Lý thuyết chuỗi
Blog: www.caotu28.blogspot.com
CHƯƠNG: LÝ THUYẾT CHUỖI
Un
n
1
1
lim
1
1
e
*Chú ý: nlim
.
Dạng
tổng
quát:
n
U n
Un
e
1. Chuỗi số.
Cho một dãy số vô hạn Un n1 : u1 u2 u3 ... un ...
u 1 được gọi là một chuỗi số.
n
n 1
-
u1: được gọi là số hạng đầu.
un: số hạng tổng quát của chuỗi (1).
-
Sn u1 u2 u3 ... un ... gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1).
-
Chú ý:
-
Nếu lim Sn tồn tại và hữu hạn thì ta nói chuỗi (1) hội tụ.
Nếu không tồn tại lim Sn hoặc lim Sn thì ta nói chuỗi (1) là chuỗi phân kỳ.
Nếu chuỗi (1) hội tụ và lim Sn S . Khi đó ta có thể viết
n
n
n
n
u
n
n 1
.
Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ:
u
Định lý 1: Nếu chuỗi số
n 1
-
n
hội tụ thì lim un 0.
n
Định lý 2: (chú ý) Từ định lý (1) ta thấy nếu lim un 0 thì chuỗi
n
u
n 1
n
phân kỳ.
Các tính chất của chuỗi hội tụ:
Nếu chuỗi
un hội tụ và có tổng là S thì chuỗi
n 1
Nếu chuỗi
un và
n 1
k.u
n
n 1
cũng hội tụ và có tổng là k.S.
vn hội tụ và có tổng lần lượt là S1 và S2 thì chuỗi
n1
u
n 1
n
vn cũng
hội tụ và có tổng là S1 S2 .
2. Chuỗi số dương.
Chuỗi số
u
n 1
n
được gọi là chuỗi số dương nếu un 0n
*
.
*) Nhận xét: Sn là dãy tăng, nếu Sn bị chặn trên. Suy ra Sn hội tụ un hội tụ.
n 1
(***) Các quy tắc xét sự hội tụ của chuỗi số dương.
Định lý 1(Quy tắc so sánh): Cho hai chuỗi số dương
un vn n n0 n0
BS: Cao Văn Tú
*
un và
n 1
thì:
Page 1
v
n1
n
. Nếu
Email:
[email protected]
Lý thuyết chuỗi
Blog: www.caotu28.blogspot.com
- Nếu chuỗi
un hội tụ suy ra
v
n 1
- Nếu chuỗi
vn phân kỳ suy ra
u
n1
hội tụ.
n
n1
phân kỳ.
n
n 1
Định lý 2(Quy tắc tương đương): Cho hai chuỗi số dương
un và
n 1
u
lim n k 0 . Khi đó hai chuỗi
n v
n
Chú ý: Chuỗi Riman
1
n
un và
n 1
v
n1
n
v
n1
n
và thỏa mãn
cùng hội tụ và phân kỳ.
hội tụ khi α > 1và phân kỳ khi 1.
n 1
Định lý 3(Quy tắc Đalambe): Cho chuỗi số dương
u
n 1
- Nếu r 1 thì chuỗi
un1
r.
n u
n
có lim
u
n 1
- Nếu r 1 thì chuỗi
n
n
u
n 1
n
hội tụ.
phân kỳ.
- Nếu r 1 thì chưa có kết luận về sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi
u
n 1
u
Quy tắc côsi: Cho chuỗi số dương
- Nếu r 1 thì chuỗi
n
u
n 1
- Nếu r 1 thì chuỗi
.
và thỏa mãn điều kiện lim n un r .
n
n 1
n
n
u
n 1
n
hội tụ.
phân kỳ.
- Nếu r 1 thì chưa có kết luận về sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi
u
n 1
n
.
3. Chuỗi số bất kỳ.
3.1. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ.
*)Định lý 1: Nếu chuỗi
un hội tụ thì chuỗi tổng
n 1
*) Điều kiện cần và đủ để một chuỗi số hội tụ.
u
n 1
0, n0
*
: m, n 0 ;
u
n 1
n
hội tụ.
hội tụ khi và chỉ khi:
Sn Sm .
*) Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: Chuỗi số
u
n 1
BS: Cao Văn Tú
n
n
Page 2
được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
u
n 1
n
hội tụ.
Email:
[email protected]
Lý thuyết chuỗi
Blog: www.caotu28.blogspot.com
-Chuỗi số
un được gọi là hội tụ nếu nó hội tụ nhưng
n 1
u
n
n 1
phân kỳ.
