Tài liệu Mã lưới cho kênh fading rayleigh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TRƯƠNG MINH CHÍNH MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH LUẬN VĂN THẠC SĨ Hà Nội, 2010 i ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TRƯƠNG MINH CHÍNH MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH Lattice coding for Rayleigh fading channels Ngành: Công nghệ Điện tử - Viễn thông Chuyên ngành: Kỹ thuật điện tử Mã số: 60.52.70 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN LINH TRUNG Hà Nội, 10/2010 ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, TS. Nguyễn Linh Trung, người đã hướng dẫn tôi tận tình, chu đáo trong quá trình thực hiện luận văn. Sự chỉ bảo tận tâm của thầy đã mang lại cho tôi hệ thống các phương pháp, kiến thức cũng như kỹ năng hết sức quý báu để có thể hoàn thiện đề tài một cách tốt nhất. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Nhà trường, quí thầy giáo, cô giáo ở phòng Đào tạo Sau đại học và thầy giáo, cô giáo khoa Điện tử viễn thông, trường đại học Công nghệ, đặc biệt là các thầy giáo Bộ môn Xử lý thông tin, khoa Điện tử viễn thông những người mà trong thời gian qua đã dạy dỗ, truyền thụ kiến thức khoa học, giúp tôi từng bước trưởng thành. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Nhà trường, khoa Vật lý, khoa Sư phạm Kỹ thuật và phòng Kế hoạch Tài chính trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế đã hỗ trợ tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn. Xin chân thành cảm ơn những người thân, gia đình và bạn bè - những người đã hỗ trợ tôi rất nhiều về cả vật chất lẫn tinh thần để tôi có thể học tập đạt kết quả tốt và thực hiện thành công luận văn này. Luận văn này nằm trong khuôn khổ và được hỗ trợ bởi đề tài nghiên cứu khoa học số QG.10.44 cấp ĐHQG Hà Nội. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 08 tháng 10 năm 2010 Trương Minh Chính iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn do tôi thực hiện. Những kết quả từ những tác giả trước mà tôi sử dụng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng, cụ thể. Không có bất kỳ sự không trung thực nào trong các kết quả tính toán. Nếu có gì sai trái, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 08 tháng 10 năm 2010 Học viên Trương Minh Chính iv TÓM TẮT Nhiệm vụ chính của luận văn là tìm hiểu về mã lưới cho kênh fading Rayleigh, cụ thể là tìm hiểu về các chòm sao tín hiệu cấu trúc lưới (lattice constellation) cho kênh fading Rayleigh đơn antenna và mã Space - Time Blocks Code (STBC) hoàn hảo cho kênh fading Rayleigh MIMO. Luận văn đi vào tìm hiểu mô hình kênh fading Rayleigh đơn antenna và fading Rayleigh MIMO, các tiêu chí trong thiết kế mã lưới, cơ sở toán học của thiết kế mã lưới (Algebraic Number Theory và Cyclic Division Algebras) và xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh đơn antenna, mã STBC hoàn hảo cho kênh MIMO. Đối với những chòm sao tín hiệu cấu trúc lưới, giải mã hình cầu trên cơ sở giải mã hợp lẽ cực đại (Maximum Likelihood ) là một phương thức giải mã tốt. Luận văn đã thực hiện mô phỏng mã Golden (là mã STBC hoàn hảo cho kênh fading Rayleigh MIMO 2 × 2) và mô phỏng so sánh giải mã hình cầu và giải mã hợp lẽ cực đại. Bên cạnh, luận văn còn thực hiện một mục tiêu phụ là bước đầu tìm hiểu về tiền