Tài liệu MÔĐUN VÀ VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ HƯỜNG MÔĐUN VÀ VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trương Công Quỳnh Đà Nẵng - Năm 2014 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết qủa nêu trong luận văn này là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Đà Nẵng, tháng 4 năm 2014 HV thực hiện Trần Thị Hường MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5. Bố cục đề tài. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 CHƯƠNG 2. MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ VÀ ĐẾ - NỘI XẠ MẠNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. MÔĐUN ĐẾ - NỘI XẠ MẠNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 CHƯƠNG 3. VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ VÀ CÁC LỚP VÀNH LIÊN QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1. VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. VÀNH ĐẾ NỘI XẠ MẠNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) 64 1 LỜI MỞ ĐẦU 1. TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Lý thuyết vành và môđun đóng một vai trò quan trọng trong đại số kết hợp. Nhiều kiến thức cơ bản của lý thuyết vành và môđun đã được nghiên cứu và có nhiều ứng dụng. Chúng ta đã biết đến các kết quả cơ bản trên môđun nội xạ. Một số mở rộng của nó được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp tổng quát của nó, đó là lớp môđun đế - nội xạ. Một số áp dụng của vành tựa - Frobenius và giả - Frobenius cũng đã được xét đến trong lớp vành đế - nội xạ. Cùng với sự định hướng của TS Trương Công Quỳnh, tôi đã chọn đề tài “MÔĐUN VÀ VÀNH ĐẾ - NỘI XẠ” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình. 2. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu khái niệm, tính chất, các định lý về môđun và vành đế - nội xạ cũng như các vành liên quan. Qua đó làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về môđun và vành đế nội xạ, đế - nội xạ mạnh. Thông qua việc nghiên cứu các tính chất, đặc trưng của môđun và vành đế - nội xạ, làm rõ mối liên hệ của nó với một số lớp vành và môđun khác. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng của đề tài là nghiên cứu khái niệm, các tính chất, đặc trưng của môđun và vành đế - nội xạ, đế - nội xạ mạnh, mối liên hệ của chúng với các lớp môđun và vành khác. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các vấn đề liên quan đến lớp môđun, 2 vành đế - nội xạ, đế - nội xạ mạnh và các áp dụng của chúng. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Đọc các tài liệu về môđun và vành đế - nội xạ, hệ thống kiến thức. - Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp. - Tiến hành xêmina với nhóm nghiên cứu của TS. Trương Công Quỳnh. 5. BỐ CỤC ĐỀ TÀI Ngoài lời mở đầu và kết luận, luận văn được trình bày trong 3 chương: Chương 1. Các kiến thức liên quan 1. Một số khái niệm cơ bản. 2. Một số kết quả đã biết. Chương 2. Môđun đế - nội xạ 1. Môđun đế - nội xạ. 2. Môđun đế - nội xạ mạnh. Chương 3. Vành đế - nội xạ và các lớp vành liên quan 1. Vành đế - nội xạ. 2. Vành đế - nội xạ mạnh. 6. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN - Đề tài mang tính chất lý thuyết nên những kết quả của nó đóng góp cho lĩnh vực lý thuyết vành và môđun. - Làm tài liệu cho các nghiên cứu về sau. 3 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành. Một R - môđun phải M là: (1) nhóm cộng aben M cùng với (2) ánh xạ M × R −→ M (m, r) 7−→ mr được gọi là phép nhân môđun, thỏa mãn các điều kiện sau: (i) qui tắc kết hợp: (mr1 )r2 = m(r1 r2 ) (ii) qui tắc phân phối : (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 (iii) qui tắc unita: m1 = m trong đó m, m1 , m2 là các phần tử tùy ý của M, r1 , r2 ∈ R. Lúc đó R được gọi là vành cơ sở. Nếu M là một R - môđun phải thì ta thường ký hiệu M = MR . Tương tự ta cũng có định nghĩa khái niệm R môđun trái. Định nghĩa 1.1.2. Cho M là một R - môđun phải. Tập con A của M được gọi là môđun con của M , ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR , nếu A là R - môđun phải với phép toán cộng và nhân hạn chế trên A. 4 Định nghĩa 1.1.3. Môđun MR được gọi là có chiều Goldie hữu hạn nếu M không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con. Vành R được gọi là có chiều Goldie hữu hạn nếu RR là môđun có chiều Goldie hữu hạn. Định nghĩa 1.1.4. (1) Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con là 0 và M , nghĩa là, M không chứa môđun con thực sự. (2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và R. (3) Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun M nếu A 6= 0 và ∀B ≤ M mà B < A thì suy ra B = 0. (4) Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực đại của môđun M nếu A 6= M và ∀B ≤ M mà A < B thì suy ra B = M . Định nghĩa 1.1.5. (1) Cho (Tα )α∈A là một tập các môđun con đơn của M . Nếu M là tổng trực tiếp các môđun con đơn này, nghĩa là M= L A Tα (∗) thì (*) được gọi là một phân tích nửa đơn của M . (2) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn. (3) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (R R) là nửa đơn. Ta thấy rằng môđun đơn là nửa đơn cho nên đối với mọi vành R tồn tại môđun nửa đơn. Ngoài ra ta cũng thấy môđun 0 là nửa đơn vì 0= P i∈∅ Mi , nhưng 0 không đơn (theo định nghĩa). Mi đơn, 5 Định nghĩa 1.1.6. Cho MR và N ≤ MR . Khi đó nhóm cộng aben M/N cùng với phép nhân môđun M/N × R −→ M/N (m + N, r) 7−→ (m + N )r = mr + N là một R - môđun phải và được gọi là môđun thương của môđun M trên môđun con N của nó. Định nghĩa 1.1.7. R - môđun phải F được gọi là môđun tự do nếu thỏa mãn một trong các điều kiện dưới đây: (1) F có cơ sở. (2) F = Σi∈I Ai và với mọi i ∈ I, RR ∼ = Ai . Định nghĩa 1.1.8. Cho MR và N ≤ MR . N được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P . Lúc đó ta nói P là môđun con phụ của N trong M . Từ định nghĩa ta suy ra ngay: N là hạng tử trực tiếp của M ⇔ ∃P ≤ M : M = N + P và N ∩ P = 0. Định nghĩa 1.1.9. (1) Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M , ký hiệu: K ≤ess M , trong mọi trường hợp với mọi môđun con L ≤ M , K ∩ L = 0 suy ra L = 0. (2) Một môđun con K của M là đối cốt yếu (nhỏ) trong M , ký hiệu: K  M , trong mọi trường hợp với mọi môđun con L ≤ M , K + L = M suy ra L = M . 