Tài liệu Một số bài toán về đa giác và đa diện đều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- ĐẶNG TÀI TUỆ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- ĐẶNG TÀI TUỆ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN ĐỀU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Đa giác đều và đa diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Một số yếu tố và bài toán cơ bản trong đa giác đều . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Dựng đa giác đều bằng thước kẻ và compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Đa diện đều và phân loại đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. Một số đa giác và đa diện đều đặc biệt . . . . . . . . . . 37 2.1. Ngũ giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Yếu tố cơ bản của các khối Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 i Mở đầu Hình học (geometry) bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp cổ geo- "đất", -metron "đo đạc", nghĩa là đo đạc đất đai. Cùng với Số học, Hình học là một trong hai ngành toán học được con người nghiên cứu từ thời cổ đại. Hình học cổ điển (Hình học Euclid) tập trung vào xây dựng các hình dựa trên compas và thước kẻ. Euclid đã cách mạng hóa hình học bằng cách giới thiệu phương pháp chứng minh toán học và các tiên đề mà ngày nay vẫn còn sử dụng. Cuốn sách của ông "Cơ sở hình học" (The elements) được coi là sách giáo khoa có ảnh hưởng nhất mọi thời đại. Trong thời hiện đại, khái niệm hình học đã được khái quát hóa đến một mức độ trừu tượng cao và phức tạp. Hình học trở thành đối tượng của các phương pháp Giải tích và Đại số trừu tượng. Nhiều ngành hiện đại của hình học khác biệt với hình học cổ điển ra đời như Hình học đại số và Hình học giải tích. Trong Hình học cổ điển, đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc ở đỉnh bằng nhau. Đa giác đều được chia làm hai loại là đa giác lồi đều và đa giác sao đều. Luận văn tìm hiểu về đa giác lồi đều, gọi tắt là đa giác đều. Đa giác đều được nghiên cứu chi tiết ở phổ thông. Chúng không chỉ xuất hiện trong toán học mà còn xuất hiện trong tự nhiên, trong các tác phẩm nghệ thuật, công trình kiến trúc,... mà con người tạo ra. Mục đích chính thứ nhất của luận văn là tìm hiểu những tính chất cơ bản của đa giác đều và một số đa giác đều đặc biệt. Ở phổ thông ta đã làm quen với tam giác đều và hình vuông. Mặc dù còn nhiều điều thú vị, chẳng hạn xem tài liệu "Mysteries of the equilateral triangle" của Brian J. McCartin cho tam giác đều, nhưng do khuôn khổ luận văn chỉ tìm hiểu một loại đa giác đều mới là ngũ giác đều. Nội dung của mục đích thứ nhất này tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu trong đó chủ yếu theo ba tài liệu đó là bài báo "A Study of the 1 regular pentagon with a classic geometric approach" của A. C. Sparavigna và M. M. Baldi; báo cáo môn học "A Constructibility for a regular polygons" của Eric T.Eekhoff. Chú ý bài báo cuối tìm hiểu về dựng đa giác đều 17 cạnh nội tiếp đường tròn được nghiên cứu bởi Carl Friedrich Gauss. Năm 1796, nhà toán học Carl Friedrich Gauss đã tìm được cách vẽ đa giác đều có 17 cạnh bằng thước thẳng và compas, bằng cách xem các đỉnh của đa giác trên vòng tròn như là nghiệm của phương trình số phức z 17 − 1 = 0. Năm năm sau, ông đã khám phá lý thuyết mà sau này được gọi là “Chu kỳ Gauss” (Gaussian periods) viết trong sách Disquisitiones Arithmeticae (Khảo cứu Số học). Lý thuyết này giúp ông tìm được điều kiện đủ để một đa giác đều có thể vẽ được bằng thước kẻ và compas. Điều kiện đó như sau “Một đa giá đều có n cạnh có thể vẽ được chỉ bằng thước kẻ và compas khi n bằng tích số của một luỹ thừa của 2 với một số bất kỳ các số Fermat nguyên tố khác nhau”. Gauss cũng cho là điều kiện đó cũng là điều kiện cần nhưng không chứng minh. Đến năm 1837, Pierre Wantzel chứng minh được điều kiện của Gauss. Mục đích chính thứ hai của luận văn tìm hiểu về các khối đa diện đều. một khối đa diện đều là một khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều bằng nhau và các cạnh bằng nhau. Đa diện đều được chia thành đa diện đều lồi và lõm. Luận văn tìm hiểu một số yếu tố cơ bản về các đa diện đều lồi gọi tắt là đa diện đều. Trong không gian ba chiều, có đúng 5 khối đa diện đều lồi còn gọi là các khối đa diện Platon là tứ diện đều (tetrahedron), hình lập phương (hexahedron), bát diện đều (octahedron), thập nhị diện đều (dodecahedron) và nhị thập diện đều (icosahedron). Chúng được tìm thấy tại nhiều vùng khác nhau ở Scotland và trở thành nền tảng kiến trúc trong thế giới cổ đại. Xuất hiện từ rất sớm nhưng cho tới thời điểm cách đây hơn 2500 năm thì các quy luật toán học xung quanh vấn đề các khối đa diện đều Platon mới lần đầu tiên được đề cập tới và nghiên cứu sâu rộng. Một điều khá thú vị là theo Platon thì 5 đa diện đều này còn là đại diện cho các yếu tố cơ bản trong vũ trụ: lửa (tứ diện đều), nước (hình lập phương), không khí (bát diện đều), trái đất (thập nhị diện đều) và vũ trụ (nhị thập diện đều). Tài liệu chính trình bày mục đích này là công trình "A geometric analysis of 2 the platonic solids and other semi-regular polyhedra" của K.J.M. Maclean. Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1 trình bày một số vấn đề cơ bản về đa giác đều (một số tính chất cơ bản, dựng đa giác đều nội tiếp đường tròn bằng thước kẻ và compas), đa diện đều (một số tính chất cơ bản, Định lý Euler về mối liên hệ giữa số cạnh, số đỉnh, số mặt của đa diện và phân loại đa diện). Chương 2 trình bày một lớp đa giác đặc biệt ngũ giác đều (một số tính chất liên quan đến tỉ số vàng, các cách dựng ngũ giác), 5 khối Platon (thể tích, diện tích xung quang, một số khoảng cách, góc cơ bản). Trong quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của TS. Trần Nguyên An - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học khóa Cao học Toán khóa 11B (2017-2019) - trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học. Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ và gia đình vì đã chia sẻ những khó khăn để tác giả hoàn thành công việc học tập của mình. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 10 năm 2019 Tác giả Đặng Tài Tuệ 3 Chương 1 Đa giác đều và đa diện đều 1.1. Một số yếu tố và bài toán cơ bản trong đa giác đều Định nghĩa 1.1.1 (Đường gấp khúc). Đường gấp khúc n cạnh là hình hợp thành bởi n đoạn thẳng A1 A2 , A2 A3 , ..., An An+1 , trong đó hai đoạn thẳng liên tiếp Ai−1 Ai và Ai Ai+1 không cùng nằm trên một đường thẳng (i=2,3,...,n). Đường gấp khúc như trên được kí hiệu là A1 A2 ...An+1 . Các điểm Ai gọi là các đỉnh của đường gấp khúc (có n + 1 đỉnh), còn các đoạn thẳng Ai Ai+1 gọi là các cạnh của đường gấp khúc. Từ định nghĩa trên ta suy ra hai cạnh liên tiếp Ai−1 Ai và Ai Ai+1 chỉ có điểm chung duy nhất là đỉnh Ai . Hình 1.1: Các đường gấp khúc Định nghĩa 1.1.2 (Đa giác). Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh (n ≥ 3) A1 A2 ...An+1 sao cho đỉnh đầu A1 và đỉnh cuối An+1 trùng nhau, cạnh đầu A1 A2 và cạnh cuối An An+1 (cũng coi là hai cạnh liên tiếp) không nằm trên một đường thẳng. Đa giác như thế kí hiệu là A1 A2 ...An . Đa giác n cạnh còn gọi là n-giác. Các điểm Ai gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn thẳng Ai Ai+1 gọi là các cạnh của đa giác. Góc Ai−1 Ai Ai+1 gọi là góc đa giác ở đỉnh Ai (Hình 1.1b). 4 Hình 1.2: Các đa giác Định nghĩa 1.1.3 (Đa giác lồi). Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đối với đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào của đa giác đó. Ở Hình 1.2b) là đa giác lồi, các đa giác còn lại đều không phải là đa giác lồi. Nội dung của luận văn này ở phần đa giác tác giả chỉ trình bày về các nội dung xoay quanh đa giác lồi. Định nghĩa 1.1.4 (Đường chéo của đa giác lồi). Đường chéo của đa giác lồi là đường thẳng nối 2 đỉnh không liên tiếp. n(n + 3) . 2 Mệnh đề 1.1.6. Tổng các góc trong của đa giác n-cạnh là (n − 2)180o . Mệnh đề 1.1.5. Số đường chéo trong đa giác n-cạnh là Hình 1.3: Chứng minh. Chia đa giác n cạnh thành những tam giác như Hình 1.3. Có n − 2 tam giác, lại có tổng ba góc trong một tam giác bằng 180o . Suy ra tổng các góc của đa giác n cạnh là (n − 2)180o . 5 Hệ quả 1.1.7. Tổng số đo các góc ngoài của một đa giác (mỗi đỉnh chỉ xét 1 góc ngoài) là 360o . Chứng minh. Giả sử đa giác có n-cạnh. Khi đó có n góc trong và n góc ngoài. Tại mỗi đỉnh có 1 góc trong và 1 góc ngoài nằm ở vị trí kề bù với nhau (α + α0 = 180o ). Tổng số đo các cặp góc là n180o , mà ta có tổng số đo góc trong của đa giác n-cạnh là (n − 2)180o theo Mệnh đề 1.1.6. Vậy tổng số đo góc ngoài của đa giác n-cạnh là n180o − (n − 2)180o = 360o . Hình 1.4: Số cạnh 3 4 5 6 7 8 9 10 Tên gọi Tam giác đều Hình vuông Ngũ giác đều Lục giác đều Thất giác đều Bát giác đều Cửu giác đều Thập giác đều Tên bằng tiếng Anh Equilateral triangle Square Pentagon Hexagon Heptagon Octagon Nonagon Decagon Bảng 1.1: Bảng tên gọi các đa giác đều Định nghĩa 1.1.8 (Đa giác đều). Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc ở đỉnh bằng nhau. Đa giác đều được chia làm hai loại là: đa giác lồi đều và đa giác sao đều. 6 Ở nội dung luận văn này tác giả chỉ trình bày về đa giác lồi đều và gọi tắt đa giác lồi đều là đa giác đều. Chú ý 1.1.9 (Nhóm đối xứng). Cho H là tập các điểm của một hình nào đó. Một phép thế s của H được gọi là một phép đẳng cự nếu với mọi M, N ∈ H, khoảng cách giữa hai điểm M, N bằng khoảng cách giữa hai điểm s(M ), s(N ). Tập hợp các phép đẳng cự của hình H làm thành một nhóm với phép hợp thành các ánh xạ, và ta gọi nó là nhóm các phép đẳng cự của H . Giả sử H là tập các điểm nằm trên các cạnh một tam giác đều với các đỉnh là 1, 2, 3. Khi đó độ dài của mỗi cạnh là lớn nhất trong các độ dài của các đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý trên H. Vì