Tài liệu Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng giáo trình dùng cho các trường đại học và cao đẳng

CD NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM ĐẶNG HÙNG THẮNG ■ MỞ ĐẦU VẾ Lí THUYẾT XÁC SUẤT VÀ CÁC ÚNG DỤNG ■ Giáo trình dùng cho các trường Đại học và Cao đẳng (Tái bản lần th ứ tám) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DUC VIÊT NAM LÒI NÓI ĐAU "Càn nhó rằng mộn khoa học bắt dầu từ uiệc xem xét các trò chơi may rủi lại hứa hẹn trỏ thành dối tượng quan trọng nhát của tri thức loài người. Phần lớn những ván dầ quan trọng nhát của đời sống thực ' ra chỉ là những bài toán của lí (huyết xác suất" P.S.Laplaxơ (1812) Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người bắt buộc phải tiếp xúc với các biến cố ngẫu nhiên khống th ể dự đoán trước đưcc. Một lĩnh vực của Toán học cố tên là : "Lí thuyết Xác suêt" đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật và các quy tắc tỉm toán các hiện tư ợ ng ngẫu nhiên. Ngày nay Lí thuyết Xác su ất (LTXS) đã trở thành một ngành Tom học lớn, chiếm vị trí quan trọng cả về lí thuyết lẫn ứn£ dụng. Một m ặt LTXS là một ngành Toán học cd tẩ m lí thiyết ở trình độ cao, m ặt khác nó được ứng dụng rộng rãi tro ig nhiều ngành KHKT và cả KHXH và N hân văn. Đặc biệt LTXS gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về các phtơng pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng. ờ rấ t nhiều nước trên th ế giới, LTXS và Thống kê đã được đưỉ. vào giảng dạy ngay từ bậc tru n g học và là môn cơ sở bát biũc đối với sinh viên của nhiều ngành học khác nhau ở bậc đại học. ơ nước ta, trong chương trình cải cách, học sinh phổ th m g tru n g học đã được làm quen với LTXS. 3 Trong quyết định vể đào tạo đại cương theo 7 nhóm ngành của Bộ Giáo dục và Dào tạo, tấ t cả các nhổm ngành đều cd chương trình Xác Suất - Thông Kê với thời lượng ít n h ấ t là 4 đơn vị học trình. Nhiều cán bộ đã ra công tác có nhu cẩu phải tự học môn học này. Cho đến nay các giáo trình, sách tham khảo về Xác su ấ t Thống kê ở nước ta còn rấ t ít. Một só sách xu ất bản trước đây khá lâu đã không còn phù hợp. Để đáp ứng nhu cấu về giảng dạy, học tập và ứng dụng LTXS, chúng tôi biên soạn cuốn sách này với hy vọng cuốn sách sẽ là một giáo trình có chất lượng, phục vụ cho một đối tượng đông đảo các bạn đọc bao gồm : 1) Các bạn sinh viên cao học, đại học và cao đẳng lần đầu tiên làm quen với LTXS, muốn được tra n g bị những kiến thức cơ bản n h ất của môn học. 2) Các eán bộ nghiên cứu, các thấy giáo ở đại học và phổ thông và tấ t cả những ai muổn tự học bộ môn này. Trong khi biên soạn sách này, chúng tôi đã dựa trên chương trình chuẩn vể môn LTXS cho 7 nhóm ngành của Đại học Quốc gia H à Nội, cũng như chương trình chuấn ở các trường đậi học kinh tế, kỉ th u ậ t khác. Chúng tôi cũng đã th am khảo những sách và giáo trình mới n h ấ t về Xác su ất của một số nước ph át triển. P hẩn lớn nội dung cuốn sách đã được chúng tôi thử nghiệm giảng dạy nhiều lần cho sinh viên các khoa Toán, Tin, Hóa, Địa, Sinh, Y. Để giúp các bạn sinh viên không phải thuộc ngành