Tài liệu MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC

MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC GV: Trần Ngọc Quỳnh – TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN Mở đầu Số phức là một vấn đề còn mới ở chương trình toán lớp 12. Do vậy mà các em học sinh còn lúng túng khi gặp các bài toán về số phức. Hơn nữa từ năm 2009 đến nay, trong đề thi của Bộ GD&ĐT luôn có câu về số phức, nhiều năm có trong đề thi Toán của cả ba khối A,B,D. Câu số phức trong đề thi được đánh giá là câu dễ , vì vậy để học sinh tránh bị mất điểm trong bài thi, tác giả giới thiệu chuyên đề “ Một số dạng toán thường gặp về số phức “ nhằm giúp các em học sinh ôn thi vào Đại học và Cao đẳng tốt hơn. Chuyên đề này chỉ đề cập đến một số dạng toán thường gặp đối với dạng đại số của số phức và bỏ qua một số biến đổi đơn giản. TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Một số phức là một biểu thức dạng z  a  bi trong đó a, b ��; i 2  1 • Môđun của số phức z là z  a 2  b 2 Số phức liên hợp với z là z  a  bi • Các kết quả thường dùng : với z1 , z2 ��: z1  z2  z1  z 2 z1 z2  z1 z 2 z z1  1 z2 z2 z1 �z2  z1 �z2 z1 z2  z1 z2 �z1 � z1 � � �z2 � z2 • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , số phức z  a  bi có điểm biểu diễn M  a; b  uuuu r và vectơ tương ứng OM   a; b  1 DẠNG 1: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện nào đó. Phương pháp: Giả sử z  x  yi ( x, y ��) thay vào giả thiết tìm được một mối liên hệ nào đó đối với x ,y . Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cần tìm. Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau: z  2  3i  1 (1) z4i Lời giải Giả sử z  x  yi ( x, y ��) � z  2  3i  x  2  ( y  3)i; z  4  i  x  4  ( y  1)i Giả thiết (1) � z  2  3i  z  4  i �  x  2    y  3   x  4    y  1 2 2 2 2 � 3x  y  1  0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng có phương trình: 3x  y  1  0 Ví dụ 2: TSĐH khối B_2010 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau z  i  (1  i ) z (2) Lời giải Giả sử z  x  yi ( x, y ��) � z  i  x   y  1 i 1 i z  x  y   x  y i Giả thiết (2) � x 2   y  1   x  y    x  y  2 2 2 � x 2   y  1  2 2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I  0; 1 , bán kính Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau z  4i  z  4i  10 (3) Lời giải Giả sử z  x  yi ( x, y ��) � z  4i  x   y  4  i z  4i  x   y  4  i Giả thiết (3) � x 2   y  4   x 2   y  4   10 2 2 2 2 2 2 � x2   y  4   x2   y  4  2 � x 2   y  4  �� x 2   y  4  � 100 � �� � � x 2  y 2  16   64 y 2  34   x 2  y 2  2 2 2. � 32  x 2  y 2   162  64 y 2  34 2  68  x 2  y 2  � 25 x 2  9 y 2  225 � x2 y2  1 9 25 x2 y2  1 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là elip có phương trình 9 25 Bài tập : Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện sau 1/ z  2  i  z Đáp số: 4 x  2 y  3  0 2/ TSĐH khối D_2009 2 2 z  (3  4i )  2 Đáp số:  x  3   y  4   4 x2 y2  1 9 5 4/ 1 �z  1  i �2 Đáp số: Là hình vành khăn có tâm I  1;1 và các bán kính lớn nhỏ lần lượt là 2 và 1. z  2  3i 5/ w  là một số thuần ảo. z i 2 2 Đáp số:  x  1   y  1  5 khuyết đi hai điểm A  0;1 , B  2; 3  DẠNG 2: TÌM SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. Tìm số phức z có môđun lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) thỏa mãn một điều kiện cho trước Phương pháp: Bước 1: Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn của z thỏa mãn diều kiện. Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M �(G ) sao cho khoảng cách OM có giá trị lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất). 3/ z  2  z  2  6 Đáp số:  E  :   Ví dụ 1: Biết rằng số phức z thỏa mãn u   z  3  i  z  1  3i là một số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . Lời giải Giả sử z  x  yi ( x, y ��) , ta có 2 2 u� x  3   y  1 i � x  1   y  3 i � � � � � � x  y  4 x  4 y  6  2  x  y  4  i Ta có u ��� x  y  4  0 . Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d : x  y  4  0 Giả sử M  x; y  là điểm biểu diễn của z thì z min � OM min � OM  d Tìm được M  2;2  � z  2  2i z  2i  2. z 1 i Ví dụ 2: Biết rằng số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của z . 3 Lời giải Giả sử z  x  yi ( x, y ��) , ta có z  2i  2 � x  2   y  1 i  2 x  1   y  1 i z 1 i 2 2 2 2 �  x  2    y  1  2 � �x  1   y  1 � � � x 2   y  3  10 2 Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn(C) tâm I  0; 3 bán kính R  10 . Giả sử M  x; y  là điểm biểu diễn của z thì z min � OM min ; z m ax � OM m ax Do đó M là giao điểm của đường thẳng OM và đường tròn (C). Tìm được min z  3  10 , khi z  3  10 i   m ax z  3  10 , khi z   3   10  i Bài tập: 1/ Tìm số phức z có môđun lớn nhất sao cho    2  z   i  z  là số ảo. Đáp số : z  2  i � z  3  4i  1 � 2/ Tìm số phức z có môđun lớn nhất thỏa mãn log 1 � �2 z  3  4i  8 � � 1 3� � Đáp số : z = 6 – 8i. 3 2 3/ Trong các số phức z thảo mãn đk z  2  3i  . Hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất. Đáp số : z  26  3 13 78  9 13  i 13 26 DẠNG 3: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC ĐẠI LƯỢNG TRONG SỐ PHỨC ( Phần thực, phần ảo, môđun ). Phương pháp: Thực hiện các phép tính nhân, chia, cộng, trừ và định nghĩa môđun, số phức liên hợp để giải quyết bài toán. Ví dụ 1: TSĐH khối A_2010. Tìm phần ảo của số phức z biết : z  2 i Lời giải Ta có : z  2 i   1  2i  . 2   1  2i    2  2 2      2i  i 2 1  2i  1  2 2i 1  2i  5  2i Suy ra z  5  2i Vậy số phức z có phần ảo  2 4 Ví dụ 2: TSĐH khối A,A1_2012 : Cho số phức z thỏa mãn : Tìm môđun của số phức w  1  z  z Lời giải  5 z i 2 z 1   2i Giả sử z  a  bi (a, b ��) Từ giả thiết bài toán suy ra 5  a  bi  i    2  i   a  bi  1 � 3a  b  2   a  7b  6  i  0 3a  b  2  0 a 1 � � �� �� a  7b  6  0 � b 1 � � z  1  i � z 2  2i � w  2  3i � w  13 Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2 z  3  1  2i  2 Tính z  z Lời giải Giả sử z  a  bi (a, b ��) . Ta có z  2 z  a 2  b 2  2a  2bi Từ giả thiết bài toán suy ra � a4 � a 2  b 2  2a  3 � 2 2 a  b  2a  2bi  3  6i � � �� b3 2b  6 � � � z  4  3i � z  42  32  5 2 Vậy z  z  5  52  30 Ví dụ 4: Tính môđun của số phức z biết z 3  