3.2. Chuỗi đan dấu.
Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng: u1 u2 u3 ... un ... 1
n1
Quy tắc Lepnit: Cho chuỗi đan dấu
1
n 1
n 1
n thì chuỗi đan dấu
1
n 1
n 1
n1
un với un 0n
*
.
un . Nếu dãy (un) giảm và hội tụ về 0 khi
un là hội tụ và có tổng S u1.
4. Chuỗi hàm số.
Phương pháp tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số:
Bước 1: Xét un x 0 x1 , x2 ,... thay vào chuỗi (1) và xét sự hội tụ của nó.
Bước 2: Xét un x 0 . Tìm lim
n
un1 x
r x .
un x
- Nếu r x 1 x a; b thì (1) hội tụ.
- Nếu r x 1 x1 , x2 ,... và thay vào chuỗi (1). Xét sự hội tụ của nó.
*) Hội tụ điểm và hội tụ đều.
- Hội tụ điểm:
u x được gọi là hội tụ trên tập X nếu nó hội tụ tại mọi điểm x X . Khi đó
n
n 1
tổng f(x) là một hàm số xác định trên X và ta viết S x un x x X .
n 1
- Hội tụ đều:
u x được gọi là hội tụ đều trên X đến S(x) nếu dãy hàm S x hội tụ đều
n 1
n
n
trên X, tức là 0 n0
*
sao cho n n0 ta đều có Sn x S x x X .
5. Chuỗi lũy thừa.
Chuỗi hàm số có dạng:
a .x
n 0
n
n
a0 a1 a2 ... an .xn ... ( Trong đó: an là hằng số không phụ thuộc
vào x). Được gọi là chuỗi lũy thừa.
Định lý 1: (Định lý Abel)
- Nếu chuỗi lũy thừa
a .x
n 0
- Nếu chuỗi lũy thừa
a .x
n 0
BS: Cao Văn Tú
n
n
n
n
hội tụ tại x0 0 thì nó hội tụ tại mọi điểm sao cho x x0 .
phân kỳ tại x0 0 thì nó phân kỳ tại mọi x thỏa mãn x x0 .
Định lý 2: (Tìm bán kính hội tụ)
Page 3
Email:
[email protected]
Lý thuyết chuỗi
Blog: www.caotu28.blogspot.com
Cho chuỗi lũy thừa
a .x
n 0
an1
l (hoặc lim n an l ) thì bán kính hội tụ của nó
n
an
và lim
n
n
n
1
khi 0 l
l
khi l
được xác định: 0
.
khi l 0
Tính chất của chuỗi lũy thừa.
Định lý 1: Chuỗi lũy thừa
a .x
n
n 1
n
hội tụ đều trên a; b R; R .
Định lý 2: Tổng S(x) của chuỗi lũy thừa
a .x
n 1
n
n
là hàm số liên tục trên R; R .
'
'
Định lý 3: an .xn an .xn n.an .x n1 x R; R .
n 0
n 0
n 0
b
n
Định lý 4: an .x dx an .x n dx x R; R .
n 0 a
a n 0
Phương pháp tính tổng của một chuỗi:
1
xn 1 x x2 ... xn ...
x 1;1 (*) .
1 x
n 0
b
x
n
x x2 x3 ... xn ...
n1
n.x
n 1
BS: Cao Văn Tú
n 1
x
n 1
n '
'
x
x 1;1 (**) .
1 x
1
x
xn
x 1;1 .
2
n1 1 x 1 x
'
x
xn1 x n x n
1
x dx x dx
dx x 1;1 .
n 0 n 1
n 0 0
0 1 x
0 n 0
Page 4
Email:
[email protected]
Lý thuyết chuỗi
Blog: www.caotu28.blogspot.com
BÀI TẬP VÍ DỤ CÁC DẠNG
1. Chuỗi số dương.
Bài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
n 1
- Xét chuỗi
n
n 1
(1).
n 2
2
1
(2) là chuỗi số dương.
n
- Chuỗi số (1) là chuỗi số dương.
n1
1
1
n 1
n2 . 1
1
u
n n. n 1
n lim
n 1.
lim n lim n 2 lim
lim
2
n v
n
n
n
n
1
2
2
n
2
n
n 2 . 1 2
1 2
n n
n
n
Do chuỗi (2) hội tụ nên chuỗi (1) cũng hội tụ.
2. Áp dụng quy tắc Đalambe.
n
Bài 2: Xét sự hội tụ của chuỗi: n (1)
n1 3
- Ta có chuỗi (1) là chuỗi số dương.
3n. n 1
u
n
n 1
- un n ; un1 n1 n1
.
3
3
un
n.3n1
2
3n. n 1
un1
n 1 1
lim
lim
1.
n
1
n u
n n.3
n 3n
3
n
Vậy chuỗi (1) là hội tụ theo tiêu chuẩn Đalambe.
3. Áp dụng quy tắc Côsi.
- lim
1 n
Bài 3: Xét sự hội tụ của chuỗi: n
n 1 3 n 1
n2
(1)
n2
1 n
0 n
- Ta có chuỗi (1) là chuỗi số dương vì un n
3 n 1
*
n2
1 n
1
1
1
lim
1.
- lim un lim
n
n
n
n 3
3 n 1
3e
n 1
1 n
Vậy chuỗi (1) hội tụ theo tiêu chuẩn Côsi.
4. Áp dụng quy tắc so sánh.
sin n
Bài 4: Xét sự hội tụ của chuỗi 2
.
n 1 n 1
n
- Ta có: un
BS: Cao Văn Tú
n
sin n
1
1
2
2 n
2
n 1 n 1 n
*
mà chuỗi
n 1
Page 5
1
n
2
hội tụ.
Email:
[email protected]
Lý thuyết chuỗi
Blog: www.caotu28.blogspot.com
Theo quy tắc so sánh un hội tụ. Suy ra
n 1
sin n
hội tụ.
2
1
n
n 1
5. Áp dụng quy tắc Lepnit (Chuỗi đan dấu)
Bài 5: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
n 1
1
1n1 .
n
n 1
1 1 1
1 ... Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu.
n
2 3 4
n 1
1
1
- an ; an1
an an1 suy ra dãy an là dãy giảm.
n
n 1
1
Mà lim an lim 0
n
n n
Suy ra chuỗi đã cho hội tụ theoc tiêu chuẩn Lepnit.
6. Áp dụng phương pháp của chuỗi hàm.
xn
n
Bài 6: Xét sự hộ tụ của chuỗi : 1 .
(1)
2n 1
n 1
- Ta có:
Trường hợp 1: Nếu x 0 .
x x2
xn
n
Ta có: Sn x ... 1 .
. Suy ra Sn 0 0 lim Sn 0 0
n
3 5
2n 1
Với x 0 thì chuỗi (1) hội tụ.
Trường hợp 2: Nếu x 0 , ta có:
un1 x
n 1
1 .x n1 2n 1
2n 1
lim
lim
.
lim
1
x
.
n u x
n
2n 3
2n 3
1n xn n
n
- x 1 1 x 1 1;1 là khoảng hội tụ của chuỗi (1).
- Với x 1 suy ra chuỗi (1)
n 1
đương với
1n 1n
2n 1
lim
n
2n 1 . x
2n 3
x
1
là chuỗi số phân kỳ vì nó tương
n 1 2n 1
1
n.
n 1
- Với x 1 suy ra chuỗi (1)
n 1
1n 1n
2n 1
1n
2n 1 là chuỗi số đan dấu vì
n 1
1
1
1
và lim an lim
an
an1
0 suy ra chuỗi
n
n 2n 1
2n 1
2n 3
tắc Lepnit.
Vậy miền hội tụ chuỗi (1) là: 1;1 .
Bài 7: Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi:
BS: Cao Văn Tú
Page 6
1n
2n 1 hội tụ theo quy
n 1
x 4 n 3
(2)
n 1 4n 3
Email:
[email protected]
Lý thuyết chuỗi
Blog: www.caotu28.blogspot.com
Miền hội tụ: Giải tương tự cách trên ta thấy miền hội tụ của chuỗi (2) là (-1;1).
Tính tổng:
x
x
x
x4n3
1
x4n4 dx x4 n1 dx
dx
x 1;1 ta có: S x
4
1
x
n 1 4n 3
n 1 0
n
1
0
0
2
2
1 x 1 x 1 x
1 x dx
1 x dx
dx =
2 0 1 x2 1 x2
2 0 1 x2 2 0 1 x2
x
1
1 1 x
x 1;1
arctan x 0 arctan x ln
2
4 1 x
1 1 x
Vậy S x arctan x ln
x 1;1 .
4 1 x
BS: Cao Văn Tú
Page 7
Email:
[email protected]
Lý thuyết chuỗi
Blog: www.caotu28.blogspot.com
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xét sự hội tụ của các chuỗi số:
1
b.
a.
n(n 1)
n 1
2n 3n
n
n 1 4 2n
e.
g.
1
2
1
n sin
n1
f.
2
n
n 1
n ( n 1)
1
n
1
sin
n!
i.
1 2
(1 )n
n
n 1
Bài 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số có dấu bất kỳ sau:
n
n2
n 3n 4
a. (1)n n
b. (1)
2
n 1
n 1
2n 1
cos n
cos n2
d.
e. n
n2
2
n1
n 1
j.
c.
3n (n!)2
n 1 (2n)!
n 1
h.
n 1 n 1
k.
1
1 2
(1 )n
n
n
n1 5
1
(1 cos )
n
n 1
d.
7n (n!)2
n2 n
n 1
l.
n
c.
(1)
n 1
f.
n 1
n
n 1
2n2 5
cos n
n2 n 1
Bài 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:
( x 2)n
a.
n2
n 1
xn
b. n n
n 1 2 3
(1)n1 n
x
n
n 1 n.2
d.
( x 4)n
c.
n
n 1
( x 5)2 n
2 n
n 1 n .4
n
n 1
2n
e.
( x 2)
2
n
1
n 1
f.
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÁP DỤNG PHẦN CHUỖI SỐ
Bài 1:
1
nên chuỗi phân kỳ.
n
1
b. un ~ v n 2 nên chuỗi hội tụ.
2n
1 1
1
3 nên chuỗi hội tụ.
c. un ~ v n
n n n2
a. un ~ v n
n
3n 3
nên chuỗi hội tụ.
4n 4
u
3
e. Dùng tiêu chuẩn D’Alembert n1 nên chuỗi hội tụ.
un
4
d. un ~ v n
BS: Cao Văn Tú
Page 8
Email:
[email protected]
Lý thuyết chuỗi
f.
Blog: www.caotu28.blogspot.com
un ~ v n
v
1
mà n1 0 nên chuỗi
vn
n
g. Dùng tiêu chuẩn Cauchy
n
vn hội tụ. Vậy
n1
u
hội tụ.
n
n 1
1
1
1
nên chuỗi hội tụ.
un (1 )n
5
5
5e
n 1
n 1
1
h.
un
2 nên chuỗi hội tụ.
e
n 1
un1
7
i.
2 nên chuỗi hội tụ.
un
e
n
n
j.
n
1 1
e
un 1 nên chuỗi phân kỳ.
2 n
2
Bài 2:
n2
a. Xét chuỗi trị tuyệt đối un n
n 1
n 1 2
n2 n
1
Đặt: vn n , vn nên
2
2
b. Xét chuỗi
n1
3n 4
u 2n 1
n
n 1
u
n
;
n
(1)
n
n 1
un
d.
1
vn , mà
n2
n
un
e.
1
n
n 1
1 1
mà
2n 2
2
n 1
n
n 1
c. Dùng tiêu chuẩn Leibnitz
hội tụ. (1)n .
un
3
nên
2
1
hội tụ. Mà
n 1 2
n
n1
u
n 1
n
phân kỳ
hội tụ un hội tụ tuyệt đối.
n 1
un hội tụ un hội tụ tuyệt đối.
n 1
f. Ta có: cos n (1)n dùng tiêu chuẩn Leibnitz
n 1
n 1
Bài 3:
a.
b.
c.
d.
phân k.
n
u
n 1
n
u
n 1
hội tụ
2n2 5
hội tụ. Vậy
n2
hội tụ tuyệt đối
2n
cos n
n2 n 1
hội tụ.
Bán kính hội tụ là: R = 1; Miền hội tụ của chuỗi là: 1 ≤ x ≤ 3.
Bán kính hội tụ là: R = 3; Miền hội tụ của chuỗi là: -3 < x <3.
Bán kính hội tụ là: R = 1; Miền hội tụ của chuỗi là: 3 ≤ x <5.
Bán kính hội tụ là: R = 2; Miền hội tụ của chuỗi là: -2 < x ≤2.
n 1
n
e. Đặt: X ( x 2) chuỗi đã cho trở thành chuỗi
.X
2
n
1
n 1
Bán kính hội tụ là R = 2
n
2
Miền hội tụ của chuỗi là: 2 2 x 2 2
f. Đặt X ( x 5)2 , chuỗi đã cho trở thành chuỗi
n 1
BS: Cao Văn Tú
Page 9
1
n 4
2
n
Xn
Email:
[email protected]
Lý thuyết chuỗi
Blog: www.caotu28.blogspot.com
Bán kính hội tụ là R = 2
Miền hội tụ của chuỗi là: -7≤ x ≤ -3
---Hết----
BS: Cao Văn Tú
Page 10
Email:
[email protected]