Toán và các bạn tự học dễ lỉnh hội, chúng tôi đã cố gắng lựa chọn các phương pháp trình bày th ậ t dễ hiểu. Các chứng minh dài được bỏ bớt, dành chỗ cho nhiều thỉ dụ cụ th ể để giúp bạn đọc nấm vững lí thuyết hơn, đổng thời qua đổ bước đầu thấy được khả năng ứng dụng rộng rãi của LTXS. N hững thí dụ này cũng^đdng vai trò như những bài toán chọn lọc để độc giả lấy làm mẫu khi giải các bài tập ở cuối chương. Cuốn sá>ch có gẩn 100 thí dụ. Để học Toán Xác su ất có kết quả, sinh viên n h ấ t thiết phải giải bài tập, giải được càng nhiểu càng tốt. Thành thử ở cuối 4 mỗi chương chúng tôi đưa vào khá nhiểu bài tập để độc giả được thử thách rèn luyện và tự kiểm tra. Da số các bài tập ở mức cơ bản, không phải là các bài quá khó. Mỗi bài tập đều cd đáp số và chỉ dẫn để giúp cho các bạn tự học. Cuốn sách gốm cò 5 chương và một phụ lục. Chương I, Chương II và Chương III trìn h bày những kiến thức cơ bàn, cốt lõi của LTXS m à mọi chương trìn h cho các nhóm ngành đểu đòi hỏi. Để nám được các Chương I và II chỉ yêu cầu kiến thức về Đại số ở tru n g học, còn đối với Chương III thỉ cần thêm một chút kiến thức vể Giải tích ờ tru n g học và năm thứ n h ất bậc đại học. Chương IV và Chương V được biên soạn phục vụ cho các sinh viên thuộc nhdm ngành 1, 2 (Toán, Tin, Vật lí, Hổa, Địa) và kinh tế, ở đó sự chuẩn bị về Tbán của họ đầy đủ hơn. P hần phụ lục 1 nh ằm giúp độc giả ôn tập lại các kiến thức cơ bàn về Giải tích tổ fyợp phục vụ cho việc học các chương I, II. Phụ lục 2 là các b ản g phân bô nhị thức, Poatxông và chuẩn. Trong quá trìn h biên soạn tác giả đã nhận được nhiểu ý kiến đóng góp của các đổng nghiệp trong Bộ môn Xác suất Thống kê khoa Tbán “ Cơ - Tin học, Đcại học Quốc gia Hà Nội. Xin chân th à n h cám ơn những đổng góp đó. Tấc giả xin bày tỏ lời cảm ơn đặc biệt tới GS.TS. Nguyễn Duy Tiến, PGS. Nguyễn Văn Hữu, PGS. Lý Hoàng Tú, PTS. Trần Phương Dung PTS. Nguyễn Văn Thường và ông Nguyễn Khắc An, trong việc thẩm định, tổ chức bản thảo và biên tập cuốn sách. Mặc dù tác già d ã hết sức cố gáng, song cuốn sách vẫn có thể có những thiếu sđt. Chúng tôi rấ t mong nhận được sự gdp ý phê bỉnh của độc giả. 5 Chương I B I Ế N CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIEN c ố §1 PHÉP THỬ NGẤU NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN MAU Trong thực tế ta thường gặp r ấ t nhiều hành động m à các kết quả của nổ không th ể dự báo trước được. Ta gọi chúng là các phép thử ngẫu nhiên. Phép thử ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi chữ s . Các kết quả của s là ngẫu nhiên, không th ể xác định trước. Tuy nhiên ta cd th ể liệt kê ra tấ t cả các kết quả cố th ể của s . Tập hợp tấ t cả các kết quả cđ th ể của s được gọi là không gian m ẫ u của s và ta thường kí hiệu nổ bằng chữ Q. Chữ cu dùng để kí hiệu một phẩn tử của Q và ta gọi mỗi phần tử ơ) của Q là một biến cố sơ cáp. T h í dụ 1 ' a) Phép thử s là gieo một con xúc xắc và quan sát số nốt trên m ặt xuất hiện của con xúc xắc. Th không th ể biết trước được m ặt nào của con xúc sắc sẽ xuất hiện. Không gian mẫu Q của & là Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. b) Phép thử £ là chọn ngẫu nhiên 500 thanh niên ở lứa tuổi từ 18 đến 25 và đếm xem có bao nhiêu người cđ thổi quen hút thuốc lá. Con số này cổ th ể là một số nguyên bất kì từ 0 đến 500 Vậy Q = {0, 1, 2, 500}. 