Tài liệu Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Nguyễn Thị Kim Oanh MÔ HÌNH ISING VÀ ỨNG DỤNG CHO CÁC CHẤT SẮT TỪ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Nguyễn Thị Kim Oanh MÔ HÌNH ISING VÀ ỨNG DỤNG CHO CÁC CHẤT SẮT TỪ Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Mã số: 60440104 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. TS. Bạch Hương Giang 2. GS.TS Bạch Thành Công Hà Nội – Năm 2014 Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ    MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 CHƯƠNG 1: SẮT TỪ VÀ MÔ HÌNH ISING ........................................................5 1.1: Đặc điểm của chất sắt từ. .....................................................................................5 1.2:Hiện tượng chuyển pha vật liệu sắt từ. ................................................................6 1.2.1.Pha và chuyển pha. ............................................................................................6 1.2.2.Phân loại chuyển pha .........................................................................................6 1.2.3: Chuyển pha sắt từ-thuận từ. .............................................................................7 1.3 : Mô hình Ising cho chất sắt từ. .............................................................................9 1.3.2: Lời giải chính xác cho mô hình hai chiều. ......................................................13 1.3.3. Mô hình Ising ba chiều....................................................................................15 1.3.4. Năng lượng tự do , mô men từ , độ từ hóa trong mô hình Ising .....................19 1.3.5 : Kết luận ..........................................................................................................21 CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH ISING MẤT TRẬT TỰ VỚI TÍCH PHÂN TRAO ĐỔI THĂNG GIÁNG VÀ ỨNG DỤNG ...............................................................22 2.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising mất trật tự. ...................................................22 2.1.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising trật tự. .....................................................22 2.1.2. Mô hình Ising mất trật tự với tích phân trao đổi thăng giáng và hệ thức Callen. .......................................................................................................................24 2.1.3: Phương trình đại số cho mô men từ trên một nút mạng nhận bằng phương pháp biến đổi tích phân. ............................................................................................26 2.2: Phương pháp Monte Carlo [5] ...........................................................................34 2.2.1: Thuật toán Metropolis ....................................................................................34 2.2.2: Áp dụng cho mô hình Ising hai chiều .............................................................37 Luận văn tốt nghiệp     Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ   CHƯƠNG 3 : KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN ........................................................40 3.1: Đường cong từ nhiệt m(t) khi có và không có từ trường ngoài. ........................41 3.1.1: Mạng hai chiều ...............................................................................................41 3.1.2: Mạng ba chiều (z=6) ......................................................................................45 