Ma traän con
Ñònh thöùc
1
Ma traän con
Ma traän con caáp k
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
2
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Ma traän con caáp k
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ma traän con caáp k
Ñònh nghóa (Ma traän con caáp k)
Cho A = (aij )m×n . Ma traän con caáp k cuûa A laø ma traän coù ñöôïc baèng
caùch laáy giao cuûa k doøng, k coät baát kyø cuûa A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hieäu
A{m1 ,...,mk ; n1 ,...,nk }
Ví duï
0 1 2
Cho A = 4 5 6
8 9 10
Khi ñoù A{1,2; 1,2} =
3
7
11
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Ma traän con caáp k
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ma traän con caáp k
Ñònh nghóa (Ma traän con caáp k)
Cho A = (aij )m×n . Ma traän con caáp k cuûa A laø ma traän coù ñöôïc baèng
caùch laáy giao cuûa k doøng, k coät baát kyø cuûa A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hieäu
A{m1 ,...,mk ; n1 ,...,nk }
Ví duï
0 1
2
3
6
7
Cho A = 4 5
8 9 10 11
Khi ñoù A{1,2; 1,2} =
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Ma traän con caáp k
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ma traän con caáp k
Ñònh nghóa (Ma traän con caáp k)
Cho A = (aij )m×n . Ma traän con caáp k cuûa A laø ma traän coù ñöôïc baèng
caùch laáy giao cuûa k doøng, k coät baát kyø cuûa A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hieäu
Am1 ,...,mk ; n1 ,...,nk
Ví duï
2
3
6
7
10 11
0 1
=
, . . . , A{1,3; 2,4} =
4 5
0 1
Cho A = 4 5
8 9
Khi ñoù A{1,2; 1,2}
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Ma traän con caáp k
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ma traän con caáp k
Ñònh nghóa (Ma traän con caáp k)
Cho A = (aij )m×n . Ma traän con caáp k cuûa A laø ma traän coù ñöôïc baèng
caùch laáy giao cuûa k doøng, k coät baát kyø cuûa A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hieäu
Am1 ,...,mk ; n1 ,...,nk
Ví duï
3
7
11
0 1
1
Khi ñoù A{1,2; 1,2} =
, . . . , A{1,3; 2,4} =
4 5
9
Soá ma traän con caáp k cuûa A = (aij )m×n laø Ckm .Ckn .
0 1
Cho A = 4 5
8 9
2
6
10
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
3
11
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
,...
Ma traän con
Ñònh thöùc
Ma traän con caáp k
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ñònh nghóa (Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû)
Cho A = (aij )nxn . Ma traän con töông öùng vôùi phaàn töû aij cuûa A, kí hieäu laø
Mij , coù ñöôïc baèng caùch boû ñi doøng i vaø coät j cuûa A.
0 1 2
Ví duï: Cho A = 3 4 5 . Khi ñoù
6 7 8
M11 =
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Ma traän con caáp k
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ñònh nghóa
Cho A = (aij )nxn . Ma traän con töông öùng vôùi phaàn töû aij cuûa A, kí hieäu laø
Mij , coù ñöôïc baèng caùch boû ñi doøng i vaø coät j cuûa A.
0 1 2
Ví duï: Cho A = 3 4 5 . Khi ñoù
6 7 8
4 5
M11 =
, . . . , M23 =
7 8
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Ma traän con caáp k
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ñònh nghóa
Cho A = (aij )nxn . Ma traän con töông öùng vôùi phaàn töû aij cuûa A, kí hieäu laø
Mij , coù ñöôïc baèng caùch boû ñi doøng i vaø coät j cuûa A.
0 1 2
Ví duï: Cho A = 3 4 5 . Khi ñoù
6 7 8
4 5
0 1
M11 =
, . . . , M23 =
,...
7 8
6 7
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Ma traän con caáp k
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû
Ñònh nghóa
Cho A = (aij )nxn . Ma traän con töông öùng vôùi phaàn töû aij cuûa A, kí hieäu laø
Mij , coù ñöôïc baèng caùch boû ñi doøng i vaø coät j cuûa A.
0 1 2
Ví duï: Cho A = 3 4 5 . Khi ñoù
6 7 8
4 5
0 1
0 1
M11 =
, . . . , M23 =
, . . . , M33 =
,...
7 8
6 7
3 4
2
Soá ma traän con töông öùng vôùi moät phaàn töû cuûa A = (aij )nxn laø n .
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Ñònh thöùc
Ñònh nghóa (Ñònh thöùc)
a11
..
Cho A = (aij )nxn =
.
···
..
.
an1 · · ·
detA hay |A|, ñöôïc xaùc ñònh bôûi
a1n
.. . Ñònh thöùc cuûa A, kí hieäu laø
.
ann
n = 1 : detA = det(a11 ) = a11
n≥2:
|A| = (−1)1+1 a11 |M11 | + (−1)1+2 a12 |M12 | + · · · + (−1)1+n a1n |M1n |
Ví duï:
a b
c d
Ta coù |A| = (−1)1+1 ad + (−1)1+2 bc = ad − bc
a. Cho A =
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Ñònh thöùc
Ví duï:
2 −1
3 −2
Ta coù |A| =
2(−2) − (−1)3 =
−1
a11 a12 a13
c. Cho A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
a
a21 a23
a23
1+2
+
Ta coù |A| = (−1)1+1 a11 22
+
(−1)
a
12
a31 a33
a32 a33
a
a22
(−1)1+3 a13 21
a31 a32
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 −a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a23 a32 a11
b. Cho A =
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Ñònh thöùc
a11 a12
Vaäy vôùi A = a21 a22
a31 a32
|A| = a11 a22 a33 + · · ·
a13
a23
a33
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Ñònh thöùc
a11 a12 a13
Vaäy vôùi A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
|A| = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 + · · ·
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Ñònh thöùc
a11 a12 a13
Vaäy vôùi A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 +a21 a32 a13 + · · ·
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Ñònh thöùc
a11 a12 a13
Vaäy vôùi A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 −a13 a22 a31 + · · ·
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Ñònh thöùc
a11 a12 a13
Vaäy vôùi A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 −a13 a22 a31 −a12 a21 a33 + · · ·
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Ñònh thöùc
a11 a12 a13
Vaäy vôùi A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 −a13 a22 a31 − a12 a21 a33 −a23 a32 a11
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Ñònh thöùc
a11 a12 a13
Vaäy vôùi A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 −a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a23 a32 a11
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Ñònh thöùc
1
Tính detA vôùi A = 2
−1
detA=1+0-4-1-0-6=-10.
0
1
2
−1
3
1
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ma traän con
Ñònh thöùc
Tính ñònh thöùc baèng ñònh nghóa
Tính ñònh thöùc baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Caùc tính chaát
Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp
Ñònh nghóa
Coù 3 pheùp bieán ñoåi sô caáp nhö sau
1
2
3
P1: Hoaùn vò 2 doøng/coät.
P2: Nhaân moät doøng/coät vôùi moät soá k 6= 0.
P3: Nhaân moät doøng/coät vôùi moät soá k roài coäng vaøo moät doøng/coät
khaùc.
Ví duï:
4
1 2 3
d1 ↔d2
Cho A = 4 5 6 → 1
7 8 9
7
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM
5 6
2 3
8 9
TOAÙN CAO CAÁP - ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
- Xem thêm -