Tài liệu Lý thuyết hàm suy rộng và không gian sobolev

  • Số trang: 87 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 47 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 62571 tài liệu

Mô tả:

Lý thuyÕt Hµm suy réng vµ Kh«ng gian Sobolev §Æng Anh TuÊn Hµ Néi, ngµy 20- 11- 2005 Ch­¬ng 1 C¸c kh«ng gian hµm c¬ b¶n vµ kh«ng gian hµm suy réng 1.1 Mét sè kiÕn thøc bæ sung 1.1.1 Mét sè ký hiÖu N = {1, 2, . . . } lµ tËp c¸c sè tù nhiªn, Z+ = {0, 1, 2, . . . } lµ tËp c¸c sè nguyªn kh«ng √ −1 ©m, R lµ tËp c¸c sè thùc, C lµ tËp c¸c sè phøc. §¬n vÞ ¶o = i. n Víi mçi sè tù nhiªn n ∈ N, tËp Z+ = {α = (α1 , . . . , αn ) αj ∈ Z+ , j = 1, . . . , n}, tËp Rn = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) xj ∈ R, j = 1, 2, . . . } lµ kh«ng gian thùc n chiÒu víi chuÈn Euclid kxk = n X x2j  12 . j=1 NÕu kh«ng cã g× ®Æc biÖt, ký hiÖu Víi mçi k ∈ Z+ Ω lµ tËp më trong Rn . ký hiÖu c¸c tËp nh­ sau: liªn tôc C k (Ω) = {u : Ω → C u kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k}, C(Ω) = C 0 (Ω) = {u : Ω −→ C}, C0k (Ω) = {u : Ω → C u ∈ C k (Ω), supp u lµ tËp compact}, C0 (Ω) = C00 (Ω), k ∞ ∞ k C ∞ (Ω) = ∩∞ k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), supp u = cl{x ∈ Ω u(x) 6= 0}. Víi mçi sè thùc 1 ≤ p < ∞, ký hiÖu trong ®ã, p L (Ω) = {u : víi ®® −→ C ΩLebesgue Z |u(x)|p < +∞}, Ω p = ∞, ký hiÖu ®® −→ C ess sup |u(x)| < +∞}, L∞ (Ω) = {u : ΩLebesgue x∈Ω 2 ess supx∈Ω |u(x)| = inf{M > 0 m{x ∈ Ω |u(x)| > M } = 0}. Víi 1 ≤ p ≤ ∞, ký hiÖu ®® −→ C u ∈ Lp (ω), víi mäi tËp con ®o ®­îc ω ⊂⊂ Ω} Lploc (Ω) = {u : ΩLebesgue ®® −→ C u ∈ Lp (Ω), ∃ω ⊂⊂ Ω : u(x) = 0 h.k.n. trong Ω \ ω}, Lpcompact (Ω) = {u : ΩLebesgue trong ®ã, ω ⊂⊂ Ω nghÜa lµ bao ®ãng cl(ω) lµ tËp compact trong Ω. ∞ n Víi mçi hµm u ∈ C (Ω), α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Z+ ký hiÖu trong ®ã, α D u= Khi ®ã, víi α β trong ®ã, mµ D1α1 D2α2 α . . . Dnαn u, Dj j ∂ αj = α , j = 1, 2, . . . . ∂xj j u, v ∈ C ∞ (Ω), α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Zn+ cã c«ng thøc Leibnitz X α  α Dβ uDα−β v, D (uv) = β β≤α  = Qn j=1 αj βj  , αj βj  = αj ! , βj !(αj −βj )! P lµ tæng lÊy trªn tËp c¸c ®a chØ sè β ∈ Zn+ β≤α β ≤ α, nghÜa lµ 0 ≤ βj ≤ αj , j = 1, 2, . . . , n. 1.1.2 Ph©n ho¹ch ®¬n vÞ Ω lµ mét tËp trong Rn . Mét hä ®Õm ®­îc c¸c cÆp {(Ωj , ϕj )}∞ j=1 , trong n n ®ã Ωj lµ tËp më trong R , ϕj lµ hµm thuéc líp c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n trªn R , ®­îc gäi lµ mét ph©n ho¹ch ®¬n vÞ cña tËp Ω nÕu c¸c tÝnh chÊt sau ®­îc tho¶ m·n: §Þnh nghÜa 1.1. Cho (i) {Ωj }∞ =1 (ii) lµ mét phñ më cña Ω, (Ω ⊂ ∪∞ j=1 Ωj , Ωj lµ tËp më), 0 ≤ ϕj (x) ≤ 1, ∀x ∈ Ω, j = 1, 