Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Giáo án điện tử Lý thuyết xác suất căn bản ...

Tài liệu Lý thuyết xác suất căn bản

.PDF
66
77
142

Mô tả:

Lý thuyết xác suất căn bản
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT CƠ BẢN Phần I Nhắc lại về tổ hợp và giải tích 1.1. Tập hợp Định nghĩa 1.1.1. Cho trước hai tập A, B ta có: © ª A ∪ B = x : x ∈ A hoặc x ∈ B © ª A ∩ B = x : x ∈ A và x ∈ B A\B = {x : x ∈ A, x ∈ / B} [ Ai = {x : ∃i ∈ I, x ∈ Ai } i=I \ Ai = {x : ∀i ∈ I, x ∈ Ai } i=I Định nghĩa 1.1.2. Cho A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ An ⊂ . . . lim An = n→∞ [ An n≥1 Tương tự với dãy (An )n ≥ 1 thỏa A1 ⊃ A2 . . . lim An = n→∞ Công thức De - Morgan à [ \ ! Ai = i∈I à \ An n≥1 \ Ai i∈I ! Ai = i=I [ Ai i∈I 1.2. Giải tích tổ hợp Định nghĩa 1.2.1. (Quy tắc cộng) Định nghĩa 1.2.2. (Quy tắc nhân) Ví dụ: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số. a. là khác nhau. b. là các số lẻ và các chữ số có thể khác nhau. 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giải Gọi số có 4 chữ số cần tìm là: abcd. a. Ta có thể chia công việc thành lập số thỏa yêu cầu bài toán thành 4 giai đoạn: Giai đoạn 1: a có 5 cách chọn a 6= 0 Giai đoạn 2: b có 5 cách chọn b ∈ {0, 1, . . . , 5} \ {a} Giai đoạn 3: c có 4 cách chọn c ∈ {0, 1, . . . , 5} \ {a, b} Giai đoạn 2: d có 3 cách chọn b ∈ {0, 1, . . . , 5} \ {a, b, c} Vậy có 5 × 5 × 4 × 3 = 300 số thỏa yêu cầu bài toán. Định nghĩa 2.3. (Hoán vị) Cho tập A, có |A| = n, 1 nhóm hoán vị của các phần tử thuộc tập A là một song ánh từ A vào A. Số hoán vị của các phần tử thuộc A là: P (n) = n! = 1.2.3 . . . n Chú ý: (0! = 1). Định nghĩa 2.4. (Chỉnh hợp) Chỉnh hợp chập k của n phần tử thuộc A là k bộ (a1 , . . . , ak ) thuộc Ak thỏa mãn ai 6= aj ; ∀i, j ∈ 1, k. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử thuộc A. Akn = n! (n − k)! (0 ≤ k ≤ n) Định nghĩa 2.5. Tổ hợp chập k của n phần tử thuộc A là một tập con gồm k phần tử của A. Số tổ hợp chập k của n phần tử thuộc Cnk n! = = (n − k)!k! à n k ! Ví dụ: Một hồm gồm 8 bi đỏ, 6 bị trắng, 4 bi vàng. Người ta chọn ra 6 bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu: a. Không yêu cầu gì thêm. b. Trong 6 bi chọn ra có 2 bi đỏ, 2 bi trắng, 2 bi vàng. c. Đúng 2 vàng. d. Trong cách chọn có 2 vàng. 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phần II Biến cố và xác suất 2.1. Phép thử. 2.1.1. Phép thử. – Một thí nghiệm, một quan sát về một hiện tượng nào đó. Phép thử được gọi là một phép thử ngẫu nhiên nếu ta không biết trước kết quả của phép thử, nhưng vẫn có thể xác định đươc một tập hợp các kết quả có thể chứa nó. – Tập hợp các kết quả có thể có của phép thử được gọi là không gian mẫu (không gian các sự kiện sơ cấp). Ký hiệu Ω. – Mỗi phần tử của Ω được gọi là một sự kiện sơ cấp. Ví dụ: – Gieo đồng xu hai mặt (S, N ): Ω = {S, N } . – Gieo đồng xu n lần: Ω = {ω = (ω1 , . . . , ωn ) : ωi ∈ {S, N }} . – Gieo con xúc sắc: Ω = {1, 2, . . . , 6} . 