Tài liệu Một nghiên cứu didactic về mối quan hệ giữa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lý Tấn Tài MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lý Tấn Tài MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LÔØI CAÛM ÔN Xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán TS. Nguyeãn AÙi Quoác, ngöôøi ñaõ taän tình höôùng daãn, giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Chaân thaønh caûm ôn ñeán: PGS.TS. Leâ Thò Hoaøi Chaâu, PGS.TS. Leâ Vaên Tieán, TS. Leâ Thaùi Baûo Thieân Trung, ñaõ nhieät tình giaûng daïy, giuùp ñôõ toâi trong suoát khoaù hoïc Thaïc só. Ban Giaùm hieäu Tröôøng THPT Phuù Quoác ñaõ taïo ñieàu kieän cho toâi trong suoát thôøi gian hoïc taäp; caùc ñoàng nghieäp luoân quan taâm, chia seõ; caùc thaày coâ toå Toaùn – Tin Tröôøng THPT Phuù Quoác ñaõ giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh thöïc nghieäm luaän vaên naøy, Ban Chuû nhieäm khoa Toaùn, laõnh ñaïo vaø chuyeân vieân phoøng SÑH ñaõ giuùp ñôõ, toå chöùc toát lôùp hoïc cho chuùng toâi. Caùc baïn hoïc vieân, ñaëc bieät laø caùc baïn hoïc vieân didactic khoùa 20 ñaõ thoâng caûm, chia seõ, ñoäng vieân vaø giuùp ñôõ nhau vöôït qua nhöõng khoù khaên trong thôøi gian hoïc taäp, nghieân cöùu. Gia ñình vaø nhöõng ngöôøi thaân ñaõ ñoäng vieân, giuùp ñôõ toâi trong suoát thôøi gian hoïc taäp. Lyù Taán Taøi DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT M1 : Sách giáo khoa lớp 6 M2 : Sách giáo khoa lớp 7 M3 : Sách giáo khoa lớp 12 – chương trình nâng cao SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông HS Học sinh DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Căn bậc n của một số thực ..........................................................................6 Bảng 1.2. Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu tỉ ............................................14 Bảng 2.1. So sánh định nghĩa hàm số lũy thừa ở bậc đại học và bậc THPT ............28 Bảng 2.2. So sánh định nghĩa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức giảng dạy ..............................................................29 Bảng 2.3. Bảng mô tả các kiểu nhiệm vụ về lũy thừa và hàm số lũy thừa. ..............30 Bảng 2.4. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M1 ..........................34 Bảng 2.5. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M2 ..........................40 Bảng 2.6. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M3 ..........................52 Bảng 2.7. Sự tiến triển của các tổ chức toán học ......................................................53 Bảng 3.1. Thống kê các chiến lược giải bài toán 1 của học sinh ..............................67 Bảng 3.2. Thống kê các chiến lược giải bài toán 2 của học sinh ..............................68 Bảng 3.3. Thống kê các chiến lược giải bài toán 3 của học sinh ..............................70 MỤC LỤC Lời cảm ơn Danh mục các chữ viết tắt Danh mục các bảng Mục lục MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC .........................................................................................4 1. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [2] .......................................................................4 2. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [3] .......................................................................8 3. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [1] .......................................................................9 CHƯƠNG 2. KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA TRONG CÁC THỂ CHẾ DẠY HỌC ...................................................................................16 1. Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở THCS ..............................................16 1.1. Phân tích chương trình ............................................................................16 1.2. Phân tích sách giáo khoa.........................................................................17 2. Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở THPT ..............................................19 2.1. Phân tích chương trình ............................................................................19 2.2. Phân tích sách giáo khoa.........................................................................20 3. Các tổ chức toán học về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa ........................30 3.1. Các tổ chức toán học trong M1 ...............................................................30 3.2. Các tổ chức toán học trong M2 ...............................................................34 3.3. Các tổ chức toán học trong M3 ...............................................................40 CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM .............................................................................57 1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm ....................................................................57 2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm ...................................57 2.1. Bài toán 1 và bài toán 2...........................................................................57 2.2. Bài toán 3 .................................................................................................63 3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm .............................67 KẾT LUẬN ..............................................................................................................73 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Phụ lục MỞ ĐẦU 1. CÂU HỎI MỞ ĐẦU Khái niệm lũy thừa được đưa vào chương trình phổ thông từ lớp 6, trong đó lũy thừa bậc n (n là số tự nhiên) của một số thực a là tích của n thừa số a: a n = a.a. ... .a .    n thöøa soá Đến lớp 12, lũy thừa được mở rộng với số mũ nguyên âm, số mũ hữu tỷ, và số mũ vô tỷ. Cùng với sự mở rộng phạm vi số mũ, điều kiện của cơ số cũng có sự thu hẹp tương ứng. Sự thay đổi này đã gây không ít khó khăn cho học sinh từ đó dẫn đến những sai lầm mắc phải trong việc tiếp nhận khái niệm này. Chẳng hạn, sai lầm của học sinh khi đồng nhất hàm chứa căn với hàm lũy thừa; sai lầm khi dùng máy tính bỏ túi tính giá trị của một lũy thừa với số mũ hữu tỉ có cơ số âm nhưng vẫn cho ra một giá trị xác định, mặc dù lũy thừa này không tồn tại theo định nghĩa hiện hành. Trước thực tế như vậy, chúng tôi đặt ra các câu hỏi: Q’1: Trong hệ thống dạy học, lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa được xây dựng như thế nào? Có những cách tiếp cận nào? Q’2: Trong chương trình phổ thông, lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa được trình bày như thế nào? Q’3: Những ràng buộc của chương trình có tác động như thế nào đến học sinh khi học về các khái niệm này? 2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU Chúng tôi đặt mình trong phạm vi lý thuyết của didactic toán. Cụ thể chúng tôi sử dụng các khái niệm: chuyển đổi didactic; quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học của lý thuyết nhân chủng học; hợp đồng didactic. Chuyển đổi didactic: nhằm làm rõ sự chuyển đổi từ tri thức khoa học sang tri thức cần giảng dạy, xem sự chuyển đổi này có phù hợp với mục tiêu đưa vào khái niệm này hay không? Lý thuyết nhân chủng học: phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa từ đó làm rõ mối quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với hai khái niệm này. Hợp đồng didactic: tìm ra những quy tắc hợp đồng ngầm ẩn giữa giáo viên và học sinh từ đó giải mã cho những cách ứng xử của giáo viên và học sinh khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ có liên quan. 3. CÂU HỎI NGHIÊN CỨU Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, các câu hỏi ban đầu được chúng tôi cụ thể hóa thành các câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa được trình bày như thế nào? Có những cách tiếp cận nào? Q2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa xuất hiện và tiến triển như thế nào? Q3: Quan hệ thể chế ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân khi học sinh giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hai khái niệm này ? 4. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 3. Cụ thể: thứ nhất, tìm hiểu sự hình thành và tiến triển của khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa ở chương trình phổ thông; thứ hai, xác định các sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa; thứ ba, xác định nguồn gốc của những sai lầm này để từ đó có những điều chỉnh trong cách dạy học, nhằm mang lại hiệu quả cao nhất trong giảng dạy. Để đạt được mục đích này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau: Ở cấp độ tri thức khoa học, chúng tôi phân tích nhằm làm rõ các cách tiếp cận khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa. Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng tôi phân tích chương trình, sách giáo khoa và các tổ chức toán học liên quan đến lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa ở cấp độ THCS và THPT nhằm làm rõ sự hình thành và tiến triển của chúng qua các khối lớp. Kết quả phân tích ở cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy, chúng tôi đặt ra giả thuyết nghiên cứu. Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm để kiểm chứng những giả thuyết đã đặt ra. 5. TỔ CHỨC LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận. Phần mở đầu, chúng tôi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, khung lý thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận văn. Chương 1, trình bày kết quả phân tích về cách xây dựng lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa trong một số giáo trình đại học. Chương 2, trình bày kết quả về phân tích chương trình, sách giáo khoa, các tổ chức toán học ở THCS và THPT gắn với lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa. Đặt ra giả thuyết nghiên cứu. Chương 3, trình bày bộ câu hỏi thực nghiệm, phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm bộ câu hỏi thực nghiệm. Phần kết luận, trình bày kết qủa đạt được của luận văn và đề cập những hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn. Chương 1 KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục tiêu của chương Chương này tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa được trình bày như thế nào trong các tài liệu ở bậc đại học? Chúng có những cách tiếp cận nào? Tài liệu tham khảo 1. Jean - Marie Monier (2009), Giải tích 1,Giải tích 2, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà Nội. [1] 2. Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh. 3. Alvin K.Bettinger, John A.Englund, Algebra and Trigonometry. [2] 4. Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite series. [3] Chúng tôi chọn các tài liệu trên để phân tích vì các tài liệu này trình bày khá chi tiết về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa, hơn nữa các tài liệu này trình bày các cách khác nhau khi xây dựng lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa. 1. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [2] Tài liệu này chỉ trình bày về lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ; không trình bày lũy thừa với số mũ thực và hàm số lũy thừa. Các kiến thức về lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ được trình bày cụ thể và chứng minh chi tiết. Lũy thừa với số mũ nguyên dương Cho a là một số thực và n là số nguyên dương, an là tích của n thừa số a; a gọi là cơ số và n gọi là số mũ. Lũy thừa với số mũ nguyên dương có các tính chất sau: a) Quy tắc nhân: cho a là một số thực và m, n là các số nguyên dương thì a m .a n = a m + n . b) Quy tắc chia: cho a là một số thực khác không; m, n là các số nguyên dương sao cho m > n thì am = a m−n . n a Nếu a ≠ 0 và n > m thì am 1 = n−m . n a a c) Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: cho a là một số thực và m, n là các số nguyên dương thì ( a m ) = a m.n . n d) Quy tắc lũy thừa của một tích: cho a, b là các số thực, n là số nguyên dương thì ( ab ) n = a nb n . e) Quy tắc lũy thừa của một thương: cho a, b là các số thực, b ≠ 0 và n là số a n an nguyên dương thì   = n . b b Lũy thừa với số mũ không Lũy thừa với số mũ không xuất hiện khi mở rộng điều kiện của m trong quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: nếu a ≠ 0 và m = n, giả sử công thức am = a m − n vẫn n a an −n a n= a0 . 1 = đúng trong trường hợp số mũ bằng không, thì= n a Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa: ∀ a ∈ ℝ và a ≠ 0, a0 =1. Lũy thừa với số mũ nguyên âm Lũy thừa với số mũ nguyên âm xuất hiện khi mở rộng điều kiện của n trong quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: nếu a ≠ 0 và m = -n, giả sử công thức n 0 a= 1 , từ đó suy ra a m .a n = a m + n vẫn đúng trong trường hợp số mũ âm thì a n .a −= a−n = 1 . an Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa: cho a là số thực khác không và n là số nguyên dương, a − n = 1 . an Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa dựa trên căn bậc n của một số thực. Định nghĩa căn bậc n: cho n là số nguyên dương lớn hơn 1 và a là số thực bất kì, căn bậc n của a là số b sao cho bn = a. Theo định nghĩa này, kết quả về căn bậc n của một số thực a được tóm tắt như sau: Bảng 1.1. Căn bậc n của một số thực n chẵn n lẻ Có hai căn bậc n của a. Giá trị dương kí hiệu: a>0 n Có duy nhất một căn bậc n của a, a. kí hiệu: Giá trị âm kí hiệu: − a . n a. n Có duy nhất một căn bậc n Có duy nhất một căn bậc n của a, a=0 của a, kí hiệu n 0 = 0. kí hiệu n 0 = 0. Có duy nhất một căn bậc n của a, a<0 Không tồn tại. kí hiệu: n a. Trước khi đưa ra định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ, tài liệu [2] nhận xét: 1 n cho a là một số thực và n là số nguyên dương. Giả sử a có nghĩa và công thức (a ) m n n =a mn 1 .n  1 1 1 a . Điều này chứng tỏ vẫn còn đúng khi m = thì  a n = a n = a= n   1 n rằng a là một căn bậc n của a. Từ kết quả về căn bậc n của một số thực a và nhận xét trên, tài liệu [2] đưa ra các định nghĩa: • Định nghĩa 1 1 n Nếu a là số thực không âm và n là số nguyên dương, a chỉ căn bậc n của số không âm a, còn kí hiệu là n a. 1 Nếu a là số âm và n là số nguyên dương lẻ thì a n chỉ căn bậc n của a, còn kí hiệu là n a. 1 Nếu a là số âm và n là số chẵn thì không định nghĩa a n . Tiếp theo, tài liệu [2] nhận xét: Cho a là số thực dương; m, n là các số nguyên, n > 0. Nếu a m n có nghĩa và nếu công thức ( a n ) = a nm vẫn còn đúng khi m m m 1 m 1 .m  1n  1 n n n a a=  a  . Như vậy, a là lũy thừa bậc m của a n . thay n bằng thì = n   Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa 2 – định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu tỉ: • Định nghĩa 2 m tối giản; số thực a và giả sử n Cho m, n là các số nguyên, n > 0 và phân số a không âm khi n chẵn, thì a m n m  1n  chỉ lũy thừa m của a . Tức là a =  a  .   