B¸o c¸o: M«n ph¬ng ph¸p PhÇn Tö H÷u H¹n
C©u 1: Trong nhãm ph¬ng ph¸p sè cßn nh÷ng ph¬ng ph¸p nµo n÷a?
Trong nhãm ph¬ng ph¸p sè, ngoµi ph¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n cßn cã ph¬ng
ph¸p sai ph©n h÷u h¹n, ph¬ng ph¸p tÝch ph©n sè.
C©u 2: H·y nªu sù kh¸c nhau chÝnh gi÷a ph¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n vµ ph¬ng
ph¸p phÇn tö h÷u h¹n?
- Ph¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n lµ dïng mét nhãm ph¬ng tr×nh sai ph©n h÷u h¹n
thay thÕ ph¬ng tr×nh riªng, lµm gÇn ®óng vÒ mÆt to¸n häc.
- Ph¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n lµ dïng mét tËp hîp c¸c phÇn tö h÷u h¹n ®Ó thay
thÕ mét vËt thÓ liªn tôc, lµm gÇn ®óng vÒ mÆt vËt lý.
- Hai ph¬ng ph¸p nµy kh«ng gièng nhau, nhng chóng cã ®Æc ®iÓm chung lµ ®Òu
®a ®Õn gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh
* So s¸nh PPPTHH víi ph¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n (PPSPHH):
PPSPHH lµ mét ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n tõng phÇn. Sù
kh¸c nhau gi÷a PPPTHH vµ PPSPHH lµ:
PPSPHH xÊp xØ bµi to¸n ph¬ng tr×nh vi ph©n; Cßn PPPTHH th× xÊp xØ lêi gi¶i
cña bµi to¸n nµy.
§iÓm ®Æc trng nhÊt cña PPPTHH lµ nã cã kh¶ n¨ng ¸p dông cho nh÷ng bµi to¸n
h×nh häc vµ nh÷ng bµi to¸n biªn phøc t¹p víi mèi quan hÖ rêi r¹c.
Trong khi ®ã: PPSPHH vÒ c¨n b¶n chØ ¸p dông ®îc trong d¹ng h×nh ch÷ nhËt víi
mèi quan hÖ ®¬n gi¶n, viÖc vËn dông kiÕn thøc h×nh häc trong PPPTHH lµ ®¬n gi¶n vÒ
lý thuyÕt.
- §iÓm ®Æc trng cña ph¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n lµ cã thÓ dÔ dµng thùc hiÖn ®îc.
-Trong mét vµi trêng hîp, PPSPHH cã thÓ xem nh lµ mét tËp con cña PPPTHH
xÊp xØ. ViÖc lùa chän hµm c¬ së lµ hµm kh«ng ®æi tõng phÇn hoÆc lµ hµm delta Dirac.
Trong c¶ hai ph¬ng ph¸p xÊp xØ, viÖc xÊp xØ ®îc tiÕn hµnh trªn toµn miÒn, nhng miÒn
®ã kh«ng cÇn liªn tôc. Nh mét sù lùa chän, nã cã thÓ x¸c ®Þnh mét hµm trªn mét miÒn
rêi r¹c, víi kÕt qu¶ lµ to¸n tö vi ph©n liªn tôc kh«ng sinh ra chiÒu dµi h¬n, tuy nhiªn
viÖc xÊp xØ nµy kh«ng ph¶i lµ PPPTHH. Cã nh÷ng lËp luËn ®Ó lu ý ®Õn c¬ së to¸n häc
cña viÖc xÊp xØ phÇn tö h÷u h¹n trë lªn ®óng ®¾n h¬n, vÝ dô, bëi v× trong PPSPHH ®Æc
®iÓm cña viÖc xÊp xØ nh÷ng ®iÓm líi cßn h¹n chÕ.
