Tài liệu Một số chuyên đề hay ôn thi vào 10 giai đoạn 2020 2021 đã chuyển đổi

1 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện Toán Học Sơ Đồ Tài liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp TÀI LIỆU TOÁN THCS BỘ ĐỦ ÔN 10 BẢN WORD LÀ 20 CHUYÊN ĐỀ + 4 CHỦ ĐỀ + 300 ĐỀ ĐÃ THI + THI THỬ + THI THỬ HƯỚNG MỚI (LỜI GIẢI CHI TIẾT) MẪU MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ ÔN VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2020-2021 Liên Hệ Tài Liệu Word Chất-Đẹp-Tiện ĐT/Zalo 0945943199 ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 2 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện CHUYÊN ĐỀ 1: BIỂU THỨC SỐ ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 3 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện 1. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Biểu thức đơn giản chứa căn Phương pháp giải ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 4 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện 2. Bài tập mẫu Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) A = 12 + 27 − 48 . (Đề thi vào 10 tỉnh Đak Lak năm học 2013 - 2014) b) B = 8 − 18 + 2 32 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2013 - 2014) c) C= 5 ( ) 20 − 5 + 1. (Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết a) Ta có: A = 12 + 27 − 48 = 22.3 + 3.32 − 3.42 = 2 3 + 3 3 − 4 3 = 3 Vậy A = 3 . b) Ta có: B = 22.2 − 32.2 + 2 42.2 = 2 2 − 3 2 + 8 2 = 7 2 Vậy B = 7 2 . C) Ta có: C = 5. 20 − 5. 5 + 1 = 100 − ( 5) 2 + 1 = 10 − 5 + 1 = 6 Vậy C = 6 . Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau: 20 − 45 + 3 18 + 72 . a) c) ( 6+ 5 ) 2 b) ( 28 − 2 3 + 7 ) 7 + 84 . 1 1 3  1 4 − 2+ 200  : d)  5 2 2 2  8 − 120 . Giải chi tiết 20 − 45 + 3 18 + 72 = 22.5 − 32.5 + 3 32.2 + 62.2 a) = 2 5 − 3 5 + 9 2 + 6 2 = ( 2 − 3) 5 + ( 9 + 6 ) 2 = 15 2 − 5 . b) ( 28 − 2 3 + 7 ) 7 + 84 = ( 22.7 − 2 3 + 7 ) 7 + 2 2.21 ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 5 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện = 2 7. 7 − 2 3. 7 + 7. 7 + 2 21 = 2.7 − 2 21 + 7 + 2 21 = 14 + 7 = 21 . c) ( 6+ 5 ) 2 − 120 = 6 + 2. 6. 5 + 5 − 22.30 = 6 + 5 + 2 30 − 2 30 = 11 . 1 1 3  1 1 2 3  1 4 4 − 2+ 200  : =  − 2+ 2.102  : d)  5 5 2 2 2  8 2 2 2  8 3 4 1  1 3  = 2− 2 + .10 2  .8 =  − + 8  . 2.8 = 54 2 . 2 5 4  4 2  Dạng 2: Biểu thức chứa căn có ẩn hằng đẳng thức bên trong Phương pháp giải *Áp dụng hằng đẳng thức A2 = A *Nếu các biểu thức có dạng m  p n (trong đó p n = 2ab với a 2 + b 2 = m ) thì đều viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức. 2. Bài tập mẫu Câu 1: Tính giá trị của biểu thức: a) M = ( ) 2 5 −1 − 5 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phòng năm học 2018 - 2019) b) N = 6 + 2 5 − 6 − 2 5 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phòng năm học 2013 - 2014) Phân tích đề bài a) Áp dụng hằng đẳng thức A2 = A và chú ý 2 ab  ⎯⎯→ 2 5 = 2.1. 