Tài liệu Mô hình quản lý rủi ro tín dụng ngân hàng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ -------- LÊ TRUNG THỰC MÔ HÌNH QUẢN LÝ RỦI RO TÍN DỤNG NGÂN HÀNG LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Hà Nội, 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ -------- LÊ TRUNG THỰC MÔ HÌNH QUẢN LÝ RỦI RO TÍN DỤNG NGÂN HÀNG Ngành: Công nghệ Thông tin Chuyên ngành: Công nghệ phần mềm Mã số: 60 48 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐỖ ĐỨC GIÁO Hà Nội, 2012 Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là quá trình nghiên cứu thật sự nghiêm túc của tôi trong thời gian qua. Trong luận văn tôi đã áp dụng các kiến thức cổ điển, xác suất thống kê để từ đó đƣa ra đƣợc mô hình phù hợp với bài toán thực tế, xây dựng thuật toán và một phần mềm mô phỏng. Các kết quả có đƣợc của luận văn hoàn toàn do tôi nghiên cứu dƣới sự giúp đỡ của thầy hƣớng dẫn. Nếu có gì sai sót tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà nội, ngày 25 tháng 09 năm 2012 Tác giả Lê Trung Thực -1- Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng Lời nói đầu Trong nền kinh tế hiện nay, nổi bật lên các ngành kinh tế tài chính phát triển rất mạnh mẽ. Theo đó là những bƣớc tiến mạnh mẽ của ngành toán học tài chính nói chung và toán học rủi ro nói riêng để phục vụ cho nhu cầu tất yếu trong kinh tế tài chính. Đã có rất nhiều các mô hình rủi ro cổ điển đƣợc áp dụng một cách tối ƣu để đƣa ra các dự báo gần chính xác, từ đó giúp cho việc quản trị rủi ro trong các hoạt động kinh tế tài chính tốt hơn, dễ dàng hơn rất nhiều. Mô hình Lundberg-Cramér cổ điển ( quan trọng nhất là xấp xỉ LundbergCramér và bất đẳng thức cùng tên ) là mô hình rủi ro dùng đƣợc cho hầu hết các ngành kinh tế tài chính hiện nay ( nhƣ : Bảo hiểm, Tín dụng…) Mục đích của luận văn là nghiên cứu bài toán thiệt hại và lợi nhuận của hoạt động cho vay không thế chấp - tín dụng ngân hàng. Từ đó áp dụng các xấp xỉ, đẳng thức, bất đẳng thức trong lý thuyết rủi ro và toán học tài chính để đƣa ra đƣợc mô hình gần đúng cho việc dự báo cũng nhƣ quản lý các rủi ro do hoạt động mang đến. Luận văn gồm 4 chƣơng: Chương 1: Trình bày bài toán thực tế, các khái niệm cần thiết để phân tích bài toán thực tế sang góc độ Toán học: 1. 2. 3. 4. Bài toán thực tế. Lý thuyết ngẫu nhiên. Quá trình Poisson Quá trình Poisson phức hợp Và một số các tính chất quan trọng của các khái niệm trên. Chương 2: Nội dung của chƣơng này là áp dụng việc phân tích bài toán thực tế, áp dụng lỹ thuyết rủi ro, toán học tài chính để đƣa ra mô hình dự báo và quản lý rủi ro thích hợp: 1. 2. 3. 4. Biểu phí lợi nhuận thực và thiệt hại Hàm xác suất vƣợt định mức tín dụng Mô hình Lundberg-Cramér Xấp xỉ Lundberg-Cramér Chương 3: Chƣơng này sẽ đƣa ra các thuật toán phù hợp để có thể dùng ngôn ngữ lập trình thể hiện mô hình quản lý rủi ro đã tìm đƣợc, dựa trên một phƣơng pháp mô phỏng số và các khái niệm liên quan. Từ những thuật toán đã có, sử dụng ngôn ngữ lập trình Java để lập trình một phần mềm tƣơng thích với các thuật toán và mô hình. 1. Các khái niệm số ngẫu nhiên 2. Phƣơng pháp mô phỏng -2- Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng 3. Thiết kế thuật toán 4. Phần mềm ứng dụng 5. Ví dụ ứng dụng thực tế Để hoàn thành luận văn này em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Đỗ Đức Giáo và đặc biệt là TS.Lê Phê Đô, thầy đã chỉ bảo, hƣớng dẫn và giúp đỡ tận tình trong quá trình em làm luận văn này. Do về mặt kiến thức và thời gian còn hạn chế, luận văn còn nhiều khiếm khuyết. Em mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và mọi ngƣời để luận văn hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cám ơn! Hà Nội -2012 Tác giả -3- Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt BNN: Biến ngẫu nhiên. ĐLNN: Đại lƣợng ngẫu nhiên. ĐVTG: Đơn vị thời gian. ĐVTT: Đơn vị tiền tệ. RPS : Risk Processing Simulation ( Mô phỏng quá trình rủi ro ). QTNN: Quá trình ngẫu nhiên. VaR: Value at Risk ( Giá trị rủi ro ). -4- Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng Danh mục các bảng Thứ tự Tên bảng Trang Bảng 2.1 Bảng phân vị phân phối chuẩn 38 Bảng 2.2 So sánh 2 mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng: mô hình Lundberg-Cramér và mô hình VaR Số liệu với các tham số 40 Bảng 3.1 48 trong trƣờng hợp phân phối mũ Bảng 3.2 Số liệu với các hợp phân phối Pareto -5- tham số 49 trong trƣờng Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng Danh mục các hình vẽ, đồ thị Thứ tự Tên hình Trang Hình 1.1 Hoạt