- KÕt qu¶ cña viÖc xÊp xØ b»ng PPPTHH thêng chÝnh x¸c h¬n PPSPHH, nhng
®iÒu nµy cßn phô thuéc vµo nhiÒu vÊn ®Ò kh¸c vµ mét sè trêng hîp ®· cho kÕt qu¶ tr¸i
ngîc. Nãi chung, PPPTHH lµ mét ph¬ng ph¸p thÝch hîp ®Ó ph©n tÝch c¸c bµi to¸n vÒ
kÕt cÊu (gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ biÕn d¹ng vµ øng suÊt cña vËt thÓ d¹ng khèi hoÆc ®éng lùc
häc kÕt cÊu), trong khi ®ã ph¬ng ph¸p tÝnh trong ®éng lùc häc chÊt láng cã khuynh híng sö dông PPSPHH hoÆc nh÷ng ph¬ng ph¸p kh¸c (nh ph¬ng ph¸p khèi lîng h÷u
h¹n).Nh÷ng bµi to¸n cña ®éng lùc häc chÊt láng thêng yªu cÇu ph¶i rêi r¹c hãa bµi
to¸n thµnh mét sè lîng lín nh÷ng “« vu«ng” hoÆc nh÷ng ®iÓm líi (hµng triÖu hoÆc
h¬n), v× vËy mµ nã ®ßi hái c¸ch gi¶i ph¶i ®¬n gi¶n h¬n ®Ó xÊp xØ c¸c “« vu«ng”. §iÒu
1
nµy ®Æc biÖt ®óng cho c¸c bµi to¸n vÒ dßng ch¶y ngoµi, gièng nh dßng kh«ng khÝ bao
quanh xe h¬i hoÆc m¸y bay, hoÆc viÖc m« pháng thêi tiÕt ë mét vïng réng lín. Cã rÊt
nhiÒu bé phÇn mÒm vÒ ph¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n, mét sè miÔn phÝ vµ mét sè ®îc
b¸n.
C©u 3: H·y cho biÕt tªn vµ c¸c chøc n¨ng c¬ b¶n còng nh u nhîc ®iÓm cña
nh÷ng phÇn mÒm th¬ng m¹i øng dông PP PTHH?
- C¸c phÇn mÒm th¬ng m¹i øng dông PP PTHH:ABAQUS, ANSYS, LS-DYNA,
Nastran...
- Marc, COMSOL Multiphysics, SAP2000, MIDAS, STAAP PRO, ETABS,
PLAXIS
C©u 4: H·y cho biÕt tªn c¸c lo¹i phÇn tö thanh vµ ma trËn ®é cøng cña tõng
lo¹i?
4.1. PhÇn tö thanh chÞu kÐo nÐn däc trôc:
1
a 1
T
k B D B dV
E
1 a
Ve
0
a
EA
a
1
Adx
EA
a
a
a
EA
a
EA
a
4.2. PhÇn tö giµn ph¼ng
EA
a
k 0EA
a
0
4.3. PhÇn tö dÇm chÞu uèn ph¼ng:
EA
a
0
EA
a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12 EJ z
6 EJ z
12EJ z
3
2
a
a
a3
6 EJ
4 EJ z
6 EJ
z
2z
2
a
a
k a
12EJ z
6 EJ z 12EJ z
3
2
a
a3
a
2 EJ z
6 EJ z
6 EJ z
2
4.4. PhÇn tö thanh chÞu
thuÇnatuý:
axo¾n
a2
GJ x
k a
GJ x
a
6 EJ z
a2
2 EJ z
a
6 EJ
2z
a
4 EJ z
a
GJ x
a
GJ x
a
4.5. PhÇn tö khung ph¼ng:
2
0
[k]pt=
0
12EJ/a3 6EJ/a2
0
0
6EJ/a2
0
0
0
6EJ/a2
12EJ/a3
-6EJ/a2 2EJ/a
-EA/a
0
0
-6EJ/a2
12EJ/a3
6EJ/a2 2EJ/a
EA/a
0
0
12EJ/a3 -6EJ/a2
0
-6EJ/a2
0
0
0
4EJ/a
-EA/a
0
4EJ/a
3
4.6 PhÇn tö khung kh«ng gian:
[k]pt=
EA/a
0
0
0
0
0
EA/a
0
12EJz/a3
0
0
0
6EJz/a2
0
0
12EJy/a3
0
0
0
0
GJx/a
6EJy/a2
0
0
0
-6EJy/a2
0
0
EA/a
6EJz/a2
0
0
0
12EJz/a3
0
0
0
0
12EJy/a3
0
0
0
0
6EJz/a2
0
0
0
0
0
0
12EJz/a3
0
0
0
6EJz/a2
0
0
0
0
0
0
12EJy/a3
0
4EJy/a
0
0
0
6EJy/a2
0
2EJy/a
0
0
0
4EJz/a
0
-6EJz/a2
0
0
0
2EJz/a
0
0
0
0
EA/a
0
0
0
0
0
0
0
0
6EJz/a2
0
12EJz/a3
0
0
0
6EJz/a2
0
6EJy/a2
0
0
0
12EJy/a3
0
