Tài liệu MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN

Đại học Quốc gia Hà Nội Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên ------------------ Cao Thị Vân Oanh MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2013 2 Đại học Quốc gia Hà Nội Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên ------------------ Cao Thị Vân Oanh MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2013 Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu người đã hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các giảng viên trong khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự Nhiên đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Mặc dù tôi đã cố gắng hết sức nhưng do kiến thức và thời gian còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để bài luận văn của tôi được hoàn thiện hơn. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2013. Học viên Cao Thị Vân Oanh 4 Mục lục Mở đầu 6 1 Tính chất cơ bản của hàm số 7 1.1 1.2 1.3 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . 7 1.1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . 9 1.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Hàm xác định trên tập số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn trên tập số nguyên . . . 15 1.2.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính trên tập số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Một số dãy số dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Một số dạng phương trình hàm trên tập số nguyên 2.1 2.2 27 Sử dụng nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Hàm số chuyển đổi các đại lượng trung bình . . . . . . . . . 42 2.1.3 Một số dạng khác của phương trình hàm trên tập số nguyên 49 Áp dụng một số tính chất của dãy số và hàm số để giải phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.1 Số hạng tổng quát của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.2 Áp dụng một số tính chất của hàm số . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.3 Cấp số cộng và phương trình hàm trên N, Z . . . . . . . . . . 66 2.2.4 Kết hợp các tính chất của hàm số với các tính chất của dãy số 68 2.2.5 Hàm số sinh bởi phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng . . . 70 2.2.6 Hàm số sinh bởi phép biến đổi phân tuyến tính . . . . . . . 76 5 2.3 Sử dụng nguyên lý thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4 Sử dụng tính chất của hàm tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . 82 2.5 Sử dụng một số tính chất của số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.6 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3 Mở rộng phương trình hàm trên tập số hữu tỉ và một số phương trình hàm trong các đề thi Quốc tế 96 3.1 Phương trình hàm trên tập số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2 Một số bài toán về phương trình hàm trên tập số nguyên trong các đề thi Olympic Toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Kết luận TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 1 6 Mở đầu Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú bao gồm các loại phương trình tuyến tính, phương trình phi tuyến, phương trình một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm. Trong các kỳ thi Olympic Toán Quốc gia và Quốc tế thường xuất hiện các dạng toán khác nhau có liên quan đến phương trình hàm. Để giúp các thầy cô giáo, học sinh các trường phổ thông có thêm nhiều tư liệu mới về vấn đề này tôi xin trình bày một số phương pháp chọn lọc trong việc giải phương trình hàm trên tập số nguyên. Luận văn gồm ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây: Chương 1 trình bày các tính chất cơ bản của hàm số (tuần hoàn, phản tuần hoàn cộng tính và nhân tính) và một số dãy đặc biệt. Chương 2 trình bày một số dạng phương trình hàm trên tập số nguyên Chương 3 trình bày một số phương trình hàm mở rộng trên tập số hữu tỉ và một số bài toán về phương trình hàm trong các đề thi Olympic Toán . 7 Chương 1 Tính chất cơ bản của hàm số 1.1 Một số kiến thức cơ bản Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R và tập giá trị trong R. 1.1.1 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính Định nghĩa 1.1. 1. Hàm số f (x) được gọi là hàm số tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ a (a > 0) trên M (M ⊂ D(f )) và  ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M 2. Cho f (x) là một hàm tuần hoàn trên M. Khi đó T (T > 0) được gọi là chu kì cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kì T mà không là hàm tuần hoàn với bất kỳ chu kỳ nào nhỏ thua T . Ví dụ 1.1. 1. Hàm số f (x) = sin x là hàm tuần hoàn trên R với chu kỳ cơ sở 2π . Thật vậy, dễ thấy rằng hàm số f (x) = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π . Giả sử tồn tại α(0 < α < 2π) sao cho f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ α. Ta có, f (x) = f (2π + α) = f (2π) (vô lý). Vậy giả sử là sai. Ta có điều phải chứng minh. 2. Hàm số f (x) = cos x là hàm tuần hoàn trên R với chu kỳ cơ sở 2π . Nhận xét 1.1. Tồn tại hàm số là hàm tuần hoàn trên R nhưng không có chu kỳ cơ sở. Ví dụ 1.2. Hàm số  f (x) = 0, 1, x∈R x 6∈ R. 8 Khi đó f (x) là hàm tuần hoàn trên R với chu kỳ a ∈ R+ tùy ý. Vì trong R+ không có số nhỏ nhất nên hàm f (x) không có chu kỳ cơ sở. Định nghĩa 1.2. 1. Hàm số f (x) được gọi là hàm số phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ a (a > 0)trên M (M⊂ D(f )) và ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = −f (x), ∀x ∈ M 2. Cho f (x) là một hàm phản tuần hoàn trên M. Khi đó T (T > 0) được gọi là chu kỳ cơ sở của f (x) nếu f (x) phản tuần hoàn với chu kỳ T mà không là hàm phản tuần hoàn với bất kỳ chu kỳ nào nhỏ thua T. Ví dụ 1.3. Hàm sin x và cos x phản tuần hoàn với chu kỳ cơ sở π . sin(x + π) = − sin x cos(x + π) = − cos x Bài toán 1.1. Cho f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M. Chứng minh f (x) cũng là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a trên M. Lời giải. Theo giả thiết,  f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M nên x ± a ∈ M, ∀x ∈ M f (x + a) = −f (x), ∀x ∈ M. Suy ra  x ± 2a ∈ M, ∀x ∈ M f (x + 2a) = f (x), ∀x ∈ M. Vậy f (x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a trên M . Nhận xét 1.2. Điều ngược lại không đúng. Tức là, một hàm tuần hoàn chưa chắc đã là một hàm phản tuần hoàn. Bài toán 1.2. Hàm số f (x) = tan x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π nhưng không là hàm phản tuần hoàn. Thật vậy, dễ thấy f (x) = tan x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π . Giả sử f (x) = tan x cũng là hàm số phản tuần hoàn với chu kỳ α nào đó. Suy ra tan α = tan(α + π) = − tan π = 0. 