3.2. Đường biểu diễn phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha Curie vào xác suất p .............47 3.2.1 : Mạng hai chiều ..............................................................................................47 3.2.2: Mạng ba chiều ................................................................................................48 3.3 : Sự phụ thuộc mô men từ vào từ trường ngoài h ở nhiệt độ thấp. .....................49 3.3.1: Mạng hai chiều ...............................................................................................49 3.3.2: Mạng ba chiều ................................................................................................51 3.3.3:Áp dụng mô hình Ising có tích phân trao đổi thăng giáng cho chuyển phameta từ................................................................................................................................54 KẾT LUẬN ..............................................................................................................56 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................57 Luận văn tốt nghiệp     Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ    LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Bạch Hương Giang và GS.TS Bạch Thành Công đã tận tình hướng dẫn và động viên trong suốt quá trình thực hiện luận văn để em có thể hoàn thành tốt đề tài “ Mô hình Ising và ứng dụng với các chất sắt từ” . Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Th.S Nguyễn Văn Chinh –bộ môn Lý Sinh –Học viện Quân Y đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình em thực hiện những tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab. Em cũng xin gửi lời cảm ơn PTN tính toán trong KHVL, các thầy cô trong bộ môn Vật lý chất rắn và các thầy cô trong Khoa Vật lý – Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, các thầy cô công tác tại trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã trang bị kiến thức chuyên môn cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp em hoàn thành luận văn này. Cám ơn đề tài NAFOSTED 103.02.2012.73 đã giúp đỡ tính toán trên máy tính để thực hiện thành công luận văn này. Cuối cùng em xin gửi những lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh, động viên trong suốt quá trình em học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Hà Nội ngày 01 tháng 08 năm 2014 Người thực hiện Nguyễn Thị Kim Oanh Luận văn tốt nghiệp     Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ    MỞ ĐẦU Vật liệu từ được phát hiện cách đây hàng nghìn năm và ứng dụng tiêu biểu nhất trong thời kì đó là kim la bàn. Chính la bàn đã tạo điều kiện cho ngành hàng hải phát triển, góp phần tìm ra các lục địa mới. Việc phát hiện ra loại vật liệu này với những tính chất đặc biệt của nó đã tạo bước ngoặt lớn trong tiến bộ của loài người. Ngày nay, các vật liệu từ được ứng dụng rộng rãi trong các thiết bị hiện đại của cuộc sống xung quanh chúng ta như điện thoại, la bàn, ổ cứng, ti vi… Song song với sự phát triển của các loại vật liệu từ là sự phát triển của ngành từ học nghiên cứu các tính chất và các hiện tượng của vật liệu đó. Một hiện tượng quen thuộc và nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học chính là hiện tượng chuyển pha của vật liệu từ. Các mô hình lý thuyết giải thích hiện tượng từ một cách hiện tượng luận đã được đưa ra như mô hình lý thuyết trường phân tử Weiss (1907) giải thích hiện tượng sắt từ, mô hình Neel (1904-2000) giải thích hiện tượng