Tài liệu Lý thuyết perron - frobenius cho chùm ma trận (lv01099)

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ma trận A   nn , A   aij  n i , j 1 được gọi là ma trận không âm và kí hiệu A  0 nếu mọi phần tử của ma trận A đều không âm. Định lí Perron-Frobenius nói rằng, bán kính phổ (giá trị lớn nhất của các giá trị tuyệt đối của giá trị riêng của ma trận) của ma trận với các phần tử không âm tự nó là giá trị riêng và có véctơ riêng tương ứng có thể chọn là véctơ không âm. Cụ thể hơn, ta có thể phát biểu Định lí Perron-Frobenius như sau. Định lí Perron-Frobenius Giả sử A  0 có bán kính phổ   A. Khi ấy   A cũng là một giá trị riêng của A và A có véctơ riêng không âm v tương ứng với giá trị riêng   A. Nếu thêm vào đó, A là bất khả quy (irreducible), thì   A đơn (   A là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng của ma trận A ) và A có véctơ riêng v không tương ứng với   A. Hơn nữa, nếu u  0 là véctơ riêng của A thì u  v,     . Định lí này có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học, khoa học, kĩ thuật, kinh tế, trong đó có các bài toán mô tả bởi các hệ động lực. Nhiều hệ động lực trong thực tế được mô tả bởi hệ hệ phương trình sai phân Exk 1  Axk  f k , x0 cho tr­íc hoặc phương trình vi phân ẩn (thường được gọi là phương trình vi phân đại số - Differential Algebraic Equation - DAE) tuyến tính với hệ số hằng, tức là hệ phương trình Ex(t )  Ax(t )  f (t ), x t0   x0. Ở đây E , A là các ma trận vuông cỡ n  n với các hệ số là những số thực. 2 Động lực của các hệ trên được đặc trưng bởi các giá trị riêng và các véctơ riêng của chùm ma trận  E  A (hay cặp ma trận  E, A ). Nhằm ứng dụng vào các bài toán mới, trong đó có bài toán giải hệ phương trình vi phân đại số, Định lí Perron-Frobenius đã được mở rộng cho chùm ma trận và cho dãy các ma trận. Luận văn này trình bày một số mở rộng của Định lí Perron-Frobenius cổ điển cho cặp ma trận (hay còn gọi là chùm ma trận)  E, A và một số mở rộng khác. Trường hợp đặc biệt E  I , trong đó I là ma trận đơn vị cũng được quan tâm. Luận văn cũng trình một số ví dụ minh họa. 2. Mục đích nghiên cứu Lý thuyết Perron-Frobenius cho chùm ma trận. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Định lí Perron-Frobenius cổ điển. - Mở rộng Định lí Perron-Frobenius cho chùm ma trận. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết Perron-Frobenius. - Phạm vi nghiên cứu: Định lí Perron-Frobenius cho chùm ma trận. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc, tìm hiểu, phân tích và tổng hợp các kiến thức trong sách, báo; - Sử dụng các phương pháp của giải tích, đại số tuyến tính, giải tích hàm. 6 Dự kiến đóng góp mới của đề tài Hy vọng luận văn là một Tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về lí thuyết Perron-Frobenius. 