ ®é vµ ®iÓm E(1;a) 2. Hµm sè bËc hai a. §Þnh nghÜa: Hµm sè bËc hai lµ hµm sè ®îc cho bëi c«ng thøc y = ax2+ bx + c víi a,b,c lµ c¸c h»ng sè (a 0, x  R) b. TÝnh chÊt: - TËp x¸c ®Þnh: R - TÝnh biÕn thiªn: a > 0 Hµm sè ®ång biÕn trong (  b 2a ; +  ) vµ nghÞch biÕn trong (-  ;  b 2a ) a < 0 Hµm sè nghÞch biÕn trong (  b 2a ; +  ) vµ ®ång biÕn trong (-  ;  b 2a ) c. §å thÞ: §å thÞ hµm sè y = ax2+ bx + c (a 0, x  R) lµ Parabol (P) cã ®Ønh lµ D(  b 2a ;-  4a ) nhËn ®êng th¼ng x =  b 2a lµ trôc ®èi xøng 5 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ Ch¬ng I: lý thuyÕt c¬ b¶n D¹ng i: t×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè 1. §Þnh nghÜa: TËp x¸c ®Þnh cña hµm sè y = f(x) lµ tËp c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc f(x) cã nghÜa V× vËy: - NÕu f(x) lµ ®a thøc th× hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh x  R - NÕu f(x) cã d¹ng ph©n thøc th× hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh: {x  R/ mÉu thøc 0} - NÕu f(x) cã d¹ng c¨n thøc th× hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh: {x  R/ biÓu thøc trong c¨n 0} 2. VÝ dô: + VÝ dô 1: Hµm sè y = 5x- 70 cã TX§: R + VÝ dô 2: Hµm sè y = + VÝ dô 3: Hµm sè y = x2  2 x cã TX§: {x  R/ x 0} 4x  1 cã TX§: 1   x  R x   4  3. Bµi tËp: T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè: a. y = x – 3 x +2 b. y = c. y = x 2 1 2x  5  x-3 x 3 x2  4  2  x D¹ng ii: t×m tËp gi¸ trÞ cña hµm sè TËp gi¸ trÞ cña hµm sè: f: X Y x a y = f(x) lµ tËp gi¸ trÞ y  Y sao cho ph¬ng tr×nh f(x) = y cã nghiÖm x  X 6 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ 1. C¸ch gi¶i: + C¸ch 1: Cã thÓ dùa vµo tÝnh chÊt thø tù trong Q ®Ó ®¸nh gi¸ c¸c gi¸ trÞ cña y. + C¸ch 2: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh f(x) = y cã nghiÖm trong tËp x¸c ®Þnh. 2. VÝ dô: * VÝ dô 1: T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = 2x – 5 víi x  [-1; 1] Gi¶i Ta cã x -1  2x -2  2x – 5 -7  y -7 x 1  2x 2  2x-5 -3  y -3 VËy miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = 2x – 5 víi x  [-1; 1] lµ y  [-7; -3] * VÝ dô 2: T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = x  6  7  x Gi¶i x  6  7  x  x  6  7  x =1  y 1 VËy miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = x  6  7  x víi x  R lµ y  R, y 1 * VÝ dô 3: T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = x2- 2x + 3 víi x  [2;3] Gi¶i: Hµm sè y = x2+ 2x + 3 cã a = 1 > 0 nªn ®ång biÕn víi x 1 VËy víi x  [2;3] ta cã y(2)  y(3)  3 y 6 VËy miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = x2+ 2x + 3 víi x  [2;3] lµ [3;6] *VÝ dô 4: T×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè y = x2- 4 x + 3 Gi¶i: TX§ cña hµm sè lµ R XÐt ph¬ng tr×nh x2- 4 x +3 = y  ( x -2)2= y + 1 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm y + 1 0  y -1 7 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ 3. øng dông: * øng dông 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña y = 6x – x2 – 2 Gi¶i: Ta cã y = 2x – x2- 4 = -(x2- 2x + 1) – 3 = -(x – 1)2- 3  - 3 dÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi x = 1 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè lµ Max y = -3 t¹i x = 1 2 VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y = x 2  x  6 (1) x x 2 Gi¶i: Hµm sè cã tËp x¸c ®Þnh: R v× x2 + x + 2 = (x + 1 2 )2 + 7 4  7 4 2 Gi¶ sö y lµ mét gi¸ trÞ cña hµm sè  ph¬ng tr×nh x 2  x  6 = y cã x x 2 nghiÖm  (y -1)x2+ (y - 1)x + 2y – 6 = 0 (2) cã nghiÖm +XÐt y = 1 ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm +XÐt y  1 ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm   0  (y -1)2- 4(y – 1)(2y - 6)  0  (y - 1)(23 – 7y)  0  1< y  23 7 VËy gi¸ trÞ cña hµm sè lµ 1< y  + Víi y = Max y = 23 7 23 7 t¹i x = ta cã x =   1 2 23 7 vËy hµm sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 1 2 + Chó ý: ë vÝ dô 2 cã thÓ ra díi d¹ng: 2 T×m x  R ®Ó hµm sè y = x 2  x  6 nhËn gi¸ trÞ nguyªn y =1 + x x 2 4 x x2 2 8 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ Khi ®ã häc sinh hay chän c¸ch gi¶i: nªn y  Z  x2 + x + 2 nhËn gi¸ trÞ lµ íc nguyªn cña 4. Sai lÇm trong lêi gi¶i ë chç x  R nªn x2 + x + 2 cã thÓ nhËn gi¸ trÞ kh«ng nguyªn. V× vËy lêi gi¶i trªn lµm mÊt nghiÖm cña bµi to¸n + C¸ch gi¶i tõ viÖc cã miÒn gi¸ trÞ 1< y  23 7 ta chØ ra y  Z  y = 2 hoÆc y = 3 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2  x  6 =2  x2 + x + 2 = 0  x = 1; x = -2 x x2 x2  x  6 =3  x2  x  2 2x2 + 2x = 0  x = 0; x = -1 VËy x  {-2; -1; 0; 1} th× y  Z * øng dông 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) (1) NhiÒu ph¬ng tr×nh phøc t¹p cã thÓ gi¶i ®¬n gi¶n h¬n b»ng c¸ch c¨n cø vµo miÒn gi¸ trÞ cña hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) trªn tËp x¸c ®Þnh D chung cña chóng: NÕu víi  x  D th× f(x) = g(x)  (2) NÕu  x0  D tho¶ m·n (2) th× x0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 6x – x2 – 2= x  1  x  2  2 x  3  4 x  13 (1) +TËp x¸c ®Þnh: R +Ta cã VT = 6x – x2 – 2 = 7 – (x - 3)2 7 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi x = 3 VP = x  1  x  2  2 x  3  4 x  13  7 dÊu b»ng x¶y ra khi vµ  f ( x ) m   g ( x ) m chØ khi 2 x   f ( x ) m   g ( x ) m 13 4 6x - x 2  2 7    x  1  x  2  2 x  3  4 x  13 7  + VËy ph¬ng tr×nh (1)  x=3 KÕt luËn ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt x = 3 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh – 16x4+ 72x3 – 81x2 + 28 = 16(x – x  2 )=0 (3)  Ta cã VT = – 16x4+ 72x3 – 81x2 + 28 - 16  74   2 9 2  x  x  4    28 9 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ 9 4 DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi x = 0 hoÆc x = §Æt x 2= t  0  x = t2 + 2 ta cã VP = 16(t2 – t + 2)  = 16   t    DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi t = VËy ph¬ng tr×nh (3)  1 2 x= VT  28  VP  28 1 4  x= KÕt luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = 2 1 7    2 4  +2  x =  28 9 4 9 4 9 4 4. Bµi tËp: Bµi 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt (nÕu cã) cña hµm sè y = x2- 3x + 1 trªn ®o¹n: a. [-3;1] b. [0;2]  a2 b2   a b   2   8   2 a  b a b Bµi 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 3  Bµi 3: Gäi x,y lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh T×m a ®Ó x, y cã gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh a. 3 x 2  6 x  7  5 x 2  10 x  14 4  b.  x  y a  1  2  y 2 2a 2  1 x 2x  x 2 x  2  4  x  x 2  6 x  11 D¹ng iii: x¸c ®Þnh c«ng thøc hµm sè 1. Khi biÕt tÝnh chÊt ®å thÞ hµm sè Ta ®· biÕt gi÷a hµm sè vµ ®å thÞ cã t¬ng øng 1- 1 nªn ta sÏ x¸c ®Þnh ®îc c«ng thøc hµm sè khi biÕt tÝnh chÊt cña ®å thÞ t¬ng øng a. X¸c ®Þnh hµm sè bËc nhÊt y = ax + b biÕt ®å thÞ lµ ®êng th¼ng d cã tÝnh chÊt: §i qua ®iÓm A(x1;y1) vµ ®iÓm B(x2;y2) Gi¶i: V× A(x1;y1)  d nªn ax1 + b = y1 B(x2;y2)  d nªn ax2 + b = y2 Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh ax 1  b  y1  ax 2  b  y 2 gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta cã a,b 10 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ KÕt luËn c«ng thøc hµm sè. * VÝ dô: X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b cã ®å thÞ lµ ®êng th¼ng d ®i qua ®iÓm A(1;1) vµ ®iÓm B(-1;2) Gi¶i: V× A(1;1)  d nªn a.1 + b = 1 B(-1;2)  d nªn a(-1) + b = 2 Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: a  b 1   a  b  2 KÕt luËn hµm sè cÇn t×m lµ y =  1  a - 2   b  3   2  1 3 x 2 2 b. §å thÞ ®i qua ®iÓm A(x1;y1) vµ song song víi ®êng th¼ng d' cã ph¬ng tr×nh y = a1x + b1 (a 0) Gi¶i: V× A(x1;y1)  d nªn ax1 + b = y1 V× d song song víi d' nªn a = a1  b = y1 – ax1 KÕt luËn hµm sè cÇn t×m lµ y = a1x + y1 – ax1 VÝ dô: X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b cã ®å thÞ ®i qua ®iÓm A(1; song víi ®êng th¼ng d' cã ph¬ng tr×nh y = 2x - 1 2 ) vµ song 1 2 Gi¶i: V× A(1; 1 2 )  d nªn a + b = 1 2 V× d song song víi d' nªn a = 2  b = KÕt luËn hµm sè cÇn t×m lµ y = 2x   3 2 3 2 c. §å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm A(x1;y1) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d' cã ph¬ng tr×nh y = a1x + b1 (a 0) Gi¶i: V× A(x1;y1)  d nªn ax1 + b = y1 V× d vu«ng gãc víi d' nªn aa1 = -1  a = KÕt luËn hµm sè cÇn t×m lµ y = -1 x+ a1 -1 a1 y1 + 1 a1  b = y1 + 1 a1 x1 x1 11 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ VÝ dô: X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b cã ®å thÞ ®i qua ®iÓm A(1;1) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh y =  1 3 x 2 2 Gi¶i: V× A(1; 1)  d nªn a + b = 1 V× d vu«ng gãc víi d' nªn aa1 = -1  a = 2  b = -1 KÕt luËn hµm sè cÇn t×m lµ y = 2x – 1 d. §å thÞ qua ®iÓm A(x1;y1) vµ tiÕp xóc víi Parabol (P): a'x2 + b'x + c' (a 0) Gi¶i: V× A(x1;y1)  