6EJy/a2
0
-GJx/a 0
0
0
0
0
GJx/a
0
0
-6EJy/a2
0
2EJy/a
0
0
0
6EJy/a2
0
4EJy/a
0
0
0
0
2EJz/a
0
-6EJz/a2
0
0
0
4EJz/a
6EJy/a2
-GJx/a 0
0
0
0
4
C©u 5. Tr×nh bµy täa ®é tù nhiªn trong phÇn tö mét chiÒu, 2 chiÒu vµ 3 chiÒu
Chän trôc x lµ trôc thanh, c¸c trôc y vµ z lµ c¸c trôc qu¸n tÝnh chÝnh cña mÆt c¾t
ngang cña thanh vµ chiÒu d¬ng cña trôc x, y, z x¸c ®Þnh theo quy t¾c tam diÖn thuËn
Trêng hîp khung ph¼ng:
T
0
xx '
0 trong ®ã:
yx '
0
0
0 ;
1
xy '
yy '
0
xx ' cos x, x '
Trêng hîp giµn ph¼ng:
T
0
0
xx '
trong
®ã:
yx '
xy '
yy '
Trêng hîp giµn kh«ng gian:
T
0
xx '
yx '
zx '
0
xy '
yy '
zy '
xz '
yz '
zz '
C©u 6. Tr×nh bµy tÝch ph©n sè
Khi tÝnh ma trËn ®é cøng vµ vÐc t¬ t¶i träng nót cña phÇn tö ®¼ng tham sè 3 chiÒu
ta cÇn tÝnh tÝch ph©n sau ®©y:
1
1
1
1
1
1
f ( , , )ddd
Hµm f díi dÊu tÝch ph©n nãi chung rÊt phøc t¹p, ngay c¶ khi viÕt ®îc díi d¹ng têng
minh, cho nªn ®Ó ®îc kÕt qu¶ ngêi ta dïng phÐp tÝch ph©n sè. Néi dung cña phÐp tÝch
ph©n nµy lµ chän mét sè ®iÓm trong phÇn tö, gäi lµ ®iÓm tÝch ph©n, råi t×m gi¸ trÞ cña
hµm f t¹i ®iÓm ®ã, sau ®ã c¨n cø vµo c¸c gi¸ trÞ ®ã ®Ó t×m gi¸ trÞ sè cña biÓu thøc tÝch
ph©n.
Mét sè ph¬ng ph¸p tÝch ph©n nh: ph¬ng ph¸p Newton-Cotes, ph¬ng ph¸p Gauss.
Trong ph¬ng ph¸p PP HH thêng hay dïng tÝch ph©n Gauss, v× ph¬ng ph¸p nµy cã thÓ
sö dông t¬ng ®èi Ýt sè ®iÓm tÝch ph©n mµ vÉn cho ®é chÝnh x¸c cao.
C©u 7. Tr×nh bµy kh¸i niÖm, c¸ch x¸c ®Þnh ma trËn ®é cøng, vÐc t¬ t¶i träng
trong phÇn tö ®¼ng tham sè cña phÇn tö lôc diÖn 8 ®iÓm nót
7.1. Kh¸i niÖm phÇn tö ®¼ng tham sè:
§èi víi bµi to¸n ph¼ng, lo¹i phÇn tö cã 3 ®iÓm nót ®îc dïng nhiÒu nhÊt, sau ®ã lµ
phÇn tö ch÷ nhËt cã 4 ®iÓm nót. §èi víi phÇn tö ch÷ nhËt do m« h×nh chuyÓn vÞ lµ hµm
5
bËc hai cña täa ®é nªn øng suÊt trong phÇn tö kh«ng ph¶i lµ h»ng sè mµ lµ thay ®æi
tuyÕn tÝnh, cho nªn nã ph¶n ¸nh tèt h¬n t×nh h×nh ph©n bè øng suÊt so víi phÇn tö tam
gi¸c. Nhng phÇn tö ch÷ nhËt kh«ng thÝch hîp víi vËt thÓ cã biªn cong hoÆc cã biªn trùc
giao còng nh kÝch thíc phÇn tö kh«ng dÔ tuú ý thay ®æi. NÕu b©y giê ta sö dông mét
lo¹i phÇn tö mµ vÉn dïng m« h×nh chuyÓn vÞ cña phÇn tö ch÷ nhËt th× ë biªn chung cña
hai phÇn tö l©n cËn chuyÓn vÞ sÏ kh«ng ph¶i lµ thay ®æi tuyÕn tÝnh n÷a, do ®ã tÝnh liªn
tôc cña chuyÓn vÞ ë biªn chung kh«ng ®îc ®¶m b¶o. Sö dông ph¬ng ph¸p biÕn ®æi to¹
®é cã thÓ gi¶i quyÕt ®îc m©u thuÉn nµy, trong ®ã biÓu thøc m« h×nh chuyÓn vÞ vµ biÓu
thøc biÕn ®æi täa ®é ta dïng chung mét hµm d¹ng, phÇn tö thùc tÕ ®ang xÐt ® îc gäi lµ
phÇn tö ®¼ng tham sè.