thế mỗi phép đẳng cự của hình H đều biến các đỉnh thành các đỉnh. Theo tiêu chuẩn này, ta có thể kiểm tra được có đúng 6 phép đẳng cự của hình H , đó là 3 phép quay 1200 , 2400 , 3600 với tâm quay là trọng tâm của tam giác đều và chiều quay ngược kim đồng hồ; và 3 phép đối xứng qua 3 đường cao. Nếu ta đồng nhất các phép quay 1200 , 2400 , 3600 ở trên lần lượt với 3 phép thế (123), (132), (1); và đồng nhất 3 phép đối xứng qua 3 đường cao đi qua các đỉnh 1, 2, 3 lần lượt với các phép thế (23), (13), (12) thì bảng toán nhân của nhóm các phép đẳng cự của H trùng với bảng toán nhân của nhóm các phép thế S3 . Nhóm trên cũng được gọi là nhóm nhị diện hay nhóm đối xứng của tam giác đều. Tổng quát nhóm đối xứng (nhóm nhị diện) của các đa giác đều n cạnh được gọi theo tên tiếng Anh là nhóm dihedral group Dn Nó bao gồm phép quay quanh tâm Cn (tâm đối xứng), cùng với n số trục đi qua tâm này. Nếu n là số chẵn thì một nửa số trục đối xứng đi qua hai đỉnh đối nhau của đa giác và nửa còn lại đi qua trung điểm của hai cạnh đối. Nếu n là lẻ thì tất cả các trục đối xứng đều đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh ấy. Mệnh đề 1.1.10. Tồn tại đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp đa giác đều. Hơn nữa hai đường tròn này đồng tâm. \ và BCD \. Chứng minh. Gọi O là giao điểm của 2 đường phân giác trong ABC c2 = C c3 . Kéo theo 4OBC cân tại O và OB = OC . \ = BCD \ nên B Vì ABC Ta có 4OCB = 4OCD c5 = C c4 . (c − g − c) nên OB = OD. Suy ra D 7 Hình 1.5: c5 = D c6 . Do đó OD là \ = CDE \ nên D Theo Định nghĩa 1.1.8, BCD \ . Tiếp tục như vậy ta có O là tâm đường tròn ngoại phân giác cuả góc CDE tiếp đa giác đều. Từ đây ta cũng có O cách đều các cạnh của đa giác với cùng khoảng cách OH, H là trung điểm BC . Chú ý 1.1.11. Như vậy trong đa giác đều n cạnh thì tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau và là giao điểm của 2 đường phân giác (2 đường trung trực) của 2 góc (2 cạnh) bất kì. Định nghĩa 1.1.12. Tâm (center of regular polygon) của đa giác đều là tâm đường tròn ngoại tiếp (nội tiếp) đa giác. Mệnh đề 1.1.13. Góc ở tâm của đa giác đều là góc giữa 2 tia xuất phát từ tâm tới đỉnh liên tiếp của đường tròn ngoại tiếp đa giác đó. 360o . n Định nghĩa 1.1.15. Trung đoạn của đa giác đều là đoạn nối tâm đa giác Mệnh đề 1.1.14. Số đo góc ở tâm của đa giác đều là và trung điểm của một cạnh của đa giác đó. Chú ý 1.1.16. Gọi cạnh đa giác đều là s, trung đoạn là a, bán kính đường s a tròn ngoại tiếp R, ta có R = . π = 2 sin( n ) cos( πn ) Định lý 1.1.17. Diện tích A của đa giác đều n cạnh, cạnh s, trung đoạn a 8 Hình 1.6: Đa giác đều n cạnh bán kính đường tròn ngoại tiếp R, chu vi P được cho bởi công thức 1 1 1 π π 1 2π A = nsa = P a = ns2 cot( ) = na2 tan( ) = nR2 sin( ). 2 2 4 n n 2 n 1 Chứng minh. Diện tích tam giác OAB là as. Chia đa giác thành n tam 2 1 giác như Hình 1.6, ta có A = P a. Xét tam giác vuông OHB ta có 2 HB s π π \= \ = , tan HOB = , nên s = 2a . Do đó HOB n OH 2a n 1 π A = nsa = na2 tan( ). 2 n Tương tự π π 1 a = s cot( ) = R cos( ), 2 n n s = 2R sin π n nên 1 1 π A = nsa = ns2 cot( ) 2 4 n π π 1 = n.4R2 . sin2 ( ) cot( ) 4 n n π π = nR2 sin( ). cos( ) n n 1 2 2π = nR sin . 