5  6 + 2 5 ⎯⎯ → → = 1+ 5 2 ⎯⎯ a 2 +b2  ⎯⎯⎯ → 6 = 12 + 5  ( ( ) 5 −1  0 ) 2 Giải chi tiết a) M = 5 − 1 − 5 = 5 − 1 − 5 = −1 . b) N = 6 + 2 5 − 6 − 2 5 = 5 + 2 5 + 1 − 5 − 2 5 + 1 = = ( ) 2 5 +1 − ( ) 5 −1 2 5 +1 − 5 −1 = 5 + 1− 5 + 1 = 2 Nhận xét Ở câu b) các biểu thức 6 + 2 5 và 6 − 2 5 là hai biểu thức liên hợp. ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 6 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện Do vậy để tính giá trị của N ta còn có thể tính N 2 trước rồi suy ra giá trị của N. ( 6 + 2 5 )( 6 − 2 5 ) + 6 − 2 Chẳng hạn: N 2 = 6 + 2 5 − 2 5 = 12 − 2 6 = 4  0 . Vì 6 + 2 5  6 − 2 5 nên N  0 . Do đó N = 2 . Câu 2: Tính giá trị của các biểu thức: a) A = 7 − 2 10 + 20 + ( b) B = 21 1 8. 2 2 + 3 + 3− 5 ) − 6( 2 2− 3 + 3+ 5 ) −15 15 . 2 Phân tích đề bài a) Đưa 7 − 2 10 về dạng bình phương của một hiệu và hai căn thức còn lại ta phân tích và đưa thừa số ra ngoài căn. b) Đưa thừa số 2 vào trong căn để biến đổi các căn thức về dạng bình phương. Giải chi tiết a) A = 7 − 2 10 + 20 + = 5− 2 ) 2 1 + 2 5 + .2 2 2 5− 2 +2 5+ 2 = 5− 2+2 5+ 2 =3 5. b) B = = ( 1 8= 2 21 2 ( 21 2 ( 4+2 3 + 6−2 5 ) 2 3 +1+ 5 −1 − 3 ( ) ( 2 −3 4−2 3 + 6+2 5 ) 2 3 − 1 + 5 + 1 − 15 15 = 15 2 ( ) −15 15 2 3+ 5 ) 2 − 15 15 = 60 . Dạng 3: Biểu thức chứa căn ở mẫu Phương pháp giải ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 7 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện 2. Bài tập mẫu Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) P = 1 1 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phòng năm học 2015-2016) + 5 −2 5+2 b) Q = 3− 6 2+ 8 . − 1− 2 1+ 2 Giải chi tiết a) Ta có: P = 5+2 ( 5 −2 )( 5+2 5 −2 + ) ( 5+2 )( 5 −2 ) = 5 +2+ 5 −2 = 2 5 . Vậy P = 2 5 . b) Q = = 3− 6 2+ 8 − 1− 2 1+ 2 ( 3 1− 2 1− 2 ) − 2 (1 + 2 ) = 3−2 1+ 2 Vậy Q = 3 − 2 . a) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu. b) Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu. Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau: a) A = 1 15 − 12 . − 3+ 2 5 −2 b) B = 1 1 2 2− 6 . + + 3 +1 3 −1 2 Giải chi tiết a) Ta có: A = 1 15 − 12 − = 3+ 2 5 −2 ( 3− 2 3+ 2 )( 3− 2 ) − 3 ( 5 −2 ) 5 −2 = 3− 2− 3 =− 2 Vậy A = − 2 . b) B = ( ) 2 2− 3 3 −1 + 3 + 1 2 3 ++ = + 2− 3 = 3 + 2− 3 = 2 3 −1 3 +1 2 Vậy B = 2 . ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 8 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện Câu 3: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau: a) A = 1 8 − 10 . − 2 +1 2− 5 b) B = c) C = 2 3 . − 27 + 3 −1 3 d) D = 2 − 28 + 54 . 