2.1.2. Biến cố. 1. Biến cố là tập hợp con của không gian mẫu. 2. Biến cố bất khả là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử. 3. Biến cố chắc chắn là biến cố chắc chắn sẽ xảy ra trong khi thực hiện một phép thử. 2.1.3. Quan hệ giữa các biến cố. – Quan hệ kéo theo – Quan hệ bằng nhau (tương đương) 2.1.4. Các phép toán trên các biến cố. – Biến cố tổng. – Biến cố tích. – Biến cố kí hiệu. – Biến cố xung khắc. – Biến cố đối lập. 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.2. Đại số và xích ma đại số Định nghĩa 2.2.1. chất sau: Họ các tập con A của Ω được gọi là một đại số nếu thỏa các tính 1. Ω ∈ A. 2. ∀A, B ∈ A : A ∪ B ∈ A. 3. ∀A ∈ A ⇒ A ∈ A. Chú ý: Nếu A là một đại số. – ∅ ∈ A : Ω ∈ A ⇒ Ω = ∅ = Ω. ¡ ¢ – ∀A, B ∈ A : A ∩ B ∈ A : A ∩ B = A ∪ B . [ n     Ai ∈ A – A1 , . . . , An ∈ A ⇒ i=1 n \     Ai ∈A i=1 Ví dụ: ª © A = {Ω, ∅} ; A = ∅, A, A, Ω . Định nghĩa 2.2.2. Họ các tập con F của Ω được gọi là σ đại số nếu thỏa các tính chất sau: 1. Ω ∈ F. 2. ∀A ∈ F; A ∈ F. 3. ∀A1 , . . . , An ∈ F : n [ Ai ∈ F. i=1 2.3. Xác suất Định nghĩa 2.3.1. (Độ đo xác suất) Cho ánh xạ P : F −→ R được gọi là một độ đo xác suất nếu thỏa các tính chất sau: 1. P (A) ≥ 0, ∀A ∈ F. 2. P (Ω) = 1. 3. ∀A1 , . . . , An ∈ F, Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j à P n [ ! Ai i=1 Định nghĩa 2.3.2. = n X P (Ai ) i=1 (Không gian xác suất) Bộ thứ tự (Ω, F, P ) trong đó Ω là một tập, F là một σ đại số trên Ω, P là một độ đo xác suất được gọi là một không gian xác suất. 4 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính chất 2.3.3. 1. P (∅) = 0. 2. Nếu A, B ∈ F, A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) . 3. ∀A, B ∈ F : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) . 4. ∀A1 , A2 , . . . , An ∈ A à P n [ ! Ai ≤ n X i=1 P (Ai ) i=1 Chứng minh: 1. Ai = ∅, ∀i ≥ 1 P Ã∞ [ ! Ai = i=1 P (∅) = ∞ X i=1 n X P (Ai ) P (∅) i=1 = lim n→∞ n X P (∅) i=1 = lim nP (∅) n→∞ ⇒ lim [(n − 1) P (∅)] = 0 n→∞ ⇒ P (∅) = 0 2. Tự cm 3. Tự cm 4. Ta đặt B1 = A1 B2 = (A1 ∪ A2 ) \B1 .. . Bn+1 =  S∞ A n=1 n B ∩ B i Ak \Bn k=1 = S∞ n−1 Bn = ∅, ∀i 6= j, Bn ⊆ An ! Ã∞ ! ∞ [ [ An = P Bn j à ⇒P n+1 [ n=1 n=1 = ≤ ∞ X n=1 ∞ X P (Bn ) P (An ) n=1 5 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bn ⊂ An ⇒ P (Bn ) ≤ P (An ) 2.4. Không gian xác suất hữu hạn Định nghĩa 2.4.1. Trường hợp |Ω| < ∞, ta có thể định nghĩa độ đo xác suất P trên F = P (Ω) P : F −→ R |A| ; N = |Ω| N 1 P (ω) = (ω ∈ Ω) N A −→ Ta gọi độ đo xác xuất này là độ đo xác suất rời rạc. Ví dụ: Rút ngẫu nhiên không hoàn lại 3 lá bài từ một bộ bài, tính xác suất trong 3 lá bài từ 1 bộ bài, tính xác suất trong 3 lá bài vừa rút không có lá bài nào chất cơ. Giải Gọi A là : “Lấy được 3 lá bài không phải là cơ” 3 . Số phần tử của không gian mẫu là C52 3 Số phần tử của biến cố A là C39 C3 P (A) = 39 3 C52 Ví dụ: Nếu 1 số có 3 chữ số 000 → 999 được chọn 1 cách ngẫu nhiên. Tính xác suất trong số đó có đúng 1 chữ số lớn hơn 5 Giải © ª Gọi Ai = Chọn được số có chữ số thứ i > 5 và các chữ số còn lại ≤ 5 ; i = 1, 2, 3 Ta có A = A1 + A2 + A3 ; A1 ∩ A2 6= ∅ P (A) = P (A1 + A2 + A3 ) = P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 ) . 4.6.6 103 P (A1 ) = P (A2 ) = P (A3 ) P (A1 ) = P (A) = 3P (A1 ) = 0.432 Ví dụ: Trong một hộp có 100 bóng đèn trong đó có 75 bóng đèn tốt và 25 bóng đèn hư. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 15 bóng đèn, tính xác suất trong số 15 bóng đèn lấy ra có ít nhất một bóng đèn bị hư Giải 6 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt A : “Trong 15 bóng đèn lấy ra có ít nhất 1 bóng bị hư” ⇒ A : “Trong 15 bóng đèn không có bóng nào bị hư” ¡ ¢ P (A) = 1 − P A =1− 15 C75 15 C100 Ví dụ: Gọi E, F, G là 3 biến cố. Hãy biểu diễn các biến cố sau thông qua 3 biến cố kể trên 1. Chỉ E xảy ra. 2. Cả E&G xảy ra, F không xảy ra. 3. Có ít nhất 1 trong 3 sự kiện xảy ra. 4. Có ít nhất 2 sự kiện xảy ra. 5. Có đúng 2 sự kiện xảy ra. 6. Có nhiều nhất 2 sự kiện xảy ra. Giải 1. E.F .G 2. E.G.F 3. E + G + F 4. E.F.G + E.F .G + E.F.G + E.F.G 5. E.F.G + E.F .G + E.F.G 6. E.F .G + E.F .G + E.F.G + E.F .G + E.F.G + E.F.G + E.F .G Ví dụ: 2 con xúc sắc được gieo liên tục cho tới khi tổng điểm ở mặt phía trên của chúng là 5 hoặc 7 thì dừng lại. Tính xác suất tổng điểm của 2 xúc sắc bằng 5 xảy ra trước Giải Ta đặt An = {Tổng 2 xúc sắc bằng 5 ở lần gieo thứ n và tổng 2 xúc sắc 6= 5&7 ở n − 1 lần gieo trước đó } ∞ [ A = A1 + A2 +, . . . An n=1 An ∩ Am = ∅; ∀m 6= n P (A) = ∞ X P (An ) n=1 7 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2.5. Xác suất có điều kiện Định nghĩa 2.5.1. Xác suất của sự kiện A được tính với giả thiết sự kiện B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A với điều kiện B, kí hiệu là P (A|B) và được tính theo công thức P (AB) P (A|B) = P (B) Tính chất 2.5.2. 1. 0 ≤ P (A|B) ≤ 1 2. P (B|B) = 1 3. Nếu AC = ∅ thì P [(A + C) |B] = P (A|B) + P (C|B) ¡ ¢ 4. P A|B = 1 − P (A|B) Ví dụ: Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối & đồng chất 1. Tính xác suất khi biết tổng điểm 2 mặt của xúc sắc bằng 8 khi biết rằng xúc sắc thứ nhất đã ra 3. 