Tài liệu Một nghiên cứu didactic về dạy học hệ bất phương trình bặc nhất hai ẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Nhung MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẶC NHẤT HAI ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Nhung MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tiếp đến, tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tình giảng dạy, truyền thụ những kiến thức quý báu về didactic toán trong suốt hai năm của chương trình đào tạo thạc sỹ chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn toán của PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh. Ngoài ra, tôi cũng cảm ơn những chỉ dẫn, giải thích của PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về chuyên ngành này. Bên cạnh đó, tôi cũng xin cảm ơn Phòng sau đại học, khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho chúng tôi học tập và nghiên cứu. Sau nữa, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Ngô Gia Tự, Cam Ranh, Khánh Hòa đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi tham gia khóa học. Đồng thời, tôi cũng cảm ơn các đồng nghiệp của tôi ở các trường: THPT Ngô Gia Tự, THPT Nguyễn Thái Học, THPT Phan Bội Châu đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Ngoài ra, tôi cũng rất cảm ơn các anh chị, các bạn trong cùng ngành didactic, đặc biệt là các bạn và các em cùng học lớp didactic toán khóa 21 đã giúp đỡ, chia sẻ cùng tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lòng tri ân đến những người trong gia đình tôi, những người đã tạo mọi điều kiện cả về vật chất lẫn tinh thần để tôi hoàn thành khóa học này. Nguyễn Thị Nhung MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT PHẦN MỞ ĐẦU .........................................................................................................1 I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.........................................................1 II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu .........................................3 III. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn ...............................................6 Chương 1: MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN .......................................................................................................................7 1.1 Vài kiểu nhiệm vụ :............................................................................................7 1.1.1. Kiểu nhiệm vụ “lập kế hoạch sản xuất” .....................................................8 1.1.2.Kiểu nhiệm vụ “xác định khẩu phần thức ăn”.............................................8 1.1.3. Kiểu nhiệm vụ “phân bổ vốn đầu tư” .........................................................9 1.1.4. Kiểu nhiệm vụ “lập tiến độ sản xuất ” .....................................................10 1.2. Bài toán tối ưu hóa tổng quát ..........................................................................11 1.3. Phương pháp giải bài toán QHTT...................................................................14 1.3.1. Phương pháp hình học ..............................................................................14 1.3.2.Phương pháp đơn hình: .............................................................................17 1.3.2.1. Đường lối chung..............................................................................17 1.3.2.2. Các kiểu nhiệm vụ ...........................................................................18 Kết luận chương 1 ........................................................................................24 Chương 2: NGHIÊN CỨU VỀ QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN................................................................................................25 2.1. Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình toán lớp 10 hiện hành.............................................................................................26 2.2. Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK toán lớp 10 hiện hành ................................................................................................................28 2.2.1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK toán lớp 10 hiện hành ........28 2.2.2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK toán lớp 10 hiện hành ..31 Tổng kết chương 2 ..............................................................................................38 Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ................................................................40 Kết luận .....................................................................................................................57 Chương 4: MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ....................................................................58 4.1. Thực nghiệm đối với GV ................................................................................58 4.1.1. Giới thiệu bộ câu hỏi thực nghiệm và mục đích xây dựng ......................58 4.1.2. Phân tích các câu trả lời thu được ............................................................61 4.2. Thực nghiệm đối với HS ................................................................................64 4.2.1. Câu hỏi thực nghiệm và mục đích xây dựng ............................................65 4.2.2. Phân tích thực nghiệm ..............................................................................66 a) Phân tích tiên nghiệm ...............................................................................66 b) Phân tích hậu nghiệm ...............................................................................75 Kết luận chương 4 ........................................................................................81 KẾT LUẬN ...............................................................................................................82 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK : sách giáo khoa SGV : sách giáo viên CT : chương trình GV : Giáo viên HS : Học sinh TCTH : tổ chức toán học KTHH : kỹ thuật hình học KTĐS : kỹ thuật đại số PATU : phương án tối ưu QHTT : quy hoạch tuyến tính PA : phương án KNV : kiểu nhiệm vụ QHTT : Quy hoạch tuyến tính 1 PHẦN MỞ ĐẦU I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát • Ghi nhận đầu tiên và nhóm câu hỏi thứ nhất Trong những năm gần đây, một quan điểm được thừa nhận rộng rãi trong việc thực hiện mục tiêu của giáo dục là phải chuẩn bị cho học sinh (HS) khả năng áp dụng kiến thức một cách linh hoạt vào các bối cảnh và các vấn đề mới, hình thành thói quen tự học và học tập suốt đời. Để góp phần hoàn thành mục tiêu giáo dục theo quan điểm ấy, chương trình (CT) và sách giáo khoa (SGK) tiến hành nhiều lần cải cách, sửa đổi cho phù hợp với thời đại. Một trong những vấn đề được thay đổi đó là: “Các nội dung được sắp xếp lại để tăng cường ứng dụng hoặc hỗ trợ giữa các môn. Đối với các môn văn hóa, nguyên tắc đảm bảo tính thực tiễn được thực hiện thông qua việc tăng cường tích hợp, liên hệ nội dung môn học với thực tiễn cuộc sống, địa phương, đất nước hoặc đưa ra những nội dung ứng dụng thông tin mới về kinh tế- xã hội vào môn học” [14, tr.6] Nói riêng cho môn toán, một trong những phương hướng đổi mới CT và SGK toán là “Tăng cường những nội dung thực tiễn, thiết thực, những điều gần gũi với cuộc sống của HS” . Để thực hiện phương hướng này, SGK toán bậc phổ thông đã đưa vào nhiều ví dụ và bài tập gắn với thực tế mà trong số đó, có khá nhiều bài xuất hiện