7− 6 5+ 5 5 3 5 . + − 5+2 5 −1 3 + 5 Giải chi tiết 1 8 − 10 − = 2 +1 2− 5 a) A = ( 2 −1 )( 2 +1 ) 2 −1 ( 2 2− 5 − 2− 5 )= 2 − 1 − 2 = −1 Vậy A = −1. 2 − 28 + 54 = 7− 6 b) B = 2 ( ( 7+ 6 7− 6 )( ) 7+ 6 ) 2 7 +2 6 −2 7 +3 6 7−6 − 7.4 + 9.6 = = 2 7 +2 6 −2 7 +3 6 = 5 6 Vậy B = 5 6 . c) C = 2 ( ( ) 3 +1 )( 3 −1 ) 3 +1 −2 3+ 3 = 2 ( ) −2 3 +1 3 −1 3 = 3 +1− 2 3 = 1− 3 Vậy C = 1 − 3 . d) D = ( ( 5+ 5 5+ 5 5 3 5 + − = 5+2 5 −1 3 + 5 5+2 = 3 5 −5+ )( )( )+ 5 − 2) ( 5 −2 5 ( ) 5 +1 )( 5 −1 − ( 3 5 3− 5 ) ) (3 + 5 )(3 − 5 ) 5 +1 5 + 5 9 5 − 15 5 + 5 − 9 5 + 15 − = 3 5 −5+ = 3 5 −5+5−2 5 = 5 4 4 4 Vậy D = 5 . Dạng 4: Biểu thức phức tạp Phương pháp giải Thường gặp những biểu thức vừa có ẩn hằng đẳng thức trong căn, vừa chứa căn thức ở mẫu. Để giải dạng này ta thường kết hợp phương pháp giải ở dạng 1, dạng 2 và dạng 3. 2. Bài tập mẫu Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) A = 2 1 + . 18 . 2+2 3 (Đề thi vào 10 tỉnh Đồng Nai năm hoc 2015 - 2016) ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 9 Nhóm Toán Học Sơ Đồ 3 14 − + 7 −2 7 b) B = ( 7 −2 ) 2 Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện .  21 − 7 10 − 5  1 + c) C =  . (Đề thi vào 10 TP Đà Nẵng năm học 2015 - 2016)  : 3 − 1 2 − 1 7 − 5   Giải chi tiết a) Ta có: A = = 2 1+ 2 ( ) 2 2 −1 3 2 9.2 = + 3 2 −1 3 + 2− 2 + 2 = 2− 2 + 2 = 2 1 Vậy A = 2 . b) B = = 3 ( 3 ( 7 +2 7 −2 7 +2 3 ( )( ) −2 ) 7 +2 ) − 2. ( 7) 7 2 + 7 −2 7 + 7 −2 = 7 +2− 7 −2 = 0 Vậy B = 0 . ( ) ( )  .  7 3 −1 5 2 −1 c) Ta có C =  +  3 −1 2 −1    ( ) ( 7− 5 = 7+ 5 )( ) 7 − 5 = 7−5 = 2 Vậy C = 2 . a) Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu và đưa thừa số ra ngoài căn. b) Trục căn thức ở mẫu và áp dụng hằng đẳng thức A2 = A . c) Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu và phân tích tử thức để giản ước với mẫu. Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau: a) A = c) C = ( 5 −2 )( ) 5+2 − 7−4 3 . 3−2 b) B = 2+ 3 7−4 3 − 2− 3 7+4 3 . 3 3−4 3+4 − . 2 3 +1 5−2 3 Giải chi tiết a) A = ( 5) 2 − 22 − (2 − 3) 3−2 2 = 5−4− 2− 3 = 1 − ( −1) = 2 3−2 ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 10 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện Vậy A = 2 . 2+ 3 b) B = 2− 3 − 7−4 3 = 7+4 3 2+ 3 (2 − 3) − 2 2− 3 (2 + 3) 2 = 2+ 3 2− 3 − 2− 3 2+ 3 (2 + 3) − (2 − 3) = ( 2 − 3 )( 2 + 3 ) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) 2 2 ( ) − (2 − 3) = ( 2 + 3 + 2 − 3 )( 2 + 2 = 2+ 3 2 3 −2+ 3 ) = 4.2 3 = 8 3 Vậy B = 8 3 . 