Tài liệu Một số bài toán nhận dạng tam giác

  • Số trang: 58 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 99 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

LÍI CƒM ÌN Líi u ti¶n em xin gûi líi £m ìn h¥n th nh ¸n thy gi¡o - Nguy¹n Thanh Tòng, ThS. ng÷íi ¢ trü ti¸p h÷îng d¨n, h¿ b£o tªn t¼nh º em ho n th nh kho¡ luªn n y. Trong qu¡ tr¼nh ho n th nh kho¡ luªn n y em luæn nhªn ÷ñ sü quan t¥m, õng hë, ëng vi¶n, gâp þ õa ¡ thy æ gi¡o trong khoa To¡n - Lþ - Tin, ° bi»t l  ¡ thy æ trong tê ¤i sè - H¼nh hå v  ¡ b¤n sinh vi¶n lîp K50 ¤i hå s÷ ph¤m To¡n. çng thíi, º ho n th nh kho¡ luªn n y em ng ¢ nhªn ÷ñ sü t¤o i·u ki»n thuªn lñi v· ì sð vªt h§t, t i li»u tham kh£o õa th÷ vi»n v  ¡ ban ngh nh trü thuë tr÷íng ¤i hå T¥y B­ . Nh¥n dàp n y ho ph²p em ÷ñ b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­ ¸n ¡ thy æ gi¡o, ¡ b¤n sinh vi¶n v  ¡ ìn và ban ngh nh nâi tr¶n, ° bi»t l  thy gi¡o - ThS. Nguy¹n Thanh Tòng ¢ nhi»t t¼nh gióp ï, ëng vi¶n em trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n ùu v  ho n th nh khâa luªn. Em r§t mong nhªn ÷ñ nhúng þ ki¸n âng gâp õa ¡ thy æ gi¡o, ¡ b¤n sinh vi¶n º kho¡ luªn n y ÷ñ ho n thi»n hìn. Em xin h¥n th nh £m ìn! Sìn La, th¡ng 05 n«m 2013 Sinh vi¶n Ph¤m Thà Toan 3 NHÚNG KÞ HI›U Khâa luªn n y dòng nhúng k½ hi»u vîi ¡ þ ngh¾a x¡ ành trong b£ng d÷îi ¥y: ∆ABC A, B, C a, b, c ha , hb , hc ma , mb , mc la , lb , lc R r ra , rb , rc a+b+c p= 2 S Tam gi¡ ABC A, B, C ¤nh èi di»n ¡ gâ A, B, C ÷íng ao xu§t ph¡t tø A, B, C Sè o ¡ gâ t÷ìng ùng t¤i ¿nh ë d i ¡ ë d i ¡ A, B, C ph¡t tø A, B, C ë d i ¡ ÷íng trung tuy¸n xu§t ph¡t tø ë d i ¡ ÷íng ph¥n gi¡ trong xu§t ë d i b¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡ ë d i b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡ ë d i ¡ b¡n k½nh ÷íng trán b ng ti¸p ¡ gâ Nûa hu vi tam gi¡ Di»n t½ h tam gi¡ 4 A, B, C Mö lö Nhúng k½ hi»u Mö lö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.1 Lþ do hån khâa luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.2 Mö ½ h nghi¶n ùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3 Nhi»m vö nghi¶n ùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n ùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.5 Ph¤m vi nghi¶n ùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.6 C§u tró õa kho¡ luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 Ki¸n thù ì sð 8 1.1 C¡ ¯ng thù l÷ñng gi¡ ì b£n trong tam gi¡ . . . . . . 