ở phần “Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”. Điều này có nghĩa là phần tri thức về bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những tri thức tạo ra sự gắn kết giữa toán học và thực tế. Nói cách khác, ghi nhận trên đã dẫn chúng tôi đến với nhóm câu hỏi nghiên cứu thứ nhất được phát biểu như sau : Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có những ứng dụng gì? CT và SGK toán 10 tính đến các ứng dụng của nó như thế nào? Vấn đề mô hình hóa được CT, SGK quan tâm đến mức độ nào? • Ghi nhận tiếp theo và nhóm câu hỏi thứ hai : Ngoài ra, theo quan sát của chúng tôi, CT và SGK toán lớp 10 chỉ sử dụng đồ thị khi giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, còn các phương pháp đại số thì không được nói đến. Điều này khác hẳn với việc giải những 2 dạng phương trình, hệ phương trình đã và sẽ được nghiên cứu trong CT toán trung học phổ thông. Thế nhưng sự lựa chọn này đã không được giải thích. Sự thay đổi kỹ thuật giải như thế ảnh hưởng thế nào đến HS? Chúng tôi đã tiến hành một thực nghiệm nhỏ trên 87 HS lớp 10 ngay sau khi học xong phần bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng việc yêu cầu họ giải hai bài toán sau: 2 0  x + 2x − 3 = 3  x − 5x + 3 < 0 “1) Tìm tất cả các giá trị x thỏa mãn hệ:   x − y + 1 =0 ” 2) Tìm tất cả các cặp số (x,y) thỏa mãn hệ:  2x − 3y + 5 ≤ 0 Bảng dưới đây trình bày thống kê mà chúng tôi có được khi phân tích phương pháp giải mà HS đã sử dụng. Trong bảng, chúng tôi xếp vào cột KTHH (kỹ thuật hình học) những lời giải có sử dụng đồ thị. Cột KTĐS (kỹ thuật đại số) gồm những lời giải chỉ chịu sự can thiệp của các phép biến đổi đại số. KTĐS KTHH Không làm Câu 1 100% 0% 0% Câu 2 14,8% 67% 8,2% Đối với bài toán thứ nhất, phương pháp giải của các em giống nhau: tìm nghiệm của phương trình rồi thay vào bất phương trình để thử tính đúng sai, từ đó kết luận về nghiệm của hệ. Ở bài toán thứ 2, chỉ 14,8% HS sử dụng KTĐS: rút x theo y (hoặc y theo x) từ phương trình rồi thay vào bất phương trình để tìm điều kiện của y (hoặc x), từ đó đưa ra kết luận. KTHH có thể áp dụng cho bài toán 2 là: vẽ các đường thẳng tương ứng rồi gạch bỏ phần mặt phẳng không thỏa mãn điều kiện bài toán. 67% HS sử dụng KTHH nhưng trong đó có 60% cho lời giải sai do không gạch bỏ phần mặt phẳng không thỏa mãn phương trình. Điều đáng nói là đối với bài toán này KTĐS có thể mang lại một lời giải khá dễ dàng, ngắn gọn. Chúng tôi đã phỏng vấn một số HS dùng KTHH để tìm hiểu lý 3 do vì sao KTĐS không xuất hiện trong lời giải bài toán 2. Các em cho rằng vì chỉ được học cách dùng đồ thị để giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn đó và không biết đến phương pháp nào khác. Kết quả thực nghiệm này làm chúng tôi băn khoăn: Điều gì đã tác động đến HS trong việc lựa chọn cách giải này? Ở cả hai hệ đưa ra, chúng tôi đều tạo điều kiện cho HS sử dụng các biến đổi đại số để giải, tại sao KTHH vẫn là lựa chọn đầu tiên của đa số HS khi giải câu hỏi 2? Ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến nhóm câu hỏi thứ hai: Để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, CT và SGK đã lựa chọn những kỹ thuật nào để giải? Có đúng là KTĐS hoàn toàn không được xem xét đến như ghi nhận ban đầu của chúng tôi khi lướt qua SGK đại số 10 hay không ? Sự lựa chọn của CT, SGK đã ảnh hưởng ra sao đến thực tế dạy và học ? Liệu giáo viên (GV) có quan tâm đến việc đa dạng hóa các kỹ thuật giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? GV có làm rõ lý do tại sao phải dùng công cụ hình học không? HS có thực sự làm chủ KTHH trong việc giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn hay không? II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích tổng quát của luận văn này là tìm câu trả lời cho hai nhóm câu