3 3−4 3+4 − = 2 3 +1 5−2 3 c) C = = = (3 )( (2 3) )− ( 3 − 4 2 3 −1 2 −1 )( ) − (2 3) 3 +4 5+2 3 ( 5) 2 2 22 − 11 3 26 + 13 3 4−2 3 4+2 3 − = 2− 3 − 2+ 3 = − 11 13 2 2 1   2 ( ) 2 3 −1 − ( 2  1 3 +1  = 2  ) ( ) 3 −1 − 3 −1 = 1 . ( −2 ) = − 2 2 Vậy C = − 2 . a) Sử dụng hằng đẳng thức: ( a − b )( a + b ) = a2 − b2 và phân tích 7 − 4 3 thành bình phương. b) Phân tích 7 − 4 3 thành bình phương. c) Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu. 2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: ( a) A = 3 50 − 5 18 + 3 8 b) B = 4 − 2 3 − c) C = ( 5− 2 ) 2 ) 2 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phòng năm học 2013 - 2014) 1 12 . 2 (Đề thi vào 10 tỉnh Tiền Giang năm học 2018 - 2019) + 40 . (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Dương năm học 2018 - 2019) d) D = 5 8 + 50 − 2 18 . (Đề thi vào 10 tỉnh Bến Tre năm học 2015 - 2016) ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 11 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện e) E = 2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75 . (Đề thi vào 10 tỉnh Long An năm học 2015 - 2016) Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau: ( a) 125 − 4 45 + 3 20 − 80 . b) B = 3 2 + 6 ) 6−3 3 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phòng năm học 2015 - 2016) Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau: a) A = 1 1 . + 3+ 7 3− 7 ( b) B = 3+2 ) 2 ( + (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Thuận năm học 2015 - 2016) 3−2 ) 2 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hưng Yên năm học 2015 - 2016)  3+ 3   3− 3  c) C =  2 +  .  2 − . 3 +1   3 − 1    5− 5   5+ 5  d) D =  2 +  .  2 −  5 −1   5 + 1   e) E = ( 14 − 6 3 5+ 3 ) 3 +1 Gợi ý giải Câu 1: ( a) A = 3 50 − 5 18 + 3 8 ( b) B = c) C = ( ) ) ( 2 = 15 2 − 15 2 + 6 2 ) 2 = 6 2. 2 = 12 . 2 3 − 1 − 3 = 3 − 1 − 3 = −1 . 5− 2 ) 2 + 40 = 5 − 2 10 + 2 + 2 10 = 7 . d) D = 5 8 + 50 − 2 18 = 10 2 + 5 2 − 6 2 = (10 + 5 − 6 ) 2 = 9 2 . e) E = 2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75 = 8 2 − 15 3 − 8 2 + 15 3 = 0 . Câu 2: a) A= 5 5 − 12 5 + 6 5 − 4 5 = −5 5 . ( b) B = 3 2 + 6 ( ) ) ( 6−3 3 = 3+ 3 ( )( ) 12 − 6 3 ) = 3+ 3 3− 3 = 3+ 3 3− 3 = 9 −3 = 6. Câu 3: ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 12 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện a) A = 1 1 6 6 + = = = 3. 2 9−7 3 + 7 3 − 7 32 − 7 b) B = 3 +2 + 3 −2 = 3 +2− 3 +2 = 4 . ( )  2 − 3 (  3 3 +1  3+ 3   3− 3   c) C =  2 + . 2 − = 2 +     3 + 1   3 − 1   3 +1   ( )(   ) 3 −1   3 −1   ) = 2 + 3 2 − 3 = 1. ( )  2 − 5 (  5 5 −1  5− 5   5+ 5   d) D =  2 + . 2 − = 2 +     5 − 1   5 + 1   5 −1   ( )(   ) 5 +1   5 +1   ) = 2 + 5 2 − 5 = −1 e) Cách 1: E = = ( ) 3 +1 ( ) 3 +1 88 − 44 3 = 22 Cách 2: E = ( ) 3 +1 14 − 6 3 = 5+ 3 ( ) 3 +1 14 − 6 3 = 5+ 3 ( (14 − 6 3 )(5 − 3 ) ) 5+ 3 5− 3 ( )( ) 3 +1 4−2 3 = ( )( 3 +1 ) 3 −1 = 2 . ( 4 + 2 3 )(14 − 6 3 ) = 5+ 3 20 + 4 3 = 4 =2. 