Tài liệu Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong dạy học hình học lớp 12 ở việt nam

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Phong MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 12 Ở VIỆT NAM LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Phong MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 12 Ở VIỆT NAM Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS: Đoàn Hữu Hải Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Đoàn Hữu Hải, người đã nhiệt tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THPT Long Khánh tỉnh Đồng Nai, Trường Trung học thực hành ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. NGUYỄN MINH PHONG DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GDPT : giáo dục phổ thông SGK : Sách giáo khoa SBT : Sách bài tập SGV : Sách giáo viên TCTH : Tổ chức toán học THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở VTPT : vectơ pháp tuyến mp : mặt phẳng DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 1 .............................................40 Bảng 2: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 2 .............................................41 Bảng.3: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 3 .............................................43 Bảng 4: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 4 .............................................45 Bảng 4: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 5 .............................................47 Bảng 5: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 6 ..................................49 Bảng 6: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 7 ..................................52 Bảng 7: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 8 ..................................54 Bảng 8: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 1 ...................................................62 Bảng 9: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 2 ...................................................63 Bảng 10: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 3 .................................................64 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1 I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát ............................................................................ 1 II. Giới hạn phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 2 III. Khung lí thuyết tham chiếu .......................................................................................... 3 1. Thuyết nhân học sư phạm .......................................................................................... 3 2. Hợp đồng didactic ...................................................................................................... 5 IV. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 6 V. Tổ chức của luận văn .................................................................................................... 7 CHƯƠNG I: ......................................................................................................................... 8 MỘT VÀI NÉT VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ........... 8 I. Hình học giải tích thời cổ đại ......................................................................................... 8 1. Apollonius (262-190 TCN) ........................................................................................ 8 2. Kết luận ...................................................................................................................... 9 II. Hình học giải tích thế kỉ 17-18 .................................................................................... 10 1. Rene Descartes (1596-1650) .................................................................................... 10 2. Pierre de Fermat (1601-1665) .................................................................................. 14 3. Kết luận .................................................................................................................... 15 III. Những phát minh sau Descartes và Fermat ............................................................... 15 1. Tóm tắt sự phát triển ................................................................................................ 15 2. Kết luận .................................................................................................................... 16 CHƯƠNG 2 : ...................................................................................................................... 17 MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO ............................ 17 I. Mục đích phân tích ....................................................................................................... 17 II. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK ở Việt Nam ....................................................................................................................... 18 1. Giai đoạn chuẩn bị ................................................................................................... 18 1.1 Khái niệm tọa độ điểm ........................................................................................... 18 1.2 Khái niệm đồ thị hàm số ........................................................................................ 