hỏi nêu trên. Để làm điều đó, chúng tôi vận dụng lý thuyết didactic toán, cụ thể là thuyết nhân học với các khái niệm quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế, tổ chức toán học, tổ chức didactic và khái niệm hợp đồng didactic. Chúng tôi sẽ giải thích ngắn gọn dưới đây lý do của sự lựa chọn này. Nhóm câu hỏi thứ hai liên quan đến việc tìm hiểu ảnh hưởng của sự lựa chọn thực hiện bởi CT, SGK đại số 10 lên hoạt động dạy của GV và ứng xử của HS khi làm việc với các bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Điều này gắn với thuật ngữ “quan hệ cá nhân của X đối với O” mà Chevallard đã đề nghị : “Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với đối tượng O là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có đối với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó,…Quan hệ cá nhân với đối với đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết về O” [20, tr.315]. Đối tượng O mà chúng tôi quan tâm là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, còn cá nhân X là người ở vị trí GV hay HS. 4 Nhưng một cá nhân luôn phải ở trong ít nhất một thể chế. Điều đó cho thấy, việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp tất cả các tác động qua lại mà I có đối với O. Điều này chỉ ra rằng muốn nghiên cứu R(X,O) ta phải đặt nó trong R(I,O). Thể chế I mà chúng tôi quan tâm ở đây là thể chế dạy học theo CT đại số 10 hiện hành. Trong khuôn khổ của Thuyết nhân học do Chevallard đặt nền móng, việc phân tích các tổ chức toán học (TCTH) liên quan đến đối tượng tri thức O sẽ cho phép làm rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O. Ngoài ra nghiên cứu các TCTH cũng là một công cụ để phân tích thực tế dạy học mà chúng tôi sẽ tiến hành sau này. Nhóm câu hỏi thứ nhất liên quan đến kỹ thuật giải và ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Khi nghiên cứu thực hành giảng dạy của GV, chúng tôi muốn tìm hiểu xem GV có quan tâm hay không đến phương diện này (và câu hỏi đó liên quan đến vấn đề mô hình hóa toán học). Những KNV nào có thể được xem xét khi GV muốn HS biết được ứng dụng của O ? Khái niệm “tổ chức didactic” sẽ là công cụ giúp chúng tôi phân tích hoạt động của GV trong lớp học. Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic cho phép chúng tôi giải thích được cách ứng xử của GV và HS, tìm ra nguyên nhân và ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành, từ đó giải thích được một số sự kiện quan sát được trên lớp học. Hơn nữa, khái niệm hợp đồng didactic cho phép chúng tôi lý giải một số sai lầm của HS mà ta có thể dự đoán trước. Bên cạnh đó, vì quan tâm đến vấn đề áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết bài toán thực tế nên chúng tôi cũng phải sử dụng đến khái niệm mô hình hóa toán học. Mô hình hóa toán học (mà trong luận văn chúng tôi sẽ gọi tắt là mô hình hóa) là quá trình giải quyết một vấn đề ngoài toán học bằng công cụ toán học. Liên quan đến khái niệm này, bạn đọc có thể tìm thấy nhiều tài liệu viết bằng tiếng nước ngoài hay tiếng Việt. Về phần mình, chúng tôi đã tham khảo : • Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông, Nhà Xuất bản đại học quốc gia TP HCM. 5 • Quách Huỳnh Hạnh (2009), Nghiên cứu thực hành giảng dạy thống kê mô tả ở trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học sư phạm TP HCM. • Lê Thị Hoài Châu (2011), Dạy học thống kê ở trường phổ thông và vấn đề nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh, Tạp chí KHOA HỌC, Đại học sư phạm TP HCM, số 25 năm 2011. Có những sơ đồ khác nhau đã được đưa ra để mô tả quá trình mô hình hóa. Tuy nhiên, về bản chất thì chúng giống nhau. Do khuôn khổ có hạn của luận văn, chúng tôi chỉ nhắc lại ở đây 4 bước cơ bản của quá trình mô hình hóa trình bày theo sơ đồ dưới đây do Kaiser và Blum đề nghị. Khi phân tích sự tồn tại của đối tượng “mô hình hóa” trong thể chế được xem xét, chúng tôi sẽ tham khảo mô hình này. Mô hình thực tế (b) (a) Tình huống thực tế Mô hình toán học (c) (d) Kết quả toán học Trong khuôn khổ lý thuyết tham chiếu đã chọn, câu hỏi ban đầu được trình bày cụ thể bằng 4 câu hỏi cụ thể sau: CH1: Hệ bất phương trình hai ẩn có thể có những ứng dụng nào ? kỹ thuật giải nào được nhắc đến thông qua những ứng dụng này? CH2: Trong CT và SGK toán lớp 10, đối tượng O (hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn) tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự lựa chọn đó? Vấn đề mô hình hóa có được thể chế đặt ra ? CH3: Trong thực tế dạy học, GV đã đưa vào những KNV nào ? Họ có chú ý đến những kiểu nhiệm vụ ngoài toán học hay không ? Đâu là sự khác biệt cũng như tương đồng giữa tri thức cần dạy và tri thức được dạy? GV hiểu như thế nào về sự lựa chọn KTHH để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? CH4: Cách trình bày của SGK về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có ảnh hưởng như thế nào đối với quan hệ cá nhân của GV và HS với đối tượng này? 6 III. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn CH1 không phải là một câu hỏi didactic, nhưng trả lời được nó lại là điều kiện đầu tiên không thể thiếu để có thể đề cập đến việc nghiên cứu quan hệ thể chế với đối tượng O. Vì thế, chương thứ nhất của luận văn được dành cho việc nghiên cứu CH1.Phạm vi ứng dụng của mỗi tri thức toán học nói chung là vô cùng rộng lớn mà kiến thức của một cá nhân thường không thể phủ kín. Điều đó lại càng đúng đối với hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – đối tượng O mà chúng tôi xem xét. Vì thế, chúng tôi sẽ giới hạn nghiên cứu vai trò công cụ của O trong việc giải các bài toán QHTT. Kết quả đạt được ở chương 1 sẽ là cơ sở tham chiếu cho việc nghiên cứu câu hỏi CH2. Câu trả lời cho CH2 liên quan đến việc nghiên cứu quan hệ thể chế. Để làm rõ quan hệ thể chế R(I,O), chúng tôi tìm hiểu CT, tài liệu hướng dẫn GV, SGK, kèm theo đó là SGV và sách bài tập. Nghiên cứu các tài liệu này nhằm chỉ rõ cách trình bày không chỉ đối tượng O mà cả những tri thức liên quan đến nó (như phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn) và những TCTH gắn với chúng. Câu hỏi CH3 liên quan đến thực hành dạy học của GV. Tham chiếu những kết quả đạt được trong hai chương đầu, chúng tôi dự đoán những gì có thể tồn tại trong lớp học, phân tích các điều kiện, ràng buộc ảnh hưởng đến hoạt động dạy của GV. Đặc biệt, chúng tôi quan tâm đến việc làm rõ : - GV giải thích ra sao về sự lựa chọn KTHH để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ? Họ có tính đến sự đa dạng hóa kỹ thuật giải hay không ? - Vấn đề mô hình hóa được họ tính đến thế nào khi xem xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn về phương diện công cụ? Kết quả phân tích thực hành dạy học của GV được trình bày ở chương 3 Sau những gì quan sát được từ thực tế dạy học của GV, thông qua nghiên cứu thực nghiệm, chúng tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu thêm quan hệ của GV và hơn nữa là của HS đối với đối tượng O nhằm kiểm chứng những giả thuyết rút ra từ chương 2. Nghiên cứu thực nghiệm được trình bày ở chương 4. Kết thúc chương này cũng đồng nghĩa với việc chúng tôi đã tìm ra yếu tố trả lời cho câu hỏi còn lại là CH4. 