phản sắt từ và feri từ ….Tuy nhiên việc phát triển các mô hình vi mô để giải thích được bản chất lượng tử của các hiện tượng từ luôn là nhiệm vụ cần thiết. Hiện nay, quá trình từ hóa trong vật liệu có cạnh tranh tương tác như quá trình cạnh tranh giữa phản sắt từ và sắt từ trong hợp chất, hợp kim perovskite pha tạp, sắt từ pha tạp …đang được nhiều phòng thí nghiệm trên thế giới nghiên cứu. Đặc biệt là quá trình từ hóa ở nhiệt độ thấp với ảnh hưởng của từ trường ngoài trong vật liệu đa tinh thể. Ví dụ như công trình nghiên cứu của R. Mahendiran [15] khảo sát sự phụ thuộc của mô men từ vào trường ngoài của vật liệucho kết quả khá lý thú là tồn tại của bước nhảy của mô men từ ở nhiệt độ thấp gần 0 độ Kelvin.Các nhảy bậc trong đường cong từ hóa ở nhiệt độ thấp trong môi trường có tồn tại cạnh tranh tương tác đã được khảo sát trong mô hình Ising hai chiều [7]. Mô hình Ising (1920) là mô hình toán học đơn giản cho hiện tượng từ trong cơ học thống kê. Mô hình này bao gồm các biến độc lập được gọi là spin có thể nhận một trong hai giá trị là 1 hoặc -1. Các biến spin được sắp xếp trong mạng tinh thể tại các nút mạng và chỉ tương tác với những lân cận của nó do nhà khoa học Ersnt Ising (1900-1998) xây dựng cùng với một số lý thuyết được nêu trong các công Luận văn tốt nghiệp   1   Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ   trình khoa học ở trên là cơ sở để giải thích cho quá trình chuyển pha từ trong các hệ từ pha tạp mạnh và có cạnh tranh tương tác. Trong luận văn này, tôi tiếp tục phát triển lý thuyết trên khảo sát quá trình từ hóa của vật liệu sắt từ dưới tác dụng của trường ngoài khác nhau và cho các hệ thực (hệ hai chiều, hệ ba chiều) mất trật tự và so sánh kết quả giữa lý thuyết với thực nghiệm. Các tính toán được thực hiện trong gần đúng phương pháp trường trung bình dựa trên đẳng thức Callen và khảo sát kết quả dựa trên phương pháp Monte Carlo là phương pháp tính toán lý thuyết kết hợp với mô phỏng. Phương pháp nghiên cứu - Dựa trên mô hình Ising và hệ thức Callen thực hiện các bước biến đổi giải tích theo cơ học thống kê để xây dựng được biểu thức mô men từ tỉ đối trên một nút mạng phụ thuộc vào các thông số như nhiệt độ, từ trường ngoài đặt vào, xác suất thăng giáng… Từ đó sử dụng phần mềm hỗ trợ Mathlab tính toán số thu được kết quả về sự phụ thuộc của mô men từ tỉ đối vào nhiệt độ và vào từ trường ngoài phù hợp với lý thuyết chuyển pha và thực nghiệm đã đo được. - Ngoài ra sử dụng phương pháp Monte Carlo áp dụng cho một số trường hợp cụ thể để thu được kết quả tương tự so với phương pháp giải tích. Cấu trúc luận văn Bên cạnh phần mục lục, mở dầu cấu trúc luận văn gồm ba phần chính như sau: Chương 1: Tổng quan về mô hình Ising. Chương 2: Ứng dụng mô hình Ising cho quá trình chuyển pha. Chương 3: Kết quả và thảo luận. Kết luận Danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục Luận văn tốt nghiệp    2 Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ    Danh mục hình có trong luận văn: Hình1.1: Đường cong từ trễ. Hình 1.2: Sự thay đổi định hướng của đám spin theo nhiệt độ. Hình 1.3: Mô hình Ising 1D Hình 1.4: Mô hình Ising 2D Hình 1.5: Mô hình Ising 3D Hình3.1: Đường cong từ nhiệt với các tham số z=4, h=0, p=0.5 và các giá trị   0.6(1);   0.8(2);   0.98(3);   1(4);   1.001(5);   1.02(6);   1.1(7);   1.106(8) Hình 3.2 : Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5 , h=0.002 và các giá trị    0.8(1);   1(2);   1.02(3);   1.106(4);   1.11(5);   1.19(6) Hình 