mã hóa tuyến tính (linear precoding) với hy vọng tìm thấy mối quan hệ giữa kỹ thuật tiền mã hóa tuyến tính và kỹ thuật STBC để từ đó có thể có những hướng phát triển mới. 1 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ii LỜI CAM ĐOAN iii TÓM TẮT LUẬN VĂN iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 3 DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT 4 DANH SÁCH HÌNH VẼ 5 GIỚI THIỆU 6 1 MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH 8 1.1 Mô hình hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 1.4 8 1.2.1 Các tiêu chí dựa trên xác suất lỗi cặp . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Tiêu chí về hình dạng chòm sao lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Cách xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Xây dựng mã lưới từ trường vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Giải mã hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 1.4.2 Thuật toán giải mã hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH MIMO 23 2.1 Mô hình kênh MIMO fading Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Các tiêu chí thiết kế mã STBC hoàn hảo cho kênh MIMO . . . . . . . . . 24 2.3 2.2.1 Các tiêu chí dựa trên xác suất lỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Các tiêu chí khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Xây dựng mã STBC hoàn hảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Cách xây dựng mã STBC hoàn hảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2 Mã Golden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.3 Mã STBC hoàn hảo cho hệ thống 3 × 3 antenna . . . . . . . . . . . 30 2.3.4 Mã STBC hoàn hảo cho hệ thống 4 × 4 antenna . . . . . . . . . . . 32 2.4 Giải mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Tính toán mô phỏng mã golden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.1 Tính toán các tham số mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.2 Mô phỏng mã Golden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 TIỀN MÃ HÓA TUYẾN TÍNH VÀ STBC CHO HỆ THỐNG MIMO 40 3.1 Cấu trúc hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.1 Cấu trúc của bộ lập mã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.2 Cấu trúc bộ tiền mã hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.3 Cấu trúc thu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Thiết kế tiền mã hóa tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Một số vấn đề cần bàn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 PHỤ LỤC A. CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÃ LƯỚI 48 PHỤ LỤC B. GIẢI MÃ HÌNH CẦU BẰNG MATLAB 61 3 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên Z Tập hợp số nguyên Q Tập hợp số hữu tỉ R Tập hợp số thực C Tập hợp số phức OK Vành O của trường số K R Phần thực của một số phức J Phần ảo của một số phức 4 DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT Danh mục các cụm từ viết tắt STT Cụm từ viết tắt Cụm từ đầy đủ Nghĩa tiếng Việt 1 BER Bit Error Rate Tỷ lệ lỗi bit 2 CSI Channel State Information Thông tin về tình trạng kênh 3 CSIT Channel State Information Thông tin về tình trạng kênh được biết at the Transmitter tại phía phát 4 ML Maximum Likelihood Hợp lẽ cực đại 5 MIMO Mutilple input - multiple Nhiều đầu vào - nhiều đầu ra output 6 QAM Quadrature Amplitude Điều chế biên độ vuông góc Modulation 7 SNR Signal to Noise Ratio Tỷ số tín hiệu trên nhiễu 8 ST Space - Time Không gian - thời gian 9 STBC Space - Time Blocks Code Mã khối không gian - thời gian 5 DANH SÁCH HÌNH VẼ 1.1 Mô hình kênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Mô hình hệ thống truyền dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Hình cầu bao gồm những điểm phải đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Hình cầu chuyển thành hình elipsoid trong miền lưới nguyên . . . . . . . . 20 1.5 Hình elipsoid với tọa độ nguyên có thể đếm được . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Lưu đồ thuật toán giải mã hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1 Mô phỏng mã Golden cho hệ thống fading Rayleigh MIMO 2 × 2 2.2 So sánh giải mã hình cầu và giải mã ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1 Cấu trúc hệ thống khai thác CSIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Cấu trúc mã hóa hợp kênh không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Cấu trúc STBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Cấu trúc bộ tiền mã hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . 38 6 GIỚI THIỆU Các chòm sao tín hiệu cấu trúc lưới nhiều chiều với độ phân tập điều chế (modulation diversity) cao đã được nghiên cứu nhiều và được đánh giá là phù hợp cho quá trình truyền thông tin qua hệ thống đơn antenna fading Rayleigh. Những công trình nghiên cứu đầu tiên về chòm sao tín hiệu cấu trúc lưới (sau đây gọi tắt là chòm sao lưới) cho kênh fading [1, 2] được xây dựng trên trường số đại số khai thác độ phân tập điều chế với giả thiết thông tin về tình trạng kênh (CSI - Channel State Information) là được biết ở phía thu. Tuy nhiên, những chòm sao lưới này, với đánh giá là tốt trong môi trường fading, lại có nhược điểm là thủ tục gán nhãn bit phức tạp. Để tránh vấn đề này, những công trình tiếp sau tập trung vào việc tìm ra những chòm sao lưới đảm bảo độ phân tập điều chế và là phiên bản quay của lưới Zn [3, 4]. Như vậy là cùng với sự ra đời của các kiểu thiết kế chòm sao lưới đối với kênh fading Rayleigh trong hệ thống không dây, các tiêu chí thiết kế và các công cụ thiết kế dần được nâng cấp và hoàn thiện. Trong những năm gần đây, nhu cầu truyền dẫn tốc độ cao qua hệ thống không dây đã thành động lực cho việc nghiên cứu các hệ thống truyền thông không dây sử dụng nhiều antenna ở cả phía phát và phía thu (MIMO). Với mong muốn nâng cao hiệu suất của hệ thống MIMO, những chiến lược mã hóa và tiền mã hóa cho các kênh MIMO đã được nghiên cứu nhiều, và hiện nay MIMO vẫn là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn đối với những người nghiên cứu về kỹ thuật không dây. Các chòm sao lưới cũng được nghiên cứu để phát triển và áp dụng cho hệ thống MIMO. Mục tiêu chính của đề tài là tìm hiểu mã lưới cho kênh fading Rayleigh đơn antenna và fading Rayleigh MIMO. Bên cạnh, đề tài còn có một nhiệm vụ có tính chất mở là tìm hiểu về tiền mã hóa tuyến tính (linear precoding) cho kênh MIMO. Đây cũng là một kỹ thuật nhằm khai thác 7 CSI, mục đích và tiêu chí thực hiện tiền mã hóa tuyến tính có những điểm tương đồng với kỹ thuật mã hóa STBC. Luận văn gồm 3 chương, nội dung cụ thể như sau: Chương 1 