2, . . . , ϕj ∈ C0∞ (Rn ), supp ϕj ⊂ Ωj , j = 1, 2, . . . , P∞ (iv) j=1 ϕj (x) = 1, ∀x ∈ Ω. (iii) Ta cßn gäi {ϕj }∞ j=1 lµ ph©n ho¹ch ®¬n vÞ øng víi phñ më {Ωj }∞ j=1 cña tËp Ω. Rn , hä h÷u h¹n {Uj }N j=1 lµ mét phñ më cña N K. Khi ®ã, tån t¹i mét hä h÷u h¹n c¸c hµm kh¶ vi v« h¹n {ϕj }j=1 x¸c ®Þnh mét ph©n ho¹ch N ®¬n vÞ øng víi phñ më {Uj }j=1 cña tËp K. §Þnh lý 1.1. Cho K lµ mét tËp compact trong §Ó chøng minh ®Þnh lý ta cÇn mét sè kÕt qu¶ sau. n Tõ ®©y trë ®i, ký hiÖu hµm ρ : R → R lµ hµm ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau ( ρ(x) := trong ®ã, C lµ h»ng sè sao cho §Ó ý r»ng, hµm ρ R 1 Ce ||x||2 −1 , 0, ρ(x)dx = 1. Rn cã c¸c tÝnh chÊt sau nÕu||x|| < 1, nÕu ||x|| ≥ 1, 3 ρ ∈ C0∞ (Rn ), supp ρ = B̄1 (0) = {x ∈ Rn ||x|| ≤ 1}, ρ(x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn , R (ii) ρ(x)dx = 1, ρ lµ hµm chØ phô thuéc vµo ||x||(radial function). Rn (i) Víi mçi  > 0, ®Æt ρ (x) = −n ρ( x ). Hµm ρ còng cã c¸c tÝnh chÊt cña hµm ρ: ρ ∈ C0∞ (Rn ), supp ρ = B̄ (0) = {x ∈ Rn ||x|| ≤ 1}, ρ (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn , R (ii) ρ (x)dx = 1, ρ lµ hµm chØ phô thuéc vµo ||x||(radial function). Rn  (i) Víi mçi hµm f ∈ L1loc (Rn ), ®Æt Z f (x) = (f ∗ ρ )(x) = f (y)ρ (x − y)dy. Rn ViÖc ®Æt nµy lµ cã nghÜa v× Z Z f (y)ρ (x − y)dy = f (x − y)ρ (y)dy = Rn Rn MÖnh ®Ò 1.2. Cho (i) Z f (x − y)ρ (y)dy. B̄ (0) f ∈ L1loc (Rn ). Khi ®ã, ta cã c¸c kÕt luËn sau. f ∈ C ∞ (Rn ). (ii) NÕu supp f = K ⊂⊂ Rn th× f ∈ C0∞ (Rn ), supp f ⊂ K = {x ∈ Rn d(x, K) ≤ }. (iii) NÕu f ∈ C(Rn ) th× lim sup |f (x) − f (x)| → 0, ∀K ⊂⊂ Rn . (iv) NÕu f ∈ Lp (Rn )(1 ≤ p < ∞) th× f ∈ Lp (Rn ), vµ f −→ f →0+ x∈K Lp khi  → 0+ . Chøng minh. (i) DÔ dµng chøng minh tõ ®¼ng thøc sau Z Z Dxα ( (ii)Do supp f = K f (y)ρ (x − y)dy) = Rn Rn f (y)Dxα ρ (x − y)dy. nªn Z Z f (y)ρ (x − y)dy = f (x) = Rn f (y)ρ (x − y)dy. K x 6∈ K , nghÜa lµ d(x, K) >  hay ||x−y|| > , ∀y ∈ K. Mµ supp ρ ∈ B̄ (0) nªn ρ (x − y) = 0, ∀y ∈ K. Do ®ã, f (x) = 0 khi x 6∈ K hay supp f ⊂ K . Khi ®ã, víi mçi (iii) DÔ thÊy Z  f (x − y) − f (x) ρ(y)dy = f (x) − f (x) = Rn nªn Z  f (x − y) − f (x) ρ(y)dy B̄1 (0) |f (x) − f (x)| ≤ sup |f (x − y) − f (x)| y∈B̄ (0) f ∈ C(Rn ) cã f liªn tôc ®Òu trªn tõng tËp compact K ⊂ Rn n do ®ã lim sup |f (x) − f (x)| → 0, ∀K ⊂⊂ R . mµ →0+ x∈K 4 MÖnh ®Ò 1.3. Cho (i) K ⊂⊂ Rn . Khi ®ã, víi mçi  > 0, cã mét hµm ϕ ∈ C0∞ (Rn ) tho¶ m·n 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, ∀x ∈ Rn , supp ϕ ⊂ K , (ii) (iii) ϕ(x) = 1, ∀x ∈ K 2 . Chøng minh. LÊy hµm ®Æc tr­ng cña tËp ( χ(x) := Cã K 3 4 1, 0, x ∈ K 3 , 4 nÕu x 6∈ K 3 . nÕu 4 χ ∈ L1 (Rn ) ⊂ L1loc (Rn ), supp χ = K 3 , nªn theo MÖnh ®Ò 1.2 cã (i) (ii) 4 χ ∗ ρ 4 ∈ C0∞ (Rn ), supp(χ ∗ ρ 4 ) ⊂ K , (iii)0 ≤ (χ ∗ ρ 4 )(x), ∀x ∈ Rn . §Ó ý r»ng, Z (χ ∗ ρ 4 )(x) = B̄  (0) χ(x − y)ρ 4 (y)dy 4 nªn (i) (χ ∗ ρ 4 )(x) ≤ (ii) NÕu x ∈ K 2 R B̄  (0) 4 th× ρ 4 (y)dy = 1, (x − y) ∈ K 3 , ∀y ∈ B̄ 4 , do ®ã (χ ∗ ρ 4 )(x) = 4 Chøng minh. Chøng minh §Þnh lý 1.1. Tõ gi¶ thiÕt më cña K K R B̄  (0) lµ tËp compact, 4 ρ 4 (y)dy = 1. {Uj }N j=1 lµ mét phñ cã W1 := K\(∪N j=2 Uj ) ⊂⊂ U1 nªn tån t¹i 1 > 0 sao cho W1 ⊂ W1 + B1 (0) ⊂ U1 . Theo MÖnh ®Ò 1.3 cã mét hµm nhËn gi¸ trÞ trong kho¶ng (0, 1) lµ ψ1 ∈ C0∞ (Rn ) sao cho V1 := W1 + B 21 (0) ⊂ supp ψ1 ⊂ W1 + B1 ⊂ U1 . L¹i cã, W1 := K\(∪N j=2 Uj ) ⊂ V1 mµ V1 lµ tËp më nªn W2 := K\(V1 ∪ (∪N j=3 Uj )) ⊂⊂ U2 . 5 Do ®ã, tån t¹i 2 > 0 sao cho W2 ⊂ W2 + B2 (0) ⊂ U2 . Theo MÖnh ®Ò 1.3, cã mét hµm nhËn gi¸ trÞ trong kho¶ng (0, 1) lµ ψ2 ∈ C0∞ (Rn ) sao cho V2 := W2 + B 22 (0) ⊂ supp ψ2 ⊂ W2 + B2 ⊂ U2 . Cø nh­ thÕ ta x©y dùng ®­îc d·y c¸c hµm (i) {ψj }N j=1 tho¶ m·n ψj ∈ C0∞ (Rn ), Vj := Wj + B j (0) ⊂ supp ψj ⊂ Wj + Bj ⊂ Uj , (ii) 2 (iii) PN ψj (x) > 0, ∀x ∈ ∪N j=1 Vj (⊃ K), (iv) PN ψj (x) < N + 1, ∀x ∈ Rn . Cã j=1 j=1 K ⊂⊂ ∪N j=1 Vj nªn tån t¹i mét sè  > 0 sao cho K ⊂ K + B (0) ⊂ ∪N j=1 Vj . Theo MÖnh ®Ò 1.3 cã mét hµm kh«ng ©m (i) (ii) φ tho¶ m·n φ ∈ C0∞ (Rn ), K ⊂ K + B 2 (0) ⊂ supp φ ⊂ K + B ⊂ ∪N j=1 Vj , (iii)0 ≤ φ(x) ≤ 1, ∀x ∈ Rn , φ(x) = 1, ∀x ∈ K + B (0). §Æt ϕj (x) := ψj (x)    P PN N φ(x) k=1 ψk (x) k=1 ψk (x) + (1 − φ(x)) N + 1 − cã (i) 0 ≤ ϕj (x) ≤ 1, ∀x ∈ K, j = 1, 2, . . . , ϕj ∈ C0∞ (Rn ), supp ϕj ⊂ Uj , j = 1, 2, . . . , P∞ (iii) j=1 ϕj (x) = 1, ∀x ∈ K. (ii) Chó ý. §Ó x©y dùng c¸c hµm ϕj tõ ψj ta cã thÓ dïng mét trong hai c¸ch sau: ( φ(x)ψj (x) PN , k=1 ψk (x) nÕu x ∈ supp φ, 0, nÕu x 6∈ supp φ, (i) thø nhÊt ϕj (x) := (ii) thø hai ϕ1 (x) = ψ1 (x), ϕ2 (x) = (1 − ψ1 (x))ψ2 (x), . . . , ϕN (x) = ψN (x) N −1 Y j=1 (1 − ψj (x)). 6 1.2 D(Ω), Kh«ng gian hµm c¬ b¶n D0(Ω) réng 1.2.1 kh«ng gian hµm suy Kh«ng gian hµm c¬ b¶n D(Ω) ∞ §Þnh nghÜa 1.2. Kh«ng gian D(Ω) lµ kh«ng gian gåm c¸c hµm ϕ ∈ C0 (Ω) víi kh¸i niÖm ∞ ∞ ∞ héi tô sau: d·y {ϕj }j=1 c¸c hµm trong C0 (Ω) ®­îc gäi lµ héi tô ®Õn hµm ϕ ∈ C0 (Ω) nÕu (i) cã mét tËp compact (ii) lim sup |D j→∞ x∈Ω α Khi ®ã, ta viÕt lµ Chó ý. 1.NÕu K ⊂ Ω mµ supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, . . . , ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ . ϕ = D− lim ϕj . j→∞ ϕ = D− lim ϕj j→∞ th× supp ϕ ⊂ K. D(Ω) lµ phï hîp víi cÊu tróc tuyÕn λ, µ ∈ C, ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ D(Ω), k = 1, 2, . . . , cã 2. Kh¸i niÖm héi tô trªn nÕu D− lim ϕk = ϕ, D− lim ψk = ψ k→∞ k→∞ 3. H¬n thÕ, ta cßn cã thÓ chøng minh nÕu D− lim φϕj . j→∞ ThËt vËy, do nÕu ϕk (x) = 0 th× D(Ω), nghÜa lµ, nÕu D− lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ. k→∞ φ ∈ C ∞ (Ω), th× tÝnh trªn vµ φ(x)ϕk (x) = 0 ϕ = D− lim ϕj j→∞ nªn th× φϕ = supp(φϕk ) ⊂ supp ϕk , α ∈ Zn+ X α  α D (φϕk )(x) = Dβ φ(x)Dα−β ϕk (x) β β≤α vµ theo c«ng thøc Leibnitz cã víi mçi mµ ϕ = D− lim ϕj j→∞ nghÜa lµ (i) cã mét tËp compact (ii) K ⊂ Ω mµ supp ϕk ⊂ K, k = 1, 2, . . . , lim sup |Dα ϕk (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ , k→∞ x∈Ω do ®ã, (i)supp(D α ϕk ) ⊂ K, k = 1, 2, . . . , ∀α ∈ Zn+ nªn supp(φϕk ) ⊂ K, supp(Dα (φϕk )) ⊂ K, k = 1, 2, . . . , (ii) sup |Dα (φϕk )(x) − Dα (φϕ)(x)| ≤ C x∈Ω P  sup |Dβ φ(x)| sup |Dβ ϕk (x) − Dβ ϕ(x)| β≤α x∈K x∈Ω β≤α nªn lim sup |Dα (φϕk )(x) − Dα (φϕ)(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ . k→∞ x∈Ω 7 Víi mçi (i) α ∈ Zn+ , phÐp to¸n ®¹o hµm Dα lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc trong D(Ω), nghÜa lµ Dα ϕ ∈ D(Ω), supp Dα ϕ ⊂ supp ϕ, (ii) nÕu (iii) nÕu Nh­ vËy, λ, µ ∈ C, ϕ, ψ ∈ D(Ω) th× Dα (λϕ + µψ) = λDα ϕ + µDα ψ, D− lim ϕk = 0 th× D− lim Dα ϕk = 0. k→∞ k→∞ P to¸n tö vi ph©n tuyÕn tÝnh P = aα (x)Dα , aα ∈ C ∞ (Ω) lµ to¸n tö vi ph©n |α|≤m D(Ω) mµ supp P u ⊂ supp u, ∀u ∈ D(Ω). Peetre, J. ®· chøng minh ∞ ®­îc r»ng nÕu to¸n tö tuyÕn tÝnh P trªn C0 (Ω) tho¶ m·n tÝnh chÊt supp P u ⊂ supp u, ∀u ∈ C0∞ (Ω) th× P lµ to¸n tö vi ph©n. ∞ 4. D·y {ϕj }j=1 ®­îc gäi lµ mét d·y Cauchy trong D(Ω) nÕu tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn (i) cã mét tËp compact (ii) lim sup |D j→∞ x∈K k→∞ α K ⊂ Rn mµ supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, . . . , ϕj (x) − Dα ϕk (x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ . P ϕk ∈ D(Ω), k = 1, 2, . . . , chuçi h×nh thøc ∞ k=1 ϕk Pk ∞ nÕu d·y c¸c tæng riªng { j=1 ϕj }k=1 héi tô trong D(Ω). 5. Cho MÖnh ®Ò 1.4. Kh«ng gian Chøng minh. LÊy d·y (ii) lim sup |D j→∞ x∈K k→∞ α D(Ω) D(Ω) lµ ®ñ. {ϕj }∞ j=1 (i) cã mét tËp compact ®­îc gäi lµ héi tô trong lµ mét d·y Cauchy trong D(Ω) th× K ⊂ Ω mµ supp Dα ϕj ⊂ K, j = 1, 2, . . . , ∀α, ϕj (x) − Dα ϕk (x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ α d·y {Dα ϕj }∞ j=1 lµ d·y Cauchy trong kh«ng gian C(K) víi chuÈn sup, mµ α kh«ng gian C(K) víi chuÈn sup lµ kh«ng gian ®ñ, do ®ã cã mét hµm ϕ ∈ C(Ω) sao cho nªn víi mçi (i) supp ϕα ⊂ K, (ii) lim sup |D j→∞ x∈K α ϕj (x) − ϕα (x)| = 0. Ta sÏ chøng minh (i) supp Dα ϕ0 ⊂ K, (ii) lim sup |D j→∞ x∈Ω hay ϕα = Dα ϕ0 . Khi ®ã, ϕ0 ∈ C0∞ (Ω) vµ α ϕj (x) − Dα ϕ0 (x)| = lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ0 (x)| = 0. j→∞ x∈K ϕ0 = D− lim ϕj . j→∞ §Ó chøng minh ®iÒu nµy ta chØ cÇn chøng minh khi j z}|{ α = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0) ta chøng minh t­¬ng tù. α = (1, 0, . . . , 0). C¸c tr­êng hîp Sau ®ã, b»ng qui n¹p ta chøng minh cho c¸c tr­êng hîp cßn l¹i. §iÒu nµy lµ hiÓn nhiªn v× trong K. D1 ϕ j héi tô ®Òu ®Õn ϕ(1,0,...,0) trong K, vµ ϕj héi tô ®Òu ®Õn ϕ0 8 1.2.2 D0 (Ω) Kh«ng gian hµm suy réng §Þnh nghÜa 1.3. Ta nãi r»ng f lµ mét hµm suy réng trong D(Ω). 0 Hµm suy réng f ∈ D (Ω) t¸c ®éng lªn mçi ϕ ∈ D(Ω) 0 réng f, g ∈ D (Ω) ®­îc gäi lµ b»ng nhau nÕu Ω nÕu f lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn ®­îc viÕt lµ hf, ϕi. Hai hµm suy hf, ϕi = hg, ϕi, ∀ϕ ∈ D(Ω). TËp tÊt c¶ c¸c hµm suy réng trong Chó ý. Trªn D0 (Ω) Ω lËp thµnh kh«ng gian D0 (Ω). cã thÓ x©y dùng mét cÊu tróc kh«ng gian vect¬ trªn C, nghÜa lµ ta cã thÓ ®Þnh nghÜa c¸c phÐp to¸n tuyÕn tÝnh nh­ sau f, g ∈ D0 (Ω) tæng f + g (i) phÐp céng: víi ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau f + g : ϕ 7→ hf + g, ϕi = hf, ϕi + hg, ϕi, ϕ ∈ D(Ω), khi ®ã, f + g ∈ D0 (Ω), nghÜa lµ, f + g (ii) phÐp nh©n víi sè phøc: víi lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn λ ∈ C, f ∈ D0 (Ω) tÝch λf D(Ω), ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau λf : ϕ 7→ hλf, ϕi = λhf, ϕi, ϕ ∈ D(Ω), khi ®ã, λf ∈ D0 (Ω), nghÜa lµ, λf lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn D(Ω). ∞ H¬n thÕ, ta cßn cã thÓ ®Þnh nghÜa phÐp nh©n víi mét hµm trong C (Ω). ∞ 0 0 Víi φ ∈ C (Ω), f ∈ D (Ω) tÝch φf ∈ D (Ω) ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau φf : ϕ 7→ hφf, ϕi = hf, φϕi, ϕ ∈ D(Ω), φf ∈ D0 (Ω). 0 ThËt vËy, do f ∈ D (Ω) nªn dÔ thÊy φf : D(Ω) → C lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh. ∞ §Ó chøng minh φf liªn tôc ta lÊy d·y {ϕk }k=1 mµ D− lim ϕk = 0 ta chøng minh lim hφf, ϕk i = khi ®ã, lim hf, φϕk i = 0. §iÒu nµy lµ hiÓn nhiªn v× f k→∞ VÝ dô 1. Víi mçi f∈ k→∞ liªn tôc vµ D− lim φϕk = 0. k→∞ k→∞ 1 Lloc (Ω) ®­îc coi lµ mét hµm suy réng b»ng c¸ch sau Z f : ϕ 7→ hf, ϕi = f (x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(Ω). Ω Nh­ vËy, cã thÓ coi L1loc (Ω) lµ tËp con cña D0 (Ω). Hµm suy réng f ∈ L1loc (Ω) ®­îc gäi lµ hµm suy réng chÝnh quy. 1 Víi f, g ∈ Lloc (Ω), th× sù b»ng nhau theo nghÜa hµm suy réng vµ theo nghÜa th«ng th­êng lµ nh­ nhau, nghÜa lµ f, g ∈ L1loc (Ω), Z Z f (x)ϕ(x)dx = Ω VÝ dô g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω) Ω 2. Hµm Dirac: δ : ϕ 7→ hδ, ϕi = ϕ(0), ϕ ∈ D(Ω). th× f = g, h.k.n trong Ω. 9 1.2.3 §¹o hµm suy réng Trong tr­êng hîp mét biÕn, ¸p dông c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn cho ∞ C0 (R) cã Z +∞ 0 f (x)ϕ(x)dx = f (x)ϕ(x)|+∞ −∞ +∞ Z − −∞ Z 0 +∞ f (x)ϕ0 (x)dx. f (x)ϕ (x)dx = (−1) −∞ f ∈ C 1 (R), ϕ ∈ −∞ Nh­ vËy, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa ®¹o hµm cña mét hµm nh­ mét hµm suy réng. Ngoµi ra, b»ng 1 c¸ch ®Þnh nghÜa nh­ vËy ta cã thÓ ®Þnh nghÜa ®¹o hµm cho hµm f ∈ Lloc (R). f ∈ D0 (Ω), α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Zn+ . §¹o hµm suy réng cÊp α α hµm suy réng f trong Ω, ký hiÖu lµ D f, lµ ¸nh x¹ tõ D(Ω) vµo C ®­îc x¸c ®Þnh bëi §Þnh nghÜa 1.4. Cho cña Dα f : ϕ 7→ (−1)|α| hf, Dα ϕi, ϕ ∈ D(Ω). α ∈ Zn+ , f ∈ D0 (Ω), ®¹o hµm suy réng cÊp α cña hµm suy réng f trong Ω α lµ mét hµm suy réng, nãi c¸ch kh¸c, ®¹o hµm suy réng D f lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ D(Ω) vµo C, v× Chó ý. • Víi mçi víi mçi λ, µ ∈ C, ϕ, ψ ∈ D(Ω) cã hDα f, λϕ + µψi = (−1)|α| hf, Dα (λϕ + µψ)i = (−1)|α| (λhf, Dα ϕi + µhf, Dα ψi) = λhDα f, ϕi + µhDα f, ψi • víi ϕk ∈ D(Ω), k = 1, 2, . . . , D− lim ϕk = 0 th× D− lim Dα ϕk = 0, α ∈ Zn+ k→∞ k→∞ nªn lim hDα f, ϕk i = lim hf, Dα ϕk i = 0. k→∞ Víi mçi k→∞ α, β ∈ Zn+ , f ∈ D0 (Rn ) cã ®¹o hµm suy réng cÊp α, β, α + β lµ Dα f, Dβ f, Dα+β f vµ Dα+β f = Dα (Dβ f ) = Dβ (Dα f ). j Do ®ã, α Dα = D1α1 D2α2 . . . Dnαn , víi Dj j j z}|{ z}|{ (0,...,0, 1 ,0,...,0) (0,...,0, 1 ,0,...,0) = |D .{z ..D }, vµ thø tù αj lÇn cã thÓ thay ®æi. f ∈ L1loc (Ω) VÝ dô 3. NÕu VÝ dô 4. Hµm Heaviside cã ®¹o hµm cÊp α theo nghÜa th«ng th­êng α ®¹o hµm theo nghÜa suy réng cña hµm suy réng f còng lµ D f. ( θ(t) := cã ®¹o hµm suy réng Dθ(t) = δ(t). 1, 0, t > 0, nÕu t ≤ 0. nÕu Dα f ∈ L1loc (Ω) th× 10 VÝ dô 5. Cho α D (ϕf ) = f ∈ D0 (Ω), ϕ ∈ C ∞ (Ω) cã X α  β≤α VÝ dô 6. §Æt β β D ϕD α−β f, trong ®ã   Y n     α αj αj αj ! . = , = βj !(αj − βj )! β βj βj j=1 E(x) = (2π)−1 ln ||x||, nÕu x ∈ R2 \{0}, cßn víi n ≥ 3 ®Æt E(x) = − 1 ||x||2−n , x ∈ Rn \{0}, (n − 2)cn n lµ diÖn tÝch mÆt cÇu ®¬n vÞ trong trong gian R . 0 n 2 2 Khi ®ã, ∆E = δ trong D (R ), ∆ = D1 + . . . Dn . n 1 ThËt vËy, tr­íc hÕt ta chøng minh E ∈ Lloc (R ). DÔ dµng thÊy víi cn ®iÓm E x 6= 0, vµ víi x 6= 0 cã 1 1 xj ||x||−n , Dj2 E(x) = (||x||2 − nx2j )||x||−n cn cn 2 2 ∆E(x) = D1 E(x) + . . . Dn E(x) = 0. Dj E(x) = Nh­ vËy ®Ó chøng minh vÞ kh¶ vi v« h¹n t¹i mäi E ∈ L1loc (Rn ) ta chØ cÇn chøng minh E chó ý c2 = 2π kh¶ tÝch trong h×nh cÇu ®¬n B1 (0). B»ng c¸ch chuyÓn sang hÖ to¹ ®é cÇu ta cã (R 2π R 1 Z 1 ln(r)rdrdθ 0 E(x)dx = R 0 c2 R 1 1 − ||x||=1 0 (n−2)cn r2−n rn−1 drdS B1 (0) nÕu n = 2, nÕu n ≥ 3, hay E(x)dx = B1 (0) R1 r r 2 ln r 1 ln(r)rdr = dr = − 2 0 0 2 0 R1 1 −1 − 0 (n−2) rdr = 2(n−2) (R 1 Z −1 4 nÕu n = 2, nÕu n ≥ 3. ϕ ∈ C0∞ (Rn ) cã mét sè R > 0 ®Ó supp ϕ ∈ BR (0), khi ®ã, theo c«ng thøc Gauss cho h×nh { ≤ ||x|| ≤ R} víi hai biªn { = ||x||}, {||x|| = R} Z hDj E, ϕi = − hE, Dj ϕi = − lim E(x)Dj ϕ(x)dx →0+ ≤||x||≤R Z Z 1 xj −n = lim xj ||x|| ϕ(x)dx + lim E(x)ϕ(x) dS →0+ ≤||x||≤R cn →0+ =||x|| ||x|| Z xj − lim E(x)ϕ(x) dS →0+ ||x||=R ||x|| Víi x j ϕ(x) = 0, ||x|| ≥ R, vµ trªn biªn { = ||x||} th× |E(x)ϕ(x) ||x|| | lµ v« cïng bÐ O(ln( 1 )) R xj 2−n nÕu n = 2 vµ O( ) nÕu n ≥ 3 nªn =||x|| E(x)ϕ(x) ||x|| dS lµ v« cïng bÐ O( ln( 1 )) nÕu n = 2 vµ O() nÕu n ≥ 3 khi  → 0+ nªn Z 1 hDj E, ϕi = lim xj ||x||−n ϕ(x)dx. →0+ ≤||x||≤R cn mµ 11 nªn ®¹o hµm suy réng Dj E cã thÓ viÕt d­íi d¹ng mét hµm kh¶ tÝch ®Þa ph­¬ng Dj E(x) = 1 xj ||x||−n . cn L¹i cã hDj2 E, ϕi mµ Z = − hDj E, Dj ϕi = − lim Dj E(x)Dj ϕ(x)dx →0+ ≤||x||≤R Z 1 (||x||2 − nx2j )||x||−n ϕ(x)dx = lim →0+ ≤||x||≤R cn Z xj − lim Dj E(x)ϕ(x) dS →0+ ||x||=R ||x|| Z x2j ϕ(x) + lim dS →0+ ||x||= cn ||x||n+1 ϕ(x) = 0, ||x|| ≥ R nªn 1 h∆E, ϕi = lim →0+ cn n−1 hay Z ϕ(x)dS = ϕ(0) = hδ, ϕi, ||x||= ∆E = δ. VÝ dô 7. Trong Rn+1 , ký hiÖu (x, t) ∈ Rn × R vµ E(x, t) = (4πt) Khi ®ã, −n 2 e− ||x||2 4t , t > 0, , E(x, t) = 0, t ≤ 0. E ∈ C ∞ (Rn+1 \{0}) ∩ L1loc (Rn+1 ), vµ (Dt − ∆x )u = δ. VÝ dô 8. Trong R2 , ký hiÖu (x, t) ∈ R × R vµ 1 E1 (x, t) = θ(t − |x|). 2 (Dt2 − Dx2 )E1 (x, t) = δ. 3 2 Trong R , ký hiÖu (x, t) ∈ R × R vµ Khi ®ã, E2 (x, t) = θ(t − ||x||) p , t 6= ||x|| , E(x, t) = 0, t = ||x||. 2π t2 − ||x||2 (Dt2 − ∆x )E2 (x, t) = δ. 4 3 Trong R , ký hiÖu (x, t) ∈ R × R vµ Khi ®ã, E3 (x, t) = Khi ®ã, (Dt2 − ∆x )E3 (x, t) = δ. 1 θ(t)δ(t2 − ||x||2 ). 2π 12 Ω = R, víi f, F ∈ D0 (R), ta nãi F lµ nguyªn hµm suy réng cña hµm suy réng f nÕu ®¹o hµm suy réng cña F lµ f, nghÜa lµ DF = f. Trong tr­êng hîp MÖnh ®Ò 1.5. Mäi hµm suy réng Chøng minh. Víi mçi f ∈ D0 (R) ®Òu cã nguyªn hµm suy réng. ϕ ∈ C0∞ (R) ®Æt Z ψ(x) = ϕ(x) − ρ(x) Z x ψ(t)dt. Ψ(x) = +∞ ϕ(t)dt −∞ −∞ Cã Ψ(x) ∈ C0∞ (R) nªn víi mçi hµm suy réng f ∈ D0 (R),ta cã thÓ ®Æt hF, ϕi = hf, Ψi. Khi ®ã, F ∈ D0 (R) vµ Z 0 x hDF, ϕi = hF, ϕ i = hf, ϕ(x) − F +∞ ρ(y) −∞ NÕu hµm suy réng Z ϕ0 (t)dtdyi = hf, ϕi. −∞ DF = 0 th×  Z +∞  hF, ϕi = hF, ψi + ϕ(t)dt hF, ρi −∞  Z +∞  = hDF, Ψi + ϕ(t)dt hF, ρi −∞   Z +∞ ϕ(t)dt hF, ρi. = cã ®¹o hµm suy réng −∞ cã nguyªn hµm suy réng DF = 0 th× F t­¬ng øng víi hµm 1 h»ng F ≡ hF, ρi trong líp hµm kh¶ tÝch ®Þa ph­¬ng Lloc (R). 