12i  z và z có phần thực dương Lời giải Giả sử z = x + yi ( x, y ��) 3 3 z  12i  z �  x  yi   12i  x  yi �x3  3xy 2  x (1) � x  3xy   3x y  y  12  i  x  yi � � 2 3 x y  y 3  12   y (2) � Do x  0 � (1) � x 2  3 y 2  1. Thế vào (2) ta được 3 2 2 3 3  3 y 2  1 y  y 3  12   y � 2 y 3  y  3  0 (3) Giải PT (3) ta được y  1 � x 2  4. Do x  0 nên x = 2 Vậy z  2  i � z  5 Bài tập : 5 1/ TSĐH khối A_2010 : Cho số phức z thỏa mãn : z   1  3i môđun của z  iz Đáp số : 8 2 2/ TSĐH khối D_2012 : Cho số phức z thỏa mãn : 2  1  2i   7  8i  2  i z  1 i Tìm môđun của số phức w  z  1  i Đáp số : 5 1 i  3 . Tìm 3/ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  i 2011  i 2012 Tìm môđun của z  iz Đáp số : 2 DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC. 4.1 Tìm số phức thỏa mãn một hệ thức cho trước ( không phải là phương trình bậc nhất và bậc hai thông thường) Phương pháp: Giả sử z  a  bi  a, b �� biến đổi hệ thức về dạng �A  0 A  Bi  0 � � , �B  0 từ đó tìm được số phức z. Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z  2 z  2  4i (1) Lời giải Đặt z  a  bi (a, b ��) � z  a  bi Giả thiết (1) � a  bi  2  a  bi   2  4i � 2 3a  2  0 � a � � 3a  2   4  b  i  0 � � �� 3 4b  0 � � b4 � 2  4i 3 2 Ví dụ 2: Tìm số phức z biết z   1  i  z  11i (2) Lời giải Đặt z  a  bi (a, b ��) � z 2  a 2  b 2  2abi 2 2 Từ (2) � a  b  2abi   1  i   a  bi   11i Vậy z  6 � a 2  b2  a  b  0 � a  b   a  b    2ab  a  b  11 i  0 � � 2ab  a  b  11  0 � a3 � � � � b2 � �� � a  2 � � � b  3 � � 2 2 Vậy z  3  2i; z  2  3i 4 �z  i � Ví dụ 3: Tìm số phức z biết � � 1 (3) �z  i � Lời giải 2 � �z  i � �z  i � � � 1 �z  i  �1 � z0 z  i � � � � � Giả thiết (3) � � � 2 � z  �1 � zi� �z  i  �i � �   1 � � �z  i �z  i � � Vậy z  0 ; z  �1 Bài tập: Tìm số phức z biết 8 4 1/  2  i  z  4 Đáp số : z   i 5 5 2/ z 2  z  0 3/ z 2  z 1 3 � i 2 2 1 3 Đáp số : z  0; z  1; z   � i 2 2 Đáp số : z  0; z  1; z  4/ z 3  18  26i Đáp số : z  3  i 5/ z z  3z  i  0 HD : Đặt z  m.i . Đáp số : z 3  13 3 � 5 i;z i 2 2 4.2 Phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai Phương pháp: • Gọi   x  yi ( x, y ��) là căn bậc hai của z  a  bi (a, b ��) thì �x 2  y 2  a � 2 xy  b � 7 • Xét phương trình bậc hai có hệ số phức Az 2  Bz  C  0 (*) có biệt thức   B 2  4 AC Nếu  �0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt B   B   z1 ; z2 2A 2A B Nếu   0 thì phương trình (*) có nghiệm kép z   2A Chú ý : Công thức nghiệm trong trường hợp  ' tương tự như trong tập số thực. Ví dụ 1 : Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau: a/ 1  4 3i b/ 4  6 5i Lời giải a/ Giả sử x  yi ( x, y ��) là một căn bậc hai của 1  4 3i , khi đó ta có � �x  3 � � 2 2 � �y  2 2 �x  y  1 � ��  x  yi   1  4 3i � � �x   3 2 xy  4 3 � � � � �y  2 � Vậy hai căn bậc hai của số phức 1  4 3i là � 3  2i   b/ Tương tự : căn bậc hai của 4  6 5i là �3  5i   2 Ví dụ 2 : Giải phương trình: z  8  1  i  z  63  16i  0 (1) Lời giải 2 Ta có  '  16  1  i    63  16  i  63  16i Gọi   x  yi ( x, y ��) là căn bậc hai của  ' � �x  1 � � �x 2  y 2  