Tài liệu Một bài toán tìm giới hạn dãy tổng

Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A. Một số kiến thức có liên quan. Định nghĩa 1 Dãy số  un  được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un  un 1 Dãy số  un  được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un  un 1 Định nghĩa 2 Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un  M , n   * Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un  m, n   * Dãy số  un  được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho m  un  M , Định lý 1 1) Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. 2) Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Định lí 2 1) Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới  . 2) Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới  . Định lý 3 1) Nếu một dãy  un  hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ  un  cũng hội tụ đến a. 2)  un  hội tụ đến a   u2 n  và  u2 n 1  hội tụ đến a Định lý 4 1  n  u n  n 1 2) Nếu lim un   và un  0, n   thì lim 0 n  n  u n 1) Nếu lim un  0 và un  0, n   thì lim 1 n   * Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp B. Các bài toán. Bài toán 1. u1  2 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2 un 1  un  un  1, n  1 1 1 1 Tìm giới hạn sau: lim    ...   . n  u un   1 u1 (1) Lời giải   Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2 , n  1 Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được n   , un 1  un   un  1  0 , vậy  un  tăng. 2  Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được 1 1 1 1    un 1  1  un  un  1  un 1  1 un  un  1 un  1 un 1 1 1   (n  1, 2,...)   un un  1 un 1  1 Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1   ...   1  u1 u1 un un 1  1    Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a 2  a  1  a 2  2a  1  0  a  1 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: lim un    lim  un 1  1    lim n   n  n  1 un 1  1 1 1  1  1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim    ...    lim 1   1 n  u un  n  un 1  1   1 u1 1 1 1 Vậy lim    ...    1  . n  u un   1 u1 Bài toán 2.  u1  1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2 u   un , n  1  n 1 2011  2 (1) 0 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp u u u  Tìm giới hạn sau: lim  1  2  ...  n  . n  u un 1   2 u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  1  Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được un2 n   , un 1  un   0 , vậy  un  tăng. 2011 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được un2  un  un2  2011 un 1  un  un 1  2011 u  u  u  n  2001 n 1 n un 1 un .un 1      1 un 1   2011   un 1  un un 1   n  1, 2,... Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1  u u1 u2 1  1    ...  n  2011    20111   u2 u3 un 1  u1 un 1   un 1   (*) (2) Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  1 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  a2  a  a  0 (vô lý) 2011 không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: a 2) Dãy  un  1 0 n  u n 1 lim un    lim un 1    lim n  n   u u  u  1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  ...  n   lim 20111    2011 n  u un 1  n  2 u3  un 1   u u u  Vậy lim  1  2  ...  n   2011  . n  u un 1   2 u3 Bài toán 3. 3 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp u1  2  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2  2010un u , n  1   n 1 2011   u un  u Tìm giới hạn sau: lim  1  2  ...   n  u  1 u3  1 un 1  1   2 (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2 , n  1  Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được   un  un  1  0 , vậy  un  tăng. 2011 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được un2  2010un un 1   un2  2010un  2011un 1 2011  un  un  1  2011 un 1  un  n   , un 1  un    u  1   un  1 un  2011 n 1 un 1  1  un1  1 un  1   1 un 1   2011   un 1  1  un  1 un 1  1   n  1, 2,... (*) Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:  un u1 u 1   2  ...   