7 §2. B IẾ N CỐ VÀ MỐI QUAN H Ệ GIỮA CHÚNG Xét một phép thử 6 . Cđ rấ t nhiều câu hỏi liên quan tới kết quả của s . Ta hãy xét các biến cố (còn gọi là sự kiện) mà việc xày ra hay không xảy ra của chúng hoàn toàn được quyết định bởi kết quả của &. Kết quả cư của s được gọi là kết quả thuận lợi cho biến A nếu A xảy ra khi kết quà của £ 1à CƯ. cố Thí dụ 2 Phép thử 6 là gieo một đống tiễn liên tiếp 3 lẩn. Đổng tiền cđ th ể sấp (S) hoặc ngửa (N). Không gian mẫu Q của s là Q = {SNN, NSN, SSN, NNN, SNS, NSS, sss, NNS}. Gọi A là biến cố : "Cđ đúng hai lẩn đổng tiền ra m ặt ngử a”. Khi đố các kết quả thu ận lợi cho A là {SNN, NSN, NNS}. Nếu B là biến cố : "Số lẩn xu ất hiện m ặt ngửa là một số lẻ" thì các kết quả th u ận lợi cho B là {SNS, SSN, NSS, NNN}. Như vậy một biến cố A được đống nhất với một tập con của Q bao gồm tất cà các kết quả thuận lợi cho A. Biến có không thể là biến cố không bao giờ xảy ra. Nố tương ứng với tập con rỗng 0 của Q. Biến có chắc chắn làbiến cố luôn luôn xảy ra. Nd tương ứng với toàn bộ tậ p Q. a ) Q u a n h ệ g iứ a c á c b ié n cố. Kéo theo : Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu khi A xảy ra thì B cũng xảy ra. Nếu biểu diễn A và B bởi hai tập con của Q thì A kéo theo B nghĩa là. A c B. Biến cố đối : Biến cố được gọi là biến cố dối của A nếu nó xảy ra khi chỉ khi A không xảy ra. Biến cố đối của A được kí hiệu là A . Tầ có à = Q \A 8 b) Hợp c ủ a c á c biên cố Hợp của hai biến cố A và 5 là biến cố xảy ra nếu ít nhất có m ột trong hai biến cô A và B xảy ra. Ta kí hiệu hợp của hai biến cố A và B là A u B. Tương tự ta có th ể định nghĩa hợp của nhiểu biến cố. Nếu Ap A 2, A n là các biến cố thi hợp của chúng là biến cố xảy ra nếu ít n h ấ t có một biến cố nào đó trong các biến cố A p An xảy ra. Tá kí hiệu hợp của Ap A 2y A n là Aj u A2 ... u A n . c) G iao c ủ a c á c biến cố Giao của hai biến cô A và 5 là biến cố xảy ra nếu cả A và B đều xảy ra. Ta kí hiệu giao của hai biến cố A và B là AB. Giao của nhiểu biến cố Aj , A t , là m ột biến cố xảy ra nếu tấ t cà các biến cố Aị , At , ..., A n đều xảy ra. Kí hiệu giao của Aj , A 2 , là A ị A 2 ...An . Thí dụ 3 Ba xạ th ủ A, B, c mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu. Giả sử A, B và c là các biến cố sau : A :"Xạ thủ A bắn trúng” ; D :nXạ thủ B bắn trúng" ; c :"Xạ th ủ c bán trú n g ” i) Hãy mô tả các biến cố sau ABC, A B C , A u B u c . ề ii) Xét các biến cô sau D :"Có ít n h ất hai xạ thủ bán trúng" E :"Có nhiều nhất một xạ thủ bántrúng” ; ; F : "Chỉ có một xạ thủ bán trúng" ; G : "Chỉ có xạ thủ c bán trúng”. Hãy biểu diễn các biến cố này theo các biến cô A, B và c . 