8 1.2 Mët sè b§t ¯ng thù ¤i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 T½nh sè o ¡ gâ trong tam gi¡ 14 3 Nhªn d¤ng tam gi¡ 22 3.1 Nhªn d¤ng tam gi¡ ¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Nhªn d¤ng tam gi¡ vuæng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Nhªn d¤ng tam gi¡ ·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Nhªn d¤ng tam gi¡ 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T i li»u tham kh£o 60 5 M †U 0.1 Lþ do hån khâa luªn Trong nh  tr÷íng phê thæng, mæn To¡n â vai trá, và tr½ v  þ ngh¾a h¸t sù quan trång. C¡ ki¸n thù v  ph÷ìng ph¡p to¡n hå l  æng ö thi¸t y¸u gióp hå sinh hå tªp tèt ¡ mæn hå kh¡ , ho¤t ëng â hi»u qu£ trong måi l¾nh vü . çng thíi mæn to¡n án gióp hå sinh ph¡t triºn nhúng n«ng lü v  ph©m h§t tr½ tu» hung nh÷ ph¥n t½ h, têng hñp, trøu t÷ñng hâa, kh¡i qu¡t hâa, ... r±n luy»n nhúng ù t½nh ©n thªn, h½nh x¡ , t½nh k luªt, s¡ng t¤o. Trong méi h÷ìng tr¼nh to¡n ð phê thæng â r§t nhi·u d¤ng to¡n kh¡ nhau, trong â nhªn d¤ng tam gi¡ l  mët d¤ng to¡n hay v  khâ, th÷íng g°p trong ¡ · thi tuyºn sinh v o ¤i hå v  Cao ¯ng ho° ¡ ký thi â t½nh h§t tuyºn hån hå sinh. ¥y ng l  mët lîp b i to¡n quan trång trong phn H» thù l÷ñng trong tam gi¡  nâi ri¶ng, v  trong h÷ìng tr¼nh mæn hå l÷ñng gi¡ ð nh  tr÷íng phê thæng nâi hung. Nëi dung ì b£n õa nâ â thº tâm t­t nh÷ sau: Cho mët tam gi¡ thäa m¢n mët hay hai ¯ng thù ho° b§t ¯ng thù giúa ¡ ¤nh v  h m sè l÷ñng gi¡ õa ¡ gâ , ta ph£i t¼m t½nh h§t õa tam gi¡ â, h¯ng h¤n nh÷: t¼m sè o õa gâ , hùng tä gi¡ trà h m l÷ñng gi¡ õa gâ , ho° hùng minh l  tam gi¡ ¥n, vuæng, ·u, . . . C¡ b i to¡n nhªn d¤ng tam gi¡ ÷ñ xem nh÷ mët b÷î trung gian õa r§t nhi·u b i to¡n. Trong â vi» o¡n nhªn xem mët tam gi¡ l  ¥n, vuæng, ·u hay d¤ng ° bi»t n o â s³ gióp ½ h r§t nhi·u ho vi» t½nh di»n t½ h, hu vi hay ¡ y¸u tè kh¡ trong tam gi¡ , . . . V¼ nhúng l½ do â, tæi ¢ hån kho¡ luªn Mët sè b i to¡n nhªn d¤ng tam gi¡  . 0.2 Mö ½ h nghi¶n ùu Khâa luªn ung §p ho hå sinh th¶m æng ö v· nhªn d¤ng tam gi¡ xu§t ph¡t tø ¡ b i to¡n â hùa s®n ¡ y¸u tè h¼nh hå , tø â gióp hå sinh d¹ d ng nhªn bi¸t ÷ñ ° iºm, h¼nh d¤ng õa ¡ tam gi¡ . 6 0.3 Nhi»m vö nghi¶n ùu Khoa luªn nghi¶n ùu v· ¡ d¤ng õa b i to¡n nhªn d¤ng tam gi¡ . 