d nªn ax1 + b = y1 (1) V× d tiÕp xóc víi Parabol (P): y = a'x2 + b'x + c' nªn ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm: ax + b = a'x2 + b'x + c' cã nghiÖm kÐp  a'x2 + (b' – a)x + c' – b = 0 cã nghiÖm kÐp   =(b' - a)2- 4a'(c' – b) = 0 (2) Gi¶i hai hÖ ph¬ng tr×nh (1) vµ (2) ®Ó t×m a vµ b. KÕt luËn c«ng thøc hµm sè VÝ dô: X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b biÕt ®å thÞ lµ ®êng th¼ng d ®i qua ®iÓm A(-1;2) vµ tiÕp xóc víi Parabol d ®i qua ®iÓm A(-1;2)  d nªn –a + b = 2 (1) V× d tiÕp xóc víi Parabol (P): y = x2 + 1 nªn ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm: ax + b = x2 + 1 cã nghiÖm kÐp  x2 – ax + 1 – b = 0 cã nghiÖm kÐp (2)   = (b' - a)2 – 4a'(c' – b) = 0 Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: - a  b  2  2  4b  4 a  b  a  2  2  4( a  2)  4 a  b  a  2  2 0 ( a  2)  b 0  a   2 VËy hµm sè cÇn t×m lµ y = -2x 2. X¸c ®Þnh hµm sè bËc hai y = ax2 + bx + c cã ®å thÞ lµ Pharabol(P) a. §i qua 3 ®iÓm ph©n biÖt A(x1;y1), B(x2;y2) , C(x3;y3) Gi¶i: V× A(x1;y1)  (P)nªn ax12+ bx1+ c = y1 (1) V× B(x2;y2)  (P)nªn ax22+ bx2+ c = y2 (2) V× C(x3;y3)  (P)nªn ax32+ bx3+ c = y3 (3) 12 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ Gi¶i hÖ gåm 3 ph¬ng tr×nh (1), (2), (3) ta t×m ®îc a, b, c KÕt luËn c«ng thøc hµm sè VÝ dô: X¸c ®Þnh hµm sè bËc hai y = ax2 + bx + c cã ®å thÞ lµ Pharabol (P) ®i qua 3 ®iÓm ph©n biÖt A(-1;0), B(0;3), C(1;0) Gi¶i: V× A(-1;0)  (P) nªn a- b+ c = 0 (1) V× B(0;3)  (P) nªn c = 3 (2) V× C(1;0)  (P) nªn a+ b+ c = 0 (3) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:  VËy c«ng thøc hµm sè cÇn t×m lµ: y = - 3x2 + 3 b. (P) cã mÆt ph¼ng to¹ ®é ®Ønh D(x0, y0) vµ ®i qua ®iÓm A(x1;y1) Gi¶i: V× A(x1;y1)  (P) nªn ax12+ bx1+ c = y1 (1) a  c  a b   c 0  c 0 a  b  c 3  b V× (P) cã to¹ ®é ®Ønh D(x0, y0) nªn -  x0 4a -b  x0 2a  3 0 3 (2) 2  b  4ac  2 (3) 4a Gi¶i hÖ gåm ba ph¬ng tr×nh (1), (2), (3) ta t×m ®îc a, b, c KÕt luËn c«ng thøc hµm sè VÝ dô: X¸c ®Þnh hµm sè bËc hai y = ax2 + bx + c cã ®å thÞ lµ Parabol (P) ®i qua ®iÓm A(-1;2) vµ cã ®Ønh lµ D(1;2) Gi¶i: V× A(-1;2)  (P) nªn a+b+c = 2 (1) -b 1 2a (2) - b 2  4ac  2    2 4a 4a (3) V× (P) cã to¹ ®é ®Ønh D(1;-2) nªn 13 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh a  b  c 2  0 2 a  b b 2  4 ac  8a  0  a  b  c 2  b   1   2a  b 2  4 ac 2  4a   a  b c    1  2  1 VËy hµm sè cÇn t×m cã c«ng thøc y = x2- 2x - 1 c. (P) cã to¹ ®é ®Ønh D(x0, y0) vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng d: y=a'x+b' Gi¶i: V× (P) cã to¹ ®é ®Ønh D(x0, y0) nªn ph¬ng tr×nh hoµnh ®é: ax2 + bx + c = a'x+b' cã nghiÖm kÐp (1)  ax2 + (b – a)x + c - b' = 0 cã nghiÖm kÐp (2) (3)   = (b - a' ) – 4a(c - b' ) = 0 Gi¶i hÖ gåm 3 ph¬ng tr×nh (1), (2), (3) ta t×m ®îc a,b,c. VÝ dô: X¸c ®Þnh hµm sè bËc hai y =ax2 + bx + c cã ®å thÞ lµ Parabol (P) nhËn D(1;1) lµ ®Ønh vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng d: y = 2x – 2. Gi¶i: V× (P) cã to¹ ®é ®Ønh D(1;1) nªn - b 2  4ac 1   1 4a 4a -b 1 ; 2a (2) V× (P) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng d: y = 2x –2 nªn ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ax2 + bx + c = 2x – 2 cã nghiÖm kÐp  ax2 + (b – 2)x + c – 2 = 0 cã nghiÖm kÐp (3)   = (b - 2 )2 – 4a(c - 2 ) = 0 Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:  (b  2) 2  4 ac ( c  b   1   2a  b 2  4 ac 1  4a   2 a  b 0  12 a  4b 0   2  4 ac  4 a b  2) 0  0  a  b c  b  2  4 ac  0 2 a  b b 2  4 ac   8a 4a  4b  4 0 0  1  2 2 VËy hµm sè cÇn t×m cã c«ng thøc y = x2 - 2x + 2 14 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ 3. Bµi tËp: Bµi 1: Cho ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh y = -2x – 1 a. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng song song ví d vµ ®i qua gèc to¹ ®é. b. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d vµ ®i qua ®iÓm N(-1;5) Bµi 2: X¸c ®Þnh a,b,c ®Ó Parabol (P): y = ax2 + bx + c ®i qua O(0;0) vµ cã ®Ønh lµ D(1;-1) Bµi 3: Cho Parabol (P): Y = ax2 + bx + 1 (a  1 ) 2 a. X¸c ®Þnh a,b ®Ó ®Ønh Parabol(P) n»m trªn ®êng th¼ng d: y = 2x + 1 b. Víi a, b võa t×m ®îc vÏ Parabol(P) vµ ®êng th¼ng d trªn cïng mét mÆt ph¼ng to¹ ®é 4. X¸c ®Þnh c«ng thøc hµm sè khi biÕt ph¬ng tr×nh hµm VÝ dô 1: T×m f(x) cña hµm sè biÕt f(1+ 1 ) = x2 – 1 vµ f(0) = 0 2 Gi¶i: +Víi x 0 ta ®Æt 1+ 1 = t råi rót x theo t ta cã x = x Thay vµo c«ng thøc ban ®Çu ta cã f(t) = ( 1 2 ) –1 t -1 1 t -1  f(t) = t(2 - t) (t - 1) 2 V× t¬ng øng hµm sè kh«ng phô thuéc vµo kÝ hiÖu nªn coi f(x) = x(2 - x) (x - 1) 2 +Víi x = 0 thay vµo c«ng thøc võa t×m ®îc ta cã f(0) = 0 VËy hµm sè cÇn t×m lµ f(x) = x(2 - x) (x - 1) 2 VÝ dô 2: T×m biÓu thøc f(x) cña hµm sè biÕt f(x) + 2f( 1 ) = x2 2 Tõ c«ng thøc ta thay x bëi Ta cã 1 2   2 2 1 1 1  1 1 f    2f      f    2f  x     1   x  x  x  x   x Ta cã hÖ ®iÒu kiÖn víi f(x) nh sau:   f ( x)  2 f    f  1   2     x    1  2   x  x   1  f ( x )    x  2    f ( x)  2 f   4 f  x   2    1  2   x  x   1  f    x  2  2 x2 4  f ( x)  2  x2 3x 15 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ 4 VËy c«ng thøc hµm sè lµ f(x) = 2  x2 3x Bµi tËp: Bµi 1: X¸c ®Þnh biÓu thøc f(x) biÕt a. 2x  x  f  2  x  1  ( x  1) b.  x  f   x  1 = 4 - 8x víi 3x  4 x  1 c.  x  f  2 x = 10x - 4 - 5x 2 4 x  ( x 2  4) vµ f(1) = 0 2 x 1 vµ f(1) = 0 vµ f(2) = -1 Bµi 2: X¸c ®Þnh biÓu thøc f(x) vµ g(x) biÕt a.  f ( 2 x  1)  2 g  x       g  f  2  x     b. 2x  1 x   x  1 2 x x  f (3 x  1)  g  6 x  1 3 x  2 2  x  f  x  1  x g  2 x  3  2 x D¹NG iv: ®å THÞ HµM Sè 1. Nh¾c l¹i vÒ ®å thÞ hµm sè: a. §Þnh nghÜa: §å thÞ hµm sè y = f(x) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cã to¹ ®é (x;f(x) ) víi x  TX§ b. §å thÞ: Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a 0) lµ mét ®êng th¼ng C¸ch vÏ: - LÊy 2 ®iÓm cã to¹ ®é tho¶ m·n c«ng thøc hµm sè Ch¼ng h¹n A(0; b ) vµ B(- b a ;0) - VÏ ®êng th¼ng ®i qua A vµ B c. §å thÞ hµm sè bËc hai: y = ax2 + bx + c (a 0) lµ Parabol(P) cã: + §Ønh D    b   ;  2a 4a  + Trôc ®èi xøng: x =  b 2a + BÒ lâm quay lªn trªn khi a > 0; BÒ lâm quay xuèng díi khi a < 0 d. §å thÞ hµm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi y Ch¼ng h¹n: y = x = §å thÞ hµm sè thuéc hai tia ph©n gi¸c cña gãc vu«ng I vµ II (h×nh1d) 0 x víi x  0  - x víi x  0 x 16 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ e. §å thÞ phÇn nguyªn: y = x trong ®ã x lµ ký hiÖu sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x + §å thÞ hµm sè y = x víi –1 x < 3 cã d¹ng bËc thang nh (h×nh e1) y= y 1 ví i 1  x  0 víi 0  x  1   1 v íi 1  x  2   víi 2  x  3 2 -1 0 0 1 2 -1 1 2 3 4 X f. NhËn xÐt: * §å thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = f(-x) ®èi xøng nhau qua trôc tung. *Hµm sè y = f( x ) cã f(x) = f(-x) víi mäi x nªn cã ®å thÞ nhËn trôc tung lµm trôc ®èi xøng. V× vËy khi vÏ chØ cÇn: + VÏ ®å thÞ y = f(x) víi x 0 + LÊy ®èi xøng phÇn võa vÏ qua trôc tung * y =x kh«ng ph¶i lµ hµm sè nªn ta kh«ng yªu cÇu häc sinh vÏ ®å thÞ hµm sè mµ chØ cÇn vÏ ®êng biÓu diÔn mãi quan hÖ. 2. VÝ dô: *VÝ dô 1: VÏ ®å thÞ hµm sè y = x2 – 4x +3 + TX§: x  R + TÝnh biÕn thiªn: Hµm sè ®ång biÕn víi x > 2 NghÞch biÕn víi x < 2 Cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ y = -1 khi x = 2 + B¶ng gi¸ trÞ: y x ...0 1 2 3 4... y ...3 0 -1 0 3... 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 x -1 NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè lµ Parabol(P) cã ®Ønh D(2; -1) ®èi xøng qua ®êng th¼ng x = 2, bÒ lâm quay lªn trªn *VÝ dô 2: VÏ ®å thÞ hµm sè y = 2x - x + Ta khö dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng c¸ch xÐt c¸c kho¶ng gi¸ trÞ cña biÕn. y = 2x - x = + B¶ng gi¸ trÞ: x víi x  0  3x víi x  0 x ...0 1 -1... y ...3 1 -3... -1 0 1 x -1 17 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ + §å thÞ: -3 §å thÞ hµm sè y = 2x - x cã d¹ng nh h×nh ë trªn *VÝ dô 3: VÏ ®å thÞ hµm sè y = x2 +2 x +2 Ta cã: y = 2   2x  2 nÕu x 0 - x  2  - 2x  2 nÕu x 0 - x Nªn ®å thÞ hµm sè lµ hai nh¸nh Parabol y = -x2 + 2x + 2 nÕu x 0 y = -x2 - 2x + 2 nÕu x  0 -3 -2 y -1 0 1 2 3 x -1 NhËn xÐt: §å thÞ hµm sè y = x2 +2 x +2 nhËn trôc tung lµm trôc ®èi xøng 3. øng dông: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè NhËn xÐt: §iÓm thÊp nhÊt (cao nhÊt) trªn ®å thÞ lµ ®iÓm cã tung ®é nhá nhÊt (lín nhÊt), t¹i ®ã hµm sè nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt (lín nhÊt). V× vËy khi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt (nhá nhÊt) cña hµm sè ta cã thÓ vÏ ®å thÞ hµm sè råi t×m ®iÓm cao nhÊt (thÊp nhÊt) cña ®å thÞ. *VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = x  1  x  2 Gi¶i: Ta cã y = §å thÞ hµm sè gåm c¸c phÇn ®êng