9 Giải. i) A B C là biến cố : "Cả ba xạ thủ đểu bắn trú n g ” A B c là biến cố : "Cả ba xạ th ủ đều bán trư ợ t” A u B u c là biến cố : "Cổ ít nh ất một xạ thủ bán trú n g ”. ii) D = AB u BC u CA. E = à B u BC u Cà bởi vì cđ nhiều nh ất một xạ thủ bắn trú n g có nghĩa là cổ ít n h ất hai xạ thủ bắn trượt. F = ÃB c u ÃB c u à BC. G = ABC. Biến có xung khắc : Hai biến cố A và B gọi là xu ng khấc nếu A và B không đống thời xày ra. Nói cách khác A và B xung khắc nếu A B = 0 . §3. XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN c ố Xác suất của một biến cố là m ột số nằm giữa 0 và 1, số này đo lường khả năng xu ất hiện của biến cố đd khi phép thử được thực hiện. Kí hiệu xác su ất của biến cố A là pCA). Cd ba phương pháp gán xác s u ấ t cho các biến cố là : định nghĩa- xác su ất cổ điển, định nghĩa xác su ất dựa trên tẩn su ất và định nghĩa xác suất theo tiên đề. a) Đ ịnh n g h ía x á c su ấ t cổ đ iể n . Giả thử phép thử s có một số hữu hạn các kết quả cđ th ể . Hơn nữa ta giả thiết rằn g các kết quả này có đòng khả nàng xuấ t hiện. Khi đó xác s u ấ t của biến cố A là tỉ số giữa sổ k ết quả th u ận lợi của A và số kết quả cố thể. Như vậy trong trường hợp này ta có |Ả| p(A) - w ở đó \A\ kí hiệu số phẩn tử của tậ p hợp A. 10 Như vậy trong trường hợp này việc tính xác suất quy về việc đếm số kết quả cố th ể và số kết quả thuận lợi. Để việc "đếm" này thực hiện một cách chính xác, nhanh chóng, ta Gần một số kiến thức về Giải tích Tổ hợp (xem Phụ lục). Định nghỉa xác suất cổ điển này dựa trên hai giả thiết quan trọng : x i) Các kết quà có thể là hữu hạn ; ii) Các kết quả có thể là dòng kh ả năng. Hai giả thiết này thường được thỏa m ãn khi chúng ta tính toán xác su ất tro n g các trò chơi may rủi, hoặc khi việc chọn lựa là vô tư, không thiên vị. Thí dụ 4 Gieo đổng thời ba con xúc sắc được chế tạo cân đối, đổng chất. Tính xác s u ấ t để tổng số nốt xu ất hiện của ba con là 9. Giải : Mỗi kết quả của phểp thử là một bộ ba (a, b, c) trong đổ a, b, c là các số nguyên dương từ 1 đến 6 . Vậy 1 ^ a ^ 6 Q = (a, b, c) : 1 ^ b ^ 6 1 ^ c IQI Các bộ ba (a, b, 6 = 6 X 6 X 6 = 63 = 216. c) có tổng bằng 9 là (1, 2, 6 )và 5 hoán vị của nó (1, 3, 5)và 5 hoán vị của nd (1, 4, 4) và 2 hoán vị của nó (2, 2, 5)và 2 hoán vị của nd (2, 3, 4) và 5 hoán vị của nó (3, 3, 3) Vậy số trư ờng hợp thuận lợi là \A\ = 6 4 - 6 + 3 + 6 + 3 + 1 = 25. Vì các con xúc sắc cân đối, đồng chất nên có thể cho rằng các kết quả là đổng khả nãng. Vậy 11 P(A) = 216 0,1157 Thi dụ 5 Trước cổng trường đại học có ba quán cơm binh dâni chất lượng ngang nhau. Ba sinh viên A, B, c độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán ăn để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố sau : a) 3 sinh viên vào cùng một quán ; b) 2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quán khác. Giải ; Ta đánh số ba quán cơm là 1, 2, 3. Gọi a, 6, c là quán cơm mà sinh viên A, B, c chọn. Như vậy Q là tập hợp các bộ ba (a, b, c) với 1 ^ a ^ 3, 1 ^ ò ^ 3, 1 ^ c ^ 3. Rõ ràn g |Q | = 3 3 = 27. Ta cđ th ể coi rằn g các kết q u à là đống khả năng. a) H iển nhiên cđ 3 trường hợp thuận lợi là (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3). Vậy : p = 27 9 b) Các trường hợp thuận lợi là ( 1 , 1, 2 ) và 2 hoán vị của nó (1, 1, 3) và 