19 1.3 Một số quan hệ hình học ........................................................................................ 21 Kết luận ........................................................................................................................ 23 2. Giai đoạn tường minh .............................................................................................. 23 2.1 Tình huống đưa vào khái niệm tọa độ của một điểm ............................................. 25 2.2 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt phẳng ...................................... 26 2.3 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình đường thẳng ................................... 29 2.4 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt cầu........................................... 30 2.5 Tình huống đưa vào khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .... 31 2.6 Tình huống đưa vào quan hệ đồng phẳng của bốn điểm ....................................... 33 2.7 Tình huống đưa vào vị trí tương đối của hai mặt phẳng ....................................... 35 2.8 Tình huống đưa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng................................... 37 3. Các tổ chức toán học ................................................................................................ 38 3.1) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : xác định tọa độ của điểm .............. 38 3.2) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T 2 : viết phương trình mặt phẳng .. 41 3.3) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T 3 : Viết phương trình đường thẳng ..................................................................................................................................... 43 3.4) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 4 : xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ............................................................................................... 45 3.5) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 5 : xét tính đồng phẳng của bốn điểm A,B,C,D: ....................................................................................................................... 46 3.6) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 6 : xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng ........................................................................................................................... 48 3.7) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 7 : xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ............................................................................................................................ 49 3.8) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 8 : dùng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian với đề toán cho bằng ngôn ngữ HHTH ...................................... 53 III. Kết luận ...................................................................................................................... 54 CHƯƠNG 3 ........................................................................................................................ 57 THỰC NGHIỆM ............................................................................................................... 57 I. Mục đích thực nghiệm .................................................................................................. 57 II. Các câu hỏi thực nghiệm ............................................................................................. 57 III. Phân tích a priori ........................................................................................................ 58 Câu 1: ........................................................................................................................... 58 Câu 2: ........................................................................................................................... 59 Câu 3: ........................................................................................................................... 60 IV. Phân tích a posteriori ................................................................................................. 61 V. Kết luận ....................................................................................................................... 65 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RA TỪ LUẬN VĂN ...................................................... 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 70 trang 1 PHẦN MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát - Trong lịch sử phát triển của toán học, xu hướng đại số hóa hình học bắt đầu được vài thế kỉ (thế kỉ XVII-XVIII) do Rene Descartes và Pierre Fermat đặt nền móng, và đang là xu hướng chiếm ưu thế trong việc giải quyết bài toán hình học. Tuy nhiên, hình học được nghiên cứu bằng phương pháp tổng hợp có từ rất lâu trong lịch sử phát triển của toán học, từ thời Euclide đã có nền tảng khá vững chắc. Vậy các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được xây dựng trên cơ sở hai phương pháp này có liên hệ với nhau như thế nào? Việc vận dụng kiến thức HHTH để giải quyết bài toán HHGT và ngược lại thể hiện như thế nào? - Trong việc dạy học hình học ở phổ thông, trong yêu cầu về kiến thức và kĩ năng đối với học sinh khi học chương phương pháp tọa độ trong không gian, chương trình toán phổ thông và sách giáo viên hình học 12 đã