Tài liệu Lý thuyết ôn thi môn toán thpt

  • Số trang: 25 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 252 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 62328 tài liệu

Mô tả:

Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy GIẢI TÍCH 12 I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản : C /  x / 0  x / 1 x  1  n /  nx n1 2 x 2) Các quy tắc tính đạo hàm : u  v / u  v /  u/  v/ k .u /  k .u / , k  R u.v /  u/  v/ / / / ad  bc  ax  b     cx  d 2  cx  d   / u.v.w/ v/ k    k. 2 v v  / / (Đạo hàm của hàm số hợp ) Đạo hàm của các hàm số hợp ( u  ux  ) u   .u   .x  1  1 .u / / 1 1    2 x  x / 1 x  2 x v/ 1    2 v v / u/ u  2 u sin x /  cos x cos x /   sin x sin u /  u / . cos u cos u /  u / . sin u     1  1  tan 2 x 2 cos x cot x /   12   1  cot 2 x sin x tan x / x / u/  u / 1  tan 2 u 2 cos u / cot u /   u 2  u / . 1  cot 2 u sin u tan u /   e  a   u / vw  uv / w  uvw / y / x  y / u .u / x / u/ u , kR    k k  3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản x  u / v  uv / u    v2 v / v/ 1    2 v v 1 1    2 x  x /  u / v  uv /      u / / u / u   e   u .e a   a .u . ln a ln u   u u  ex x /  a x . ln a ln x /  1 x log a x /  1 x. ln a / / / log u  / a u  u/ u. ln a 4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba : y  ax 3  ax 2  cx  d a  0 - TXĐ : D  R - Tính đạo hàm y / ; giải phương trình y /  0 tìm x  y - Tính giới hạn :nếu a  0 lim y   ; lim y   ; nếu a  0 lim y  ; lim y  , x  x x 1 x Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy - Lập bảng biến thiên ( xét dấu y / ), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số. - Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số có một tâm đối xứng . Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: y  ax 3  ax 2  cx  d a  0 Nếu a  0 Nếu a  0 / y y Nếu phương trình y  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 + Hàm số có hai cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn O x2 Nếu phương trình y /  0 có nghiệm kép x  x1  x 2 + Hàm số có không có cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn O x1 x x2 x1 y x y O O x x Nếu phương trình y /  0 vô nghiệm + Hàm số có không có cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn y y O O x x b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương : y  ax 4  bx 2  c - TXĐ : D  R - Tính đạo hàm y / ; giải phương trình y /  0 tìm x  y - Tính giới hạn : nếu a  0 lim y   ; lim y   ; nếu a  0 lim y   ; lim y   x  x  x  2 x  a  0 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy - Lập bảng biến thiên (xét dấu y / ), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số - Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục Oy . Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn: y  ax 4  bx 2  c a  0 Nếu a  0 Nếu a  0 / y y Nếu phương trình y  0 có 3 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 . + Hàm số có ba cực trị O O x1 x1 x3 x x3 x Nếu phương trình y /  0 có 1 nghiệm x  0 + Hàm số có không có cực trị y y x O x O c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức : y  d - TXĐ : D  R \   y /  0; x    c - Tính đạo hàm y /  ax  b , cx  d a  0, ad  bc  0 d , nếu ad  bc  0 c ad  bc cx  d 2 d , nếu ad  bc  0 c a a a - Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận : lim y  ; lim y   y  là tiệm cận ngang c c c x  x  d Nếu y /  0; x   thì lim y   và lim y   c d  d  x  x  d là tiệm cận đứng c c x c d Nếu y /  0; x   thì và lim y   lim y   c d  d  x  x  y /  0; x   c c - Lập bảng biến thiên : x    3 d c Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT d Nếu y  0; x   c / Tô. Huy y/ + + a c a c y   Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng  ;  d  và   d ;   và không có cực trị .  Nếu y /  0; x   d c x c  c    d c  y y / a c a c   Hàm số luôn nghịch biến d   d      ;   v à   ;   và không có cực trị .  c   c trên khoảng  - Cho điểm đặc biệt : + Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Cho x  0  y  + Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có): Cho y  0  b d ax  b  0  x   b a - Vẽ đồ thị : + Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . + Đồ thị gồm hai nhánh đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm  d a I ;  .  