th¼ng y = 2x – 3 (x > 2) y = 2x + 3 (x < 1) vµ ®o¹n y = 1 (1 x 2) Nªn ®å thÞ hµm sè lµ hai nh¸nh Parabol y = x2 +2 x+2 víi x  0 vµ y = -x2 +2 x+2 víi x < 0 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè lµ Max y = 3 khi x = 1 hoÆc x = -1  2x  1  - 2x  3  (x (1 3 (  2) x 2) x  1) 18 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ *VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y = -x2 -2 Gi¶i: Ta cã y = 2  - 2x  3 - x  2   2x  1 - x x  1 +1 (x 1) ( x  1) Nªn ®å thÞ hµm sè lµ hai nh¸nh Parabol y = -x2 -2 x+3 víi x  1 vµ y = -x2 +2 x+1 víi x < 1 y -1 0 1 3/2 -1 -2 2 x -9/4 -3 -4 -5 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè lµ Max y = 0 khi x = 1 4. Bµi tËp Bµi 1: Cho hµm sè y = x 2  4 x  4  4 x 2  4 x  1 +ax a. X¸c ®Þnh a ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn b. X¸c ®Þnh a ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm B(1;6). VÏ ®å thÞ cña hµm sè víi a võa t×m ®îc Bµi 2: VÏ ®å thÞ hµm sè y = x 2  4 x  4  x 2  6 x  9  3 x 2  2 x  1 Bµi 3: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é x0y vÏ tËp hîp c¸c ®iÓm M(x;y) mµ to¹ ®é (x;y) tho¶ m·n x  1 + y  2 =1 D¹ng v: vÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a c¸c ®å thÞ C¬ së lÝ thuyÕt: +§iÓm M(xM;yM)  ®å thÞ hµm sè y = f(x)  yM = f(xM) + VÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) phô thuéc vµo sè ®iÓm chung cña hai ®å thÞ. 19 §Ò tµi: Mét sè d¹ng bµi tËp vÒ hµm sè vµ ®å thÞ Gi¶ sö M(xM;yM) lµ mét ®iÓm chung cña ®å thÞ c¸c hµm sè y = f(x) vµ y=g(x)  M  ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ M  ®å thÞ hµm sè y = g(x).  yM= f(xM) vµ yM= g(xM)  (xM;yM) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh  VËy vÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ y=g(x) phô thuéc vµo y f(x)  y g(x) sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 1. C¸ch gi¶i: a. Bµi to¸n x¸c ®Þnh vÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ y=g(x), (f(x) vµ g(x) cã bËc 2) + To¹ ®é ®iÓm chung (nÕu cã) cña ®å thÞ hµm sè lµ nghiÖm cña hÖ y f(x)  y g(x) y f(x)  y g(x) (1) (2) + Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é: f(x) = g(x) (3) + Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (3) quy ®Þnh vÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ y=g(x), (f(x) vµ g(x) cã bËc 2) Hai ®å thÞ c¾t nhau  ph¬ng tr×nh (3) cã hai nghiÖm ph©n biÖt Hai ®å thÞ tiÕp xóc  ph¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm kÐp Hai ®å thÞ kh«ng c¾t nhau  ph¬ng tr×nh (3) v« nghiÖm * §Ó biÖn luËn vÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a c¸c ®å thÞ ta biÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (3) * §Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm chung gi÷a c¸c ®å thÞ ta gi¶i ph¬ng tr×nh (3) t×m hoµnh ®é x = x0, dùa vµo ph¬ng tr×nh (1) hoÆc (2) ®Ó x¸c ®Þnh tung ®é t¬ng øng y = y0. 20