Tài liệu Một số bài toán về quan hệ đường thẳng và parabol (ôn thi vào 10)

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008 Tríc hÕt, chóng ta h·y cïng nhau nh¾c tíi c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n thêng xuyªn sö dông sau: Cho Parabol y=a'x2 (P) vµ ®êng th¼ng y = ax + b (d) Khi ®ã: Ta cã hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol y=a'x 2 (P) vµ ®êng th¼ng y=ax + b (d) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: a'x2 = ax + b <=> a'x2 – ax – b = 0 (*) - Parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) kh«ng cã ®iÓm chung khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm. - Parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ®óng mét ®iÓm chung (tiÕp xóc nhau) khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp vµ hoµnh ®é cña tiÕp ®iÓm chÝnh lµ nghiÖm kÐp cña ph¬ng tr×nh ®ã. - Parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ®óng hai ®iÓm chung khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt. B©y giê, chóng ta h·y cïng nhau t×m hiÓu c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n cña mèi quan hÖ nµy:  D¹ng 1: T×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña Parabol vµ ®êng th¼ng. VÝ dô 1: T×m hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = x 2 víi ®êng th¼ng (d) y = x + 6 Gi¶i Ta cã hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = x 2 víi ®êng th¼ng (d) y = x + 6 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 = x + 6  x2 –x – 6 = 0  = b2 – 4ac = (–1)2 – 4.1.( –6) = 1 + 24 = 25 D =5 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: §Æng Ngäc D¬ng 1 THCS Giao Hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008 x1 = - b+ D 1+ 5 = =3 2a 2 x2 = - b- D 1- 5 = =- 2 2a 2 VËy hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a (P) vµ (d) lµ: 3 vµ – 2 VÝ dô 2: T×m hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = –x2 víi ®êng th¼ng (d) y = – 5x + 4 Gi¶i Ta cã hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = –x 2 víi ®êng th¼ng (d) y = –5x + 4 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: –x2 = –5x + 4  x2 –5x + 4 = 0 V× a + b + c = 1 + (–5) + 4 = 0 nªn x 1 = 1; x2 = 4 VËy hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a (P) vµ (d) lµ: 1 vµ 4  D¹ng 2: T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña Parabol vµ ®êng th¼ng. VÝ dô 3: T×m to¹ ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = th¼ng (d): y = 3x – 4 1 2 x vµ ®êng 2 Gi¶i Hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = y = 3x – 4 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 1 2 x = 3x - 4 2 � x2 - 6x + 8 = 0 1 2 x vµ ®êng th¼ng (d): 2 ' = b'2 – ac = (–3)2 – 1.8 =9–8 =1 D' =1 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: - b'+ D ' 3+1 x1 = = =4 a 1 §Æng Ngäc D¬ng 2 THCS Giao Hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008 3- 1 =2 a 1 Thay x1 = 4 vµo ta ®îc y1 = 8 Thay x2 = 2 vµo ta ®îc y2 = 2 VËy to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ: (4; 8); (2; 2) x2 = - b'- D' = VÝ dô 4: T×m to¹ ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = th¼ng (a): y = 2x – 3 1 2 x vµ ®êng 3 Gi¶i Hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = y = 2x – 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 1 2 x = 2x - 3 3 � x2 - 6x + 9 = 0 1 2 x vµ ®êng th¼ng (a): 3 ' = b'2 – ac = (–3)2 – 1.9 =9–9 =0 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: - b' 3 x1 = x2 = = =3 a 1 Thay x = 3 vµo ta ®îc y = 3 VËy to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (a) lµ: (3; 3)  D¹ng 3: Chøng minh vÒ vÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a Parabol vµ ®êng th¼ng. VÝ dô 5: Chøng tá r»ng Parabol (P) y = - 4 x2 lu«n tiÕp xóc víi ®êng th¼ng (d): y = 4mx + m2 khi m thay ®æi. Gi¶i Ta cã hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = –4x 2 víi ®êng th¼ng (d) y = 4mx + m2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: –4x2 = 4mx + m2  4x2 + 4mx + m2 = 0  = b2 – 4ac = (4m)2 – 4.4.m2 §Æng Ngäc D¬ng 3 THCS Giao Hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008 = 16m2 – 16m2 =0m Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. Do ®ã Parabol (P) lu«n tiÕp xóc víi ®êng th¼ng (d) y = 4mx + m2 khi m thay ®æi. VÝ dô 6: Chøng tá r»ng Parabol (P) y = x2 lu«n cã ®iÓm chung víi ®êng th¼ng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay ®æi. Gi¶i Ta cã hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = x 2 víi ®êng th¼ng (d) y = 2(m – 1)x – 2m + 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 = 2(m – 1)x – 2m + 3  x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 ' = b'2 – ac = [(m – 1)]2 – (2m – 3) = m2 – 2m +1 – 2m + 3 = m2 – 4m +4 = (m – 2)2  0  m Ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm. Do ®ã Parabol (P) lu«n lu«n cã ®iÓm chung víi ®êng th¼ng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay ®æi.  D¹ng 4: Chøng minh vÒ tÝnh chÊt, vÞ trÝ cña giao ®iÓm trong mÆt ph¼ng to¹ ®é gi÷a Parabol vµ ®êng th¼ng. VÝ dô 7: Chøng tá r»ng Parabol (P) y = 3 x2 c¾t ®êng th¼ng (d): y = 5x – 2 t¹i hai ®iÓm n»m cïng mét phÝa ®èi víi trôc tung. Gi¶i Ta cã hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = 3x 2 víi ®êng th¼ng (d) y = 5x – 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x2 = 5x – 2  3x2 – 5x + 2 = 0 Ta cã a + b + c= 3 + (–5) + 2 = 0 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1 ; x2 = c = 2 a 3 Ta thÊy hai nghiÖm nµy cïng d¬ng. Suy ra hoµnh ®é giao ®iÓm ®Òu d¬ng. Do ®ã giao ®iÓm cña chóng cïng n»m ë cïng mét phÝa ®èi víi trôc tung. §Æng Ngäc D¬ng 4 THCS Giao Hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008 VÝ dô 8: Chøng tá r»ng Parabol (P) y = - x2 c¾t ®êng th¼ng (d): y = 2x – 2007 t¹i hai ®iÓm thuéc hai phÝa ®èi víi trôc tung. Gi¶i Ta cã hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = -x 2 víi ®êng th¼ng (d) y = 2x – 2007 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: –x2 = 2x – 2007  x2 + 2x – 2007 = 0 V× cã a.c = 1.( –2007) < 0 nªn ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. Do ®ã giao ®iÓm thuéc hai phÝa ®èi víi trôc tung.  D¹ng 5: BiÖn luËn sè giao ®iÓm cña ®êng th¼ng vµ Parabol. VÝ dô 9: Cho Parabol (P) y = x2 c¾t ®êng th¼ng (D): y = 2(m +1)x – m2 – 9. T×m m ®Ó: a) (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. b) (D) tiÕp xóc víi (P). c) (D) kh«ng c¾t (P). Gi¶i Hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = x2 víi ®êng th¼ng (D) y = 2(m +1)x – m2 – 9 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 = 2(m +1)x – m2 – 9  x2 – 2(m +1)x + m2 +9= 0 (1) ' = b'2 – ac = [(m + 1)]2 – (m2 + 9) = m2 + 2m +1 – m2 – 9 = 2m – 8 a) (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt <=> Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt <=> ' > 0 <=> 2m – 8 > 0 <=> 2m > 8 <=> m > 4 VËy víi m > 4 th× (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. b) (D) tiÕp xóc víi (P) <=> Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp <=> ' = 0 <=> 2m – 8 = 0 <=> 2m = 8 <=> m = 4 §Æng Ngäc D¬ng 5 THCS Giao Hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008 VËy víi m = 4 th× (D) tiÕp xóc víi (P). c) (D) kh«ng c¾t (P) <=> Ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm <=> ' < 0 <=> 2m – 8 < 0 <=> 2m < 8 <=> m < 4 VËy víi m < 4 th× (D) kh«ng c¾t (P). VÝ dô 10: Cho Parabol (P) y = x2 c¾t ®êng th¼ng (D): y = 4x + 2m. a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (D) tiÕp xóc víi (P). b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m to¹ ®é giao ®iÓm khi m = 3 2 Gi¶i Hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = x2 víi ®êng th¼ng (D) y = 4x + 2m lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 = 4x + 2m  x2 – 4x – 2m = 0 (*) ' = b'2 – ac = (–2)2 – (–2m) = 4 + 2m a) (D) tiÕp xóc víi (P) <=> Ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm kÐp <=> ' = 0 <=> 4 + 2m = 0 <=> m = –2 VËy víi m = –2 th× (D) tiÕp xóc víi (P). b) (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt <=> Ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt <=> ' > 0 <=> 4 + 2m > 0 <=> m > –2 VËy víi m > –2 th× (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. Khi m = tr×nh: 3 th× hoµnh ®é giao ®iÓm cña A, B lµ nghiÖm cña ph¬ng 2 x2 – 4x – 3 =0 ' = b'2 – ac §Æng Ngäc D¬ng 6 THCS Giao Hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008 = (–2)2 – 1(–3) =4+3 = 7 D' = 7 x1 = x2 = - b'+ D ' = 2+ 7 a - b'- D' a = 2- 7 Thay x1 =2 + 7 vµo ta ®îc y1 = 11 +4 7 Thay x1 =2 – 7 vµo ta ®îc y1 = 11 –4 7 Tõ ®ã suy ra to¹ ®é giao ®iÓm A, B cña (P) vµ (D) lµ: A(2 + 7 ; 11 +4 7 ); B(2 – 7 ; 11 – 4 7 )  D¹ng 6: LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn gi÷a Parabol vµ ®êng th¼ng. 1 2 x 2 a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) t¹i ®iÓm M cã hoµnh ®é – 2. b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (P) viÕt tiÕp tuyÕn nµy song song VÝ dô 11: Cho Parabol (P) y = - 1 2 víi ®êng th¼ng y = x - 1 c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1; 3 ) vµ tiÕp xóc víi (P). 2 Gi¶i Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã d¹ng y = ax + b a) Thay x = –2 vµo ph¬ng tr×nh Parabol ta ®îc y = – 2 VËy M(–2; –2) v× ®êng th¼ng ®i qua M(–2; –2) nªn ta cã: –2 = –2a + b => b = 2a – 2 (1) MÆt kh¸c, ®êng th¼ng nµy lµ tiÕp tuyÕn cña (P) nªn ph¬ng tr×nh: 1 Cã nghiÖm kÐp - x2 = ax + b 2 Cã nghiÖm kÐp 2 � x + 2ax + 2b = 0  ' = 0  a2 – 2b =0 (2) Thay (1) vµo (2) ta ®îc: a2 – 2(2a – 2) = 0 a2 – 4a +4 =0 §Æng Ngäc D¬ng 7 THCS Giao Hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008  (a – 2)2 = 0 a=2 Víi a = 2 thay vµo (1) ta ®îc b = 2.2 – 2 = 2 VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M vµ tiÕp xóc víi (P) lµ: y = 2x + 2 b) 1 2 V× tiÕp tuyªn song song víi y = x - 1 nªn ta cã a = 1 2 1 2 Suy ra ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã d¹ng y = x + b V× ®êng th¼ng nµy tiÕp xóc víi (P) nªn ph¬ng tr×nh: 1 1 - x2 = x + b cã nghiÖm kÐp 2 2  x2 + x + 2b = 0 (I) cã nghiÖm kÐp  = b2 – 4ac = 12 – 4.1.2b = 1 – 8b §Ó ph¬ng tr×nh (I) cã nghiÖm kÐp th×  = 0  1 – 8b = 0 1 b= 8 1 1 VËy ph¬ng tr×nh tiÕp tuyªn cÇn t×m lµ: y = x + 2 8 c) §êng th¼ng (d) ®i qua A(1; 3 ) nªn ta cã: 2 3 3 – a (3) = a + b => b = 2 2 V× ®êng th¼ng tiÕp xóc víi Parabol nªn ph¬ng tr×nh: 1 Cã nghiÖm kÐp - x2 = ax + b 2 Cã nghiÖm kÐp 2 � x + 2ax + 2b = 0( II ) Ta cã: ' = a2 – 2b §Ó ph¬ng tr×nh (II) cã nghiÖm kÐp th× a2 – 2b = 0 (4) Thay (3) vµo (4) ta ®îc: a2 – 2( §Æng Ngäc D¬ng 3 –a) = 0 2 8 THCS Giao Hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008  a2 + 2a – 3 = 0 Suy ra a = 1 vµ a = – 3 * Víi a = 1 thay vµo (3) ta ®îc b = 1 2 * Víi a = 3 thay vµo (3) ta ®îc b = VËy qua A(1; 3 2 3 ) cã hai tiÕp tuyÕn víi Parabol (P) lµ: 2 y=x+ 1 ; 2 y = 3x - 3 2  D¹ng 7: T×m gi¸ trÞ tham sè ®Ó vÞ trÝ t¬ng giao tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tríc. VÝ dô 12: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy, cho Parabol (P) y = - x2 vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = mx – 1 a) Chøng minh r»ng víi mäi m (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B b) Gäi hoµnh ®é giao ®iÓm cña A vµ B lµ x 1; x2. Chøng minh x1 - x2 �2 Gi¶i a) Hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = –x2 víi ®êng th¼ng (d) y = mx – 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: –x2 = mx – 1  x2 + mx – 1= 0 (*)  = b2 – 4ac = m2 – 4.1.