3 Chương 1 ĐỊNH LÍ PERRON-FROBENIUS CỔ ĐIỂN 1.1 Bài toán giá trị riêng Định nghĩa 1.1.1 Cho A là ma trận vuông cỡ n  n gồm các phần tử là các số thực. Giá trị  (thực hay phức) sao cho tồn tại véctơ x  0 thỏa mãn phương trình  A   I  x  0 được gọi là giá trị riêng của ma trận A, và x được gọi là véctơ riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng  . Bài toán tìm x và  thỏa mãn phương trình  A   I  x  0 được gọi là bài toán giá trị riêng. Cho A là ma trận vuông cấp n, A   nn , A   aij   a11    a A   I   21  ...   an1 n i , j 1 . Xét ma trận a1n  a2 n  . ... ...   ... ann    a12 ... a22   ... ... an 2 Đa thức bậc n của biến  , a11   a21 PA     det A   I  ... an1 a12 ... a22   ... ... ... an 2 a1n a2 n ... ... ann     1 . n  an1 n1  ...  a11  a0 n được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Nhận xét 1.1.1 Các nghiệm của đa thức đặc trưng PA    là các giá trị riêng của ma trận A. Thật vậy, theo định nghĩa  là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi phương trình  A   I  x  0 có nghiệm x  0. Mà hệ phương trình trên có 4 nghiệm x  0 khi và chỉ khi det  A   I   0 hay PA     0, hay  là nghiệm của đa thức đặc trưng PA    (điều phải chứng minh). Nếu 0 là một giá trị riêng của ma trận A thì det  A  0 I   0. Do đó hệ phương trình thuần nhất  x1   0   A  0 I   ...   ...  xn   0  1.1.1 có vô số nghiệm. Các véctơ x  0 là nghiệm của 1.1.1 là các véctơ riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng 0 . Các nghiệm của hệ phương trình 1.1.1 tạo thành một không gian véctơ và được gọi là không gian con riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng 0 . Các véctơ độc lập tuyến tính tạo thành cơ sở của không gian con riêng được gọi là các véctơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng 0 . 0 1 1  Ví dụ 1.1.1 Xét ma trận A  1 0 1  . 1 1 0  Đa thức đặc trưng của A là  1 PA     1  1 1 1 1   3  3  2.  Đa thức trên có các nghiệm là 1,2  1, 3  2. Do đó, ma trận A có các giá trị riêng là 1  1, 2  2. Ứng với giá trị riêng 1  1, ta giải hệ phương trình sau 5  x1  x2  x3  0; 1 1 1  x1   0      A   I  x  0 hay  A   I  x  1 1 1  x2    0    x1  x2  x3  0;  x  x  x  0. 1 1 1  x3   0  3  1 2 Hệ phương trình trên có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số tự do x2 , x3 . Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là  a  b, a, b  , trong đó a, b  . Các véctơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 1  1 là tất cả các véctơ trong 3 có dạng  a  b, a, b  , a 2  b2  0. Ứng với giá trị riêng 2  2, để tìm véctơ riêng tương ứng thì ta phải giải hệ phương trình thuần nhất  A   I  x  0 hay 2 x1  x2  x3  0;  2 1 1  x1   0         A   I  x   1 2 1  x2    0    x1  2 x2  x3  0;  1 1 1  x3   0   x1  x2  2 x3  0. Hệ này có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x3 . Nghiệm tổng quát của hệ phương trình trên có dạng  a, a, a  , a. Vậy các véctơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng 2  2 là tất cả các véctơ trong 3 dạng  a, a, a  , a  0. 