1 n m n Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương. Nhận xét về tài liệu [2] Lũy thừa với số mũ nguyên dương a n là tích của n thừa số a. Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương được suy ra từ tính chất của phép nhân trên tập số thực. Lũy thừa với số mũ 0, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ được mở rộng từ lũy thừa với số mũ nguyên dương theo hướng bảo toàn các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương: + Lũy thừa với số mũ 0: a 0 = 1 (a ≠ 0) . + Lũy thừa với số mũ nguyên âm a-n là nghịch đảo của an: a − n =  1n  + Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a= a=  a    r m n m trong đó 1 (a ≠ 0) . an m là phân số tối n giản và căn bậc n của a tồn tại. Do tài liệu [2] không trình bày về lũy thừa với số mũ vô tỉ nên chúng tôi chưa biết được cách tiếp cận định nghĩa này từ cách định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ như trên. 2. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [3] Tài liệu này chỉ trình bày khái niệm lũy thừa của một số (lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số thực bất kì), không trình bày về hàm số lũy thừa. Lũy thừa của một số Tài liệu [3] không trình bày cụ thể về lũy thừa với số mũ nguyên như tài liệu [2]. Các kiến thức này được trình bày ngắn gọn như sau: Nếu x là một số thực bất kì, ta biết rằng xk (với k là số nguyên dương ≥ 2) được định nghĩa là tích của k thừa số, tất cả đều bằng x. Ta kí hiệu: x1 nghĩa là chính nó; khi x ≠ 0, x0 bằng 1, x-k bằng 1 (k = 1, 2, 3, …). Vì thế xp được định nghĩa cho k x mọi số nguyên p. Định nghĩa này thỏa 3 quy tắc cơ bản sau: x p x q = x p + q , x p . y p = ( xy ) ; ( x p ) = x pq . Từ các quy tắc này có thể suy ra được các quy tắc khác. q p Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ cũng được định nghĩa dựa trên căn bận n của một số thực. Tài liệu [3] không trình bày định nghĩa căn bậc n của một số, mà chỉ đưa ra nhận định: Cho a là số thực dương, căn bậc n của a là số thực mà lũy thừa bậc n của nó bằng a. Từ nhận định này, tài liệu [3] đưa ra định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu m tỉ: Cho a > 0, a n = n a m (m , n ∈ ; n > 0) . Lũy thừa với số mũ thực Quá trình định nghĩa lũy thừa với số mũ thực có thể được tóm tắt như sau: Cho (x n ) là dãy hữu tỉ đơn điệu tăng, (y n ) là dãy hữu tỉ đơn điệu giảm sao cho: xn ≤ yn với mọi n và hiệu số d n = y n – x n tạo thành một dãy có giới hạn là 0. Khi đó ta được một dãy các khoảng lồng nhau thắt dần, trong đó khoảng thứ n là ( xn ; yn ) . Dãy các khoảng lồng nhau thắt dần này được kí hiệu là ( xn | yn ) . Dãy các khoảng lồng nhau thắt dần này có giao duy nhất, giả sử là s và được kí hiệu: ( xn | yn ) = s . Cho ( xn | yn ) = s là dãy các khoảng lồng nhau thắt dần bất kì và số thực dương a. Khi đó ( a xn | a yn ) với a > 1 hoặc ( a yn | a xn ) với a < 1 cũng là dãy các khoảng lồng nhau thắt dần, như vậy chúng có giao duy nhất là phần tử δ. Ta kí hiệu: δ = as . Sau đó, tài liệu [3] đưa ra nhận xét: khi s là số hữu tỉ thì định nghĩa này hoàn toàn phù hợp với các định nghĩa đã được xây dựng trước đó. Nhận xét tài liệu [3] Các kiến thức về lũy thừa với số mũ nguyên được trình bày giống tài liệu [2]. m n Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa cho cơ số dương: a = ( a) n m . Lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa cho cơ số dương, khái niệm này được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số: aα là giới hạn của dãy số ( a xn ) , trong đó ( xn ) là dãy số hữu tỉ có giới hạn là α. 3. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [1] Lũy thừa của một số Tài liệu này không trình bày định nghĩa và các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên. Tuy nhiên trong phần nhận xét mà tài liệu này nêu ra sau khi định nghĩa hàm số mũ cơ số e: “Mệnh đề: exp1 = e . 1 n Cho tới lúc này thì kí hiệu et được định nghĩa với t ∈ ℤ hay t = , n ∈ ℕ*. Ta thấy expt trùng với et trong hai trường hợp này” (Giải tích 2, tr.6). Đoạn trích trên chứng tỏ tài liệu [1] đã thừa nhận định nghĩa và các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên. Lũy thừa với số mũ bất kì được định nghĩa thông qua hàm số mũ cơ số a. Quá trình này có thể được tóm tắt theo sơ đồ sau: Hàm số logarit nêpe → Hàm mũ → Hàm logarit cơ số a → hàm mũ cơ số a → Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực. Hàm logarit nêpe Hàm logarit nêpe, ký hiệu là ln, ánh xạ từ *+ vào ℝ định nghĩa như sau: x dt . t 1 ∀x ∈  , ln x =∫ * + Hàm mũ Vì ánh xạ ln : *+ →  liên tục, tăng nghiêm ngặt, và vì lim ln = +∞ , +∞ lim ln = −∞ , nên ánh xạ ln có ánh xạ ngược, ánh xạ ngược này được gọi là hàm mũ, + 0 ký hiệu là exp :  → *+ . Sau khi xây dựng xong hàm mũ, tài liệu [1] đưa ra nhận xét: “Cho tới lúc này 1 n thì kí hiệu et được định nghĩa với t ∈ ℤ hay t = , n ∈ ℕ*. Ta thấy expt trùng với et trong hai trường hợp này. Như vậy chúng ta có thể thác triển kí hiệu et cho trường hợp t ∈ ℝ bằng cách đặt: ∀x ∈ , et =exp t ” (Giải tích 2, tr.10). Hàm logarit cơ số a Hàm logarit cơ số a, kí hiệu là log a , là ánh xạ từ *+ vào ℝ được xác định ln x . ln a như sau: ∀x ∈ *+ , log a x = Hàm mũ cơ số a log a . Hàm mũ cơ số a, kí hiệu là exp a , là ánh xạ từ ℝ vào *+ ngược với ánh xạ Hàm số mũ cơ số a có các tính chất sau: , y exp a x ⇔= x log a y • ∀( x, y ) ∈ (  × *+ ) = 2 • ∀x ∈ , exp a x =e x ln a • Hàm số exp a thuộc lớp C ∞ trên  và ∀x ∈ *+ , ( exp a ) '( x) =( ln a )( exp a x ) • exp a (0) = 1 exp a ( x ) .exp a ( y ) • ∀( x, y ) ∈  2 , exp a ( x + y ) = 1 exp a x • ∀x ∈ , exp a (− x) = • ∀a ∈ (1; +∞) \ {1}, ∀x ∈ , exp 1 x = a 1 exp a x Sau khi xây dựng xong hàm mũ cơ số a, tài liệu [1] nhận xét: “Cho đến lúc này thì kí hiệu ax đã được định nghĩa khi ( a ∈ *+ và x ∈ ℤ hay 1 , x ∈ * ), hoặc khi x a = e. Trong các trường hợp đó, ta có: ln ( a x ) = x ln a , do đó ax = exp a (x).  ln ( exp a x ) = x ln a Như vậy, ta có thể thác triển kí hiệu ax ra trường hợp x ∈ ℝ bằng cách định nghĩa: ∀x ∈ , a x =exp a x .” (Giải tích 2, tr.12) Sau đó, tài liệu [1] trình bày lại các tính chất của exp a khi thay kí hiệu exp a x bởi a x . Như vậy, aα là giá trị của hàm số exp a tại α, với a là một số thực dương và α là một số thực bất kì. Hàm số lũy thừa Hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm số mũ cơ số e: “Cho α ∈ ℝ, hàm số lũy thừa với số mũ α là ánh xạ từ *+ vào ℝ, ở đây được kí hiệu là pα và được xác định như sau: ∀x ∈ *+ , pα ( x)= xα= eα ln x .” (Giải tích 2, tr.15) Vì hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm số mũ nên hàm số lũy thừa có đầy đủ các tích chất của hàm số mũ. Tài liệu [1] trình bày chi tiết về hàm số lũy thừa p α : → 0 , và do đó ta có thể thác triển liên tục phải hàm Nếu α > 0 thì eα ln x  x → 0+ số p α bằng cách đặt p α (0) = 0. Ánh xạ pα thuộc lớp C ∞ trên (0 ; +∞) và : α α ln x  ' (α −1) ln x α e= α eα −1 pα ( x) = e = x ∀x ∈ (0; +∞),  α −2  pα''=  ( x) α (α − 1) x Nếu α > 0 thì p α khả vi tại 0 và pα' (0) = 0 . → +∞ . Nếu α < 0 thì p α không khả vi tại 0 và pα' (0)  x → 0+ Bảng biến thiên của hàm số p α : Trường hợp α < 0 0 x ' Trường hợp α > 0 +∞ x – pα ( x) +∞ 0 ' + pα ( x) +∞ +∞ pα ( x) pα ( x) 0 0 Đồ thị của hàm số lũy thừa Nhận xét tài liệu [1] Lũy thừa với số mũ nguyên tuy không được trình bày, nhưng