động vay vốn tín dụng ngân hàng trên thực tế 14 Hình 1.2 Sơ đồ hoạt động phòng phân tích rủi ro tín dụng ngân hàng 15 Hình 3.1 Giao diện chính của phần mềm RPM 52 Hình 3.2 Trƣờng hợp không thỏa mãn điều kiện lợi nhuận thực 52 Hình 3.3 Giao diện với lựa chọn cho phân phối mũ 53 Hình 3.4 Giao diện với lựa chọn cho phân phối Pareto 53 Hình 3.5 Bảng kết quả giá trị mô phỏng rủi ro phân phối mũ 55 Hình 3.6 Biểu đồ kết quả mô phỏng nợ xấu phân phối mũ 55 Hình 3.7 Bảng kết quả mô phỏng nợ xấu phân phối Pareto 56 Hình 3.8 Biểu đồ kết quả của quá trình mô phỏng nợ xấu phân phối 56 Pareto Hình 3.9 Biểu đồ kết quả mô phỏng 1 (không có rủi ro) 57 Hình 3.10 Biểu đồ kết quả mô phỏng 1 (có rủi ro) 57 Hình 3.11 Tham số đầu vào mô phỏng 58 Hình 3.12 Bảng kết quả mô phỏng lần 12 rủi ro với bộ tham số trên 58 Hình 3.13 Lƣu tham số đầu vào và đơn vị tiền tệ cho vay 59 Hình 3.14 Mô phỏng lần đầu rủi ro 60 Hình 3.15 Mô phỏng lần xảy ra nhiều nợ xấu nhất 60 -6- Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng MỤC LỤC Danh mục ký hiệu và các chữ viết tắt .............................................................................. 4 Danh mục các bảng ........................................................................................................... 5 Danh mục các hình và đồ thị ............................................................................................ 6 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ BÀI TOÁN ..................................................... 9 1.1. ........................................................................................................................... K iến thức chuẩn bị ...................................................................................................... 9 1.1.1. ..................................................................................................................... Q uá trình ngẫu nhiên ............................................................................................... 9 1.1.2. ..................................................................................................................... Q uá trình Poisson .................................................................................................. 12 1.2. ........................................................................................................................... P hân tích bài toán ..................................................................................................... 14 1.2.1. ..................................................................................................................... B ài toán thực tế ..................................................................................................... 14 1.2.2. ..................................................................................................................... B ài toán thực tế trên góc nhìn toán học ................................................................ 15 1.2.3. ..................................................................................................................... B iến đổi Laplace ................................................................................................... 16 1.2.4. ..................................................................................................................... X uất hiện n “nợ xấu” ............................................................................................ 17 1.2.5. ..................................................................................................................... K hoảng thời gian giữa 2 “nợ xấu” liên tiếp .......................................................... 18 1.3. ........................................................................................................................... Q uá trình Wiener và Poisson phức hợp .................................................................... 20 1.3.1. ..................................................................................................................... Q uá trình Wiener ................................................................................................... 20 1.3.2. ..................................................................................................................... Q uá trình Poisson phức hợp .................................................................................. 