7 Chương 1: MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Mở đầu Như đã nói, để tìm hiểu ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng tôi giới hạn phạm vi toán học để nghiên cứu là Quy hoạch tuyến tính (QHTT). Sự lựa chọn này có hai lý do. Thứ nhất, đây là một ngành toán học ứng dụng, nên trong đó ta có thể gặp những vấn đề ngoài toán học được giải quyết bằng công cụ toán học. Điều này liên quan trực tiếp đến đề tài nghiên cứu của luận văn. Thứ hai, trong QHTT ta gặp nhiều bài toán có sự can thiệp của phương trình, bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Những giáo trình đại học được chúng tôi sử dụng cho việc nghiên cứu này bao gồm: - Tối ưu hóa tuyến tính, Nguyễn Thành Cả, 2007, Nxb Thống kê. - Lý thuyết – Bài tập – Bài giải quy hoạch tuyến tính tối ưu hóa, Lê Khánh Luận, 2009, Nxb Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh. - Quy hoạch tuyến tính và ứng dụng trong kinh tế, Lê Văn Phi, 2004, Nxb Giáo dục. - Tối ưu hóa- Giáo trình cho ngành tin học và công nghệ thông tin, Nguyễn Hải Thanh, 2006, Nxb Bách khoa- Hà Nội. - Quy hoạch tuyến tính, Đặng Hấn, 1995, Nxb Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh. Khi nghiên cứu các tài liệu này, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ : - một số kiểu nhiệm vụ tiêu biểu (ngoài toán học) mà lời giải đòi hỏi sự can thiệp của các hệ phương trình, bất phương trình bậc nhất - những kỹ thuật giải có thể dùng cho hệ bất phương trình bậc nhất 1.1 Vài kiểu nhiệm vụ : Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số các bài toán thực tế tìm thấy trong cuốn sách “Tối ưu hóa tuyến tính” của tác giả Nguyễn Thành Cả. 8 1.1.1. Kiểu nhiệm vụ “lập kế hoạch sản xuất” Để người đọc dễ tiếp cận, chúng tôi không nêu các kiểu nhiệm vụ ở dạng tổng quát mà chỉ đưa ra mỗi ví dụ cho một trường hợp. Điều này cũng thuận lợi hơn cho chúng tôi khi tham chiếu để phân tích CT, SGK dành cho bậc phổ thông, nơi mà các bài toán khái quát phức tạp không có mặt. Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất giấy hiện có số lượng Bột gỗ và Chất hồ keo tương ứng là 5.580m3 và 9 tấn. Các yếu tố sản xuất khác có số lượng lớn. Xí nghiệp có thể sản xuất ra 3 loại giấy A, B, C. Biết mức tiêu hao các loại nguyên liệu để sản xuất ra 1 tấn giấy thành phẩm cho trong bảng sau (Bảng định mức kinh tế- kỹ thuật): Nguyên liệu Sản phẩm A B C Bột gỗ (m3) 1,5 1,8 1,6 Chất hồ keo (kg) 2 3 2,4 Ngoài ra, giả sử rằng sản phẩm sản xuất ra đều có thể tiêu thụ được hết với lợi nhuận khi sản xuất 1 tấn giấy A, B, C tương ứng là 2,7: 3,6: 3 (triệu đồng). Yêu cầu lập kế hoạch sản xuất tối ưu. Vấn đề này dẫn đến bài toán : tìm x j , j = 1, 2, 3 sao cho : f = 2,7x 1 + 3,6x 2 + 3x 3 → max với hệ ràng buộc : 1, 5x + 1, 8x + 1, 6x ≤ 5.580 1 2 3  2x1 + 3x 2 + 2, 4x 3 ≤ 9000  1, 3  x j ≥ 0, j = 1.1.2.Kiểu nhiệm vụ “xác định khẩu phần thức ăn” Ví dụ: Giả sử để sinh sống trong một ngày đêm, mỗi người cần ít nhất 70g Protit, 30g Lipit và 420g Gluxit. Hàm lượng các chất trên có trong 1g thức ăn A và B như sau: 9 Chất dinh dưỡng Thức ăn A B Protit (g) 0,1 0,2 Lipit (g) 0,1 0,1 0,7 0,6 Gluxit (g) Ngoài ra, biết giá của mỗi gam thức ăn A và B tương ứng là 40đ và 60đ. Hãy xác định khối lượng thức ăn tối ưu cần mua. Để giải quyết kiểu nhiệm vụ trên người ta có thể đưa về giải bài toán sau: Tìm x 1 , x 2 sao cho : f = 40x 1 + 60x 2 → min Với hệ ràng buộc : 0,1x1 + 0, 2x 2 ≥ 70  0,1x1 + 0,1x 2 ≥ 30  0, 7x1 + 0, 6x 2 ≥ 420  x ≥ 0, x ≥ 0 2  1 1.1.3. Kiểu nhiệm vụ “phân bổ vốn đầu tư” Ví dụ: Một nhà đầu tư có 2 tỉ đồng muốn đầu tư vào 4 lĩnh vực: chứng khoán, công trái, gửi tiết kiệm và bất động sản. Biết lãi suất hàng năm của lĩnh vực đầu tư như sau: Lĩnh vực đầu tư Lãi suất hàng năm Chứng khoán 20% Công trái 12% Gửi tiết kiệm 10% Bất động sản 15% Ngoài ra, để giảm thiểu mức rủi ro, nhà đầu tư cho rằng không nên đầu tư vào chứng khoán vượt quá 40% tổng vốn đầu tư, còn đầu tư vào công trái và gửi tiết kiệm phải ít nhất là 25% tổng vốn đầu tư và tiền gởi tiết kiệm phải ít nhất là 100 triệu đồng. 10 Hãy xác định kế hoạch phân bổ vốn đầu tư sao cho tổng thu nhập hàng năm là lớn nhất. Vấn đề này dẫn đến bài toán : Tìm x j , j = 