9 Từ đó suy ra α = kπ (vô lý). Bài toán 1.3. Chứng minh rằng hàm số f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M khi và chỉ khi  x ± a ∈ M, ∀x ∈ M f (x) = g(x) − g(x + a) (1.1) trong đó g(x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2a trên M. Lời giải. Thật vậy, với f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M. Suy ra x ± a ∈ M với mọi x ∈ M . Nếu ta chọn g(x) = f (x) 2 thì g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a trên M (Bài toán 1.1) và g(x) − g(x + a) = 12 f (x) − 12 f (x + a) = 21 f (x) − (− 21 f (x)) = f (x), ∀x ∈ M . Ngược lại, với f (x) thỏa mãn (1.1) ta có f (x + a) = g(x + a) − g(x + 2a) = g(x + a) − g(x) − [g(x) − g(x + a)] = −f (x), ∀x ∈ M . Hơn nữa, ∀x ∈ M thì x±a ∈ M . Do đó f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên M. Bài toán 1.4. Cho f (x) và g(x) là hai hàm tuần hoàn có chu kỳ cơ sở tương ứng là a, b trên R, F (x) = f (x) + g(x). Chứng minh rằng F (x) là hàm tuần hoàn trên R. Lời giải. Theo giả thiết, tồn tại m, n ∈ N∗ (m, n) = 1 sao cho a b = m n. Đặt T = na = mb. Khi đó F (x + T ) = f (x + na) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ R. Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ R thì x = ±T ∈ R. Vậy F (x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T trên R. 1.1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính Định nghĩa 1.3. Hàm số f (x) được gọi hoàn nhân tính chu kỳ a  là hàm số tuần ±1 ∀x ∈ M ⇒ a x ∈ M (a ∈ / {0; ±1}) trên M nếu M ⊂ D(f ) và f (ax) = f (x), ∀x ∈ M 10 Ví dụ 1.4. Xét f (x) = sin(2π log2 x). Khi đó f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kì 2 trên R+ . Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ thì 2±1 x ∈ R+ và f (2x) = sin(2π log2 (2x)) = sin(2π(1 + log2 x)) = sin(2π log2 x) = f (x), ∀x ∈ R+ . Định nghĩa 1.4. Hàm số f (x) được gọi là hàm số phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a ∈ R+ , a 6= 0; ±1) trênM nếu M ⊂ D(f ) và ±1 ∀x ∈ M ⇒ a x ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M. Ví dụ 1.5. Xác định các hàm số f phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 3 sao cho f (3x) = −f (x), ∀x ∈ R+ (1) Lời giải. Ta có f (9x) = f (3.3x) = −f (3x) = f (x) Vậy f (x) là hàm tuần hoàn nhân  tính chu kỳ 9. f (3x) = −f (x), ∀x ∈ R+ f (x) = f (9x), ∀x ∈ R+ .  f (x) = 21 [f (x) − f (3x)](2), ∀x ∈ R+ ⇔ f (9x) = f (x), ∀x ∈ R+ ⇔ f (x) = 12 [g(x) − g(3x)], ∀x ∈ R+ (3) ⇔ trong đó g(x) = g(9x). Ta chứng minh nếu f có dạng (3) thì f là phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 3 và ngược lại. Thật vậy f (3x) = 12 (g(3x) − g(9x)) = 12 (g(3x) − g(x)) = −f (x). Ngược lại nếu f (x) là nghiệm của (1) thì có dạng (3) vì nếu f (x) là nghiệm của (1) ⇔ (2) ⇒ (3) với g(x) = f (x). Bài toán 1.5. Chứng minh nếu f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ s trên M thì f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ s2 trên M. Lời giải. Theo giả thiết, f (x) là phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ s trên M  hàm ±1 s x ∈ M, ∀x ∈ M nên f (sx) = −f (x), ∀x ∈ M. Suy ra  ±1 s2 x ∈ M, ∀x ∈ M f (s2 x) = f (x), ∀x ∈ M. Vậy f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ s2 trên M. 11 Bài toán 1.6. Chứng minh rằng hàm số f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b (b 6= 0, ±1) trên M khi và chỉ khi  b±1 x ∈ M, ∀x ∈ M f (x) = g(x) − g(bx), (1.2) trong đó g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M. Lời giải. Thật vậy, với f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M. Suy ra b±1 x ∈ M với mọi x ∈ M . Chọn g(x) = f (x) 2 thì g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M và g(x) − g(bx) = 12 f (x) − 12 f (bx) = 21 f (x) + 12 f (x) = f (x), ∀x ∈ M Ngược lại, với f (x) thỏa mãn hệ thức trên ta có f (bx) = g(bx) − g(b2 x) = g(bx) − g(x) = −f (x), ∀x ∈ M . Hơn nữa, ∀x ∈ M thì b±1 x ∈ M . Do đó f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M. Bài toán 1.7. Cho f (x), g(x) là hai hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a, b tương ứng trên R( ln|a| = ln|b| m n , m, n ∈ N). Chứng minh rằng F (x) = f (x) + g(x) và G(x) = f (x)g(x) là những hàm tuần hoàn nhân tính trên R. Lời giải. Do R( ln|a| = ln|b| (giả thiết) nên nln|a| = mln|b| hay |a|n = |b|m . Ta chứng minh T = kỳ của F (x) và G(x). m n , m, n ∈ N) a2n = b2m là chu Theo giả thiết, f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a và g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ b nên ta có f (T x) = f (a2n x) = f (x), ∀x ∈ R g(T x) = g(b2m x) = g(x), ∀x ∈ R. Suy ra F (T x) = f (a2n x) + g(b2m x) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ R G(T x) = f (a2n x)g(b2m x) = f (x)g(x), ∀x ∈ R. Hơn nữa, dễ thấy T ±1 x ∈ R, ∀x ∈ R. Vậy F (x), G(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ T trên R. 12 1.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ Định nghĩa 1.5. 1. Hàm số f (x) được gọi là hàm số chẵn trên M, (M ∈ D(f )) nếu với mọi x ∈ M ⇒ −x ∈ M ; f (−x) = f (x), ∀x ∈ M . 2. Hàm số f (x) được gọi là hàm số lẻ trên M, (M ∈ D(f )) nếu với mọi x ∈ M ⇒ −x ∈ M ; f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M . Ví dụ 1.6. f (x) = |x| là hàm chẵn trên R. f (x) = x3 là hàm lẻ trên R. Bài toán 1.8. Cho f (x) vừa là hàm chẵn, vừa là hàm lẻ trên R. Chứng minh f (x) = 0. Lời giải. Do f (x) vừa là hàm chẵn, vừa là hàm lẻ trên R nên f (x) = f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R Suy ra f (x) = 0. Bài toán 1.9. Chứng minh rằng f (x) là hàm chẵn trên R khi và chỉ khi f (x) có dạng f (x) = g(x) + g(−x) (1.3) với g(x) là hàm tùy ý trên R. Lời giải. Nếu f (x) là hàm chẵn trên R thì ta có f (x) = f (−x), ∀x ∈ R. Suy ra f (x) = Chọn g(x) = f (x) 2 f (x)+f (x) 2 = f (x)+f (−x) . 2 thì f (x) có dạng (1.3). Ngược lại, nếu f (x) có dạng (1.3) thì hiển nhiên f (x) là hàm chẵn trên R. Bài toán 1.10. Chứng minh rằng f (x) là hàm lẻ trên R khi và chỉ khi f (x) có dạng f (x) = g(x) − g(−x) (1.4) 13 với g(x) là hàm tùy ý trên R. Lời giải. Nếu f (x) là hàm lẻ trên R thì ta có f (x) = −f (−x), ∀x ∈ R. Suy ra f (x) = Chọn g(x) = f (x) 2 f (x)+f (x) 2 = f (x)−f (−x) . 2 thì f (x) có dạng (1.4). Ngược lại, nếu f (x) có dạng (1.4) thì hiển nhiên f (x) là hàm lẻ trên R. Bài toán 1.11. Chứng minh rằng mọi hàm số xác định trên R đều có thể viết dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. Lời giải. Giả sử f (x) là hàm số bất kỳ trên R. Ta có g(x) = f (x) + f (−x) là hàm số chẵn trênR. 