1.2 Định lí Perron-Frobenius cổ điển Định nghĩa 1.2.1 Ma trận P nn có được bằng cách hoán vị các hàng (và/hoặc các cột) của một ma trận đơn vị cỡ n  n được gọi là ma trận hoán vị (permutation matrix). Như vậy ma trận hoán vị là một ma trận vuông mà mỗi hàng và cột chỉ có một phần tử có giá trị là 1, các phần tử còn lại có giá trị 0. Định nghĩa 1.2.2 (xem [7]) Ma trận A nn được gọi là ma trận khả quy A (reducible) nếu tồn tại ma trận hoán vị P sao cho C  PAPT   11 0 A12  , A22  6 trong đó, A11  rr , A22   nr  nr  và A12  r nr  , 0  r  n. Ma trận A được gọi là ma trận bất khả quy (irreducible) nếu A không phải là ma trận khả quy. Định nghĩa 1.2.3 Cho hai ma trận A   aij  n i , j 1 , B  bij  n i , j 1 với các hệ số là những số thực. Ta nói A  B nếu aij  bij , i, j  1,2,..., n. Định nghĩa 1.2.4 Ma trận A với các hệ số là những số thực được gọi là ma trận không âm (dương) nếu A  0  A  0. Định nghĩa 1.2.5 Cho ma trận B  bij  n i , j 1 là ma trận với các hệ số là các số thực hay phức. Kí hiệu ma trận B là ma trận gồm các tọa độ bij . Định lí 1.2.1 (Định lí Perron-Frobenius, [7]) Nếu A  0 là một ma trận vuông cấp n  n bất khả quy thì 1. A có một giá trị riêng thực không âm có giá trị đúng bằng bán kính phổ   A ; 2. Véctơ riêng x tương ứng với   A có thể chọn là véctơ không âm; 3.   A tăng nếu từng tọa độ thành phần của A tăng; 4.   A là đơn (   A là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng); 5. Vectơ riêng x là duy nhất theo nghĩa sai khác một đại lượng vô hướng, tức là nếu tồn tại véctơ riêng y  0 thì y   x với  là một số thực. Để chứng minh định lí này trước hết ta chứng minh một số kết quả sau: Bổ đề 1.2.1 Giả sử A  0 là ma trận vuông cấp n  n, bất khả quy. Khi ấy  I  A n 1  0. 7 Chứng minh Để chứng minh  I  A  I  A n 1 n 1  0 ta chỉ cần chứng minh x  0 với mỗi x  0, x  0.  c11  c1n  Thật vậy, giả sử Cx  0 với mỗi x  0, x  0, trong đó C       . c  c  nn   n1 Khi đó ta chứng minh C  0 như sau.  c11  1 c  0   Không mất tính tổng quát, chọn x  . Khi đó Cx   21   0, do đó         0  cn1  c11 , c21 ,..., cn1  0. Tương tự, ta chọn lần lượt các véctơ xi , i  1,2,..., n có phần tử thứ i bằng 1, các phần tử còn lại bằng không, khi đó ta cũng chỉ ra được các phần tử trên cột thứ i tương ứng của ma trận C đều dương. Do đó, nếu  I  A n 1 x  0 với mỗi x  0, x  0 thì  I  A Ta chứng minh  I  A n 1 n 1  0. x  0 với mỗi x  0, x  0 như sau. Định nghĩa dãy các véctơ xk 1   I  A xk  0, k  0,1,..., n  2, x0  x. Do đó, x1  x  Ax và A  0, x  0, x  0 nên ta có x1  0 và số thành phần bằng không của x1 không ít hơn số thành phần bằng không của x. Nhận xét tương tự, ta khẳng định được xk  0 với mọi k  1,2,..., n  2 và số thành phần băng không của xk 1 không ít hơn số thành phần bằng không của xk . Hơn nữa, ta chỉ ra được rằng số thành phần bằng không của xk 1 luôn ít hơn số thành phần bằng không của xk . 8 Thật vậy, trước hết ta chứng minh x1 có số thành phần bằng không ít hơn số thành phần bằng không của x. Giả sử phản chứng rằng x1 và x có số tọa độ bằng không là bằng nhau. Bằng  z phương pháp hoán vị dòng ta luôn viết được x về dạng x    , trong đó  0 z  m , z  0, 1  m  n. Khi đó, A12   z   z  A11z   , A22   0   A21z  z  A x1  x  Ax      11  0   A21 trong đó A11  mm , A12   nmm , A21   m nm  , A22   nm  nm  . Theo giả thiết ban đầu A  0 nên A11 , A21  0, z  0, do đó A21 z  0, A11 z  0 và z  A11 z  0. Mà theo giả thiết phản chứng số thành phần bằng không của x1 bằng số thành phần bằng không của x nên A21 z  0, hay  y x1    , y  z  A11z  0, y  m . Có nghĩa là A21  0, điều này mâu thuẫn 0 với điều kiện A bất khả quy. Lập luận tương tự, ta chứng minh được xk 1 có số thành phần bằng không ít hơn số thành phần bằng không của xk với mọi k  1,2,..., n  2. Do đó, x0  x có tối đa n  1 tọa độ bằng không, thì xk có không quá n  k  1 thành phần bằng không. Suy ra, xn1   I  A n 1 x0   I  A n 1 x là một véctơ dương. Nếu A  0 là ma trận vuông cỡ n  n bất khả quy và véctơ x  0 là một véctơ khác không, ta định nghĩa đại lượng 9  n  a x  ij j   rx : min  j 1 . xi  0 x i     Do A không âm nên rx là một số thực không âm và Ax  rx x. Hơn nữa, nó bằng supremum của tập hợp tất cả các   0 thỏa mãn Ax   x. Thật vậy, giả sử   0 thỏa mãn Ax   x và   rx . Khi đó  x  rx x. Theo n định nghĩa rx , tồn tại chỉ số i0 sao cho xi 0  0 và rx  a i0 j j 1 xi0 xj . Khi đó n  xi  rx xi  0 a j 1 i0 j xi0 0 xj n xi0   ai0 j x j . j 1 Suy ra  x  Ax mâu thuẫn với giả thiết. Vậy rx   với mọi   0 thỏa mãn Ax   x và rx cũng thỏa mãn Ax  rx x nên rx bằng supremum của tập hợp tất cả các   0 thỏa mãn Ax   x. Xét đại lượng r : sup rx . 1.2.1 x0, x 0 Theo định nghĩa rx ta có rx  r x với mỗi   0. Ta chuẩn hóa x sao cho x  1 và xét tập hợp S :  x  0 : x  1. Khi đó, S là tập compact nên r  suprx   max rx . xS xS Xét tập hợp  Q : y : y   I  A Khi đó, Q là tập compact. n1  x, x  S . 10 Theo kết quả của Bổ đề 1.2.1 tập hợp Q chỉ gồm các phần tử là các véctơ dương. Nhân hai vế của biểu thức Ax  rx x với  I  A  I  A n 1 Ax   I  A n 1 n 1 , ta được rx x. Ta có thể chứng minh quy nạp rằng  I  A n 1 A  A  I  A n 1 Thật vậy, ta có  I  A A  IA  AA  A  AA  AI  AA  A I  A Giả sử  I  A k 1 A  A  I  A k 1 , k  . Khi đó  I  A Do đó  I  A n1 k A   I  A  I  A A   I  A A  I  A k 1 k  A  I  A  I  A  A  I  A k 1 k 1 A  A  I  A . n1 Từ đó ta có A  I  A n 1 x  rx  I  A n 1 x hay Ay  rx y. Điều đó có nghĩa là ry  rx . Vì ta cũng có r y  ry với mọi số  bất kì. Nên ta cũng có thể định nghĩa r như sau r  supry   max ry . yQ yQ Vì S là một tập compact và Q cũng là tập compact nên ry là một hàm số liên tục trên Q, do đó tồn tại một véctơ dương z sao cho rz  r hay Az  rz và không tồn tại véctơ w nào khác z thỏa mãn Aw  rw. Vì nếu tồn tại w sao cho Aw  rw. Khi đó, ta có Aw  rw w và Aw  rw  rz w, suy ra rw  r . Mặt 11 khác, w khác z do vậy Aw  rz w tương đương với rw  rz  r. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa r. Ta gọi véctơ z sao cho Az  rz và không tồn tại véctơ w nào khác z thỏa mãn Aw  rw là véctơ cực trị của ma trận A. Bổ đề 1.2.2 Nếu A  0 là ma trận vuông cỡ n  n bất khả quy, đại lượng r  sup rx  là một số dương. Hơn nữa, mỗi véctơ cực trị z là véctơ riêng x0, x 0 dương của ma trận A tương ứng với giá trị riêng r , có nghĩa là Az  rz, z  0. Chứng minh Xét véctơ e có tất cả các tọa độ ei , i  1, 2,.., n đều bằng 1. Khi đó,  n    aij e j   n    re  min  j 1  min  1in  aij   0. ei 0 e i  j 1      Theo định nghĩa, ta có r  re  0. Với z là véctơ cực trị với Az  rz    0. Nếu   0 thì n 1 n 1  I  A   0  Aw  rw  0, w   I  A z  0. Điều kiện trên mâu thuẫn với giả thiết z là véctơ cực trị vì khi đó Aw  rw. Do đó   0  Az  rz, v× w   I  A n1 z  1  r  n1 z  0. Từ đó suy ra z  0 (điều phải chứng minh). Định lí 1.2.2 (xem [7]) Cho A  0 là ma trận vuông n  n bất khả quy, và B là ma trận vuông cỡ n  n gồm các số thực hay phức với B  A. Nếu  là một giá trị riêng của B, thì   r, 1.2.2 12 n   a x  ij j   trong đó r  sup rx   sup min j 1 . Hơn nữa, đẳng thức 1.2.2 xi 0 x x 0, x  0 x 0, x  0 i     đúng, có nghĩa là   rei khi và chỉ khi B  A , và trong đó B có dạng 1.2.3 B  ei DAD1, trong đó D là ma trận đường chéo có các thành phần nằm trên đường chéo có môđun bằng 1. Chứng minh Nếu  y  By, y  0, th× víi mäi i  1,.., n ta có n  yi   bij y j   yi  j 1 n n b y   b j 1 ij j j 1 ij n y j   aij y j . j 1 Điều này có nghĩa là  y  B y Ay, 1.2.4 kéo theo   ry  r, Vậy (1.2.2) được chứng minh. Nếu   r thì y là véctơ cực trị, theo Bổ đề 1.2.2 y là một véctơ riêng dương của A tương ứng với giá trị riêng r. Do đó,  y  B y A y. 1.2.5 Từ giả thiết ta có y  0 và B  A nên ta có kết luận B  A. 1.2.6 Xét ma trận đường chéo y y  y   D   1 , 2 ,..., n . yn   y1 y2   1.2.7 13 Rõ ràng, các tọa độ đường chéo của D có môđun bằng 1 và y  D y . Thay giá trị riêng   rei , ta được By   y  BD y  rei D y  ei D1BD y  r y . Đặt C  ei D 1BD  cij  n i , j 1 . Khi đó, C y  B y A y. 1.2.8 Do đó C  B  A. Thế A  C vào phương trình 1.2.8 ta được C y  C y   C  C  y  0. Xét phần thực của phương trình trên  C  Re C  y  0, mà C  Re2  C   Im 2  C   Re  C  và y  0 do đó Re C   C , hay Re  cij   cij  Re2  cij   Im2  cij   Im  cij   0  Im  C   0. Từ đó, suy ra C  Re  C   C  A, có nghĩa là B  ei DAD 1. Ngược lại, nếu B  ei DAD1, khi đó B  A, B có giá trị riêng  với   r, đó là điều phải chứng minh. Hệ quả 1.2.1 Nếu A  0 là ma trận vuông n  n bất khả quy, giá trị riêng dương r  sup rx  là bán kính phổ   A của A. x0, x 0 Chứng minh Thay vào B  A vào Định lí 1.2.2 ta được điều phải chứng minh. Hệ quả 1.2.2 Nếu A  0 là ma trận vuông cỡ n  n không suy biến và B là ma trận con chính vuông của A , thì   B     A . 14 Chứng minh Vì B là ma trận con chính vuông của A, tồn tại một phép hoán B vị biến đổi A về dạng A    A21 A12  . A22   B 0 Xét ma trận C    . Rõ ràng, C  A.  0 0 Xét Định lí 1.2.2, thay ma trận C cho ma trận B được   B     C     A (điều phải chứng minh). Chứng minh định lí Perron-Frobenius. 1. A có một giá trị riêng dương đúng bằng bán kính phổ   A . Chứng minh Kết quả được lấy từ Hệ quả 1.2.1. 2.   A có véctơ riêng tương ứng x  0. Chứng minh Kết quả được lấy từ Bổ đề 1.2.2. 3.   A tăng khi mỗi thành phần của ma trận A tăng. Chứng minh Giả sử ta tăng một số thành phần của ma trận A được một ma trận mới bất khả quy A , trong đó A  A và A  A. Theo kết quả của Định lí   1.2.2 ta có  A    A  . 4.   A là một giá trị riêng đơn của A. Chứng minh Ta sử dụng tính chất của đa thức   t   det  tI  A. n Ta đã biết rằng    t    det  tI  Ai  , trong đó Ai là các ma trận vuông cỡ i 1  n  1   n  1 , Ai có được bằng cách xóa đi cột thứ i và dòng thứ i của ma 15 trận A. Theo Bổ đề 1.2.2,   Ai     A , có nghĩa là det  tI  Ai  không triệt tiêu với mỗi giá trị t    A. Do đó, det    A I  Ai   0 và suy ra hệ thức n      A    det    A I  Ai   0. i 1 Điều này có nghĩa là   A là nghiệm đơn của   t  , do đó   A là giá trị riêng đơn của A. 5. Véctơ x duy nhất theo nghĩa sai khác một đại lượng vô hướng. Chứng minh Với điều kiện đã cho, giả sử rằng tồn tại một véctơ riêng y  0, y  cx, c là hằng số, tương ứng với giá trị riêng  ,     A. Ta có     A nên     A. Nhân y với  I  A , k  n  1 ta được k  I  A y   I  A  y  Ay    I  A  y  ry    I  A 1  r  y k  ...  1    y  0, k  n  1, k 1 k k 1 k 1 suy ra y  0 và  là số thực thỏa mãn   A    1. Vì x và y đều là các véctơ dương, ta có thể chọn một số dương t đủ nhỏ sao cho z  x  ty. Khi đó, Az  A x  ty     A x  ty     A z. Từ đó suy ra rz    A , điều này mâu thuẫn với tính chất của   A. Vậy x là duy nhất (điều phải chứng minh). 16 Chương 2 ĐỊNH LÍ PERRON-FROBENIUS MỞ RỘNG CHO CHÙM MA TRẬN 2.1 Một số khái niệm liên quan 2.1.1 Bài toán giá trị riêng suy rộng Định nghĩa 2.1.1 Cho là hai ma trận vuông cỡ n  n gồm các số thực. Chùm ma trận  E  A (hay cặp ma trận  E, A ) được gọi là chùm ma trận chính quy nếu tồn tại số thực hoặc số phức  nào đó sao cho det   E  A  0. Ngược lại, nếu det   E  A  0 với mọi giá trị  thì ta nói chùm ma trận  E  A suy biến. Trong nội dung luận văn này chỉ xét chùm ma trận vuông chính quy. Một số  thực hoặc phức được gọi là giá trị riêng (suy rộng) của cặp ma trận  E, A nếu det   E  A  0. Véctơ x n \ 0 sao cho   E  A x  0 được gọi là véctơ riêng (suy rộng) của cặp ma trận  E, A tương ứng với giá trị riêng  . Nếu E là ma trận suy biến và x n \ 0 sao cho Ex  0 thì x được gọi là véctơ riêng của cặp ma trận  E, A tương ứng với giá trị riêng . Bài toán tìm x và  thỏa mãn phương trình  Ex  Ax, hay   E  A x  0 được gọi là bài toán giá trị riêng suy rộng. 1 1  2 0 Ví dụ 2.1.1 Xét cặp ma trận A   , E  . 1 1 0 2      2.1.1 17 Khi đó, 1   2  1 .  1 2   1   E  A   Ta có, det   E  A   2  1  1  4 2  4 , 2 det   E  A  0    1 hoặc   0. Do đó,  E, A có hai giá trị riêng là   0 và   1.  Với   0  1 1 .  1  1   E  A   Xét Bài toán giá trị riêng  2.1.1  x1  x2  0  x1   x2 .   x  x  0  1 2 Vậy tất cả các véctơ có dạng x   a, a  , a  0 là véctơ riêng của  E, A tương ứng với giá trị riêng   0.  Với   1  1 1 .  1 1   E  A   Xét Bài toán giá trị riêng suy rộng  2.1.1  x1  x2  0  x1  x2 .   