5+ 3 CHUYÊN ĐỀ 2: BIỂU THỨC CHỨA CHỮ Thông thường bài toán này cho dưới dạng tổng hợp gồm: -Một câu hỏi chính: Rút gọn biểu thức. -Các câu hỏi phụ: + Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (hay tìm điều kiện xác định). + Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. + Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức. + Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức. + Tìm giá của biến để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước. I. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 13 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Phương pháp giải A được xác định khi và chỉ khi A  0 . 1 được xác định khi và chỉ khi A  0 . A Bài tập mẫu Câu 1: Cho biểu thức M = x y− y−y x+ x 1 + xy . Tìm điều kiện xác định và rút gọn M. (Đề thi vào 10 tỉnh Khánh Hòa năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết x  0 x  0  Điều kiện:  y  0  1 + xy  0  y  0  Với x  0, y  0 ta có: M = = x y− y−y x+ x 1 + xy xy ( ) ( x− y + = (x x− y 1 + xy ) ( y−y x + x− y ) 1 + xy )=( )( x − y 1 + xy 1 + xy )= x− y Vậy M = x − y với x  0, y  0 .  1 x  1 − Câu 2: Cho biểu thức N =  . Tìm điều kiện xác định và rút gọn N.  :  x −1 x −1  x +1 Giải chi tiết x  0  x  0  x −1  0  Điều kiện:  x  1 x −1  0  x +1  0   1 Với x  0, x  1 ta có: N =  −  x −1  = ( 1 )( x −1 ( x )( x −1 ) x +1 . (  . x +1   ) ) x +1 = (  x +1 =    ) (  . x +1   x +1− x )( x −1 ) 1 x −1 ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share ( ) x +1 14 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Vậy N = Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện 1 với x  0, x  1 . x −1  x +1 1  − Câu 3: Cho biểu thức P =   x + 3   x −9 ( ) x −3 . Tìm điều kiện xác định và rút gọn N. Giải chi tiết x  0 x  0  Điều kiện:  x − 9  0   x  9   x +3 0 Với x  0, x  9 ta có:  x +1 1  P =  −  x + 3   ( x +3)( x -3) = ( ( x + 3)( ). ( x − 3) x +1− Vậy P = x −3 ( ) x −3 =  x −3 =    ) ( x +1 x +3 )( x −3 − ) (   x −3   x −3 x +3 )( ) ( x −3 ) 4 x +3 4 với x  0, x  9 . x +3 Câu 4: Cho biểu thức Q = x − 11 x 2 x −1 − + . Tìm điều kiện của x để biểu thức Q x− x −2 x +1 x −2 có nghĩa, khi đó rút gọn Q. Giải chi tiết x  0  x  0 x − x − 2  0  x  0 Để Q có nghĩa, điều kiện là:     x  2 x  4  x −2 0   x +1  0 Với điều kiện trên ta có: Q = = x −1 x 2 x −1 − + = x− x −2 x +1 x −2 ( x − 2) + ( 2 x − 1)( ( x + 1)( x − 2) x − 11 − x )= x +1 ( x − 11 )( x +1 ( ) ( ( x + 1)( x − 2) x −2 ) − x 2 x −1 + x +1 x −2 ) x − 11 − x − 2 x + 2 x + x − 1 ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 15 Nhóm Toán Học