c c +Ta vẽ hai đường tiệm cận trước , rồi vẽ 2 nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua I . Các dạng đồ thị của hàm phân thức : y  ax  b , a  0, ad  bc  0 cx  d y/  0 y/  0 4 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy y y y a c O x O x x d c y a c 5) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số : a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình cho trước g x, m  0 1 Cách giải : + Đưa phương trình 1 về dạng : f x   Am  B , trong đó y  f x  là đồ thị C  đã vẽ và y  Am  B d  là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox . + Số nghiệm của phương trình 1 là số hoành độ giao điểm của đồ thị C  và d  + Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp ), thường dựa vào yCĐ và yCT của hàm số để biện luận . b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  f x  tại điểm M x0 ; y 0   C  Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C  của hàm số y  f x  tại điểm M x0 ; y0   C  có dạng : y  f /  x0  x  x0   y0  2  . Thế x 0 ; y 0 ; f /  x 0  đã cho hoặc vừa tìm vào  2  ta được tiếp tuyến cần tìm. c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  f x  biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước: Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị C  của hàm số y  f x  có dạng : y  k  x  x0   y0  3 Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm . Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên f /  x0   k , giải phương trình tìm được x0  y0  f x0  .Suy ra phương trình tiếp tuyến (3) d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C  của hàm số y  f x  biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước. 5 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy Cách giải : Phương trình tiếp tuyến có dạng : y  k  x  x0   y0  4 Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm . + Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng d : y  ax  b thì f / x0   a , giải pt tìm được x0  y0  f x0  . Kết luận phương trình tiếp tuyến . + Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y  ax  b thì f / x 0 .a  1  f / x 0    1 . a Giải phương trình này tìm được x0  y0  f x0  . Kết luận phương trình tiếp tuyến . e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x  trên đoạn a; b : Cách giải : + Tính f / x  , giải phương trình f / x0   0 tìm nghiệm x0  a; b ; Tính các giá trị : f a  ; f  x0  ; f b + Kết luận : max (f  x )  max  f  a  ; f  x0  ; f  b  ; M in f  x   Min  f  a  ; f  x0  ; f  b  a ;b a ;b   f) Tìm tham số m để hàm số y  f x  có cực trị (cực đại, cực tiểu ): Cách giải : + Tính đạo hàm y / , tính  hoặc / của y / . + Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y /  0 có hai nghiệm phân biệt   a 0  0 m g) Tìm tham số m để hàm số y  f x  đạt cực trị tại x  x0 : Cách giải : + Tính đạo hàm y /  f / x  ; + Hàm số đạt cực trị tại x  x0  f /  x 0   m h) Tìm tham số m để hàm số y  f x  đạt cực đại tại x  x0 : Cách giải :+ Tính đạo hàm y /  f / x  ; + Tính đạo hàm y //  f // x  ; + Hàm số đạt cực đại tại x  x0   f f / //  x0  0  x 0  0 m i) Tìm tham số m để hàm số y  f x  đạt cực tiểu tại x  x0 : Cách giải : + Tính đạo hàm y /  f / x  ; + Tính đạo hàm y //  f // x  + Hàm số đạt cực tiểu tại x  x0   f f /  x0  0  x0  0 // m k) Tìm tham số m để hàm số y  f x  luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ D của nó. Cách giải : + Tìm MXĐ D của hàm số y  f x  . + Tính đạo hàm y /  f / x  , tính  hoặc / của y/ . + Hàm số y  f x  đồng biến trên D  y /  0  x  D   + Hàm số y  f x  nghịch biến trên D  y /  0  x  D   a0 0 a0  0  m m l) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y  f x  Cách giải 1 : + Tìm điểm cực đại Ax A ; y A  và điểm cực tiểu Bx B ; y B  của hàm số y  f x  + Viết phương trình đường thẳng AB : x  x A  y  y A xB  x A 6 yB  y A Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy Cách giải 2 : Cho hàm số bậc ba y  f x  +Tính y’. Viết lại y  y '.g  x   h  x  .Gọi x1 , x2 lần lượt là hai điểm cực trị, ta có y '  x1   0; y '  x2   0 . + Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y  h  x  . Cho hàm số hữu tỷ y  f  x  , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là g  x y f ' x . g ' x II . LŨY THỪA, LÔGARIT, PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Tính chất của lũy thừa: Với a  0; b  0 và với các số nguyên m, n ta có: m n 1. a .a  a mn ; am 2. n  a m n ; a 3.  