63 � �y  8 �� � �   � 1  8i  , nên phương trình (1) có hai � 2 xy   16 x   1 � � � � � �y  8 z1  4  1  i   1  8i  5  12i � nghiệm phân biệt � z2  4  1  i   1  8i  3  4i � Vậy z1  5  12i; z2  3  4i z2 4 3 Ví dụ 3 : Giải phương trình: z  z   z  1  0 (2) 2 Lời giải Vì z  0 không phải là nghiệm của phương trình (2) nên ta có 8 1 1 1   0 2 z z2 2 � 1� � 1� 5 � �z  � �z  �  0 � z� � z� 2 5 1 �3i � 1� Đặt �z  � y , ta có phương trình y 2  y   0 � y  2 2 � z� 1  3i 1 1  3i 1 1 �z  • Với y  cho hai nghiệm z1  1  i ; z2    i 2 z 2 2 2 1  3i 1 1  3i 1 1 �z  • Với y  cho hai nghiệm z3  1  i ; z4    i 2 z 2 2 2 1 1 Vậy z  1 �i ; z   � i 2 2 (2) � z 2  z  Bài tập : Giải các phương trình sau : 4 z  3  7i  z  2i 1/ z i Đáp số : z  1  2i; z  3  i 2 2/  2  3i  z   4i  3 z  1  i  0 1  5i Đáp số : z  1; z  13 3/  z 2  3 z  6   2 z  z 2  3 z  6   3 z 2  0 2 2 2 HD : PT �  z  6 z  6   z  2 z  6   0 Đáp số : z  3 � 3; z  1 � 5i 4/ z 4  2 z 3  3z 2  2 z  2  0 Đáp số : z  �i; z  1 �i 4.3 Giải phương trình bậc ba f  z   0 biết phương trình có một nghiệm thực hoặc một nghiệm thuần ảo. Phương pháp: Giả sử phương trình có nghiệm thực z  a ta được f  a   0 , �A  0 , từ đó tìm được a. biến đổi hệ thức trên về dạng A  Bi  0 � � �B  0 2 Ta có f  z   0 �  z  a   Mz  Nz  P   0 Nếu phương trình có nghiệm thuần ảo z  bi  b ι �, b 0  thì cách giải hoàn toàn tương tự 3 2 Ví dụ 1 : Giải phương trình sau z   3  i  z   2  i  z  16  2i  0 (1), biết phương trình có một nghiệm thực. Lời giải 9 Giả sử z  a,  a �� là một nghiệm thực của phương trình (1) . Khi đó phương trình (1) � a 3  3a 2  2a  16  0 3 2 2 �  a  3a  2a  16    a  a  2  i  0 � � 2 � a  2 a a20 � Phương trình (1) z  2 � z   2 � �  z  2 � z2   5  i  z  8  i� �� z 2i 2 � � 0 � � � z  5  i z  8  i  0   � � z 3  2i � Vậy z  2; z  2  i; z  3  2i 3 2 Ví dụ 2 : Giải phương trình sau z  2  1  i  z  4  1  i  z  8i  0 (2), biết phương trình có một nghiệm thuần ảo. Lời giải Giả sử z  bi,  b ι �, b 0  là một nghiệm thuần ảo của phương trình (2). Thay vào phương trình ta có :  bi   2  1  i   bi   4  1  i  bi  8i  0 3 2 � 2b 2  4b   b3  2b 2  4b  8   0 � 2b 2  4b  0 �� 3 �b2 b  2b 2  4b  8  0 � z  2i z  2i � � 2 � z  2 i z  2 z  4  0 � �  Ta có (2)   � �2 z  2z  4  0 z  1 � 3i � � Vậy z  2i; z  1 � 3i Bài tập : Giải các phương trình sau : 3 2 1/ z  2  1  i  z  3iz  1  i  0, biết phương trình có một nghiệm thực. Đáp số : z  1; z  i; z  1  i 3 2 2/ z   2  3i  z  3  1  2i  z  9i  0, biết phương trình có một nghiệm thuần ảo. Đáp số : z  3i; z  1 � 2i 3 2 3/ 2 z  5 z   3  2i  z  3  i  0, biết phương trình có cả nghiệm thực và nghiệm phức. 1 Đáp số : z  2  i; z  1  i; z   2 DẠNG 5: BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC Phương pháp: Giải hệ phương trình trên tập số phức ta thường dùng các phương pháp như: biến đổi tương đương, phương pháp thế hoặc phương pháp đặt ẩn phụ. 10 Ví dụ 1: TSĐH khối D_2010 Tìm số phức z biết : z  2 và z 2 là số thuần ảo. Lời giải Đặt z  a  bi  a, b �� � z  a 2  b 2 ; z 2  a 2  b 2  2abi a 2  b2  2 � a2  1 � a  �1 � � � Giả thiết của bài toán � � 2 � � b  �1 a  b2  0 b2  1 � � � Vậy z  1 �i ; z  1 �i (1) �z1  z2  3i Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: �2 2 �z1  z2  3  2i (2) Lời giải Phương trình (1) � z2  z1  3i , thay vào phương trình (2) ta có z 1 i z  1  2i � � z12  3iz1  3  i  0 � �1 � �2 z1  1  2i � z2  1  i � �z1  1  i ; Vậy � �z2  1  2i �z1  1  2i � �z2  1  i Bài tập : � �z   2  i   10 1/ TSĐH khối B_2009: Tìm số phức z biết � �z z  25 Đáp số: z  5; z  3  4i 2/ Giải các hệ phương trình sau: �z1  z2  4  i �z1  3  i �z1  1  2i ; a) �2 Đáp số : � � 2 �z2  1  2i �z2  3  i �z1  z2  5  2i � �z1  2  i �z  1  2i �z1  z2  3  1  i  ; �1 b) �3 3 Đáp số : � �z2  1  2i �z2  2  i �z1  z2  9  1  i  3/ Tìm số phức z biết: �z  1  2i  z  3  2i � a) � Đáp số z  2  2i; z  2  i z  z  1  i  10 � � �z  12 5 �z  8i  3 � b) � Đáp số z  6  17i; z  6  8i z  4 � 1 � �z  8 11 SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY 1 . KA_2009 Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0 .Tính giá trị 2 2 của biểu thức A  z1  z 2 2 . KB_2009 Tìm số phức z thỏa mãn : z  ( 2  i )  10 và z . z  25 ĐS: z = 3 + 4i hoặc z = 5 3 . KD_2009 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  ( 3  4i )  2 ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm ( 3 ; -4 ) , bán kính R = 2 4 . KA_ 2010 a) Tìm phần ảo của số phức z biết : z  ( 2  i ) 2 (1  2 i ) ĐS: a) Phần ảo của số phức z là  2 b) Cho số phức z thỏa mãn z  (1  3 i) 3 1 i . Tìm môđun của số phức z  iz ĐS :b) z  iz 8 2 5 . KB_2010 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  i  (1  i ) z ĐS: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm ( 0 ; -1 ) và bán kính R 2 6 . KD_2010 Tìm số phức z thỏa mãn : z  2 và z2 là số thuần ảo ĐS: z = -1 – i ; z = -1 + i ; z = 1 + i ; z = 1 – i 7 . KA_2011 a) Tìm tất cả các số phức z, biết z  z  z b) Tính modun của số phức z, biết : ( 2 z  1 )(1  i )  ( z 1 )(1  2 2 ĐS: a) z 0 ; z  1 1 1 1  i ; z   i 2 2 2 2 b) z  3 2 8 . KB_2011 a) Tìm số phức z , biết : z  5i 3  1 0 z b) Tìm phần thực , phần ảo của số phức 1  i 3   z   1i    ĐS: a) z  1  i 3 ; z 2  i 3 b) Phần thực là 2 và phần ảo là 2 9 . KD_2011 Tìm số phức z , biết : ĐS: z = 2 – i 10. KA_2012 z  ( 2  3i ) z 1  9i 12 3 i ) 2  2i Cho số phức z thỏa mãn   5 z i 2  i . z 1 Tính môđun của số phức w 1  z  z 2 . ĐS: 13 11. KB_2012 Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình lượng giác của z1, z2 . ĐS: z 2  2 3iz  4 0 . Viết dạng   2 2    z1 2 cos  i sin  ; z 2 2 cos  i sin  3 3 3 3    12. KD_2012 1.Cho số phức z thỏa mãn  2  i  z  21  2i  7  8i . 1 i Tìm môđun của số phức w  z  1  i. 2. Giải phương trình z 2  31  i  z  5i 0 trên tập số phức. ĐS: 1. 5 ; 2. z=-1-2i hoặc z=-2-i 13. KA_2013 Cho số phức z 1  3i . Viết dạng lượng giác của số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w 1  i  z 5 . ĐS: phần thực là 16 3  1 và phần ảo là 161  3  . 14. KD_2013 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1  i  z  i   2 z 2i . Tính môđun của số phức w ĐS: z  2z 1 z2 . 10 13