2 n Ở phổ thông cũng như trong toán học và thực tế có nhiều bài toán liên quan đến đa giác đều, luận văn trình bày một số bài toán tổ hợp. Bài toán 1.1.18. Cho đa giác đều H có 2n đỉnh (n ≥ 2). 9 (i) Tìm số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh trong 2n đỉnh của đa giác? (ii) Tìm xác suất để 4 đỉnh chọn ra là 4 đỉnh của một hình chữ nhật? (iii) Tìm số tam giác vuông, tam giác tù mà các đỉnh của tam giác đó là đỉnh của H ? (iv) Biết số hình thang cân có các đỉnh là đỉnh đa giác là 14100. Tìm n? (v) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất 1 ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là . Tìm n? 5 Giải. (i) Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm. Cứ 2 đường chéo qua tâm tương ứng với một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh đa giác. Vậy số hình chữ nhật là Cn2 . 4 . Vậy xác suất để 4 đỉnh (ii) Số cách chọn tứ giác từ các đỉnh là C2n 4 C chọn ra là 4 đỉnh của một hình chữ nhật là 2n 2 . C2n (iii) Có n cách chọn cạnh huyền là đường chéo qua tâm. Mỗi cách chọn cạnh huyền có 2n − 2 cách chọn đỉnh góc vuông. Suy ra có n(2n − 2) tam giác vuông. Giả sử 4ABC tù tại đỉnh A. Ta nói BC có độ dài là k nếu trên cung nhỏ BC chứa k đỉnh của H khác B, C , k = 1, ..., n − 2 (Ở đây coi H nội tiếp đường tròn tâm O). Với mỗi k ta có 2n cạnh độ dài k . Với mỗi cách chọn cạnh BC có độ dài k thì có đúng k cách chọn điểm A. Từ đó ta có (1 + ... + (n − 2)).2n = n(n − 1)(n − 2) tam giác tù. (iv) Gọi M là số hình chữ nhật có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều. Theo (i) M = Cn2 . Gọi N là số hình thang cân có các đỉnh là đỉnh đa giác đều, ta tính N : Số hình thang cân có trục đối xứng đi qua đỉnh của đa giác đều: Với hình thang cân nội tiếp đường tròn trục đối xứng là đường kính đường tròn. Số đường chéo là đường kính đường tròn ngoại tếp đa giác đều 2 là n. Ứng với mỗi trục đối xứng có Cn−1 cách chọn hình thang cân. Vậy có 2 P = nCn−1 hình thang cân có trục đối xứng đi qua các đỉnh của đa giác đều. 10 Hình 1.7: Số hình thang cân có trục đối xứng không đi qua đỉnh của đa giác đều tương tự như trên, trục đối xứng không đi qua đỉnh (đi qua trung điểm 2 cạnh đối diện). Vậy số cách chọn là Q = n.Cn2 . Suy ra Hình 1.8: 2 N = P + Q − M = n.Cn2 + n.Cn−1 − Cn2 2 = (n − 1)Cn2 + n.Cn−1 = 11 n.(n − 1).(2n − 3) 2 (phải trừ đi M vì mỗi hình chữ nhật có 2 trục đối xứng nên sẽ bị đếm 2 n(n − 1)(2n − 3) lần). Theo giả thiết = 14100, ta được n = 25. Lưu ý hình 2 thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân nên số hình thang có các đỉnh là các đỉnh của đa giác đều bằng số hình thang cân có các đỉnh là đỉnh đa n(n − 1)(2n − 3) . giác đều và bằng 2 3 (v) Số tam giác tạo thành khi chọn ngẫu nhiên 3 điểm là: C2n . Ta đưa ra một lập luận khác tính số tam giác vuông. Số đường chéo đi qua tâm là n nên số hình chữ nhật 2 đường chéo đi qua tâm làm 2 đường chéo là Cn2 . Số tam giác vuông được tạo thành là: 4Cn2 = n(2n − 2) (Chú ý cạnh huyền tam 4Cn2 1 giác vuông là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác). Ta có 3 = C2n 5 suy ra n = 8. Bài toán 1.1.19. Cho một đa giác đều H gồm 16 đỉnh. Ta đánh số thứ tự các đỉnh của H một cách ngẫu nhiên. Chứng minh rằng trong mọi cách đánh số thứ tự các đỉnh ta luôn tìm được ba đỉnh liên tiếp mà tổng số các thứ tự của