Tài liệu MỘT SỐ BÀI TOÁN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN VÔ SỐ CHIỀU

MUC LUC tran g M§ đầu Chươn,r; ĩ 1. đo ổn định và toẫn tủ p-tong hoắ Cắc định nghĩa và k ết quẳ chuẩnb ị ..................... 2*- Toắn tu! sinh ra đọ do p-on định ..................... 3 . Khong gian cổ đối lo ạ i p-on định ..................... Chưđn;; 2 2 .................................................................. 5 lk Dắn£ đ i|u t i | 1 cậncua M artincale 1. M artingale tre n khon^ £ian Banach cổ tín h Rađon-Nikodyra . .......................................................... 19 2. M artingale trê n không gian Banach trơ n đều ( lồ i đều) Chưđn/: 3 .............................................................. 23 Sự liê n tục tu y ẹt đoi theo nghĩa yếu 1 . Sự liê n tục tu y ft dối theo nghĩa yếu của haỉ dọ đo.Dịch chuyển chấp nhận yếu ..................... 29 2. đọ ..................... 36 Tru’cJn£j hỢp cắc đo ổn định 3 . Trương h£p đọ đo on định vối phổ rồ’i rạc Tằi liệ u tr íc h dẫn . . . . ................................. l\2. 52 -2- Hỏ ĐÌƯ Lỵ thuyết xắc su ất trê n cắc khong g ian vo số chieu lằ v i |c nghỉ cú'u cẳc phần tử ncẫu nhiẽn và phân’ bố của chung trê n khong gian vo số chiều.Lĩnli vực n£hiên cíu này nằm è giao điểm của lỵ thuyết xắc s u ấ t,lý thuyết đọ đo và g ỉẳ i tíc h ham.Khẽi n^uon tĩĩ cons t r ì n của F*Maurei và R -Forter trong nhữri£ nom I950,khoảng 20 năm gần ctây lĩn h vực nay đã phẩt tr iể n 'khậ mạnh mẽ do nhu cầu phắt tr iể n nội tẹ l của lý thuyết xạc suất(nhầm g iẳ i quyết cắc b ài toẩn xạc suất trê n lihong gian hàm và đặt co’ sẫ cho ly thuyết quậ tr ìn h ngẫ nhien)cuns như do nhu cầu của mọt số ngành v ậ t lý lỵ thuyết cần những cong cụ mêi để xử lý cắc h | thống ngẫu nhiên vỗỉ vo số bậc * tự do. Nhiều k ế t quẳ cơ bẳn cửa xạc su ất cổ điển(xẩc su ất trê n không £ian hữu hạn chiều)khi chuyển le n khong gian vo số chiều đã khong con đung nữa.Điều đọ nổi lê n rằng v i |c nghiên cứu trê n lĩn h vực nay đòi hỏi những phương phắp mối vằ cong cụ mỗi. V i|c nghiên cứu xắc su ẩ t trê n khong gian Banach vạch ra sụ liê n h | mịt t h i ế t £iữa cậc tín h chất xậc su ất Và tín h chất hình học cùa không gian đang x ẹ t.s ự liê n hf đọ mật t h i ế t đến mức cậc phươn pháp xậc su ấ t đã tr ỗ thành một công cụ n ỗ i(n h iều khỉ khẫ hữu h l|u đ l nghiên cúu hình hpc không gian Banach.cặc nàixẳc su ấ t cổ điển -3 - thực ra vẫn thứồ’ng xuyên sỗ dyng cac tín h Chat t c t cua khong gian hữu hgtn chiều mọt cắch khong cổ ỷ thiìc cũng như ong Jourdaj mọt nhân v ậ t của M o lière,đã h ết sậc