1, 4 sao cho : f = 0,2x 1 + 0,12x 2 + 0,1x 3 + 0,15x 4 → max Với hệ ràng buộc : 1.1.4. Kiểu nhiệm vụ “lập tiến độ sản xuất ” Ví dụ: Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm có khối lượng hợp đồng đặt hàng trong 3 tháng liên tiếp và chi phí sản xuất của mỗi đơn vị sản phẩm trong từng tháng cho trong bảng sau: Dữ liệu Tháng 1 2 3 “Khối lượng hợp đồng đặt hàng (đv) 95 90 120 Chi phí sản xuất trong thời gian thường (1.000 đ/đv) 30 32 34 Chi phí sản xuất trong thời gian phụ trội (1.000 đ/đv) 34 36 38 (Chi phí sản xuất khác nhau trong từng tháng là do dự đoán các thay đổi trong chi phí nguyên liệu và tiền lương của tháng đó) Năng lực sản xuất của nhà máy là 100 đv/tháng với thời gian thường (làm trong giờ) và 15 đv/tháng với thời gian phụ trội (làm ngoài giờ). Chi phí lưu kho cho 1 đv sản phẩm không bán được là 2.000 đ/tháng. Nhà máy không có đơn vị hàng nào vào đầu tháng 1 và mong muốn có ít nhất 5 đơn vị hàng vào cuối tháng 3. Ngoài ra, giả sử sản phẩm sản xuất ra đều được cung cấp ngay cho người đặt hàng cho đến lúc đủ khối lượng hợp đồng. Vấn đề này dẫn đến bài toán : Tìm x j , yj , z j , j = 1, 3 sao cho : f = 30x 1 + 32x 2 + 34x 3 +34y1 + 36y2 + 38y3 + 2z 1 + 2z 2 + 2z 3 → min Với hệ ràng buộc : 11  95  x1 + y1 − z1 =  90  x 2 + y 2 + z1 − z 2 = x + y + z − z = 120 3 2 3  3 z3 ≥ 5  1, 3 0 ≤ x j ≤ 100, j =  1, 3 0 ≤ y j ≤ 15, j =  1, 3 z j ≥ 0, j = 1.2. Bài toán tối ưu hóa tổng quát Những kiểu nhiệm vụ nêu trên người ta đều có thể chuyển thành bài toán tìm cực trị của một hàm số (gọi là hàm mục tiêu) với có hay không có hệ ràng buộc đối với các biến số. Trong trường hợp có hệ ràng buộc thì bài toán tối ưu hóa được gọi là bài toán quy hoạch toán học. Tùy theo dạng toán học của hàm mục tiêu và các ràng buộc là tuyến tính hay phi tuyến tính mà ta có QHTT hay quy hoạch phi tuyến tính (gọi tắt là quy hoạch phi tuyến). Trong nhiều trường hợp, bài toán quy hoạch phi tuyến tính có thể chuyển về tuyến tính.  Bài toán QHTT dạng tổng quát : Một bài toán QHTT là một mô hình toán tìm cực tiểu (min) hoặc cực đại (max) của hàm mục tiêu tuyến tính với các ràng buộc là bất đẳng thức và đẳng thức tuyến tính. Dạng tổng quát của một bài toán QHTT quy ước viết như sau: Tìm x j , j = 1, 2, …, n sao cho: = f n ∑c x j=1 j j → min (max) (1) với hệ ràng buộc: ≤    a ij= xj  = bi , i 1, 2,..., m ∑ j=1 ≥    ≤    x j ≥ 1, 2,..., n  0, j =  tuy y    n (1) được gọi là hàm mục tiêu ( 2) (3) 12 (2) được gọi là các ràng buộc chung. (3) được gọi là các ràng buộc dấu (của biến) A = (a ij ) m×n : Ma trận hệ số ràng buộc. B = (b 1 , b 2 ,…, b m ): Ma trận hệ số tự do. X = (x 1 , x 2 ,…, x n )T : Ma trận ẩn. C = (c 1 , c 2 , …, c n )T : Ma trận chi phí. Các ẩn ứng với các véc tơ đơn vị trong ma trận ràng buộc A được gọi là các ẩn cơ sở. Ẩn cơ sở ứng với các vectơ cột thứ i được gọi là ẩn cơ sở thứ i. Các ẩn còn lại gọi là các ẩn không cơ sở (ẩn tự do). Véc tơ x = (x 1 , x 2 , …, x n )T được gọi là phương án (PA) hay lời giải chấp nhận được của bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán. Một PA mà các ẩn không cơ sở đều bằng 0 được gọi là PA cơ bản. Một PA cơ bản có đủ m thành phần dương gọi là PA cơ bản không suy biến. Ít hơn m thành phần dương gọi là suy biến. Phương án x* = (x* 1 , x 2 *,…, x n *)T được gọi là phương án tối ưu (PATU)của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đó là tốt nhất. Giải bài toán QHTT tức là tìm PATU của nó (nếu có). Hai bài toán QHTT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có chung tập hợp các PATU.  Dạng chính tắc Bài toán QHTT dạng chính tắc là bài toán QHTT có tất cả các ràng buộc chung đều ở dạng đẳng thức và tất cả các biến đều không âm.  