Tài liệu Một nghiên cứu didactic về dạy và học phân số ở bậc tiểu học lào

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Saysopha Vatthana MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY VÀ HỌC PHÂN SỐ Ở BẬC TIỂU HỌC LÀO LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Saysopha Vatthana MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY VÀ HỌC PHÂN SỐ Ở BẬC TIỂU HỌC LÀO Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Người Hướng Dẫn Khoa Học TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Với tình cảm chân thành cảm ơn, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, giảng viên khoa Toán - Tin của trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, người đã mang lại cho chúng tôi những tri thức, những kinh nghiệm quí báu về tư duy, kiến thức Didactic Toán và hợp đồng Didactic Toán, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi hoàn thành Luận văn đúng thời hạn. Xin chân thành cảm ơn trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Khoa Toán - Tin, Phòng Khoa học công nghệ - sau đại học trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và làm Luận văn. Xin trân trọng biết ơn các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ lớp Cao học khoá 21 chuyên ngành “ Lý luận và phương pháp dạy học môn bộ Toán ”. Xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn trong lớp học Didactic Toán trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh thì giúp đỡ tôi về mọi mặt. Do điều kiện thời gian và năng lực, chắc chắn Luận văn còn nhiều khiếm khuyết, chúng tôi kính mong các thầy giáo, cô giáo và các đồng nghiệp góp ý để Luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng được trong thực tiễn. TÁC GIẢ SAYSOPHA VATTHANA MỤC LỤC MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 I. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1 II. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................... 2 III. Khung lý thuyết tham chiếu ........................................................................................ 2 IV. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 2 CHƯƠNG I ................................................................................................................ 3 ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC VIỆT NAM 3 I. Khái niệm số phân số trong chương trình tiểu học Việt Nam ..................................... 3 II. Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học......................................... 5 1.Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học ................................ 5 2. Một số ảnh hưởng của dạy học khái niệm số tự nhiên lên đối tượng ............. 20 III. Kết luận chương I ...................................................................................................... 25 CHƯƠNG 2. ............................................................................................................ 26 ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ ........................................................................................ 26 TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC LÀO .................................................... 26 I. Nội dung sách giáo khoa Lào .................................................................................... 26 II. Kết luận chương II ..................................................................................................... 