yêu cầu học sinh: “Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng …biết điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng…” ([10], tr 189) Chẳng hạn, cụ thể với mục tiêu: “Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng”, chúng ta biết rằng học sinh phải vận dụng được các kiến thức của HHTH như khái niệm và các điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Rõ ràng để đạt được những mục tiêu chương trình yêu cầu thì học sinh cần vận dụng được các kiến thức của HHTH để hiểu và để giải toán HHGT. Vấn đề đặt ra ở đây sẽ là: liệu trình bày của SGK hiện hành có tạo điều kiện để học sinh vận dụng các kiến thức HHTH đã học? Theo hướng ngược lại, chúng ta nhận thấy yêu cầu của SGV hình học 12 đối với học sinh như sau: “Biết biểu thị chính xác bằng tọa độ các quan hệ hình học như sự thẳng hàng của ba điểm, sự cùng phương của hai vectơ, sự đồng phẳng của ba vectơ, quan hệ song song, quan hệ vuông góc… Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… trang 2 Giải được một số bài toán của hình học không gian bằng phương pháp tọa độ” ([9], trang 66). Muốn làm được điều này, học sinh phải nắm vững mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của hình học tổng hợp với các khái niệm, các quan hệ tương ứng của hình học giải tích sau khi đã đặt hình vẽ vào một hệ trục tọa độ thích hợp. Như vậy vấn đề đặt ra ở đây sẽ là liệu cách trình bày của SGK hiện hành có làm cho học sinh nắm được mối liên hệ này hay không? Có giúp học sinh lựa chọn một hệ trục tọa độ thích hợp với bài toán đã cho không? Một cách hệ thống hơn, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải đặt ra những câu hỏi sau: Q1’) Các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được xây dựng bằng phương pháp tổng hợp và phương pháp giải tích có mối liên hệ với nhau như thế nào? Q2’) Liệu cách trình bày của các SGK hiện hành có làm cho học sinh thấy được mối liên hệ đó? Q3’) Liệu học sinh có vận dụng được mối liên hệ giữa các khái niệm, các quan hệ hình học giữa HHTH và HHGT để giải quyết một bài toán hình học không? II. Giới hạn phạm vi nghiên cứu - Do thời gian giới hạn, luận văn này chỉ thực hiện nghiên cứu mối liên hệ giữa HHTH và HHGT trong phạm vi hình học lớp 12 chương trình hiện hành. Cụ thể mối liên hệ được đề cập ở đây là mối liên hệ giữa kiến thức về các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được đề cập trong chương “phương pháp tọa độ trong không gian”, sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 12. - Chúng tôi lựa chọn bộ sách hình học 12 nâng cao để phân tích vì chúng tôi nhận thấy trong bộ sách này, một số khái niệm hình học, quan hệ hình học như sự đồng phẳng của bốn điểm, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau… được đề cập tường minh hơn so với bộ sách hình học 12 chương trình cơ bản. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… trang 3 III. Khung lí thuyết tham chiếu - Để trả lời những câu hỏi đặt ra, tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic Toán, cụ thể tôi sẽ vận dụng một số khái niệm của thuyết nhân học sư phạm ( quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với đối tượng O, tổ chức toán học (praxéologie)) và khái niệm hợp đồng didactic. Sau đây, chúng tôi sẽ cố gắng giải thích sự thỏa đáng trong việc chọn khung lí thuyết tham chiếu: 1. Thuyết nhân học sư phạm • Quan hệ cá nhân với một đối tượng - Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, … R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết O. - Mỗi con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết. - Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người. • Quan hệ thể chế với một đối tượng - Một đối tượng O không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế I. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định. - Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại, nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… trang 4 - Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I, O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy. - Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O). - Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công cụ để thực hiện công việc đó: • Tổ chức toán học - Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie. - Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ , θ , Θ ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ , nghĩa là công nghệ của công nghệ θ . - Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique). “Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”. (Bosh và Chervarlard, 1999, tr 85) Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể phân tích và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học hình học 12 ở Việt Nam với mối liên hệ giữa HHTH và HHGT, đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh với các đối tượng nêu trên. Điều này sẽ cho phép trả lời những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi đã đặt ra. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… trang 5 2. Hợp đồng didactic - Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy-học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy. - Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua. - Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau: - Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:  Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức.  Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó.  Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đang xét không thể giải quyết được.  Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đơi ở học sinh. - Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách:  Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học.  Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức.  Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK. - Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến việc sử dụng các khái niệm hình học, quan hệ hình học trong hình học tổng hợp và Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… trang 6 hình học giải tích sẽ cho phép chúng tôi “giải mã” các ứng xử của học sinh và tìm ra ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành. Điều này cho phép trả lời phần nào câu hỏi 3 đã đặt ra ở trên. - Tóm lại, việc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Lý thuyết nhân chủng học và khái niệm hợp đồng didactic theo chúng tôi là thỏa đáng. - Trong phạm vi lí thuyết đã chọn, các câu hỏi xuất phát có thể được trình bày lại như sau: Q1) Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của HHTH và HHGT thể hiện như thế nào? Q2) Mối liên hệ này được thể chế dạy học hình học lớp 12 chương trình nâng cao đề cập như thế nào? Q3) Quan hệ của thể chế với đối tượng đang xét (mối liên hệ giữa HHTH và HHGT) ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng này như thế nào? IV. Phương pháp nghiên cứu Để trả lời cho các câu hỏi đã nêu, tôi xin trình bày sơ lược phương pháp nghiên cứu của mình như sau: - Phân tích lịch sử phát triển của HHGT nhằm làm rõ mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của HHTH và HHGT trong lịch sử. Nghiên cứu này đồng thời là một tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế sẽ được thực hiện phía sau. - Phân tích chương trình và SGK Hình học 12 nâng cao, phân tích này cho phép làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng cần nghiên cứu. - Tổng hợp kết quả hai phân tích trên để đề ra một số giả thuyết nghiên cứu. - Xây dựng thực nghiệm kiểm chứng những giả thuyết nghiên cứu đã rút ra. Có thể tóm tắt phương pháp nghiên cứu bằng sơ đồ sau: Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… trang 7 Nghiên cứu lịch sử phát triển của hình học giải tích Tham chiếu Nghiên cứu chương trình, SGK hình học nâng cao lớp 12 Cơ sở đề xuất Thực nghiệm Kiểm chứng Giả thuyết nghiên cứu V. Tổ chức của luận văn Luận văn được tổ chức thành 3 chương như sau: - Chương 1: Một vài nét về mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong lịch sử phát triển của toán học. - Chương 2: Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK hình học 12 nâng cao. - Chương 3: Thực nghiệm. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… trang 8 CHƯƠNG I: MỘT VÀI NÉT VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH I. Hình học giải tích thời cổ đại 1. Apollonius (262-190 TCN) - Apollonius đã lập được “phương trình” (thật ra là các đẳng thức về các đoạn thẳng tỉ lệ) của parabol, elip, hyperbol, mà nếu phát biểu bằng ngôn ngữ đại số hiện đại thì các phương trình ấy có dạng như sau: y2 = 2 px; y 2 =− 2 px p 2 p 2 x ; y 2 =+ 2 px x a a - Ta xét cách mà Apollonius lập phương trình của parabol để thấy rõ hơn cách làm của ông: ông xét một hình nón nghiêng 1 đỉnh A, đáy là đường tròn đường kính BC. Từ một điểm P trên cạnh AB, ông dựng một mặt phẳng cắt đáy theo dây cung ED vuông góc với đường kính BC 2. Giao tuyến của hình nón với mặt phẳng này là parabol EPD (xem hình vẽ). Gọi Q là một điểm bất kì trên parabol đó. Dựng một mặt phẳng qua Q song song với đáy, cắt hình nón theo đường tròn HQK. Trong đường tròn HQK, ta có QV 2 = HV .VK Mà hai tam giác HVP và BCA đồng dạng nên HV VP VP.BC = ⇒ HV = BC AC AC Mà PV//AC nên PA BA PA.BC = ⇒ VK = VK BC BA  PA.BC 2  Như vậy, Apollonius suy ra QV = PV .    AB. AC  2 1 2 Là hình nón có hình chiếu của đỉnh xuống đáy không trùng với tâm đường tròn đáy. Theo định nghĩa parabol, mặt phẳng này song song với AC. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… trang 9 Điều này có nghĩa là QV2 bằng tích của PV với một số không đổi, hay như chúng ta biết theo kí hiệu hiện đại là y 2 = 2 px . - Sau khi có được phương trình của các cônic, Apollonius đã phân loại các cônic theo phương trình của chúng. - Xét về bản chất, Apollonius đã lập phương trình của các cônic bằng cách đưa một hệ trục tọa độ xiên góc vào cônic. Một trục ông thường chọn là trục đối xứng của cônic ấy. Với trục này ông xác định được “hoành độ” của điểm trên cônic, còn “tung độ” của điểm đó là khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu xiên góc của nó lên “trục hoành”. - Như vậy, trong “hình học giải tích” mà Apollonius xây dựng, các khái niệm hình học, cụ thể là khái niệm cônic, Apollonius định nghĩa cônic là giao tuyến của mặt nón tròn xoay với mặt phẳng, tức là các khái niệm hình học hoàn toàn đồng nhất với các khái niệm của HHTH. Về các quan hệ hình học, hầu hết chúng vẫn đồng nhất với các quan hệ hình học của HHTH, tuy nhiên một vài quan hệ đã ngầm ẩn chuyển sang quan hệ đại số dưới dạng tỉ số của các đoạn thẳng dựa trên đặc trưng của đoạn thẳng là độ dài của chúng. 