trình bày chi tiết mô hình kênh, các tiêu chí trong thiết kế mã lưới và thiết kế mã lưới cho kênh fading Rayleigh đơn antenna. Một phần rất quan trọng của chương 1 là trình bày về giải mã hình cầu (sphere decoder ), là một hình thức giải mã trên cơ sở Maximum Likelihood (ML), một đặc trưng và là ưu điểm của mã lưới. Chương 2 mở rộng chương 1 về mã lưới cho kênh fading Rayleigh MIMO và trình bày về Space - Time Blocks Code (STBC) hoàn hảo cho kênh MIMO fading Rayleigh. Kết cấu của chương 2 tương tự như chương 1 bao gồm: mô hình hệ thống, các tiêu chí cho việc thiết kế STBC hoàn hảo và việc thiết kế STBC hoàn hảo từ công cụ đại số vòng chia được (Cyclic Division Algebras). Phần giải mã trình bày cách biến đổi STBC về cấu trúc lưới để có thể sử dụng giải mã hình cầu như đã trình bày ở chương 1. Phần cuối của chương 2 trình bày việc tính toán các tham số mô phỏng và kết quả mô phỏng mã Golden, là mã STBC hoàn hảo cho hệ thống fading Rayleigh MIMO 2 × 2. Chương 3 trình bày tổng quan về kỹ thuật tiền mã hóa tuyến tính. Đây là một kỹ thuật nhằm khai thác CSI, tác động vào tín hiệu đã mã hóa trước khi phát sao cho phù hợp với CSI có được ở phía phát. Kỹ thuật tiền mã hóa nói chung và tiền mã hóa cho STBC nói riêng cũng đã được nghiên cứu nhiều [5, 6]. Tuy nhiên các công trình nghiên cứu tiền mã hóa tuyến tính đã thực hiện với giả thiết sau khi đã có mã STBC, xem chúng là hai quá trình độc lập. Phần cuối của chương gợi ra một số hướng cho sự phát triển của đề tài. Phần phụ lục A trình bày cơ sở toán học của mã lưới và mã STBC hoàn hảo, cụ thể là lý thuyết số đại số (Algebraic Number Theory) và đại số vòng chia được (Cyclic Division Algebras). Phần phụ lục B là đoạn chương trình Matlab thực hiện giải mã hình cầu. 8 Chương 1 MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH Chương này trình bày việc xây dựng mã lưới cho hệ thống truyền thông tin qua kênh fading Rayleigh, 1 antenna phát và 1 antenna thu. Phần 1.1 trình bày về mô hình kênh fading Rayleigh. Phần 1.2 trình bày các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới. Phần 1.3 trình bày thiết kế mã lưới từ trường vòng và phần cuối cùng trình bày về giải mã hình cầu (sphere decoder ), đây là một đặc trưng và là lợi thế của mã lưới. Các khái niệm toán học liên quan được trích dẫn trong phần phụ lục A. 1.1 Mô hình hệ thống Giả sử mô hình kênh không dây là một kênh fading phẳng Rayleigh độc lập [1, 2, 7]. Giả thiết rằng thông tin về tình trạng kênh (Channel State Information) được biết tại phía thu và không có sự xuất hiện của nhiễu xuyên ký hiệu. Mô hình rời rạc theo thời gian của kênh như sau: r0 = α0 x + n0 , (1.1) trong đó x là một ký hiệu (symbol ) từ tập hợp tín hiệu phức, n0 là nhiễu Gauss trắng phức và α0 là hệ số fading phức theo phân bố Gauss trung bình 0 (hình 1.1). Các hệ số fading đối với một ký hiệu được giả thiết là độc lập đối với các ký hiệu tiếp theo. Vì phía thu biết được CSI nên các pha ϕ của các hệ số fading α0 = |α| eiϕ có thể được loại bỏ, do đó ta có: r = αx + n, (1.2) 9 Transmitter x r0 Channel α 0 , n0 Receiver α0 Hình 1.1: Mô hình kênh [7]  0 trong đó α = α  là hệ số fading thực theo phân bố Rayleigh và n = n0 e−jϕ vẫn là nhiễu Gauss trắng phức. Với mô hình (1.2), ta có thể giả sử rằng x ∈ R và n là biến ngẫu nhiên thực và