2 hoán vị của nó (2 , 2 , 1 ) và 2 hoán vị của nó (2, 2, 3) và 2 hoán vị của nó (3, 3j 1) và 2 hoán vl của nd (3, 3, 2) và 2 hoán vi của nó. Thành thử |A| = 6 x 3 = 18. ♦ Xác s u ấ t cấn tìm là P(A) = 12 18 27 2 3 Thí dụ 6 Một công ti cấn tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. a) Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đẽu là nam. b) Tính xácsuất để cả hai người trúng tuyển đểu là nữ. c) Tính xácsuất để có ít nhất một nữ trúng tuyển. Giải : Số trường hợp có thể là = 15 . Các trường hợp này đồng khả năng. a) su ất là Vì chỉ có 1 trường hợp cà 2 nam trú n g tuyển nên xác b) Só cách chọn 2 nữ trú n g tuyển trong số 4 nữ là C 4 = 6 . Vậy xác suất cẩn tim là c) Chỉ có 1 trường hợp cả hai nam trú n g tuyển nên 14 trư ờ ng hợp còn lại đểu có ít n hất một nữ trú n g tuyển. Vậy b) Đ ịn h n g h ía x á c su ấ t b ằ n g tẩn su ấ t Nếu số các kết quả cổ thể là vô hạn hoặc hữu hạn nhưng không đổng khả năng, cách tính xác su át cổ điển như trên không còn dùng được. Giả sử phép thử s có thể được thực hiện lặp lại rấ t nhiều lẩn trong những điễu kiện giống hệt nhau. N ếu trong n lần thực hiện phép thử 6 , biến cố A xuất hiện k'.(A) lần thì tỉ số fn(A) = được gọi là tần suất xuất hiện ^ * củ a biến cố A trong n phép thử. Người ta nhận thấy rằn g khi Stố phép thử n tăng ra vô hạn thỉ tẩn su ất f n(A) luôn dần tới raiột giới hạn xác định. 13 Giới hạn đó được định nghĩa là xác suất cùa A P(A) = lim fn(A). n -* oc Trên thực tế P(A) được tính xấp xỉ bởi tầ n suất fn(A) với n đủ lớn. Thí dụ 7 Để xác định xác suất để một người đàn ông 25 tuổi sẽ bị chết trong năm sắp tới, người ta theo dõi 100000 thanh niên 25 tuổi và thấy rằng có 138 người chết trong vòng 1 năm sau đổ. Vậy xác suất cẩn tìm xấp xỉ bằng 138 100000 = ° ’001.38 Thí dụ 8 Các con số thống kê cho thấy tần suất sinh con trai xấp xỉ 0,513. Như vậy xác suất sinh con trai lớn hơn xác suất sinh con gái. Việc giải thích sự kiện này là việc mà các nhà sinh học đang muón làm. Định nghĩa xác suất bằng tần suất chỉ áp dụng được cho các phép thử ngẫu nhiên cò thể lặp lại nhiểu lẩn một cách độc lập trong những điều kiện giống hệt nhau. Ngoài ra để xác định một cách tương đối chính xác giá trị của xác suất ta phải tiến hành một số đủ lớn các phép thử, mà việc này đôi khi không thể làm được vì hạn chế về thời gian và- kinh phí. c) P h ư ơ n g p h á p tiê n đ ể tr o n g lí thuyết* x á c su ất Bản chất của phường pháp tiên để khi xây dựng một lí thuyết toán học nào đđ là không quan tâm tới việc định nghĩa các đối tượng của lí thuyết đ<5, mà chỉ quan tâm tới mối quan hệ giữa các đối tượng đổ. Các đổi tượng đố cố th ể có bản chất khác nhau, miễn là chúng cùng tuân theo một bộ các quy tắc xác định, được gọi là hệ tiên đ'ê. Chảng hạn, trong bộ môn cờ tướng, các quân cờ và bàn cờ là cái gỉ cũng được, cái quan trọng là luật chơi. Luật chơi là "hệ tiên đề" của bộ môn cờ tướng. Trong 14 việc xây dựng môn Hinh học theo phương pháp tiên đé cũng vậy, các khái niệm điểm, đường th ẳn g và m ật phảng không được định nghĩa (chúng có th ể là bất cứ cái gì, là