a m  n a n 4.  ab   a n .b n ; mn 5. n an  a     n b  b  Cho m, n là những số nguyên: Với a  0 thì am  an  m  n ; Với 0  a  1 thì am  an m n 2. Lôgarit: 1. Định nghĩa: 2. So sánh hai logarit cùng cơ 3. Các quy tắc tính lôgarit: log a 1  0; log a a  1 log a  bc   log a b  log a c số a. Khi   1 thì b log a b  b, b  log  log b  log c a a log a b a log b  log c  b  c b, b  , b  0   c a a log a b   log a b b. Khi 0    1 thì log b  log c  b  c 4. Với số a dương khác 1, số dương b và số nguyên dương n , ta có: 1 1 n log a   log a b ; log a b  log a b ; 5. Với a, b là số dương khác 1 và c là số dương, ta có: logb c  log a c hay log a b.logb c  log a c n b log a b 1 ; log b.log a  1 log a b  a b log b a 3. Gỉai phương trình mũ và lôgarit :  Daïng cô baûn: 1. a f (x) = a g(x)  f(x) = g(x) ; 2. f (x) = b ( vôùi b > 0 )  f(x) = log a b log a f (x)  b log a f(x) = log a g(x)  f (x)  0 3. a 4.  0  a  1 f (x)  g(x)  f(x) = a b ;  Ñaët aån phuï : 1. t>0 a 2f (x) +. a f (x) +  = 0 ; Ñaët : t = a f (x) , t > 0; 2.  Lôgarit hoaù hai veá : 4. Giải bất phương trình mũ và lôgarit 1. a f (x) > a g(x)  f (x)  g(x) f (x)  g(x) khi a  1 ; khi 0  a  1 7 a b  f (x) +. a bf (x) +  = 0 ; Ñaët : t = a f (x) , Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT 2. a f (x) > b Neáu Tô. Huy b > 0 f(x) > log a b neáu a > 1; f(x) < log a b neáu 0 < a < 1 4. log a f(x) > log a g(x) (*) Ñk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a  1 . a>1, (*)  f(x) > g(x) ; 0 b . Neáu a > 1 : bpt laø f(x) > ab . Neáu 0 < a < 1 bpt laø 0 < f(x) < ab 5. Đồ thị hàm số mũ- lôgarit Đồ thị hàm số mũ a >1 0< a <1 a >1 y y x 1 x O 0< a <1 y y 1 1 O Đồ thị hàm số lôgarit OO x x OO 1 III .NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 1. Nguyên hàm Công thức nguyên hàm của các hàm số sơ cấp 1.  0dx  C ; Một số công thức mở rộng 13.  sin  ax  b  dx   2.  dx   1dx  x  C  1 14  cos  ax  b  dx   cos xdx  sin x  C; 7.  12 dx  tan x  C; cos x 1  sin 2 x dx   cot x  C. x 9.  a x dx  a  C ,  0  a  1 ; ln a 11.  ax  b  dx   ax  b  1  C   1 ;  a   1 1 a sin  ax  b  C C a tan  ax  b  1 15.  2 dx   C; cos  ax  b  a 4.  1 dx  ln x  C x 6. 3.  x dx  x  C   1 ;  1 5.  sin xdx   cos x  C ; cos  ax  b  16. 8. cot  ax  b  1 dx    C.  sin 2  ax  b  a 17.  e ax b  dx  eax b  C; a 10.  e x dx  e x  C; 12. ln ax  b  ax  b dx  a  C 2. Tích phân a/. Tính chất: Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K . Khi đó ta có: b b 1.  f  x  dx  0 3.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 5.  kf  x  dx  k  f  x  dx a a b a 2.  f  x  dx    f  x  dx a b b c a b b c a b a b 4.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx a a b b/ Phương pháp đổi biến số: a a ub  ' f u  x   u  x  dx   f  u  du u a  8 a ( với k  . ) Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy Trong đó: u  u  x  có đạo hàm liên tục trên K , hàm số y  f  u  liên tục và sao cho hàm hợp f u  x   xác định trên K ; a và b là hai số thuộc K . b b b a a a b c/ Phương pháp tích phân từng phần:  u x v' x dx   u x v x  |ba  v xu ' x dx Hay  udv  uv |ba   vdu a Trong đó các hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K d/ Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi:  C  : y  f  x    Ox : y  0 2dt : x  a; x  b  b S   f  x  dx là   C1  : y  f  x     C2  : y  g  x   2dt : x  a; x  b  a là b S   f  x   g  x  dx a e/ Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay + Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn quay quanh trục hoành là: V    b a  C  : y  f  x  bởi:  Ox : y  0 2dt : x  a; x  b  2  f  x   dx  C: x  g  y + Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi:   Oy :x0  2dt : y  a; y  b  quay quanh trục tung là: b 2 V     g  y   dy a IV. SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC. A. SỐ PHỨC (DẠNG ĐẠI SỐ) 1/ Số i: qui ước i 2  1 ; Tập số phức: ; 2/ Số phức dạng đại số : z = a  bi ( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo a, b là các số thực, i là đơn vị ảo ) a  a2 b1  b2 3/ Số phức bằng nhau: Cho z1  a1  b1i , z 2  a2  b2i : z1= z2   1 4/ Biểu diễn hình học số phức: Điểm M biểu diễn cho số phức z  a  bi : M  a; b  hay M  a  bi  hay M  z  5/ Cộng, trừ, nhân hai số phức: Cho z1  a1  b1i , z 2  a2  b2i a/ z1  z2   a1  a2    b1  b2  i ; b/ z1  z2   a1  a2    b1  b2  i ; c/ z1.z2  a1a2  b1b2   a1b2  a2b1  i 6/ Số phức liên hợp của z  a  bi là: z  a  bi  a  bi ( Chú ý: z  z ) 7/ Môđun của số phức z  a  bi : z  a 2  b2 ; 8/ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số: z 1  12 z z 9/ Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z 2  w được gọi là một căn bậc hai của w. 9 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy a/ w là số thực: + Căn bậc hai của 0 là 0 + a  0 : có 2 căn bậc hai là a và - a ; + a  0 : có 2 căn bậc hai là a i và - a i . Chú ý: Hai căn bậc hai của -1 là i và -i b/ w là số phức: w  a  bi  a, b  ; b  0  : z  x  yi  x, y   là căn bậc hai của w khi và chỉ khi: 2 z 2  w   x  yi   a  bi  x2  y2  a z2  w    2 xy  b 2 Do  x  yi   x 2  y 2  2 xyi nên Mỗi cặp số thực  x; y  nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z = x  yi của số phức w. 10/ Phương trình bậc hai: Az 2  Bz  C  0 1 , ( A  0; A, B, C là những số phức). Xét   B 2  4 AC + Nếu   0 , (1) có 2 nghiệm phân biệt: z  B , z  B ,(với  là một căn bậc hai của  ) 1 + Nếu   0 , (1) có nghiệm kép: 2 2A 2A y B z1  z2   2A B   B   . , z2  2A 2A b  B   i  B   i . z1  , z2  2A 2A Chú ý: Nếu  là số thực dương, (1) có 2 nghiệm: Nếu  là số thực âm, (1) có 2 nghiệm: z1  O M a x  B. SỐ PHỨC DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG 1/ Acgumen của số phức z: Số đo ( radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z,  một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng:   k 2 2/ Dạng lượng giác của số phức: z  r  cos   i sin   , ( trong đó r  z ;  một acgumen của z ) 3/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác: Nếu z1  r1  cos 1  i sin 1  ; z2  r2  cos 2  i sin 2  , (r1  0, r2  0) z1 r1   cos 1   2   i sin 1   2   ( khi r2  0) z 2 r2  Thì z1 z2  r1r2 cos 1  2   i sin 1   2   ; 4/ Công thức Moa-vrơ và ứng dụng: a/ Công thức Moa-vrơ:  r c o s   i s in    n  r n c o s n   i s in n  b/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: z  r  cos i sin có 2 căn bậc 2 là: z  r  cos   i sin   ; 1 2  2          z2   r  cos  i sin   r cos      i sin      2 2 2 2       HÌNH HỌC 12 I. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1 3 1. Khối chóp: Thể tích V  Sđ .h , với h: chiều cao, Sñ : diện tích đáy. h Khối chóp có đáy là một tam giác bất kì h h h Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy. h h h Khối tứ diện đều 10 h Khối chóp có một cạnh bên vuông với đáy là hình bình hành h Khối chóp đều. h Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy h 2. Khối lăng trụ: Thể tích V  Sđ . h ,với h là chiều cao, Sñ là diện tích đáy h Khối lăng trụ có đáy là một tam giác bất kì. 3. Khối nón: h a h b Khối lăng trụ đứng có đáy là một tam giác bất kì. Khối hộp ( các mặt đều là hình bình hành). c h Khối hộp chữ nhật Khối lập phương S 2 Diện tích hình tròn: S   R (với R là bk) Chu vi đường tròn: 2 R Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq =  rl ( với l là đường sinh) Diện tích toàn phần của hình nón: Stp= Sxq + Sđ 1 Thể tích của khối nón: V  Sđ .h , (với h là chiều cao). 3 4. Khối trụ: * Diện tích hình tròn: S   R2 (với R là bk) h * Chu vi đường tròn: 2 R h * Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq  2 Rh ( với h là chiều cao và h= l là đường sinh) R * Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp= Sxq + 2Sđ * Thể tích của khối trụ: V  Sđ .h 5. Khối cầu: a. Diện tích mặt cầu: S  4 R2 ; b. Thể tích khối cầu: h A R B R 4 V   R3 3 6. Diện tích các đa giác cần nhớ: a. ABC vuông ở A : S= 1 AB.AC ; b. ABC đều cạnh a: diện tích 2 H S= a2 3 4 ; đường cao: h= a 3 2 c. Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh; d. Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng e. Diện tích hình thoi : S = 1 (chéo dài x chéo ngắn); f. Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều 2 cao g. Diện tích hình thang : S  1 [(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]; h. Diện tích hình tròn : S   .R 2 2 11 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: TỌA ĐỘ VECTƠ - TỌA ĐỘ ĐIỂM    1.Cho u   x; y; z  ; v   x ' ; y ' ; z '  : u  v   x  x ' ; y  y ' ; z  z '  ; k u   kx; ky; kz        x y z 2.Cho u   x; y; z  ; v   x ' ; y ' ; z '  ; u cùng phöông v  u  kv  '  '  '  k x y z 3.Nếu điểm M  xM ; yM ; zM  chia đoạn AB ; 4. Nếu I  xI ; yI ; zI  là trung điểm theo tỉ số k  1 x A  kxB   xM  1  k thì  y A  kyB  yM  1 k  z A  kz B   zM  1  k  của đoạn AB thì: 5. Nếu G  xG ; yG ; zG  là trọng tâm ; của tam giác ABC thì x A  xB   xI  2  y A  yB   yI  2  z A  zB   zI  2  6. Nếu E  xE ; yE ; z E  là trọng tâm xA  xB  xC  xG  :  y  y3  y A B C yG  3  zA  zB  zC  zG  3  tứ diện ABCD xA  xB  xC  xD  xE  4 thì:  yA  yB  yC  yD yG  4  zA  zB  zC  zD  zG  4  BÀI 2: TÍCH VÔ HƯỚNG – TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG.  Cho a   x1 ; y1; z1  ; b   x2 ; y2 ; z2     1. Tích vô hướng của hai vectơ: a.b  x1.x2  y1. y2  z1.z2 là một số thực; a  b  x1 x2  y1 y2  z1 z2  0  2. Độ dài vectơ: a  x12  y12  z12  3. AB   xB  xA ; yB  y A ; zB  z A  ; AB   xB  xA 2   yB  yA 2   zB  z A 2 (khoảng cách giữa hai điểm A và B) 2  2 4.Bình phương vô hướng: a  a  x12  y12  z12    a 5.Góc giữa hai vectơ: Gọi  là góc giữa hai vectơ a và b thì cos   .b  a.b 6.Tích có hướng của hai vectơ: +Định nghĩa:  a , b    y1    y2 z 1 z1 ; z 2 z2 x 1 x1 ; x 2 x2 x1x2  y1 y2  z1z2 x12  y12  z12 . x22  y22  z22 y1     y1 .z2  y2 .z1 ; z1 .x2  z2 .x1 ; x1 . y2  x2 . y1  y2  +Tính chất:    +. a, b   a; là một vectơ.          a, b   b ; +. a cùng phương với b khi và chỉ khi  a, b   0           +.  a, b   a . b sin  (  là góc giữa hai vectơ a và b ) 1   7.Diện tích tam giác ABC là: S ABC   AB, AC  2       8.Ba vectơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi: a, b  .c  0    Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi:  AB, AC  . AD  0 12 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT 9.Thể tích của khối hộp ABCD. A’B’C’D’: đỉnh A) 10.Thể tích của khối tứ diện ABCD là: V     V   AB, AD  . AA ' Tô. Huy ( AB,AD, AA’ là 3 cạnh xuất phát từ 1     AB, AC  . AD  6 BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG  1. Phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  là: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 Hay Ax  By  Cz  D  0 , ( A2  B 2  C 2  0) 2. Phương trình của các mặt phẳng tọa độ: + Mặt phẳng (Oxy): z = 0; + Mặt phẳng (Oyz): x = 0; + Mặt phẳng (Oxz): y = 0 Chú ý: mp   Ax  By  Cz  D  0 , ( A2  B 2  C 2  0) . Nếu    / /  thì    : Ax  By  Cz  D '  0  D  D ' BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN. Phương trình đường thẳng:  Đường thẳng d đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương u   a; b; c  . Khi đó: a. Phương trình tham số của đường thẳng d:  x  x0  at   y  y0  bt  t  R   z  z  ct  0 b. Phương trình chính tắc của đường thẳng là: x  x0 y  y0 z  z0   a b c  a.b.c  0  BÀI 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNGMẶT PHẲNG 1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho 2 mp   : Ax  By  Cz  D  0;    : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 +   cắt     A : B : C  A ' : B ' : C ' ( Hai vectơ không cùng phương ). A B C D    A' B ' C ' D ' A B C D           A' B ' C ' D ' +   / /     + 2. VTTĐ giữa hai đường thẳng: PP1: Bước 1: Giải hệ pt hai đường thẳng d1 và d2: + Hệ có 1 nghiệm  d1 cắt d2; + Hệ có vô số nghiệm  d1  d2; + Hệ vô nghiệm ta có bước 2:   Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương u2 của đường thẳng d2     +Nếu u1 cùng phương u2 thì d1 // d2 ; + Nếu u1 kh ông cùng phương u2 thì d1 chéo d2   PP2: Tìm vectơ chỉ phương u1 của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương u2 của đường thẳng d2   TH1: Nếu u1 cùng phương u2 th ì ta tìm M 1  d1 + Nếu M 1  d 2  d1 / / d 2 ; + Nếu M 1  d 2  d1  d 2 13 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy   TH2: Nếu u1 không cùng phương u2 thì ta tìm M 1  d1 v à M 2  d 2       + Nếu u1 , u2  .M 1M 2  0  d1 cắt d2; + Nếu u1 , u2  .M 1M 2  0  d1 và d2 chéo nhau.   