0.4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n ùu - Thu thªp, nghi¶n ùu t i li»u tø s¡ h, b¡o, internet, ... - Ph¥n t½ h têng hñp ¡ ki¸n thù - Kinh nghi»m b£n th¥n, trao êi th£o luªn vîi gi¡o vi¶n h÷îng d¨n v  b¤n b± 0.5 Ph¤m vi nghi¶n ùu - C¡ b i to¡n trung hå phê thæng - C¡ b i to¡n thi hå sinh giäi 0.6 C§u tró õa kho¡ luªn Ngo i phn mð u, líi £m ìn, nhúng k½ hi»u, mö lö , k¸t luªn, t i li»u tham kh£o, nëi dung kho¡ luªn gçm â 3 h÷ìng: • Ch÷ìng 1: Ki¸n thù ì sð • Ch÷ìng 2: T½nh ¡ gâ trong tam gi¡ • Ch÷ìng 3: Nhªn d¤ng tam gi¡ 7 Ch÷ìng 1 Ki¸n thù ì sð 1.1 C¡ ¯ng thù l÷ñng gi¡ ì b£n trong tam gi¡ 1. ành lþ h m sè sin Tø ¥y ta suy b c a = = = 2R sin A sin B sin C a b ra: sin A = ; sin B = ; 2R 2R sin C = c 2R 2. ành lþ h m sè osin A 2 B b2 = c2 + a2 − 2ca cos B = (c − a)2 + 4ca sin2 2 C 2 c2 = a2 + b2 − 2ab cos C = (a − b)2 + 4ab sin 2 a2 = b2 + c2 − 2bc cos A = (b − c)2 + 4bc sin2 3. ành lþ h m sè tang a − b tan A−B 2 = ; a + b tan A+B 2 b − c tan B−C 2 = ; b + c tan B+C 2 c − a tan C−A 2 = c + a tan C+A 2 4. ành lþ h m sè otang 2 a = b2 + c2 − 4S cot A; b2 = c2 + a2 − 4S cot B; c2 = a2 + b2 − 4S cot C Tø ¥y ta suy ra b2 + c2 − a2 cot A = ; 4S c2 + a2 − b2 cot B = ; 4S a2 + b2 − c2 cot C = 4S 5. ành lþ ¡ h¼nh hi¸u   B C a = b cos C + c cos B = r cot + cot 2 2  C A b = c cos A + a cos C = r cot + cot 2 2 8   A B c = a cos B + b cos A = r cot + cot 2 2 6. Cæng thù ÷íng trung tuy¸n õa tam gi¡ m2a = b2 + c2 a2 − ; 2 4 m2b = c2 + a2 b2 − ; 2 4 m2c = a2 + b2 c2 − 2 4 7. Cæng thù ÷íng ao trong tam gi¡ 2S ; a 2S ; hb = c sin A = a sin C = b 2S hc = a sin B = b sin A = c ha = b sin C = c sin B = 8. Cæng thù ÷íng ph¥n gi¡ trong tam gi¡ √ 2bc A 2 bc p la = p(p − a) cos = b+c 2 b√ +c 2ca B 2 ca p lb = p(p − b) cos = c+a 2 c√ +a C 2 ab p 2ab cos = lc = p(p − c) a+b 2 a+b 9. Cæng thù  t½nh di»n t½ h tam gi¡ 1 1 1   a.ha = b.hb = c.hc    2 2 2   1 1 1   bc sin A = ca sin B = ab sin C    2 2 2     abc S = 4R2  2R sin A sin B sin C      pr       (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc   p   p(p − a)(p − b)(p − c) (Cæng thù H¶ræng) 10. Cæng thù b¡n k½nh a) B¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡ R=  b c a    = =   2 sin A 2 sin B 2 sin C   abc    4S b) B¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡ 9  S  = (p − a). tan A2 = (p − b). tan B2 = (p − c). tan C2  p    a sin B sin C b sin C2 sin A2 c sin A2 sin B2 2 2 r= = = A B  cos cos cos C2  2 2   4R sin A . sin B . sin C 2 2 2 ) B¡n k½nh ÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡ a cos B2 cos C2 S A ra = = p. tan = A p−a 2 cos 2 b cos C2 cos A2 S B = rb = = p. tan p−b 2 cos B2 c cos A2 cos B2 S C = = p. tan rc = C p−c 2 cos 2 11. Mët sè ¯ng thù l÷ñng gi¡ trong tam gi¡ th÷íng g°p Trong tam gi¡ ABC ta luæn â sin(A + B) = sin C; C A+B = cos ; sin 2 2 tan(A + B) = − tan C; C A+B = cot ; tan 2 2 Khi â a) cos(A + B) = − cos C A+B C cos = sin 2 2 cot(A + B) = − cot C A+B C cot = tan 2 2 sin A + sin B + sin C = 4 cos A B C . cos . cos 2 2 2 Thªt vªy A+B A−B C C . cos + 2 sin . cos 2 2 2 2 A+B C A−B + cos = 2 cos cos 2 2 2 B C A = 4 cos . cos . cos 2 2 2 sin A + sin B + sin C = 2 sin b) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A. sin B. sin C Thªt vªy sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2 sin(A + B). cos(A − B) + 2 sin C. cos C = 2 sin C[cos(A − B) − cos(A + B)] = 4 sin A. sin B. sin C 10 ) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin A B C . sin . sin 2 2 2 Thªt vªy A+B A−B C . cos + 1 − 2 sin2 2  2 2 A+B C A−B − cos = 1 + 2 sin cos 2 2 2 B C A = 1 + 4 sin . sin . sin 2 2 2 cos A + cos B + cos C = 2 cos d) cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A. cos B. cos C Thªt vªy cos 2A + cos 2B + cos 2C = 2 cos(A + B). cos(A − B) + 2 cos2 C − 1 = −1 − 2 cos C[cos(A − B) + cos(A + B)] = −1 − 4 cos A. cos B. cos C e) tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C Thªt vªy, ta â tan(A + B) = − tan C tan A + tan B = − tan C. 1 − tan A. tan B hay Do â tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C f) tan Thªt A B B C C A . tan + tan . tan + tan . tan = 1 2 2 2 2 2 2  A B 1 vªy, ta â tan tù l  + = 2 2 tan C2 tan A2 + tan B2 1 = , 1 − tan A2 tan B2 tan C2 A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 2 cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1 hay g) tan tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C , 1 1 1 1 + + = , tù l  cot A cot B cot C cot A. cot B. cot C hay cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1 B C A B C A + cot + cot = cot . cot . cot h) cot 2 2 2 2 2 2 Thªt vªy, theo þ e) ta â 11 Thªt vªy, theo þ f) ta â tan A B B C C A . tan + tan . tan + tan . tan = 1, 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + = 1, cot A2 cot B2 cot B2 cot C2 cot C2 cot A2 A B C A B C hay cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i) sin A + sin B + sin C = 2 + 2 cos A. cos B. cos C tù l  Thªt vªy, theo þ d) ta â 3 1 − (cos 2A + cos 2B + cos 2C) 2 2 = 2 + 2 cos A. cos B. cos C sin2 A + sin2 B + sin2 C = k) cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A. cos B. cos C Thªt vªy 1 cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 + (cos 2A + cos 2B) + cos2 C 2 = 1 − [cos(A − B) + cos(A + B)] cos C = 1 − 2 cos A. cos B. cos C 12. Mët sè h» thù ì b£n trong tam gi¡ vuæng Cho tam gi¡ ABC vuæng t¤i A. Khi â ta â b = a sin B = a cos C = c tan B = c cot C c = a sin C = a cos B = b tan C = b cot B a.h = b.c; b2 = ab′ ; c2 = ac′ 1 1 1 = + h2 b2 c2 2 a = b2 + c2 (ành lþ Pytago) A c c′ B H¼nh 1.1: 1. B§t ¯ng thù Cæsi n a1 , a2, ..., an(n ≥ 2) ta luæn √ a1 + a2 + ... + an ≥ n a1 a2 ...an n sè thü khæng ¥m D§u b¬ng x£y ra khi v  h¿ khi a1 = a2 = ... = an 12 b′ H a 1.2 Mët sè b§t ¯ng thù ¤i sè Vîi b h â C 2. B§t ¯ng thù Bunhia opxki Vîi hai bë n sè thü (a1 , a2 , ..., an) v  â (b1, b2, ..., bn)(n ≥ 2) b§t ký ta (a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + ... + a2n )(b21 + b22 + ... + b2n) D§u b¬ng x£y ra khi v  h¿ khi a2 an a1 = = ... = b1 b2 bn 3. B§t ¯ng thù Tr¶b÷s²p Cho hai d¢y t«ng (an) v  (bn). Khi â a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn . ≤ n n n  a1 = a2 = ... = an D§u b¬ng x£y ra khi v  h¿ khi b1 = b2 = ... = bn Ng÷ñ l¤i, n¸u d¢y (an ) t«ng v  d¢y (bn) gi£m th¼ a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn . ≥ n n n 4. Mët sè b§t ¯ng thù th÷íng g°p trong tam gi¡ ABC â A, B, C l  ¡ BC, CA, AB . Khi â ta â Tam gi¡ ¤nh gâ v  a, b, c ln l÷ñt l  ë d i ¡ a) B§t ¯ng thù v· ë d i: Trong mët tam gi¡ , ë d i mët ¤nh bao gií ng lîn hìn hi»u v  nhä hìn têng ¡ ë d i õa hai ¤nh án l¤i. Tù l  |a − b| < c < a + b; |b − c| < a < b + c; |c − a| < b < c + a b) Quan h» giúa gâ v  ¤nh èi di»n: Trong mët tam gi¡ , gâ èi di»n vîi ¤nh lîn hìn l  gâ lîn hìn v  ng÷ñ l¤i. Tù l  h¿ khi A≥B v  t÷ìng tü ¡ tr÷íng hñp án l¤i. 13 a≥b khi v  Ch÷ìng 2 T½nh sè o ¡ gâ trong tam gi¡ T½nh sè o ¡ gâ trong tam gi¡ l  mët trong ¡ d¤ng b i to¡n v· nhªn d¤ng tam gi¡ . º gi£i ÷ñ ¡ b i to¡n n y ng nh÷ hùng minh ÷ñ tam gi¡ ¢ ho â mët gâ n o â b¬ng mët gi¡ trà ho tr÷î , thæng th÷íng ta ph£i sû döng ¡ ki¸n thù ¢ hå º bi¸n êi ¡ ¯ng thù ho° b§t ¯ng thù giúa ¡ ¤nh v  h m sè l÷ñng gi¡ õa ¡ gâ trong b i to¡n v· d¤ng ìn gi£n nh§t, rçi tø â t¼m ra sè o ¡ gâ õa tam gi¡ . B i sè 2.1. T½nh sè o ¡ gâ trong ∆ABC bi¸t r¬ng √ 5 a) cos 2A + 3(cos 2B + cos 2C) + = 0 2√ √ √ 2 2 √ 1 + 2 cos A 1 + 2 cos B 1 + 2 cos2 C b) + + =3 2 sin B sin C sin A Líi gi£i a) ¯ng thù (2.1) t÷ìng ÷ìng vîi tù l  √ 5 2 cos2 A − 1 + 2 3 [cos(B + C). cos(B − C)] + = 0 2 i2 h √ 2 cos A − 3 cos(B − C) + 3 sin2 (B − C) = 0, v  do â  sin(B − C) = 0 √ cos A = 3 cos(B − C) = 0 2 Vªy tam gi¡ ABC â suy ra A = 300; B = C = 750 14 ( A = 300 B = C = 750 (2.1) (2.2) (1; 1; 1)  √ 1 1 √ ; √ ; 2 cos A ta â 2 2   2  √ 1 1 1 1 2 √ + √ + 2 cos A ≤ 3 + + 2 cos A , 2 2 2 2 b) p döng b§t ¯ng thù Bunhia opxki ho hai bë sè  v  2(1 + cos A)2 ≤ 3(1 + 2 cos2 A). hay Suy ra √ √ 2 A 2 1 + 2 cos2 A ≥ √ cos2 , 2 3 (2.3) t÷ìng tü √ √ B 2 2 1 + 2 cos2 B ≥ √ cos2 , 2 √3 √ C 2 2 1 + 2 cos2 C ≥ √ cos2 . 