Sơ Đồ = ( ( x + 1)( x − 2) ( x + 4 x − 12 Vậy Q = )( x + 1)( x −2 = Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện )= x − 2) x +6 x +6 x +1 x +6 với x  0 và x  4 . x +1 Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến Phương pháp giải Bài tập mẫu x +1 khi x = 9 . x −1 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức A = Giải chi tiết 9 +1 3 +1 4 = = =2 9 −1 3 −1 2 Thay x = 9 vào A ta được: A = Vậy A = 2 khi x = 9 . Câu 2: Cho biểu thức A = 2x − 3 x − 2 . Tính giá trị của A khi x = 4 − 2 3 . x −2 (Thi thử THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 1 năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết Với x  0, x  4 ta có: A = = Khi x = 4 − 2 3 = ( 3) 2 ( ) ( ) 2x − 4 x + x − 2 2 x 2x − 3 x − 2 = = x −2 x −2 ( )( ) =2 x − 2 2 x +1 x −2 − 2. 3.1 + 12 = ( ) 3 −1 ( ) ( x −2 + x −2 ) x −2 x +1 2  x = 3 − 1 , thay vào A ta được: A = 2 x +1 = 2 ( ) 2 3 −1 + 1 = 2 ( ) 3 −1 + 1 = 2 3 −1 Vậy x = 4 − 2 3 thì A = 2 3 − 1 . Ta thấy x = 4 − 2 3 có thể rút gọn bằng cách đưa về bình phương của một hiệu. Do vậy, ta ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 16 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện cần rút gọn x trước khi thay vào biểu thức A. Câu 3: Cho biểu thức B = 2+ x 2− x , điều kiện x  0, x  1 . + x +1 x −1 a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị B khi x = 17 + 12 2 (Đề thi vào 10 tỉnh Ninh Thuận năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết a) Với x  0, x  1 ta có: B= ( 2 + x )( ( x + 1)( Vậy B = ) + ( 2 − x )( x − 1) ( x + 1)( ) = (x + x − 1) x −1 ) ( x +1 x − 2 + −x + x + 2 x −1 )=2 x x −1 2 x với x  0, x  1 . x −1 b) Ta có: x = 17 + 12 2 = 9 + 2.3.2 2 + 8 = (3 + 2 2 ) 2 = 3 + 2 2 (thỏa mãn điều kiện x  0, x  1 ). x = 3 + 2 2 = 2 + 2. 2.1 + 1 = ( ) 2 +1 2 Thay x = 2 + 1 vào B ta được: B = ( 2 = 2 +1 ) = 2 ( 2 + 1) = 1 2 − 1 2 (1 + 2 ) 2 +1 3+ 2 Vậy x = 17 + 12 2 thì B = 1 . Câu 4: Cho biểu thức: C = x x +1 x −1 (với x  1; x  0 ). Rút gọn C, sau đó tính giá trị − x −1 x +1 C − 1 khi x = 2020 + 2 2019 . Giải chi tiết Với x  1; x  0 ta có: ( x ) +1 − C= ( x + 1)( x −1) 3 = ( )( ( x + 1)( )−( x +1 x − x +1 ) x −1 ( x ) +1 − ( ( x + 1)( x −1) 3 x −1 = x +1 )( x +1 ) = x− x −1 x +1 )( x +1 x +1 − x −1 ) x −1 x +1 ( ) x −1 ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 17 Nhóm Toán Học Sơ Đồ = x − x +1− ( ) x −1 2 x −1 Vậy C = = Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện ( )= x − x +1− x − 2 x +1 x −1 x x −1 x với x  1; x  0 . x −1 Suy ra C − 1 = x− ( )= x −1 x −1 1 x −1 Ta có x = 2020 + 2 2019 (thỏa mãn điều kiện x  1, x  0 ). Có x = 2019 + 2 2019 + 1 = ( 2019 ) 2 + 2. 