Ghi chú: 1.Đường thẳng d1  d2  u1.u2  0    2.Để chứng minh d1 và d2 chéo nhau ta chứng minh: u1 , u2  .M 1M 2  0 3. Vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng  đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ   phương u   a; b; c  và mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 có vectơ n   A; B; C        u.n  0 u  n u.n  0 u  n  a.  / /     ; b.       ; c.  cắt    u.n  0  M 0     M 0         * Chú ý:      u  k n  u, n   0     BÀI 6: KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  đến mp   : Ax  By  Cz  D  0 là: d  M0;    Ax0  By0  Cz0  D A2  B2  C2 2. Một số dạng toán về khoảng cách:  a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  có vectơ chỉ phương u   u, M0M  : d  M ,      u b.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và  2 . 1 đi qua điểm M1 và có vectơ chỉ  phương u1 ;  2 đi qua điểm     u1 , u2  .M 1M 2   M2 và có vectơ chỉ phương u 2 là: d  1, 2     u1 , u2    c.Cho đường thẳng  / /   thì d  ,     d  M ,    , với M     d.Cho mp   / /    thì d    ,      d  M ,     , với M    e.Chiều cao h của hình chóp S. ABCD: h  d  S ,  ABCD   BÀI 7: GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng 1 và  2 lần lượt có các vectơ chỉ phương là   u1   a1 ; b1; c1  , u2   a2 ; b2 ; c2  . Gọi    1 ,  2    cos  cos u1 , u2    a1a2  b1b2  c1c2 . a12  b12  c12 . a22  b22  c22   Chú ý: 1   2  u1.u2  0  2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đhẳng  có VTCP u   a;b;c và mp   có VTPT  n   A; B;C   sin   cos u, n    Aa  Bb  Cc A2  B 2  C 2 . a 2  b 2  c 2 (  l à góc giữa đường thẳng  và mp (  )) 3. Góc giữa hai mặt phẳng: 14 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT  Cho hai mp   : Ax  By  Cz  D  0 có VTPT n   A; B; C  và Tô. Huy    : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 có vectơ pháp tuyến    n '   A '; B '; C ' là: cos  cos  n, n '  AA ' BB ' CC ' 2 A  B 2  C 2 . A '2  B '2  C '2 BÀI 8: MẶT CẦU a. Phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 1. Dạng 1: Mặt cầu (S) tâm I  a; b; c  ; bán kính R có pt là:  x  a    y  b    z  c   R 2 2. Dạng 2: Pt x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  D  0  a2  b2  c2  D  0 , tâm I  a; b; c  , bán kính R  a2  b2  c2  D b. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: 2 2 2 Cho mặt cầu (S):  x  a    y  b    z  c   R 2 và mp   : Ax  By  Cz  D  0  Nếu d  I ,     R thì mp   không cắt mặt cầu (S).  Nếu d  I ,     R thì mp   tiếp xúc mặt cầu (S) tại H ( IH    tại H). Mặt phẳng   được gọi là tiếp diện của (S) tại H.  Nếu d  I ,     R thì mp   cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình là  x  a  2   y  b  2   z  c  2  R 2 Đường tròn (C) được gọi là đường tròn giao tuyến.  Ax  By  Cz  D  0   Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của tâm I trên mp   . LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH 11 I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ: 1. Các hệ thức cơ bản: 2. Công thức biểu diễn theo tanx: 1. sin 2 x  cos 2 x  1 ; 2. tanx  3. tan x  1 ; sin x cos x 1. sin2x  4. cot x  cos x sin x 1 5. 1  tan 2 x  ; 6. 1  cot 2 x  12 2 sin x cos x cot x 2 2tan x ; 2. cos 2 x  1  tan 2 x ; 3. tan 2 x  2 tan 2x 2 1 tan x 1  tan x 1  tan x 3. Các cung liên kết: a. Cung đối:  và  1. sin   k 2   sin  ; 2. cos  +k2  =cos ; 3. tan  +k  =tan ; b. Cung bù:  và    cos(  )  cos  sin(  )  sin  sin(  )   sin  cos(  )   cos  tan(  )  ta n  cot(  )   cot  ta n(  )   ta n  cot(  )   cot  d. Cung sai kém nhau  :  và    tan(    )  tan  cot(    )  cot  sin(    )   sin  cos(    )   cos  4. cot  +k   cot  ; k  Z c. Cung phụ:  và     sin      cos ; cos      sin  2  2      tan      cot ; cot      tan  2  2  e. Cung hơn kém nhau   :  và   2 2     sin     cos ; cos      sin  2  15  2      tan      cot ; cot      tan  2  2    2 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy 4. Bảng giá trị lượng giác của cung và góc đặc biệt:  00 0 sin  0 cos  1 tan  0 cot  300 450 600 900     6 1 2 4 2 2 2 3 2 1 3 2 2 3 3 2 1 2 1 3 1 1 3 3 5.Công thức cộng 1. cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b 2. cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b 3. sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b 4. sin(a b)  sin a cos b  cos asin b tan a  tan b 5. tan(a  b)  1  tan a tan b tan a  tan b 6. tan(a  b)  1  tan a tan b 1200 2 3 3 2 1  2 1 0  3 0  2  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a 2. sin 2a  2sin a cos a 3. tan 2a  2 tan 2a 3 2 1  3 1   0 0  3 1 2 3. tan 2 a  1  cos 2a 1  cos 2 a 2 7. Công thức biến đổi tích thành tổng 1  tan a 1. cos a cos b  1 [cos( a  b )  cos( a  b )] 6.2. Công thức nhân ba 1. cos 3a  4 cos3 a  3cos a 2. sin 3a  3sin a  4 sin 3 a 2 a 3. tan 3a  3tan a  tan 2 1  3 tan a cơ bản 9. Một số công thức  1. cos a  sin a  2 cos(a  ) ; 4  3. cos a  sin a  2 cos(a  ) ; 4 4 4 2 2 5. cos a sin a 1 2sin acos a ; 7. cos6 a sin6 a 13sin2 acos2 a ; sin  a  b  ; cos a.cos b PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 1. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn: biệt: 1800 1. cos 2 a  1  cos 2a ; 2. sin2 a  1 cos2a 2 1. cos 2a  cos a  sin a  9. t ana  tan b  1500 5 6 1 2 6. 3. Công thức hạ bậc: 6.1. Công thức nhân đôi 3 8. Công thức biến đổi tổng thành tích a  b a b 1. cos a  cosb  2cos cos 2 2 a  b a b 2. cos a cosb 2sin sin 2 2 a  b a b 3. sin a  sin b  2sin cos 2 2 a b a b 4. sin a  sin b  2cos sin 2 2 1 3 1350 3 4 2 2 2  2 1 1 2. sin asinb  [cos(a b) cos(a b)] 2 1 3. sin a cos b  [sin(a  b)  sin(a  b)] 2  2. cos a  sin a  2 sin(a  ) 4  4. cos a  sin a   2 sin(a  ) 4 4 4 6. cos a sin a  cos2a 8. cos6 a sin6 a  cos2a1sin2 acos2 a 10. t ana- tan b  sin  a  b  cos a.cos b 2. Phương trình lượng giác đặc 16 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT sin u = sin v Tô. Huy u  v  k 2   ( u    v  k 2 kZ) u  v  k 2 cos u = cos v   u  v  k 2 kZ) tanu = tanv  u = v + k (kZ) ( 1. sin u = 1 u 2  k 2 2 ;  k 2 2. sin u = -1  ; 3. sin u  0  u  k ( k  Z ) 4. cosu = 1 u  k 2 ;  u    k 2 ; 6. cosu  0  u  7. tan u = 1 u cotu = cotv  u = v + k (kZ)  u   4  2 u  k  4  k 5. cos u = -1 (kZ) ; 8. tan u = -1   k ; 9. tan u  0  u  k ( k  Z ) 10. cot u = 1 u    k ; 11. cot u = -1  4  u    k ; 4 12. cot u  0  u    k ( k  Z ) 2 3. Phöông trình baäc hai , bậc ba đối với một hàm số lượng giác: Đặt ẩn phụ: t  s inx; t = cosx , điều kiện: 1  t  1 ; Đặt ẩn phụ: t  s in 2 x; t = cos 2 x , điều kiện: 0  t 1; 4. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx: acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a2 + b2  0. Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: a 2  b2  c 2 . Caùch giải : chia hai vế phương trình cho a 2  b2 , đưa pt về dạng :sin u = sin v hoặc cos u = cos v 5. Phöông trình ñaúng caáp bậc hai đối với sinx vaø cosx : asin2x + bsinx cosx + c.cos2x = 0 . + Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . +Xeùt cos x  0 chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t = tanx, pt trở thành pt a.tan 2 x  b.t anx+c = 0 6. Phöông trình đối xứng : a( sinx + cosx ) + b sinxcosx + c = 0 . a) Ñaët t = sinx + cosx =   2cos  x -  , 4  ñieàu kieän  2 t  2 khi ñoù sinx.cosx = t2 1 2 Ta ñöa phöơng trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai hoặc bậc 3 theo t . Gỉai chọn t, suy ra nghiệm x. b) Phöông trình coù daïng :a( sinx - cosx ) + bsinxcosx + c = 0 . Ñaët t = sinx – cosx = 2 sin  x -   ,  4 17 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy ñieàu kieän  2  t  2 khi ñoù sinx.cosx = 1  t 2 7. Phương trình tích: A.B.C = 0  A  0  B  0  C  0 ; 2 . Ta giải tương tự 6a). 8. Tổng các bình phương:  A 2  0 A2  B 2   2  B  0 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP- TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN. XÁC SUẤT 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n; 0!=1! = 1. 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k  mà 1  k  n . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu A kn là: A kn  n.  n  1 ...  n  k  1  n! .  n  k ! 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: + Cho a, k  * : Cnk  Cnnk  0  k  n ; + Cho a, k  n * k C kn mà 1 k  n . n! Một tập hợp con của A có k k là: Cn  k! n  k !   : C nk 1  Cnk  C nk 1  n  n 1 ... n  k 1 k! 1  k  n  n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n 4. Khai triển nhị thức Niutơn:  a  b  Cn a b  Cn a  Cn a b  ..  Cn a b  ..  Cn b k 0 Nhận xét: + Trong khai triển nhị thức Niuton ( a+b)n có n + 1 số hạng. + Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. + Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. + Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: T k  1  C kn a n  k b k 0 1 2 n n + C n  C n  C n  ...  C n  2 ; k n + C0n  C1n  C n2  C3n  ...   1 Cnk  ...   1 Cnn  0 . 5. XAÙC SUAÁT 1. Bieán coá Khoâng gian maãu : laø taäp caùc keát quaû coù theå xaûy ra cuûa moät pheùp thöû. Bieán coá A: laø taäp caùc keát quaû cuûa pheùp thöû laøm xaûy ra A. A  . Bieán coá khoâng: ; Bieán coá chaéc chaén: ; Bieán coá ñoái cuûa A: A   \ A ; Hôïp hai bieán coá: A  B .Giao hai bieán coá: A  B (hoaëc A.B); Hai bieán coá xung khaéc: biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.A  B =  18 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy Hai bieán coá ñoäc laäp: neáu xác suất xaûy ra bieán coá naøy khoâng aûnh höôûng ñeán xác suất xaûy ra của bieán coá kia. 2. Xaùc suaát Xaùc suaát cuûa bieán coá: P(A) =  n( A) = A n( )  ; 0  P(A)  1; P() = 1; P() = 0 (Với n(A): là số trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra; n(  ) là số trường hợp đồng khả năng của không gian mẫu) Xác suất của biến cố đối: P( A ) = 1 – P(A); Qui taéc coäng: nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B). Vôùi A, B baát kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B); Qui taéc nhaân: Neáu A, B ñoäc laäp thì P(A.B) = P(A). P(B) (Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng: a  c  2b . Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: a.c  b 2 ) ĐẠI SỐ 10 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a  0) (1) , ta có:  = b2 – 4ac >0 b  b  x1  , x2  2a =0 2a Nghiệm kép x1  x 2   <0 b 2a Vô nghiệm Nếu phương trình bậc 2: ax2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x1 , x2 (a  0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó thỏa: Hệ thức Vi-ét: b   x1  x2   a   x .x  c  1 2 a Chú ý: + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = 1 và x2 = c a + Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 và x2 =  c a Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương trình: x2 – S.x + P = 0 2 .PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN a/ B  0 ; AB 2 A  B  b/ A  B A B  A  0 (hayB  0) 3 .BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN 19 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT a/ Tô. Huy A  0  ; A  B  B  0  A  B2  B  0 B  0 AB  2 A  0 A  B b/ ; A  0  A  B  B  0  A  B2  c/ 4 .PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI a/ A  B   A  B   A   B ; b/ A  B   A  B ; B  0  A  B B  0 5.BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI  B  A  B ; AB B  0 a/ b/ A  B  A  B  A  B ; c/ A  B  A2  B 2 6. a. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) Cho hai số không âm a; b . Ta có: ab  ab . Dấu “=” xảy ra khi a = b. 2 b. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI  x  0 nếu x  0 x  nếu x < 0  x  0 và -x  |x| .Từ định nghĩa suy ra: với mọi x  R ta có: |x|  0; |x|2 = x2; x  |x| Định lí: Với mọi số thực a và b ta có: |a + b|  |a| + |b| (1); |a – b|  |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b  0; |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b  0 HÌNH HỌC 10 I. PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG Baøi 1. VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ    1. Điểm M ( x, y)  OM  xe1  ye2 . 2. Cho A( xA, yA ), B( xB, yB );  a. AB  ( x B  x A , y B  y A ) ; b. AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A) 2 ; c. Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB : x A  xB   x  2  y  y  A  yB  2 d. Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k  1 :  x  k .x B  x A  1 k  y  y  A  k. y B  1 k  3.Pheùp toaùn : Cho a  (a1 , a 2 ) , b  (b1 , b2 )   a1  b1 ; a 2  b2 a. a  b    e. a  a1 2  a 2 2 ;   b. a  b  (a1  b1 , a 2  b2 ) ;   f. a  b  a1b1  a 2 b2  0 ;    d. a b  a1b1  a 2 b2 a1b1  a 2 b2   g. Cos a , b   Baøi 2 . ÑÖÔØNG THAÚNG 20  c. m. a  (ma1 , ma2 ) ; 2 2 2 a1  a 2 . b1  b2 2
- Xem thêm -