2. Tính xác suất tổng điểm ra bằng 6 khi biết rằng xức sắc thứ nhất I ra bằng 3. Giải Ta có Ω = {(ωi , ωj ) : 1 ≤ ωi , ωj ≤ 6} = {(1, 1) , . . . , , (6, 6)} © ª © ª Gọi A = Tổng 2 mặt xúc sắc bằng 8 ; B = xúc sắc thứ nhất ra mặt bằng 3 6 1 1 5 ; P (B) = = ; P (A.B) = P (A) = 36 36 6 36 P (A|B) = P (A.B) |A.B| = P (B) |B| Ví dụ: Trong một hộp gồm 8 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 bi từ hộp, tính xác suất để cả 2 bi đều là bi đỏ Giải © ª Đặt Ai = Bi đỏ thứ i , i = 1, 2 Ta có P (A1 A2 ) = P (A2 |A1 ) .P (A1 ) = P (A2 |A1 ) .P (A1 ) 7 8 . = 11 12 14 = 33 8 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa 2.5.3. Công thức nhân xác suất. Cho A và B là hai biến cố, nếu P (B) > 0 thì P (AB) = P (A|B) .P (B) = P (B|A) .P (A) Cho A1 , A2 , ..., An là n biến cố P (A1 , A2 , . . . , An ) = P (A1 ) .P (A2 |A1 ) .P (A3 |A1 A2 ) . . . P (An |A1 . . . An−1 ) Ví dụ: Một bộ bài gồm 52 lá được chia ngẫu nhiên thành 4 phần bằng nhau cho người chơi. Tính xác suất mỗi người chơi nhận được đúng một con Át. A1 A2 A3 A4 Giải n o = Con Át cơ nằm 1 trong 4 phần n o = Con Át cơ và con Át rô nằm trong 2 phần khác nhau n o = Con Át cơ, rô, nhép nằm trong 3 phần khác nhau n o = 4 con Át nằm trong 4 phần khác nhau P (A4 ) = P (A1 A2 A3 A4 ) = P (A1 ) .P (A2 |A1 ) .P (A3 |A1 A2 ) .P (A4 |A1 A2 A3 ) 39 26 13 = 1. . . 51 50 49 = 0.106 2.6. Công thức BAYES Định nghĩa 2.6.1. Hệ các biến cố đầy đủ Hệ các biến cố (Ai )i∈I được gọi là một hệ đầy đủ nếu  S i∈I Ai A ∩ A i j Ví dụ: =Ω = ∅, ∀i 6= j Hệ A, A là hệ đầy đủ. Định lý 2.6.2. Công thức xác suất toàn phần. Cho A1 , A2 , . . . , An là hệ đầy đủ và B là biến cố bất kì P (B) = P (B|A1 ) .P (A1 ) + · · · + P (B|An ) .P (An ) = n X P (Ai ) P (B|Ai ) i=1 9 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Một người có hai đồng xu, đồng xu thứ nhất là đồng xu cân đối, đồng xu thứ 2 có xác suất mặt ngửa gấp 3 lần mặt sấp. Anh ta chọn ngẫu nhiên một đồng xu và gieo. Tính xác suất mặt hiện là mặt ngửa. Nếu gieo được mặt ngửa thì xác suất chọn được đồng xu cân đối là bao nhiêu? Giải © ª Ai = Lấy được đồng xu thứ i để gieo , i = 1, 2 © ª N = Xuất hiện mặt ngửa sau khi gieo Ta có  A A = Ω 1 2 A A = ∅ 1 2 Áp dụng công thức xác suất toàn phần: P (N ) = P (N |A1 ) P (A1 ) + P (N |A2 ) P (A2 ) 1 1 3 1 = . + . 2 2 4 2 5 = 8 P (A1 N ) P (N ) P (N |A1 ) P (A1 ) = P (N ) 1 1 . = 2 2 5 8 2 = 5 P (A1 |N ) = Định lý 2.6.3. Công thức Bayes. Cho A1 , A2 , . . . , An là một hệ đầy đủ, B là một biến cố bất kỳ P (B|Ai ) P (Ai ) P (Ai |B) = Pn i=1 P (B|Ai ) P (Ai ) Tính chất 2.6.4. Tính chất của xác suất có điều kiện Cho A, B, C là 3 biến cố và P (C) > 0 1. 