ngầm ẩn chúng được hiểu như trong tài liệu [2] và [3]. Lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa cho cơ số dương: aα là giá trị của hàm số exp a tại α. Mặc dù lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa không theo hướng mở rộng như trong tài liệu [2] và [3] nhưng khi α là số nguyên thì định nghĩa này hoàn toàn phù hợp với các kiến thức về lũy thừa đã biết trước đó. Như vậy, các tính chất của lũy thừa được bảo toàn. Hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm mũ cơ số e: ∀x ∈ *+ , pα ( x)= xα= eα ln x . Hàm số lũy thừa có tập xác định là (0 ; +∞) với mọi số mũ α, và là hàm số đơn điệu. Kết quả phân tích trên cho thấy sự xuất hiện độc lập của lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa. Chúng đều là kết quả của việc xây dựng hàm số mũ cơ số a. Kết quả phân tích tài liệu [1] có những nét tương đồng với kết luận về sự mở rộng khái niệm lũy thừa trong luận văn “Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thông” của Nguyễn Hữu Lợi. Kết quả về tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa trong luận văn này được tóm tắt như sau: Có 2 tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa từ số mũ nguyên dương sang số mũ thực: Tiến trình 1: “hàm logarit nêpe → hàm mũ e → lũy thừa cơ số e → hàm mũ cơ số a → lũy thừa cơ số a” (Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, tr.22). Trong tiến trình này, lũy thừa với số mũ thực trước hết được định nghĩa cho cơ số e. Các tính chất của ex (x ∈ ℝ) là cơ sở để xây dựng hàm mũ cơ số a (a > 0). Lũy thừa với số mũ thực bất kì được định nghĩa từ hàm số mũ cơ số a, các tính chất của lũy thừa cũng được suy ra từ tính chất của hàm số mũ cơ số a. Tiến trình 2: “hàm lôgarit nêpe → hàm mũ e → lũy thừa thực cơ số e → lũy thừa thực cơ số a” (Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, tr.22). Trong tiến trình này, lũy thừa với số mũ thực trước hết cũng được định nghĩa cho cơ số e, kết quả này là cơ sở để xây dựng lũy thừa với số mũ thực cơ số a (a > 0) . Tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a được suy ra từ tính chất của ex. Kết quả phân tích cho thấy tiến trình xây dựng lũy thừa của một số trong tài liệu [1] giống tiến trình 1 trong luận văn của Nguyễn Hữu Lợi. KẾT LUẬN 1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương được định nghĩa là tích của n thừa số a: a n = a.a. ... .a . Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương được suy ra từ tính   n thöøa soá chất của phép nhân trên tập số thực. 2. Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm được mở rộng từ lũy thừa với số mũ nguyên dương theo hướng bảo toàn tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương. + Lũy thừa với số mũ 0: a 0 = 1 (a ≠ 0) . + Lũy thừa với số mũ nguyên âm a −n a−n = là nghịch đảo của a n : 1 (n ∈  + ) . an 3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: kết quả về lũy thừa với số mũ hữu tỉ được tóm tắt như sau: Bảng 1.2. Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu tỉ Định nghĩa 1  1n  a= a=  a    r m n m Định nghĩa 2 m n trong đó a= a= r m ∈ ℤ, n ∈ ℤ + , phân số m n n a m trong đó a > 0 , m ∈ ℤ, n ∈ ℤ + . Định nghĩa 3 aα = exp a α trong đó a > 0. 1 tối giản và a n tồn tại. 4. Lũy thừa với số mũ thực: kết quả về lũy thừa với số thực được tóm tắt như sau: Bảng 1.3. Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ thực Định nghĩa 1 aα = lim a rn trong đó lim rn = α , a > 0 . Định nghĩa 2 a x = exp a x trong đó a > 0 . Hai định nghĩa này cũng là hai cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ. 5. Các quy tắc tính lũy thừa được bảo toàn với mọi số mũ. 6. Hàm số lũy thừa được định nghĩa dựa vào hàm số mũ cơ số e: