Lý thuyÕt Hµm suy réng vµ Kh«ng gian Sobolev
§Æng Anh TuÊn
Hµ Néi, ngµy 20- 11- 2005
Ch¬ng 1
C¸c kh«ng gian hµm c¬ b¶n vµ kh«ng
gian hµm suy réng
1.1
Mét sè kiÕn thøc bæ sung
1.1.1
Mét sè ký hiÖu
N = {1, 2, . . . } lµ tËp c¸c sè tù nhiªn, Z+ = {0, 1, 2, . . . } lµ tËp c¸c sè nguyªn kh«ng
√
−1
©m, R lµ tËp c¸c sè thùc, C lµ tËp c¸c sè phøc. §¬n vÞ ¶o
= i.
n
Víi mçi sè tù nhiªn n ∈ N, tËp Z+ = {α = (α1 , . . . , αn )αj ∈ Z+ , j = 1, . . . , n}, tËp
Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn )xj ∈ R, j = 1, 2, . . . } lµ kh«ng gian thùc n chiÒu víi chuÈn
Euclid
kxk =
n
X
x2j
12
.
j=1
NÕu kh«ng cã g× ®Æc biÖt, ký hiÖu
Víi mçi
k ∈ Z+
Ω lµ tËp më trong Rn .
ký hiÖu c¸c tËp nh sau:
liªn tôc
C k (Ω) = {u : Ω → Cu kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k}, C(Ω) = C 0 (Ω) = {u : Ω −→ C},
C0k (Ω) = {u : Ω → Cu ∈ C k (Ω), supp u lµ tËp compact}, C0 (Ω) = C00 (Ω),
k
∞
∞
k
C ∞ (Ω) = ∩∞
k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω),
supp u = cl{x ∈ Ωu(x) 6= 0}.
Víi mçi sè thùc 1 ≤ p < ∞, ký hiÖu
trong ®ã,
p
L (Ω) = {u :
víi
®®
−→ C
ΩLebesgue
Z
|u(x)|p < +∞},
Ω
p = ∞, ký hiÖu
®®
−→ Cess sup |u(x)| < +∞},
L∞ (Ω) = {u : ΩLebesgue
x∈Ω
2
ess supx∈Ω |u(x)| = inf{M > 0m{x ∈ Ω|u(x)| > M } = 0}.
Víi 1 ≤ p ≤ ∞, ký hiÖu
®®
−→ Cu ∈ Lp (ω), víi mäi tËp con ®o ®îc ω ⊂⊂ Ω}
Lploc (Ω) = {u : ΩLebesgue
®®
−→ Cu ∈ Lp (Ω), ∃ω ⊂⊂ Ω : u(x) = 0 h.k.n. trong Ω \ ω},
Lpcompact (Ω) = {u : ΩLebesgue
trong ®ã,
ω ⊂⊂ Ω nghÜa lµ bao ®ãng cl(ω) lµ tËp compact trong Ω.
∞
n
Víi mçi hµm u ∈ C (Ω), α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Z+ ký hiÖu
trong ®ã,
α
D u=
Khi ®ã, víi
α
β
trong ®ã,
mµ
D1α1 D2α2
α
. . . Dnαn u, Dj j
∂ αj
=
α , j = 1, 2, . . . .
∂xj j
u, v ∈ C ∞ (Ω), α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Zn+ cã c«ng thøc Leibnitz
X α
α
Dβ uDα−β v,
D (uv) =
β
β≤α
=
Qn
j=1
αj
βj
,
αj
βj
=
αj !
,
βj !(αj −βj )!
P
lµ tæng lÊy trªn tËp c¸c ®a chØ sè
β ∈ Zn+
β≤α
β ≤ α, nghÜa lµ 0 ≤ βj ≤ αj , j = 1, 2, . . . , n.
1.1.2
Ph©n ho¹ch ®¬n vÞ
Ω lµ mét tËp trong Rn . Mét hä ®Õm ®îc c¸c cÆp {(Ωj , ϕj )}∞
j=1 , trong
n
n
®ã Ωj lµ tËp më trong R , ϕj lµ hµm thuéc líp c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n trªn R , ®îc gäi lµ
mét ph©n ho¹ch ®¬n vÞ cña tËp Ω nÕu c¸c tÝnh chÊt sau ®îc tho¶ m·n:
§Þnh nghÜa 1.1. Cho
(i)
{Ωj }∞
=1
(ii)
lµ mét phñ më cña
Ω, (Ω ⊂ ∪∞
j=1 Ωj , Ωj
lµ tËp më),
0 ≤ ϕj (x) ≤ 1, ∀x ∈ Ω, j = 1, 2, . . . ,
ϕj ∈ C0∞ (Rn ), supp ϕj ⊂ Ωj , j = 1, 2, . . . ,
P∞
(iv)
j=1 ϕj (x) = 1, ∀x ∈ Ω.
(iii)
Ta cßn gäi
{ϕj }∞
j=1
lµ ph©n ho¹ch ®¬n vÞ øng víi phñ më
{Ωj }∞
j=1
cña tËp
Ω.
Rn , hä h÷u h¹n {Uj }N
j=1 lµ mét phñ më cña
N
K. Khi ®ã, tån t¹i mét hä h÷u h¹n c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n {ϕj }j=1 x¸c ®Þnh mét ph©n ho¹ch
N
®¬n vÞ øng víi phñ më {Uj }j=1 cña tËp K.
§Þnh lý 1.1. Cho
K
lµ mét tËp compact trong
§Ó chøng minh ®Þnh lý ta cÇn mét sè kÕt qu¶ sau.
n
Tõ ®©y trë ®i, ký hiÖu hµm ρ : R → R lµ hµm ®îc x¸c ®Þnh nh sau
(
ρ(x) :=
trong ®ã,
C
lµ h»ng sè sao cho
§Ó ý r»ng, hµm
ρ
R
1
Ce ||x||2 −1 ,
0,
ρ(x)dx = 1.
Rn
cã c¸c tÝnh chÊt sau
nÕu||x||
< 1,
nÕu ||x|| ≥ 1,
3
ρ ∈ C0∞ (Rn ), supp ρ = B̄1 (0) = {x ∈ Rn ||x|| ≤ 1}, ρ(x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn ,
R
(ii)
ρ(x)dx = 1, ρ lµ hµm chØ phô thuéc vµo ||x||(radial function).
Rn
(i)
Víi mçi
> 0, ®Æt ρ (x) = −n ρ( x ). Hµm ρ
còng cã c¸c tÝnh chÊt cña hµm
ρ:
ρ ∈ C0∞ (Rn ), supp ρ = B̄ (0) = {x ∈ Rn ||x|| ≤ 1}, ρ (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn ,
R
(ii)
ρ (x)dx = 1, ρ lµ hµm chØ phô thuéc vµo ||x||(radial function).
Rn
(i)
Víi mçi hµm
f ∈ L1loc (Rn ), ®Æt
Z
f (x) = (f ∗ ρ )(x) =
f (y)ρ (x − y)dy.
Rn
ViÖc ®Æt nµy lµ cã nghÜa v×
Z
Z
f (y)ρ (x − y)dy =
f (x − y)ρ (y)dy =
Rn
Rn
MÖnh ®Ò 1.2. Cho
(i)
Z
f (x − y)ρ (y)dy.
B̄ (0)
f ∈ L1loc (Rn ). Khi ®ã, ta cã c¸c kÕt luËn sau.
f ∈ C ∞ (Rn ).
(ii) NÕu
supp f = K ⊂⊂ Rn
th×
f ∈ C0∞ (Rn ), supp f ⊂ K = {x ∈ Rn d(x, K) ≤ }.
(iii) NÕu
f ∈ C(Rn ) th× lim sup |f (x) − f (x)| → 0, ∀K ⊂⊂ Rn .
(iv) NÕu
f ∈ Lp (Rn )(1 ≤ p < ∞) th× f ∈ Lp (Rn ), vµ f −→ f
→0+ x∈K
Lp
khi
→ 0+ .
Chøng minh. (i) DÔ dµng chøng minh tõ ®¼ng thøc sau
Z
Z
Dxα (
(ii)Do
supp f = K
f (y)ρ (x − y)dy) =
Rn
Rn
f (y)Dxα ρ (x − y)dy.
nªn
Z
Z
f (y)ρ (x − y)dy =
f (x) =
Rn
f (y)ρ (x − y)dy.
K
x 6∈ K , nghÜa lµ d(x, K) > hay ||x−y|| > , ∀y ∈ K. Mµ supp ρ ∈ B̄ (0)
nªn ρ (x − y) = 0, ∀y ∈ K. Do ®ã, f (x) = 0 khi x 6∈ K hay supp f ⊂ K .
Khi ®ã, víi mçi
(iii) DÔ thÊy
Z
f (x − y) − f (x) ρ(y)dy =
f (x) − f (x) =
Rn
nªn
Z
f (x − y) − f (x) ρ(y)dy
B̄1 (0)
|f (x) − f (x)| ≤ sup |f (x − y) − f (x)|
y∈B̄ (0)
f ∈ C(Rn ) cã f liªn tôc ®Òu trªn tõng tËp compact K ⊂ Rn
n
do ®ã lim sup |f (x) − f (x)| → 0, ∀K ⊂⊂ R .
mµ
→0+ x∈K
4
MÖnh ®Ò 1.3. Cho
(i)
K ⊂⊂ Rn . Khi ®ã, víi mçi > 0, cã mét hµm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) tho¶ m·n
0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, ∀x ∈ Rn ,
supp ϕ ⊂ K ,
(ii)
(iii)
ϕ(x) = 1, ∀x ∈ K 2 .
Chøng minh. LÊy hµm ®Æc trng cña tËp
(
χ(x) :=
Cã
K 3
4
1,
0,
x ∈ K 3 ,
4
nÕu x 6∈ K 3 .
nÕu
4
χ ∈ L1 (Rn ) ⊂ L1loc (Rn ), supp χ = K 3 , nªn theo MÖnh ®Ò 1.2 cã
(i)
(ii)
4
χ ∗ ρ 4 ∈ C0∞ (Rn ),
supp(χ ∗ ρ 4 ) ⊂ K ,
(iii)0
≤ (χ ∗ ρ 4 )(x), ∀x ∈ Rn .
§Ó ý r»ng,
Z
(χ ∗ ρ 4 )(x) =
B̄ (0)
χ(x − y)ρ 4 (y)dy
4
nªn
(i)
(χ ∗ ρ 4 )(x) ≤
(ii) NÕu
x ∈ K 2
R
B̄ (0)
4
th×
ρ 4 (y)dy = 1,
(x − y) ∈ K 3 , ∀y ∈ B̄ 4 , do ®ã (χ ∗ ρ 4 )(x) =
4
Chøng minh. Chøng minh §Þnh lý 1.1. Tõ gi¶ thiÕt
më cña
K
K
R
B̄ (0)
lµ tËp compact,
4
ρ 4 (y)dy = 1.
{Uj }N
j=1
lµ mét phñ
cã
W1 := K\(∪N
j=2 Uj ) ⊂⊂ U1
nªn tån t¹i
1 > 0 sao cho
W1 ⊂ W1 + B1 (0) ⊂ U1 .
Theo MÖnh ®Ò 1.3 cã mét hµm nhËn gi¸ trÞ trong kho¶ng
(0, 1) lµ ψ1 ∈ C0∞ (Rn ) sao cho
V1 := W1 + B 21 (0) ⊂ supp ψ1 ⊂ W1 + B1 ⊂ U1 .
L¹i cã,
W1 := K\(∪N
j=2 Uj ) ⊂ V1
mµ
V1
lµ tËp më nªn
W2 := K\(V1 ∪ (∪N
j=3 Uj )) ⊂⊂ U2 .
5
Do ®ã, tån t¹i
2 > 0 sao cho
W2 ⊂ W2 + B2 (0) ⊂ U2 .
Theo MÖnh ®Ò 1.3, cã mét hµm nhËn gi¸ trÞ trong kho¶ng
(0, 1) lµ ψ2 ∈ C0∞ (Rn ) sao cho
V2 := W2 + B 22 (0) ⊂ supp ψ2 ⊂ W2 + B2 ⊂ U2 .
Cø nh thÕ ta x©y dùng ®îc d·y c¸c hµm
(i)
{ψj }N
j=1
tho¶ m·n
ψj ∈ C0∞ (Rn ),
Vj := Wj + B j (0) ⊂ supp ψj ⊂ Wj + Bj ⊂ Uj ,
(ii)
2
(iii)
PN
ψj (x) > 0, ∀x ∈ ∪N
j=1 Vj (⊃ K),
(iv)
PN
ψj (x) < N + 1, ∀x ∈ Rn .
Cã
j=1
j=1
K ⊂⊂ ∪N
j=1 Vj
nªn tån t¹i mét sè
> 0 sao cho
K ⊂ K + B (0) ⊂ ∪N
j=1 Vj .
Theo MÖnh ®Ò 1.3 cã mét hµm kh«ng ©m
(i)
(ii)
φ tho¶ m·n
φ ∈ C0∞ (Rn ),
K ⊂ K + B 2 (0) ⊂ supp φ ⊂ K + B ⊂ ∪N
j=1 Vj ,
(iii)0
≤ φ(x) ≤ 1, ∀x ∈ Rn , φ(x) = 1, ∀x ∈ K + B (0).
§Æt
ϕj (x) :=
ψj (x)
P
PN
N
φ(x)
k=1 ψk (x)
k=1 ψk (x) + (1 − φ(x)) N + 1 −
cã
(i)
0 ≤ ϕj (x) ≤ 1, ∀x ∈ K, j = 1, 2, . . . ,
ϕj ∈ C0∞ (Rn ), supp ϕj ⊂ Uj , j = 1, 2, . . . ,
P∞
(iii)
j=1 ϕj (x) = 1, ∀x ∈ K.
(ii)
Chó ý.
§Ó x©y dùng c¸c hµm
ϕj
tõ
ψj
ta cã thÓ dïng mét trong hai c¸ch sau:
(
φ(x)ψj (x)
PN
,
k=1 ψk (x)
nÕu
x ∈ supp φ,
0,
nÕu
x 6∈ supp φ,
(i) thø nhÊt
ϕj (x) :=
(ii) thø hai
ϕ1 (x) = ψ1 (x), ϕ2 (x) = (1 − ψ1 (x))ψ2 (x), . . . , ϕN (x) = ψN (x)
N
−1
Y
j=1
(1 − ψj (x)).
6
1.2
D(Ω),
Kh«ng gian hµm c¬ b¶n
D0(Ω)
réng
1.2.1
kh«ng gian hµm suy
Kh«ng gian hµm c¬ b¶n
D(Ω)
∞
§Þnh nghÜa 1.2. Kh«ng gian D(Ω) lµ kh«ng gian gåm c¸c hµm ϕ ∈ C0 (Ω) víi kh¸i niÖm
∞
∞
∞
héi tô sau: d·y {ϕj }j=1 c¸c hµm trong C0 (Ω) ®îc gäi lµ héi tô ®Õn hµm ϕ ∈ C0 (Ω) nÕu
(i) cã mét tËp compact
(ii) lim sup |D
j→∞ x∈Ω
α
Khi ®ã, ta viÕt lµ
Chó ý.
1.NÕu
K ⊂ Ω mµ supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, . . . ,
ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ .
ϕ = D− lim ϕj .
j→∞
ϕ = D− lim ϕj
j→∞
th×
supp ϕ ⊂ K.
D(Ω) lµ phï hîp víi cÊu tróc tuyÕn
λ, µ ∈ C, ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ D(Ω), k = 1, 2, . . . , cã
2. Kh¸i niÖm héi tô trªn
nÕu
D− lim ϕk = ϕ, D− lim ψk = ψ
k→∞
k→∞
3. H¬n thÕ, ta cßn cã thÓ chøng minh nÕu
D− lim φϕj .
j→∞
ThËt vËy, do nÕu
ϕk (x) = 0
th×
D(Ω), nghÜa lµ,
nÕu
D− lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ.
k→∞
φ ∈ C ∞ (Ω),
th×
tÝnh trªn
vµ
φ(x)ϕk (x) = 0
ϕ = D− lim ϕj
j→∞
nªn
th×
φϕ =
supp(φϕk ) ⊂ supp ϕk ,
α ∈ Zn+
X α
α
D (φϕk )(x) =
Dβ φ(x)Dα−β ϕk (x)
β
β≤α
vµ theo c«ng thøc Leibnitz cã víi mçi
mµ
ϕ = D− lim ϕj
j→∞
nghÜa lµ
(i) cã mét tËp compact
(ii)
K ⊂ Ω mµ supp ϕk ⊂ K, k = 1, 2, . . . ,
lim sup |Dα ϕk (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ ,
k→∞ x∈Ω
do ®ã,
(i)supp(D
α
ϕk ) ⊂ K, k = 1, 2, . . . , ∀α ∈ Zn+
nªn
supp(φϕk ) ⊂ K, supp(Dα (φϕk )) ⊂ K, k = 1, 2, . . . ,
(ii)
sup |Dα (φϕk )(x) − Dα (φϕ)(x)| ≤ C
x∈Ω
P
sup |Dβ φ(x)| sup |Dβ ϕk (x) − Dβ ϕ(x)|
β≤α x∈K
x∈Ω
β≤α
nªn
lim sup |Dα (φϕk )(x) − Dα (φϕ)(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ .
k→∞ x∈Ω
7
Víi mçi
(i)
α ∈ Zn+ , phÐp to¸n ®¹o hµm Dα
lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc trong
D(Ω), nghÜa lµ
Dα ϕ ∈ D(Ω), supp Dα ϕ ⊂ supp ϕ,
(ii) nÕu
(iii) nÕu
Nh vËy,
λ, µ ∈ C, ϕ, ψ ∈ D(Ω) th× Dα (λϕ + µψ) = λDα ϕ + µDα ψ,
D− lim ϕk = 0 th× D− lim Dα ϕk = 0.
k→∞
k→∞
P
to¸n tö vi ph©n tuyÕn tÝnh P =
aα (x)Dα , aα ∈ C ∞ (Ω)
lµ to¸n tö vi ph©n
|α|≤m
D(Ω) mµ supp P u ⊂ supp u, ∀u ∈ D(Ω). Peetre, J. ®· chøng minh
∞
®îc r»ng nÕu to¸n tö tuyÕn tÝnh P trªn C0 (Ω) tho¶ m·n tÝnh chÊt supp P u ⊂ supp u, ∀u ∈
C0∞ (Ω) th× P lµ to¸n tö vi ph©n.
∞
4. D·y {ϕj }j=1 ®îc gäi lµ mét d·y Cauchy trong D(Ω) nÕu
tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn
(i) cã mét tËp compact
(ii) lim sup |D
j→∞ x∈K
k→∞
α
K ⊂ Rn
mµ
supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, . . . ,
ϕj (x) − Dα ϕk (x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ .
P
ϕk ∈ D(Ω), k = 1, 2, . . . , chuçi h×nh thøc ∞
k=1 ϕk
Pk
∞
nÕu d·y c¸c tæng riªng {
j=1 ϕj }k=1 héi tô trong D(Ω).
5. Cho
MÖnh ®Ò 1.4. Kh«ng gian
Chøng minh. LÊy d·y
(ii) lim sup |D
j→∞ x∈K
k→∞
α
D(Ω)
D(Ω) lµ ®ñ.
{ϕj }∞
j=1
(i) cã mét tËp compact
®îc gäi lµ héi tô trong
lµ mét d·y Cauchy trong
D(Ω) th×
K ⊂ Ω mµ supp Dα ϕj ⊂ K, j = 1, 2, . . . , ∀α,
ϕj (x) − Dα ϕk (x)| = 0, ∀α ∈ Zn+
α d·y {Dα ϕj }∞
j=1 lµ d·y Cauchy trong kh«ng gian C(K) víi chuÈn sup, mµ
α
kh«ng gian C(K) víi chuÈn sup lµ kh«ng gian ®ñ, do ®ã cã mét hµm ϕ ∈ C(Ω) sao cho
nªn víi mçi
(i)
supp ϕα ⊂ K,
(ii) lim sup |D
j→∞ x∈K
α
ϕj (x) − ϕα (x)| = 0.
Ta sÏ chøng minh
(i)
supp Dα ϕ0 ⊂ K,
(ii) lim sup |D
j→∞ x∈Ω
hay
ϕα = Dα ϕ0 . Khi ®ã, ϕ0 ∈ C0∞ (Ω) vµ
α
ϕj (x) − Dα ϕ0 (x)| = lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ0 (x)| = 0.
j→∞ x∈K
ϕ0 = D− lim ϕj .
j→∞
§Ó chøng minh ®iÒu nµy ta chØ cÇn chøng minh khi
j
z}|{
α = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0) ta chøng minh t¬ng tù.
α = (1, 0, . . . , 0).
C¸c trêng hîp
Sau ®ã, b»ng qui n¹p ta chøng minh
cho c¸c trêng hîp cßn l¹i.
§iÒu nµy lµ hiÓn nhiªn v×
trong
K.
D1 ϕ j
héi tô ®Òu ®Õn
ϕ(1,0,...,0)
trong
K,
vµ
ϕj
héi tô ®Òu ®Õn
ϕ0
8
1.2.2
D0 (Ω)
Kh«ng gian hµm suy réng
§Þnh nghÜa 1.3. Ta nãi r»ng
f
lµ mét hµm suy réng trong
D(Ω).