2. Kết luận - Mặc dù ý tưởng chính của Apollonius là phân loại các cônic dựa theo phương trình của chúng, tuy nhiên các khái niệm hình học (cụ thể ở đây là cônic) được định nghĩa là giao tuyến của mặt nón với mặt phẳng, và các quan hệ hình học đơn giản như quan hệ liên thuộc, tính thẳng hàng, song song, vuông góc trong “hình học giải tích” mà ông xây dựng vẫn bộc lộ rõ sự gắn kết chặc chẽ, thậm chí là đồng nhất giữa chúng với các khái niệm, các quan hệ hình học của HHTH. Một vài quan hệ hình học cũng bắt đầu ngầm ẩn chuyển sang phạm vi HHGT dựa trên đặc trưng độ dài, diện tích… của chúng. Do vậy, HHGT ở giai đoạn này chỉ ở giai đoạn ý tưởng, mầm móng: các bài giải của HHGT hầu như đồng nhất với lời giải của HHTH, kiến thức HHTH được vận dụng triệt để, phổ biến để giải quyết vấn đề của HHGT. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… trang 10 II. Hình học giải tích thế kỉ 17-18 1. Rene Descartes (1596-1650) - Cách giải một bài toán hình học của Descartes là “dịch nó sang ngôn ngữ các phương trình đại số, biến đổi chúng về dạng đơn giản nhất có thể được, rồi dùng các phép dựng hình học để giải chúng, bằng cách sử dụng tương ứng mà ông đã thiết lập giữa các phép toán đại số và phép dựng hình học” (theo [5], tr 35). - Bài toán gợi ý tưởng cho Descartes phát minh ra phương pháp tọa độ là bài toán Pappus 3, phát biểu dưới dạng tổng quát như sau: “Cho 2n (hoặc 2n-1) đường thẳng cố định, tìm quĩ tích những điểm sao cho tỉ số của tích độ dài các đoạn thẳng vẽ từ điểm đó tới n đường thẳng đã cho dưới một góc cho trước và tích độ dài các đoạn thẳng tương tự vẽ tới n (hoặc n-1) đường thẳng còn lại là một số không đổi” - Đây là một bài toán rất khó của hình học, trong lịch sử gần hơn một ngàn năm trăm năm xuất hiện của nó, cho tới thời của Descartes, chỉ có một số bài giải của các trường hợp đặc biệt trong trường hợp ba, hoặc bốn đường thẳng. Ta xét cách làm của Descartes 4 trong trường hợp bốn đường thẳng và không có bất kì hai đường nào trong số đó song song với nhau: - Gọi điểm cần tìm là C. Gọi các T đoạn thẳng dựng được từ C xuống bốn S đường thẳng đã cho là CB, CD, CF, CH. R Chọn một trong bốn đường thẳng làm E A G B gốc, ba đường thẳng còn lại cắt đường thẳng gốc tại A,E,G. Đặt AB=x, BC=y. H F Ba đường thẳng còn lại cắt BC tại R,S,T. (hình vẽ) 3 C D Papus 290-350, một nhà toán học Hi Lạp, có công sưu tầm và phát triển các công trình toán học của các nhà toán học cổ đại. 4 Lời giải này được dịch từ cuốn “the geometry of Rene Descartes” Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… trang 11 Vì các góc của tam giác ARB đã biết nên tỉ số giữa cạnh AB và BR hoàn toàn xác định. Đặt AB z bx . = , mà AB = x nên BR = BR b z Vì B nằm giữa C và R nên CR = CB + BR =y + thì CR= y − bx (còn nếu R nằm giữa B,C z bx bx hoặc C nằm giữa B,R thì CR = − y) z z Lại có: ba góc của tam giác DRC đã biết, do đó tỉ số giữa cạnh CR và CD cũng xác định. Gọi CR z = CD c 5 và vì CR= y + bx cy bx nên CD = + . z z z2 Vì các đường thẳng AB, AD, EF cố định nên độ dài đoạn AE đã biết. Nếu đặt AE = k thì EB= k + x (hoặc EB= k − x khi B nằm giữa A,E và EB= x − k khi E nằm giữa A,B). Vì các góc tam giác ESB đã biết nên tỉ số của BE và BS đã biết. Gọi tỉ số này là CS = z dk + dx zy + dk + dx thì BS = và CS = (nếu S nằm giữa B,C thì d z z zy − dk − dx − zy + dk + dx , còn nếu C nằm giữa B,S thì CS = ). z z Tương tự, các góc của tam giác FSC đã biết nên tỉ số CF = CS z = . Do đó CF e ezy + dek + dex . Mà độ dài AG = l cố định và BG = l − x . Trong tam giác z2 BGT, ta đặt TCH, tỉ số BG z fl − fx zy + fl − fx thì BT = và CT = . Và trong tam giác = BT f z z TC z gzy + fgl − fgx = đã biết, từ đó CH = z2 HC g Khi đã có các đoạn thẳng cần tìm, dựa vào giả thiết và rút gọn, Descartes tìm thấy quĩ tích điểm C là phương trình có dạng như sau: = y 5 p 2 n x + ox + m 2 − x + m m z Mọi tỉ số khác 0 đều có thể viết chung tử số. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… trang 12 Dựa vào kết quả của Apollonius trong “giao tuyến cônic”, Descartes chứng tỏ đây là phương trình của một cônic, và trong trường hợp đặc biệt đó là phương trình của một đường thẳng. Ở đây ta cũng nhận thấy rõ ràng: vấn đề của Descartes là vận dụng phương pháp HHGT để giải quyết bài toán HHTH. Tuy nhiên vì HHGT giai đoạn này chưa có các khái niệm riêng cho nó nên việc vận dụng kiến thức HHTH để giải quyết là phổ biến: trong phương pháp mới mà Descartes xây dựng, lời giải của ông hoàn toàn phụ thuộc vào hình vẽ. Như vậy đối với Descartes, các khái niệm hình học (cụ thể ở đây là đường thẳng), các quan hệ hình học (như quan hệ điểm nằm giữa hai điểm khác) vẫn thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa chúng với các khái niệm, các quan hệ tương ứng của hình học tổng hợp, tuy nhiên các quan hệ hình học này đã dần chuyển sang quan hệ đại số dựa trên đặc trưng số của các đối tượng. - Ta xét thêm một ví dụ nữa của Descartes để tìm hiểu thêm các khái niệm hình học, các quan hệ hình học trong hình học của Descartes (trong [6], tr 86): “Một tam giác vuông KLN kích thước không đổi có cạnh góc vuông KL chuyển động dọc theo đường thẳng AB. G là một điểm cố định không nằm trên đường thẳng AB. Tìm quĩ tích giao điểm của đường thẳng GL và cạnh huyền NK kéo dài.” Sau đây là bài giải của Descartes: K Giả sử GA ⊥ AB. Đặt GA=a, KL=b, NL=c. Chọn AB làm trục x, gốc ở A. Kí hiệu các đoạn N chưa biết là AB=x, CB=y. ta có ∆CBK và ΔNLK đồng dạng nên: CB BK = NL LK C L B BC.LK by suy = ra BK = NL c by − bc Mà L nằm giữa B và K nên: BL = BK − KL = c Và B nằm giữa AL nên: AL = AB + BL = G cx + by − bc c Do ΔCBL và ΔGAL đồng dạng nên Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích… A