0 ≤ P (A|B) ≤ 1 2. P (B|B) = 1, P (∅|C) = 0 3. Nếu AC = ∅ thì P [(A + C) |B] = P (A|B) + P (C|B) ¡ ¢ 4. P A|B = 1 − P (A|B) 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chú ý:(Ω, F, P), F ∩ C = {F ∩ C : F ∈ F} Hàm tập: P (·|C) : F A −→ R 7−→ P (A|C) Là một độ đo xác suất. P [(A ∪ B) C] P (C) P (AC ∪ BC) = P (C) P (AC) + P (BC) = P (C) P (A ∪ B|C) = = P (A|C) + P (B|C) 2.7. Sự độc lập Định nghĩa 2.7.1. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu: P (AB) = P (A) P (B) Lưu ý: Nếu A, B độc lập P (A|B) = P (A) P (B|A) = P (B) Ví dụ: Gieo hai con xúc sắc và theo dõi mặt phía trên của chúng: © ª A = Tổng hai xúc sắc bằng 7 © ª B = Xúc sắc thứ nhất ra mặt 5 6 1 = 36 6 6 1 P (A) = = 36 6 1 P (AB) = 36 P (B) = Định nghĩa 2.7.2. Họ các biến cố Ai , i = 1, n được gọi là độc lập nếu: ∀2 ≤ k ≤ n, ∀i1 , i2 , . . . , ik ∈ {1, . . . , n} P (Ai1 Ai2 . . . Aik ) = P (Ai1 ) . . . P (Aik ) 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Ví dụ:    P (AB)     P (AC) A, B, C độc lập ⇔   P (BC)     P (ABC) = P (A) P (B) = P (A) P (C) = P (B) P (C) = P (A) P (B) P (C) Gieo hai con xúc sắc và quan sát mặt trên của chúng – Tổng điểm trên hai xúc sắc bằng 9 © ª A = Xúc sắc 1 ra mặt 1, 2 hoặc 3 © ª B = Xúc sắc 1 ra mặt 4, 5 hoặc 6 © ª C = Tổng điểm trên hai xúc sắc bằng 9 Ta có: 1 , 6 18 P (A) = , 36 P (AB) = 1 1 , P (BC) = 36 12 18 4 P (B) = , P (C) = 36 36 P (AC) = P (AB) 6= P (A) P (B) P (AC) 6= P (A) P (C) P (BC) 6= P (B) P (C) – Tổng điểm trên hai xúc sắc bằng 7 © ª A = Xúc sắc 1 ra mặt 1, 2 hoặc 3 © ª B = Xúc sắc 1 ra mặt 4, 5 hoặc 6 © ª C = Tổng điểm trên hai xúc sắc bằng 7 Ta có: P (A) = 18 , 36 P (B) = 9 36 3 P (BC) = 36 3 P (AC) = 36 3 P (ABC) = 36 P (AB) = 18 4 , P (C) = 36 36 = P (A) P (B) = P (C) P (D) = P (A) P (C) 6= P (A) P (B) P (C) Ví dụ: Giải lại ví dụ: 2 con xúc sắc được gieo liên tục cho tới khi tổng điểm ở mặt phía trên của chúng là 5 hoặc 7 thì dừng lại. Tính xác suất tổng điểm của 2 xúc sắc bằng 5 xảy ra trước. 12 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt µ ¶n−1 µ ¶n−1 10 4 1 13 1− = 36 36 9 18 © ª Bi = Gieo được tổng điểm bằng 5 ở lần thứ i © ª Ai = Gieo được tổng điểm bằng 5 hoặc 7 ở lần thứ i P (En ) = Ei = A1 . . . An−1 Bi P (En ) = P (A1 . . . An−1 Bn ) = P (A1 ) . . . P (An−1 ) P (Bn ) n−1 = [P (A1 )] P (E) = ∞ X P (Bn ) P (En ) n=1 ∞ X 1 = 9 n=1 µ 13 18 ¶n−1 = ¶n ∞ µ 1 X 13 9 n=1 18 = 1 . 9 1 1− 1 18 . 9 5 2 = 5 13 18 = 13 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phần III Biến ngẫu nhiên 3.1. Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 3.1.1. Cho hàm số X:Ω −→ R ω 7−→ X (ω) Thỏa X −1 (B) ∈ F, ∀B ∈ F được gọi là một biến ngẫu nhiên. Trong đó: F là σ- đại số trên Ω. Ví dụ: Tung hai đồng xu, gọi X là số mặt ngửa Ω = {SS, NS, SN, NN} F = P (Ω) ω SS NS SN NN X (ω) 0 1 1 2 Chú ý: (X ∈ B) = {ω : X (ω) ∈ B} = X −1 (B) (X ≤ 5) = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ 5} (a ≤ X ≤ b) = {ω ∈ Ω : a ≤ X (ω) ≤ b} 3.2. Phân phối của xác suất Định nghĩa 3.2.1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là một độ đo cảm sinh trên R, được xác định như sau: PX : B B −→ R ¡ ¢ 7−→ P X −1 (B) = P (X ∈ B) 14 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt µ· PX 3 0, 2 ¸¶ µ µ· ¸¶¶ 3 −1 =P X 0, 2 µ µ· ¸¶¶ 3 =P X∈ 0, 2 = P ({SS, NS, SN}) = P ({SS}) + P ({NS}) + P ({SN}) 3 = 4 Chú ý: – Mọi ánh xạ trên Ω, trong trường hợp |Ω| < ∞ là biến ngẫu nhiên. – Mọi ánh xạ liên tục từ Ω vào R đều là biến ngẫu nhiên. Định nghĩa 3.2.2. Hàm phân phối xác suất Cho biến ngẫu nhiên X, hàm FX : R −→ [0, 1] x −→ P (X ≤ x) được gọi là hàm phân phối xác suất của X. Ví dụ: Tung hai đồng xu, gọi X là số mặt ngửa Ω = {SS, NS, SN, NN} F = P (Ω) – x<0: FX (x) = P (X ≤ x) = P ({ω : X (ω) ≤ x}) =0 – 0≤x<1: FX (X ≤ x) = P (ω ∈ Ω, X (ω) ≤ x) = P (ω ∈ Ω : X (ω) = 0) = P (SS) 1 = 4 FX (0) = P (X ≤ 0) = P (X = 0) = P ({SS}) 1 = 4 15 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt – 1≤x<2: FX (x) = P (X ≤ x) = P (ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x) ¡ ¢ = P ω ∈ Ω : X (ω) = 0 hoặc X (ω) = 1 = P (ω ∈ Ω : X (ω) = 0) + P (ω ∈ Ω : X (ω) = 1) 1 2 = + 4 4 3 = 4 – x>2: FX (x) = P (X ≤ x) = P ((X = 0) ∪ (X = 1) ∪ (X = 2)) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) 1 2 1 = + + 4 4 4 =1 Mệnh đề 3.2.3. Hàm phân phối xác suất của FX của biến ngẫu nhiên X thỏa: 1. Hàm FX không giảm 2. FX liên tục phải. 3. FX (+∞) = limx→+∞ FX (x) = 1 FX (−∞) = limx→−∞ FX (x) = 0 4. F (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) 16 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Chứng minh: ∀x1 , x2 , x1 ≤ x2 suy ra FX (x1 ) ≤ FX (x2 ). Giải FX (x1 ) = P (X ≤ x1 ) FX (x2 ) = P (X ≤ x2 ) (X ≤ x1 ) = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x1 } ⊂ {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x2 } = (X ≤ x2 ) ⇒ P (X ≤ x1 ) ≤ P (X ≤ x2 ) ⇔ FX (x1 ) ≤ FX (x2 ) Vậy ta có điều phải chứng minh. 3.3. Phân loại biến ngẫu nhiên Định nghĩa 3.3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu nó chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn đếm được giá trị. Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị (xi )i∈I ⊂ R Đặt fX : R −→ [0, 1]  P (X = x) , x ∈ {x : i ∈ I} i x − 7 → fX (x) = 0 ,x ∈ / {xi : i ∈ I} Hàm fX được gọi là hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X. Mệnh đề 3.3.2. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất fX thì: X X 1. FX (x) = fX (xi ) = pi xi ≤x 2. X fX (xi ) = i∈I xi ≤x X pi = 1 i∈I 3. P (a ≤ X ≤ b) = X fX (xi ) = a - Xem thêm -

Tài liệu liên quan

thumb
Văn hóa anh mỹ...
200
20326
146