6 Định nghĩa 1.1.10. Cho U, M là các R - môđun phải. U được gọi là xạ ảnh theo M (hay U là M - xạ ảnh) nếu với mọi toàn cấu g : MR −→ NR và mỗi đồng cấu h : UR −→ NR tồn tại một R - đồng cấu h̄ : U −→ M sao cho biểu đồ sau giao hoán: U h̄ M h ~  /N g /0 Môđun PR được gọi là xạ ảnh nếu nó là M - xạ ảnh với mọi R - môđun phải M . Định nghĩa 1.1.11. Cho U, M là các R - môđun phải. U được gọi là nội xạ theo M (hay U là M - nội xạ) nếu với mọi đơn cấu f : KR −→ MR và mỗi đồng cấu h : KR −→ UR tồn tại một R - đồng cấu h̄ : M −→ U sao cho biểu đồ sau giao hoán: 0 / K h  } f / M h̄ U Môđun QR được gọi là nội xạ nếu nó là M - nội xạ với mọi R - môđun phải M . Định nghĩa 1.1.12. Cho M là một R - môđun phải. (1) Đơn cấu f : M −→ Q được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q là môđun nội xạ và imf ≤ess Q. (2) Toàn cấu g : P −→ M được gọi là phủ xạ ảnh (hoặc bao xạ ảnh) đối với M nếu P là môđun xạ ảnh và kerg  P . 7 Về mặt ký hiệu đôi khi ta chỉ viết I(M ), E(M ) để chỉ bao nội xạ của môđun M và P (M ) để chỉ phủ xạ ảnh của M . Định nghĩa 1.1.13. Cho M và N là các R - môđun phải. Khi đó: (1) M được gọi là S - N - nội xạ nếu với mọi môđun con L của N , mọi R - đồng cấu γ : L −→ M với γ(L) đơn, mở rộng được tới N . (2) Nếu M = N , M được gọi là tựa S - nội xạ. (3) Một vành R được gọi là S - nội xạ phải, nếu RR là tựa S - nội xạ. Cho môđun M , ta xét các điều kiện sau: (C1) Với mọi môđun con A của M , thì tồn tại một hạng tử trực tiếp B của M thỏa mãn A ≤ess B . (C2) Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M , thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M . (C3) Nếu A và B là hai hạng tử trực tiếp bất kỳ của M thỏa mãn A ∩ B = 0, thì A ⊕ B cũng là một hạng tử trực tiếp của M . Môđun M được gọi là liên tục nếu nó thỏa mãn điều kiện (C1) và (C2). Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu nó thỏa mãn điều kiện (C1) và (C3). Môđun M được gọi là mở rộng (hay còn gọi là CS ) nếu nó thỏa mãn điều kiện (C1). Ta có các quan hệ sau (đối với môđun): (C2)⇒ (C3) nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục ⇒ CS. 8 Định nghĩa 1.1.14. Cho U là lớp các môđun nào đó trong Mod - R. Môđun M gọi là được sinh (hữu hạn) bởi U (hay U sinh (hữu hạn) ra M ) nếu như tồn tại tập (hữu hạn) được chỉ số hóa (Uα )α∈A trong U và một toàn cấu L α∈A Uα −→ M −→ 0. Khi cho U = {U }, ta nói U sinh (hữu hạn) ra M , nghĩa là có toàn cấu U (A) −→ M −→ 0 với tập (hữu hạn) A nào đó, còn U (A) là tổng trực tiếp các |A| bản sao của U . Định nghĩa 1.1.15. Cho U là lớp các môđun nào đó trong Mod - R. Môđun M gọi là được đối sinh (hữu hạn) bởi U (hay U đối sinh (hữu hạn) ra M ) nếu như tồn tại tập (hữu hạn) được chỉ số hóa (Uα )α∈A trong U và một đơn cấu 0 −→ M −→ Q α∈A Uα . Khi cho U = {U }, ta nói U đối sinh (hữu hạn) ra M , nghĩa là có đơn cấu 0 −→ M −→ U A với tập (hữu hạn) A nào đó, còn U A là tích trực tiếp các |A| bản sao của U. Nếu M là môđun bất kỳ trong Mod - R mà U đối sinh ra M thì U được gọi là vật đối sinh ra M . 