44 CHƯƠNG III ........................................................................................................... 45 THỰC NGHIỆM ..................................................................................................... 45 I. Mục đích của thực nghiệm ........................................................................................... 45 II. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................................... 45 III. Phân tích tiên nghiệm................................................................................................. 46 IV. Phân tích hậu nghiệm................................................................................................. 56 1. Mô tả thực nghiệm ..................................................................................... 56 2. Phân tích chi tiết các kết quả thực nghiệm ................................................ 56 V. Kết luận chương III .................................................................................................... 59 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 61 0 MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY VÀ HỌC PHÂN SỐ Ở BẬC TIỂU HỌC LÀO MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Phân số chiếm một vi trí quan trọng trong chương trình toán ở trường tiểu học và là kiến thức không thể thiếu được trong đời sống. Tuy nhiên thực tế dạy học chỉ ra rằng, trong các đối tượng tri thức gắn liền với phân số như các phép tính phân số, so sánh phân số luôn đặt ra những khó khăn cho học sinh. Chẳng hạn : - 2 2  5 3 2 1 3 khi cộng hai phân số thì sai lầm kiểu này hay xuất hiện   5 3 8 khi so sánh hai phân số thì sai lầm kiểu này hay xuất hiện Như vậy, việc nghiên cứu về dạy học phân số ở trường tiểu học trở nên thực sự cần thiết, vì nó cho phép hiểu rõ hơn những điều kiện và ràng buộc của quá trình truyện thụ tri thức gắn liền với phân số, phép tính các loại phân số, và như vậy những khó khăn của học sinh trong việc học tập khái niệm này. Ở nước Lào dã có những chiến lược đổi mới chương trình, nội dung giáo dục và phương pháp giảng dạy cho giáo viên. Nhưng trong chương trình hiện tại thì chương trình SGK vẫn đang trong giai đoạn triển khai biên soạn và thử nghiệm. Chúng tôi nghĩ rằng việc nghiên cứu về đối tượng phân số đặc biệt là phép tính và so sánh phân số sẽ cho hiểu rõ hơn điều kiện và ràng buộc trên đối tượng này trong thể chế dạy học tiểu học Lào. Vì vậy, việc nghiên cứu những khó khăn của học sinh khi học về phân số là điều cần thiết. không những giải thích được thực tế dạy học các phân số và cải thiện việc dạy này mà cung cấp những hiểu biết sư phạm về đối tượng này cho nhà soạn chương trình và viết sách, nhất là trong bối cảnh đổi mới sách giáo khoa Lào hiện nay. 1 II. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài này là nghiên cứu sách giáo khoa bậc tiểu học của nước Lào, về việc giảng dạy và học về phân số, tài liệu hướng dẫn của giáo viên, một số tài liệu khác và quan trọng nhất là thực tế giảng dạy phân số ở bậc tiểu học để trả lời những câu hỏi sau đây: 1. Phân số đã được đưa vào trong chương trình và sách giáo khoa toán tiểu học ở những lớp nào? Phân số được giới thiệu trong chương trình sách giáo khoa bậc tiểu học như thể nào ? 2. Những sai lầm thường gặp của học sinh Lào khi học về phân số ? Chúng xuất phát từ những nguyên nhân nào ? 3. Làm thể nào để khắp phục những khó khăn đó ? III. Khung lý thuyết tham chiếu Cơ sở lý luận của luận văn này chủ yếu đựa vào:  Lý thuyết nhân chủng học.  