các hệ số fading là độc lập giữa một ký hiệu thực được phát và ký hiệu tiếp theo. Khi xem xét quá trình truyền dẫn mã, mỗi từ mã là một vector thực n chiều x = (x1 , x2 , ..., xn ) được lấy ra từ chòm sao tín hiệu hữa hạn S ⊆ Rn . Mỗi thành phần vector bị ảnh hưởng bởi một hệ số fading thực độc lập. Xét hệ thống truyền dẫn như hình vẽ (1.2): Bộ ánh xạ (mapper ) kết hợp một bộ Information u Bit mapper Lattice x Encoder M bits α * α n + x̂, û 1 ML r Detection Hình 1.2: Mô hình hệ thống truyền dẫn [7] các bit đầu vào với một điểm u ∈ Zn . Tiếp theo đó u được ánh xạ đến một điểm x sử dụng mã hóa lưới. Như vậy, x thuộc chòm sao tín hiệu n chiều S lấy ra từ tập hợp các điểm lưới 10 Λ = {x = uM }, trong đó u là một vector nguyên, M là ma trận sinh của lưới. Các điểm chòm sao được phát qua kênh fading Rayleigh độc lập như đã mô tả ở phần trước: r = xH + n, (1.3) trong đó r = (r1 , r2 , ..., rn ) là điểm thu được; n = (n1 , n2 , ..., nn ) là vector nhiễu, có các thành phần thực ni là các biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Gauss với trung bình 0 và phương sai bằng N0 , H là ma trận fading kênh có dạng đường chéo H = diag (α1 , α2 , ..., αn ), với αi giá trị thực là các biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Rayleigh với moment bậc hai bằng 1. Với giả thiết CSI được biết tại phía thu, giải mã trên cơ sở hợp lẽ tối đa (Maximum Likelihood - ML) yêu cầu tối thiểu hóa độ đo sau: m (x |r, α) = n X 1 |ri − αi xi |2 (1.4) Nói cách khác, điểm giải mã x̂ phải thỏa mãn: 0 2 x̂ = arg min kr − xHk = arg min r − x 0 0 2 x∈S 0 trong đó S = HS. (1.5) x ∈S Việc tối thiểu hóa (1.5) là một phép toán có độ phức tạp cao đối với một chòm sao tín hiệu bất kỳ, với số lượng nhiều điểm. Trong trường hợp của chúng ta là mã lưới, một thuật toán giải mã dựa trên ML hiệu quả hơn đó là giải mã hình cầu mà chúng ta sẽ bàn tiếp trong phần cuối của chương này. 1.2 Các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới Việc xây dựng các tiêu chí cho thiết kế mã lưới được xem xét trên cơ sở xác suất lỗi cặp và hình dạng của chòm sao tín hiệu. 1.2.1 Các tiêu chí dựa trên xác suất lỗi cặp Để đưa ra các tiêu chí cho việc thiết kế mã cho hệ thống như đã đề cập ở phần trước, trước hết chúng ta ước lượng xác suất lỗi của nó [1, 8]. 11 Ký hiệu Pe (S) là xác suất lỗi khi phát một điểm của chòm sao tín hiệu hữu hạn S, và P (x → x̂) là xác suất lỗi cặp, đây là xác suất mà khi x được phát, điểm nhận được gần với x̂ hơn so với x theo độ đo đã xác định trong công thức (1.4). Đối với một chòm sao tín hiệu S bất kỳ, với |S| là số phần tử của chòm sao, ta có: 1 X Pe (S) = Pe (S|x) |S| x∈S Công thức này có thể đơn giản hơn nhiều trong trường hợp mã lưới. Vì một lưới vô hạn là đồng dạng hình học, chúng ta có thể viết một cách đơn giản xác suất lỗi khi phát một điểm thuộc lưới Pe (Λ) = Pe (Λ|x) cho bất kỳ điểm x ∈ Λ được phát. Giả sử rằng S là một chòm sao hữu hạn lấy ra từ Λ, ta có: Pe (S) ≤ Pe (Λ) = [ x̂6=x P (x → x̂) ≤ X x̂6=x P (x → x̂) Tức là, xác suất của hợp các biến cố nhỏ hơn hoặc bằng tổng các xác suất của các biến cố thành phần. Trước hết, chúng ta đưa ra biên trên của xác suất lỗi có điều kiện P (x → x̂|α). Một lỗi xuất hiện, trong khi giải mã với quy tắc ML, nếu điểm nhận được r gần với x̂ hơn x. Có nghĩa là, m (x̂|r, α) ≤ m (x|r, α). Xác suất lỗi cặp có điều kiện là: ! n n X X P (x → x̂|α) = P |ri − αi x̂i |2 ≤ |ri − αi x̂i |2 |x =P =P i=1 n X i=1 n X i=1 Đặt χ = n X i=1 i=1 |αi (xi − x̂i ) + ni |2 ≤ αi2 (xi − x̂i )2 + 2 n X i=1 n X i=1 |ni |2 ! ! αi (xi − x̂i ) ni ≤ 0 αi (xi − x̂i ) ni là tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên Gauss ni . Ta có χ là biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình bằng 0 và phương sai bằng: σχ2 = N0 n X i=1 n αi (xi − x̂i )2 . 