9 Định nghĩa 1.1.16. (1) Môđun MR được gọi là hữu hạn sinh nếu trong M tồn tại tập sinh ra M hữu hạn. (2) Môđun MR được gọi là hữu hạn đối sinh nếu trong trường hợp với mọi tập A là tập nào đó các môđun con của M , nếu T A∈A A = 0 thì T F ∈F F =0 với tập hữu hạn F ⊆ A nào đó. Mệnh đề 1.1.17. Cho M = MR . Khi đó: (a) P AM A = T B≤M B = T ϕ∈HomR (M,N ) Kerϕ = U1 , trong đó B là môđun con cực đại của M , còn NR là môđun nửa đơn tùy ý. (b) T A≤ess M A= P B≤M B= P ϕ∈HomR (N,M ) Imϕ = U2 , trong đó B là môđun con đơn của M , còn NR là môđun nửa đơn tùy ý. Định nghĩa 1.1.18. (1) Môđun con U1 của M trong Mệnh đề 1.1.17 (a) được gọi là căn của M , ký hiệu rad(M ). (2)Môđun con U2 của M trong Mệnh đề 1.1.17 (b) được gọi là đế của M , ký hiệu Soc(M ). Định nghĩa 1.1.19. Một vành R được gọi là vành chính quy nếu cho mỗi phần tử r ∈ R, thì tồn tại r0 ∈ R sao cho r = rr0 r. Định nghĩa 1.1.20. (1) Môđun MR được gọi là Noetherian nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều có phần tử cực đại. 10 (2) Môđun MR được gọi là Artinian nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều có phần tử cực tiểu. (3) Vành R được gọi là Noetherian phải (Artinian phải) nếu môđun RR là Noetherian (Artinian). Định nghĩa 1.1.21. Một vành R được gọi là nửa Artinian phải nếu mọi R - môđun phải khác không đều có đế khác không. Định nghĩa 1.1.22. Một vành R được gọi là địa phương nếu R có duy nhất một iđêan phải (hoặc trái) cực đại. Vành R được gọi là nửa địa phương nếu vành thương R/J(R) là (Artinian) nửa đơn. Định nghĩa 1.1.23. Phần tử e ∈ R được gọi là một lũy đẳng của R nếu e2 = e. Hai lũy đẳng e và f của vành R được gọi là trực giao với nhau nếu ef = f e = 0. Nếu lũy đẳng e 6= 0 của vành R không phân tích được thành tổng của hai lũy đẳng khác 0 trực giao với nhau, thì e được gọi là lũy đẳng nguyên thủy. Tập {e1 , e2 , ..., en , ...} các lũy đẳng của vành R được gọi là trực giao nếu ei ej = 0 với mọi cặp i 6= j . Tập {e1 , e2 , ..., en } các lũy đẳng nguyên thủy trực giao của R được gọi là đầy đủ nếu 1 = e1 + e2 + ... + en . Một phần tử lũy đẳng e của vành R được gọi là lũy đẳng địa phương nếu eRe là vành địa phương. Định nghĩa 1.1.24. Cho vành R và I là một iđêan của nó. Khi đó, nếu với mọi lũy đẳng f¯ của vành thương R/I đều tồn tại lũy đẳng e của vành 11 R sao cho e − f ∈ I thì ta gọi các lũy đẳng nâng được modulo I (mỗi lũy đẳng f¯ của vành thương R/I nâng được đến một lũy đẳng e của vành R). Định nghĩa 1.1.25. Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R là vành nửa địa phương và các lũy đẳng nâng được modulo J(R). Định nghĩa 1.1.26. Một tập con A của vành R được gọi là T - lũy linh phải (T - lũy linh trái) nếu mọi dãy a1 , a2 , ... của A đều tồn tại n ∈ N, n ≥ 1 để cho an an−1 ...a2 a1 = 0 (tương ứng, a1 a2 ...an−1 an = 0). Định nghĩa 1.1.27. Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải (trái) nếu R là vành nửa địa phương và J(R) là T - lũy linh phải (trái). Định nghĩa 1.1.28. Một vành R được gọi là tựa - Frobenius (hay còn gọi là vành QF) nếu R là vành Artinian phải (hoặc trái) và tự - nội xạ phải (hoặc trái). Định nghĩa 1.1.29. Một vành R được gọi là giả - Frobenius (hay còn gọi là vành PF) nếu R - môđun phải RR là vật đối sinh nội xạ. Định nghĩa 1.1.30. Một vành R được gọi là Kasch phải nếu với mỗi R môđun phải đơn S đều tồn tại một đơn cấu ι : S −→ RR . Tức là, mọi R - môđun phải đơn nhúng trong RR . Định nghĩa 1.1.31. Cho R là một vành. Khi đó một môđun MR được gọi là nội xạ đơn nếu mọi iđêan phải đơn K của M , mỗi đồng cấu γ : K −→ MR thì tồn tại đồng cấu γ̄ : RR −→ MR sao cho γ̄ ◦ i = γ , với i : K −→ RR là đơn cấu chính tắc. Nghĩa là tồn tại m ∈ M sao cho γ(x) = mx với mọi x ∈ K . 12 Một vành R được gọi là nội xạ đơn phải nếu với bất kỳ iđêan phải cực tiểu K của R, mọi R - đồng cấu γ : K −→ RR mở rộng tới R, tức là γ = c., với c ∈ R. Tương đương, lr(k) = Rk , ở đây kR là một iđêan phải cực tiểu của R. Định nghĩa 1.1.32. Một iđêan phải T của vành R được gọi là mở rộng nếu mọi đồng cấu γ : T −→ RR có thể mở rộng tới γ̄ : RR −→ RR , tương đương nếu γ = c. là phép nhân trái cho bởi phần tử c ∈ R. Như vậy, R là nội xạ đơn phải nếu mọi iđêan phải đơn K của R là mở rộng. Định nghĩa 1.1.33. Một vành R được gọi là minfull phải nếu nó là nửa hoàn chỉnh, nội xạ đơn phải và Soc(eR) 6= 0 với mỗi lũy đẳng địa phương e ∈ R. Định nghĩa 1.1.34. Vành R được gọi là I - hữu hạn nếu R không chứa một tập vô hạn các lũy đẳng trực giao. Ta gọi vành R là semipotent nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau: a. Mọi iđêan phải không chứa trong J(R) chứa một lũy đẳng khác không. b. Mọi iđêan trái không chứa trong J(R) chứa một lũy đẳng khác không. Định nghĩa 1.1.35. Một vành R được gọi là một V - vành phải nếu mọi R - môđun phải đơn là nội xạ. Một vành R được gọi là một GV - vành phải nếu mọi R - môđun phải suy biến đơn là nội xạ. Định nghĩa 1.1.36. Cho MR và X ⊆ M . Linh hóa tử phải của X trong R là: 13 rR (X) = {r ∈ R|xr = 0, x ∈ X}. Cho A ⊆ R. Linh hóa tử trái của A trong M là: lM (A) = {x ∈ M |xa = 0, a ∈ A}. Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết rR (x) hay lM (a). Với những linh hóa tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn, người ta có thể bỏ ký hiệu R trong lR , rR , mà chỉ viết là l, r. Định nghĩa 1.1.37. Một vành R được gọi là linh hóa tử đơn trái nếu lr(kR) = Rk cho mọi iđêan trái cực tiểu Rk của R. 1.2. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT Mệnh đề 1.2.1. [1]. Iđêan phải I của vành R là một hạng tử trực tiếp của RR nếu và chỉ nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR. Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy, và (1 − e)R là phần phụ của eR trong R, nghĩa là, RR = eR ⊕ (1 − e)R. Mệnh đề 1.2.2. [1]. Mọi môđun có một bao nội xạ. Nó duy nhất sai khác một phép đẳng cấu. Mệnh đề 1.2.3. Nếu M = Ln các môđun thì E(⊕ni=1 Mi ) = Ln i=1 Mi là một tổng trực tiếp hữu hạn của i=1 E(Mi ). Bổ đề 1.2.4. Môđun M là tựa - nội xạ nếu và chỉ nếu M là hoàn toàn bất biến trong bao nội xạ E(M ) của nó. 14 Bổ đề 1.2.5. [1]. Soc(M ) là môđun con nửa đơn lớn nhất trong M . Định lý 1.2.6. [1]. Cho M và N là