Tài liệu Lý thuyết trò chơi

  • Số trang: 61 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 247 |
  • Lượt tải: 1
nguyetha

Đã đăng 8489 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN CHUNG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN CHUNG LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội, 2013 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Nguyễn Văn Chung LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Lý thuyết trò chơi” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Nguyễn Văn Chung Mục lục Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu 5 Chương 1. Kiến thức cơ bản 7 1.1 Một số không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 15 1.2 Nón và hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Một số định lý về điểm bất động . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Bài toán cân bằng 25 2.1 Bài toán cân bằng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Bài toán cân bằng véctơ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Lý thuyết trò chơi 42 3.1 Trò chơi không hợp tác vô hướng . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Trò chơi không hợp tác véctơ và đa trị . . . . . . . . . . 48 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 BẢNG KÍ HIỆU R đường thẳng thực R đường thẳng thực mở rộng Rn không gian Euclid n - chiều d (x, y) khoảng cách giữa x và y hx, yi tích vô hướng của x và y kxk chuẩn của x ∂C conv C biên của tập C bao lồi của tập C o intC( hay C ) phần trong của tập C C f −1 bao đóng của tập C hàm ngược của hàm f inf f cận dưới đúng của hàm f sup f cận trên đúng của hàm f min f giá trị nhỏ nhất của hàm f max f giá trị lớn nhất của hàm f rge f ảnh của hàm f Gr f đồ thị của hàm f dom f miền hữu hiệu của hàm f MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết trò chơi là một bộ phận của Toán học ứng dụng, được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị của Edgeworth từ năm 1881, Pareto từ năm 1906 và mô hình kinh tế Nash từ nửa sau thế kỷ 20. Ngành này nghiên cứu các tình huống chiến thuật trong đó các đối thủ lựa chọn các hành vi khác nhau để cố gắng làm tối thiểu tổn thất đưa ra. Lý thuyết trò chơi được phát triển mạnh từ khi John Von Neumann hình thức hóa nó trong thời kỳ trước và trong Chiến tranh lạnh, chủ yếu áp dụng nó trong chiến lược quân sự, nổi tiếng nhất là khái niệm phá hủy nhanh các mục tiêu của địch. Bắt đầu từ những năm 1970, lý thuyết trò chơi được áp dụng và nghiên cứu sự sinh tồn của thế giới động vật, sự phát triển của các loài qua chọn lọc tự nhiên. Sau đó, lý thuyết trò chơi được áp dụng trong chính trị học, đạo đức học và triết học. Gần đây, lý thuyết trò chơi đã thu hút sự chú ý của các nhà khoa học máy tính do ứng dụng của nó trong trí tuệ nhân tạo và điều khiển học. Cơ sở toán học của lý thuyết này là những không gian có thứ tự được đưa ra bởi Cantor năm 1897, Hausdorff năm 1906 và các hàm véctơ trong một không gian có thứ tự thoả mãn những tính chất nhất định. Ta có thể mô tả lý thuyết trò chơi như một bộ hình thức: G = N, (Ai )i∈N , (fi )i∈N  trong đó: (i) N là tập các người chơi; (ii) i ∈ N , Ai là tập chiến lược chơi của người chơi thứ i, a = 6 (a1 , ..., aN ) ∈ N Q Ai là chiến lược chơi của cuộc chơi; i=1 (iii) fi là hàm từ N Q Ai đến R với ∀i ∈ N được gọi là hàm tổn thất i=1 của người chơi. Ngày nay, nhiều nhà khoa học trên thế giới vẫn muốn tìm thêm mối quan hệ của bài toán này với các bài toán tối ưu hàm đơn trị hay hàm véctơ, bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân và tựa biến phân,... 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số vấn đề về các bài toán cân bằng vô hướng, bài toán cân bằng véctơ và đa trị, từ đó đưa ra phương pháp tìm điểm cân bằng trong trò chơi không hợp tác vô hướng, trò chơi không hợp tác véctơ và đa trị và các ứng dụng của lý thuyết trò chơi. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Quy việc tìm điểm cân bằng của trò chơi về việc tìm điểm bất động của ánh xạ đa trị. Qua đó, làm nổi bật được vai trò của lý thuyết trò chơi trong lý thuyết kinh tế cũng như trong các ngành khoa học khác. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các bài toán cân bằng vô hướng, bài toán cân bằng véctơ và đa trị, ứng dụng cho bài toán trò chơi không hợp tác vô hướng, không hợp tác véctơ và đa trị. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, sử dụng các tính chất của nón, ánh xạ đa trị và một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị, lý thuyết bài toán cân bằng vô hướng, bài toán cân bằng véctơ và đa trị. 6. Những đóng góp mới của đề tài Tổng hợp lý thuyết để chỉ ra sự tồn tại của điểm cân bằng trong bài toán trò chơi không hợp tác vô hướng và không hợp tác véctơ và đa trị. Chương 1 Kiến thức cơ bản Trong toán học, một bài toán được đặt ra luôn gắn với một không gian và các ánh xạ từ không gian này vào không gian khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu toán học, hay tìm lời giải cho các bài toán cụ thể, trước hết ta phải quan tâm tới không gian của bài toán. Trong chương này, ta nhắc lại những không gian cơ bản hay gặp khi nghiên cứu giải tích hiện đại và các kiến thức liên quan. Phần chi tiết và chứng minh cho các hệ quả có thể tham khảo trong các tài liệu số [1], [3], [4]. 1.1 Một số không gian thường dùng 1.1.1 Không gian Metric Vấn đề cơ bản của không gian là khái niệm khoảng cách, một không gian metric là một tập trong đó có xác định "khoảng cách" giữa cặp phần tử, với những tính chất thông thường của khoảng cách hình học. Để hiểu rõ hơn, ta có các khái niệm sau: Định nghĩa 1.1.1.1. Ta gọi tập hợp X 6= ∅ cùng với một ánh xạ ρ(x, y) : X × X → R là một không gian metric nếu thoả mãn: (i) (∀x, y ∈ X) ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tính đồng nhất); (ii) (∀x, y ∈ X) ρ(x, y) = ρ(y, x), (tính đối xứng); (iii) (∀x, y, z ∈ X) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z)+ρ(z, y), (bất đẳng thức tam giác). Ánh xạ ρ(x, y) được gọi là metric trên X, số thực ρ(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. 8 Không gian metric được ký hiệu là M = (X, ρ). Ví dụ: (i) Tập M bất kỳ của tập số thực R, với khoảng cách d(x, y) = |x − y| (độ dài đoạn nối x với y) là một không gian metric. (ii) Tổng quát hơn, trong không gian n chiều Rn , có thể xác định khoảng cách giữa hai điểm x = (x0 , ..., xn ) và y = (y0 , ..., yn ) là r Xn d (x, y) = (xi − yi )2 . i=1 Ta thấy trên cùng một tập có thể lựa chọn những metric khác nhau để có những không gian metric khác nhau. Chẳng hạn, trên cùng tập Rk , ngoài metric Euclide, có thể xác định các metric sau đây: với hai phần tử bất kỳ x = (x1 , x2 , ..., xk ) , y = (y1 , y2 , ..., yk ) thuộc Rk , ta đặt ρ1 (x, y) = k X |xj − yj |, ρ2 (x, y) = max |xj − yj |. j=1 1≤j≤k Các hệ thức trên xác định các metric trên Rk . Trong không gian có khoảng cách, ta có thể đưa ra khái niệm dãy hội tụ như sau: Định nghĩa 1.1.1.2. Cho không gian metric M = (X, ρ), dãy điểm {xn } của không gian metric M gọi là hội tụ tới điểm x0 của không gian đó nếu (∀ > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀n ≥ n0 ) ρ(xn , x0 ) < , kí hiệu lim xn = x0 hay xn → x. n→∞ Điểm x0 gọi là giới hạn của dãy {xn } trong không gian M . Định nghĩa 1.1.1.3. Cho không gian metric (M, ρ), a ∈ M , số r > 0. Ta gọi: Tập S(a, r) = {x ∈ M : ρ(x, a) < r} là hình cầu mở tâm a, bán kính r; Tập S 0 (a, r) = {x ∈ M : ρ(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính r. Định nghĩa 1.1.1.4. Tập M trong không gian metric X được gọi là bị 9 chặn nếu nó nằm trọn trong một hình cầu nào đó, nghĩa là nếu có một điểm a ∈ X và một số k > 0 sao cho ρ(x, a) ≤ k, với mọi x ∈ M . Định nghĩa 1.1.1.5. Hình cầu tâm a, bán kính r > 0 gọi là một r-lân cận của điểm a và mọi tập con của X bao hàm một r-lân cận nào đó của a gọi là một lân cận của a. Xét một tập A bất kỳ trong không gian metric M , với x ∈ X: Điểm x được gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm x bao hàm trong tập A; Điểm x được gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm x không chứa điểm nào của tập A. Định nghĩa 1.1.1.6. Cho không gian metric (M, ρ) và tập A ⊂ M : Tập A gọi là tập mở trong không gian (M, ρ), nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A; Tập A gọi là tập đóng trong không gian (M, ρ), nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A. Định lý 1.1.1.7. (Xem [4] ) Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng. Hợp của một số hữu hạn tập đóng cũng là đóng. Giao của một họ bất kỳ những tập đóng cũng đóng. Định lý 1.1.1.8. (Xem [4] ) Cho không gian metric M = (X, ρ), tập A ⊂ X với A 6= ∅. Tập A đóng trong không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm {xn } ∈ A hội tụ tới điểm x thì x ∈ A. Định nghĩa 1.1.1.9. Cho không gian metric M = (X, ρ) và một tập A ⊂ X. Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A, ký hiệu là intA. Giao của tất cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của A và ký hiệu Ā. Định nghĩa 1.1.1.10. Cho tập X bất kì, ta nói một họ τ những tập con của X là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên X nếu: (i) Hai tập ∅ và X đều thuộc họ τ ; 10 (ii) Giao của một số hữu hạn tập thuộc họ τ , cũng thuộc họ đó; (iii) Hợp của một số vô hạn tập thuộc họ τ , cũng thuộc họ đó. Tập X cùng với tôpô τ trên X gọi là không gian tôpô (X, τ ). Các khái niệm lân cận, hội tụ, tập mở, tập đóng đều xác định trên không gian metric cùng một cấu trúc ta gọi là cấu trúc tôpô. Định lý 1.1.1.11. (Xem [4] ) Cho không gian metric bất kỳ M = (X, ρ), họ τ tất cả các tập mở trong M lập thành một tôpô trên X. Định nghĩa 1.1.1.12. Họ τ tất cả các tập mở trong không gian metric M = (X, ρ) gọi là tôpô sinh bởi metric ρ. Định nghĩa 1.1.1.13. Cho không gian metric M = (X, ρ). Dãy {xn } gọi là dãy cơ bản trong M , nếu (∀ > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀m, n ≥ n0 ) , ρ(xn , xm ) <  hay lim ρ(xn , xm ) = 0. n,m→∞ Dễ thấy một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản, vì nếu xn → x thì theo bất đẳng thức tam giác, ta có ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , x) + ρ(x, xm ) → 0 (n, m → ∞) . Định nghĩa 1.1.1.14. Không gian metric M = (X, ρ) gọi là không gian đầy đủ, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ. Định nghĩa 1.1.1.15. Cho hai không gian metric M = (X, ρ) và N = (Y, σ). Một ánh xạ f : X → Y gọi liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu (∀ > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ X) : ρ(x, x0 ) < δ ⇒ σ(f (x), f (x0 )) < . tương đương với: f (xn ) → f (x0 ) cho mọi dãy xn → x0 . Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X. Định nghĩa 1.1.1.16. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập A ⊂ X, nếu ánh xạ f liên tục tại mọi điểm x ∈ A. Khi A = X thì ánh xạ f gọi 11 là liên tục. Định lý 1.1.1.17. (Xem [4] ) Cho ánh xạ f từ không gian metric M1 = (X, ρ1 ) đến không gian metric M2 = (Y, ρ2 ). Năm mệnh đề sau đây tương đương: (i) f liên tục; (ii) Nghịch ảnh của tập đóng bất kỳ trong M2 là tập đóng trong M1 ; (iii) Nghịch ảnh của tập mở bất kỳ trong M2 là tập mở trong M1 ; (iv) Với mọi A ⊂ X đều có f (Ā) ⊂ f (A); (v) Với mọi B ⊂ Y đều có f −1 (intB) ⊂ int(f −1 (B)). Định nghĩa 1.1.1.18. Một tập K trong không gian metric X được gọi là tập compắc nếu mọi dãy {xn } ⊂ K đều có chứa một dãy con {xnk } hội tụ tới một điểm thuộc K. Định nghĩa 1.1.1.19. Cho không gian metric M = (X, ρ). Không gian M gọi là không gian compắc, nếu tập X là tập compắc trong M . Từ định nghĩa ta thấy một tập compắc M bao giờ cũng là đóng. Thật vậy, nếu xn ⊂ M và xn → x thì do tính compắc phải có một dãy con {xnk } hội tụ, với lim xnk ∈ M , nhưng lim xnk = lim xn = x, vậy x ∈ M hay tập M đóng. 1.1.2 Không gian định chuẩn Trong giải tích có nhiều vấn đề liên quan tới các phép toán: cộng hai phần tử với nhau và nhân một phần tử với một số. Để nghiên cứu các vấn đề này, chúng ta nhắc lại khái niệm không gian tuyến tính. Định nghĩa 1.1.2.1. Một tập M khác rỗng được gọi là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C), với các phần tử x, y ∈ M được gọi là các véctơ nếu trên M xác định hai phép toán (+) : M × M → M : (x, y) → x + y; ( . ) : P × M → M : (λ, x) → λx. 12 thoả mãn tám tiên đề sau: (i) x + y = y + x, (∀x, y ∈ M ); (ii) (x + y) + z = x + (y + z) , (∀x, y, z ∈ M ); (iii) (∃θ ∈ M ) x + θ = θ + x, (∀x ∈ M ); (iv) (∀x ∈ M ) (∃ − x ∈ M ) x + (−x) = θ; (v) λ (x + y) = λx + λy, (∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ P ); (vi) (α + β) x = αx + βx, (∀x ∈ M, ∀α, β ∈ P ); (vii) α (βx) = (αβ) x, (∀x ∈ M, ∀α, β ∈ P ); (viii) (∃1 ∈ M ) 1x = x, (∀x ∈ M ). θ và 1 lần lượt được gọi là phần tử không, phần tử đơn vị của M . Định nghĩa 1.1.2.2. Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, gọi là chuẩn và kí hiệu là ||.||, thoả mãn các tiên đề sau: (i) (∀x ∈ X) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ; (ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) ||αx|| = |α| ||x||; (iii) (∀x, y ∈ X) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. Số ||x|| được gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X. Ví dụ: Cho không gian tuyến tính X. Đối với hai véctơ bất kỳ x, y ∈ X ta đặt ρ(x, y) = ||x − y||. Khi đó, ρ là một chuẩn trên X, X trở thành không gian định chuẩn. Ta thấy rằng mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric với metric ρ(x, y) = ||x − y||. Do đó, mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.1.2.3. Dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy {xn } ∈ X sao cho lim ||xn − xm || = 0. m,n→∞ 13 Định nghĩa 1.1.2.4. Trong không gian định chuẩn X mọi dãy cơ bản đều hội tụ (tức là : ||xn − xm || → 0 khi đó ∃x0 ∈ X sao cho xn → x0 ) thì không gian đó được gọi là không gian đầy đủ. Không gian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach. Ví dụ: (i) Với số thực bất kỳ x ∈ R ta đặt ||x|| = |x|, cho ta một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R1 . Ta có R1 là không gian Banach. (ii) Không gian tuyến tính Rk là không gian định chuẩn, với chuẩn v u k uX |xi |2 . ||x|| = t i=1 Dễ thấy không gian Rk là không gian Banach. Như vậy, trên không gian định chuẩn có đồng thời hai cấu trúc: tôpô và đại số. Hai cấu trúc này tương thích với nhau, tức là hai phép toán đại số liên tục. Định nghĩa 1.1.2.5. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P (P = R hoặc P = C), ánh xạ F : X → Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ F thoả mãn các điều kiện: (i) (∀x, x0 ∈ X) F (x + x0 ) = F x + F x0 ; (ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) F (αx) = αF (x). Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính F thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.1.2.6. Cho không gian định chuẩn X trên trường P (P = R hoặc P = C). Ta gọi không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp (hay đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu X ∗ . Đó là một không gian tuyến tính, với các phép 14 toán tự nhiên: (+) : (F1 + F2 )(x) = F1 (x) + F2 (x); ( . ) : (αF1 )(x) = αF1 (x). Định lý 1.1.2.7. (Xem [4] ) Toán tử tuyến tính F : X → Y là liên tục ⇔ F bị chặn, tức là ∃k ≥ 0 : ||F (x)||Y ≤ k||y||X với mọi x, y ∈ X. Định nghĩa 1.1.2.8. Không gian liên hợp của không gian X ∗ gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian X và kí hiệu X ∗∗ . Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ, nếu X = X ∗∗ . Tiếp theo, ta đưa ra khái niệm tôpô yếu trên không gian định chuẩn. Cho không gian định chuẩn X, X ∗ là không gian liên hợp của không gian X. Với mỗi x ∈ X ta xét họ Vx tất cả các tập con của không gian X có dạng: Vx = V (x; f1 , f2 , ..., fn ) = {y ∈ X : |fj (y) − fj (x)| < , j = 1, 2, ..., n} , trong đó n là số nguyên dương tuỳ ý, f1 , f2 , ..., fn là n phần tử tuỳ ý của không gian X ∗ ,  là dương tuỳ ý. Dễ dàng kiểm tra họ Vx có các tính chất: (i) Với mọi x ∈ X, Vx 6= ∅, mọi Vx ∈ Vx khi đó suy ra x ∈ V ; (ii) Với V1 ∈ Vx , V2 ⊃ V1 thì V2 ∈ Vx ; (iii) Với ∀ V1 , V2 ∈ Vx thì V1 ∩ V2 ∈ Vx ; (iv) Với mỗi V ∈ Vx có một W ∈ Vx sao cho V ∈ Vx cho mọi y ∈ W . Khi đó, tồn tại một tôpô duy nhất trên không gian X sao cho tại mỗi điểm x ∈ X họ Vx là một cơ sở lân cận của điểm x. Tôpô này gọi là tôpô yếu trên không gian X, và được ký hiệu là τ (X, X ∗ ). 1.1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.3.1. Cho không gian tuyến tính định chuẩn X trên trường P (P = R hoặc P = C). Ánh xạ h., .i : X × X → P được gọi là 15 tích vô hướng trên X nếu thoả mãn: (i) hx, yi = hy, xi (trong trường số phức hx, yi = hy, xi) , ∀x, y ∈ X; (ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X; (iii) hλx, zi = λ hx, zi, ∀λ ∈ P ; (iv) hx, xi ≥ 0; hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = θ; Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x và y. Định nghĩa 1.1.3.2. Không gian tuyến tính thực X mà trong đó có xác định một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. √ Nếu đưa vào không gian X chuẩn ||x|| = < x, x >. Khi đó, không gian tiền Hilbert trên là một không gian định chuẩn. Nên trên X, ta có thể định nghĩa dãy cơ bản và tính đầy đủ. Từ đây mọi khái niệm và tính chất trong về không gian định chuẩn đều đúng trong không gian này. Định nghĩa 1.1.3.3. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. n Ví dụ: Không gian R với tích vô hướng hx, yi = n P xi yi là không gian i=1 Hilbert. Định lý 1.1.3.4. (F. Rierz ) (Xem [4] ) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng f (x) = (x, a), x ∈ H trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và ||f || = ||a||. 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Không gian lồi địa phương là một lớp không gian đặc biệt quan trọng của không gian tuyến tính tôpô. Dưới đây ta nhắc lại một số định nghĩa, tính chất cơ bản của lớp không gian này: Định nghĩa 1.1.4.1. Một tập con A của không gian tuyến tính gọi là 16 lồi nếu : ∀x, y ∈ A, 0 ≤ α ≤ 1 ⇒ αx + (1 − α)y ∈ A. Định nghĩa 1.1.4.2. Ta gọi một lân cận của điểm x trong không gian tôpô X là tập bất kỳ bao hàm một tập mở chứa x. Nói cách khác V là lân cận của x nếu có một tập mở U sao cho x ∈ U ⊂ V . Một tập Bx ⊂ Vx gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mọi V ⊂ Bx tồn tại W ⊂ Bx sao cho W ⊂ V . Định nghĩa 1.1.4.3. Một tôpô τ trên không gian tuyến tính X tương thích với cấu trúc đại số nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô đó, tức là nếu: (i) Với mọi lân cận V của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho nếu x0 ∈ Ux , y 0 ∈ Uy thì x0 + y 0 ∈ V ; (ii) Với mọi lân cận V của điểm αx đều có một số  > 0 và một lân cận U của x sao cho |α0 − α| < , x0 ∈ U thì α0 x0 ∈ V . Định nghĩa 1.1.4.4. Không gian tuyến tính X trên đó có một tôpô tương thích với cấu trúc đại số được gọi là không gian véctơ tôpô. Định nghĩa 1.1.4.5. Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian tôpô Hausdorff (không gian tách), nếu với mỗi x, y ∈ X, x 6= y bao giờ cũng tồn tại lân cận Ux của x và Uy của y thoả mãn Ux ∩ Uy = ∅. Định nghĩa 1.1.4.6. Một không gian tuyến tính tôpô X gọi là không gian lồi địa phương và tôpô của nó gọi là tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi. Định nghĩa 1.1.4.7. Không gian véctơ tôpô Hausdorff được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff nếu X có cơ sở lân cận U (của gốc) gồm các tập lồi. Ví dụ: Các không gian Banach, Hilbert đều là những không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. 17 1.2 Nón và hàm véctơ Trong không gian các số thực, các phần tử bất kỳ đều được sắp thứ tự. Điều này không có được ở nhiều không gian khác. Muốn mở rộng các bài toán nhận giá trị thực sang các bài toán nhận giá trị véctơ người ta đưa vào khái niệm mới, từ đó có thể xây dựng những khái niệm tương tự của số thực, số phức trong không gian tuyến tính, một phương pháp hữu hiệu để xây dựng những khái niệm đó là đưa nón vào không gian tuyến tính. Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C ⊆ Y . Ta nói rằng C là nón có đỉnh tại gốc (hay nói ngắn gọn là nón) trong Y nếu: tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0. Định nghĩa 1.2.2. Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi; Nón C được gọi là nón đóng nếu C là tập đóng. Kí hiệu l(C) = C ∩ (−C); Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = 0. Với nón C cho trước ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng phần trên Y như sau x, y ∈ Y, x C y nếu x − y ∈ C. Nếu không có sự nhầm lẫn ta có thể viết đơn giản x  y. Ký hiệu x  y, nếu x − y ∈ C \ l(C) và x  y nếu x − y ∈ intC. Ta thấy quan hệ trên là một quan hệ thứ tự, nếu C là nón lồi, thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và là quan hệ thứ tự từng phần trên Y . Hơn nữa, nếu C là nón nhọn thì quan hệ trên có tính phản đối xứng, nghĩa là nếu x  y và y  x, thì x = y. Ví dụ: (i) Tập {0} và Y là nón trong không gian Y được gọi là các nón tầm thường. 18 (ii) Cho Rn là không gian Euclide n chiều, tập C = Rn+ = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn | xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n} là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương trong Rn . Nếu lấy C = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn | x1 ≥ 0} thì l(C) = {x = (0, x2 , ..., xn ) ∈ Rn } = 6 {0} nên C là nón lồi, đóng nhưng không nhọn. Định nghĩa 1.2.3. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh bởi nón lồi C. A là tập con khác rỗng của Y . Ta nói rằng: (i) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu y − x ∈ C với mọi y ∈ A. Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được kí hiệu là IM in(A/C) hoặc IM inA; (ii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đối với nón C, nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C/l(C). Tập các điểm hữu hiệu là P M in(A/C) hay M in(A/C) hoặc M inA; (iii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C, nếu có một x ∈ M in(A/ {0} ∪ intC). Tức là x là điểm hữu hiệu theo thứ tự sinh bởi nón C0 = {0} ∪ intC. Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C được kí hiệu là W M in(A/C) hoặc W M inA; (iv) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C nếu tồn tại nón lồi C ? khác hoàn toàn không gian Y và chứa C/l(C) trong phần trong của nó để x ∈ P M in(A/C ? ). Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu là P rM in(A/C) hoặc P rM inA. Từ định nghĩa trên ta luôn có: IM inA ⊂ P M inA ⊆ M inA ⊆ W M inA. Sau đây, ta đưa ra một số khái niệm, tính chất của hàm véctơ. Cho X là tập hợp bất kỳ. Ký hiệu 2X là tập gồm các tập con của X.
- Xem thêm -