1X Cho A = αi (xi − x̂i )2 là hằng số. Chúng ta có thể viết xác suất lỗi cặp có điều 2 i=1 kiện theo χ và A. P (x → x̂|α) = P (χ ≥ A) = Q (A/σχ ) , 12 Z ∞
exp −t2 /2 dt. Vì Q (x) bị trong đó hàm Q (x) được định nghĩa bởi Q (x) = (2π) x
1 2 chặn trên với exp −x /2 , xác suất lỗi cặp có điều kiện trở thành: 2 !   n A2 1 1 X 1 2 αi (xi − x̂i ) P (x → x̂|α) ≤ exp − 2 = exp − 2 2σχ 2 8N0 i=1 −1 Xác suất lỗi cặp được tính bằng trung bình P (x → x̂|α) qua hệ số fading α: P (x → x̂) = Z 0 ∞ 1 P (x → x̂|α) P (α) dα ≤ 2 Z 0 ∞ ! n 1 X exp − αi (xi − x̂i )2 P (α) dα, 8N0 i=1 2 Thay P (α) dα = P (α1 ) . . . P (αn ) dα1 . . . dαn , trong đó P (αi ) = 2αi e−αi là phân bố Rayleigh chuẩn, vào biểu thức cuối cùng chúng ta thu được: ! n Z n 1Y ∞ 1 X P (x → x̂) ≤ exp − αi (xi − xbi )2 P (αi ) dαi = 2 i=1 0 8N0 i=1 Z n
1Y ∞ 2αi exp −Ci αi2 dαi = 2 i=1 0 (xi − x̂i )2 trong đó Ci = 1 + 8N0 Tính tích phân ta được: n 1Y P (x → x̂) ≤ 2 i=1 1 (xi − x̂i )2 1+ 8N0 (1.6) Đối với trường hợp tỷ số tín hiệu trên nhiễu (SN R) lớn thì: n 1 Y 1 1 (8N0 )` P (x → x̂) ≤ = (1.7) 2 x 6=x̂ (xi − x̂i )2 2 d`p (x, x̂)2 i i 8N0 Q trong đó d`p (x, x̂) = xi 6=x̂i |xi − x̂i | là khoảng cách (`− product distance) giữa x và x̂ khi hai điểm khác nhau ` thành phần n X 1 (8N0 )` Pe (S) ≤ 2. ` 2 d (x, x̂) p `=L (1.8) Trong (1.8), L là số thành phần khác nhau nhỏ nhất của hai điểm bất kỳ thuộc chòm sao và được gọi là độ phân tập điều chế (modulation diversity) hay bậc phân tập (diversity order ) của chòm sao lưới. Để hạn chế biên trên của bất đẳng thức (1.8), các tiêu chí của chúng ta là tối đa (L) hóa L và và dp,min (với dp,min = min dp ). 13 1.2.2 Tiêu chí về hình dạng chòm sao lưới Để thiết kế chòm sao lưới, hai hoạt động quan trọng là tạo nhãn bit (bit labelling) và tạo hình dạng chòm sao (constellation shaping). Hai vấn đề này có quan hệ chặt chẽ với nhau và có sử thỏa hiệp giữa độ phức tạp và hiệu suất thực hiện. Quá trình gán nhãn bit bao gồm quá trình ánh xạ các bit đầu vào với một điểm thuộc chòm sao tín hiệu. Nếu chúng ta muốn tránh sử dụng một bảng tìm kiếm (look-up table) lớn để thực hiện gán nhãn bit thì chúng ta cần một thuật toán đơn giản hơn để kết hợp các bit với các điểm tín hiệu. Trong quá trình thiết kế chòm sao lưới cho kênh fading, các chòm sao có hình khối là một lựa chọn tối ưu trong nghĩa là lưới thiết kế là một phiên bản quay của lưới Zn [3, 7]. 1.3 Xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh 1.3.1 Cách xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh Trong phần trước, chúng ta đã xét các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới, cụ thể như sau: 1. Tối đa hóa bậc phân tập L.   (L) 2. Tối đa hóa giá trị dp,min = min dp (x, x̂) 3. Các chòm sao lưới là một phiên bản của lưới Zn . Ta xây dựng lưới thỏa mãn các tiêu chí trên thông qua trường số đại số. Điều này xuất phát từ những cơ sở và phương thức thực hiện như sau: 1. Tối đa hóa bậc phân tập L: Xây dựng lưới đại số thực trên vành OK , do lưới đại số xây dựng trên trường số thực có bậc phân tập lớn nhất L = n, với n là bậc của trường số K. (xem Định lý 9 phần Phụ lục A). Từ cơ sở nguyên thuộc OK , nhúng vào Rn qua phép nhúng chính tắc để nhận được một lưới đại số. (xem Định nghĩa 27, Phụ lục A). 14 2. Tối đa hóa dp,min : Để đánh giá tiêu chí về dp,min , ta xây dựng lưới từ một ideal thuộc vành OK , vì ideal của vành OK cũng có cơ sở nguyên n thành phần (xem Định lý 10, Phục lục A). Đặc biệt trong trường hợp lưới sinh ra từ cơ sở nguyên của một ideal chính (ideal được sinh ra từ một phần tử) của vành OK thì dp,min của lưới có thể được tính một cách tường minh và chỉ phụ thuộc vào dK . (Xem Định nghĩa và Tính chất của ideal chính của một vành, Phụ lục A). Do đó ta phải tối thiểu hóa biệt thức của trường số dK . (xem Định nghĩa 25, Phụ lục A). 3. Các chòm sao lưới là một phiên bản của lưới Zn : Với một giá trị n cho trước, chúng ta phải xác định một trường số K bậc n và một ideal I ⊆ OK sao cho lưới Λ = (I, qβ ) là tương đương với Zn . (xem Định nghĩa 31, Phụ lục A). Một phiên bản tỷ lệ của √ n Zn có dạng: ( cZ) , c ∈ Z, do đó định thức của lưới này là det (G) = cn . Ta lại có: (Công thức (8), Phụ lục A) det (Λ) = N (β) N (I)2 |dK | Do đó: N (β) N (I)2 |dK | = cn (1.9) Như vậy, ta phải xác định β thỏa mãn (1.9). 1.3.2 Xây dựng mã lưới từ trường vòng Phần này trình bày tổng quát việc xây dựng mã lưới từ trường vòng (xem [7]) Q (ζp ), trong đó ζ = ζp = e−2iπ/p là căn bậc p của đơn vị, và quan tâm đến trường hợp p ≥ 5
[7, 8]. Bậc của Q (ζp ) trên Q là (p − 1). Trường K = Q ζp + ζp−1 là một trường con của Q (ζp ), được sinh ra bởi phần tử ζp + ζp−1 = 2 cos (2π/p). Đây là trường thực và có bậc trên Q là n = (p − 1) /2 và biệt thức của nó được xác định bằng: dK = p(p−3)/2 (1.10)
Trường K có vành nguyên là OK = Z ζp + ζp−1 .  n Một cơ sở nguyên của K được xác định như sau: ej = ζpj + ζp−j j=1 . Có n phép nhúng của K vào C được xác định là: σk (ej ) = ζpkj + ζp−kj (1.11) 15 Điều kiện cần để có được một lưới ideal Zn là tìm một phần tử β thỏa mãn: N (β) p (p−3) 2 = cn = p (p−1) 2 (1.12)
Phần tử β = (1 − ζp ) 1 − ζp−1 có N (β) = p. Định lý sau chỉ ra rằng, với việc sử dụng thành phần này, chúng ta hoàn toàn có thể xây dựng lưới Zn . Định lý 1.1.  

Cho K = Q ζp + ζp−1 và β = (1 − ζp ) 1 − ζp−1 thì Λ = OK , p1 qβ tương đương với Zn , trong đó qβ = Tr (βxy) Ta chứng minh định lý này bằng cách tính trực tiếp: Ta có:

β = (1 − ζp ) 1 − ζp−1 = 2 − ζp + ζp−1 (1.13) σj (ζp ) và σj = σj (β) với j = 1, . . . , n là các liên hiệp của ζp và β. n
X
Tr ζpk + ζp−k = σj ζpk + ζp−k = −1, j=1 ∀k = 1, . . . , n (1.14) Sử dụng (1.14) ta có: Pn j=1
P


βj σj ζpk + ζp−k = nj=1 2 − σj ζp + ζp−1 σj ζpk + ζp−k
P = −2 − nj=1 σj ζpk+1 + ζp−k−1 + ζp−k+1 + ζpk−1   −p nếu k = ±1 =  0 khác Chúng ta tính tiếp qβ (ei ej ) với i = j và i 6= j sử dụng (1.14) và (1.15):
2i −2i β σ ζ + ζ + 2 j j p p j=1


Pn P 2i = j=1 βj σj ζp + ζp−2i + 2 nj=1 2 − σj ζp + ζp−1   p nếu i = n =  2p khác   P   P −(i+j) −(i−j) qβ (ei ej ) = nk=1 βk σk ζpi+j + ζp + nk=1 βk σk ζpi−j + ζp   −p nếu |i − j| = 1 =  0 khác qβ (ei ei ) = Pn (1.15)