0
Hµm suy réng f ∈ D (Ω) t¸c ®éng lªn mçi ϕ ∈ D(Ω)
0
réng f, g ∈ D (Ω) ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu
Ω nÕu f
lµ mét phiÕm hµm tuyÕn
tÝnh liªn tôc trªn
®îc viÕt lµ
hf, ϕi.
Hai hµm suy
hf, ϕi = hg, ϕi, ∀ϕ ∈ D(Ω).
TËp tÊt c¶ c¸c hµm suy réng trong
Chó ý.
Trªn
D0 (Ω)
Ω lËp thµnh kh«ng gian D0 (Ω).
cã thÓ x©y dùng mét cÊu tróc kh«ng gian vect¬ trªn
C,
nghÜa lµ ta cã
thÓ ®Þnh nghÜa c¸c phÐp to¸n tuyÕn tÝnh nh sau
f, g ∈ D0 (Ω) tæng f + g
(i) phÐp céng: víi
®îc x¸c ®Þnh nh sau
f + g : ϕ 7→ hf + g, ϕi = hf, ϕi + hg, ϕi, ϕ ∈ D(Ω),
khi ®ã,
f + g ∈ D0 (Ω), nghÜa lµ, f + g
(ii) phÐp nh©n víi sè phøc: víi
lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn
λ ∈ C, f ∈ D0 (Ω) tÝch λf
D(Ω),
®îc x¸c ®Þnh nh sau
λf : ϕ 7→ hλf, ϕi = λhf, ϕi, ϕ ∈ D(Ω),
khi ®ã,
λf ∈ D0 (Ω), nghÜa lµ, λf
lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn
D(Ω).
∞
H¬n thÕ, ta cßn cã thÓ ®Þnh nghÜa phÐp nh©n víi mét hµm trong C (Ω).
∞
0
0
Víi φ ∈ C (Ω), f ∈ D (Ω) tÝch φf ∈ D (Ω) ®îc x¸c ®Þnh nh sau
φf : ϕ 7→ hφf, ϕi = hf, φϕi, ϕ ∈ D(Ω),
φf ∈ D0 (Ω).
0
ThËt vËy, do f ∈ D (Ω) nªn dÔ thÊy φf : D(Ω) → C lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.
∞
§Ó chøng minh φf liªn tôc ta lÊy d·y {ϕk }k=1 mµ D− lim ϕk = 0 ta chøng minh lim hφf, ϕk i =
khi ®ã,
lim hf, φϕk i = 0. §iÒu nµy lµ hiÓn nhiªn v× f
k→∞
VÝ dô
1. Víi mçi
f∈
k→∞
liªn tôc vµ
D− lim φϕk = 0.
k→∞
k→∞
1
Lloc (Ω) ®îc coi lµ mét hµm suy réng b»ng c¸ch sau
Z
f : ϕ 7→ hf, ϕi =
f (x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(Ω).
Ω
Nh vËy, cã thÓ coi
L1loc (Ω)
lµ tËp con cña
D0 (Ω).
Hµm suy réng
f ∈ L1loc (Ω)
®îc gäi lµ
hµm suy réng chÝnh quy.
1
Víi f, g ∈ Lloc (Ω), th× sù b»ng nhau theo nghÜa hµm suy réng vµ theo nghÜa th«ng thêng
lµ nh nhau, nghÜa lµ
f, g ∈
L1loc (Ω),
Z
Z
f (x)ϕ(x)dx =
Ω
VÝ dô
g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω)
Ω
2. Hµm Dirac:
δ : ϕ 7→ hδ, ϕi = ϕ(0), ϕ ∈ D(Ω).
th×
f = g, h.k.n
trong
Ω.
9
1.2.3
§¹o hµm suy réng
Trong trêng hîp mét biÕn, ¸p dông c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn cho
∞
C0 (R) cã
Z
+∞
0
f (x)ϕ(x)dx =
f (x)ϕ(x)|+∞
−∞
+∞
Z
−
−∞
Z
0
+∞
f (x)ϕ0 (x)dx.
f (x)ϕ (x)dx = (−1)
−∞
f ∈ C 1 (R), ϕ ∈
−∞
Nh vËy, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa ®¹o hµm cña mét hµm nh mét hµm suy réng. Ngoµi ra, b»ng
1
c¸ch ®Þnh nghÜa nh vËy ta cã thÓ ®Þnh nghÜa ®¹o hµm cho hµm f ∈ Lloc (R).
f ∈ D0 (Ω), α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Zn+ . §¹o hµm suy réng cÊp α
α
hµm suy réng f trong Ω, ký hiÖu lµ D f, lµ ¸nh x¹ tõ D(Ω) vµo C ®îc x¸c ®Þnh bëi
§Þnh nghÜa 1.4. Cho
cña
Dα f : ϕ 7→ (−1)|α| hf, Dα ϕi, ϕ ∈ D(Ω).
α ∈ Zn+ , f ∈ D0 (Ω), ®¹o hµm suy réng cÊp α cña hµm suy réng f trong Ω
α
lµ mét hµm suy réng, nãi c¸ch kh¸c, ®¹o hµm suy réng D f lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn
tôc tõ D(Ω) vµo C, v×
Chó ý.
•
Víi mçi
víi mçi
λ, µ ∈ C, ϕ, ψ ∈ D(Ω) cã
hDα f, λϕ + µψi = (−1)|α| hf, Dα (λϕ + µψ)i = (−1)|α| (λhf, Dα ϕi + µhf, Dα ψi)
= λhDα f, ϕi + µhDα f, ψi
•
víi
ϕk ∈ D(Ω), k = 1, 2, . . . , D− lim ϕk = 0 th× D− lim Dα ϕk = 0, α ∈ Zn+
k→∞
k→∞
nªn
lim hDα f, ϕk i = lim hf, Dα ϕk i = 0.
k→∞
Víi mçi
k→∞
α, β ∈ Zn+ , f ∈ D0 (Rn ) cã ®¹o hµm suy réng cÊp α, β, α + β
lµ
Dα f, Dβ f, Dα+β f
vµ
Dα+β f = Dα (Dβ f ) = Dβ (Dα f ).
j
Do ®ã,
α
Dα = D1α1 D2α2 . . . Dnαn , víi Dj j
j
z}|{
z}|{
(0,...,0, 1 ,0,...,0)
(0,...,0, 1 ,0,...,0)
= |D
.{z
..D
}, vµ thø tù
αj
lÇn
cã thÓ thay ®æi.
f ∈ L1loc (Ω)
VÝ dô
3. NÕu
VÝ dô
4. Hµm Heaviside
cã ®¹o hµm cÊp
α
theo nghÜa th«ng thêng
α
®¹o hµm theo nghÜa suy réng cña hµm suy réng f còng lµ D f.
(
θ(t) :=
cã ®¹o hµm suy réng
Dθ(t) = δ(t).
1,
0,
t > 0,
nÕu t ≤ 0.
nÕu
Dα f ∈ L1loc (Ω)
th×
10
VÝ dô
5. Cho
α
D (ϕf ) =
f ∈ D0 (Ω), ϕ ∈ C ∞ (Ω) cã
X α
β≤α
VÝ dô
6. §Æt
β
β
D ϕD
α−β
f, trong ®ã
Y
n
α
αj
αj
αj !
.
=
,
=
βj !(αj − βj )!
β
βj
βj
j=1
E(x) = (2π)−1 ln ||x||, nÕu x ∈ R2 \{0}, cßn víi n ≥ 3 ®Æt
E(x) = −
1
||x||2−n , x ∈ Rn \{0},
(n − 2)cn
n
lµ diÖn tÝch mÆt cÇu ®¬n vÞ trong trong gian R .
0
n
2
2
Khi ®ã, ∆E = δ trong D (R ), ∆ = D1 + . . . Dn .
n
1
ThËt vËy, tríc hÕt ta chøng minh E ∈ Lloc (R ). DÔ dµng thÊy
víi
cn
®iÓm
E
x 6= 0, vµ víi x 6= 0 cã
1
1
xj ||x||−n , Dj2 E(x) = (||x||2 − nx2j )||x||−n
cn
cn
2
2
∆E(x) = D1 E(x) + . . . Dn E(x) = 0.
Dj E(x) =
Nh vËy ®Ó chøng minh
vÞ
kh¶ vi v« h¹n t¹i mäi
E ∈ L1loc (Rn ) ta chØ cÇn chøng minh E
chó ý
c2 = 2π
kh¶ tÝch trong h×nh cÇu ®¬n
B1 (0). B»ng c¸ch chuyÓn sang hÖ to¹ ®é cÇu ta cã
(R 2π R 1
Z
1
ln(r)rdrdθ
0
E(x)dx =
R 0 c2 R 1 1
− ||x||=1 0 (n−2)cn r2−n rn−1 drdS
B1 (0)
nÕu
n = 2,
nÕu
n ≥ 3,
hay
E(x)dx =
B1 (0)
R1 r
r 2 ln r 1
ln(r)rdr
=
dr =
−
2
0
0 2
0
R1 1
−1
− 0 (n−2) rdr = 2(n−2)
(R 1
Z
−1
4
nÕu
n = 2,
nÕu
n ≥ 3.
ϕ ∈ C0∞ (Rn ) cã mét sè R > 0 ®Ó supp ϕ ∈ BR (0), khi ®ã, theo c«ng thøc Gauss
cho h×nh { ≤ ||x|| ≤ R} víi hai biªn { = ||x||}, {||x|| = R}
Z
hDj E, ϕi = − hE, Dj ϕi = − lim
E(x)Dj ϕ(x)dx
→0+ ≤||x||≤R
Z
Z
1
xj
−n
= lim
xj ||x|| ϕ(x)dx + lim
E(x)ϕ(x)
dS
→0+ ≤||x||≤R cn
→0+ =||x||
||x||
Z
xj
− lim
E(x)ϕ(x)
dS
→0+ ||x||=R
||x||
Víi
x
j
ϕ(x) = 0, ||x|| ≥ R, vµ trªn biªn { = ||x||} th× |E(x)ϕ(x) ||x||
| lµ v« cïng bÐ O(ln( 1 ))
R
xj
2−n
nÕu n = 2 vµ O(
) nÕu n ≥ 3 nªn =||x|| E(x)ϕ(x) ||x||
dS lµ v« cïng bÐ O( ln( 1 )) nÕu
n = 2 vµ O() nÕu n ≥ 3 khi → 0+ nªn
Z
1
hDj E, ϕi = lim
xj ||x||−n ϕ(x)dx.
→0+ ≤||x||≤R cn
mµ
11
nªn ®¹o hµm suy réng
Dj E
cã thÓ viÕt díi d¹ng mét hµm kh¶ tÝch ®Þa ph¬ng
Dj E(x) =
1
xj ||x||−n .
cn
L¹i cã
hDj2 E, ϕi
mµ
Z
= − hDj E, Dj ϕi = − lim
Dj E(x)Dj ϕ(x)dx
→0+ ≤||x||≤R
Z
1
(||x||2 − nx2j )||x||−n ϕ(x)dx
= lim
→0+ ≤||x||≤R cn
Z
xj
− lim
Dj E(x)ϕ(x)
dS
→0+ ||x||=R
||x||
Z
x2j
ϕ(x)
+ lim
dS
→0+ ||x||=
cn ||x||n+1
ϕ(x) = 0, ||x|| ≥ R nªn
1
h∆E, ϕi = lim
→0+ cn n−1
hay
Z
ϕ(x)dS = ϕ(0) = hδ, ϕi,
||x||=
∆E = δ.
VÝ dô
7. Trong
Rn+1 , ký hiÖu (x, t) ∈ Rn × R vµ
E(x, t) = (4πt)
Khi ®ã,
−n
2
e−
||x||2
4t
, t > 0, , E(x, t) = 0, t ≤ 0.
E ∈ C ∞ (Rn+1 \{0}) ∩ L1loc (Rn+1 ), vµ
(Dt − ∆x )u = δ.
VÝ dô
8. Trong
R2 , ký hiÖu (x, t) ∈ R × R vµ
1
E1 (x, t) = θ(t − |x|).
2
(Dt2 − Dx2 )E1 (x, t) = δ.
3
2
Trong R , ký hiÖu (x, t) ∈ R × R vµ
Khi ®ã,
E2 (x, t) =
θ(t − ||x||)
p
, t 6= ||x|| , E(x, t) = 0, t = ||x||.
2π t2 − ||x||2
(Dt2 − ∆x )E2 (x, t) = δ.
4
3
Trong R , ký hiÖu (x, t) ∈ R × R vµ
Khi ®ã,
E3 (x, t) =
Khi ®ã,
(Dt2 − ∆x )E3 (x, t) = δ.
1
θ(t)δ(t2 − ||x||2 ).
2π
12
Ω = R, víi f, F ∈ D0 (R), ta nãi F lµ nguyªn hµm suy réng cña hµm
suy réng f nÕu ®¹o hµm suy réng cña F lµ f, nghÜa lµ DF = f.
Trong trêng hîp
MÖnh ®Ò 1.5. Mäi hµm suy réng
Chøng minh. Víi mçi
f ∈ D0 (R) ®Òu cã nguyªn hµm suy réng.
ϕ ∈ C0∞ (R) ®Æt
Z
ψ(x) = ϕ(x) − ρ(x)
Z x
ψ(t)dt.
Ψ(x) =
+∞
ϕ(t)dt
−∞
−∞
Cã
Ψ(x) ∈
C0∞ (R) nªn víi mçi hµm suy réng
f ∈ D0 (R),ta cã thÓ ®Æt
hF, ϕi = hf, Ψi.
Khi ®ã,
F ∈ D0 (R) vµ
Z
0
x
hDF, ϕi = hF, ϕ i = hf, ϕ(x) −
F
+∞
ρ(y)
−∞
NÕu hµm suy réng
Z
ϕ0 (t)dtdyi = hf, ϕi.
−∞
DF = 0 th×
Z +∞
hF, ϕi = hF, ψi +
ϕ(t)dt hF, ρi
−∞
Z +∞
= hDF, Ψi +
ϕ(t)dt hF, ρi
−∞
Z +∞
ϕ(t)dt hF, ρi.
=
cã ®¹o hµm suy réng
−∞
cã nguyªn hµm suy réng DF = 0 th× F t¬ng øng víi hµm
1
h»ng F ≡ hF, ρi trong líp hµm kh¶ tÝch ®Þa ph¬ng Lloc (R).
0
Khi ®ã, víi mçi hµm suy réng f ∈ D (R), lu«n cã mét hä c¸c nguyªn hµm suy réng mµ
Do ®ã, nÕu hµm suy réng
F
hai nguyªn hµm trong hä sai kh¸c nhau mét hµm suy réng cã thÓ biÓu diÔn díi d¹ng hµm
kh¶ tÝch ®Þa ph¬ng h»ng.
1.2.4
CÊp cña hµm suy réng
K ⊂ Ω, f ∈ D0 (Ω). Ta nãi hµm suy réng f cã cÊp h÷u
nÕu cã mét sè nguyªn kh«ng ©m k vµ mét sè d¬ng C sao cho
X
|hf, ϕi| ≤ C
sup |Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), supp ϕ ⊂ K.
§Þnh nghÜa 1.5. Cho
|α|≤k
h¹n trªn
K
(1.1)
x∈K
k nhá nhÊt trong c¸c sè nguyªn kh«ng ©m mµ ta cã bÊt ®¼ng thøc (1.1)
®îc gäi lµ cÊp cña hµm suy réng f trªn tËp K.
NÕu kh«ng cã mét sè nguyªn kh«ng ©m k nµo ®Ó cã (1.1) víi sè d¬ng C nµo ®ã, th× ta nãi
r»ng, hµm suy réng f cã cÊp v« h¹n trªn tËp K.
0
§Ó ®¬n gi¶n, ta nãi r»ng, hµm suy réng f ∈ D (Ω) cã cÊp k nÕu nã cã cÊp k trªn Ω.
Sè nguyªn kh«ng ©m
13
VÝ dô
9. Mäi hµm suy réng
f ∈ L1 (Ω) ®Òu cã cÊp 0.
Rn , hµm Dirac δ(x) ∈ D0 (Rn ) cã cÊp 0. Víi α ∈ Zn+ , ®¹o hµm suy réng cÊp
α cña hµm Dirac Dα δ cã cÊp |α|. ThËt vËy, chän φ ∈ C0∞ (Rn ) sao cho φ(0) = 1, supp φ ⊂
B1 (0). §Æt φ (x) = xα φ( x ) cã
VÝ dô
10. Trªn
x
hDα δ, φ i = (−1)|α| hδ, Dα φ i = (−1)|α| Dα (xα φ( ))(0) = (−1)|α| α!.
L¹i cã do nÕu
||x|| ≥ th× φ (x) = 0 nªn
sup |Dβ φ (x)| ≤ C|α−β| → 0 khi → 0, β < α,
x∈Rn
k < |α|, víi bÊt kú sè c > 0 ta ®Òu t×m ®îc sè > 0 ®Ó
X
|hDα δ, φ i| = α! > c
sup |Dβ φ (x)|,
do ®ã víi sè nguyªn kh«ng ©m
|β|≤k
cßn víi
k = |α| th×
|hDα δ, ϕi| = |Dα ϕ(0)| ≤ C
X
|β|≤k
VÝ dô
x∈Rn
11. Trªn
sup |Dβ ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ).
x∈Rn
R, hµm suy réng ®îc x¸c ®Þnh nh sau
hf, ϕi =
+∞
X
ϕ(j) (j)
j=0
cã cÊp v« h¹n.
1 1
∞
ThËt vËy, chän φ ∈ C0 (R) mµ φ(x) = 1, x ∈ [− , ], supp φ ⊂ (−1, 1). §Æt φj (x) =
2 2
(x − j)j φ( x−j
), j chän sau. Cã Dk φj (k) = 0, k 6= j, vµ Dj φj (j) = j! nªn hf, φj i = j!.
j
Nhng, do nÕu |x − j| ≥ j th× φj (x) = 0 nªn
sup |Dk φj (x)| ≤ cj−k
, k < j,
j
x∈R
ta chän
j > 0 sao cho
|hf, φj i| = j! > j
j−1
X
k=1
Do ®ã, víi mçi
j−1
X
l=1
f
x∈R
k > 0, c > 0 chän j = max{k + 1, c + 1} cã
|hf, φj i| = j! > j
hay cÊp cña
sup |Dk φj (x)|.
lµ v« h¹n.
l
sup |D φj (x)| > c
x∈R
k
X
l=1
sup |Dk φj (x)|
x∈R
14
§Þnh lý 1.6. Mçi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh
f
trªn
D(Ω)
lµ mét hµm suy réng khi vµ chØ khi,
K ⊂ Ω, cã mét sè nguyªn kh«ng ©m k vµ mét sè d¬ng C sao cho
X
|hf, ϕi| ≤ C
sup |Dα ϕ(x)| = CkϕkC k (Ω) , ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), supp ϕ ⊂ K.
trªn mçi tËp compact
|α|≤k
x∈Ω
Chøng minh. §Ó chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ ta chØ cÇn chøng minh tÝnh liªn tôc cña f t¹i gèc,
∞
∞
nghÜa lµ nÕu cã mét d·y {ϕj }j=1 trong C0 (Ω) mµ D− lim ϕj = 0 th× lim hf, ϕj i = 0.
j→∞
j→∞
§iÒu nµy lµ dÔ thÊy tõ gi¶ thiÕt.
§Ó chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn ta dïng ph¶n chøng, nghÜa lµ gi¶ sö cã mét tËp compact
K ⊂ Ω víi mçi k ∈ Z+
ta ®Òu cã
sup
ϕ∈C0∞ (Ω)
supp ϕ⊂K,ϕ6=0
|hf, ϕi|
= +∞
kϕkC k (Ω)
ϕk ∈ C0∞ (Ω), supp ϕ ⊂ K, kϕk kC k (Ω) > 0
1
Chän ψk (x) = 1
ϕk (x) cã
do ®ã, tån t¹i
sao cho
|hf, ϕk i| > kkϕk kC k (Ω) .
k 2 kϕk kC k (Ω)
• ψk ∈ C0∞ (Ω), supp ψk ⊂ K,
1
• D− lim ψk = 0, |hf, ψk i| ≥ k 2 ,
k→∞
nªn
f 6∈ D0 (Ω), tr¸i víi gi¶ thiÕt.
Nh vËy, ®iÒu gi¶ sö sai hay ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
1.2.5
Sù héi tô trong kh«ng gian hµm suy réng
0
§Þnh nghÜa 1.6. Cho fk , f ∈ D (Ω), k
0
trong D (Ω) khi k tiÕn ra v« cïng nÕu
= 1, 2, . . . .
D0 (Ω)
Ta nãi r»ng, d·y
{fk }∞
k=1
héi tô ®Õn
lim hfk , ϕi = hf, ϕi, ∀ϕ ∈ D(Ω).
k→∞
Khi ®ã, ta viÕt
VÝ dô
12.
D0− lim fk = f.
k→∞
D0− lim ρ 1 = δ.
k→∞
Th©t vËy, víi mçi ϕ
k
∈ C0∞ (Rn ) cã
Z
Z
|hρ 1 , ϕi − ϕ(0)| ≤
ρ 1 (y)|ϕ(y) − ϕ(0)|dy =
k
k
Rn
ρ 1 (y)|ϕ(y) − ϕ(0)|dy
B 1 (0)
k
≤ sup |ϕ(y) − ϕ(0)|
y∈B 1 (0)
k
nªn
lim |hρ 1 , ϕi − ϕ(0)| = 0 hay ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
k→∞
k
k
f
15
0
13. Sù héi tô trong D (Ω) trïng víi sù héi tô yÕu vµ trong
∈ L1loc (Ω), D0− lim fk = f, th×
k→∞
VÝ dô
fk , f
Z
lim
k→∞
Z
fk (x)ϕ(x)dx =
Ω
L1loc (Ω),
nghÜa lµ nÕu
f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω).
Ω
1. Kh¸i niÖm héi tô ®îc ®Þnh nghÜa ë trªn lµ phï hîp víi cÊu tróc tuyÕn tÝnh trªn
(Ω), nghÜa lµ víi λ, µ ∈ C, fk , gk , f, g ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, . . . vµ
Chó ý.
D
0
D0− lim fk = f, D0− lim gk = g
k→∞
k→∞
th×
D0− lim (λfk + µgk ) = λf + µg.
k→∞
2. Cho
a(.) ∈ C ∞ (Ω) phÐp to¸n nh©n víi a(.) biÕn f ∈ D0 (Ω) thµnh af ∈ D0 (Ω) lµ ¸nh x¹
tuyÕn tÝnh liªn tôc, nghÜa lµ
(i)
a(λf + µg) = λaf + µag, ∀λ, µ ∈ C, f, g ∈ D0 (Ω),
(ii) NÕu
fk , f ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, . . .
vµ
D0− lim fk = f
k→∞
n
3. Víi mçi α ∈ Z+ , phÐp to¸n ®¹o hµm suy réng
0
trong D (Ω), nghÜa lµ
(i)
Dα
th×
D0− lim afk = af.
k→∞
còng lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc
Dα (λf + µg) = λDα f + µDα g, ∀λ, µ ∈ C, f, g ∈ D0 (Ω),
(ii) NÕu
fk , f ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, . . .
vµ
D0− lim fk = f
k→∞
th×
D0− lim Dα fk = Dα f.
k→∞
P
0
fk ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, . . . , chuçi h×nh thøc ∞
lµ héi tô trong D (Ω)
k=1 fk ®îc gäi P
Pk
∞
∞
0
α
nÕu d·y tæng riªng {
j=1 fj }k=1 héi tô trong D (Ω). Khi ®ã, chuçi
k=1 D fk còng héi
0
tô trong D (Ω) vµ
∞
∞
X
X
Dα
fk =
Dα fk .
4. Cho
k=1
k=1
0
∞
{fk }∞
k=1 ®îc gäi lµ d·y Cauchy trong D (Ω) nÕu víi mçi ϕ ∈ D(Ω) d·y {hfk , ϕi}k=1
lµ d·y Cauchy trong C.
5. D·y
§Þnh lý 1.7.
D0 (Ω) lµ kh«ng gian ®ñ.
§Ó chøng minh §Þnh lý ta cÇn ®Õn Bæ ®Ò sau.
Bæ ®Ò 1.8. Cho d·y
trong
{ϕk }∞
k=1
trong
D(Ω)
D0 (Ω). Khi ®ã, lim hfk , ϕk i = 0.
k→∞
mµ
D− lim ϕk = 0,
k→∞
vµ
{fk }∞
k=1
lµ d·y Cauchy
16
Chøng minh. Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng, gi¶ sö
cã mét sè
hfk , ϕk i 6→ 0
khi
k → ∞,
nghÜa lµ
c > 0 vµ mét d·y con, ®Ó ®¬n gi¶n ký hiÖu, ta cã thÓ gi¶ sö
|hfk , ϕk i| > c, k = 1, 2, . . . .
B»ng c¸ch lÊy ra mét d·y con cña d·y con trªn, ®Ó ®¬n gi¶n ký hiÖu, ta cã thÓ cã
|Dα ϕk (x)| ≤
ψk = 2k ϕk
§Æt
1
, ∀x ∈ Ω, |α| ≤ k, k = 1, 2, . . . .
4k
cã
ψk ∈ C0∞ (Ω), supp ψk ⊂ supp ϕk ,
(i)
(ii)
D− lim ψk = 0, lim hfk , ψk i = +∞.
k→∞
k→∞
{fk0 , ψk0 }∞
k=1 b»ng c¸ch quy n¹p nh sau.
lim hfl , ψl i = +∞ nªn cã mét sè tù nhiªn l1 sao cho |hfl1 , ϕl1 i| > 1.
Ta ®i x©y dùng d·y
Do
l→∞
f10 =
fl1 , ψ10 = ψl1 .
Do D− lim ψl = 0 nªn cã mét sè tù nhiªn k1 > l1
§Æt
0
sao cho |hf1 , ψl i| < 1, ∀l ≥ k1 . Mµ d·y
l→∞
{hfl , ψ10 i}∞
l=1 lµ d·y Cauchy nªn bÞ chÆn, cßn lim hfl , ψl i = +∞ nªn cã mét sè tù nhiªn
l→∞
l2 > k1 sao cho |hfl , ψl i| > |hfl , ψ10 i| + 1, ∀l ≥ l2 .
0
0
§Æt f2 = fl2 , ψ2 = ψl2 . Cã
0
0
(i)|hf1 , ψ2 i|
< 12 ,
0
0
(ii)|hf2 , ψ2 i|
> |hf20 , ψ10 i| + 1.
Gi¶ sö ta ®· cã
0
0
(i)|hfj , ψk−1 i|
0
, ψ10 , . . . , ψk−1 (k > 2, fj0 = flj , l1 < l2 < · · · < lk−1 ) mµ
f10 , . . . , fk−1
<
0
0
(ii)|hfk−1 , ψk−1 i|
Do
1
,j
2k−1−j
>
= 1, . . . , k − 2,
Pk−2
j=1
0
|hfk−1
, ψj0 i| + k − 1.
D− lim ψl = 0 nªn cã mét sè tù nhiªn k2 > lk−1
l→∞
|hfj0 , ψl i| <
Víi mçi
1
2l−j
, j = 1, . . . , k − 2, ∀l ≥ k2 .
j = 1, . . . , k − 2, d·y {hfl , ψj0 i}∞
l=1
+∞ nªn cã mét sè tù nhiªn lk > k2
k−2
X
j=1
fk0 = flk , ψk0 = ψlk . Cã
lµ d·y Cauchy nªn bÞ chÆn, cßn
sao cho
|hfl , ψl i| >
§Æt
sao cho
|hfl , ψj0 i| + k, ∀l ≥ lk .
lim hfl , ψl i =
l→∞
17
0
0
(i)|hfj , ψk i|
0
0
(ii)|hfk , ψk i|
Cã d·y
1
,j
2k−j
<
>
Pk−1
j=1
= 1, . . . , k − 1,
|hfk0 , ψj0 i| + k.
∞
{ψk0 }∞
k=1 = {ψlk }k=1
(i) cã mét tËp compact
(ii)víi mçi
{ψk }∞
k=1
ψk = 2k ϕk
mµ
nªn
K ⊂ Ω sao cho supp ψk0 ⊂ K, k = 1, 2, . . . ,
α ∈ Zn+ , m2 , m1 ∈ Z+ , m2 > m1 > |α| cã
m2
X
k=m1
Do ®ã, d·y
lµ d·y con cña d·y
{
sup |D
x∈Ω
Pk
l=1
α
ψk0 (x)|
=
m2
X
k=m1
ψl0 }∞
k=1
héi tô trong
m2
∞
X
X
1
1
1
sup |D ψlk (x)| <
≤
= m1 −1 .
l
k
2k
2
2
x∈Ω
k=m
k=m
α
1
1
D(Ω), nghÜa lµ cã mét hµm ψ ∈ D(Ω) mµ
ψ = D− lim
k→∞
k
X
ψl0 .
l=1
Khi ®ã, cã
|hfk0 , ψi|
≥
|hfk0 , ψk0 i|
−
k−1
X
|hfk0 , ψj0 i|
j=1
≥ k − lim
l→∞
l
X
j=k+1
1
2j−k
l
X
− lim
l→∞
|hfk0 , ψj0 i|
j=k+1
= k − 1,
0
∞
nghÜa lµ, d·y {hfk , ψi}k=1 lµ kh«ng bÞ chÆn, do ®ã còng kh«ng lµ d·y Cauchy nªn d·y
0
{fk0 }∞
k=1 kh«ng lµ Cauchy trong D (Ω). §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt. Nh vËy ®iÒu gi¶ sö sai
hay ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
∞
Chøng minh. B©y giê ta ®i chøng minh §Þnh lý 1.7. LÊy {fk }k=1 lµ d·y Cauchy trong
D0 (Ω). Ta ph¶i chøng minh cã mét hµm suy réng f ∈ D0 (Ω) mµ f = D0− lim fk
k→∞
∞
0
∞
Do {fk }k=1 lµ d·y Cauchy trong D (Ω) nªn víi mçi ϕ ∈ D(Ω) d·y {hfk , ϕi}k=1 lµ d·y
Cauchy trong
C, do ®ã tån t¹i mét phÇn tö ký hiÖu hf, ϕi ∈ C mµ lim hfk , ϕi = hf, ϕi.
k→∞
f : ϕ 7→ hf, ϕi lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh tõ D(Ω) vµo C. Ta sÏ
0
chøng minh f lµ liªn tôc. Khi ®ã, f = D− lim fk .
Râ rµng t¬ng øng, ký hiÖu
k→∞
Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng, gi¶ sö cã mét d·y
0,
nhng
hf, ϕk i 6→ 0
mét sè lk sao cho
0
§Æt fk = flk cã
(i)
{fk0 }∞
k=1
trong
D(Ω) mµ D− lim ϕk =
k→∞
k → ∞, nghÜa lµ cã mét sè c > 0 vµ mét d·y con, ®Ó ®¬n gi¶n
|hf, ϕk i| = lim |hfl , ϕk i| > c, k = 1, 2, . . . . Do ®ã, víi mçi k cã
khi
ký hiÖu ta cã thÓ gi¶ sö
{ϕk }∞
k=1
l→∞
|hflk , ϕk i| > c.
lµ d·y Cauchy trong
D0 (Ω),
18
D− lim ϕk = 0,
(ii)
k→∞
(iii)
|hfk0 , ϕk i| > c, k = 1, 2, . . . ,
mµ theo Bæ ®Ò 1.8 cã
f
hay
lim |hfk0 , ϕk i| = 0 nªn x¶y ra ®iÒu m©u thuÉn. Do ®ã ®iÒu gi¶ sö sai
k→∞
liªn tôc.
1.2.6
§Þa ph¬ng ho¸
Ω1 , Ω2 lµ c¸c tËp më trong Rn
lµ hµm trªn Ω2 b»ng c¸ch sau
(
Cho
ϕΩ2 (x) =
vµ
Ω1 ⊂ Ω2 .
ϕ(x)
0 ,
ϕ ∈ C0∞ (Ω1 )
Víi mçi hµm
cã thÓ coi
x ∈ Ω1 ,
nÕu x ∈ Ω2 \Ω1 ,
,
nÕu
ϕ ∈ C0∞ (Ω2 ).
0
Khi ®ã, víi mçi f ∈ D (Ω2 ) ta coi lµ mét hµm suy réng trªn Ω1
th×
b»ng c¸ch sau
hf |Ω1 , ϕi = hf, ϕΩ2 i, ϕ ∈ D(Ω1 ).
f, g ∈ D0 (Ω2 ), f 6= g th× cha ch¾c f |Ω1 6= g|Ω1 hay nÕu f |Ω1 = g|Ω1 th× cha ch¾c
f = g. NÕu ϕ ∈ C0∞ (Ω2 ), supp ϕ ⊂ Ω1 th× cã thÓ coi ϕ ∈ C0∞ (Ω1 ) vµ hf, ϕi = hf |Ω1 , ϕi.
NÕu
Ω lµ tËp më trong Rn , ®iÓm x ∈ Ω, c¸c hµm
Ta nãi r»ng f = g t¹i x nÕu cã mét l©n cËn më ω ⊂ Ω cña x ®Ó
§Þnh nghÜa 1.7. Cho
suy réng
f, g ∈ D0 (Ω).
f |ω = g|ω .
f, g ∈ D0 (Ω).
f 6= g t¹i mét ®iÓm x ∈ Ω
ω ⊂ Ω cña x ®Òu cã mét hµm ϕ ∈ D(Ω), supp ϕ ⊂ ω sao cho
Chó ý.
1. Cho
Khi ®ã,
nÕu víi mäi l©n cËn më
hf, ϕi =
6 hg, ϕi
hay cã mét d·y h×nh cÇu
mµ
Brk (x) ⊂ Ω mµ rk & 0 khi k % ∞ vµ mét d·y hµm ϕk ∈ C0∞ (Ω)
supp ϕk ⊂ Brk (x) sao cho
hf, ϕk i =
6 hg, ϕk i.
2. Cho
f, g ∈ D0 (Ω). NÕu f = g
trong
D0 (Ω) th× f = g
t¹i mäi ®iÓm
x ∈ Ω.
§Þnh lý sau cho ta thÊy ®iÒu ngîc l¹i còng ®óng.
§Þnh lý 1.9. Cho
0
f, g ∈ D0 (Ω).
NÕu víi mäi
x∈Ω
®Òu cã
f =g
t¹i
x
th×
f =g
trong
D (Ω).
ϕ ∈ D(Ω) cã K = supp ϕ lµ tËp compact trong Ω. Tõ gi¶ thiÕt, víi
mçi x ∈ K cã mét l©n cËn më ωx cña x mµ f |ωx = g|ωx .
Cã K ⊂ ∪x∈K ωx mµ K compact nªn cã mét sè h÷u h¹n ®iÓm x1 , . . . , xm ∈ K mµ K ⊂
m
∪m
j=1 ωxj . Theo §Þnh lý 1.1 (§Þnh lý ph©n ho¹ch ®¬n vÞ) cã mét hä h÷u h¹n c¸c hµm {ψj }j=1
trong D(Ω) sao cho
Chøng minh. Víi mçi
19
(i)
0 ≤ ψj (x) ≤ 1, ∀x ∈ K, j = 1, 2, . . . ,
supp ψj ⊂ ωxj , j = 1, 2, . . . ,
Pm
(iii)
j=1 ψj (x) = 1, ∀x ∈ K.
(ii)
Khi ®ã, cã
m
X
hf, ϕi = hf, (
ψj )ϕi
j=1
=
=
m
X
j=1
m
X
hf |ωj , ψj ϕi( v× ψj ϕ ∈ D(ωxj ))
hg|ωj , ψj ϕi
j=1
= hg, ϕi,
nªn ta cã
f =g
trong
D0 (Ω).
- Xem thêm -