x  x  0  1 2 18 Do đó, tất cả các véctơ có dạng x   a, a  , a  0 là véctơ riêng của  E, A tương ứng với giá trị riêng   1. Định nghĩa 2.1.2 Tập hợp tất cả các giá trị riêng hữu hạn của cặp ma trận  E , A được gọi là phổ hữu hạn của  E, A và kí hiệu là  f  E, A. Tập hợp tất cả các giá trị riêng của  E, A được gọi là phổ của  E, A , kí hiệu là   E, A được định nghĩa như sau  f  E , A    E , A  :   f  E , A    nÕu E lµ kh¶ nghÞch, nÕu E suy biÕn. Trong trường hợp E khả nghịch, ta kí hiệu   E, A là bán kính phổ của  E, A và được định nghĩa theo công thức   E, A : max  . x  E , A Trong trường hợp E suy biến, ta kí hiệu  f  E, A : max  và gọi là bán x f  E , A kính phổ hữu hạn của  E, A. Các véctơ x1 , x2 ,.., xk tạo thành xích Jordan của cặp  E, A tương ứng với giá trị riêng  nếu   E  A xi  Exi1,  1  i  k và x0  0. Định nghĩa 2.1.3 Không gian con Sdef  n có số chiều k được gọi là không gian con hạ cấp phải của  E, A tương ứng với  , nếu tồn tại không gian con k chiều W   n sao cho ESdef  W và ASdef  W . Giả sử 1, 2 ,.., p là các giá trị riêng hữu hạn khác nhau từng đôi một của  E, A và Sdef , i  1,2,.., p i là các không gian con hạ cấp tương ứng với các giá trị riêng đó. Không gian con Sdef : Sdef  ...  Sdefp , 1  2.1.2 19 (  là kí hiệu tích tenxơ) được gọi là không gian con hạ cấp phải hữu hạn của  E, A.   ,  A được gọi là tương đương Định nghĩa 2.1.4 Hai cặp ma trận  E, A và E nếu tồn tại các ma trận chính quy W và T sao cho  , A W  E  W ET AT .   2.1.3  ,  A . Khi đó ta viết  E , A   E Định nghĩa 2.1.5 Một ma trận vuông A được gọi là chéo hóa Jordan được nếu tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho 0  J1  , J  P AP     0 J m   1 trong đó J i là các ma trận vuông có dạng  i 1  0      i . Ji       1    0   i  Mỗi ma trận J i ở trên được gọi là một khối Jordan ứng với giá trị riêng i . Ma trận J trong định nghĩa trên được gọi là biểu diễn chuẩn tắc Jordan của ma trận A (hay ma trận dạng Jordan của A ). Định nghĩa 2.1.6 Ma trận N được gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho N n  0. Định lí 2.1.1 (dạng chính tắc Weierstrass [6]) Nếu  E, A là cặp ma trận chính quy thì 20   I 0   J 0   ,  0 I  , 0 N       2.1.4  E , A    trong đó J là ma trận chính tắc Jordan và N là ma trận lũy linh dạng chính tắc Jordan. Bổ đề 2.1.1 (xem [4]) Cho  E, A là cặp ma trận chính quy,  được chọn sao     E  A E  A không suy biến thì ma trận E cho   1  E và  A   E  A  1 A ˆ ˆ. ˆ ˆ  AE giao hoán (commute), có nghĩa là EA 2.1.2 Toán tử chiếu ( phép chiếu) và chỉ số của cặp ma trận  E, A. Định nghĩa 2.1.7 Một ma trận Q được gọi là phép chiếu nếu Q2  Q. Một phép chiếu Q được gọi là phép chiếu lên (onto) không gian con S của n nếu imQ  S . Ta gọi phép chiếu đó là phép chiếu dọc (along) theo S nếu kerQ  S . Một số tính chất của phép chiếu. Bổ đề 2.1.2 1. P1 , P2 là hai phép chiếu lên không gian con S khi và chỉ khi P1  P2 P1 và P2  P1P2 . 2. P1 , P2 là hai phép chiếu dọc theo không gian con S khi và chỉ khi P1  PP 1 2 và P2  P2 P1. Chứng minh 1. "  " Với mọi x   n ta có P2 x  imP2  S  imP1 và do đó P2 x  PP 1 2 x.