Hợp động Đidactic  Lý thuyết tình huống IV. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được mục đích trên, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau:  Tổng kết về mối quan hệ thế chế với đối tượng phân số đã được nghiên cứu ở Việt Nam.  Phân tích chương trình sách giáo khoa toán và các tài liệu của giáo viên về việc giảng dạy phân số bậc tiểu học của nước Lào. Nhằm xác định mối quan hệ của thế chế với đối tượng phân số. Phân tích này sẽ cho phép thấy rõ các ràng buộc thế chế và hợp đồng thế chế liên quan đến việc giảng dạy phân số.  Xây dựng các tình huống thực nghiệm nhằm nghiên cứu ứng xử và khó khăn của học sinh trong việc học phân số. 2 CHƯƠNG I ĐỐI TƯỢNG PHÂN SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TIỂU HỌC VIỆT NAM Trong chương này chúng tôi tổng hợp lại các kết quả nghiên cứu của Dương Hữu Tòng (2012) I. Khái niệm số phân số trong chương trình tiểu học Việt Nam Giáo trình Đỗ Đình Hoan đề cập các nội dung sau : * Hình thành khái niệm phân số Ở Tiểu học, khái niệm phân số được xây dựng theo hướng sau: số biểu thị một cặp số tự nhiên(a, b), trong đó b chỉ số phần bằng nhau của một đơn vị và a chỉ số phần bằng nhau lấy ra, được rồi là phân số. Số đó được biểu diễn dưới dạng Ở SGK Toán 4 còn giới thiệu còn nêu lên mối quan hệ giữa khái niệm phân số với phép chia hai số tự nhiên. Như vậy, bao giờ cũng có thể dùng phân số để ghi lại kết quả của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên khác 0. Điều này cho phép coi một số tự nhiên là phân số có mẫu số là 1. a b Việc xây dựng số mới có dạng = (b ≠ 0 ) như trên làm cho các phương trình có dạng b × x= a ( b≠ 0) luôn luôn có nghiệm. * Tính chất cơ bản của phân số Giáo trình đề cập hai tính chất cơ bản của phân số: - “Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho” - “Nếu ta nhân hay chia số bị chia và số chia của một phép chia với cùng một số tự nhiên khác 0 thì giá trị của thương vẫn không thay đổi”. * Rút gọn phân số Ở Tiểu học, HS không được học các khái niệm ước số, ước số chung, ước số chung lớn nhất của nhiều số, nên vấn đề “Rút gọn phân số” được mô hình như sau: 3  c a = a c  Phân số đã cho là . Phân số phải tìm sao cho:  d b b d c < a và d < b * Qui đồng mẫu số các phân số Ở Tiểu học, HS không được học các khái niệm bội số, bội số chung, bội số chung lớn nhất của nhiều số, nên vấn đề “Qui đồng mẫu số các phân số” được mô hình như sau: Các phân số đã cho là cho: a c m n sao = . Các phân số được qui đồng là và b d p p a m c n = mà a < m và b < p; = mà c < n và d < p. d p b p Chú ý: Việc qui đồng mẫu số các phân số chỉ tiến hành trên các phân số có mẫu số bé hơn hoặc bằng 10. • So sánh các phân số • So sánh hai phân số cùng mẫu số Nhờ phương tiện trực quan, việc so sánh hai phân số được quy về việc so sánh hai tử số như cách so sánh hai số tự nhiên. * So sánh phân số với 1 Viết số 1 thành phân số có tử số và mẫu số đều bằng mẫu số của phân số, rồi so sánh hai phân số có cùng mẫu số. Nhưng ì tử số của phân số biểu thị số 1 bằng mẫu số của phân số đã cho, nên việc so sánh phân số với 1 được quy về so sánh tử số với mẫu số của phân số đã cho. * So sánh hai phân số khác mẫu số - Hướng giải quyết: + Qui đồng mẫu số hai phân số đã cho. + So sánh hai phân số cùng mẫu số đã qui đồng (so sánh hai tử số). Từ đó rút ra kết luận về so sánh hai phân số đã cho. Cộng trừ hai phân số Giáo trình đề cập như sau: - Cộng hai phân số cùng mẫu số. Tổng nhiều phân số cùng mẫu số. Tổng của số tự nhiên và phân số, hoặc tổng của phân số và số tự nhiên. 