7.2. C¸ch x¸c ®Þnh ma trËn ®é cøng:
[k]pt=
K11
k12
k13
k14
k15
k16
k17
k18
K21
k21
k21
k21
k21
k21
k21
k21
K31
k31
k31
k31
k31
k31
k31
k31
K41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
K51
k51
k51
k51
k51
k51
k51
k51
K61
k61
k61
k61
k61
k61
k61
k61
K71
k71
k71
k71
k71
k71
k71
k71
K81
k82
k83
k84
k85
k86
k87
k88
Trong ®ã c¸c ma trËn con:
1
[ krs ]
1
1
[B
1
1
r
]T [ D ][ B s ] J ddd
1
7.3. VÐc t¬ t¶i träng cña phÇn tö :
Trêng hîp lùc tËp trung ®Æt t¹i ®iÓm bÊt kú:
P e [ N ]T P
Trong ®ã: {P}e= [X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2....... X8 Y8 Z8]T
[N]= [IN1 IN2 ....... IN8]T víi I lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp 3
- Trêng hîp lùc ph©n bè thÓ tÝch:
{p}= [X Y Z]T
P e
1
[ N ]T p dV
1
[ N ] p J ddd
T
1
V
1
1
1
- Trêng hîp lùc ph©n bè bÒ mÆt:
p
[ X Y Z ]T
6
C©u 8. C¸c ph¬ng tr×nh c¬ b¶n cña PP PTHH trong bµi to¸n ®éng
-
Ph¬ng tr×nh c©n b»ng ®éng lùc häc cña toµn bé kÕt cÊu:
K C
M Pt
.
..
Trong ®ã:
[K] lµ ma trËn ®é cøng cña toµn bé kÕt cÊu
{D} lµ vÐc t¬ chuyÓn vÞ nót cña toµn bé kÕt cÊu
{Pt} lµ vÐc t¬ t¶i träng tÜnh ë nót cña toµn bé kÕt cÊu
[C] lµ ma trËn c¶n cña kÕt cÊu
[M] lµ ma trËn khèi lîng cña kÕt cÊu
Trêng hîp kÕt cÊu chÞu dao ®éng cìng bøc díi t¸c dông cña lùc kÝch thÝch thay ®æi
theo thêi gian P(t) th× ta cã:
K C
M P t
.
..
C©u 9: Kh¸i niÖm, ý nghÜa vµ c¸c lo¹i phÇn tö bËc cao
- Kh¸i niÖm:
PhÇn tö bËc cao lµ phÇn tö mµ ngêi ta m« t¶ tr¹ng th¸i øng suÊt, biÕn d¹ng, trêng
chuyÓn vÞ b»ng c¸c ®a thøc xÊp xØ bËc hai hoÆc cao h¬n. Trong
phÇn tö bËc cao, ngoµi c¸c nót lµ c¸c ®Ønh cña phÇn tö, cßn cÇn ®a thªm vµo c¸c nót bæ
sung n»m c¹nh biªn hoÆc n»m bªn trong phÇn tö ®Ó ®¶m
b¶o sè bËc tù do cña phÇn tö b»ng sè täa ®é tæng qu¸t
- ý nghÜa:
+ N©ng cao ®é chÝnh x¸c, gi¶m bít sè lîng phÇn tö khi rêi r¹c ho¸ kÕt cÊu
+ ThÝch hîp víi nh÷ng trêng hîp gradien cña trêng chuyÓn vÞ lín
- C¸c lo¹i phÇn tö bËc cao:
+ PhÇn tö mét chiÒu bËc cao, tam gi¸c bËc cao, tø gi¸c
7
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
8
- Xem thêm -