chúng ít nhất bằng 26. Giải. Với mỗi đỉnh được đánh thứ tự của H ta đặt vào đó số viên bi đúng bằng số thứ tự được đánh. Gọi S là tập hợp các viên bi trên 16 đỉnh của H . Đặt A1 , ..., A16 lần lượt là tập hợp các viên bi ở các bộ ba đỉnh liên tiếp. Khi đó mỗi viên bi trong tập S nằm trong đúng 3 tập hợp Ai . Suy ra, t = 3, k = 16 và |S| = 136. Áp dụng nguyên lý Dirichlet suy rộng ta có trung bình cộng của 3.136 = 25.5. Suy ra tồn tại ít nhất một |A1 |, ..., |A16 | lớn hơn hoặc bằng 16 tập Ai chứa 26 phần tử. 1.2. Dựng đa giác đều bằng thước kẻ và compas Cho E là một tập điểm trong mặt phẳng có ít nhất 2 điểm. Kí hiệu LE là các tập đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua hai điểm phân biệt của E. Kí hiệu CE là tập các đường tròn trong mặt phẳng có tâm là một điểm của tập E và có bán kính bằng với khoảng cách giữa hai điểm phân biệt nào đó của E. 12 Với A, B ∈ E với A 6= B , ta kí hiệu L(A; B) là đường thẳng qua A, B , C(O; AB) là đường tròn tâm O bán kính AB với O ∈ E. Chẳng hạn, nếu E = {A, B, D} là tập 3 điểm trong mặt phẳng thì LE = {L(A; B), L(A; D), L(B; D)}, CE = {C(A; AB), C(A; AD), C(A; BD), C(B; BA), C(B; BD), C(B; AD), C(D; AB), C(D; DB), C(D; DA)}. Định nghĩa 1.2.1. (i) Điểm A trong mặt phẳng được gọi là dựng được bằng thước kẻ và compas qua một bước từ tập E nếu A thỏa mãn một trong các điều kiện sau: 1. A là giao của hai đường thẳng trong LE ; 2. A là giao của một đường thẳng của LE và một đường tròn của CE ; 3. A là giao của hai đường tròn trong CE . (ii) Một điểm P trong mặt phẳng được gọi là dựng được từ E nếu tồn tại một dãy hữu hạn n điểm P1 , P2 , . . . , Pn trong mặt phẳng sao cho S Pn = P và Pi là điểm dựng được qua một bước từ tập E {Pj , j < i} với i = 1, 2, ...n. Chú ý 1.2.2. Ở phổ thông ta đã làm quen với một số bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compas. (i) Cho A; B là 2 điểm phân biệt cho trước. Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB . (ii) Dựng hình chiếu của một điểm M cho trước trên một đường thẳng d cho trước. (iii) Cho O và A là 2 điểm khác nhau trong mặt phẳng với độ dài OA = 1. Dựng một hệ tọa độ trực chuẩn từ 2 điểm đó. (iv) Dựng một đường thằng đi qua một điểm cho trước song song với một đường thẳng cho trước. (v) Cho M là một điểm thuộc đường thẳng d. Dựng một đường thẳng vuông góc với d tại M . (vi) Dựng đường phân giác của một góc cho trước. (vii) Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác cho trước. (viii) Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cho trước. (ix) Tìm tâm của một đường tròn cho trước. 13 (x) Cho trước một đường thẳng d và một điểm M không thuộc d. Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với d. (xi) Cho trước một đoạn thẳng có độ dài 1. Dựng các đoạn thẳng có độ dài là 2, 3, 4, 5, ... . (xii) Cho trước một đoạn thẳng có độ dài 1. Dựng các đoạn thẳng có 1 1 1 độ dài là , , , ... . 2 4 8 (xiii) Cho trước một đoạn thẳng có độ dài là 1 và cho 2 đoạn thẳng khác có độ dài là x và y bất kì. Dựng đoạn thẳng có độ dài xy . (xiv) Cho trước một đoạn thẳng có độ dài là 1 và cho 1 đoạn thẳng khác có độ dài là z > 1. Dựng đoạn thẳng có độ dài 1/z . (xv) Cho trước một đoạn thẳng có độ dài là 1. Dựng đoạn thẳng có độ dài m/n với m, n là các số nguyên dương tùy ý. (xvi) Cho trước một đoạn thẳng có độ dài là 1. Dựng đoạn thẳng có √ độ dài 2. (xvii) Cho trước một đoạn thẳng có độ dài là 1 và cho 1 đoạn thẳng √ khác có độ dài là x. Dựng đoạn thẳng có độ dài x. Chú√ý 1.2.3. √ Từ các bài toán trên, ta có thể dựng được các đoạn có độ dài √ 2+ 3 √ √ 2, , m, ... từ đoạn thẳng có độ dài 1. 