20111   u2  1 u3  1 un 1  1  un 1  1   (2) Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  2 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  a(a  1)  a  a (a  1)  0  a  0  a  1 (vô lý) 2011 không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim  un 1  1    lim n  n  n  1 un 1  1 0   u  un  u 1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  ...   lim 20111     2011 . n  u  1 u3  1 un 1  1  n  2  un 1  1    u un  u Vậy lim  1  2  ...    2011 .  n  u  1 1 1   u u 3 n 1  2  4 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán 4. 1  u1  2  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2 u  un 1  4un 1  un 1 , n  2  n 2  1 1 1  Tìm giới hạn sau: lim  2  2  ...  2  . n  u un   1 u2 (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1  Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được un  un 1  un21  4 xn 1  un 1 2  un 1  un21  4 xn 1  un 1 2  2un 1 un21  4 xn 1  un 1 0 Suy ra:  un  tăng.  Tính tổng: un  un 1  2un 1 u 2 n 1  4 xn 1  un 1  un2   un  1 un 1    1 1 1   2 un un 1 un (n  1, 2,...) Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1 1 1 1  2  ...  2  2    6  2 u1 u2 un u1 u1 un un (*) (2) Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  a 2  4a  a  a  0 (vô lý) 2 không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: a 2) Dãy  un  lim un    lim n   n  1 0 un  1  1 1  1 Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  2  2  ...  2   lim  6    6 n  u un  n  un   1 u2 5 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số   1 1 1  Vậy lim  2  2  ...  2   6 n  u un   1 u2 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp . Bài toán 5. u1  2010 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2 un  2009un  2011un 1  1  0, n  1   1 1 1 Tìm giới hạn sau: lim    ...  . n  u  2010 u2  2010 un  2010   1 (1) Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  2010 , n  1  Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được   2  0   un  tăng. 2010 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được un2  2009un  1 2 un  2009un  2011un 1  1  0  un 1  2011 2 u  2009un  1  un 1  1  n 1 2011  u  1 un  2010   un 1  1  n 2011 1 1 1 (n=1,2,...)    un  2010 un  1 un 1  1 Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1 1 1 1   ...      u1  2010 u2  2010 un  2010 u 1  1 un 1  1 2009 un 1  1 un 1  un   u  1  n (*) Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  2010 . Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a 2  2009a  2011a  1  0  a  1 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: lim un    lim  un 1  1    lim n   n  n  1 un 1  1 0    1 1 1 1 1  1 Vì thế từ (2) ta suy ra: lim    ...   lim      n  u  2010 u2  2010 un  2010  n  2009 un 1  1  2009  1 6 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số  THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp   1 1 1 1 Vậy lim    ...   n  u  2010 u2  2010 un  2010  2009  1 . Bài toán 6. 1  u1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2009 u  2009u 2  u , n  1 n n  n 1 (1) u u u  Tìm giới hạn sau: lim  1  2  ...  n  . n  u un 1   2 u3 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1  Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được un 1  un  2009un2  0   un  tăng.  Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được 2009un2  un 1  un   2009un2 un 1  un u 1  1 1    n     unun 1 unun 1 un 1 2009  un un 1  (*) Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:  1 u u1 u2 1  1 1   1 1  1    ...  n          ...     u2 u3 un 1 2009  u1 u2   u2 u3   un un 1     (n=1,2,...) 1  1   2009   un 1  2009  Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a  2009a 2  a  a  0 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: 1 0 n  u n 1 lim un    lim un 1    lim n   n   1  u u u  1  2009  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim  1  2  ...  n   lim     1 n  u un 1  n  2009  un 1    2 u3 7 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số  u u u  Vậy lim  1  2  ...  n   1 n  u un 1   2 u3 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp . Bài toán 7. 