các R - môđun phải. Khi đó: (1) ϕ ∈ HomR (M, N ) =⇒ ϕ(Soc(M )) ≤ Soc(N ). (2) Soc(Soc(M )) = Soc(M ) và với mọi C ≤ M sao cho Soc(C) = C thì C ≤ Soc(M ), nghĩa là Soc(M ) là môđun con lớn nhất trong số các môđun con của M sao cho đế của nó trùng với nó. Hệ quả 1.2.7. Cho M và N là các R - môđun phải. Khi đó: (1) Nếu ϕ : M −→ N là đơn cấu cốt yếu (nghĩa là đơn cấu và Imϕ ≤ess N ), thì ϕ(Soc(M )) = Soc(N ) và Soc(M ) = ϕ−1 (Soc(N )). (2) Nếu C ≤ M thì Soc(C) ≤ Soc(M ). (3) Nếu M = L i∈I Mi thì Soc(M ) = L i∈I Soc(Mi ). Định lý 1.2.8. [1]. Ta có: rad(RR ) = rad(R R) và vì vậy ta thường ký hiệu chung là J = J(R) và được gọi là căn Jacobson của R. Định lý 1.2.9. [24, Corollary 2.6]. Vành R là nội xạ đơn phải và trái nếu và chỉ nếu Sr = Sl và R là vành linh hóa tử đơn phải và trái. Định lý 1.2.10. [24, Proposition 1.14]. Nếu R là một vành nội xạ đơn phải và kR là một iđêan phải cực tiểu của R, thì Rk là một iđêan trái cực tiểu. 15 Định lý 1.2.11. [1]. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho: (1) R là vành nửa hoàn chỉnh. (2) R/J(R) là nửa đơn và R là semipotent. (3) R là I - hữu hạn và semipotent. (4) R là I - hữu hạn và các lũy đẳng nguyên thủy trong R là địa phương. (5) 1 = e1 + e2 + ... + em , với ei là các lũy đẳng địa phương trực giao. Định lý 1.2.12. [1]. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh với J = J(R). Khi đó mọi tập đầy đủ các lũy đẳng trực giao của R chứa một tập cơ sở. Hơn nữa, với các lũy đẳng trực giao từng đôi e1 , e2 , ..., em ∈ R, các điều kiện sau đây là tương đương: (1) {e1 , e2 , ..., em } là tập cơ sở các lũy đẳng trực giao của R. (2) {e1 R, e2 R, ..., em R} là tập đại diện các R - môđun phải xạ ảnh không phân tích được. (3) {e1 R/e1 J, e2 R/e2 J, ..., em R/em J} là tập đại diện các R - môđun phải đơn. Định lý 1.2.13. [1]. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho: (1) R là vành nửa hoàn chỉnh. (2) Mọi R - môđun phải (trái) hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh. 16 (3) Mọi R - môđun phải (trái) cyclic đều có phủ xạ ảnh. (4) Mọi R - môđun phải (trái) đơn đều có phủ xạ ảnh. Định lý 1.2.14. Các điều kiện sau đây là tương đương đối với một vành R đã cho: (1) R là vành nửa Artinian. (2) Mọi R - môđun phải khác không có đế cốt yếu. (3) Mọi R - môđun phải khác không có môđun con đơn. (4) Mọi R - môđun phải là nửa Artinian. Chứng minh. (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) là rõ ràng. (1) ⇒ (2) Gọi M là một R - môđun phải khác không bất kỳ. Giả sử A 6= 0 là một môđun con của M . Vì A 6= 0 nên tồn tại 0 6= a ∈ A, khi đó môđun aR 6= 0. Vì R là vành nửa Artinian nên môđun aR 6= 0 có Soc(aR) 6= 0. Mà Soc(aR) ⊆ A ∩ Soc(M ), suy ra Soc(M ) ≤ess M . Định lý 1.2.15. (Matlis). Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho: (1) R là vành Noetherian phải. (2) Mọi tổng trực tiếp các R - môđun phải nội xạ là nội xạ. (3) Mọi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ các R - môđun phải đơn là nội xạ. Định lý 1.2.16. (Faith - Walker). Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đã cho: