Tài liệu Lý thuyết rủi ro ứng dụng trong bảo hiểm (tt)

MỞ ĐẦU Bảo hiểm là biện pháp chia sẻ rủi ro của một người hay một số người cho cả cộng đồng những người có khả năng gặp rủi ro cùng loại, bằng cách mỗi người trong cộng đồng góp một số tiền nhất định vào một quỹ chung và từ quỹ chung đó bù đắp thiệt hại cho thành viên trong cộng đồng không may bị thiệt hại, do rủi ro đó gây ra. Bảo hiểm được xem như là một cách thức chuyển giao rủi ro tiềm năng một cách công bằng từ một cá thể sang cộng đồng thông qua phí bảo hiểm. Ở Việt Nam, bảo hiểm xuất hiện dưới hình thức sơ khai vào khoảng năm 1880. Những năm gần đây, ngành bảo hiểm, tài chính đã thực sự trở thành ngành kinh tế giữ vai trò trọng yếu, có vai trò điều chỉnh và thúc đẩy hoạt động của các ngành kinh tế khác và đã trở thành nơi tập trung của các ý tưởng, xuất phát từ các lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực tế khác nhau. Các vấn đề của bảo hiểm, tài chính đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học nói chung và lý thuyết xác suất và thống kê toán học nói riêng. Hiện nay, chúng ta đang được chứng kiến sự cộng tác chặt chẽ giữa các nhà kinh tế, tài chính và toán học, nhằm mục đích ứng dụng các thành tựu toán học hiện đại vào việc nghiên cứu các mô hình kinh tế, phân tích và tìm hiểu các quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có các đề xuất và giải pháp phù hợp với quy luật. Trong cuộc sống sinh hoạt nói chung cũng như trong những hoạt động sản xuất, kinh doanh phục vụ cuộc sống, con người luôn gặp phải những tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ, ngẫu nhiên sảy ra, gây thiệt hại về tài sản, con người... Các tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ ấy gọi là rủi ro. Các công ty bảo hiểm mở ra nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần rủi ro cho chủ thể, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro (có thể dẫn đến thua lỗ hoặc phá sản). Việc đánh giá mức độ rủi ro và thời điểm xảy ra rủi ro là nhu cầu cấp thiết đặt ra, đòi hỏi cần được nghiên cứu và giải quyết để hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Năm 1903, một công trình của Lundberg, F. đã đặt nền móng cho lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm, tiếp theo đó, Cramer, H. và trường phái Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Mô hình cơ bản đầu tiên là mô hình rủi ro của Cramer – Lundberg, mô hình này thường liên quan đến các trường hợp chi trả bảo hiểm bình thường, và chưa được nghiên cứu nhiều cho các trường hợp phải chi trả bồi thường bảo hiểm lớn. Trong thời gian gần đây Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) được nghiên cứu và phát triển mạnh, đặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm nói riêng và kinh tế, tài chính nói chung. Một trong các vấn đề trọng tâm mà lý thuyết này quan tâm, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại (hay xác suất rủi ro - Ruin Probability) trong các mô hình rủi ro. Đối với các mô hình rủi ro cổ điển, bài toán thường được nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập, chẳng hạn như ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro của tác giả Cramer – Lundberg với giả thiết về dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Chủ đề này cũng được rất nhiều tác giả khác quan tâm, thể hiện trong các công trình nghiên cứu của nhiều nhà toán học có tên tuổi như: Asmussen [9], Buhlman, H. [12], Dickson, D. C M.[11], De Vylder, F.E.[20], [21], [22], Embrechts, P.[24], Ignatov [30], [31], Kluppelberg, C. [24], Lèfèvre, Cl.[19], [40], Loisel, S.[19], Mikosch, T.[24], Grandell, J.[28], Hipp, C.[29], Schmidli, H.[29], Marceau, M.[20], Musiela, M.[35], Nyrhinen, H.[36], Rutkowski, M.[35], Paulsel, J.[37]. [38], Picard, Ph. [40],Schmidt, K.D.[43], … Ngoài ra, còn có một số công trình nghiên cứu mô hình rủi ro có xét đến tác động của yếu tố lãi suất như: Bùi Khởi Đàm [11], Cai, J. [13], [14], [15], [17], Dickson, D. C M. [15], [16], [23] Gaier, J. [26], Grandist, P. [26], Kluppelberg, C. [32], Stadtmuller, U. [32], Konstantinides, D. G. [33], Tang, Q. H. [33], Tsitsiashvili, G. S. [33], Sundt, B. [44], [45], Teugels, J.L. [44], [45], Tang Q. [46], [47], [48], Yang, H. [51], [53], Zhang, L. H. [53], Yuen, K. C. [54], [55], Wang, G. [54], [55], Wates, H.R. [23], Wu, R. [54],… Bên cạnh đó, một số tác giả xét mô hình rủi ro với giả thiết dãy số tiền thu bảo hiểm, đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc: Như m- phụ thuộc của tác giả Bùi Khởi Đàm.[1], [2], [3], [10], Nguyễn Huy Hoàng.[1], [2], [3], [10],dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa tự hồi quy cấp một, hoặc là xích Markov như Albrecher, H.[8], Cai, J.[18], Dickson, D. C M.[18], Gerber, H. U.[27], Muller, A.[34], Pfug, G.[34], Promislow, S. D.[39], Valdez, E. A.[49], Mo, K.[49], Xu, L. [50], Wang, R.[50], Yang, H.[52], Zhang, L. H.[52],… 1 Tính toán xác suất rủi ro là bài toán rất quan trọng trong ngành bảo hiểm. Đây là bài toán khó và cho đến nay vẫn được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Các nghiên cứu về đề tài này thường được thực hiện theo những cách tiếp cận sau: Ước lượng xác suất rủi ro bằng các bất đẳng thức (như bất đẳng thức Cramer-Lundberg). Dùng kỹ thuật mô phỏng Monte Carlo để tính xác suất rủi ro. Phương pháp tính đúng (như công thức Picard- Lefèvre tính xác suất rủi ro)… Với những lý do nói trên, chúng tôi xác định đối tượng nghiên cứu của luận án là các mô hình rủi ro trong bảo hiểm, thời gian rời rạc với các dãy biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc Markov. Ngoài ra, các mô hình còn xét tới tác động của yếu tố lãi suất, với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov. Luận án đã đánh giá xác suất thiệt hại cho mô hình này. Đóng góp chính của luận án là tìm ra công thức tính xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hình rủi ro khi dãy số tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, có phân phối bất kỳ (trường hợp riêng là dãy biến ngẫy nhiên độc lập cùng phân phối) và mở rộng công thức tính chính xác xác suất này cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Bên cạnh đó, bất đẳng thức ước lượng xác suất rủi ro với độ chính xác tùy ý cho mô hình rủi ro có số tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục cũng được đưa ra. Các kết quả chủ yếu của luận án đã được công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], (xem danh mục công trình khoa học đã công bố của luận án). Luận án đã thu được các kết quả mới sau đây: a. Trong mô hình rủi ro có dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập Lần đầu tiên đưa ra được công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hình rủi ro này (trước đó, các tác giả Claude Lefevre và Stephane Loissel (2008) chỉ đưa ra công thức tính chính xác cho mô hình cổ điển khi dãy tiền thu là tất định, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức). Phương pháp tiếp cận (tính toán) trực quan, cho phép mở rộng đối với các mô hình mà dãy thu, dãy chi là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. b. Trong mô hình rủi ro có dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên liên tuc. Luận án đã đưa ra được bất đẳng thức ước lượng xác suất rủi ro cho mô hình khi dãy tiền thu là tất định, tuyến tính theo thời gian, còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối và có phân phối liên tục. c. Áp dụng phương pháp Monter Carlo tính xác suất rủi ro Chúng tôi nghiên cứu xác suất rủi ro đối với mô hình rủi ro của các công ty bảo hiểm với thời gian rời rạc, hữu hạn, khi có tác động của yếu tố lãi suất, dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm trong mô hình được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Đồng thời chúng tôi còn xem xét mô hình rủi ro tổng quát hơn khi có tác động của lãi suất là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, phụ thuộc Markov. Qua việc hoàn thành bản luận án, chúng tôi cũng hy vọng được góp phần vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết về các mô hình rủi ro trong bảo hiểm, kinh tế và tài chính, với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc Markov (đặc biệt là tính được chính xác xác suất rủi ro trong bảo hiểm) và các ứng dụng của chúng vào thực tiễn. Nội dung của luận án bao gồm 3 chương và, được cấu trúc như sau: Chương 1. Được dành cho việc trình bày các khái niệm, kết quả cơ bản về xác suất, xác suất điều kiện, biến ngẫu nhiên, phân phối của biến ngẫu nhiên, dãy biến ngẫu nhiên độc lập, quá trình ngẫu nhiên, xích Markov và mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính. Chương 2 là đóng góp chính của luận án. Trong chương này, chúng tôi mở rộng mô hình rủi ro trong [19]. Chúng tôi tìm ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho các mô hình rủi ro tương ứng. Chúng tôi đã mở rộng công thức Picard-Lefèvre (xem [40]) cho xác suất rủi ro (không rủi ro) với mô hình rủi ro mà quá trình thu, chi là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc. Kết quả này là mở rộng đáng kể kết quả trước đó của Claude Lefèvre và Stephane Loisel (xem [19]). Trong bài báo này các tác giả chỉ xét mô hình rủi ro trong đó quá trình chi trả bảo hiểm có phân phối nhị thức, còn quá trình thu thì giả thiết đơn giản là quá trình tất định, tuyến tính theo thời gian. Chúng tôi đã mở rộng mô hình khi dãy số tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập, 2 có phân phối bất kỳ. Thuật toán được thiết lập để tính toán kết quả số, minh họa cho công thức tính chính xác suất rủi ro khi hai dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Bên cạnh đó, chúng tôi còn mở rộng công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hỉnh rủi ro khi dãy tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Luận án còn đưa ra được ước lượng xác suất rủi ro với độ chính xác tùy ý cho mô hình khi dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục. Chương 3 nghiên cứu mô hình rủi ro được xét với thời gian rời rạc khi có tác động của yếu tố lãi suất. Trong chương này phương pháp Monte- Carlo được áp dụng để tính xác suất rủi ro khi xét mô hình rủi ro có tác động của lãi suất. Lãi suất được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov. Một vài ví dụ số minh họa cho mô hình được đưa ra. Cuối cùng là phụ lục phần code các chương trình tính. Các kết quả chủ yếu của luận án đã được báo cáo và thảo luận tại: - Đại hội toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang (8/ 2013) - Xêmina tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội. - Hội thảo khoa học tại trường Đại học Công nghiệp Việt Trì (10/ 2011) 3 Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm về không gian xác suất, các khái niệm và kết quả về biến cố ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên, xích Markov và mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính (một công cụ quan trọng sử dụng trong việc chứng minh các kết quả của luận án, các kết quả này có trong [4], [5], [6], [7] và [42]). 1.1 Không gian xác suất Ta gọi bộ ba , A, P là một không gian xác suất Kolmogorov nếu:   a)    là tập hợp tùy ý có các phần tử ký hiệu là b) A là   đại số các tập con của  ; c) P là độ đo xác suất hay gọi là xác suất trên A , Tập  được gọi là không gian các biến cố sơ cấp Mỗi    được gọi là một biến cố sơ cấp. Mỗi A  A được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. P( A) là xác suất của biến cố A. P được gọi là xác suất trên  ; hay    A. Định nghĩa 1.1. Xét không gian xác suất  , A, P  Giả sử B là biến cố ngẫu nhiên có P ( A  B ) được gọi là xác suất có điều kiện của A với P( B)  0, A  A . Đại lượng P  A | B   P( B) điều kiện B. Mệnh đề 1.4. (Công thức nhân xác suất) Giả sử A1 , A2 ,..., An là họ các biến cố ngẫu nhiên sao cho P  A1 , A2 ,..., An1   0 , khi đó:   P  A1 , A2 ,..., An   P( A1 ) P( A2 | A1 )...P( An | A1 A2 ... An ) . 1.2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất Định nghĩa 1.2. Hàm thực X  X  xác định trên  lấy giá trị trên ℝ gọi hàm A đo được hoặc   biến ngẫu nhiên, nếu , X ()  B  A với mỗi B  B (  ) (Ở đây B ( ) là   đại số các tập Borel của trục thực ℝ). Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu miền giá trị X(  ) chỉ gồm hữu hạn hoặc đếm được giá trị. Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu miền giá trị X(  ) lấp kín một khoảng trên trục số thực ℝ (số phần tử của tập giá trị là vô hạn không đếm được). Định nghĩa 1.3. Hàm số FX ( x)  P( X  x), x  được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. 1.3 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc X là số thực xác định theo công thức: EX   xn pn   xn P  X  xn  n n nếu chuỗi hội tụ. Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc X là số thực không âm xác định theo công thức: 2 2 VarX  E  X  EX   EX 2   EX  . Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục X là số thực xác định theo công thức:  EX   xf  x  dx.  Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục X là số thực không âm xác định theo công thức: 4 2  2 2 VarX  E  X  EX   EX   EX  2      x f  x  dx    xf  x  dx  .     2 1.4 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Dãy biến ngẫu nhiên  X n  được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là n 1 P X n   X , nếu với   0 bất kỳ lim P  X n  X     0 . n  Dãy biến ngẫu nhiên  X n  được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (a.s) đến biến ngẫu nhiên X, kí n 1 a. s hiệu là X n   X , nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho X n    X   với   A .   Nghĩa là P  | lim X n ( )  X ( )  1. n  Dãy biến ngẫu nhiên  X n  được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p  0  p    đến biến n 1 p L ngẫu nhiên X, kí hiệu là X n   X , nếu E X n  X p  0,  n    . Dãy biến ngẫu nhiên  X n  được gọi là hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu n1 là D X n   X , nếu FX n  FX tại mọi điểm liên tục của FX . 1.5 Quá trình ngẫu nhiên a. Cho , ≥ 0 là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất  , A, P  . Quá trình ngẫu nhiên X   X t , t  0 là một hàm hai biến X (t , ) xác định trên     lấy giá trị trong  và là một hàm đo được đối với   trường tích B  A . Trong đó B là   trường các   tập Borel trên    0,   .  b. Khi cố định một  thì ánh xạ riêng phần t  X  t ,  từ  vào  được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X   X t , t  0 , ứng với yếu tố ngẫu nhiên ấy. c. Nếu X lấy giá trị trong  (n1) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n - chiều. 1.6 Xích Markov với thời gian rời rạc Định nghĩa 1.5. Ta nói rằng X t có tính Markov nếu: n    P X  t n 1   j X  t0   i0 , , X  tn 1   in 1 , X  tn   i    P X  tn 1   j X  tn   i với bất kỳ t 0  t1  t 2    t n  t n 1 và i0 , , in 1 , i , j  E . Ta xem t n là hiện tại, tn1 là tương lai, t0 , t1 , , tn 1 là quá khứ thì tính Markov có nghĩa là: Sự tiến triển của hệ trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và độc lập với quá khứ. Xích Markov là quá trình ngẫu nhiên có tính Markov. Nếu t  0,1,2,... thì ta có khái niệm xích Markov với thời gian rời rạc.     s  t . Đặt p  s , i , t , j   P X  t   j X  s   i Đó là xác suất có điều kiện để quá trình tại thời điểm s ở trạng thái i, đến thời điểm t chuyển sang trạng thái j, vì thế ta gọi p  s, i, t, j  là xác suất chuyển của quá trình. Nếu xác suất chuyển chỉ phụ thuộc vào  t  s  , tức là: p  s, i, t , j   p  s  h, i, t  h, j  thì ta nói quá trình là thuần nhất theo thời gian. 5 Ma trận xác suất chuyển Giả sử  X n , n  0,1,2, là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Đặt pij  P X n1  j X n  i  P X n1  j X 0  i0 ,, X n1  in1, X n  i Do xích Markov có tính thuần nhất nên pij không phụ thuộc vào n mà chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian xảy ra sự chuyển trạng thái này. Đặt P  pij thì ma trận P  pij được gọi là ma trận xác suất chuyển sau một bước.     pij là xác suất có điều kiện để quá trình tại thời điểm n (hiện tại) ở trạng thái i chuyển sang trạng thái j tại thời điểm n  1 (tương lai). Ma trận P   pij  có tính chất trên, sẽ gọi là ma trận ngẫu nhiên. i , jE Xác suất chuyển sau n bước, ký hiệu là pij( n ) và được định nghĩa theo công thức: pij( n )  P  X n m  j | X m  i  P  X n  j | X 0  i Rõ ràng pij(1)  pij . Ta quy ước:  Đặt P ( n )  pij(n)  1 nÕu i  j pij(0)   0 nÕu i  j , đó là ma trận xác suất chuyển sau n bước. 1.7 Mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính Trên cơ sở nền tảng là luật mạnh số lớn, phương pháp Monter-Carlo là phương pháp giải bằng số các bài toán thông qua việc tạo ra và sử dụng các số ngẫu nhiên. Để giải bằng số mỗi bài toán ta càn thiết lập các phép thử ngẫu nhiên tương ứng và xác định lời giải gần đúng của bài toán đã nêu từ các kết quả của các phép thử này. Với một đại lượng khó tính toán về mặt giải tích, người ta tìm cách tính một loạt các giá trị cụ thể của nó (xem như các thể hiện của một biến ngẫu nhiên) rồi lấy trung bình cộng các giá trị đó. Đối với các bài toán tất định, tức là bài toán không liên quan đến phép tính xác suất, đây là những bài toán trong giải tích số thông thường. Để sử dụng phương pháp Monter-Carlo vào mỗi bài toán tất định nói trên, trước hết ta cần lập các bài toán xác suất tương đương (mô hình xác suất tương ứng) mà lời giải y của bài toán tất định được xác định từ lời giải x của bài toán xác suất bởi quan hệ hàm tính y  f ( x) nào đó. Để giải gần đúng bài toán xác suất tương đương trong mô hình thông qua việc tiến hành các phép thử ngẫu nhiên. Đây là quá trình thể hiện mô hình xác suất tương ứng. Từ kết quả của các phép thử trong quá trình nói trên, ta có thể thiết lập một véc tơ ngẫu nhiên X  ℝm xấp xỉ với lời giải x  ℝm của mô hình xác suất (theo một nghĩa nào đó). Nếu lời giải y  ℝn của bài toán tất định được xác định từ x bởi quan hệ hàm tính y  f ( x) (với f là hàm liên tục), thì ta có thể xấp xỉ nó (theo một nghĩa nào đó) bởi véc tơ ngẫu nhiên Y  f ( X ) ℝn, nghĩa là X  x  ℝm; Y  F ( X )  f ( x)  y  ℝn trong đó: Y và X được gọi là ước lượng Monter Carlo hoặc phỏng ước đối với lời giải y và x của lần lượt các bài toán tất định và bài toán xác suất tương đương. Bây giờ ta xét việc ứng dụng của phương pháp Monter-Carlo vào việc giải bằng số các bài toán xác suất với các hiện tượng ngẫu nhiên không quan sát được. Thuộc các loại bài toán này là các bài toán quan trọng của lý thuyết thông tin, lý thuyết phục vụ đám đông, lý thuyết trò chơi, vật lý, kỹ thuật và kinh tế…Các bài toán nói trên có chung nhau một đặc điểm là: Các hiện tượng ngẫu nhiên xuất hiện trong đó là “không có khả năng quan sát được”, nghĩa là ta không thể tiến hành các thí nghiệm để quan sát chúng trong thực tế, vì các thí nghiệm ngẫu nhiên này thuộc một trong ba loại: Loại thí nghiệm diễn biến quá chậm, loại thí nghiệm diễn biến quá nhanh và loại thí nghiệm đắt giá. Tương tự như trường hợp của bài toán tất định, để giải bằng số các bài toán xác suất với các hiện tượng ngẫu nhiên không quan sát được ở trên, ta thiết lập một bài toán xác suất tương đương (gọi là mô hình mô phỏng tương ứng), sao cho tuy nó có cùng lời giải x với bài toán xác suất ban đầu nhưng lại có thể mô hình hóa trên máy tính, nghĩa là có thể xác định phỏng ước của X đối với lời giải x thông 6 qua quá trình thể hiện một mô hình xác suất cơ bản nào đó. Với mỗi bài toán xác suất khác nhau, sẽ có những mô hình mô phỏng khác nhau. Tiếp theo, ta xét việc mô hình hóa trên máy tính (tạo lập những thí nghiệm ngẫu nhiên), nghĩa là xét các quá trình thể hiện các mô hình xác suất cơ bản trên máy tính, cụ thể ta xét thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên bằng phương pháp nghịch đảo hàm phân phối. Ta xét việc mô phỏng thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên  có hàm phân phối F ( x)  