1  u1  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  2 u  u 2  u , n  1 n n  n 1 (1)  1 1 1  Tìm giới hạn sau: lim    ...  . n  u  1 u2  1 un 1  1   1 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  3  Xét tính đơn điệu của  un  : Từ hệ thức (1) ta suy ra được un 1  un  un2  0   un  tăng.  Tính tổng: un 1  un2  un     1 un 1  1 1 1   un  un  1 un un  1 1 1 1   un  1 un un 1 (n  1, 2,...) (*) Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được: 1 1 1 1   ...   2 u1  1 u2  1 un 1  1 un 1 Do  un  là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra: 1) Dãy  un  bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  un  tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn. Giả sử lim un  a thì a  0 .Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có: n  2) Dãy  un  a  a 2  a  a  0 (vô lý) không bị chặn trên, do  un  tăng và không bị chặn trên nên: 1 0 n  u n 1 lim un    lim un 1    lim n  n    1  1 1  1  Vì thế từ (2) ta suy ra: lim    ...   lim  2   2 n  u  1 u2  1 un 1  1  n  un 1   1   1 1 1  Vậy lim    ...  2 n  u  1 u2  1 un 1  1   1 . 8 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Bài toán 8. u  1 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  1 un 1  1  u1u2 ...un , n  1 (1) 1 1 1 Tìm giới hạn sau: lim    ...   n  u un   1 u2 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  1 , n  1  Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được un 1  1  u1u2 ...un  un 1  1  un 1  u1u2 ...un 1  1  un 1  1  un  un  1   1 un 1  1  1 1 1   un  un  1 un  1 un 1 1 1   un un  1 un 1  1  n  1, 2,... 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1   ...      ...       2 u1 u2 un u1  u2 un  u1 u2  1 un 1  1 un 1  1 1 1  1 1  1 Do đó: lim    ...    lim  2   2  lim  n  u n  u un  n  un 1  1  n 1  1  1 u2 Suy ra:   Vì un 1  1  u1u2 ...un  u1 1  u1   1 1 1 1 Vậy lim    ...    2  lim 2 n  u n  un  un 1  1  1 u2 n 1  2n 1 nên lim  un 1  1   n  . Bài toán 9. u1  1 Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un 1  un  un  1 un  2  un  3  1, n  1  1 1 1  Tìm giới hạn sau: lim    ...   n  u  2 u2  2 un  2   1 Lời giải  Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un  0 , n  1 9 (1) Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số  THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được un 1  u 2 n  3un  1  un2  3un  1  un 1  1   un  1 un  2  2   Suy ra:   1 un 1  1  1  un  1 un  2  1 1  un  1 un  2  1 1 1   un  2 un  1 un 1  1 (n  1, 2,...) 1 1 1 1 1 1 1   ...      u1  2 u2  2 un  2 u1  1 un 1  1 2 un 1  1  1 1 1 1  1  1 1 Do đó: lim    ...    nlim      nlim n  u  2   u2  2 un  2  un 1  1  1  2 un 1  1  2 Vì un 1  u 2  3un  1  un 1  3un  3n 1  un 1  1  3n 1  1 nên lim  un 1  1   n   1 1 1  1 1 1 Vậy lim    ...    lim   n  u  2 u2  2 un  2  2 n un 1  1 2  1 Bài toán 10.  . u1  3  Cho dãy số thực  un  xác định bởi:  un2  2007un  2  u , n  1  n 1 2010   u  1 u2  1 u 1  Tìm giới hạn sau: lim  1   ...  n  n  u  2 u3  2 un 1  2   2 Lời giải 2 u  2007un  2 (u  1)(un  2)  Biến đổi un 1  n  un 1  un  n 2010 2010 ( 1) Vì u 1 = 3 nên 3 = u 1 < u 2 3) Suy ra limu n1 = lim un2  2007un  2 L2  2007 L  2 hay L = 2010 2010  L 2 -3L+2 = 0  L = 1 hoặc L = 2 (vô lý vì L > 3) 1 0 n  u n Do đó {u n } không bị chặn trên hay lim u n = +  hay lim  Biến đổi (1)  (u n -1)(u n -2) = 2010(u n1 -un)  un  1 1 1 = 2010 ( ) (*) un  2 un 1  2 un 1  2  Cho n lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3, ….n, sau đó cộng vế theo vế ta được: Sn =  Vậy lim S n = 2010 . n ui  1 1 = 2010 ( 1) un 1  2 i 1  2 u i 1 10 Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu- Đồng Tháp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007. [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD 2002. [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến. Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. NXBGD 2009. [4] Phạm Văn Nhâm. Một số lớp bài toán về dãy số . Luận văn thạc sĩ khoa học 2011. [5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009. [6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010. 11