2 h(x) = f (x) − f (−x) là hàm số lẻ trênR. 2 Suy ra f (x) = g(x) + h(x) là tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. Bài toán 1.12. Cho a ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên R thỏa mãn điều kiện f (2a − x) = f (x), ∀x ∈ R (hàm chẵn đối với điểm a). Lời giải. Đặt x = a − y ⇒ 2a − x = a + y . Khi đó phương trình (1.5) tương đương với f (a + y) = f (a − y), ∀a ∈ R. Đặt g(y) = f (a + y) ⇒ f (y) = g(y − a) thì ta có phương trình (1.5) 14 g(−y) = g(y) hay g(y) là hàm chẵn trên R. Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng f (x) = g(x − a) = h(x − a) + h(−x + a), trong đó h(x) là hàm tùy ý trên R. Bài toán 1.13. Cho a, b ∈ R. Xác định hàm số f (x) trên R thỏa mãn điều kiện f (2a − x) + f (x) = b, ∀x ∈ R. (1.6) Lời giải. Đặt x = a − y . Khi đó 2a − x = a + y và điều kiện bài ra tương đương với f (a + y) + f (a − y) = b, ∀y ∈ R. Đặt g(y) = f (a + y) − 2b hay f (y) = g(y − a) + 2b thì ta có phương trình g(−y) = −g(y), ∀y ∈ R, hay g(y) là hàm lẻ trên Q. Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng f (x) = g(x − a) + b 2 = h(x − a) − h(−x + a) + 2b , trong đó h(x) là hàm tùy ý trên R. Định nghĩa 1.6 (Phương trình đương đương - phương trình hệ quả). Cho phương trình f1 (x) = g1 (x) (1.7) f2 (x) = g2 (x) (1.8) có tập nghiệm S1 . Phương trình có tập nghiệm S2 . Khi đó: Nếu S1 = S2 thì ta nói phương trình (1.7) tương đương với phương trình (1.8) và ngược lại. Kí hiệu: f1 (x) = g1 (x) ⇔ f2 (x) = g2 (x). 15 Nếu S1 ⊂ S2 thì ta nói phương trình (1.8) là hệ quả của phương trình (1.7). Kí hiệu : f1 (x) = g1 (x) ⇒ f2 (x) = g2 (x). 1.2 1.2.1 Hàm xác định trên tập số nguyên Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn trên tập số nguyên Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ Z và tập giá trị trong R. Khi đó ta có được định nghĩa hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn trên tập số nguyên như định nghĩa 1.1; 1.2; 1.3; 1.4 Do tập số nguyên Z là tập rời rạc nên ta có thể xác định được dạng tổng quát của các hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn khi biết chu kỳ tuần hoàn của hàm số đó. Nhận xét 1.3. Mọi hàm f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1 trên Z đều là hàm hằng. Mệnh đề 1.1. Mọi hàm f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z đều có dạng 1 f (n) = [a + b + (a − b)(−1)n ], ∀n ∈ Z (a, b ∈ R). 2 (1.9) Chứng minh Giả sử f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z, ta cần chứng minh 1 f (n) = [a + b + (a − b)(−1)n ], ∀n ∈ Z (a, b ∈ R). 2 Thật vậy, giả sử f (0) = a, f (1) = b (a, b ∈ R). Theo giả thiết, f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 nên ta có f (n + 2) = f (n), ∀n ∈ Z. 1. Nếu n có dạng 2m + 1 thì ta có f (n) = f (2m + 1) = b = 12 [a + b + (a − b)(−1)n ]. 