P{  x} đã cho, tức là ta xét những thể hiện (trong phép thử mô phỏng) của đại lượng ngẫu nhiên  ứng với hàm phân phối F ( x), trong đó F ( x) là hàm không giảm, liên tục trái và 0  F ( x)  1 . Tuy nhiên, nói chung F ( x) không có hàm ngược theo ý nghĩa giải tích thông thường. Từ hàm phân phối xác suất, ta cần tìm một hàm ngược F 1 ( x ) (theo nghĩa rộng) của F ( x) sao cho: (  x)  F 1 ( )  F ( x)  y. Khi đó từ hàm y  F ( x) , ta định nghĩa hàm ngược theo nghĩa rộng x  G( y) của F ( x) như sau: x  G( y )  inf{x : y  F ( x)}: F 1 ( y). Ta thu được kết quả Bổ đề 1.1. Đại lượng ngẫu nhiên  có hàm phân phối F ( x)  P{  x} đã cho trước và từ hàm phân phối xác suất F ( x) , ta định nghĩa hàm ngược của y  F ( x) . Giả sử R [0,1] là đại lượng ngẫu nhiên phân phối đều trên [0,1]. Phương trình F ( )  R có nghiệm duy nhất   F 1 ( R) Và nếu thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên  được xác định bởi   F 1 ( R) , thì  là thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối F ( x) cho trước. Kết luận Trong chương 1, chúng tôi đã giới thiệu một số khái niệm và kết quả đã có liên quan trực tiếp đến nội dung, phương pháp chứng minh của luận án bao gồm các khái nệm: Xác suất, xác suất điều kiện, dãy biến ngẫu nhiên độc lập, các dạng hội tụ của biến ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên, xích Markov và mô phỏng các đại lượng ngẫu nhiên trên máy tính. Luận án sẽ tập trung nghiên cứu mô hình rủi ro nhị thức tổng quát, mô hình rủi ro trong bảo hiểm (thời gian rời rạc) với giả thiết dãy các số tiền thu, đòi trả bảo hiểm là độc lập; Đồng thời, luận án còn nghiên cứu các mô hình này trong trường hợp có xét đến tác động của lãi suất. Các nội dung, cũng như các kết quả nghiên cứu mà tác giả đã đạt được về các vấn đề này, sẽ được trình bày trong các chương tiếp theo. 7 Chương 2 CÁC CÔNG THỨC TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT RỦI RO Trong chương này, chúng tôi xét ba mô hình rủi ro với thời gian rời rạc mở rộng. Mô hình thứ nhất được xét đến khi dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm ( X i ) i1 và dãy số tiền thu bảo hiểm (Yi ) i 1 là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, có phân phối bất kỳ, hơn nữa, hai dãy ( X i ) i1 và (Yi ) i 1 là độc lập với nhau (hệ quả của nó là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối). Từ đó, chúng tôi mở rộng cho mô hình thứ hai với giả thiết về dãy số tiền đòi trả bảo hiểm ( X i ) i1 và dãy số tiền thu bảo hiểm (Yi ) i 1 là các dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Hơn nũa, luận án còn xét mô hình rủi ro thứ ba, đây là mô hình có dãy tiền thu bảo hiểm là tất định, tuyến tính theo thời gian còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối và có phân phối liên tục. Các kết quả này có trong công trình [1],[2], [3] và [5], phần các công trình đã công bố của luận án. 2.1 Các công thức tính chính xác xác suất rủi ro Trong lý thuyết rủi ro, có hai mô hình cổ điển sau đây là rất quan trọng và được nghiên cứu nhiều: Một là mô hình rời rạc, đó là quá trình với thời gian rời rạc và lượng tiền chi trả trong mỗi chu kỳ thời gian được giả thiết là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương (hoặc bằng không). Hai là mô hình Poisson phức hợp, đó là mô hình liên tục hóa (thời gian liên tục) của mô hình rời rạc (lượng tiền chi trả được giả thiết có phân phối liên tục). Mặc dù mô hình liên tục là tổng quát nhưng mô hình rời rạc trực quan và dễ áp dụng hơn trong nhiều trường hợp thực tế. Bây giờ chúng tôi xin giới thiệu mô hình rủi ro rời rạc. Giả sử một công ty bảo hiểm phát hành một loại chứng từ bảo hiểm về một dịch vụ tài chính nào đó. Khách hàng là những người mua chứng từ đó. Công ty bảo hiểm có số vốn ban đầu là uℕ*, thu được của khách hàng một số tiền mua bảo hiểm với phí suất c  0, trên một đơn vị thời gian. Tại mỗi thời kỳ t *, công ty phải trả một số tiền bảo hiểm tổng cộng là St cho các khách hàng có nhu cầu đòi trả bảo hiểm. Thặng dư của công ty bảo hiểm tại thời kỳ t được xác định bởi Ut : u  ct  St (2.1) trong đó St  X1  X 2  ...  X t , với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, rời rạc và độc lập. Kí hiệu Pn*i : P ( X 1  X 2  ...  X i  n ) là phân phối của một tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, (xem [19]). Rủi ro xảy ra tại thời kỳ đầu tiên Tu khi U t  0 , nghĩa là Tu  inf t :0  t  T , Rt  0 , ở đây, 0  T   ,với quy ước inf    . Xác suất rủi ro của công ty bảo hiểm, trong khoảng thời gian hữu hạn [0, T], và với giả thiết công ty này có vốn ban đầu u, sẽ được ký hiệu là  (u , T ) và được định nghĩa bởi (u,T ) : P{Ut  0 với một t nào đó  T }, 0  T  . Quan hệ giữa xác suất rủi ro và xác suất không rủi ro P (Tu  t  1) trong khoảng thời gian hữu hạn:  (u , t )  1  P(Tu  t  1). Bây giờ, thay cho việc tính xác suất rủi ro trong thời gian hữu hạn  (u , T ) ở trên, ta sẽ đặt mục tiêu là tính xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn P (Tu  t  1) cho mô hình rủi ro (2.1) nêu trên. Các tác giả Claude Lefèvre và Stephanne Loisel đã đưa ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro cho mô hình (2.1) khi dãy ( X i ) i1 có phân phối nhị thức, điều đó được thể hiện trong mệnh đề sau đây. 8 Mệnh đề 2.1. ([19]) Ta có u  t 1 P (Tu  t  1)  u  t 1 *t J P J 0  *( J  u ) J P J  u 1  u  t 1 t  u  n *(t  u  J )  Pn  J  , t  1  n J t  u  J  (2.2) và P (Tu  1)  P ( X 1  u  1) Ta nhận thấy, trong mô hình rủi ro ở trên, các tác giả Claude Lefèvre và Stephanne Loisel đã đưa ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro cho mô hình (2.1) khi dãy tiền thu bảo hiểm là tất định, tuyến tính theo thời gian, còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối nhị thức. Nhưng trong thực tế, thì dãy tiền thu bảo hiểm cũng là dãy biến ngẫu nhiên, để mô hình phù hợp với thực tế hơn, sau đây, ta sẽ xét mô hình rủi ro khi mà số tiền thu bảo hiểm, chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, có phân phối bất kỳ. 2.1.1 Công thức tính chính xác xác suất rủi ro, cho mô hình rủi ro khi dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, nhận giá trị nguyên, không âm Bây giờ, chúng ta khảo sát hoạt động của công ty bảo hiểm mà việc hạch toán thu, chi, lỗ, lãi được xét theo những thời kỳ cố định cho trước (ví dụ theo tháng, theo quý hoặc theo năm…), công ty có số vốn ban đầu là u  ℕ*. Tại mỗi thời kỳ t (t =1, 2,…), ta ký hiệu X t , Yt tương ứng là tổng số tiền chi trả và tổng số tiền thu bảo hiểm trong thời kỳ thứ t. Ta ký hiệu U t là thặng dư của công ty bảo hiểm ở cuối mỗi thời kỳ t, khi đó ta có biểu diễn t t U t  u   Yi   X i . i 1 (2.3) i 1 Thặng dư phải dương thì công ty mới có lãi, ngược lại tại cuối thời kỳ t xảy ra rủi ro nếu như U t  0 . Ký hiệu Tu là thời điểm đầu tiên xảy ra rủi ro, nghĩa là Tu : inf{t : 1  t  T , Ut <0}, ở đây 0  T  , với quy ước inf    . Xác suất rủi ro trong thời gian hữu hạn ký hiệu là  (u, T ) được định nghĩa bởi (u,T ) : P{Ut  0 với một t nào đó  T } , Tương tự như đã xét trên, Tu  t  1 có nghĩa là: Trước thời kỳ t, rủi ro chưa xảy ra, tức là tại thời kỳ 1  i  t thì thặng dư U i  0. Ta cũng có quan hệ  (u, T )  1  P(Tu  t  1) . Nhận xét 2.1.  (u , t ) là hàm không giảm theo t và không tăng theo u. Cũng như trên, thay cho việc tính xác suất rủi ro trong thời gian hữu hạn (u, T ) , ta sẽ tính xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn P (Tu  t  1) , điều đó được thể hiện trong định lý sau đây. Định lý 2.1. ([2], [5] phần các công trình đã công bố của tác giả) Giả sử công ty bảo hiểm có vốn ban đầu là u ℕ*, tại cuối mỗi thời kỳ t (t =1, 2,…), thặng dư của công ty là biến ngẫu nhiên Ut , được thể hiện bởi: t t U t  u   Yi   X i , i 1 i 1 trong đó X i , Yi tương ứng là tổng số tiền chi ra và tổng số tiền thu được trong thời kỳ thứ i của công ty bảo hiểm . Ta cũng giả thiết rằng: 1) Các dãy biến ngẫu nhiên ( X i ) i1 và (Yi ) i 1 là các dãy biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên, không âm, độc lập. Dãy ( X i ) i 1 là độc lập với dãy (Yi ) i 1 . 9 2) Tồn tại số nguyên dương M   sao cho P (Y j  M )  1 với j và P ( X i  M )  1 M với  i. Ký hiệu pk( i )  P ( X i  k ); qk( j )  P (Y j  k ), k  M , M p (i ) k  1, k 1 q ( j) k  1. k 1 Khi đó ta có công thức tính chính xác xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn P Tu  t  1 như sau:    P (Tu  t  1)    qk(1) qk( 2)k ...qk( t ) k  0( k1ki t )M  k 0   1 i 2 t 1       pi(1) pi( 2) ... pi( t )      00ii ikkuu     ...  0 i ...i k u  t 1 1 i 1 1 1 0 (2.4) t 2 1 2 2 t 1 t Ta nhận thấy, trong trường hợp đặc biệt, khi dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập cùng phân phối thì định lý trên vẫn còn đúng, điều đó được thể hiện qua hệ quả sau đây. Hệ quả 2.1. ([2] và [5] phần các công trình đã công bố của tác giả) Giả sử công ty bảo hiểm có vốn ban đầu là u  ℕ*, tại cuối mỗi thời kỳ t (t =1,2,…), thặng dư của công ty được thể hiện bởi t t U t  u   Yi   X i i 1 i 1 trong đó X i , Yi tương ứng là tổng số tiền chi ra và tổng số tiền thu được trong thời kỳ thứ i, i  1, 2,..., t . Ta cũng giả thiết rằng: 1) Các dãy biến ngẫu nhiên ( X i ) i1 và (Yi ) i 1 là các dãy biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên, không âm, độc lập, cùng phân phối. Hơn nữa, dãy ( X i ) i 1 là độc lập với dãy (Yi ) i 1 . 2) Tồn tại số nguyên dương M   sao cho P (Y1  M )  1 và P( X 1  M )  1 (vì số tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm chỉ hữu hạn). Ký hiệu pk  P( X 1  k ) ; qk  P(Y1  k ) , với M M k  M ,  pk  1,  qk  1. k 0 k 0 Khi đó ta có công thức tính chính xác xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn P (Tu  t  1) như sau:    P (Tu  t  1)    qk qk  k ...qk k  0 ( k1ki t ) M  k 0   1 i 2 1 i 1 0 t t 1    pi pi ... pi    00ii ik kuu  ...  0i ...i k u 1 1 1 1 1 2 2 t t 2 t         (2.10) Nhận xét 2.2. Trong trường hợp tổng quát, khi không tồn tại hằng số nguyên dương M sao cho P (Y1  M )  1 thì ta có thể lập luận như sau: Với mọi   0 (có thể nhỏ tùy ý), tồn tại M sao cho: P (Y1  M )   , khi đó ta có công thức gần đúng cho xác suất trong (2.10) như sau:  0 ( ki  ki 1 )  M 1i t k0 0 qk qk  k ...qk  k 1 2 1 t t 1       pi pi ... pi )   P  Tu  t  u     00ii i k ku u    ...  0i ... i k  u  1 1 1 1 2 t 1 2 2 t t 10         qk qk k ...qk  k   pi pi ... pi )    . (2.13) 0 ( k  k )  M  00ii ik k u u  1i  t   k 0 ...  0i ...i  k u  Tiếp theo, chúng tôi sẽ minh họa cho công thức tính chính xác xác suất không rủi ro với thời gian hữu hạn P(Tu  t  1) , cho mô hình rủi ro rời rạc, khi dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối ở công thức (2.10) của hệ quả 2.1, trong trường hợp: M = 10 Dãy q: 0.93159240 0.06819402 0.00008155 0.00000410 0.00012399 0.00000385 0.00000000 0.00000000 0.00000005 0.000000004 Dãy p: 0.44511175 0.27795150 0.09868925 0.12949805 0.02708238 0.02034434 0.00100900 0.00002661 0.00005986 0.00022724 ta thu được kết quả cho trong bảng sau : Bảng 1 u=4 u=6 u=7 u=9 u = 20 t 1 i 2 1 t t 1 1 i1 1 1 2 t 1 2 2 0 1 t t 2 0.7943 0.9500 0.9813 0.9978 1 3 0.6134 0.8533 0.9214 0.9816 1 4 0.4488 0.7242 0.8239 0.9406 1 5 0.2903 0.5852 0.7033 0.8716 1 Nhận xét 2.4. Trong phần trên, chúng tôi đã đưa ra được công thức tính chính xác xác suất không rủi ro (không rủi ro), thời gian hữu hạn cho mô hình rủi ro rời rạc, khi dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập, có phân phối bất kỳ. Trong phần kế tiếp, chúng tôi tiếp tục mở rộng công thức tính chính xác xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn ở định lý 2.1, cho mô hình rủi ro rời rạc, khi dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là phụ thuộc Markov. 2.1.2 Công thức tính chính xác xác suất rủi ro cho mô hình rủi ro khi các dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Định lý 2.2. ([3],[5] phần các công trình đã công bố của tác giả) Giả sử công ty bảo hiểm có vốn ban đầu là u  ℕ*, tại cuối mỗi thời kỳ (t  1,2...) , thặng dư của công ty được thể hiện bởi công thức sau t t U t  u   Yi   X i , i 1 i 1 trong đó X i , Yi tương ứng là tổng số tiền chi ra và tổng số tiền thu được của công ty bảo hiểm trong thời kỳ thứ i, i  1, 2,..., t. Ta cũng giả thiết rằng: 1) Tồn tại số nguyên dương M   sao cho P(Y1  M )  1 và P( X1  M )  1 (vì số tiền thu và chi trả bảo hiểm chỉ hữu hạn). 2) Quá trình chi trả bảo hiểm ( X i ) i1 là xích Markov rời rạc, thuần nhất, nhận giá trị nguyên, M không âm với phân phối ban đầu P ( X 1  k )  pk , k  M , p k k 0 [ pij ] với pij  P( X n 1  j X n  i) . 11  1, và ma trận xác suất chuyển 3) Quá trình thu bảo hiểm (Yi )i 1 là xích Markov rời rạc, thuần nhất, nhận giá trị nguyên, M không âm với phân phối ban đầu P (Y1  k )  qk , k  M , q k  1, và ma trận xác suất chuyển k 0 [qij ] với qij  P(Yn 1  j Yn  i ). Khi đó ta có công thức tính chính xác xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn P(Tu  t  1) như sau:        P (Tu  t  1)   qk1 qk1 , k2  k1 qk2  k1 , k3  k2 ...qkt 1  kt2 ,kt kt1    pi1 pi1 ,i2 ... pit1 ,it 0  ( ki  ki 1 )  M 0  i1  k1  u  1i t  0i1  i2 k2 u  k0  0   0i ......i  k  u   1 t t  t t i 1 i 1       (2.14)     Để tính xác suất rủi ro cho mô hình rủi ro (2.3) cho dưới dạng U t  u   Yi   X i , trong đó, dãy tiền chi trả bảo hiểm X1 ,..., X t và dãy tiền thu bảo hiểm Y1 ,..., Yt là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương (không nhất thiết phải nguyên), độc lập, cùng phân phối và chỉ nhận hữu hạn giá trị (là sự mở rộng của định lý 2.1), ta có thể sử dụng định lý 2.3 dưới đây. Chú ý 2.1 Gần đây, các tác giả Bùi Khởi Đàm và Phùng Duy Quang (xem [11]) đã phát triển kỹ thuật chứng minh, tổng quát hóa kết quả của chúng tôi và thu được công thức tính chính xác xác suất rủi ro khi có tác động của yếu tố lãi suất. Định lý 2.3. ([1], phần các công trình đã công bố của tác giả) Giả sử công ty bảo hiểm có vốn ban đầu là u  ℕ*, tại cuối mỗi chu kỳ t  ℕ*, thặng dư của công ty là biến ngẫu nhiên Ut , được thể hiện bởi: t t U t  u   Yi   X i , i 1 i 1 Ta cũng giả thiết rằng: t 1) Dãy tiền chi trả bảo hiểm X   X i i 1 , là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận các giá trị dương trong tập hữu hạn G X   x1 , x2 ,...,xM  (0  x1  x2  ...  xM ) . t 2) Dãy tiền thu bảo hiểm Y  Y j  , là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận j 1 các giá trị dương trong tập hữu hạn GY   y1 , y2 ,..., yN  (0  y1  y2  ...  yN ) , hơn nũa dãy t t Y  Y j  j 1 là độc lập với dãy X   X i i 1 . M Ký hiệu: pk  P( X1  xk )( xk  EX ) , 0  pk  1,  pk  1 k 1 N qk  P(Y1  yk )( yk  EY ) , 0  qk  1,  qk  1 . k 1 Khi đó ta có công thức tính chính xác xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn P Tu  t  1 như sau   qn1 qn2 ...qnt    ...  pm1 pm2 ... pmt  n1 , n2 ,...,nt 1  1m1 g1 1m2 g2 1mt gt  N P(Tu  t  1)   trong đó: 12 (2.18)   g1  max m1 : xm1  min{u  yn1 , xM } , 1   g 2  max m2 : xm2  min{u   ( ynk  xmk )  yn2 , xM } , k 1   ……….... t 1   gt  max  mt : xmt  min{u   ( ynk  xmk )  ynt , xM } . k 1   Nhận xét 2.5. Nhiều trường hợp quan trọng trong thực tế, khi xét mô hình rủi ro Ut  u  ct  St , các quá trình chi trả bảo hiểm có phân phối liên tục, vì vậy ước lượng xác suất rủi ro cho mô hình này là rất cần thiết vì cho đến nay vẫn chưa có công thức tính đúng. Trong mục tiếp theo chúng tôi sẽ giải quyết bài toán xấp xỉ xác suất rủi ro cho mô hình này với sai số nhỏ tùy ý. 2.2 Ước lượng xác suất rủi ro cho mô hình rủi ro có dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối và có phân phối liên tục t Bây giờ, ta xét mô hình rủi ro Ut  u  ct  St với St   X k . k 1 Trong đó X1, X 2 ,..., X t là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, có phối liên tục với hàm phân phối F. t Khi đó tổng St sẽ có phân phối Fs   F (tích chập t lần của hàm phân phối F). Vì F liên tục, nên Fs cũng liên tục. Bởi vậy, với mọi  là số dương cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại số nguyên dương M  M ( ) sao cho (2.25) P ( St  M )   . Vì F liên tục trên [0, M ] , nên Fs liên tục đều trên [0, M ] . Với mọi  đã cho, tồn tại số dương    ( ) và với mọi phân hoạch đoạn [0, M ] thỏa mãn điều kiện 0  a0  a1  ....  ai  ....  an  M với max  ai 1  ai    , ta đều có 0i  n 1 [Fs (an1 )  Fs (an )]   . (2.26) Bây giờ ta sẽ tính xấp xỉ xác suất rủi ro cho mô hình rủi ro ở trên với sai số nhỏ tùy ý, điều đó được thể hiện qua định lý sau đây. Định lý 2.4. ([3], phần các công trình đã công bố của tác giả) Giả sử công ty bảo hiểm có vốn ban đầu là u  ℕ*. Tại cuối mỗi thời kỳ t  ℕ*, thặng dư của công ty là biến ngẫu nhiên Ut , được thể hiện bởi t Ut  u  ct  St với St   X k . k 1 Ta cũng giả sử rằng: Các số  , M  M ( ),    ( ) và mọi 0  a0  a1  ....  ai  ....  an  M thỏa mãn các điều kiện (2.25), (2.26). Gắn với không gian xac suất  , A, P  sinh bởi hàm phân phối F ta ký hiệu B  {  : St ( )  M } Ai , n :   : ai  St ( )  ai 1, i  0, n  1 , n là số cố định cho trước, Xét các biến ngẫu nhiên: M 1 M 2 St(1) ( )   ai1A ( )  M 1B ( ), St(2) ( )  i 0 trong đó 1 ( )    A i ,n i ,n 0 khi   Ai ,n 1 khi   Ai ,n a i 0 1 ( )  M 1B ( ), i 1 Ai , n 0 khi   B 1 khi   B và 1B ( )   13 phân hoạch Khi đó, ta có ước lượng xác suất rủi ro trong khoảng thời gian hữu hạn dưới dạng  (1) (u , t )   (u, t ) , t với  (1) (u , t )  P  U (1) (u )  0  , t    j 1  và ta có lim   (u, t )   (1) (u, t )   0.  0 (2.27) (2.28) n  Nhận xét 2.5. Trong (2.27) cho ta ước lượng được xác suất  (u , t ) với sai số nhỏ tùy ý (  nhỏ tùy ý và n đủ lớn); ta tính đúng được  (1) (u , t ) nhờ định lý 2.3 vì S t(1) ( ) chỉ nhận hữu hạn giá trị P  St(1)  ai   Fs  ai 1   Fs  ai  . Trong chương 2 của luận án, chúng tôi đã nghiên cứu mô hình rủi ro với thời gian rời rạc. Luận án đã thu được các kết quả mới và chủ yếu sau đây: Chúng tôi đưa ra được công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) trong thời gian hữu hạn, cho mô hình rủi ro khi dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập, có phân phân phối bất kỳ (định lý 2.1) và hệ quả của nó là trường hợp dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập, cùng phân phối (hệ quả 2.1) cùng với các nhận xét. Bên cạnh đó chúng tôi còn mở rộng được mô hình rủi ro khi dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là các xích Markov rời rạc, thuần nhất, nhận giá trị nguyên, không âm và đưa ra được công thức tính chính xác xác suất không rủi ro cho mô hình này (định lý 2.2). Khi xét mô hình rủi ro có dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, nhận giá trị dương không nhất thiết phải nguyên, trên tập hữu hạn giá trị, chúng tôi đưa ra được công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hình này (định lý 2.3). Đối với mô hình rủi ro, khi số tiền thu là tất định, tuyến tính theo thời gian, còn số tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối và có phân phối liên tục, chúng tôi đã đưa ra được ước lượng xác suất rủi ro với độ chính xác tùy ý cho mô hình (định lý 2.4). Cuối cùng là minh họa số cho thử nghiệm của công thức tính chính xác xác suất không rủi ro (2.10) được đưa ra. 14 Chương 3 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP MONTER-CARLO TÍNH XÁC SUẤT RỦI RO Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu xác suất rủi ro đối với mô hình rủi ro của các công ty bảo hiểm với thời gian rời rạc, trong đó dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối. Đồng thời chúng tôi còn xem xét mô hình rủi ro tổng quát hơn khi có tác động của lãi suất là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, phụ thuộc Markov. Kỹ thuật được sử dụng ở đây là phương pháp Monte-Carlo. Các kết quả này có trong công trình [4], phần các công trình đã công bố của luận án. 3.1 Giới thiệu Tính toán xác suất rủi ro là bài toán rất quan trọng và khó trong ngành bảo hiểm, chủ đề này được nhiều tác giả quan tâm và thực hiện theo những cách tiếp cận khác nhau. Một trong những cách tiếp cận đó là dùng kỹ thuật mô phỏng Monte-Carlo để tính xác suất rủi ro, đây là một kỹ thuật sử dụng các số ngẫu nhiên, để tạo ra các thể hiện của các biến ngẫu nhiên có hàm phân phối phù hợp với mô hình rủi ro đã được xác định trước và sử dụng các kết quả mô phỏng này để đưa ra ước lượng cho xác suất rủi ro cần xác định. Một số tác giả như Cai, J. và Dickson, D.C.M. [18], Dickson, D.C.M. và Wates, H.R. [23] đã sử dụng kỹ thuật mô phỏng này để tính toán xác suất rủi ro trong vòng 10 năm, khi mở rộng các mô hình 1 năm, 2 năm và 5 năm của Ramlau – Hansen [41] với lãi suất là tất định, hoặc là phụ thuộc Markov như trong [18] và dãy số tiền đòi trả bảo hiểm có dạng đặc biệt của phân phối Gamma tịnh tiến như trong [41]. Tuy nhiên khi xét mô hình lãi suất phụ thuộc Markov, các tác giả [18] đã mô phỏng quá trình thặng dư bởi những biểu thức giải tích, không thuận lợi cho việc sử dụng các quá trình lặp trên máy tính. Việc đưa ra ước lượng chệch (là phương sai mẫu) cho phương sai cũng là vấn đề cần bàn về mặt thống kê. Ngoài ra đối với các bộ tham số khác nhau, các tác giả trên đã tiến hành số những phép thử khác nhau, cách làm này không những mang tính chủ quan mà còn cản trở tham số hóa chương trình tính. Nhằm mở rộng và khắc phục những nhược điểm nói trên, trong chương này chúng tôi trình bày một tiếp cận mô phỏng, để ước lượng xác suất của sự kiện chi phí của một công ty bảo hiểm vượt quá thu nhập trong một khoảng thời gian định sẵn nào đó. Xác suất này, được gọi là xác suất rủi ro, sẽ được khảo sát trong mục tiếp theo. 3.2 Phương pháp Monte-Carlo tính xấp xỉ giá trị kỳ vọng và đánh giá sai số Tư tưởng chính của phương pháp Monte Carlo là việc xấp xỉ giá trị kỳ vọng E(X), của biến ngẫu nhiên X bởi trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với biến ngẫu nhiên X (ta gọi chúng là các thể hiện độc lập của biến ngẫu nhiên X). Cơ sở toán học của phương pháp này chính là luật mạnh số lớn của lý thuyết xác suất. Phương pháp này có ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực như phân tích và thiết kế hệ thống phục vụ, các hệ thống kỹ thuật, thiết kế mạng viễn thông, ước lượng rủi ro trong đầu tư và bảo hiểm… Chúng ta trình bày trước hết luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov. Định lý 3.1. ([42], tr. 56) Giả sử ( X n )n1 là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, độc lập, cùng phân phối, xác định trên không gian xác suất  , A , và có kỳ vọng chung là   E ( X1 ) hữu hạn. Khi đó với n   và với    thì hầu chắc chắn (a.s) rằng 1 n  X i ( )   n i 1 nghĩa là trung bình số học của các thể hiện của các biến ngẫu nhiên X i hội tụ hầu chắc chắn tới trung bình lý thuyết chung của các biến ngẫu nhiên X i là  . Cho X là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, có kỳ vọng E(X) hữu hạn. Một phương pháp phổ biến để tính xấp xỉ giá trị kỳ vọng này, được đưa ra trong thuật toán 3.1 sau đây. 15 THUẬT TOÁN 3.1. Phương pháp Monte-Carlo tính kỳ vọng ([42], tr. 57) Xấp xỉ E(X) bởi trung bình số học 1 N N X i , với N là số tự nhiên đủ lớn. Ở đây, X i là thể hiện độc i 1 lập thứ i ( 1  i  N )của biến ngẫu nhiên X. Để xem xét độ chính xác của phương pháp Monte-Carlo, chúng ta nhận thấy rằng, vì đây là một phương pháp ngẫu nhiên, nên những lần tính toán khác nhau của phương pháp sẽ dẫn tới những kết quả khác nhau (mặc dù chúng khá gần nhau), khi xấp xỉ một biểu thức nhất định. Do đó. chúng ta cần xét đánh giá sai số của phương pháp, nghĩa là cận trên của các sai số ngẫu nhiên. Liên quan đến điều này, dưới đây chúng tôi phát biểu một kết quả lý thuyết là cơ sở toán học cho việc sử dụng phương pháp Monte-Carlo để xấp xỉ cho giá trị kỳ vọng. Định lý 3.2. ([42], tr. 58)Tính không chệch của các ước lượng Monte Carlo Cho ( X n ) , n  ℕ là một dãy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn, giá trị thực, độc lập cùng phân phối với X và xác định trên cùng không gian xác suất  , A , P  . Khi đó ước lượng Monte Carlo X N : 1 N  X i , N ℕ N i 1 là một ước lượng không chệch cho   E(X ) , tức là chúng ta có   E ( X N ). Nhằm đánh giá sai số tuyệt đối của ước lượng X N cho giá trị kỳ vọng, ta giả thiết Var ( X ) :  2   và với lưu ý là 1 N 2 Var ( X )  .  i N 2 i1 N Khi đó, theo bất đẳng thức Tchebyshev ([5], tr.30) ta có đánh giá sau Var ( X N )     P X N      1   N  với 0    1. (3.1) (3.2) P Nghĩa là X N   khi N   và với độ tin cậy p 1   , sai số X N   có bậc là  (1 / N ). Công thức (3.2) chỉ cho ta một đánh giá thô về sai số. Để đạt được đánh giá độ chính xác cao hơn, cần một biện pháp khác, với cơ sở toán học của cách tiếp cận này là định lý sau đây. Định lý 3.3. ([42], tr. 59). Cho { X n }nN1 là một dãy biến ngẫu nhiên giá trị thực, độc lập cùng phân phối với biến ngẫu nhiên X và xác định trên cùng một không gian xác suất  , A , P  . Giả sử rằng các biến ngẫu nhiên này có kỳ vọng hạn. Khi đó nếu ký hiệu   E(X ) và có phương sai  2  Var ( X ) hữu Z N là biến ngẫu nhiên chuẩn hóa của trung bình mẫu X N hay XN  ZN  Var( X N ) thì Z N sẽ hội tụ theo phân phối về phân phối xác suất chuẩn tắc, nghĩa là D ZN  (0, 1) khi N  . Từ định lý trên ta suy ra quy tắc k – sigma, theo đó khi n đủ lớn   P X N    k X N  2 0 (k ) (3.3) trong đó:  X  VarX N  N 2  k x và  (k )  1 e 2 dx . 0  N 2 0 16 p  1   , ta có thể dùng bảng giá trị của hàm số Laplace 0 ( x) , để xác định  X N  k X , X N  k X  tương ứng cho kỳ vọng  , với z  k là nghiệm của   Khi đã cho độ tin cậy khoảng tin cậy N phương trình  0 ( z)  N 1 và ta ký hiệu nghiệm này là Z1 . Từ kết quả này ta thu được khoảng tin 2 2 cậy (1   ) cho kỳ vọng  chẳng hạn, với 1   1 N  1 N   ,  X i  Z 1   X i  Z 1  N N i 1 N 2 2  N i 1  0,95 hay 95% thì giá trị ngưỡng tra từ bảng hàm Laplace sẽ là Z 1  Z 0,475  1,96 . Trong thực hành, người ta thường chọn khoảng tin cậy đối xứng 95% cho giá 2 trị kỳ vọng. Ước lượng xác suất rủi ro Trong bảo hiểm xã hội, bài toán ước lượng xác suất rủi ro là một ứng dụng quan trọng của phương pháp Monte-Carlo. Gọi A là sự kiện công ty bảo hiểm bị rủi ro. Chúng ta có thể ước lượng xác suất của sự kiện P(A), bằng cách sử dụng ký hiệu hàm chỉ tiêu của A là 1 khi   A 1A ( )   0 khi   A và chú ý rằng xác suất của A có thể viết thành là P( A)  E (1A ) . Khi đó, ước lượng Monte-Carlo cho P(A) sẽ là tần suất mẫu của sự xảy ra của sự kiện A trong N thử nghiệm độc lập. Ký hiệu Ai là sự xuất hiện của sự kiện A trong lần thử nghiệm thứ i. Chúng ta định nghĩa ước lượng Monte-Carlo cho P(A) là  N : 1 N N 1 (3.4) Ai i 1 Ta cũng có Var (1A )  P( A)(1  P( A)) , khi đó ta ký hiệu   N là phương sai của ước lượng  N và 2  1 N N  1 1   N V ar1 A   N P ( A) 1  P ( A )  ,  i 1 vì vậy nếu thay P ( A ) bởi ước lượng Monte-Carlo là  N thì ta sẽ thu được một ước lượng cho phương sai của  là 1 1 (3.5)  2 N  P ( A ) 1  P ( A)    N 1   N  :  N2 N N 1 và ta có  N   N 1   N  N  2 : V ar  N   V ar  N 1 Ai từ đó thu được một khoảng tin cậy xấp xỉ 95% cho P(A) là    N ,   N  với  N : 1, 96 N (3.6) 3.3 Phương pháp Monte-Carlo tính xác suất rủi ro Để mô tả phương pháp, trong phần này, chúng tôi xét mô hình rủi ro trong vòng T năm, với giả thiết X1, X 2 ,..., XT là các dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối, biểu thị cho số tiền đòi bảo hiểm cho một danh mục đầu tư của hãng bảo hiểm trong những năm kế tiếp. Gọi: u : U (0)  0 là vốn ban đầu của hãng bảo hiểm B là thu nhập hàng năm của hãng bảo hiểm (xem là hằng số) và B được lựa chọn sao cho B  b, cụ thể B  b(1   ) với  là phụ phí bảo hiểm an toàn. 17 i1, i2 ,..., iT là dãy biến ngẫu nhiên không âm, biểu thị cho lãi suất thu được từ việc đầu tư tài sản của hãng bảo hiểm trong những năm kế tiếp. Khi đó, giá trị tài sản của hãng bảo hiểm ở cuối của năm t (t  1, 2,3,.., T ) là biến ngẫu nhiên U (t ) được xác định bởi công thức (3.7) U (t )  U (t  1)  (1  it )  B  X t trong đó t  1, 2,..., T ; U (0)  u. Xác suất rủi ro  (u, T ) được định nghĩa bởi  (u, T )  P{ t  1, 2,3,..., T : U (t )  0}. Để ước lượng xác suất rủi ro, chúng tôi mô phỏng một số lượng lớn N các thể hiện của quá trình thặng dư U(t) và đếm số kết quả rủi ro L trong N thể hiện của quá trình này. Khi đó, xác suất rủi ro    (u,T ) của quá trình (giá trị này là chưa biết), có thể ước lượng bởi  N  L với khoảng tin N cậy 95% cho dưới dạng (3.6). . Để minh họa cho phương pháp, chúng tôi xét dưới đây một số dạng cụ thể của các dãy biến ngẫu T T nhiên {it }t 1 , { X t }t 1 . 3.3.1 Trường hợp mô hình rủi ro có số tiền chi trả bảo hiểm và lãi suất là các dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Trong phần này chúng tôi khảo sát mô hình rủi ro mà thặng dư tại thời điểm t là U (t ) được tính bởi công thức có dạng (3.7) ở trên, với giả thiết dãy lãi suất   ,  không âm, độc lập có phân phối chuẩn 0 2 0 i1 , i2 ,...,iT là dãy các biến ngẫu nhiên và dãy này độc lập với dãy số tiền đòi trả bảo hiểm. Khi đó ta có thể tạo it từ công thức (xem [5], tr. 76):  0 (2 ln R2n1 )1 / 2 cos 2R2 n  0 (t  2n  1), it  gt (0 , 0 ) :  1/ 2   0 (2 ln R2n1 ) sin 2R2n  0 (t  2n). trong đó Rn ~ U (0,1)(n  1). (3.8) Giả sử dãy số tiền đòi trả bảo hiểm X1, X 2 ,..., XT là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối và được giả thiết là tuân theo các loại phân phối mũ E ( ) và phân phối loga chuẩn LN (  , 2 ) . Khi đó, việc ước lượng xác suất rủi ro  (u, T ) và khoảng tin cậy 95% tương ứng bằng phương pháp Monte Carlo được thực hiện bởi thuật toán sau: THUẬT TOÁN 3.2 ([4], phần các công trình đã công bố của tác giả) Bước 1: Xác định các tham số: T , u ,  , b,  0 , 0 ,  (hoặc  ,  ) và N ≫ 1. T Bước 2: Xác định biến cố mô phỏng A : U (t )  0 . t 1 Bước 3: Thiết lập thuật toán mô phỏng U (t ) (theo (3.7)) với it xác định theo (3.8) và X t xác định theo (3.9) (hoặc (3.10)), t  1,2,...,T . Bước 4: Ước lượng xác suất rủi ro  (u, T ) : a. Cho n  1,2,..., N và tạo các thể hiện U n (t ) của U (t ) , t  1,2,...,T (theo bước 3): o Nếu tồn tại t n : mint : U n (t )  0  T thì đặt 1 An : 1. o Nếu U n (t )  0 với t  1,2,...T thì đặt 1 An : 0. b. Tính  N (theo (3.4)), tính  N (theo (3.5)) và tính  N (theo (3.6)). Khi thử nghiệm thuật toán 3.2 ở trên, với mô hình rủi ro có số tiền thu bảo hiểm là hằng số, dãy lãi suất tuân theo phân phối chuẩn, còn dãy tiền chi trả bảo hiểm có phân phối mũ ta thu được kết quả ước lượng của  (u, T ) trong bảng 2 dưới đây. 18 Bảng 2 u 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100   0%   5%   10%   15%   20%   25%  N 0.5379 0.5070 0.4789 0.4506 0.4244 0.4003 N 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010  N 0.5053 0.4739 0.4464 0.4198 0.3952 0.3720 N 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009  N 0.4707 0.4434 0.4158 0.3911 0.3676 0.3446 N 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009  N 0.4411 0.4127 0.3871 0.3638 0.3409 0.3204 N 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009  N 0.4109 0.3849 0.3617 0.3384 0.3172 0.2976 N 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009  N 0.3839 0.3592 0.3366 0.2881 0.29452 0.2763 N 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009  N 0.3585 0.3349 0.3133 0.2934 0.2748 0.2578 N 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009  N 0.3360 0.3123 0.2926 0.2734 0.2549 0.2378 N 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008  N 0.3122 0.2917 0.2725 0.2532 0.2374 0.2219 N 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008  N 0.2919 0.2717 0.2535 0.2364 0.2209 0.2057 N 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008  N 0.2723 0.2539 0.2366 0.2192 0.2055 0.1913 N 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 Khi thử nghiệm thuật toán 3.2, với mô hình rủi ro có số tiền thu bảo hiểm là hằng số, dãy lãi suất tuân theo phân phối chuẩn, còn dãy tiền chi trả bảo hiểm có phân phối loga chuẩn, ta thu được kết quả ước lượng của  (u, T ) trong bảng 3 sau đây 19 Bảng 3 u 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100   0%   5%   10%   15%   20%   25%  N 0.6951 0.6430 0.5918 0.5451 0.4988 0.4566 N 0.0009 0.0009 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010  N 0.6402 0.5896 0.5385 0.4922 0.4476 0.4081 N 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010  N 0.5874 0.5372 0.4878 0.4428 0.4024 0.3643 N 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009  N 0.5368 0.4874 0.4411 0.3980 0.3614 0.3246 N 0.0010 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009  N 0.4898 0.4410 0.3968 0.3588 0.3220 0.2908 N 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009  N 0.4443 0.3995 0.3583 0.3216 0.2888 0.2597 N 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009  N 0.40262 0.3612 0.3224 0.2890 0.2580 0.2322 N 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008  N 0.3666 0.3260 0.2905 0.2603 0.2312 0.2072 N 0.0009 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008  N 0.3309 0.2941 0.2613 0.2326 0.2085 0.1852 N 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008  N 0.2995 0.2657 0.2352 0.2099 0.1861 0.1660 N 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007  N 0.2718 0.2409 0.2119 0.1880 0.1669 0.1489 N 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 20