các bàn ghế hay cốc bia !). Một hệ tiên đề hỉnh học được nêu ra để định rõ mối quan hệ giữa chúng như : Qua hai điểm .xác định một đường thẳng, qua ba điểm xác định một m ặt phẳng, qua một điểm vẽ được một đường th ẳn g song song với một đường th ẳn g đã cho (tiên để Oclit). Các tiên để có th ể được lựa chọn bằng những cách khác nhau và tương ứng với mỗi hệ tiên để là một thứ hình học : Hình học Oclit, H ình học Lôbasepski, Hỉnh học Riơman. Trong việc xây dựng lí thuyết Xác su ất bằng phương pháp tiên đề, người ta cũng không quan tâm tới việc định nghĩa th ế nào là xác suất của m ột biến cố, mà chỉ quan tâm tới việc đưa ra một hệ tiên đề mà định nghĩa xác suất phải tuân theo. Sau đây là hệ tiên để của lí thuyết Xác suất do nhà toán học Nga lỗi lạc, Viện sỉ Kolmogorov, đưa ra năm 1933. Giả sử & là một phép thử ngẫu kết quả của 6 . Mỗi tập con của (liên kết với 6 ). Một họ ĩ nào đd là một ỡ - đại số qác biến cố nếu nhiên vồ Q là tập hợp các Q được gọi là một biến cố các tập con của Q được gọi : i) Q e ĩ , 0 e 7. ii) Nếu A E 7 thì Q \ A iii) Nếu Aj ,A -,, ... là một oo u At /1=1 E ĩ. dãy các tập hợp của họ 7 thì hợp cũng thuộc 7. Xác định m ột quy luật xác suất trên ơ - đại số 7 là gán cho mỗi biến cô A E 7 một sô P(A) gọi là xác suất của A. Pìhép gán đổ phải thỏa m ãn các điều kiện sau 1) V A e 7 , 0 ^ P(A) ^ 1 2) P(Q) = 1, P ( 0 ) = 0. 3) Nếu Aj , xiung khắc với A 2 ••• là một dãy các nhau (Aị A ị = 0 nếu biến cố i thuộc ĩ đôimột j ) thì 15 00 ŨC p ( ũ A .) = 2 m . ) /1 = 1 n =ì Nói cách khác xác su ất p là m ột án h xạ từ f vào [0,1] thỏa mán 3 điều kiện nêu trên. Thí dụ : Giả sử phép thử & gổm n kết quả có thể Q = {cư{1 cư2 5 0Jn} Tá gán cho mỗi kết quả a>\ một sổ Pi ^ 0 sao cho p\ + P2 + ••• + Pn = 1 . Gọi 7 là họ tấ t cả các tậ p con của Q. Dễ thấy 7 là một ơ - đại số. Nếu A là một tập con thì ta định nghĩa P(A) = 2 Pi i G/ ở đó tổng chạy trên các chỉ số i mà 0 J\ E A. Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ p : A P(A) thỏa m ãn hệ tiên đề Kolmogorov. Đặc biệt nếu ta chọn P\ = P2 - ... = Pn = n th ì \ A \ P(A) = —— , ở đó |A| là số phẩn tử của A. Đây chính là định Tb nghĩà xác suất cổ điển trong trư ờng hợp các kết quả của & là đổng khả năng. Thí dụ Giả sử phép thử & gổm một sổ vô hạn đếm được các kết quả Q = {cưp (jl>2 •••} Ta gán cho mỗi kết quả ơ)i m ột sổ Pi ^ 0 sao cho 00 1 / Pi = 1 (chẳng han lấy Pi = —7 ọ/ ). Goi 7 là ho tấi_cả các tẵp /=1 z con của Q. Dễ thấy 7 lập thành một õ - đại số. Nếu A là một tập con của Q thì ta định nghĩa P(A) = 2 Pi i G/ ở đó I là tập hợp các chỉ số i m à U)ị E A. Dễ thấy tương ứnig A —* P(A) như trên xác định một xác suất. 16 Thí dụ Giả sử phép thử & là chọn ngẫu nhiên một điểm trong hình vuông I. Rõ ràn g tập hợp Q các kết quả cổ th ể là tập hợp các điểm của hình vuông này. Q là một tập hợp không đếm được. Biến cố : "Điểm ngẫu nhiên rơi vào tập hợp A trong hình vuông I" được đổng nh ất với tập con A của I. Gọi lr là họ các tập con của I có diện tích (chú ý rằíig từ lí thuyết độ đo ta biết rằng không th ể gán diện tích cho mọi tập con của /). Bây giờ ta định nghĩa P(A) là diện tích của tập A. Do tính chất của diện tích, cách gán như trên thỏa m ãn hệ tiên để Kolmogorov và như vậy cho ta một xác suất. N hững tập hợp không cò diện tích tương ứng với. các biến cố m à không xác định được xác suất. Các biến 'cố này rấ t "ki quái" và thực tế chúng ta cũng không bao giờ xem xét các biến cố như vậy. Rõ ràn g cđ th ể cố nhiềù cách định nghĩa ánh xạ p thỏa mãn hệ tiên đề Kolmogorov. Thực tiễn khách quan là tiêu chuẩn quyết định xem cách gán nào là đúng đắn, phù hợp. d) N g u y ê n lí x á c x u ấ t nhỏ Một biến cố không th ể có xác su ất bằng 0. Tuy nhi-ên một biến cố cđ xác suất b ằn g 0 vẫn cổ th ể xảy ra trong một số rất lớn phép thử. Qua thực nghiệm và quan sá t thực tế, người ta thấy rằng các biến cố cđ xác suất bé sẽ không xảy r a khi ta chỉ thực hiện một phép thử hay một vài phép thử. Từ dó người t a thừ a nhận nguyền lí sau đây, gọi là "Nguyên lí xác suất nhỏ" : "Nếu m ột bĩến có cố xác su ất rấ t nhỏ thì thực tế cđ thể cho rằn g trong một phép thử biến cố đd sẽ không xảy ra ”. Chẳng hạn mỗi chiếc máy bay đều cổ một xác suất rấ t nhỏ <để xảy ra tai nạn. Níhưng trên thực tế ta vẫn không từ chối (đi máy bay vì tin tư ở n g rằng trong chuyên bay ta đi sự kiện máy bay rơi sẽ không xảy ra. Hiển nhiên việc quy định một mức xác suất th ế nào được gọi là nhỏ sẽ tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. Chẳng hạn nếu xác suất để máy bay rơi là 0,01 thì xác su ất đổ chưa thể được coi là nhỏ. Song nếu Kâc su ất 111ôt -chuyền t àu- -khởi hành chậm là 0,01 thì cđ thể ,2-MĐẩu. No l/r. ( ijj. . é 4 S p . 6 17 Mức xác suất nhỏ này được gọi là mức ý nghỉa. Nếu a là mức ý nghĩa thì số Ịì = 1 - a gọi là độ tin cậy. Khi dựa trên nguyên lí xác suất nhỏ ta tuyên bố rằ n g : "Biến cổ A cd xác suất nhỏ (tức là P(A) ^ a) sẽ không xảy ra trê n thực tế ” thì độ tin cậy của kết luận trên là (ỉ. Tính đúng đ án của kết luận chỉ xảy ra trong 100 ./?% trư ờ n g hợp. Tương tự như vậy ta cđ th ể đưa r a nguyên lí xác suất lớn. Nếu biến cố A có xác suất gần b ằn g 1 thì trê n thực tế co' th ể cho rằn g biến cố đó sẽ xảy ra tro n g một phép thử. Cũng như ở trên, việc quy định một mức xác s u ấ t th ế nào được gọi là lớn sẽ tùy thuộc vào từ ng bài toán cụ thể. §4. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT a) Quy. tá c c ộ n g x á c s u ấ t : N ếu A và B là hai biến xung khấc thì có PCA u B) P(A) + p (B) Một cách tổng quát, cho các biến cố A 1 , A 2 , ... , An sao cho hai biến cố b ất kì là xung khắc (nghĩa là chúng xung khắc từng đôi). Khi đố p (Aj u A 2 u ... u An) = P(A;) + ... + P(A„) b) Quy tá c c ộ n g x á c s u ấ t t ổ n g q u á t : Nếu A hai biến cồ bát kì (không n h á t thiết x u n g khắc) thi và B là P(A u B) = P(A) + PCB) - PCAB). l ầ có th ể mở rộng công thức này cho hợp của ba biến cố : P(A u B u C) = P(A) + p (B u C) - p (A (B u C)) = = PCA) + p (B) + P(C) - Pt BC) - p (AB u AC). Mặt khác p (AB u AC) = P(AB> + p {AC) - p (ABC) 18 Thay vào ta được p (A u B .u C) = P(A) + p (B) + P(C) - p (AB) - p {AC) - p {BC) + PiABC). c) Quy tá c c h u y ể n s a n g b iến c ố dối Trong nhiều bài toán việc tín h xác su ất của biến cố A khó Lơn nhiễu so với việc tín h xác su ất của biến cổ đối A. Khi đố a sẽ tính P(A) rồi từ đó tỉm P(A) nhờ quan hệ sau : P(A) = 1 - P(Ã). Các thí dụ sau đây sẽ m inh họa việc ứng dụng các quy tắc .), b) và c). T hí dụ 9 Trong một vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%, m ắc bệnh huyết áp là 12% và mắc cả hai bệnh là 7%.. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó. Tính xác suất để người đổ không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp. Giải : Kí hiệu A là biến cố : '"Người đd mắc bệnh tim", B là biến cố : "Người đó m ắc bệnh huyết áp". Theo giả thiết ta cổ PCA) = 0,09, p (B) = 0,12 và PCAB) = 0,07. Gọi H là biến cố : "Người đó không mắc cà bệnh tim và b ệnh huyết áp". Biến có đối H là : "Người đó mắc bệnh tim hoặc bệnh huyết áp". Tà cổ H = A u B Theo quy tắc b) P(H) = .P(A u B) = P(A) + p (B) - p (AB) = = 0,09 + 0,12 - 0,07 = 0,14. Theo quy tắc c) P(H> = 1 - P(Ỡ) = 1 - 0,14 = 0 , 86 . Thỉ dụ 10 Cho A, B, c là ba biến cố sao cho 19 P(A) = 0,5, P(B) = 0,7, p (AB) = 0,3, p (BC) = 0,4, và p (ABC) = P(C) = 0,6 0,2 0,1. ba biến cố A, B, c đều không a) Tỉm xác suất để cả b) Tìm xác suất để chỉ có đúng hai c) Tìm xảy ra. P(AC) - xảy ra. trong ba biến cố xảy ra. xác suất để chỉ có đúng một biến cố trong ba biến cố Giải a) Gọi H là biến cố cần tìm. Dễ thấy H = A U B \ J C , H Vậy = ÃBC p (H) =1 P(A) + p (B) + P(C) - p (AB) - P(-BC) - p (CA) + p ( A B q = 0,5 + 0,7 + 0,6 - - (0,3 + 0,4 + 0,2) + 0,1 = Vậy p (H) = 1 - P (ĩĩ) = 0 b) Gọi E là biến cố cần tìm. Ta có E = ABC u ACB Theo quy tắc 1) Ta có u ABC. P(Ê) = P(ABC) + p (ACB) + p (ÃBỢ). Tk tính P(ABC). Dễ thấy AB = ABC u ABC vậy suy ra P(AB) = P(ABC) + V(ABC) p (ABC) = P(AB) - P(ABC) = 0,2. Tương tự p (ACB) = P(AC) - p (ABC) = 0,1. P(ÃfiC) = P(J3C) - P(ABC) = 0,3. Từ đó p (E) = 0,6. c) Gọi F là biến cố cẩn tìm. Ta có E u F u ABC = A u B u c Các biến cố E, F, A B C đôi một xung khắc. Vậy P(A u B u C) = p (E) + p (F) + p (ABC) 1. «=> 1 = 0,6 + P(F) + 0,1 => p (F) = 0,3. Thí dụ 11 Trên giá sách cđ n cuốn sách (n ^ 4) trong đó có 3 cuốn sách của cùng một tác giả. Tìm xác suất để không có hai cuốn nào trong ba cuốn đứ ng cạnh nhau. Giải : Kí hiệu ba cuốn sách đố là a, b và c. Kí hiệu H là biến cố đang xét A là biến cố : "Hai cuốn sách b, c đứng cạnh nhau" B là biến cố : "Hai cuốn sách a, c đứng cạnh nhau" c là biến có : "Hai cuốn sách a, Khi đó b đứng cạnh n hau”. POH) = 1 - P(A u B u C) = = 1 - P(A) - P(B) - P(C) + P(AB) + + p(AC) + P(BC) - p(ABC). _ 2 ( n - 2 ) ! ( n - 1) Dễ thấy p(A) = p (£) = P(C) = -±----- ^ -1 = ị 2 Tá tính P(A5). Dễ thấy ( ... m2 n(n - 1 ) = 2(n - 3 ) ! ( , - 2 ) ) nỉ Tương tự P(BC) = PCAC) = TÌ/\JTL IJ Hiển nhiên p (ABC) = 0. Vậy 6 6 P(H) = 1 - - + v yn n(n - 1) (n - 4) (n — 3) n(n —2) = 1- 6(n —2) TV = n(n - 1) d) Quy tắ c n h â n Hai biến cố A ưà B được gọi là dộc lập vói nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không lầm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra biến có kia. 21