( –1) = m2 + 4 > 0  m V×  > 0  m, nªn ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt => (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. b) Ta cã x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) nªn theo ®Þnh lÝ Vi-Ðt cã: x1.x2 = –1 => x1 - x2 = x1 + V× x1 vµ 1 x2 1 cïng dÊu nªn: x1 §Æng Ngäc D¬ng 9 THCS Giao Hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008 x1 + 1 1 1 = x1 + �2 x1 . =2 x2 x1 x1 VËy x1 - x2 �2 2 x VÝ dô 13: Cho Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh: y = vµ ®êng th¼ng 2 (D) cã ph¬ng tr×nh: y = mx – m + 2 a) T×m m ®Ó (P) vµ (D) cïng ®i qua ®iÓm cã hoµnh ®é x = 4 b) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m th× (D) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. c) Gi¶c sö (x1; y1) vµ (x2; y2) lµ to¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (D) vµ (P). Chøng minh r»ng: y1+y2  (2 2 –1)(x1+x2) Gi¶i 2 Hoµnh ®é giao ®iÓm gi÷a Parabol (P) y = x víi ®êng th¼ng (D) y = 2 mx – m + 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 = mx - m + 2 2 � x2 - 2mx + 2m - 4 = 0(**) a) §Ó (D) vµ (P) cïng ®i qua ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 4 th× x = 4 ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (**). Tõ ®ã suy ra: 42 – 2m.4 +2m – 4 = 0 => m = 2 VËy víi m = 2 th× ®êng th¼ng (D) vµ Parabol (P) cïng ®i qua ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 4. b) (D) vµ (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt <=> ph¬ng tr×nh (**) cã hai nghiÖm ph©n biÖt <=> ' > 0 <=> (–m)2 – (2m – 4) > 0 <=> m2 – 2m +4 > 0 <=> (m – 1)2 +3 > 0 lu«n ®óng  m VËy (D) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. c) Ta cã (x1; y1) vµ (x2; y2) lµ to¹ ®é c¸c giao ®iÓm cña (D) vµ (P) nªn x 1 vµ x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (**) Theo ®Þnh lÝ Vi-Ðt x1 + x2 = - b = 2m a Ta l¹i cã: y1= mx1 – m + 2; y2 = mx2 – m + 2 §Æng Ngäc D¬ng 10 THCS Giao Hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008 Suy ra: y1 + y2 = (mx1 – m + 2) + (mx2 – m + 2) = m(x1 + x2) – 2m + 4 = 2m2 – 2m + 4 = [( 2 m)2 – 4 2 m + 4] + (2 2 –1).2m = ( 2 m – 2)2 +(2 2 – 1).2m = ( 2 m – 2)2 +(2 2 – 1).(x1 + x2) (v× x1 + x2 = 2m) §Æng Ngäc D¬ng 11 THCS Giao Hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 2007 - 2008 Trªn ®©y t«i ®· giíi thiÖu cïng c¸c ®ång nghiÖp vÒ b¶y d¹ng to¸n quan hÖ gi÷a Parabol vµ ®êng th¼ng trong ch¬ng tr×nh §¹i sè 9 mµ t«i ®· nghiÖm ®îc trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y. C¸c bµi to¸n vÒ d¹ng nµy rÊt phong phó vµ ®a d¹ng. Song do thêi gian nghiªn cøu cha nhiÒu, bµi viÕt cã thÓ cßn thiÕu sãt, t«i rÊt mong ®îc sù trao ®æi, gãp ý cña c¸c ®ång nghiÖp vÒ vÊn nµy ®Ó viÖc d¹y To¸n nãi chung vµ to¸n 9 nãi riªng ®¹t ®îc hiÖu qu¶ cao h¬n, gãp phÇn gióp c¸c em häc sinh cã thªm kiÕn thøc, kÜ n¨ng, høng thó… trong gi¶i to¸n ®Ó chuÈn bÞ hµnh trang thËt tèt cho k× thi cuèi cÊp vµ k× thi tuyÓn sinh vµo c¸c trêng THPT ®¹t hiÖu qu¶ cao. Xin tr©n träng c¶m ¬n! Giao Hµ, ngµy 20 th¸ng 03 n¨m 2008 Ngêi viÕt §Æng Ngäc D¬ng Email: [email protected] §Æng Ngäc D¬ng 12 THCS Giao Hµ