5 Giả sử E là tập hợp có ít nhất 2 điểm trong mặt phẳng. Gọi E + là tập hợp các điểm nhận được bởi các phép dựng hình (1), (2), (3) trong Định nghĩa 1.2.1. Ta có E ⊆ E + . Ta xây dựng một chuỗi các tập điểm bằng quy + tắc sau: E0 := E và En := En−1 với mọi n > 1. Các điểm En chính là các S điểm nhận được từ E sau n phép dựng (1), (2), (3), .... Tập F (E) = En n≥1 được gọi là tập điểm dựng được bằng thước kẻ và compas từ E . Chú ý ta luôn có F + (E) = F (E) khi ta không thể dựng thêm được điểm mới nào từ F (E). Thật vậy, mỗi điểm của F + (E) được tạo ra từ hữu hạn điểm của F (E) qua các phép dựng (1), (2), (3), .... Các điểm này phải nằm trong một tập En nào đó và do đó điểm tạo được phải nằm trong F (E). Tiếp theo ta sẽ tìm các tiêu chuẩn để một điểm cho trước dựng được bằng thước kẻ và compas, tức là tìm điều kiện để điểm đó nằm trong F (E). Ta sẽ thấy đây là một vấn đề đại số. 14 Hình 1.9: Trước tiên ta chọn một hệ tọa độ trong mặt phẳng do E chứa ít nhất 2 điểm nên ta có thể chọn các điểm O(0; 0) và I(1; 0) là các điểm thuộc E . Đồng nhất mỗi điểm P (a; b) với số phức a + bi. Khi đó E là tập chứa các số 0; 1 và ta gọi các số F (E) là các số dựng được từ E . Định nghĩa 1.2.4. (i) Một số thực a được gọi là số thực dựng được nếu |a| là khoảng cách giữa hai điểm dựng được. (ii) Một đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước được gọi là đường thẳng dựng được. Một đường tròn gọi là đường tròn dựng được nếu tâm của nó là điểm dựng được và bán kính là một số thực dựng được. (iii) Một hình được gọi là hình dựng được nếu ta dựng được các điểm xác định hình đó. Ví dụ một góc được gọi là dựng được nếu xác định 3 điểm mà tam giác của chúng có 1 góc bằng góc đã cho. Mệnh đề 1.2.5. Một điểm P (a; b) là dựng được nếu và chỉ nếu a và b là các số thực dựng được. Ta công nhận một số kiến thức sau của lý thuyết trường (xem [3]). Mệnh đề 1.2.6. Tập hợp các số thực dựng được làm thành trường con của trường R. Mệnh đề 1.2.7. Nếu số thực a dựng được thì √ a cũng dựng được. Hệ quả 1.2.8. Cho F ⊆ C là trường con của trường C các số thực dựng √ được. Nếu 0 < k ∈ F thì F ( k) ⊆ C. Định lý 1.2.9. Cho Q ⊂ F1 ⊂ F2 · · · ⊂ Fn là một dãy các trường thỏa mãn q Fj+1 = Fj ( bj ) với 0 < bj ∈ Fj ; j = 0, 1, . . . , n − 1. 15 Khi đó mọi phần tử của Fn đều dựng được. Định lý 1.2.10. Một số thực a dựng được nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy căn bậc hai Q ⊂ F1 ⊂ F2 · · · ⊂ FN sao cho a ∈ FN . Định lý 1.2.11. Cho a là số thực dựng được. Khi đó [Q(a) : Q] = 2m với m ∈ N. Chứng minh. Đặt  = n . Nếu ta chọn điểm 0 là tâm đường tròn và điểm 1 là một đỉnh của đa giác đều thì các đỉnh khác của đa giác đều chính là các căn đơn vị , ..., n−1 . Vì vậy bài toán có thể quy về việc tìm các số tự nhiên n sao cho  dựng được từ tập E = {0; 1}. Kí hiệu Φn (X) là đa thức tối thiểu của  trên trường Q. Người ta gọi Φn là một đa thức phân