3.3:Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5, h=0.02 và các giá trị    0.8(1);   1(2);   1.02(3);   1.106(4);   1.19(5);   1.25(6) Hình 3.4 : Đường cong từ nhiệt với z=4 , h=0.2 , p=0.5 với các giá trị    1.19(1);   1.3(2);   1.401(3);   1.43(4);   1.45(5);   1.5(6) Hình 3.5: Đường cong từ hóa với Z=4 , p=0.5 , delta=1.02 và các giá trị của h Hình 3.6 : Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên mộtnút mạng m vào nhiệt độ t khi z=6,p=0.5, h=0 và các giá trị ∆   0.6(1);   0.8(2);   1(3);   1.2(4);   1.5(5);   1.56(6) Hình 3.7: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên một nút mạng mvào nhiệt độ t khi z=6, p=0.5, h=0.002 và các giá trị    0.6(1);   0.8(2);   1.2(3);   1.5(4);   1.56(5) Hình 3.8: Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie vào xác suất thăng giáng p với z=4,   1.01 và   1.1 khi h=0 Hình 3.9 : Sự phụ thuộc nhiệt độphụ thuộc tc vào xác suất thăng giáng với z=4,  =1.15 ở h=0, h=1.2 và h=1.5. Hình 3.10 :Đồ thị phụ thuộc của (p-t) với z=6, h=0,  =1.005 và  =1.15 Hình 3.11:Sự phụ thuộc của nhiệt độtc vào xác suất p với z=6,  =1.15, h=0, h=1.5, h=1.6 và h=1.8 Luận văn tốt nghiệp   3   Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ   Hình 3.12: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trườngvới z=4, ∆ 1.03, t= 0.01 và các giá trị thăng giáng p=0.2 ; p=0.4; p=0.45 Hình 3.13: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trường vớiz=4,p=0.2,t=0.01và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi lần lượt là   1.02(1);   1.03(2);   1.04(3) Hình 3.14: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ vào từ trường với z=4, p=0.2, ∆=1.02 và các giá trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001, t=0.0001 Hình 3.15: Đường biểu diễn sự phụ thuộc mô men từ vào từ trường vớiz=6, t=0.01, p=0.2 và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi   1.02(1);   1.038(2);   1.04(3) Hình 3.16: Đồ thị (m-h) với z=6, Delta=1.04, t=0.01 và p=0.1, p=0.3, p=0.5 Hình 3.17: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ vào từ trường với z=6, p=0.1, ∆=1.04 và các giá trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001, t=0.0001. Hình 3.18 : Đồ thị biểu diễn m theo h với z=4, t=0.01, delta=1.04,p=0.1 Hình 3.19:Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mô ment từ tỷ đối m vào từ trường h khi z=4,t=0.01,delta=1.04,p=0.5 bằng phương pháp Callen và Monte Carlo Hình 3.20: Đồ thị so sánh giữa lý thuyết và thực nghiệm cho mômen từ(trong đơn vị µB ) trên một nút mạng theo từ trường. Luận văn tốt nghiệp    4 Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ    CHƯƠNG 1: SẮT TỪ VÀ MÔ HÌNH ISING 1.1: Đặc điểm của chất sắt từ. - Sắt từ là các chất có từ tính mạnh và có mômen từ nguyên tử lớn (ví dụ như sắt là 2,2 μB, Gd là 7 μB...). Nhờ tương tác trao đổi các mômen từ nguyên tử định hướng song song với nhau theo từng vùng (gọi là các đômen từ tính). Mômen từ của một đơn vị thể tích trong mỗi vùng đó gọi là từ độ tự phát - có nghĩa là các chất sắt từ có từ tính nội tại ngay khi không có từ trường ngoài. Đây là các nguồn gốc cơ bản tạo nên các tính chất của chất sắt từ. -Hiện tượng từ trễ: Khi từ hóa một khối chất sắt từ các mômen từ sẽ có xu hướng sắp xếp trật tự theo hướng từ trường ngoài do đó từ độ của mẫu tăng dần đến độ bão hòa khi từ trường đủ lớn (khi đó các mômen từ hoàn toàn song song với nhau). Khi ngắt từ trường hoặc khử từ theo chiều ngược, do sự liên kết giữa các mômen từ và các đômen từ, các mômen từ không lập tức bị quay trở lại trạng