Tài liệu Lý thuyết rủi ro ứng dụng trong bảo hiểm

MỞ ĐẦU Bảo hiểm là biện pháp chia sẻ rủi ro của một người hay một số người cho cả cộng đồng những người có khả năng gặp rủi ro cùng loại, bằng cách mỗi người trong cộng đồng góp một số tiền nhất định vào một quỹ chung và từ quỹ chung đó bù đắp thiệt hại cho thành viên trong cộng đồng không may bị thiệt hại do rủi ro đó gây ra. Bảo hiểm được xem như là một cách thức chuyển giao rủi ro tiềm năng một cách công bằng từ một cá thể sang cộng đồng thông qua phí bảo hiểm. Bảo hiểm góp phần bảo đảm cho các quá trình tái sản xuất và đời sống xã hội được diễn ra bình thường. Ngày nay, bảo hiểm đã trở thành một ngành kinh doanh hết sức phát triển và dần trở nên một khái niệm quen thuộc với hầu hết mọi người. Ở nhiều quốc gia, mua bảo hiểm từ lâu đã là một việc làm không thể thiếu đối với người dân. Ở Việt Nam, bảo hiểm xuất hiện dưới hình thức sơ khai vào khoảng năm 1880. Những năm gần đây, ngành bảo hiểm, tài chính đã thực sự trở thành ngành kinh tế giữ vai trò trọng yếu, có vai trò điều chỉnh và thúc đẩy hoạt động của các ngành kinh tế khác và đã trở thành nơi tập trung của các ý tưởng, xuất phát từ các lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực tế khác nhau. Các vấn đề của bảo hiểm, tài chính đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học nói chung và lý thuyết xác suất và thống kê toán học nói riêng. Hiện nay, chúng ta đang được chứng kiến sự cộng tác chặt chẽ giữa các nhà kinh tế, tài chính và toán học, nhằm mục đích ứng dụng các thành tựu toán học hiện đại vào việc nghiên cứu các mô hình kinh tế, phân tích và tìm hiểu các quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có các đề xuất và giải pháp phù hợp với quy luật. Trong cuộc sống sinh hoạt nói chung cũng như trong những hoạt động sản xuất, kinh doanh phục vụ cuộc sống, con người luôn gặp phải những tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ, ngẫu nhiên xảy ra, gây thiệt hại về tài 1 sản, con người... Các tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ ấy gọi là rủi ro. Các công ty bảo hiểm mở ra nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần rủi ro cho chủ thể, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro (có thể dẫn đến thua lỗ hoặc phá sản). Việc đánh giá mức độ rủi ro và thời điểm xảy ra rủi ro là nhu cầu cấp thiết đặt ra, đòi hỏi cần được nghiên cứu và giải quyết để hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Năm 1903, một công trình của Lundberg, F. đã đặt nền móng cho lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm, tiếp theo đó, Cramer, H. và trường phái Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Mô hình cơ bản đầu tiên là mô hình rủi ro của Cramer – Lundberg, mô hình này thường liên quan đến các trường hợp chi trả bảo hiểm bình thường, và chưa được nghiên cứu nhiều cho các trường hợp phải chi trả bồi thường bảo hiểm lớn. Trong thời gian gần đây Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) được nghiên cứu và phát triển mạnh, đặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, kinh tế, tài chính. Một trong các vấn đề trọng tâm mà lý thuyết này quan tâm, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại (hay xác suất rủi ro Ruin Probability) trong các mô hình rủi ro. Đối với các mô hình rủi ro cổ điển, bài toán thường được nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập, chẳng hạn như ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro của tác giả Cramer – Lundberg với giả thiết về dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Chủ đề này cũng được rất nhiều tác giả khác quan tâm, thể hiện trong các công trình nghiên cứu của nhiều nhà toán học có tên tuổi như: Asmussen [9], Buhlman, H. [12], De Vylder, F.E. [20], [21], [22], Embrechts, P. [24], Ignatov [30], [31], Kluppelberg, C. [24], Lèfèvre, Cl. [19], [40], Loisel, S. [19], Mikosch, T.[24], Grandell, J.[28], Hipp, C. [29], 2 Schmidli, H. [29], Marceau, M. [20], Musiela, M. [35], Nyrhinen, H. [36], Rutkowski, M. [35], Paulsel, J. [37]. [38], Picard, Ph. [40], Schmidt, K.D. [43], … Ngoài ra, còn có một số công trình nghiên cứu mô hình rủi ro có xét đến tác động của yếu tố lãi suất như: Bùi Khởi Đàm [11], Cai, J. [13], [14], [15], [17], Dickson, D. C M. [15], [16], [23] Gaier, J. [26], Grandist, P. [26], Kluppelberg, C. [32], Stadtmuller, U. [32], Konstantinides, D. G. [33], Tang, Q. H. [33], Tsitsiashvili, G. S. [33], Sundt, B. [44], [45], Teugels, J.L. [44], [45], Tang Q. [46], [47], [48], Yang, H. [51], [53], Zhang, L. H. [53], Yuen, K. C. [54], [55], Wang, G. [54], [55], Wates, H.R. [23], Wu, R. [54],… Bên cạnh đó, một số tác giả xét mô hình rủi ro với giả thiết dãy số tiền thu bảo hiểm, đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc: Như m- phụ thuộc của tác giả Bùi Khởi Đàm. [1], [2], [3], [10], Nguyễn Huy Hoàng. [1], [2], [3], [10], dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa tự hồi quy cấp một, hoặc là xích Markov như Albrecher, H. [8], Cai, J. [18], Dickson, D. C M. [18], Gerber, H. U. [27], Muller, A. [34], Pfug, G. [34], Promislow, S. D. [39], Valdez, E. A. [49], Mo, K. [49], Xu, L. [50], Wang, R. [50], Yang, H. [52], Zhang, L. H. [52],… Tính toán xác suất rủi ro là bài toán rất quan trọng trong ngành bảo hiểm. Đây là bài toán khó và cho đến nay vẫn được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Các nghiên cứu về đề tài này thường được thực hiện theo những cách tiếp cận sau: - Ước lượng xác suất rủi ro bằng các bất đẳng thức (như bất đẳng thức Cramer-Lundberg). - Dùng kỹ thuật mô phỏng Monte Carlo để tính xác suất rủi ro. - Phương pháp tính đúng (như công thức Picard- Lefèvre tính xác suất rủi ro)… 3 Với những lý do nói trên, chúng tôi xác định đối tượng nghiên cứu của luận án là các mô hình rủi ro trong bảo hiểm, thời gian rời rạc với các dãy biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc Markov. Ngoài ra, các mô hình còn xét tới tác động của yếu tố lãi suất, với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov. Luận án đã đánh giá xác suất thiệt hại cho mô hình này. Đóng góp chính của luận án là tìm ra công thức tính xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hình rủi ro khi dãy số tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, có phân phối bất kỳ (trường hợp riêng là dãy biến ngẫy nhiên độc lập cùng phân phối) và mở rộng công thức tính chính xác xác suất này cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Bên cạnh đó, bất đẳng thức ước lượng xác suất rủi ro với độ chính xác tùy ý cho mô hình rủi ro có số tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục cũng được đưa ra. Các kết quả chủ yếu của luận án đã được công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5] (xem danh mục công trình khoa học đã công bố của luận án). Luận án đã thu được các kết quả mới sau đây: a. Trong mô hình rủi ro có dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập Lần đầu tiên đưa ra được công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hình rủi ro này (trước đó, các tác giả Claude Lefevre và Stephane Loissel (2008) chỉ đưa ra công thức tính chính xác cho mô hình cổ điển khi dãy tiền thu là tất định, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức). Phương pháp tiếp cận (tính toán) trực quan, cho phép mở rộng đối với các mô hình mà dãy thu, dãy chi là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. 4 b. Trong mô hình rủi ro có dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên liên tuc. Luận án đã đưa ra được bất đẳng thức ước lượng xác suất rủi ro cho mô hình khi dãy tiền thu là tất định, tuyến tính theo thời gian, còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối và có phân phối liên tục. c. Áp dụng phương pháp Monter Carlo tính xác suất rủi ro Chúng tôi nghiên cứu xác suất rủi ro đối với mô hình rủi ro của các công ty bảo hiểm với thời gian rời rạc, hữu hạn, khi có tác động của yếu tố lãi suất, dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm trong mô hình được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Đồng thời chúng tôi còn xem xét mô hình rủi ro tổng quát hơn khi có tác động của lãi suất là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, phụ thuộc Markov. Qua việc hoàn thành bản luận án, chúng tôi cũng hy vọng được góp phần vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết về các mô hình rủi ro trong bảo hiểm và tài chính, với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc Markov (đặc biệt là tính được chính xác xác suất rủi ro trong bảo hiểm) và các ứng dụng của chúng vào thực tiễn. Nội dung của luận án bao gồm 3 chương và 1 phụ lục, được cấu trúc như sau: Chương 1 được dành cho việc trình bày các khái niệm, các kết quả cơ bản về xác suất, xác suất điều kiện, biến ngẫu nhiên, phân phối của biến ngẫu nhiên, dãy biến ngẫu nhiên độc lập, quá trình ngẫu nhiên, xích Markov và mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính. Chương 2 là đóng góp chính của luận án. Trong chương này, chúng tôi mở rộng mô hình rủi ro trong [19]. Chúng tôi tìm ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho các mô hình rủi ro tương ứng. Chúng tôi đã mở rộng công thức PicardLefèvre (xem [40]) cho xác suất rủi ro (không rủi ro) với mô hình rủi ro mà 5 quá trình thu, chi là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc. Kết quả này là mở rộng đáng kể kết quả trước đó của Claude Lefèvre và Stephane Loisel (xem [19]). Trong bài báo này các tác giả chỉ xét mô hình rủi ro trong đó quá trình chi trả bảo hiểm có phân phối nhị thức, còn quá trình thu thì giả thiết đơn giản là quá trình tất định, tuyến tính theo thời gian. Chúng tôi đã mở rộng mô hình khi dãy số tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập, có phân phối bất kỳ (hệ quả là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối). Thuật toán được thiết lập để tính toán kết quả số, minh họa cho công thức tính chính xác suất rủi ro khi hai dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Bên cạnh đó, chúng tôi còn mở rộng công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hỉnh rủi ro khi dãy tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Luận án còn đưa ra được ước lượng xác suất rủi ro với độ chính xác tùy ý cho mô hình khi dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục. Chương 3 nghiên cứu mô hình rủi ro được xét với thời gian rời rạc khi có tác động của yếu tố lãi suất. Trong chương này phương pháp MonteCarlo được áp dụng để tính xác suất rủi ro khi xét mô hình rủi ro có tác động của lãi suất. Lãi suất được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov. Một vài ví dụ số minh họa cho mô hình được đưa ra. Cuối cùng là phụ lục phần code các chương trình tính. Các kết quả chủ yếu của luận án đã được báo cáo và thảo luận tại: - Đại hội toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang (8/ 2013) - Xêmina tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội. 6 - Hội thảo khoa học tại trường Đại học Công nghiệp Việt Trì (10/ 2011) - Hội thảo khoa học tại trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội (5/ 2013). Các kết quả chủ yếu của luận án đã được đăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5] (xem trong danh mục công trình khoa học đã công bố của luận án). 7 Chƣơng 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm về không gian xác suất, các khái niệm và kết quả về biến cố ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên, xích Markov và mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính (một công cụ quan trọng sử dụng trong việc chứng minh các kết quả của luận án). Các kết quả này có trong tài liệu tham khảo [4], [5], [6], [7] và [42]. 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Xây dựng không gian xác suất Kolmogorov Xét  là một tập tùy ý khác  . Ký hiệu  (  ) là tập hợp gồm tất cả các tập con của  . 1.1.1.1 Đại số. Lớp A   (  ) được gọi là một đại số nếu: A1)   A , A2) A  A  A   \ A  A , A3) A , B  A  A  B  A , A  B  A . Ta nhận thấy A  B  A  B , A  B  A  B , nên trong A3) chỉ cần đòi hỏi một trong hai điều kiện. 1.1.1.2   đại số. Lớp A   (  ) được gọi là một   đại số nếu nó là đại số và ngoài ra: A4) Từ An  A , n  1, 2,... suy ra   An  A An  A , n 1 . n 1 Ở đây cũng như A3) chỉ cần đòi hỏi một trong hai hệ thức. Hệ thức kia tự động được thỏa mãn 8 1.1.1.3 Không gian đo. Cặp   , A  , trong đó    bất kỳ, còn A là một   đại số các tập con của  được gọi là một không gian đo. Trong lý thuyết xác suất, người ta gọi:  là biến cố chắc chắn, tập  được gọi là biến cố không. Và nếu A  A thì A được gọi là biến cố đối của biến cố A. 1.1.1.4 Định nghĩa hàm tập. a) Hàm tập P: A  ℝ+ gọi là hữu hạn cộng tính nếu P ( A  B )  P ( A )  P ( B ) với mọi A , B  A , và A  B   . b) Hàm tập P: A với mọi Ai  A ,  ℝ gọi là   cộng tính nếu + Ai  A j    P   i 1  Ai      P ( A ). i i 1 với i , j  ℕ* và i  j . 1.1.1.5 Độ đo xác suất. Hàm tập hợp P xác định trên đại số A được gọi là độ đo xác suất nếu p1) P ( A )  0, A  A , p2) P (  )  1, p3) Nếu với i  ℕ  Ai  sao cho i 1 A thì  P  * và Ai  A ,  i 1  Ai    Ai  A j   với  i, j  ℕ * thỏa i  j   P ( A ). i i 1 1.1.1.6 Không gian xác suất Kolmogorov. Ta gọi bộ ba   , A , P  là một không gian xác suất Kolmogorov nếu: a)    là tập hợp tùy ý có các phần tử ký hiệu là  ; hay    b) A là   đại số các tập con của  ; c) P là độ đo xác suất hay gọi là xác suất trên A , Tập  được gọi là không gian các biến cố sơ cấp Mỗi    được gọi là một biến cố sơ cấp. Mỗi A  A được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. P ( A ) là xác suất của biến cố A. 9 P được gọi là xác suất trên A . Ví dụ 1.1 Khi  là tập hữu hạn    a1 , a 2 ,..., a n  và P ( a i )  thì P ( A )  A  1 ; i  1, 2,..., n n . 1.1.2 Tính chất của xác suất Mệnh đề 1.1 Trên không gian xác suất   , A , P  ta có: 1. P (  )  0 . 2. Nếu  A1 , A2 ,..., An  là một họ hữu hạn các biến cố ngẫu nhiên từng đôi xung khắc thì  n  P Ak    k 1  n  P(A k ). k 1 Mệnh đề 1.2 Giả sử A, B là các biến cố ngẫu nhiên bất kì, khi đó: 1. P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  P ( A B ) . 2. Nếu A  B thì P ( A )  P ( B ) . 3. Với  A  A thì 0  P ( A)  1 và P  A   1  P ( A ) . Mệnh đề 1.3 Trong không gian xác suất   , A , P  cho họ biến cố ngẫu nhiên  An , n  1 thỏa mãn điều kiện: 1. A1  A2  ...  An  ...  Ak   2. k 1 Khi đó, P ( An )  0 ( n   ) . Hệ quả 1.1 1. Nếu  B n , n  1 là họ các biến cố thỏa B n  B n  1  ... Bn B và n 1 thì P ( B n )  P ( B ) ( n   ) . 2. Nếu C n , n  1 là họ các biến cố thỏa C n  C n  1  ... Cn  C và n 1 thì P ( C n )  P ( C ) ( n   ) . 10 Mệnh đề trên và hệ quả của nó nói lên tính liên tục của độ đo xác suất. 1.1.3 Xác suất điều kiện Trong phần này ta sẽ xây dựng một đại lượng để biểu thị khả năng xuất hiện một biến cố A khi có một biến cố B đã xuất hiện với xác suất nào đó. Định nghĩa 1.1 Xét không gian xác suất   , A , P  Giả sử B là biến cố ngẫu nhiên có P ( B )  0, A  A . Đại lượng P  A | B   P(A  B) P(B) được gọi là xác suất có điều kiện của A với điều kiện B. Nhận xét 1.1 Trong lược đồ định nghĩa cổ điển, ta có PA| B  n( A  B ) , n(B ) nghĩa là xác suất điều kiện P ( A | B ) có thể xem như xác suất của A xét trong không gian B. Với B  A , P ( B )  0 ánh xạ P ( | B ) từ A vào ℝ+ là một xác suất (thỏa mãn hệ tiên đề Kolmogorov). Mệnh đề 1.4 (Công thức nhân xác suất) Giả sử  A1 , A2 ,..., An  là họ các biến cố ngẫu nhiên sao cho P ( A1 A2 ... An 1 )  0 , khi đó: P ( A1 A2 ... An 1 )  P ( A1 ) P ( A2 A1 )... P ( A n A1 A2 ... A n 1 ). 1.2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất Giả sử   , A  là không gian đo đã cho, ℝ Định nghĩa 1.2 Hàm thực X  X    xác định trên  lấy giá trị trên ℝ sẽ được gọi là một hàm A đo được hoặc một biến ngẫu nhiên nếu  , X ( )  B   A với mỗi B  B( ) Borel của tập số thực ℝ). 11 (ở đây B ( ) là   đại số các tập Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu miền giá trị X(  ) chỉ gồm hữu hạn hoặc đếm được giá trị. Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu miền giá trị X(  ) lấp kín một khoảng trên tập số thực ℝ (số phần tử của miền giá trị X(  ) là một tập vô hạn không đếm được). Định nghĩa 1.3. Hàm số F X ( x )  P ( X  x ), x  được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. 1.3 Kỳ vọng và phƣơng sai của biến ngẫu nhiên Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất , A , P  . 1.3.1 Trường hợp rời rạc Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc X là một số thực xác định theo công thức: EX  x n pn   x PX n n  xn  n nếu chuỗi hội tụ. Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc X là một số thực không âm xác định theo công thức: V ar X  E ( X  EX )  EX 2 2  ( EX )  2  n   x P ( X  x n )    xP ( X  x n )   n  2 2 . 1.3.2 Trường hợp liên tục Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục X là số thực xác định theo công thức:  EX   xf ( x ) dx ,  nếu tích phân suy rộng là hội tụ. 12 Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục X là số thực không âm xác định theo công thức: 2  V arX  E  X  E X  2  EX 2   EX  2      x f  x  dx    xf  x  dx  .     2 1.4 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên theo một số nghĩa khác nhau đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất. Trong phần này, các dạng hội tụ: theo xác suất, hầu chắc chắn, trung bình bậc p, theo phân phối sẽ được giới thiệu. Giả sử  X n  n 1 là dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất   , A , P  . 1.4.1 Hội tụ theo xác suất Dãy biến ngẫu nhiên  X n  n 1 được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X nếu với   0 bất kỳ lim P  X n  X     0 . n  Sự hội tụ theo xác suất được kí hiệu là X n  P X . Trong lý thuyết hàm biến thực, thuật ngữ hội tụ theo xác suất chính là hội tụ theo độ đo. 1.4.2 Hội tụ hầu chắc chắn Dãy biến ngẫu nhiên  X n  n 1 được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (a.s) đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho X n     X    , khi n   với   A . Nghĩa là,   P  | lim X n ( )  X ( )  1 . n  .s Sự hội tụ hầu chắc chắn được kí hiệu là X n  a X. 13 1.4.3 Hội tụ trung bình Dãy biến ngẫu nhiên  X n  n 1 được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p 0  p    đến biến ngẫu nhiên X, nếu E X n  X p  0, n  . p Sự hội tụ theo trung bình bậc p được kí hiệu là X n  L X . 1.4.4 Hội tụ theo phân phối Dãy biến ngẫu nhiên  X n  n 1 được gọi là hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên X, nếu F X  F X n tại mọi điểm liên tục của (n   ) Sự hội tụ theo phân phối được kí hiệu là FX . Xn   X. D .s Định lý 1.1 ( [7]) X n  a  X khi và chỉ khi, với   0 bất kì,   P sup X k  X    0, n   . kn  Hệ quả 1.2 Nếu chuỗi  P  X n  X    hội tụ với   0 tùy ý thì n 1 X n   X . a .s 1.5 Quá trình ngẫu nhiên 1.5.1 Định nghĩa và kí hiệu Giả sử   , A , P  là một không gian xác suất a. Cho X t , t  0 là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất , A , P  . Quá trình ngẫu nhiên X   X t , t  0 là một hàm hai biến X ( t ,  ) xác định trên    lấy giá trị trong và là một hàm đo được đối với   trường tích B  A . Trong đó B là   trường các tập Borel trên   14    0,   . Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên ℝ thì tập hợp  t ,       : X t,    B là một phần tử của   trường tích B  A .    trường này là   trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng  0, t   A với t  và A  A . b. Khi cố định một    thì ánh xạ riêng phần t  X  t ,   từ vào  được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X   X t , t  0 , ứng với yếu tố ngẫu nhiên ấy. c. Nếu X lấy giá trị trong n ( n  1) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n - chiều. Nói chung ta thường nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên có ở một trong các dạng sau: X  X n,n  ; X   X t , t   0,   ; X   X t , t   0,1  . 1.5.2 Phân phối hữu hạn chiều Định nghĩa 1.4 Giả sử X   X t , t  T  là quá trình ngẫu nhiên và I   t1 , t 2 ,..., t n  là một tập con hữu hạn của T. Hàm phân phối đồng thời của X t1 , X t 2 ,..., X t n  F I  x1 , x 2 , ..., x n   F  x1 , x 2 , ..., x n , t1 , t 2 , ..., t n   P X t1  x1 , X t 2  x 2 , ..., X t n  x n  được gọi là phân phối hữu hạn chiều của quá trình ngẫu nhiên X ứng với tập hữu hạn đã cho trước I, và tập  FI  được gọi là họ các phân phối hữu hạn chiều của quá trình ngẫu nhiên X. Phân phối hữu hạn chiều là một trong những khái niệm then chốt của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên. Nhiều tính chất quan trọng của quá trình ngẫu nhiên được xác định bởi các tính chất của họ các phân phối hữu hạn chiều của nó. 15 1.5.3 Tính chất của họ các phân phối hữu hạn chiều Họ các phân phối hữu hạn chiều thỏa mãn các điều kiện sau: i. Điều kiện đối xứng, tức là F  x1 , x 2 ,..., x n , t1 , t 2 ,..., t n  không thay đổi khi hoán vị các cặp  x k , t k  , k  1, n . ii. Điều kiện nhất quán theo nghĩa: lim F  x 1 , x 2 ,..., x n , t1 , t 2 ,..., t n   F  x 1 , x 2 ,..., x n 1 , t1 , t 2 ,..., t n 1  . xn   1.6 Xích Markov với thời gian rời rạc 1.6.1 Tính Markov Giả sử ta nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của một hệ (hệ sinh thái, vật lý…) nào đó. Kí hiệu X  { X t , t  T } là quá trình ngẫu nhiên mô tả vị trí của hệ tại thời điểm t. Tập hợp các vị trí có thể của hệ sẽ được gọi là không gian trạng thái E của quá trình ngẫu nhiên X xét trên. Về phương diện toán học, tính Markov có thể định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.5 Ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên X  { X t , t  T } là có tính Markov nếu  P X  t n 1   j X  t 0   i0 , , X  t n 1   i n 1 , X  t n   i   P X  t n 1   j X  t n   i với bất kỳ các bộ giá trị Ta xem tn t 0  t1  t 2  là hiện tại, t n 1    t n  t n 1 , t i  T và là tương lai, và  t 0 , t1 , i0 ,  , i n 1 , i , j  E . , t n 1  là quá khứ thì tính Markov có nghĩa là: Sự tiến triển của hệ trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và độc lập với quá khứ. Xích Markov là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, không gian trạng thái hữu hạn hoặc đếm được và có tính chất Markov. Với s  t , ta ký hiệu p  s , i , t , j   P  X t  j X s  i là xác suất có điều kiện để quá trình tại thời điểm s ở trạng thái i, đến thời điểm t chuyển 16 sang trạng thái j, vì thế ta gọi p  s , i , t , j  là xác suất chuyển trạng thái hay xác suất chuyển của quá trình ngẫu nhiên X  { X t , t  T } . Nếu xác suất chuyển chỉ phụ thuộc vào  t  s  , tức là: p  s, i, t , j   p  s  h, i, t  h, j  thì ta nói quá trình ngẫu nhiên được xét là thuần nhất theo thời gian. Ví dụ 1.2 Cho  0 ,  1 ,...,  n ,... tập hợp các giá trị của k , Ek là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, Ek là là hữu hạn hoặc đếm được với  k  ℕ.  Đặt E  E k , rõ ràng E là tập hợp không quá đếm được. k 0 Khi đó ta thấy: P   n 1  j |  0  i0 ,...,  n 1  in 1 ,  n  i  P   n 1  j   P   n 1  j |  n  i  P  n , i , n  1, j  với i0  E 0 , i1  E 1 ,..., i n 1  E n 1 , i  E n , j  E n  1 . Vậy   {  n , n  0,1, 2,...} là một xích Markov. 