cầu. Do Φn (X) là ước của đa thức X n − 1 mà Q() lại chứa tất cả các nghiệm của X n − 1 nên Q() là trường phân rã của Φn (X) trên Q. Do đó [Q() : Q] = deg Φn (X). Vì vậy, ta chỉ cần xét xem khi nào thì deg Φn (X) là một lũy thừa của 2. Ta gọi một căn đơn vị ζ là căn nguyên thủy bậc n nếu 1, ζ, ..., ζ n−1 là tập tất cả các căn đơn vị bậc n. Dễ thấy rằng ζ là một căn nguyên thủy bậc n khi và chỉ khi ζ = ζ n với (n, r) = 1. Ta sẽ thấy tập nghiệm của Φ(X) chính là tập các căn nguyên thủy bậc n. Q Bổ đề 1.2.12. Φn (X) := (i,n)=1 (X − i ) Chứng minh. Đặt g = Φn . Cho ζ là một nghiệm tùy ý của g. Do g là ước của đa thức X n −1 nên ζ là một căn đơn vị bậc n. Khi đó tồn tại một đẳng cấu Ψ của Q()/Q sao cho Ψ() = ζ. Do đó Ψ(j ) = ζ j với mọi j = 0, 1, ...., n − 1. Vì vậy 1, ζ, ..., ζ n−1 là những căn đơn vị khác nhau. Do ta chỉ có n căn đơn vị bậc n nên ta có thể kết luận đây chính là tập tất cả các căn đơn vị bậc n và do đó ζ là căn nguyên thủy. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh p là nghiệm của g cho mọi số nguyên tố p với (p, n) = 1. Do g là ước của đa thức X n − 1 nên ta có X n − 1 = gh với h ∈ Q(x). Do g, h có hệ số bậc cao nhất là 1 nên g, h có hệ số nguyên. Thật vậy, cho a, b là các số nguyên dương sao cho ag = g1 , bh = h1 là đa thức với hệ số nguyên và các hệ số của g1 hay h1 không có ước chung. Ta 16 có ab(X n − 1) = g1 h1 . Nếu ab có một ước bất khả quy q thì mọi hệ số của g1 h1 chia hết cho q . Điều này mâu thuẫn với giả thiết về g1 và h1 . Vì vậy ab không có ước thực sự nào, có nghĩa là a, b = 1 và do đó g = g1 , h = h1 . Vì vậy g, h là những đa thức có hệ số nguyên. Giả sử p không là nghiệm của g. Khi đó  là nghiệm của h. Gọi f là đa thức tối thiểu của  trong Q(X). Do f là ước của h nên h = f k với k ∈ Q(x). Do h có hệ số nguyên và các hệ số bậc cao nhất của h, f, k đều bằng 1 nên f, k cũng là những đa thức có hệ số nguyên. Do  là nghiệm của f (X p ) nên f (X p ) chia hết cho g. Nếu f và g không có ước chung bậc dương thì dùng thuật toán Euclid ta tìm thấy các đa thức h1 , h2 sao cho f h1 + gh2 = 1. Ta thấy (f h1 + gh2 )p = f p hp1 + g p hp2 = 1. Do f p = f (X p ) chia hết cho g nên 1 chia hết cho g. Đây là một điều vô lý vì deg g > 0. Vì vậy tồn tại một đa thức u bậc dương là ước chung của f và g. Khi đó, X n − 1 = f gh chia hết cho u2 . Lấy đạo hàm ta thấy nX n−1 chia hết cho u. Vì (p, n) = 1 nên tồn tại m sao cho mn = 1(modp). Từ đây suy ra X n − 1 chia hết cho mu và do đó u chia hết cho X, dẫn đến một điều vô lý là X n − 1 chia hết cho X. Vậy  là nghiệm của g. Bây giờ, ta xét một căn nguyên thủy n tùy ý với (i, n) = 1. Giả sử i = p1 ...ps với p1 , ..., ps là các số nguyên tố. Đặt % = p1 ...ps−1 . Do (p1 ...ps−1 , n) = 1 nên % là căn nguyên thủy bậc n. Quy nạp theo s ta có thể giả thiết % là nghiệm của g. Khi đó g cũng là đa thức tối thiểu của %. Do (ps , i) = 1 nên lập luận tương tự như trên ta sẽ thấy n = %ps cũng là nghiệm của g. Nhận xét: deg Φn = |{0 < i < n | (i, n) = 1}| = ϕ(n) trong đó ϕ(n) là hàm Euler. Giả sử n = pa11 · · · pas s với p1 , ..., ps là các số nguyên tố khác nhau và a1 , ..., as > 0. Khi đó ϕ(n) = (p1 − 1) · · · (ps − 1)pa11 −1 · · · pas s −1 . Bây giờ ta sẽ xét xem khi nào thì ϕ(n) là một lũy thừa của 2. Nhận 17