21 CHƢƠNG 2. MÔ HÌNH QUẢN LÝ RỦI RO TÍN DỤNG ......................................... 23 2.1. ........................................................................................................................... Q uản lý rủi ro và thiệt hại ......................................................................................... 23 2.1.1. ..................................................................................................................... M ô hình quản lý rủi ro ........................................................................................... 23 2.1.2. ..................................................................................................................... B iểu phí lợi nhuận hoạt động tín dụng ................................................................. 24 2.2. ........................................................................................................................... P hƣơng trình tích phân cân bằng tài chính .............................................................. 25 -7- Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng 2.3. ........................................................................................................................... X ấp xỉ hàm xác suất vƣợt định mức ......................................................................... 27 2.3.1. ..................................................................................................................... H àm sinh Moment ................................................................................................. 28 2.3.2. ..................................................................................................................... B ất đẳng thức Lundberg-Cramer .......................................................................... 28 2.3.3. ..................................................................................................................... X ấp xỉ Lundberg-Cramer ...................................................................................... 29 2.3.4. ..................................................................................................................... X ấp xỉ theo moment điều chỉnh ............................................................................ 31 2.3.5. ..................................................................................................................... X ác suất vƣợt hạn mức với phạm vi hữu hạn ....................................................... 33 2.4. ........................................................................................................................... M ô hình định lƣợng giá trị rủi ro tín dụng VaR ........................................................ 34 2.4.1. ..................................................................................................................... Đ ịnh lƣợng giá trị thua lỗ với độ tin cậy ........................................................... 34 2.4.2. ..................................................................................................................... T ính giá trị rủi ro bằng phƣơng pháp kinh tế ....................................................... 37 2.5. ........................................................................................................................... S o sánh chuyển mô hình Lundberg-Crame'r và VaR .............................................. 37 CHƢƠNG 3. THIẾT KẾ THUẬT TOÁN VÀ PHẦN MỀM ..................................... 40 3.1. ........................................................................................................................... C ác khái niệm mô phỏng số ..................................................................................... 40 3.1.1. ..................................................................................................................... L iên hệ số ngẫu nhiên và tựa ngẫu nhiên ............................................................. 41 3.1.2. ..................................................................................................................... P hƣơng pháp tạo thể hiện biến ngẫu nhiên .......................................................... 41 3.1.3. ..................................................................................................................... T hể hiện quá trình Poisson phức hợp ................................................................... 