2019.1 + 12 = Thay vào biểu thức C − 1 ta được : C − 1 = Vậy C − 1 = ( ) 2 2019 + 1  x = 2019 + 1 1 1 = 2019 + 1 − 1 2019 1 khi x = 2020 + 2 2019 . 2019 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phương pháp giải Chứng minh đẳng thức: Ta biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái hoặc biến đổi cả hai vế về biểu thức trung gian. Chứng minh bất đẳng thức A  m . Bài tập mẫu Câu 1: Chứng minh rằng với x  0 và x  1 thì x 1 − = x −1 x − x x +1 . x Giải chi tiết Với x  0 và x  1 ta có: ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 18 Nhóm Toán Học Sơ Đồ x 1 − = x −1 x − x VT = x −1 = x ( = ) x −1 ( ( x x −1 x 1 − = x −1 x x −1 ( )( x −1 x Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện )= x +1 ) x −1 Vậy với với x  0 và x  1 thì ) x ( ) x −1 x +1 x x 1 − = x −1 x − x x +1 . x  x +1 2  x −4 − Câu 2: Cho biểu thức P =   .  x − 1 +  (với x  0 và x  4 ). x   x −2 x−4  Chúng minh rằng P = x + 3 . Giải chi tiết Với x  0 và x  4 ta có:  x +1 2  x −4 P =  −  .  x − 1 +  x   x −2 x−4   =   = ( )( x +1 x +2 x−4 )−   2   . x − 4    ( ) x −1 x x +  x − 4 x   x+2 x + x +2−2 x− x + x −4 x+3 x x−4 . = . = x−4 x−4 x x x ( x +3 x )= x +3 Vậy P = x + 3 với mọi x  0, x  4 .   1  3 a +5 + Câu 3: Cho biểu thức P =     a −1 a a − a − a + 1    ( ) a +1 4 a 2  − 1 với a  0, a  1 .   a) Rút gọn P. ( ) b) Đặt Q = a − a + 1 P . Chứng minh Q  1 . Giải chi tiết Với a  0, a  1 ta có:  1 P= +  a −1 a  ( 3 a +5 ) ( a −1 −     3 a +5  .  (a + 2 a + 1) − 4 a  =  1 + 4 a a −1     a − 1 ( a − 1) a − 1  ) ( )   . a − 2 a +1  4 a  ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 19 Nhóm Toán Học Sơ Đồ a −1 + 3 a + 5 = = ( a − 1) ( 4 ( ( ) a −1 ) ( . a +1 )( a +1 ) a −1 . ( ) a −1 4 a 2 = Vì ( ) 4 a +4 ( a − 1) ( ) a −1 ( . ) a −1 4 a 2 = 4 a + 4 a −1 . a −1 4 a a −1 1 . = 4 a a ) b) Ta có: Q = a − a + 1 P = Xét Q − 1 = Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện a − a +1 a a +1 ( = a − a +1 a − a +1− a a − 2 −1 = = a a a 2 a − 1  0 và ) a −1 2 a a  0, a  0, a  1 nên Q − 1  0  Q  1 Vậy Q  1 với mọi a  0, a  1 . Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức Phương pháp giải ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share 20 Nhóm Toán Học Sơ Đồ Câu 1: Cho hai biểu thức: A = Tài Liệu Word Toán THCS Chất-Đẹp-Tiện  x −1 x +2 3 x−4 − (với x  0, x  1 ) và B =  (với  : x − 2 x + 1 x + 1 x −1   x  0, x  4 ). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 18 . A.B (Phòng GD & ĐT Ba Đình – Hà Nội – Lần 1 năm học 2018 – 2019) Phân tích đề bài ĐIỆN THOẠI ZALO liên hệ tài liệu Word chất đẹp tiện 0945943199 -Nhóm Toán Học Sơ Đồ Link Nhóm Toán Học Sơ Đồ https://www.facebook.com/groups/880025629048757/?ref=share