4 - Cộng hai phân số khác mẫu số. - Trừ hai phân số cùng mẫu số, trừ hai phân số khác mẫu số, số tự nhiên trừ đi phân số, phân số trừ đi số tự nhiên. Nhân hai phân số Dựa vào bài toán đơn để hình thành phép nhân phân số với số tự nhiên, trên cơ sở đó chuyển thành phép nhân phân số với phân số. Chẳng hạn, 1 1 3 3 ×3= × = . 4 4 1 4 - So sánh, đối chiếu: tử số của phân số chỉ kết quả của phép nhân với tử số của hai phân số; mẫu số của phân số chỉ kết quả phép nhân các mẫu số của hai phân số trong các phép nhân. - Nêu kĩ thuật nhân hai phân số: tử số nhân tử số, mẫu số nhân mẫu số. - Qui tắc này có thể mở rộng cho việc nhân nhiều phân số. Chia hai phân số Dựa vào bài toán đơn để hình thành phép chia phân số cho số tự nhiên, trên cơ sở đó chuyển thành phép chia phân số cho phân số. Chẳng hạn: rồi viết thành 1 3 ÷ 2 1 Bằng phương tiện trực quan, HS nhận thấy rằng: hóa: 1 ÷3 2 1 1 ÷ 3 = . Hình thức 2 6 1 1 1 1 ÷ 3 = × = Sau đó, nêu quy tắc tổng quát. 2 2 3 6 * Các tính chất của phép toán trên phân số Vì tập hợp phân số là sự mở rộng tập hợp số tự nhiên nên mọi tính chất phép toán trên số tự nhiên đều áp dụng được trên phân số. Trong SGK, các tính chất này được đưa vào phần luyện tập thực hành. Chẳng hạn: - Tính chất giao hoán của phép cộng, của phép nhân. - Tính chất kết hợp của phép cộng, của phép nhân. - Một tổng nhân một số, một số nhân một tổng II. Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học 1.Khái niệm phân số trong chương trình toán ở bậc tiểu học 5 a. Cách hình thành khái niệm phân số trong SGK SGK hình thành khái niệm phân số như sau: Chia hình tròn thành 6 phần bằng nhau, tô màu vào 5 phần. Ta nói: Đã tô màu vào năm phần sáu hình tròn. Ta viết: 5 5 , đọc là năm phần sáu. Ta gọi là phân số. 6 6 Phân số 5 có tử số là 5, mẫu số là 6. 6 Mẫu số là số tự nhiên viết dưới dấu gạch ngang. Mẫu số cho biết hình tròn được chia thành 6 phần bằng nhau. Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Tử số cho biết 5 phần bằng nhau đã được tô màu. SGK giới thiệu khái niệm phân số qua việc chia cái toàn thể thành b phần bằng nhau. Sau đó, lấy a phần trong tổng số b phần đó. Như vậy có được phân số a . Cách trình bày này phù hợp với cách được đề cập trong các giáo trình b phương pháp dạy học Toán. Ngoài ra, SGK còn nêu lên cách viết mẫu số, tử số và điều kiện của mẫu số thông qua nhận xét sau: “Mỗi phân số có tử số và mẫu số”. Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch ngang”. Chúng ta thấy xuất hiện ở đây một quy tắc (R1) của hợp đồng didactic: Khi tính toán với các phân số, HS không có trách nhiệm kiểm tra mẫu số khác 0, nhưng HS có nhiệm vụ phải đưa ra một kết quả theo yêu cầu của bài toán. Có lẽ cũng vì ảnh hưởng của hợp đồng này mà SG 2006 đưa ra chú ý như sau: “GV chỉ nên cho HS nhận biết phân số có tử số và mẫu số đều là số tự nhiên, mẫu số phải khác không. Chưa nên giải thích gì thêm”. Ngoài ra, SGK còn tiếp cận phân số như là kết quả của phép chia của hai số tự nhiên mà số chia khác 0 thông qua bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ TỰ NHIÊN”: “Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần của cái bánh”. 