2. Nếu n có dạng 2m thì f (n) = f (2m) = a = 12 [a + b + (a − b)(−1)n ]. Suy ra f (n) = 12 [a + b + (a − b)(−1)n ], ∀n ∈ Z. Ngược lại, nếu f (n) có dạng (1.9) thì với mọi n ∈ Z, ta có (1.10) 16 f (n + 2) = 12 [a + b + (a − b)(−1)n+2 ] = 21 [a + b + (a − b)(−1)n ] = f (n). Vậy f (n) = f (n + 2), ∀n ∈ Z hay f (n) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2. Mệnh đề 1.2. Mọi hàm f (n) tuần hoàn chu kỳ 3 trên Z đều có dạng 1 2nπ √ 2nπ f (n) = [a+b+c+(−a−b+2c)cos + 3(a−b)sin ], ∀n ∈ Z, (a, b, c ∈ R) (1.11) 3 3 3 Lời giải. Với mọi hàm số f (n) có dạng (1.11) thì dễ dàng ta có f (n + 3) = f (n), ∀n ∈ Z. Suy ra f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3. Ngược lại, giả sử f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3 và f (0) = c, f (1) = a, f (2) = b(a, b, c ∈ R). √ 2nπ Đặt g(n) = 31 [a + b + c + (−a − b + 2c)cos 2nπ 3 + 3(a − b)sin 3 ]. Theo trên ta có g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3 trên Z. 1. Với n = 0 ta có g(0) = 13 [a + b + c + (−a − b + 2c)cos0 + √ 3(a − b)sin0] = 13 [a + b + c + (−a − b + 2c)] = c = f (0). 2. Với n = 1 ta có √ g(1) =) = 13 [a + b + c + (−a − b + 2c)cos 2π + 3(a − b)sin 2π 3 3 ] √ √ = 31 [a + b + c + (−a − b + 2c)(− 21 ) + 3(a − b) 23 ] = a = f (1). 3. Với n = 2 ta có √ 4π g(2) =) = 13 [a + b + c + (−a − b + 2c)cos 4π 3 + 3(a − b)sin 3 ] √ √ = 13 [a + b + c + (−a − b + 2c)(− 21 ) + 3(a − b)− 23 ] = b = f (2). Mà f (n) và g(n) đều là hàm tuần hoàn chu kỳ 3 nên 17 f (n) = g(n), ∀n ∈ Z. Vậy ta có f (n) = 31 [a + b + c + (−a − b + 2c)cos 2nπ 3 + √ 3(a − b)sin 2nπ 3 ], ∀n ∈ Z. Bài toán 1.14. Cho a ∈ Z+ . Xác định hàm số f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ a trên Z. Lời giải. Do f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ a trên Z nên ta có f (n + a) = f (n), ∀n ∈ Z. Dễ thấy rằng đây là phương trình sai phân bậc n có phương trình đặc trưng λa − 1 = 0 (1.12) 1. Nếu a chẵn thì phương trình (1.12) có n nghiệm 2kπ 2kπ 2kπ 0 λ1 = 1, λ2 = −1, λk = cos 2kπ a + isin a , λk = cos a − isin a , với k = 1, 2, ..., a−2 2 . Do đó f (n) có dạng a−2 f (n) = a1 + a2 (−1)n + 2 X (ck cos k=1 2nkπ 2nkπ + dk sin ), ∀n ∈ Z a a (1.13) Giả sử f (0) = b0 , f (1) = b1 , f (a − 1) = ba−1 . Thay n = 0, 1, 2, ..., a − 1 vào phương trình (1.13) ta được hệ a phương trình a ẩn. Giải hệ này ta tìm được a1 , a2 , ck , dk (k = 1, 2, ..., a−2 2 ). Với a = 2 ta cũng thu được kết quả giống mệnh đề 1.1. 2. Nếu a lẻ thì phương trình (1.12) có n nghiệm 2kπ 2kπ 2kπ 0 λ1 = 1, λk = cos 2kπ a + isin a , λk = cos a − isin a , với k = 1, 2, ..., a−1 2 . Do đó f (n) có dạng a−1 f (n) = a1 + 2 X (ck cos k=1 2nkπ 2nkπ + dk sin ), ∀n ∈ Z a a (1.14) 18 Giả sử f (0) = b0 , f (1) = b1 , f (a − 1) = ba−1 . Thay n = 0, 1, 2, ..., a − 1 vào phương trình (1.14) ta được hệ a phương trình a ẩn. Giải hệ này ta tìm được a1 , ck , dk (k = 1, 2, ..., a−1 2 ). Với a = 3 ta cũng thu được kết quả giống mệnh đề (1.2). Nhận xét 1.4. Cho a ∈ Z+ . Nếu hàm số f (n) xác định tập số nguyên thỏa mãn điều kiện f (n − a) = f (n), ∀n ∈ Z, thì hàm số f (n) là hàm tuần hoàn chu kỳ a trên Z. Bài toán 1.15. Xác định hàm số f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 1 trên Z, biết f (1) = 2. Lời giải. Vì f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 1 trên Z nên hàm số f (n) có dạng f (n) = g(n) − g(n + 1), trong đó g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2. Theo mệnh đề 1.1 thì g(n) = 21 [a + b + (a − b)(−1)n ], ∀n ∈ Z, với a, b ∈ R. Suy ra g(n + 1) = 21 [a + b + (a − b)(−1)n+1 ], ∀n ∈ Z. Từ đó ta có f (n) = 12 [(a − b)(−1)n − (a − b)(−1)n+1 ], ∀n ∈ Z, đặt a − b = k, k ∈ R thì hàm số f (n) có dạng f (n) = 12 (k(−1)n − k(−1)n+1 ) = k(−1)n , ∀n ∈ Z. Mà f (1) = 2, nên ta có k = −2. Vậy hàm số thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng f (n) = −2(−1)n , ∀n ∈ Z. Bài toán 1.16. Cho a ∈ Z+ . Xác định hàm số f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên Z. Lời giải. Vì f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên Z nên hàm số f (n) có dạng 19 f (n) = g(n) − g(n + a), trong đó g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2a. Hay g(n) có dạng a−1 X 2nkπ 2nkπ g(n) = a1 + a2 (−1)n + = a1 + a2 (−1)n + (ck cos k=1 a−1 X 2a + dk sin 2a ) (ck cos nkπ nkπ + dk sin ), a a (ck cos (n + a)kπ (n + a)kπ + dk sin ). a a k=1 Suy ra g(n + a) = a1 + a2 (−1)n+a + a−1 X k=1 Thay vào phương trình f (n) = g(n) − g(n + a) ta tìm được f (n). Nhận xét 1.5. Cho a ∈ Z+ . Nếu hàm số f (n) xác định trên tập số nguyên thỏa mãn điều kiện f (n − a) = −f (n), ∀n ∈ Z, thì hàm số f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ a trên Z. Bài toán 1.17. Xác định hàm số f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z, biết f (0) = 1 và f (1) = 3. Lời giải. Vì f (n) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2 trên Z nên f (n) có dạng f (n) = g(n) − g(n + 2), ∀n ∈ Z, trong đó g(n) là hàm tuần hoàn chu kỳ 4 trên Z, hay nπ g(n) = a1 + a2 (−1)n + c1 cos nπ 2 + c2 sin 2 . Suy ra g(n + 2) = a1 + a2 (−1)n+2 + c1 cos (n+2)π 2 + c2 sin (n+2)π 2 nπ = a1 + a2 (−1)n − c1 cos nπ 2 − c2 sin 2 . Từ đó ta có nπ f (n) = g(n) − g(n + 2) = 2c1 cos nπ 2 + 2c2 sin 2 , ∀n ∈ Z. Mặt khác, 1 = f (0) = 2c1 và 3 = f (1) = 2c2 . Vậy hàm số f (n) thỏa mãn điều kiện bài ra có dạng nπ f (n) = cos nπ 2 + 3sin 2 , ∀n ∈ Z. 20 1.2.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính trên tập số nguyên Mệnh đề 1.3. Mọi hàm f (n) tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 trên Z đều có dạng  f (n) = fn , (∀fn ∈ R), f2k+1 , n = 2s + 1 n = 2l (2k + 1), l ∈ N∗ , k ∈ Z. (1.15) Chứng minh Nhận xét rằng, mọi n ∈ Z đều có thể viết dưới dạng n = 2l (2k + 1) với l ∈ N∗ , k ∈ Z, nên ta có f (n) = f (2l (2k + 1)) = f (2k + 1), ∀n ∈ Z. Vì vậy  fn , (∀fn ∈ R), n = 2s + 1 f2k+1 , n = 2l (2k + 1), l ∈ N∗ , k ∈ Z. Ngược lại, dễ thấy hàm số có dạng (1.15) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2. f (n) = Bài toán 1.18. Mọi hàm f (n) phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 trên Z đều có dạng f (n) =  fn (∀fn ∈ R), n = 2s + 1 −f2k+1 , f2k+1 ,  n = 22s+1 (2k + 1), s ∈ N, k ∈ Z n = 22s (2k + 1), s ∈ N∗ , k ∈ Z. Chứng minh Nhận xét rằng, mọi n ∈ Z đều có thể viết dưới dạng n = 2l (2k + 1) với l ∈ N, k ∈ Z, nên ta có f (n) = f (2l (2k + 1)), ∀n ∈ Z. Vì vậy  f (n) = fn , (∀fn ∈ R), f2k+1 , n = 2s + 1 n = 2l (2k + 1), l ∈ N∗ , k ∈ Z. Vậy hàm phản tuần hoàn  nhân tính chu kỳ 2 có dạng fn (∀fn ∈ R), n = 2s + 1 n = 22s+1 (2k + 1), s ∈ N, k ∈ Z n = 22s (2k + 1), s ∈ N∗ , k ∈ Z. Ngược lại, dễ thấy hàm số có dạng (1.15) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2. f (n) = −f ,  2k+1 f2k+1 , Bài toán 1.19. Cho a ∈ Z∗ , a 6= ±1. Xác định hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a trên Z.