thái hỗn độn như các chất thuận từ mà còn giữ được từ độ ở giá trị khác không. Có nghĩa là đường cong đảo từ sẽ không khớp với đường cong từ hóa ban đầu, và nếu từ hóa và khử từ theo một chu trình kín của từ trường ngoài, ta sẽ có một đường cong kín gọi là đường cong từ trễ. Và trên đường cong từ trễ, ta sẽ có các đại lượng đặc trưng của chất sắt từ như sau: Hình1.1: Đường cong từ trễ Luận văn tốt nghiệp   5   Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ   * Từ độ bão hòa: là từ độ đạt được trong trạng thái bão hòa từ, có nghĩa làtất cả các mômen từ của chất sắt từ song song với nhau. * Từ dư: là giá trị từ độ khi từ trường được đưa về 0. * Lực kháng từ: là từ trường ngoài cần thiết để khử mômen từ của mẫu về 0, hay là giá trị để từ độ đổi chiều. Đôi khi lực kháng từ còn được gọi là trường đảo từ. * Từ thẩm: là một tham số đặc trưng cho khả năng phản ứng của các chất từ tính dưới tác dụng của từ trường ngoài. Từ thẩm của các chất sắt từ có giá trị lớn hơn 1 rất nhiều, và phụ thuộc vào từ trường ngoài . * Nhiệt độ Curie: là nhiệt độ mà tại đó, chất bị mất từ tính. Ở dưới nhiệt độ Curie, chất ở trạng thái sắt từ, ở trên nhiệt độ Curie, chất sẽ mang tính chất của chất thuận từ 1.2:Hiện tượng chuyển pha vật liệu sắt từ. 1.2.1.Pha và chuyển pha. Pha là một trạng thái của vật thể với các tính chất và đối xứng đặc trưng. Ta có thể đưa ra một số ví dụ như pha rắn, pha lỏng của kim loại và hợp kim, pha sắt từ, thuận từ của các vật liệu từ….. Chuyển pha là sự thay đổi trạng thái từ mức độ đối xứng này sang mức độ đối xứng khác hình thành các tính chất mới của vật liệu. Đối xứng ở đây có thể là đối xứng tinh thể (chuyển pha rắn lỏng…) cũng có thể là đối xứng của tham số vật lý khác(đối xứng mômen từ trong chuyển pha sắt từ-thuận từ…) 1.2.2.Phân loại chuyển pha Có nhiều cách phân loại chuyển pha. Năm 1933, theo phân loại của Ehrenfest [1] chuyển pha bậc n là chuyển pha trong đó có các hàm thế nhiệt động thay đổi liên tục khi đi qua điểm chuyển pha (T=Tc) và đạo hàm bậc n của các thế nhiệt động theo nhiệt độ liên tục tại điểm chuyển pha và đạo hàm bậc n+1 bị gián đoạn. Luận văn tốt nghiệp    6 Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ    Trên thực tế chỉ có chuyển pha loại 1 và chuyển pha loại 2. Theo lý thuyết Landao đưa ra năm 1937,chuyển pha gắn với tính chất đối xứng của hệ và Landao đã đưa ra các tham số trật tự gắn đặc trưng cho hệ vật lý. Khi pha đối xứng chuyển từ pha đối xứng này sang pha đối xứng khác thì tham số trật tự cũng thay đổi giá trị. Chuyển pha loại 1: là sự biến đổi của hệ trong đó khối lượng riêng, các thế nhiệt động (trừ entanpi tự do G), entropi biến đổi gián đoạn ở điểm chuyển pha, nhiệt chuyển pha có giá trị khác không.Ở chuyển pha loại 1 sự sắp xếp mạng tinh thể (thay đổi kích thước giữa các nguyên tử và góc giữa các mặt tinh thể) xảy ra trong khoảng nhiệt độ rất hẹp. Hệ quả là đối xứng tinh thể thay đổi đôt ngột và đồng thời trạng thái tinh thể, nội năng và các đại lượng nhiệt động khác thay đổi xuất hiện bước nhảy thể tích và thu (tỏa)nhiệt chuyển pha.Ví dụ:sự bay hơi, nóng chảy, kết tinh … Chuyển pha loại 2: là sự biến đổi pha của hệ trong đó khối lượng riêng và tất cả các thế nhiệt động biến đổi một cách liên tục, còn đạo hàm bậc hai của entanpi tự do G theo các thông số vật lý của hệ (hệ số giãn nở,nhiệt dung…) biến đổi gián đoạn.Tại điểm chuyển pha loại 2 không phân biệt được các pha. Nhiệt chuyển pha bằng không.Ví dụ biến đổi trạng thái sắt từ sang thuận từ, từ trạng thái siêu dẫn sang trạng thái thông thường khi không có từ trường ngoài là chuyển pha loại 2. 