Dạng chuẩn Bài toán QHTT dạng chuẩn là bài toán QHTT dạng chính tắc thỏa mãn hai điều kiện: + Các hằng số ở vế phải của các ràng buộc chung đều không âm + Mỗi ràng buộc chung có biến cơ bản tương ứng. Mọi bài toán QHTT dạng tổng quát đều có thể chuyển về dạng chính tắc nhờ vào cách sử dụng các ẩn phụ. Ẩn phụ được thêm vào theo nguyên tắc sau: 13 n  Nếu điều kiện ràng buộc có dạng ∑ a ij x j ≥ bi thì ta cộng thêm vào vế trái một j=1 ẩn phụ không âm x n+i ≥ 0 với hệ số -1 để biến thành phương trình n ∑a x j=1 ij j − x n +i = bi  Nếu điều kiện ràng buộc có dạng n ∑a x j=1 ij j ≤ bi thì ta cộng thêm vào vế trái một ẩn phụ không âm x n+i ≥ 0 với hệ số 1 để biến thành phương trình n ∑a x j=1 ij j + x n +i = bi . Việc thêm các ẩn phụ này chỉ nhằm chuyển các bất phương trình về phương trình chứ không ảnh hưởng gì đến hàm mục tiêu (hệ số c j tương ứng với ẩn phụ x j trong hàm mục tiêu thì bằng 0). Ngoài ra, nếu ẩn xj trong bài toán QHTT dạng tổng quát có điều kiện xj ≤ 0 thì ta thay xj = - yj với yj ≥ 0, còn với xj tùy ý thì ta thay x j = xj/ - xj// với xj/ ≥ 0, xj // ≥ 0. Tuy nhiên, tất cả các bài toán QHTT dạng chính tắc (nếu chưa có dạng chuẩn) lại có thể chuyển về dạng chuẩn bằng cách dùng các ẩn giả. Cách làm này gồm các bước sau: - Bước 1: Nếu trong bài toán dạng chính tắc có 1 số hạng tự do b i nào đó âm, ta đổi dấu hai vế để được b i > 0. - Bước 2: Ta thêm vào mỗi phương trình trong hệ ràng buộc một ẩn giả không âm x n+i ≥ 0 với hệ số 1. Khi đó, trong hàm mục tiêu f(x) → min, các ẩn giả có hệ số M (một số lớn hơn bất kỳ số nào cần so sánh), còn trong hàm mục tiêu f(x) → max, các ẩn giả có hệ số - M Vậy với việc dùng thêm ẩn phụ (để chuyển từ bài toán tổng quát sang bài toán chính tắc) và ẩn giả (để chuyển bài toán chính tắc sang bài toán chuẩn), ta có thể chuyển mọi bài toán QHTT về dạng chuẩn tắc. Điều này cho thấy rằng việc giải mọi bài toán QHTT đều quy về giải bài toán dạng chuẩn tắc tương ứng. 14 1.3. Phương pháp giải bài toán QHTT Để giải một bài toán QHTT, chúng ta có khá nhiều phương pháp giải, chẳng hạn như: phương pháp hình học, phương pháp đơn hình, phương pháp điểm trong, phương pháp ellipsoid, …Tuy nhiên, do mục đích nghiên cứu ở đây là tìm cơ sở tham chiếu cho việc phân tích CT, SGK sau này, chúng tôi chỉ chọn phân tích phương pháp hình học và phương pháp đơn hình vì tính dể hiểu, phổ biến và gần gũi với phổ thông của chúng. 1.3.1. Phương pháp hình học Phương pháp hình học không có ý nghĩa nhiều đối với các bài toán có nhiều ràng buộc và ẩn số. Tuy nhiên, việc sử dụng phương pháp hình học cũng là một cách để chứng minh các tính chất của bài toán QHTT. Lưu ý rằng phương pháp hình học chỉ dùng cho bài toán QHTT có số biến là 2 hoặc 3, hay những bài toán QHTT có thể đưa về dạng 2, 3 biến. Do sự tương đồng trong lời giải bài toán 2 biến và 3 biến, chúng tôi sẽ chỉ trình bày cách giải cho trường hợp thứ nhất. Theo ngôn ngữ của Thuyết nhân học, bài toán được phát biểu thành kiểu nhiệm vụ sau : Tìm x = (x 1 , x 2 )T sao cho: f = c 1 x 1 + c 2 x 2 →min (max) với hệ ràng buộc a i1 x 1 + a i2 x 2 ≥ b i , i = 1, 2, …, m. (1) Lưu ý rằng nếu (1) có dạng a ≤ b thì ta biến đổi thành – a ≥ - b, còn nếu (1) có dạng a = b thì ta biến đổi thành a ≥ b và –a ≥ -b. Các ràng buộc của biến có thể xem là các trường hợp riêng của các ràng buộc chung. Do đó, hệ ràng buộc của bài toán QHTT 2 biến luôn có thể giả thiết có dạng (1).  Kỹ thuật giải:gồm hai bước cơ bản Bước 1: Xác định miền phương án + Vẽ các đường thẳng có phương trình: a i1 x 1 + a i2 x 2 = b i (i = 1, 2, …, m) trên hệ trục tọa độ vuông góc x 1 Ox 2 . Mỗi đường thẳng trong số các đường thẳng này chia mặt phẳng tọa độ thành 2 nửa mặt phẳng. Một nửa mặt phẳng (kể cả bờ) bao gồm các điểm (x 1 , x 2 ) thỏa mãn bất phương trình a i1 x 1 + a i2 x 2 ≥ b i và nửa mặt phẳng kia (kể cả bờ) bao gồm các điểm