6 3 4 SGK trình bày: 3 ÷ 4 = . Đến đây, ta thấy được cách giới thiệu phân số có sự phối hợp của 2 cách mà đã được đề cập trước đó: xuất phát từ nhu cầu thực tế và nhu cầu của nội bộ toán học. Nhu cầu thực tế ở chỗ: SGK đưa ra tình huống như trên có từ thực tiễn cuộc sống. Đó là kết quả của những phép chia không hết. Chứng tở, trong thực tế có những tình huống cho phép làm nảy sinh khái niệm số mới – phân số. Nhu cầu nội bộ toán học ở chỗ: Khái niệm phân số ra đời cho phép thực hiện mọi phép chia thông qua nhận xét sau trong SGK: “Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia”. Ngầm ẩn sau đó, phân số ra đời còn có một ý nghĩa khác. Nó cho phép mọi phương trình đại số dạng a × x = b luôn có nghiệm. Thêm ào đó, nhận xét này cho chúng ta thấy một quy tắc (R2) của hợp đồng didactic: Có thể coi dấu gạch ngang của phân số như dấu chỉ phép chia (:). Bên cạnh đó, tác giả cũng nêu lên mối quan hệ của một phần tử của tập N với tập số Q*: “Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số là số tự nhiên đó à có mẫu số bằng 1”. Mối quan hệ sẽ tỏ ra rất hữu dụng khi thực hiện các phép tính sau này. - Tiếp đó, cần dạy HS tính chất cơ bản của phân số, SGK trình bày chủ đề: phân số bằng nhau. Kiến thức này rất cần thiết cho việc học quy đồng mẫu số các phân số, so sánh hai phân số, làm tính ới các phân số. Phân số bằng nhau được tác giả giới thiệu qua mô hình trực quan: - Chia hai băng giấy bằng nhau. Băng giấy thứ nhất được chia thành 4 phần, lấy 3 phần. Băng giấy thứ 2 được chia thành 8 phần, lấy 6 phần. 7 Ta được 3 6 3 6 3× 2 6 6 ÷ 2 3 = , với nhận xét rằng: = ; = . Rút ra kết luận: = . 4 8 4 8 4× 2 8 8 ÷ 2 4 Và SGK cũng giới thiệu nhận xét: “Nếu nhân hay chia tử số à mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì ta được phân số bằng phân số đó”. Kết luận này cho HS một quy tắc (R3) ngầm ẩn của hợp đồng didactic: Để tìm một phân số bằng một phân số đã cho, có thể nhân hay chia tử số à mẫu số của một phân số đó với cùng một số tự nhiên khác 0. Điều này được thấy rõ qua việc phân bố bài tập trong SGK. Có tới 3 bài tập gồm nhiều câu có liên quan đến kết luận trên. Có thể nói rằng, nhờ quy tắc này mà HS có được điều kiện thuận lợi để giải quyết các bài tập có liên quan đến dạng toán này. Khác với SGK 2003, SGK hiện hành đưa thêm hai nội dung có liên quan đến phân số là rút gọn và quy đồng mẫu số các phân số. Bên cạnh được học so sánh hai phân số cùng mẫu số, HS cũng được học so sánh hai phân số khác mẫu số bằng cách quy đồng mẫu số các phân số. Vì ở tiểu học, HS chưa được học ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất nên để tìm mẫu số chung ta chỉ việc nhân hai mẫu số với nhau. Nhận xét: Phân số được nghiên cứu ở lớp 2, lớp 3 ở góc độ ẩn tàng. Khi đó nó chỉ được xem như là “công cụ ngầm ẩn” để giải quyết các tình huống. Trong khi đó, ở lớp 4 phân số được nghiên cứu như là một “đối tượng” tường minh. HS chính thức được tìm hiểu nó qua các hình thành, nghiên cứu các tính chất cơ bản. Từ đó, phân số trở thành “công cụ tường minh” để giải quyết các kiểu nhiệm vụ bên dưới đây. b. Tổ chức toán học liên quan đến khai niệm phân số Kiểu nhiệm ụ T 1 : “Tìm phân số bằng phân số đã cho” SGK đề cập nhiều bài tập có liên quan T. Chẳn hạn, câu B bài tập 1 như sau: 2 18 3 56 3 ; ; ; = = = = 3 8 60 32 4 4 16 * Đặc trưng của nhiệm vụ: phân số mới cần tìm được cho mẫu số hay tử số. 8 Kĩ thuật 1: + Nếu phân số mới cho biết mẫu số, tìm số để mẫu số của phân số thứ nhất nhân (hoặc chia) với số đó bằng với mẫu số của phân số thứ hai. Sau đó, nhân (hoặc chia) tử số của phân số thứ nhất với số vừa tìm được để có được tử số của phần số thứ hai. + Ngược lại, nếu phân số mới cho biết tử số, tìm số để tử số của phân số thứ nhất nhân (hoặc chia) với số