1.2.3: Chuyển pha sắt từ-thuận từ. Khi đặt vật rắn vào từ trường ngoài mà vật thay đổi tính chất vật lý, ta nói vật rắn có tính chất từ. Các đại lượng vĩ mô đặc trưng cho tính chất từ của vật rắn là : +Mô men từ: là đại lượng đặc trưng cho độ mạnh yếu của nguồn từ. Xét một mạch điện kín có dòng điện cường độ I chạy qua, mômen từ gây ra bởi dòng điện trong mạch xác định bởi biểu thức : m= Luận văn tốt nghiệp   . 7     (1.1) Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ   Đối với nguyên tử, mômen từ của nguyên tử chủ yếu được gây nên bởi mômen quỹđạo L và mômen spin S của các lớp vỏ điện tử không lấp đầy. +Độ từ hóa (từ độ): là đại lượng vật lý được xác định bằng mômen từ của vật liệu trên một đơn vị thể tích: ∑ = Trong đó:   ∆ (1.2) là mômen từ của các hạt vi mô trong đơn vị thể tích ∆ + Độ từ cảm: là đại lượng đặc trưng cho mômen từ do từ trường H gây ra trên một đơn vị thể tích. Mối liên hệ giữa độ từ hóa và từ trường H có thể được biểu diễn dưới dạng: =χ   Với: χ<0: Chất được gọi là nghịch từ có χ>0: Chất được gọi là thuận từ có (1.3) cùng phương ngược chiều cùng phương cùng chiều với Chất thuận từ và nghịch từ có đặc điểm chung là: chỉ có từ tính tồn tại khi có từ trường ngoài đặt vào và độ cảm từ χ nhỏ. -Quá trình chuyển pha sắt từ-thuận từ: Khi không có từ trường ngoài và ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ Curie chất có từ tính rất mạnh gọi là chất sắt từ có trật tự từ tự phát. Nguồn gốc của sắt từ là do các spin điện tử thuộc các lớp điện tử không lấp đầy(f,d). Tương tác giữa các mômen từ là hệ quả của tương tác giữa các điện tử trên các nguyên tử khác nhau hoặc giữa các điện tử linh động và các điện tử định xứ trong từng nguyên tử. Hiệu ứng của tương tác này là sự chuyển dời từ các điện tử từ nguyên tử này sang nguyên tử khác hay dẫn đến sự phân cực của các điện tử linh động tạo nên tương tác gián tiếp giữa các mômen từ định xứ. Xét hệ sắt từ đẳng hướng khi không có từ trường ngoài, ta tăng dần nhiệt độ từ T=0K. Luận văn tốt nghiệp    8 Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ    * Tại T=0K ở trạng thái cơ bản, các spin định hướng song song theo một phương tùy ý. * Cho nhiệt độ tăng dần: càng có thêm nhiều spin định hướng không có trật tự(do chuyển động nhiệt phá vỡ sự song song của các spin) nhưng tương tác trao đổi vẫn còn đủ mạnh để giữ các spin song song trong một miền nào đó gọi là các đám từ. Các đám từ khác nhau thì định hướng khác nhau. * Tiếp tục tăng nhiệt độ: khi T=Tc xảy ra sự cạnh tranh mạnh giữa hai xu hướng: . Tạo trật tự từ (do tương tác trao đổi) . Phá vỡ trật tự từ(do chuyển động nhiệt) * Khi T>Tc, các spin định hướng một cách tùy ý, vật liệu bị mất từ tính và ở trạng thái thuận từ. Hình 1.2: Sự thay đổi định hướng của đám spin theo nhiệt độ. 1.3: Mô hình Ising cho chất sắt từ. Mô hình Ising là một trong mô hình đơn giản nhất và phổ biến nhất trong biểu diễn tương tác và được đề xuất đầu tiên bởi Ernst Ising vào năm 1925 với sự tham gia của giáo sư Wilhelm Lenz [18]. Mô hình Ising là mô hình toán học cho chất sắt từ. Ising chỉ ra rằng trong không gian một chiều không xảy ra quá trình chuyển pha và ông cũng tranh luận rất nhiều trong hệ mô hình chất sắt từ hai chiều và ba chiều[16]. Vấn đề này được sang tỏ vào năm 1941 khi Kramers và Wannier đưa ra mô hình toán học và tính toán cho bài toán này.