2 3 (2.4) (2.5) Nh¥n v¸ vîi v¸ õa (2.3), (2.4), (2.5) v  °t th¼ ta â q T = (1 + 2 cos2 A)(1 + 2 cos2 B)(1 + 2 cos2 C), T ≥ 0 T ≥ √ !3 B C A 2 2 √ cos2 cos2 cos2 . 2 2 2 3 (2.6) M°t kh¡ , ¡p döng b§t ¯ng thù Cæsi ta â √ √ 1 + 2 cos2 A 1 + 2 cos2 B + sin B sin C r √ 1 + 2 cos2 C T 3 ≥3 . + sin A sin A sin B sin C (2.7) Tø (2.6) v  (2.7), suy ra √ √ 1 + 2 cos2 A 1 + 2 cos2 B + sin B sin C r √ 2 √ A 1 + 2 cos C B C 3 ≥ 6 cot cot cot , + sin A 2 2 2 15 (2.8) A B C A B C v  cot cot = cot + cot + cot 2 2 2 2 2 r2 A B C B C A cot + cot + cot ≥ 3 3 cot cot cot > 0 (theo 2 2 2 2 2 2 m  cot b§t ¯ng thù Cæsi), n¶n cot √ A B C cot cot ≥ 3 3. 2 2 2 (2.9) Tø (2.8) v  (2.14) ta ÷ñ √ √ 1 + 2 cos2 A + sin B 1 + 2 cos2 B + sin C √ √ 1 + 2 cos2 C ≥3 2 sin A D§u b¬ng x£y ra khi v  h¿ khi   2 cos A − 1 = 0     2 cos B − 1 = 0 2 cos C − 1 = 0      cot A = cot B = cot C 2 2 2 Vªy tam gi¡ ABC â suy ra A = B = C = 600 A = B = C = 600 B i sè 2.2. Cho tam gi¡ ABC khæng tò thäa m¢n i·u ki»n √ √ cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3 T½nh ba gâ õa tam gi¡ (2.10) ABC. Líi gi£i ¯ng thù (2.10) ÷ñ vi¸t l¤i th nh √ B−C A − 2 = 0, cos2 A + 2 2 sin . cos 2 2   √ B−C A 2 A − 2 = 0, + 2 2 sin . cos hay cos A(cos A − 1) + 1 − 2 sin 2 2 2   √ A B−C B−C 2 tù l  cos A(cos A − 1) − 2 sin − cos − sin2 = 0. 2 2 2 M°t kh¡ , do ∆ABC khæng tò n¶n cos A ≥ 0 v  cos A − 1 < 0. Khi â   √ A B−C B−C 2 cos A(cos A − 1) − 2 sin − cos − sin2 ≤ 0, d§u b¬ng 2 2 2 16 x£y ra khi v  h¿ khi   cos A = 0   √ A B−C 2 sin = cos 2 2    sin B − C = 0 2 Vªy tam gi¡ ABC â suy ra ( A = 900 B = C = 450 A = 900; B = C = 450 B i sè 2.3. T½nh sè o ¡ gâ õa tam gi¡ ABC bi¸t sè o ba gâ t¤o th nh §p sè ëng v  thäa m¢n ¯ng thù √ 3+ 3 sin A + sin B + sin C = 2 Líi gi£i A < B < C. Theo b i ra ta â A, B, C t¤o ra mët §p sè ëng n¶n A + C = 2B. M  trong π tam gi¡ ABC ta luæn â A + B + C = π n¶n B = . Khi â ¯ng thù 3 ¢ ho trð th nh √ 3+ 3 π sin A + sin + sin C = 3 2 √ 3 C −A 3 π t÷ìng ÷ìng sin A + sin C = , hay cos = = cos . 2 2 2 6   C −A π    A = π6   =   2 6 2π Do C > A n¶n tam gi¡ ABC â suy ra B = π3 C + A =   3   C = π  B = π 2 3 π π π Vªy tam gi¡ ABC â A = ;B = ;C = 6 3 2 Khæng l m m§t t½nh têng qu¡t õa b i to¡n, gi£ sû B i sè 2.4. Cho tam gi¡ ABC â ¡ gâ thäa m¢n ¯ng thù 2 2 sin A + sin B = Bi¸t r¬ng gâ A v  B p sin2 C 2n+1 nhån. H¢y t½nh gi¡ trà gâ C. Líi gi£i º t½nh ÷ñ gi¡ trà õa gâ C ta x²t 3 tr÷íng hñp sau: 17 2 + b2 − c2 2ab b a = = sin A sin B Tr÷íng hñp 1: N¸u C > 900 th¼ cos C ∈ (−1; 0) m  cos C = a n¶n suy ra a2 + b2 < c2 . c = 2R, sin C p döng ành lþ h m sè sin ta thu ÷ñ sin2 A + sin2 B < sin2 C sin C ∈ (0; 1) n¶n sin2 C ∈ (0; 1). Do â sin2 C < √ 2n+1 sin2 A + sin2 B < sin2 C. i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ √ Tr÷íng hñp 2: N¸u C < 900 th¼ 2n+1 sin2 C < 1. Ta â V¼ √ 2n+1 sin2 C. Vªy thi¸t. sin2 A + sin2 B = 1 + cos C. cos(A − B). V¼ C < 900 v  A, B nhån n¶n cos C > 0 v  cos(A − B) > 0. Do p 2n+1 sin2 C = sin2 A + sin2 B = 1 + cos C. cos(A − B) > 1 â i·u n y m¥u thu¨n. Tr÷íng hñp 3: Kiºm tra th§y C = 900 thäa m¢n ¯ng thù ¢ ho. Vªy C = 900. B i sè 2.5. Chùng minh ∆ABC khi â ½t nh§t mët gâ b¬ng 600 khi v  h¿ √ sin A + sin B + sin C = 3 cos A + cos B + cos C Líi gi£i ¯ng thù ¢ ho t÷ìng ÷ìng vîi √ sin A + sin B + sin C = 3(cos A + cos B + cos C),    π π π tù l  sin A − + sin B − + sin C − = 0, 3 3   3   C π C π A−B hay 2 sin − + cos − − cos = 0, 2 6 2 2 6 t÷ìng ÷ìng vîi    C π  sin 2 − 6 = 0       C π π A+B A−B = cos − − = cos cos 2 2 6 3 2 Vªy tam gi¡ ABC â ½t nh§t mët gâ b¬ng 18 600. suy ra A= B= C=  π 3 π 3 π 3 B i sè 2.6. Cho ABC tho£ m¢n r + 4R sin2 sin A + sin B + sin C = C 2R sin 2 C 2 (2.11) C = 1200 Chùng minh r¬ng Líi gi£i A B C r = 4R sin sin sin v  2 2 2 A B C sin A + sin B + sin C = 4 cos . cos . cos n¶n (2.11) ÷a ¸n 2 2 2   B C A B C A , 4 cos . cos . cos = 2 sin sin + sin 2 2 2 2 2 2   A B C A B A B A B hay 4 cos . cos . cos = 2 sin sin + cos cos − sin sin . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C 1 Do â ta thu ÷ñ cos = suy ra C = 1200. 2 2 0 Vªy tam gi¡ ABC â C = 120 . Trong tam gi¡ B i sè 2.7. ABC ta luæn â Cho tam gi¡ ABC v  Chùng minh r¬ng: M = cos2 A + cos2 B + cos2 C − 1. M = 0 th¼ tam gi¡ ABC â mët gâ vuæng b) N¸u M < 0 th¼ tam gi¡ ABC â ba gâ nhån ) N¸u M > 0 th¼ tam gi¡ ABC â mët gâ tò a) N¸u Líi gi£i Thªt vªy, ta â M = cos2 A + cos2 B + cos2 C − 1 = −2 cos A. cos B. cos C Do â: a) N¸u M =0 th¼ cos A. cos B. cos C = 0. i·u n y d¨n ¸n ∆ABC l  tam gi¡ vuæng. M < 0 th¼ cos A. cos B. cos C > 0. Do vai trá õa cos A, cos B, cos C nhau v  ∆ABC khæng thº â qu¡ mët gâ tò n¶n tø b§t ¯ng thù b) N¸u l  nh÷ 19 n y ta â cos A > 0, cos B > 0 v  cos C > 0. Khi â tam gi¡ ABC â ba gâ nhån. ) N¸u M >0 ta thu ÷ñ tam cos A. cos B. cos C < 0. gi¡ ABC â mët gâ tò. th¼ Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n, B i sè 2.8. T½nh ¡ gâ õa tam gi¡ ABC bi¸t b2 + c2 ≤ a2 √ a) sin A + sin B + sin C = 1 + 2 ( √ cos A + cos B + cos C = 2 b) cos2 A + cos2 B + cos2 C ≥ 1  (2.12) (2.13) (2.14) (2.15) Líi gi£i b2 + c2 − a2 2 2 2 a) Theo ành lþ h m sè osin th¼ cos A = v  b + c ≤ a 2bc √ π π 2 A ≤ A < π, tù l  cos ≤ cos = . n¶n suy ra cos A ≤ 0. Khi â 2 2 4 2 M°t kh¡ ta â m  B−C A sin A + sin B + sin C = sin A + 2 cos . cos 2 √ !2 √ 2 ≤ 1 + 2. .1 = 1 + 2, 2 √ sin A + sin B + sin C = 1 + 2 n¶n d§u b¬ng x£y ra khi v      sin A = 1√ A = π 2 suy ra cos A2 = 22 π   B = C =  cos B−C = 1 4 2 h¿ khi π π ;B = C = 2 4 2 2 2 b) Ta ¢ bi¸t cos A + cos B + cos C = 1 − 2 cos A. cos B. cos C v  theo 2 2 2 gi£ thi¸t cos A+cos B +cos C ≥ 1 n¶n cos A. cos B. cos C ≤ 0. Do â tam 0 0 gi¡ ABC tçn t¤i mët gâ tò ho° vuæng. Gi£ sû A ≥ 90 v  B, C < 90 . Vªy tam gi¡ ABC â A= Tø ¯ng thù (2.14) ta â 1− tù l  √ A B−C A A A − 2 sin . cos ≥ 2 sin2 − 2 sin , 2 2 2 2 2 √ A 1− 2 A . sin2 − sin ≤ 2 2 2 2 = 2 sin2 20 (2.16) °t x = sin A 2 vîi "√ ! 2 x∈ ;1 2 π ≤ A < π). 2 √ 1− 2 f (x) ≤ 2 (v¼ Khi â (2.17) "√ ! 2 2 ′ Ta x²t h m sè f (x) = x −x â f (x) = 2x−1 > 0 vîi måi x ∈ ;1 , 2 ! "√ 2 ;1 . do â h m sè f (x) çng bi¸n tr¶n kho£ng x ∈ 2 M  f √ ! √ 2 1− 2 = 2 2 √ 1− 2 f (x) ≥ 2 n¶n Tø (2.16), (2.17) v  (2.18) ta thu ÷ñ √  A  sin = 2 2 2 B − C  cos =1 2 Vªy tam gi¡ ABC â suy ra √ 1− 2 f (x) = . 2 ( Tù l  A = 900 B = C = 450 A = 900; B = C = 450 21 (2.18) Ch÷ìng 3 Nhªn d¤ng tam gi¡ Muèn bi¸t mët tam gi¡ â t½nh h§t g¼ (·u, vuæng, ¥n, ...) ta th÷íng sû döng ¡ ph²p bi¸n êi l÷ñng gi¡ º t½nh ¡ gâ ho° ¤nh. Ngo i ra ta án sû döng ¡ ph÷ìng ph¡p kh¡ nh÷: sû döng ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ düa tr¶n ¡ t½nh h§t õa tam gi¡ v  h m sè, so s¡nh ¡ ¤nh, ... º rã hìn v· ¡ ph÷ìng ph¡p n y ta x²t mët sè b i to¡n sau: 3.1 Nhªn d¤ng tam gi¡ ¥n B i sè 3.1. Chùng minh r¬ng tam gi¡ ABC ¥n khi v  h¿ khi nâ tho£ m¢n h» thù : C B tan = p − c 2 2 r C 1 = 2 sin2 + R 2 4 a) p tan (3.1) b) (3.2) Líi gi£i a) p döng ành lþ h m sè osin v  sin ta â:  2 2 2 C 1 a + b − c p(p − c) cos2 = , 1+ = 2 2 2ab ab r r r p(p − c) (p − a)(p − b) C C C = = 1 − cos2 = . suy ra cos v  sin 2 ab 2 2 ab s s C (p − a)(p − b) B (p − a)(p − c) = , t÷ìng tü tan = . Do â tan 2 p(p − c) 2 p(p − b) Khi â ¯ng thù (3.1) trð th nh p s (p − a)(p − b) p(p − c) s (p − a)(p − c) = p − c, p(p − b) 22
- Xem thêm -