43 3.2. ........................................................................................................................... T huật toán ƣớc lƣợng ............................................................................................... 43 3.2.1. ..................................................................................................................... T huật toán cho mô hình rủi ro .............................................................................. 43 3.2.2. ..................................................................................................................... Ƣ ớc lƣợng khoảng cho thời gian .......................................................................... 45 3.3. ........................................................................................................................... P hần mềm mô phỏng ứng dụng mô hình rủi ro ....................................................... 48 3.3.1. ..................................................................................................................... G iới thiệu .............................................................................................................. 48 3.3.2. ..................................................................................................................... N gôn ngữ lập trình sử dụng .................................................................................. 48 -8- Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng 3.3.3. ..................................................................................................................... G iao diện và sử dụng kết quả ................................................................................ 52 3.3.3.1. ............................................................................................................ G iao diện chính ......................................................................................... 52 3.3.3.2. ............................................................................................................ G iao diện kết quả ...................................................................................... 54 3.3.3.3. ............................................................................................................ B iểu đồ quỹ đạo ....................................................................................... 57 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 61 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN ........................................................................................................................... 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 63 -9- Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ BÀI TOÁN 1.1. Kiến thức chuẩn bị: 1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên: Định nghĩa 1.1. [3]Biến ngẫu nhiên X đƣợc gọi là biến ngẫu nhiên khi nó đại diện cho giá trị của một biến cố. Giả sử biến cố A là số các mặt sấp khi gieo 3 đồng xu. X đại diện cho giá trị của biến cố A : X={0,1,2,3} gọi là một biến cố ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.2. [1]Phân phối mũ Biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ với tham số λ > 0 nếu hàm mật độ xác suất có dạng sau: Trong đó là tham số của phân bố, thƣờng đƣợc gọi là tham số tỉ lệ. Từ định nghĩa ta dễ dàng nhận thấy:  Hàm phân phối của X : .  Kỳ vọng và phƣơng sai: Định lý 1.3. Một số tính chất của phân phối mũ i. Ta nói X là biến ngẫu nhiên không nhớ nếu , với mọi s, t >0 hay (1.2) có phân phối mũ khi và chỉ khi ii. (1.1) không nhớ. là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối mũ với tham số λ > 0. Khi đó có phân phối Gamma với các tham số n và λ > 0 nhƣ sau: = Định nghĩa 1.4. [3]Phân phối Poisson Phân phối Poisson với tham số > 0 là một dãy số. Nói một biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số - 10 - > 0 nếu: Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng i. ii. , với Định lý 1.5. Một số tính chất cơ bản của phân phối Poisson i. Giả sử X có phân phối Poisson với tham số λ > 0. Khi đó ta có: là hai biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối Poisson tƣơng ứng với các ii. tham số . Thì tham số . cũng là một biến ngẫu có phân phối Poisson với iii. Nếu N là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson tham số λ > 0. X là biến ngẫu nhiên thỏa mãn phƣơng trình sau: (1.3) Khi đó Trong đó có phân phối Poisson với tham số là xác suất xảy ra biến cố iv. Luật biến cố hiếm: A là biến cố xảy ra với xác suất . sát. Vậy . trong một phép thử. là số lần xuất hiện A trong n lần quan có phân phối nhị thức : Luật biến cố hiếm chỉ ra rằng khi p rất bé và chỉ số quan sát n rất lớn có thể xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson: Chứng minh i. Xét : (đpcm) ii. Dễ dàng nhận thấy : iii. Ta có: - 11 - Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng iv. Xét Giả sử rằng: Suy ra : . Và : Mà khi …. thì : Định nghĩa 1.6. [3]Quá trình ngẫu nhiên Giả sử 1 thí nghiệm ngẫu nhiên đƣợc chỉ rõ bởi các kết cục trong không gian mẫu ( tập hợp tất cả các trạng thái có thể của kết cục ). Với mỗi ta gắn với một hàm thời gian theo qui tắc Họ chỉ số các biến ngẫu nhiên với t thuộc I. với mỗi i cố định gọi là quá trình ngẫu nhiên với không gian mẫu . Trong quá trình xem xét quá trình ngẫu nhiên, ta bỏ qua và dùng kí hiệu cho quá trình ngẫu nhiên. - Đồ thị hàm số theo t gọi là 1 thể hiện hay 1 quỹ đạo mẫu. là một biến ngẫu nhiên. - Định nghĩa 1.7. [4]Quá trình đếm Giả sử A là một biến cố.Kí hiệu khoảng thời gian Khi đó là số lần xuất hiện biến cố A trong . gọi là quá trình đếm. là quá trình đếm khi nó là biến ngẫu nhiên thỏa mãn: i. ii. - 12 - Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng , với mọi iii. , với iv. . gọi là quá trình điểm tƣơng ứng với quá trình đếm v. Định nghĩa 1.8. [4]Số gia độc lập, số gia dừng i. Nói quá trình đếm có số gia độc lập, tức là với mọi mọi các số gia sau đây sẽ là các biến ngẫu nhiên độc lập : ii. và với . gọi là có số gia dừng nếu , với mọi s>0, các gia số là các biến ngẫu nhiên cùng phân phối. và 1.1.2. Quá trình Poisson: Định nghĩa 1.9. [3]Định nghĩa quá trình Poisson là quá trình Poisson với tham số Ta nói hay cƣờng độ .Nếu: i. ii. là quá trình có số gia độc lập. iii. Mỗi số gia ) có phân phối Poisson với tham số , với mọi và iv. . Định nghĩa 1.10. [4]Định nghĩa quá trình Poisson từ quá trình đếm Quá trình đếm gọi là quá trình Poisson nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i. Có số gia độc lập. ii. Có số gia dừng. iii. Tồn tại hằng số sao cho với khá bé: Định lý 1.11. Một số tính chất cơ bản của quá trình Poisson Suy ra tƣơng tự từ định lý về tính chất của phân phối Poisson ta có một số các kết quả nhƣ sau: i. X(t) là quá trình Poisson cƣờng độ Poisson với tham số ii. Theo khai triển Taylor khi . : - 13 - , thì tuân theo luật phân phối Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng Nhƣ vậy dễ dàng suy ra đƣợc một hệ quả : “Quá trình Poisson là quá trình điểm thỏa mãn các điều kiện trên và ngược lại”. , với iii. Cho cƣờng độ là quá trình Poisson lần lƣợt với .Khi đó: là quá trình Poisson với cƣờng độ - . là quá trình Poisson với cƣờng độ - là một quá trình Poisson cƣờng độ iv. Xét . với và .Thì: (1.4) Phân phối Erlang: Định nghĩa 1.12. [7] X có phân phối Gamma khi hàm mật độ của X có dạng sau ở đây là hàm Gamma. Phân phối Erlang là trƣờng hợp riêng của phân phối Gamma với là số nguyên dƣơng. Giả sử là thời điểm xuất hiện sự kiện lần thứ n của quá trình Poisson và là khoảng thời gian từ xuất hiện thứ đến lần thứ Khi đó ta có một số các mệnh đề sau đây: có phân phối Erlang hay phân phối Gamma với hàm mật độ: i. (1.5) là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối mũ tham số λ > 0. ii. Phân loại quá trình Poisson: là quá trình Poisson cƣờng độ . Mỗi khi biến cố A xuất hiện ta Xét có thể phân thành một trong các Kí hiệu lớp con. là số lần biến cố A loại xảy ra trong khoảng thời gian . Định lý 1.13. [7]Cơ chế phân loại Bernoulli Giả sử khi một sự kiện xảy ra, xác suất nó thuộc loại là mỗi quá trình đếm với là một quá trình Poisson với cƣờng độ . Khi đó, . Chứng minh Xét sự kiện xảy ra trong khoảng thời gian . - 14 - số các sự kiện thuộc lớp là => Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng Áp dụng mục iv. định lý 1.11 là các biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số . là một quá trình Poisson. 1.2. Phân tích bài toán: 1.2.1. Bài toán thực tế: Tín dụng ngân hàng là quan hệ giữa ngân hàng với các tổ chức tín dụng và các tổ chức kinh tế, cá nhân theo nguyên tắc hoàn trả. Việc hoàn trả đƣợc nợ gốc trong tín dụng có nghĩa là việc thực hiện đƣợc giá trị hàng hoá trên thị trƣờng, còn việc hoàn trả đƣợc lãi vay trong tín dụng là việc thực hiện đƣợc giá trị thặng dƣ trên thị trƣờng. Tín dụng ngân hàng có ít nhất hai bên tham gia là ngân hàng và khách hàng tín dụng, đối tƣợng ngân hàng cho vay trong tín dụng là tiền tệ.[2] Hình 1.1. Hoạt động vay vốn tín dụng Ngân hàng trên thực tế Do tính chất của hoạt động tín dụng, đặc biệt là hoạt động tín dụng cho vay không thế chấp, nó mang rất nhiều rủi ro có thể gây thiệt hại nghiêm trọng đến tài sản của ngân hàng cũng nhƣ ảnh hƣởng đến các hoạt động khác. Bộ phận phân tích rủi ro - 15 - Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng tín dụng ngân hàng đƣợc hình thành, mục đích là sử dụng mô hình dự báo rủi ro để quản lý tốt những rủi ro trong tín dụng ngân hàng. Bộ phận phân tích rủi ro có nhiệm vụ thu thập các hồ sơ đƣợc yêu cầu vay vốn tín dụng, các hồ sơ đã đƣợc vay vốn tín dụng, tình hình nguồn thu lợi nhuận từ các gói vay đã phát hành… Từ đó, áp dụng một mô hình dự báo rủi ro, đƣa ra các phƣơng án quản lý đối với các gói tín dụng đó. Quan trọng hơn hết phòng phân tích rủi ro sẽ là bộ phận tham gia hỗ trợ quyết định có hay không cho một doanh nghiệp, tổ chức, cá nhân vay vốn tín dụng không thế chấp dựa trên kết quả mô phỏng từ mô hình dự báo của mình. Hình 1.2. Sơ đồ hoạt động phòng phân tích rủi ro tín dụng Ngân hàng Vì vậy, việc xây dựng đƣợc một mô hình dự báo phù hợp và chính xác đƣợc xem nhƣ vấn đề quan trọng nhất của bộ phân phân tích rủi ro tín dụng ngân hàng. Trong luận văn này sẽ áp dụng một xấp xỉ cổ điển trong toán học tài chính để xây dựng mô hình quản lý rủi ro tín dụng ngân hàng. Xấp xỉ Lundberg- Cramér cổ điển. 1.2.2. Bài toán thực tế trên góc nhìn toán học: Theo nhƣ bài toán thực tế ở trên thì các vấn đề cần quan tâm tại một thời điểm ở đây bao gồm: Vấn đề 1: Số lƣợng các gói vay tín dụng đã phát hành. Vấn đề 2: Tổng số tiền lãi suất và tín dụng đã đƣợc thanh toán. Vấn đề 3: Đây là vấn đề quan trọng nhất trong các nghiên cứu sau này của mô hình quản lý rủi ro. Đó là số lần xuất hiện “nợ xấu” ( nó bao gồm các gói vay tín dụng sẽ không đƣợc khách hàng chi trả hay do không còn khả năng chi trả ). Sự xuất hiện “nợ xấu” sẽ ảnh hƣởng nặng nề đến quỹ vốn của hoạt động tín dụng trong ngân hàng nói chung và cả những hoạt động bên cạnh đó nữa. - 16 - Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng Với các phạm vi vấn đề 1 và 2 chúng ta có thể dễ dàng tính toán đƣợc bằng một con số chính xác và cụ thể dựa trên số liệu đã có trên thực tế. Vậy “nợ xấu” hay sự dự đoán sự xuất hiện của “nợ xấu” sẽ là vấn đề trọng tâm cho việc nghiên cứu mô hình quản lý rủi ro. Gọi là số “nợ xấu” tại thời điểm . Trên thực tế các thời điểm này là hoàn toàn ngẫu nhiên và độc lập nhau. Kí hiệu là khoảng thời gian tính từ lần xuất hiện “nợ xấu” thứ Xem xét là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối. đến lần thứ . là thời điểm xuất hiện “nợ xấu” thứ . Nhƣ vậy : Mục tiêu của bài toán là ƣớc lƣợng xác suất xuất hiện không quá n lần “nợ xấu” trong khoảng thời gian một cách tối ƣu nhất.Hay đồng nghĩa với việc ƣớc lƣợng giá trị sau: P{ > t} = P{N(t) < n} (1.6) 1.2.3. Biến đổi Laplace: Phép biến đổi Laplace là một phép biển đổi tích phân cơ bản có rất nhiều ứng dụng (trong kỹ thuật, kinh tế…). Nó cho phép biến mỗi hàm gốc theo một biến t thành hàm ảnh theo một biến . Phép biến đổi này sẽ giúp ta có đƣợc từ một hàm gốc rất phức tạp về một hàm ảnh với các biểu thức đơn giản hơn gấp nhiều lần chỉ với các phép tính đại số. Công thức Laplace. [9] là một hàm số thực , Cho Kí hiệu là hàm ảnh của hàm theo biến đổi Laplace sau: (1.7) - Nếu tích phân ở biểu thức (1.7) tồn tại với giá trị phức thuộc miền nào đó thì phép biến đổi Laplace của (t) tồn tại. - Ngƣợc lại ta nói phép biến đổi Laplace của hàm - Biến số s của hàm không tồn tại. là phức hay thực tƣơng đƣơng với pháp biến đổi Laplace ở trên là phức hay thực. Điều kiện tồn tại biến đổi Laplace: Hàm biến thực là hàm gốc của phép biến đổi Laplace nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhƣ sau: i. , với mọi . ii. liên tục từng khúc trên miền iii. không tăng nhanh hơn hàm mũ khi Tức là: tồn tại M >0, . sao cho: - 17 - Mô hình quản lý rủi ro tín dụng Ngân hàng (với mọi ), đƣợc gọi là chỉ số tăng của hàm đó. Định nghĩa 1.14. [3]Tích chập hai hàm số Tích chập của hai hàm số ) , với và là hàm số đƣợc xác định bởi công thức sau: (1.8) Mệnh đề 1.15. Một số tính chất của tích chập i. Tích chập có tính giao hoán. ii. Nếu là các hàm gốc thì tích chập của chúng cũng là một hàm gốc. Và: , Thì : Chứng minh i. là các hàm gốc: ii. Do Giả sử Vậy lần lƣợt có chỉ số tăng . là hàm gốc với chỉ số tăng tƣơng tứng là Xét: Ví dụ 1. Một số ví dụ về hàm gốc i. Hàm bƣớc nhảy đơn vị: Đây là 1 hàm gốc với chỉ số tăng - 18 - . .