sửng số t khi thầy học cho b iế t ong vẫn thưctos nọi văn xuoi. Luận ận đưp’c ch ia lam 3 chương vỗỉ n$i dung như sau Chương I nghiên cứu cậc đọ đo p-ổn định và nối quan h | của chuni vSỉ cầc toắn tử p-tong hoẫ,i»§ rọnc cắc k ế t quẫ của Chobanian và T arieladze [2] x ểt cho đọ đo Gauss.Chương 2 nghỉen cưu dắng đ i|u ti f n cận của M artingale nhận g ỉẩ t r ị trê n khong gian Banach,mơ rọng cắc k ế t quẳ của Neveu£l2j trong trưồ’n^ hỢp thực.Cắc k ết luận ctgit đư^c ẫ hai chương nay cỗ liê n quan chặt chẽ vSỉ tín h chất hình học của khong gian đang x ễt như tín h chất lo ạ i và đối l o ạ i ,t í n h chất Radon-Nykodym,tính chất p -trơ n đều.Chương 3 đưa ra khắi n i|n tương đương yếu cua haỉ độ đo và nạnh dạn tiế t) cận g iẫ thu y ết: Hai đọ đo ồn định hoặc tương đương hoặc trự c giao 9 Tắc g ỉẳ bẳn luận ắn bày tỏ lồng b iế t ơn chân thành nhất tố i Giắo sư Tien s ĩ Nguyễn Duy tiến,ngưc?ỉ đã dành cho tắc g iẳ sự giụp đS to lơn và sự hư ống dẫn n h ỉ |t tĩn h trong khoa học cũng như trong cuọc sống.Tắc g iẳ bày tỏ lòng b iế t ơn sâu sắc tố i Giặc sư Hoàng hữu Như và Gỉắo sứ Nguyễn văn Hữu đã tạo những điều k if thuạn lỷ l để tẩc g ỉẳ hoàn thành bản luận văn^ạc g iẳ cũng xin chân thành cắn ơn Tiến s ĩ Nguyễn văn Thu vằ Giắo sư Tiến s ĩ -k~ Nguyen Xuân Lọc ve những ỷ kiến nhạn x ễt sầu sắc và quý bau ehe ban luận văn, caía ơn sự giụp đ3 của anh em trong tồ bọ mon xắc suất-Thống kê cùng cắc bạn bè đồng nghiçp. CHƯƠNG I ĐỘ ĐO ổìí ĐỊNH v \ TOẬN TỬ p-TỔNG HOẪ. I.Cắc định n,F;hĩa và k ết quẳ chuẩn bị Trong mục này chung to i nhắc l ạ i iíiọt vài khai ni|m và k ế t quả đã b iế t sẽ đưj?c sỗ dụng trong chương này«, a) Đp đo •~>-ồn định ĩ »ĩ . Định n.shĩa: Giẳ sử E l ầ mọt khong gian ^anach.Đọ đo xắc su ất JLC trê n E đư^c gọi l à p-ẩn định( 0 < p £ 2) nếu vSi mỗỉ sc dương 0( , p jx Ky h l |u iiàm đặc trưng jCl(a) (o u x ) jU , ( pa.) - cua Jtt thoẳ -:ãn h | thức ọ______ ( fẽ7~ỊỴr Ị a. ^ Va. 6 E (£) là tạp t ấ t ca cắc đọ do TD-ẩn định trê n E. I »2.Đinh l ý Ị ĩ l : Nấu ỷjc là đọ đo p-ổn định tre n E th ì cổ tồn t ạ i mọt đọ đo hữu hạn \J trê n mặt cầu đơn v ị của E sao cho p .(a ) s exp Ị “ j |( x JCL>|*eív>(x'> Đọ đo v> đưp’c gọỉ lầ đọ đo phổ của JJL . ĩ >3*Sính Mỗi độ đo p-ổn định đều c ỉ ũ lent cắp r < nhưng ‘chong cỗ mo íient cẩp p nếu p < 2 . 1 . 4 . ¿ịnh n,-;hĩa:Không gian Banach E đứj?c gọi l à có lo ạ i p-ổn địr (0 < p ^ 2) nếu vó’i mổi dãy (x ) c E sao cho n ta cọ chuỗi £ xn 6^p) hội tụ h .c .c . ẫ độ Y llx li** < oữ X/ n e£p) l'a dẫy cậc biến ngẫu nhiên thực,đọc lạ p ,c ổ cùng hằm đ£c trư n r l à e x p Ị - |t |: TÎïih. cheit cổ logii p-on định. lo. nọt "tinh. ch.s.'t liiĩili h.£)C cua kh.0H£ - i an E.Thạt vạy, Maure y và P is ie * đã ch'tzr; 'lỉnh rằạg neu th ì E cọ lo ạ i p-on định nếu và chỉ nếu E khong chiìa l n mọt cậch p <2 đeu* Vị djjl L cỗ lo ạ i p-ổn định nếu r > p và- kho&g cổ lo ạ i p-cn định nếu r ^ p < 2* b) Toan tử vọ-tổn, ; hoa ĩ . 5. Dinh iy;hĩa: Giẳ tỏ T : E w sử E và ẩứỢc g ỵ l F là hai khong gian Banach.Toắn lầ p-tẩng hoậ nếu vối mỗi dãy (x ) c E p sao cho £ |(x ,a)| < o o , 2 V a £ E' l|TXn l,P < ta cộ 00 • Tạp hj?p cắc toắn tầ p-tổng hoắ tĩỉ E vạo F đư^c kỵ h i |u l à T Ĩ ( I , Neu p < q th ì T ĩp (E ,F ) c TTl(E,F)*Mpt toắn tử p-tổng hoắ vỗi mọi p đư^c gọi l à hoàn toàn tồng hoẳ.Ta cổ ĩ , 6«Định lỵ : Neu T : E1 —^ F l à p-tổĩi£ hoắ và E có lo ạ i p-ổn định thỉ. T l à hoàn toàn tồng hoắ . ĩ nnhĩ a : Giả sỗ E và F tử T : E F lo ạ i p tr ê n ,đọ đo ẳnh T(A) 1*8» Định l ý r i o ] : Toẩn tử Neu p > 1 th i mỉá án tử p-t© l à h ai khong £ ia a Banach.Toắn đươc gçi l a p-Hadon neu vỗĩ mỗđ đọ đo try. X CC l ằ một đọ đo Radon cỗ lonent cấp Ị p-lâd©a luon l a toắn tử p - t omg hoa* ắ cũiii ẽ -Radon* ĩ ĩ » Toắn tử sin h ra đo đo ~p-on đinh Trong su ố t chương này ta luon kỷ higu X l à m jt khong gian -7 - Banach đẳng cấu v ỗ ỉ một không g i a n con đọng cùa ¿ . ĩ .Đinh n,';hĩa: Toắn tử T : À’ X Ị) . đũị>’c gpỉ l a toạn tu sinh ra đọ đo p-ổn định nếu hằm *^(a) e x p Ị - II Ta II Ị = (I-I) l à hàm đặc tr ư n g của n ộ t độ đo p -ổ n đ ịn h t r ê n E. Ky h ± fu oA.p(E’ ,X ) p p l à t ậ p t ấ t c ả các to ậ n t ỗ Ttĩỉ E ' vào X ? s i n h r a đọ đo p -ổ n định* 2»2 . Sinh l ý : ĩ s 1 - A p ( S ',X ) l ạ một khôag g i a a B anachộ . < p $ vỗi chuẩn S"(T) z Ị j IIXf j f L j S*t ( T ) s Vt. 4$ 'ĩ- < p ỗ đỗ JUL l a đọ đo p-ẩn định sinh b ẫi T Sau đẳy ta sẽ nghiên cứu mối quan h | giữa toẩn tử sinh ra đọ đo p-ổn định và toận tử p-tổng hoẩ. ¿>5•Bịnh lý : Ta luon cổ bao hằm thức -Ap(E<,xp) c Chứii;; 'lin h ; Gia sỗ T ĩ p ( E ' , x p) T l à toắn tố sin h ra đ$ đo p-ổn định.T ấy 0 <, r < p .v ì (x ,a) l à biến ngẫu nhiên trê n khong gian xắc su ấ t (E, ỗ ,JU- ) v ỗ ỉ hằm đặc t r ũ n g e x p Ị - ||Ta|| j |( x ,a ) | rdju. - c IITa II r đỗ c là hầng số*vỗi £ |T \l|r = ,a^ , . . . , a K ta cổ C ' ỉ i ) Giả sỗ T ệ TlpC g ian COĨ1 đổng cua Lnên 1,- ). VÌđẫn| cấu v ái lộ t khong ta cổ th ể x ểt tập -A n (X; ,E ).v l E có r p lo ạ i p-ổn định nên theo định lý 1.6 T là r-to n g hoậ.Theo bố đề ta cọ T £ J ^ .Đ(X ,E) Theo định ly 2.5 T* l ằ r-tồ n g hoắ.L ai ắp 1 • dụng bồ đề ta có T £ A o ( E .,X ) . r -9 - i i j —Ì 1 J: ifau tiê n ta chứng minh E có lo ạ i p-ổn định.G ia su *Xẹt toạn tủ T:2 1 (x ) l ầ dãy tro n s E sao cho y IIX Ị| < oồ n Z-i n > đư^c cho như Gau Ta = { < v a )}, T lầ p-tổng h©a*That v|y,¿'ia sỗ (a ) c E1 sạo cho n Anh x a X (x ,a )] tĩỉ E vào 1 \ ị(::,a )| ^< ( /• cổ đồ t h ị k í n do đo l i ê n n *1 tục.Vạy ton t ạ i c y 0 sao cho C||::||p vối npi X € Ẽ ^ |( x ,a ) | P ^ Vậy 2 2 i(v V |P= Ị Ị k v . x 1'« c Ị X ,p < - vậy T l à p-tong hoắ*Theo g ỉả t h i ế t T sinh ra đọ đo p-on định. Tồ định lý Ito -N is io ta cổ chuỗi họi tụ h •c •c • Như vậy ta đã chứng minh E cổ lo ạ i p-ồn đ^ih. T iếp th eo t a chứng n ỉn h ■’ ăỉ':\Q cể.u v S l ÌỌt kh on s g i an co n đong của L ..Gỉẳ sử khong phẳỉ như vạy.Theo tiê u chuẩn L in d en strau sp P e lz in sk i tồn t ạ i h ai dãy (x ) và (y ) trong E sao cho n Ĩ1 £ |( x ^ ,a ) | và £ ( | yỉilfP < oc. £ ^ , nhưng x ểt toận tồ T: E1 —^ 1 p ị(yn>a)Ị £ II xnll vỗỉ mpi a £.E' =. oo đừỢc cho như sau Ta = Ị(x n , a ) Ị “ 3 số (a n ) c E' Gao cho ¿S y I(x ,a Ỷ < o n 1 T l ầ p-tẩng hoậ*Thât va vỗĩ mgi X E*£o định ly đo th ị k ía f tồn tạ i G> 2^ Ị(x ,a )ị ^ c lị x ịp 0 vệ ỉ 1 ỌỈ X sao cho K -1 0 TU a o za. ÜO £ 0 T a n H - z I »< rt. 'V r Ẹ fc- ¿ k. V\- - N< £ K a • " I ỉ (yk * an }l = "■* < Theo g i ẫ t h i ế t T s i n h r a độ đo p -ổ n đ ịn h .L ậ p l u ậ n nhu’ phần trứ ớ c ta cỗ chuỗi T x U ty h .c .c .v ì n ^ < 2 p nên 6 ||x n y II < co Điều nằy mẳu thuẫn.Định lỵ dư^c ch5ng minh. B ay g i o’ t a chuyển san g n g h iê n CTỈU c ắ c to ẫ n tử đố i ngẫu của toẵn tồ sinh ra dç> đo p-ổn định.Kỵ h ỉ|u '1—f 1 Ip (E*,x ) cẩc toắn tỏ T : E1 —ỳ X x# l ầ ọ-tong ho, • sao eho T* : p ^ £ l à tập ? 2 .6 . Định l y : Giả sỗ 1 < p < 2 .Cắc khang định sau tương đươag ỉ) E cổ lo ạ i p-ồn định ii) T T p ( E ',X p ) c j\.p ( E ',X p ) Chứnr; ininh: ỉ ) —^ ỉ i ) : nhung cua X Giẳ sử T* l à p-tồng hoắ.Gọi J l à phểp vào L (T,ỉ-i).sỏ dụng định lỵ Kwapien^ôl ta cổ J*T jp p l à p-phân tíc h đư^c.vậy tồn t ạ i ham F: T —ÿ E sao cho F L (T ,n f.E) và J(Ta) p Khi đọ II Tall - thuọc ( F ( .) ,a ) Il J ( Ta)Il X j ị ( F ( t ) , a ) ị pdm T vậy expị-||Ta|| ] “ expỊ- j |(F (t) ,a)| ?dmJ VÌ E cỗ l o ạ i p -ổ n đ ịn h nên e x p Ị - ( j(F (t) ,a )j daj l à hạm đặc T trứng của một độ đo trê n E.vậy T sin h ra độ đo p-ổn định. i i ) —5> i ) nhúng của Theo g±ẳ t h i ế t T ĨB(E' ,1 r ) c p - A „ ( E ' , 1 _) . P h i n p |.|p(S',l ) vào -A-_( 1,1 ) cổ? cto thị kía nên lỉên r p r tụ c.v ậy tồn t j i hằng só c S ũsao cho -lĩ<3 ¿(t) G iẳ sử ^ c TfpCT*) (1*3) E không cọl o ạ i p -ồ n đ ịn h .T h o o đ ịn h a p t cạch Ìpi tẹ.i,::4 , . . . đ ề u .v ố i nỗi n , t ồ n ,..., t tro n g E ln sao cho v ệ i ta co ( I I U | r )Vf í II L t „ O I x ểt anh xa T : E* —^ 1 ị a . ( l l t . l r) V' đươc cho như sau p Ts. Ị 9. ) , ‘>J50 , • • ^ Khi đo vỗi s r ( ổ,.) è nT*GII ^ l ỵ P i s i e r E chú'a ta cổ =^ z [ ỵ \ \ \ Ỹ)'e [ 1 Uj,*oiM p ¿ đọ4 đo xắc suất t r ê n hĩnh cầu dđn v ị s của 1 o tron:; đổ7 V l à VÌ thế do định ly Piesch Tfp(T*) $ 2nVr y Mặt khắc (TrCT) * Ị ĩ l l I > : nC « ' ] % TĨỈ (1-3) [ 6 ( I I 6 " V ) % ] V ^ ( ^ r ) Vp ta suy ra Ạị 4/p CQ( n l0£n) ^ Song điều nay l a VC 2Cn ^ lỵ .v ậ y E vỗỉ n đủ lỗn cỗ lo ạ i p-ổn định. Bay giò’ chúng ta sẽ đặc trưng những >hong gian Banach mà ề đỗ mỗi to ắ n t ỏ s i n h r a đọ đo p-ồn rly.c đích nay dẫn ta đen 2.7* Định nr;h ĩ a : đ ịn h sẽ cỗ đối ngẫu7)-tong h o ẩ . khẵi ni|m sau Khong ~ian E được nọỉ l à cọ đốỉlo ạ i p-ổn (0 < p ^Ị 2) nếu vSi mỗi dãy dãy (x (x ) ) trong trongE Esao saocho c] 1 - expị- £ | ( x n ,a)| Ị { 1 - JU (a) định -1 2 - vối mọi a £ E1 va. jVA nao dọ thuọc H (E) ¿♦3»£ậnh l ý : X M < 00. Gỉẳ sỗ 0 < p ^ 2 .Cắc :hẳn£ định sau là tương đươĩi£ i) E co đoỉ l o ạ i p -ổ n đ ịn h . ỉi) J V p( E ',X p ) 1 p p 2 , Brr*g II < oứ 00 .x ể t toắn xắc định như sau Sx „ { (ẩ n ,x )} ^ ° s l à tuyến tín h liễ n tue và s*e s n II STall 2.1« Gn »x ) l p < sao cho vỗi moi :: £ X .Ta sẽ chổng minh Ta ° ' th ì ■ n > (e ) l à dãy vecto đơn vị n <: ị|SịlP|ỊTaị|P ( 1 -4 ) Mặt khắc |S T a f= 2 l(STa»en)l ' = £ | ( ^ e n, . f (1-5) Giả sử JUL là độ đo ổn định vối hàm đặc trưng jû.(a) - e x p Ị-Ịsịp lT a ll j TĨf (1 - 4) và (1 - 5 ) ta cổ 1 - expỊ- ị(T‘ S*e ,a)Ị °J ^ 1 - jíX(a) VÌ Ecổ đối lo ạ i p-ốn định nên s»e. || ii) i) = £ ||t % || < 00 Gỉẳ sử E khong cỗ dối lo ạ ỉ p-ổn định.Như vậy ,tồ n t ạ i đọ đo ĩo p-ốn định JU và dãy dãy (x (x )) 1 - expỊ- £ Ị(xn ,a)Ị } th thupe u ọ c EE sao « 1 - cho jCL( a ) (1 -6 ) V&L mọi a nhưng £ (I X II « n -1 3 - G±ẳ aử jCL( a ) — exp j - I - II J bao k ín của TE' trong L •p r của L va p s đọ T: E* ) Tjp la -Khi đỗ X l à not khons gian con đọnc p T AA_ (Ef .x c )*Ta sẽ chỉ ra rằng - #wp h o ắ . x ể t to a n t ỏ B: E ! 1 Ba r dtươc cho như sau p Ị(x ,a ) j Ta xạc định toắn tử V : TE* V(Ta) d T* khong l à p-tSng 1 bằng cắch đặt Ba . V xắc định đung đắn-Thật vậy,do (1-6) ta cổ | l B ( a l - a 2 )|l do đổ Ta — Ta keo theo Ặ ỉ|T (a 1 - Ba^ n a p )|Ị Ba^ . V là tuyến tín h ,l iê n tục nên V thắc tr iể n đươc liê n X va ta cổ V6T =1 B .Tồ do B* - l à p-tong hoặ.vậy l ằ p-tổn£ hoắ nên 8 xn ll £ l B*enll - tục lê n toàĩ < oa . Dieu nằy t r ắ l vSi (1-6) .vậy T* khong l ằ p-ton£ hoắ*Định lý đúýc Chung m in h . ¿♦9»Định l ỵ : Ngu aS i đọ đo p-ổn định tr ê n E l à ẳnh lỉê n tục của mọt đọ đo p-ổn định trê n mọt >hSnr gian con đổn£ của L p th ì E phải có đối lo ạ i p-ẩn định* Chưn " " In h : G iẳ sử Ắp đụn£ định lý trê n ta sẽ chỉ ra T s i n h r a đọ đo p-ồn đ ịn h JUL . iẵ th iế t JLC SS v( X ) t vơi A l a m$t đọ do p-ồn định tre n khong gian con đổng s của L , p V là toận tử tuyến tín h liê n tục tĩỉ s vào E^Khong £Ỉẳm tons quắt - I tị- cọ tue gia sử V lạ dơn ặnh,do vậy V*(E') trù nật trong S '.Gia sỏ >(s*) :':hi 1 ' - sxpj-JHs'll p Ị p .(a ) - e x p [-|T a |pJ = vSi -AỌ± a £ E1 QTa (I =1 II HV*a I Suy ra exp[-||HV*a||PJ Ta định nghĩa toắn tử W: V*(Ef ) X (1-7) bằng cong thốc w(v*a) s Ta w được xắc định đúng đắn*Thật vạy,nếu (1-7) 0T(a1 - a ^)|| s nên Ta th ì do ịịH C V ^ - v*a2 ) I s 0 s Ta . w l a tuyến t ín h ,l iê n tục,V *(E ') tr ù mật trong S' nên V/ düÿc mẫ rọng thành toắn tử tuyến tín h lie n ty.c xạc định trê ĩ toàn Sf và T : wêV* .Mặt khắc A (sf ) - ex p Ị-jH sfl| J =r expỊ-|Ws*ị| J Vạy w là toẩn tử sinh ra độ đo p-ổĩi định trên s .v i s CC đốỉ lo ạ i p-ổn định nên w* l à p-tõng hoắ do đổT* - VV/* cũng l à p - tS n g h oắ-Đ ịn h l ỵ đư^c chổng -flinh. III. Ilion,: ¿¡lan CO đ ồ i l 0 £ i ">-011 ctịnh T i ế t này dành cho v i | c n g h ie n cưu khong g i a n co đ ố i l o ạ i p -o n địn h 3 .1 . Định l ỵ : Cắc khẳng định sau l ằ ỉ) ii) tương đương E cổ đối lo ạ i 2-ổn định, E co đoi lo ạ i 2. Slìâ&I_lis ỉìl ỉ ) “•) i ỉ ) Giả sử (x ) l à dãy trong E sao cho chuỗi -1 5 - V X 0W hoi tụ h-c-c-T a phẳi chứng minh £ X 6^ l a phân bố cua ~ n ju (a ) - (U. 6 .Ta cổ ri exp Ị- ^ Wx * < oo v& J Ị(xn ,a )Ị J TÌỈ định nghĩa r u t ra ^ |1 X II < oô . ii) i) Giẳ sử (x ) l à dãy tron£ E sao cho n 1 - vSi nọi a expỊ- ^ |(x ,a)Ị j ^ 1 - JU (a) (1 -8) E1 Gọi V la đọ đo trụ Gauss vỗi ham địíc trứng ^ (a) r e x p Ị- ^ | ( x TĨỈ (1-8) ,a )| j ta cỗ 1 - ^ (a ) ^ 1 - jCL( a) TĨĩ mọt định lỵ quen b iế t về đọ đo trụ Gauss ta suy ra v> 1à nọt đ£> do Gauss.Theo định lý I to-N ỉ s i 0 ta cổ chuỗi họi p tụ h .c .c .v ì E cổdoi lo§đ. 2 nên ll < oo . 3»2»Định l ỵ : Neu E cổ đối lo ạ i p-ồn định th ì nổcũng cỗ đối lo ạ i q v S ỉ p < q. ChSnr; , -inh: Gỉẳ sử T £ A q (K ',x ) tức l à q exp ị- UTe. II ] l à i J ham đặc trứng của mọt đọ đo q-ổn địnluDo định lý 2 / I I / khi đỗ ex pỊ-II T ã Ịp jcu n g l ạ hạ» đặc trxim ặ của m ật độ đo p - ổ n đ ịn h nếu p < q* VI E cỗ đối lo g ỉ p-ồn định nen theo định hoa do đổ l à q-tồng hoẵ*T^ định lỵ 2.8 ta lỷ 2*8 T * là p-tổ&g cỗ E cổ đối lo ạ i q-ồn đ ịn h 3«5«Định l ỵ : Neu E l à mọt S-khong gian thỉ. E cọ đối lo ạ i định vối mỗi 0 ^ p ^ 2. p-ổn -16- ChiSn^ minh: Gia số (x ) là dãy trong E sao cho — *—u---------- n 1 - expỊ- ^ |(x ,a)j J 1 - ju(a) (1-9) vỗi r.iọi a Ế E1 va jut la. đọ đo p-on định* Glẳ sử z l à s-topo trê n E'.TÙ’ (1-9) ta r ụ t ra 3(a) = e x p ị - ^I Cx^a) ! là ham xắc định dưdug, khong g i a n nen v(a) Tỉ - lie n tục và 2 v (o ) — l . v i la s- l à hầu» đặc tr ư n g c u a mọt đọ đo xắc s u ấ t . Theo định lý Ito -N isio ta co cto S l p < 2 nên ta cổ Ị 2^ X ô ^ h$i tụ h .c .c .v ì N < 00. 3. 4.HS--------quẳ: Mỗi không- gian con đổng cua Ls (1 í 8 < 2) co đoi ’ lo§l p-on định vối mỗi 04 p g 2 »Khonggian L (s đố i l o ạ i p -ổ n đ ịn h v ỗ i b ấ t cổ p n à o . 3*5*Dinh l y : Neu đồng tho’i cỗ lo ạ i p-ẩn định y 2)khS&gCC vầ đoilo ạ i p-ổĩi định th ì E nhung ctư$?c vào L . Ghứnr; ninh: sử dụng tiê u chuẩn Lindenst rau ss-P elczy n sk i ta sẽ chống minh rằng: Neu (x ) Vä (y ) l à hai dãy trong E sao cho n n X, l(v a)l 4 Z, l(v a)l 2 11 ynilp < o0 và th ì £ \\ X |Ị v5ỉ mpi aÉe/ (I-IO ) < oô Thật v ậ y ,s iẫ sử (x ) va (y ) l ằ hai dãy như vậy trong E .v ì E cổ lo ạ i p-on định nên chuỗi V y họỉ tụ h .c .c . Gọi ẠX, l à phằn bố của ju.(a) -Ta cọ jx l à đọ đo p-ổn định va ^ = expị- 2 | ( y n ,a)ị Ị TĨỈ (I-IO ) ta ru t ra 1 - expỊ- £ ị ( x , a ) ị pj ^ 1 - VÌ E cỗ đ ố i l o ạ i p -ồ n đ ịn h nen jU.(a) I vệi mọi a ér E» < oớ . 3 »6»H§ quả: Xhong gian Banach cỗ đốỉ lo ạ i p-on định vSi p < 1 th ì cổ thể nhúng được vào L . p Qụẳ vạy,vi mỗi :honj gian. Banach cổ logđ. p-on định 5 .7 .HI quẳ: Khong gian Banach cổ đoi log1 p-ốn v à cổ t í n h x ấ p X I m e t r i c là vỗip < định m p <1 s-k h o n g c ia n 3»8»x>inh l ý ; Khong gian Banach E đồng thc?ỉ cổ lo ạ i p-ồn đ^ĩh f vằ cổ đối l o ạ i p -ồn dị nil (1 ^ p ^ 2) nếu và ch ỉ nếu no đẳng cấu v ỗ i mọt khong g i a n con done cu a L r S đ | q <1 p < q < 2 nếu p < t 2 eu p s 2 vầ 2. Chun : lin h : Khẳng định ’nếu1 suy tù’ định lý 3*5và định lý H oseltanl / 14/ .Khẳng định 'c h ỉ nếu1 suy tí? h | quẳ và sự k i |n L cổ lo a i p-on định s đọ p s 2 ncu q JJ 2 và p < q < 2 neu q < 2 . q ' Định lỷ 3 .8 - nỗ rộĩi£ myt k ế t quẳ của Kwappien / 6/ 3- 9• Định l ỵ : Neu Ji: cỗ M-đồi lo ạ i p (theo nr.hĩa cưa Mouchtari / I I / th ì E cũng co đoi lc ạ i p-on định- ủ' "S-'.I- : Gọi 5\ La 1 của t ấ t ca cắc đọ đo p -o n đ ịn h t r ê n a t tr e 1 2 l i ê n tụ c .E tặc t đước Ị TOONG •^I^OCTONG HỌẼrtANO- ị nỗi là 1# -1 8 - e l M-đốỉ lo a i p neu nỗi hàn F xắc địnli dứđng, l*Khi đổ ten tg l khõng gian có đ ố ỉ l o ạ i q -ổ n đ ịn h nhưn£ khong cỗ đối l o ạ i p-o n đ ị n h . Chứng .V .. : Xet ho s (1 ) t o đó q ) , t y 1. > t ) định lỵ 7 /II/,l:h o n g gỉan 1 (1 ) cổ M-đốỉ lo ạ i q nen co đối lo ạ i s z q-on định.vỉ. 1 "fc cổ lo§± p-ổn định va s ) p ê s t (1 ) cỗ 3 oại p-ồn định.Neu nó cỗ đối lo ạ i p-ổn định th ì theo định lý 3*5 nó nhúng dtư^c vầo L •Nhưng như đã chỉ ra trong / I I / } 1 (1 ) vệi J) s t s S t khong nhung đưđc vào L .Vay 1 ( 1 ) khong cổ đối lo ạ i p-ồn f p s t đ ịn h . -1 9 - GHƯC "G II D ÍN G Đ IỆ U T IỆ M CẬN CỦA M A R T IN G A LE ĩ . i l a r t i n n a l e t r e n ':hon,; ■;la n cổ t í n h -:a d o n -:!l'-o d i-i Gia sỗ ( J l , 3 r , p ) l à khong g i a n xẫc s u ấ t cơ sS ,E l ằ không g i a n Banacb^ỵ h i ç u L (il) l à tậ p cắc b i ế n ngẫu n h i ê n E - g i ắ t r ị sao cho '0 HXII < o0 .Giả sỗ ( ĩ ) là. dãy tăng cắc Ç*-trü o ’ng con của ĩ . (E) du’ÿc gọỉ l a nọt M artingale E -giặ t r ị nếu vễl Dãy (X ) thuọc mỗi n, X l à 7 -đo đươc và n n E(x n*rl /% r\. ) s Xn h .c .c . E đư^c nổi l a cổ tín h Radoĩi-Nykodin(tính. R-N) nếu vỗi mỗi đọ do Jtt xắc định trê n cắc tập Borel của đoạn [0 ,1 ] nhận g ỉắ t r ị t r o n g E , c ỗ b i ế n phẵn g i ỗ i ĨIỌỈ t h ì \ JU.CA ) r f (t)d m (t) A trong đọ f : £0, 1 ] E l à hàm khả tíc h Bochner con ni l à biến phân to à n phần cua JU. Cạc khon£ ¿lan phần xạ, cắc khong o i an là đối n^ẫu của ••■Jt khõng :;ian kha ly cể tín h M L T re s f khi đọ những khSng gian như Co ’ L1 ,Loồ 1 -kõnc c? tín h R-N .3au đây l à Igt đặc trưng hình học lý thu của tín h R-N ĩ . ĩ «Định l y : Khonr ¿lan E cọ tín h lĩ-N khi và chỉ khi mỗi tap con g iỗ i nọi cua E l à tập nhọn. -2 0 - TÍnh R-N co liê n h | mật th iế t vỗỉ cắc tín h chất họỉ tụ của M artingale ĩ»2«Định l ý : [5] Cắc khẳng định sau là tư ơn/, đương a) E cố tín h H-IT b) Mỗi M artingale (X ) jil-£ỉậ t r ị thoẳ nãn đieu k i|n n sup E |x II < oô sẽ họi tụ h .c .c . (theo chuẩn của E) c) E -£ ỉậ Moi M artingale (X ) t r ị kha t í c h đeu sẽ h ọ i ty. trong L (E) d) Mỗi M artingale (X ) sup E -giẩ t r ị thoẳ mãn điều kiẹn IIX II ,p > 1 < 0 0 sẽ họỉ tụ trong L (E) p Cho (X^ ) là mọt M artingale E -giậ t r ị thưọc L (E ),p "ỳ l.K h i để ^ II X H ^ l à n ọ t s u ta a rtin g a le t h ự c . x ể t khai tr iể n Doob của nổ 1* a A^ = » l?) 1- l à 71$t dãy tăng.Đ ặt ĩ .3 »Định l y ; ¿% — lim A Gỉẳ sử (X ) là M artingale E -giậ t r ị thuọc L (E) và Ĩ1 1 p X — 0. -Chi đỗ 0 a) sup 1\ Bx ft = ' E , ( l"1)< b ) v o i p ) 1 vả s A w E sup I Chứng ::lnh: II oo $ . cộ/ ta (p /l-l)p ] A ^} Tồ coĩir thức tru y hồi xắc định A ỵW ta cổ