Đến 1944, Lars Onsager đưa ra lời giái chính xác cho mô hình Ising khi không có từ trường ngoài[18]. Luận văn tốt nghiệp   9   Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ   Xuất phát toán học của mô hình: Coi như một mạng toán học có N nút mạng với một spin S ở mỗi nút. Spin có thể nhận hai giá trị+1 spin lên ( spin up) và -1spin xuống (spin down).Do vậy có tổng 2N trạng thái trong hệ. Tại vị trí thứ i bất kì trong mạng tinh thể được biểu diễn bởi một biến spin Si. Năng lượng tương tác được định E I {Si }   nghĩa:  i , j  N J ij Si S j   Bi Si (1.4) i 1 Trong đó: I: Biểu thị mô hình Ising. Jij :thông số năng lượng và ta đặt gµB =1. : cặp spin lân cận gần nhau. Jij là hằng số tương tác trao đổi.Để đơngiản,ta đặt Jij = J và chỉ xét tương tác giữa lân cận gần nhất. Nếu J > 0 khi đó trong trạng thái cơ bản các spin xếp song song, tương tác là tương tác sắt từ. Nếu J < 0 khi đó trong trạng thái cơ bản các spin đối song song,tương tác là phản sắt từ. Để đơn giản ta cho J > 0, xét sự kết hợp của các spin trong từ trường ngoài B. Ta coi các spin nằm dọc theo trục z khi từ trường ngoài B=Bz. Khi ở trong từ trường ngoài không đổi Bi= B > 0 năng lượng tương tác trở thành E I {Si }   J  i , j  Si S j  B  S i (1.5) i 1 Tổng thống kê Z có dạng : Z=∑ ∑ …∑                                   (1.6) 1.3.1 Chuyển pha trong mô hình một chiều. Trong không gian một chiều, mô hình Ising được xem xét là một chuỗi các các điểm trên một đường thẳng gồm N nút mạng, mỗi nút là một spin nguyên tử. 1 2 Hình 1.3 : Mô hình Ising 1D Luận văn tốt nghiệp     10 Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ    Áp dụng điều kiện tuần hoàn biên cho các spin, các spin chỉ tương tác với các spin lân cận ở trong từ trường ngoài B. Ta có thể viết: N N i 1 i 1 EI {Si }   J  Si Si 1  B  Si (1.7) Theo điều kiện biên tuần hoàn: SN+1 = S1 (1.8) Tổng thống kê Z được viết dạng : Z=∑ ∑ …∑ exp   ∑               (1.9) Kramer và Wannier biểu diễn tổng thống kê Z một cách rõ ràng như sau : Z=∑ ∑ …∑ exp   ∑     (1.10) Kết quả là ta phải tính giá trị của các ma trận (2 x 2). Trong đó ma trận P là ma trận được xác định như sau : ′ = exp { β [ JSS’ +                  (1.11) Trong đó S và S’ là độc lập với giá trị ± 1. Ta có các ma trận cơ sở : <+1|P|+1> = exp [ β( J + B ) ] <-1|P|-1> = exp [ β( J – B ) ] <+1|P|-1> = <-1|P|+1> = exp [ - βJ ] (1.12) Biểu diễn ma trận P trong dạng :                                      (1.13) P= Ta có thể viết Z như sau : Z=∑ ∑ …∑ =∑ | | | | = Tr Luận văn tốt nghiệp   11   | | | | Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ                                                                         (1.14) = Với  , là hai giá trị của P > . Z chính là vết của ma trận năng lượng thứ N với kết quả của điều kiện biên tuần hoàn cho công thức (1.5). Det =  2 cosh  2 sinh 2 =0 (1.15) Kết quả là :                                       cosh =  2 sinh  2 (1.16) Khi B = 0                                                                    = 2 cosh (βJ) (1.17)                                                                              = 2 sinh (βJ) (1.18) Trở lại trường hợp chung với B ≠ 0. Trong trường hợp này /  ≤ trường hợp J = B = 0. Trong giới hạn nhiệt động ( N→∞ ), chỉ có giá trị / hợp. Chúng ta sử dụng ( = lim = lim = ln = ln ∞   1 giống   là thích <1 và năng lượng tự do Helmholt trên spin là : ln ∞ ln 1   lim ∞ ln 1                                                                                                                                                                             (1.19) Vì vậy năng lượng tự do Helmholtz trên 1 spin là :   =- =-J- cosh   Độ từ hóa của một spin là: m= = Luận văn tốt nghiệp     12 2 sinh 2 (1.20) Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ    m=-   = (1.21)     Khi trường ngoài bằng 0 (B=0) độ từ hóa bằng 0 (m=0) ở mọi nhiệt độ. Có nghĩa là trong trường hợp này sẽ không có độ từ hóa tự phát và trong mô hình Ising một chiều không có tính sắt từ. Nguyên nhân là do ở một nhiệt độ bất kì, quá trình xảy ra theo hai khuynh hướng cạnh tranh đối lập nhau: Xu hướng sắp xếp các spin thẳng hàng để năng lượng là cực tiểu và xu hướng sắp xếp ngẫu nhiên để entropy là cực đại.Trên tất cả, xu hướng để năng lượng tự do là cực tiểu với F= E – TS. Trong mô hình một chiều, xu hướng sắp xếp thẳng hàng của các spin luôn mất đi do không có đủ spin lân cận. Kết luận: Trong mô hình Ising một chiều không xảy ra quá trình chuyển pha theo nhiệt độ. 1.3.2: Lời giải chính xác cho mô hình hai chiều. Trong mô hình Ising hai chiều với mạng spin được coi là mạng vuông lý tưởng có số lân cận là 4. Dẫn dắt từ phép biến đổi giải tích thông qua ma trận chuyển giao, Lars Onsager đã đưa ra lời giải chính xác cho mô hình hai chiều vào 1944[17]. N j 1 j 1 j j 1 j 1 1 2 3 Hình 1.4: Mô hình Ising 2D Hamiltonian có thể viết dưới dạng : H = -J∑ ,   Luận văn tốt nghiệp   , , 13   , ,   –h∑, , (1.22) Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ   Trong đó mỗi spin tương ứng với một nút mạng trong không gian hai chiều. Hamiltonian có thể viết dưới dạng : H=∑ ,                                   (1.23) Trong đó : E( , E( Với   ∑ ∑ =                                          (1.24) ∑, ,                              (1.25) là tập hợp các spin theo một cột :                                                         , ={ ,…..,                                            (1.26) Khi đó ma trận chuyển giao P là một ma trận 2 | | 2 dạng : = exp {-β[E( ,  E( (1.27) Hàm tổng thống kê : Z = Tr(Pn) (1.28) Giống như bài toán mô hình một chiều ta cần phải tìm trị riêng của P. Theo giới hạn nhiệt động, kết quả cuối cùng tính trong từ trường B=0 ta có: ln (1+ 1 g(T) = -kT ln[2cosh(2βJ)] - ) (1.29) Trong đó : K= (1.30)   Năng lượng trên một spin là : = -2Jtanh(2βJ) +    ∆ ∆                         (1.31) Với ∆    1 Độ từ hóa : m = {1- sinh  2 Luận văn tốt nghiệp     14                                            (1.32) Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ    KhiT>TC tồn tại sự mất trật tự khi B=0. Điều kiện của nhiệt độ tới hạn xảy ra quá trình chuyển pha là : 2tanh2(2 1 2,269158 J kTC Khi T=TC nhiệt chuyển pha trên một spin là :   = ln 1 ln 1 (1.33) Kết luận: Trong mô hình Ising hai chiều xảy ra hiện tượng chuyển pha từ sắt từ sang thuận từ. 1.3.3. Mô hình Ising ba chiều. Mô hình Ising ba chiều hiện nay chưa có lời giải chính xác. Dưới đây là lời giải mô hình Ising ba chiều cho hệ orthorhombic đơn giản. Mô hình Ising ba chiều các nguyên tử chiếm giữ không gian trong mạng dạng hình lập phương. Hình1.5: Mô hình Ising 3D Chúng ta xét với mạng orthorhombic đơn giản có m hàng và n cột vị trí trong một mặt phẳng. Mỗi vị trí được xác định trong hệ thống mạng bởi các chỉ số (i,j,k). Mỗi vị trí có hai loai nguyên tử,tất cả chúng có định hướng đối song song với nhau. Trong mô hình ba chiều, mômen từ spin S=1/2, chỉ tương tác với các spin lân cận. Trong một mặt, năng lượng tương tác là +J giữa nguyên tử với nguyên tử không lân cận khác trong một hàng và +J’ giữa các nguyên tử không lân cận khác trong một Luận văn tốt nghiệp   15