đó bằng với tử số của phân số thứ hai. Sau đó, nhân (hoặc chia) mẫu số của phân số thứ nhất với số vừa tìm được để có được mẫu số của phân số thứ hai. Công nghệ θ 1 : Yếu tố công nghệ của kiểu nhiệm vụ này được để cập tường minh trong SGK ở trang 111: * Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho. * Nếu chia hết tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho. Kiểu nhiệm vụ T 2 : “Rút gọn phân số” Một ví dụ cho kiểu nhiệm vụ được tình bày trong SGK: Ví dụ 2: Rút gọn phân số 18 54 Ta thấy: 18 à 54 đều chia hết cho 2, nên 18 18 ÷ 2 9 = = 54 54 ÷ 2 27 9 và 27 đều chia hết cho 9, nên: 9 9 ÷9 1 = = 27 27 ÷ 9 3 1 và 3 không cùng chia hết cho số nào lớn hơn 1, nên 1 là phân số tối 3 giản. Vậy: 18 1 = 54 3 Kĩ thuật 2: được nhắc đến một cách rõ ràng ở trang 113, SGK, như sau: Khi rút gọn phấn số có thể làm như sau: 9 * Xét xem tử số à mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1. * Chia tử số à mẫu số cho số đó. Cứ làm như thế cho đến khi nhận được phân số tối giản. Công nghệ θ 2 : Hai phân số bằng nhau Lý thuyết O 2 : Yếu tố công nghệ θ1 sẽ là yếu tố lý thuyết để giải thích cho công nghệ θ 2 Kiểu nhiệm vụ T 3 : “Quy đồng mẫu số hai phân số” Sau đây là đoạn trích trong SGK 1 2 và . 3 5 Nhận xét: Khi quy đồng mẫu số hai phân số * Ta lấy tử số và mẫu số của phân số 1 2 nhân với mẫu số của phân số 3 5 * Ta lấy tử số và mẫu số của phân số 1 2 nhân với mẫu số của phân số 3 5 * Đặc trưng của kiểu nhiệm ụ: hai mẫu số không chia hết cho nhau hoặc một trong hai mẫu số có mẫu số này chia hết cho mẫu số kia. Kĩ thuật τ 3a : đặc trưng cho hai phân số có mẫu số không chia hết cho nhau, được trình bày tường minh trong SGK: Khi quy đồng mẫu số hai phân số ta có thể làm như sau: * Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai. * Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất. Khi một trong hai mẫu số chia hết cho mẫu số còn lại, ta có một kĩ thuật τ 3b như sau: Giả sử phân số thứ hai có mẫu số chia hết cho mẫu số của phân số thứ nhất. * Tìm số sao cho mẫu số của phân số thứ nhất nhân với số đó bằng mẫu số của phân số thứ hai * Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với số vừa tìm được để được phân bố mới có mẫu số phân số thứ hai. Giữ nguyên phân số thứ hai. 10 Để hiểu rõ hơn về kĩ thuật τ 3b , chúng tôi xin trích dẫn một ví dụ trong SGK Ví dụ: Quy đồng hai phân số 7 5 và 6 12 Ta thấy: mẫu số của phân số 5 7 chia hết cho mẫu số của phân số (12 : 6 12 Ta có quy đồng hai phân số 7 5 7 7 × 2 14 như sau:= = và giữ nguyên và 6 12 6 6 × 2 12 6). phân số 5 12 Công nghệ θ3 : Mẫu số chung của hai phân số, hai phân số bằng nhau. Lý thuyết O 3 : Phép nhân hai số tự nhiên, tính chất cơ bản của phân số. Kiểu nhiệm vụ T 4 : “So sánh hai phân số” Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: hai phân số có cùng mẫu số, hai phân số có cùng tử, hai phân số khác mẫu số. Dựa trên đặc trưng trên, chúng tôi chia thành 3 kiểu nhiệm vụ nhỏ như sau: So sánh hai phân số cũng mẫu số, so sánh hai phân số khác mẫu số, so sánh hai phân số cùng tử số. Kiểu nhiệm ụ T 4a : “So sánh hai phân số cùng mẫu số” Chúng tôi đưa ra một ví dụ trong SGK đại diện cho kiểu nhiệm vụ: Ví dụ: So sánh hai phân số 2 3 và 5 5 Kĩ thuật τ 4a được trình bày tường minh trong SGK như sau: Muốn so sánh hai phân số có cùng mẫu số, ta chỉ cần so sánh hai tử số: phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn; phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn; nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau. Công nghệ θ 4a : được trình bày trong SGK: Trong hai phân số cùng mẫu số: * Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn. * Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn. * Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau. 11 Lý thuyết O 4a : Cách hình thành khái niệm phân số, so sánh hai số tự nhiên. Kiểu nhiệm ụ T 4b : “So sánh hai phân số khác mẫu số” Một ví dụ đại diện cho kiểu nhiệm vụ này được làm rõ trong SGK: Ta có thể so sánh hai phân số 2 3 và 3 4 * Quy đồng mẫu số hai phân số 2 3 và 3 4 2 2× 4 8 3 3× 3 9 ; = = = = 3 3 × 4 12 4 4 × 3 12 * So sánh hai phân số cùng mẫu số: * Kết luận: 8 9 < ( vì 8 < 9 ) 12 12 2 3 < 3 4 Kĩ thuật τ cd 1 : chia đối tượng. Chẳng hạn, so sánh hai phân số Nhìn trên hình vẽ ta thấy: phần tô màu chỉ phân số màu chỉ phân số 3 nhiều hơn phần tô 4 2 2 3 , nên < . 3 3 4 Công nghệ - lý thuyết θ cd 1 : phần tô màu chỉ phân số màu chỉ phân số 2 3 và 3 4 3 nhiều hơn phần tô 4 2 2 3 , nên < . 3 3 4 Công nghệ - lý thuyết θ cd 1 : phần tô màu chỉ phân số nào nhiều hơn lớn hơn thì lớn hơn. So sánh diện tích của hai hình. * Nhận xét: Rõ ràng, kĩ thuật này mang đến cho HS tính trực quan cao. Tuy nhiên, kỹ thuật này không cho phép HS giải quyết bài toán có phân số không thực sự à 12 mẫu số của phân số lớn. Thật vậy, khi mẫu số của phân số càng lớn thì học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc chi nhỏ đối tượng. Tóm lại, cách giải này có tính trực quan, cho phép dự đoán kết quả,nhưng chưa góp phần giải quyết chung cho mọi cặp phân số khác mẫu số. Kĩ thuật τ qdm được phát biểu trong SGK như sau: Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó, rồi so sánh tử số của hai phân số mới. Công nghệ 4b : Quy đồng mẫu số hai phân số, so sánh hai phân số cùng mẫu số Lý thuyết O 4b : Hai phân số bằng nhau, cách hình thành khái niệm phân số, so sánh số tự nhiên. * Nhận xét: - Kĩ thuật qđm cho phép HS giải quyết chung bài toán đối với mọi cặp phân số khác mẫu số. Đây cũng là cách giải mà SGK mong muốn HS cần nắm vững. Kĩ thuật này đòi hỏi phải liên hệ kiến thức đã học trước đó: quy đồng mẫu số hai phân số, so sánh hai phân số cùng mẫu số. - Quá trình HS huy động các kiến thức đã học và có liên quan đến vấn đề cần giải quyết không chỉ giúp HS làm quen với cách giải quyết một vấn đề của bài học mà còn giúp HS nhận ra sự cần thiết phải chuẩn bị các kiến thức trước đó. Đó chính là logic của chương trình SGK Toán 4. Chẳng hạn, để dạy bài: “So sánh hai phân số khác mẫu số” thì phải chuẩn bị trước “Quy đồng mẫu số hai phân số” và “So sánh hai phân số cùng mẫu số”. Đây cũng là Từ 8 7 8 7 > 1 và 1 > ta có : > 7 8 7 8 Qua đoạn trích trên chúng tôi đề xuất một kỹ thuật τ ssl khi so sánh hai phân số mà có một phân số lớn hơn 1 và phân số còn lại nhỏ hơn 1. Kỹ thuật τ ssl : Đem so sánh hai phân số đó với 1. Phân số nào lớn hơn 1 thì phân số đó lớn hơn phân số còn lại. Công nghệ θ ssl : phân số lớn hơn 1, phân số nhỏ hơn 1. 13 Lý thuyết θ ssl : Tính chất bắc cầu của tập số Q* * Nhận xét: Kỹ thuật này chỉ cho phép giải quyết một phần của bài toán trong trường hợp a c < 1 < . Cụ thể nó không được sử dụng trong trường hợp d b a c a c , > 1 và , < 1 . Ngoài ra chúng tôi nhận thấy kỹ thuật này được đưa ra b d b d thông qua một bài tập trong SGK mà không được dạy qua phần hình thành kiến thức mới của bài học. Kiểu nhiệm vụ T 4c : “So sánh hai phân số cùng tử số” Nói chung, kiểu nhiệm vụ này không được trình bày trong phần hình thành kiến thức mới như hai kiểu nhiệm vụ trên. Nó chỉ được nhắc đến thông qua bài tập 3 Bài tập 3: So sánh hai phân số có cùng tử số: b) So sánh hai phân số Kỹ thuật 8 9 8 9 và ; và 11 14 9 11 - So sánh hai mẫu số của hai phân số - Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn. SGK: τ qdr : Công nghệ θ qdr được trình bày dưới dạng in nghiêng trong sách giáo khoa như một ghi nhớ mà học sinh cần thuộc: Trong hai phân số có tử số bằng nhau, phân số nào có tử số bé hơn thì phân số đó lớn hơn. Nhận xét trên cho thấy một quy tắc (R4) của hợp đồng didactic: Khi so sánh hai phân số khác mẫu số thì có thể quy đồng tử số của chúng rồi so sánh các mẫu số. Lý thuyết Θ qdt ta biết tính chất sau: Với a,b,c là các số tự nhiên khác 0 và b>c thì a a 1 1 < , cũng suy ra được < . Yếu tố lý thuyết khá trừu tượng so với b c b c học sinh tiều học. Do đó nó khong được nhắc đến trong SGK cũng như SGV. Kiểu nhiệm vụ T 5 : “Sắp xếp các dãy phân số theo thứ tự từ bé đến lớn” 14 Sau đây là một ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm vụ này. Nó được trình bày tróng SGK: Bài tập 4: Viết các phân số theo thứ tự từ bé đến lớn: 2 5 3 b) ; ; 3 6 4 6 4 5 a) ; ; 7 7 7 * Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: các phân số được cho có cùng mẫu số hoặc không cùng mẫu số. * Kỹ thuật τ 5 : - Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không - Nếu các phân số có cùng mẫu số thì sắp xếp các phân số được quy về như là sắp xếp các tử số. -Nếu các phân số không cùng mẫu số thì phải quy đồng mẫu số. Sau đó tiếp tục thực hiện như bước 2. * Công nghệ θ 5 : So sánh hai phân số cùng mẫu số, so sánh hai phân số không cùng mẫu số. * Lý thuyết Θ 5 : Quan hệ thứ tự của cấp số Q* Kiểu nhiệm vụ T 6 : “Cộng hai phân số” Bài tập 1: SGK: Tính 2 3 a) + 3 5 3 5 b) + 4 4 3 7 c) + 8 8 d) 35 7 + 25 25 * Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ hai phân số được cho có cùng mẫu số hoặc không cùng mẫu số. * Kỹ thuật τ 6 : - Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không - Nếu các phân số cùng mẫu số thì ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số. - Nếu các phân số không cùng mẫu số thì ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi cộng hai phân số đó. 15 Kỹ thuật τ 6 được trình bày dưới dạng hai quy tắc trong SGK ở trang 126, 127. * Công nghệ θ 6 : Cộng hai số tự nhiên, quy đồng mẫu số hai phân số. * Lý thuyết Θ 6 : Định nghĩa phép cộng trên tập số Q* Kiếu nhiệm vụ T 7 “Cộng một số tự nhiên với một phân số” hoặc “Cộng một phân số với một số tự nhiên” Bài tập 1: SGK: Tính a )3 + 2 3 3 b) + 5 4 c) 12 +2 21 *Kỹ thuật τ 7 : - Đưa số tự nhiên về phân số có mẫu số bằng 1 - Sau đó, quy về cộng hai phân số không cùng mẫu số. * Công nghệ θ 7 : Mọi số tự nhiên có thể viết thành một phân số có tử số là số tự nhiên đó và có mẫu số bằng 1, cộng hai phân số không cùng mẫu số. * Lý thuyết Θ 7 : Mối quan hệ giữa 1 phân tử thuộc tập N và tập Q*, định nghĩa phép cộng trên tập số Q*. Kiểu nhiệm vụ T 8 : “Trừ hai phân số” Bài tập 1: SGK: Tính a) 15 7 − 16 16 9 3 c) − 5 5 7 3 b) − 4 4 d) 17 12 − 49 49 Bài tập 1: SGK {Tr.130}: Tính 4 1 a) − 5 3 5 3 b) − 6 8 8 2 c) − 7 3 5 3 d) − 3 5 * Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ: hai phân số được cho có cùng mẫu số hoặc không cùng mẫu số, số bị trừ bao giờ cũng lớn hơn số trừ. *Kỹ thuật τ 8 : - Kiểm tra xem, các phân số được cho có cùng mẫu số hay không - Nếu các phân số có cùng mẫu số thì ta trừ các tử số với nhau và giữ nguyên mấu số. 16