1.6.2 Ma trận xác suất chuyển Giả sử { X n , n  } là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Đặt p ij  P  X n 1  j X n  i  P  X n 1  j X 0  i0 ,  , X n 1  i n 1 , X n  i  p ij là xác suất có điều kiện để quá trình tại thời điểm n (hiện tại) ở trạng thái i chuyển sang trạng thái j tại thời điểm n  1 (tương lai). Do xích Markov có tính thuần nhất nên p ij không phụ thuộc vào n mà chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian xảy ra sự chuyển trạng thái này và p ij còn được gọi là xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j của xích Markov sau 1 bước. 17 Đặt P   p ij  thì ma trận P   p ij  được gọi là ma trận xác suất chuyển sau một bước. Đặt các biến cố: A   X n 1  j  , B   X n  i  , C   X 0  i0 , , X n 1  in 1  Thì tính Markov có nghĩa là: P  A B   P  A BC  Từ đó suy ra: P  AC B   P  ABC  PB  P  BC  P  A BC  PB  P  B  P C B  P  A B  PB  P C B  P  A B , tức là, quá khứ và tương lai là độc lập với nhau khi cho trước hiện tại. Từ công thức xác suất đầy đủ, suy ra ma trận 0  p ij  1,  i, j  E ;  P  p  ij có tính chất: p ij  1 j E Ma trận P   p ij  i , j E có tính chất trên, sẽ gọi là ma trận ngẫu nhiên. 1.6.3 Phương trình Chapman – Kolmogorov Xác suất chuyển sau n bước, ký hiệu là p ij( n ) và được định nghĩa theo công thức: p ij  P  X n  m  j | X m  i  P  X n  j | X 0  i (n) Đây là xác suất để quá trình tại thời điểm ban đầu ở trạng thái i, sau n bước chuyển sang trạng thái j. Rõ ràng p ij(1)  p ij . Ta quy ước:  1 nÕu i  j (0) p ij    0 nÕu i  j Đặt P ( n )   p ij( n )  , đó là ma trận xác suất chuyển sau n bước. 18 Từ công thức xác suất đầy đủ và tính Markov ta có: ( n  1) p ij   (n) (1.1) p ik p kj kE ( n  1)   p ij (n) (1.2) p ik p kj kE Với mọi n  0,1, 2... Tổng quát hơn, với mọi n , m  0,1, 2... ta có: (nm ) p ij   (n) (m ) (1.3) p ik p kj kE Phương trình (1.1) gọi là phương trình ngược. Phương trình (1.2) gọi là phương trình thuận. Phương trình (1.3) gọi là phương trình Chapman – Kolmogorov. 1.6.4 Phân phối hữu hạn chiều Phân phối hữu hạn chiều của xích Markov được tính theo công thức sau: P  X 0  i 0   p i0 P  X 0  i0 , X 1  i1 , , X n 1  in 1 , X n  i   p i0 . p i0 i1 p in 1i Phân phối của xích Markov tại thời điểm n được cho bởi công thức sau: p j  P ( X n  j ); n  0,1, 2, ..., j  E n Đặt  (n)  p (n) j , j E và gọi    ( 0 ) là phân phối ban đầu của xích. Ta quy ước viết  ( n )   p (j n ) , j  E  ở dạng một véc tơ hàng. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: (mn) pj  P( X mn  j)   P(X n  i) P ( X mn  j X n  i)  i E i E vậy ta có:  (n)  P  ( n  1)  (nm )  (n) (n)  P (n) P 19  (m ) (1) P (n) (n) pi m p ij Phân phối ban đầu được gọi là phân phối dừng nếu  ( n ) không phụ thuộc vào n, tức là    ( n ) hay    P . Như vậy mô hình xác suất của một xích Markov rời rạc và thuần nhất là bộ ba  X n ,  , P  , trong đó: Xn là dãy các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc  là phân phối ban đầu P là ma trận xác suất chuyển. Chú ý 1.1 Xích Markov hoàn toàn xác định một cách duy nhất bởi bộ ba  X n ,  , P  , nhưng nếu thay P bởi P (2) thì tính duy nhất không còn đúng nữa. Chẳng hạn: 1 1 0 0 0 1 Với P ( 2 )    thì P    hoặc P   . 0 1 0 1 1 0       1.6.5 Xích Markov có hữu hạn trạng thái Bây giờ ta xét trường hợp đơn giản nhất của xích Markov với giả thiết không gian trạng thái E của xích {X n} gồm hai phần tử. Ta kí hiệu E   0,1 . Giả sử ma trận xác suất chuyển của xích là 1  a P  b a   1 b với 0  a , b  1. Có thể kiểm tra lại rằng a  1  b khi và chỉ khi X 1 , X 2 , ... là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với P  X n  0  b và P  X n  1  a , nếu ta xem P  X 0  0  b , P  X 0  1  a và giả thiết là a  1  b thì { X n } là dãy phụ thuộc, nhưng có tính Markov. Bằng quy nạp ta có P (n) b   a  b b 1 20 a  1  a  b   a   a ab  b n a   b 