0 Khi ®ã, víi mçi hµm suy réng f ∈ D (R), lu«n cã mét hä c¸c nguyªn hµm suy réng mµ Do ®ã, nÕu hµm suy réng F hai nguyªn hµm trong hä sai kh¸c nhau mét hµm suy réng cã thÓ biÓu diÔn d­íi d¹ng hµm kh¶ tÝch ®Þa ph­¬ng h»ng. 1.2.4 CÊp cña hµm suy réng K ⊂ Ω, f ∈ D0 (Ω). Ta nãi hµm suy réng f cã cÊp h÷u nÕu cã mét sè nguyªn kh«ng ©m k vµ mét sè d­¬ng C sao cho X |hf, ϕi| ≤ C sup |Dα ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), supp ϕ ⊂ K. §Þnh nghÜa 1.5. Cho |α|≤k h¹n trªn K (1.1) x∈K k nhá nhÊt trong c¸c sè nguyªn kh«ng ©m mµ ta cã bÊt ®¼ng thøc (1.1) ®­îc gäi lµ cÊp cña hµm suy réng f trªn tËp K. NÕu kh«ng cã mét sè nguyªn kh«ng ©m k nµo ®Ó cã (1.1) víi sè d­¬ng C nµo ®ã, th× ta nãi r»ng, hµm suy réng f cã cÊp v« h¹n trªn tËp K. 0 §Ó ®¬n gi¶n, ta nãi r»ng, hµm suy réng f ∈ D (Ω) cã cÊp k nÕu nã cã cÊp k trªn Ω. Sè nguyªn kh«ng ©m 13 VÝ dô 9. Mäi hµm suy réng f ∈ L1 (Ω) ®Òu cã cÊp 0. Rn , hµm Dirac δ(x) ∈ D0 (Rn ) cã cÊp 0. Víi α ∈ Zn+ , ®¹o hµm suy réng cÊp α cña hµm Dirac Dα δ cã cÊp |α|. ThËt vËy, chän φ ∈ C0∞ (Rn ) sao cho φ(0) = 1, supp φ ⊂ B1 (0). §Æt φ (x) = xα φ( x ) cã VÝ dô 10. Trªn x hDα δ, φ i = (−1)|α| hδ, Dα φ i = (−1)|α| Dα (xα φ( ))(0) = (−1)|α| α!.  L¹i cã do nÕu ||x|| ≥  th× φ (x) = 0 nªn sup |Dβ φ (x)| ≤ C|α−β| → 0 khi  → 0, β < α, x∈Rn k < |α|, víi bÊt kú sè c > 0 ta ®Òu t×m ®­îc sè  > 0 ®Ó X |hDα δ, φ i| = α! > c sup |Dβ φ (x)|, do ®ã víi sè nguyªn kh«ng ©m |β|≤k cßn víi k = |α| th× |hDα δ, ϕi| = |Dα ϕ(0)| ≤ C X |β|≤k VÝ dô x∈Rn 11. Trªn sup |Dβ ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ). x∈Rn R, hµm suy réng ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau hf, ϕi = +∞ X ϕ(j) (j) j=0 cã cÊp v« h¹n. 1 1 ∞ ThËt vËy, chän φ ∈ C0 (R) mµ φ(x) = 1, x ∈ [− , ], supp φ ⊂ (−1, 1). §Æt φj (x) = 2 2 (x − j)j φ( x−j ), j chän sau. Cã Dk φj (k) = 0, k 6= j, vµ Dj φj (j) = j! nªn hf, φj i = j!. j Nh­ng, do nÕu |x − j| ≥ j th× φj (x) = 0 nªn sup |Dk φj (x)| ≤ cj−k , k < j, j x∈R ta chän j > 0 sao cho |hf, φj i| = j! > j j−1 X k=1 Do ®ã, víi mçi j−1 X l=1 f x∈R k > 0, c > 0 chän j = max{k + 1, c + 1} cã |hf, φj i| = j! > j hay cÊp cña sup |Dk φj (x)|. lµ v« h¹n. l sup |D φj (x)| > c x∈R k X l=1 sup |Dk φj (x)| x∈R 14 §Þnh lý 1.6. Mçi phiÕm hµm tuyÕn tÝnh f trªn D(Ω) lµ mét hµm suy réng khi vµ chØ khi, K ⊂ Ω, cã mét sè nguyªn kh«ng ©m k vµ mét sè d­¬ng C sao cho X |hf, ϕi| ≤ C sup |Dα ϕ(x)| = CkϕkC k (Ω) , ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), supp ϕ ⊂ K. trªn mçi tËp compact |α|≤k x∈Ω Chøng minh. §Ó chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ ta chØ cÇn chøng minh tÝnh liªn tôc cña f t¹i gèc, ∞ ∞ nghÜa lµ nÕu cã mét d·y {ϕj }j=1 trong C0 (Ω) mµ D− lim ϕj = 0 th× lim hf, ϕj i = 0. j→∞ j→∞ §iÒu nµy lµ dÔ thÊy tõ gi¶ thiÕt. §Ó chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn ta dïng ph¶n chøng, nghÜa lµ gi¶ sö cã mét tËp compact K ⊂ Ω víi mçi k ∈ Z+ ta ®Òu cã sup ϕ∈C0∞ (Ω) supp ϕ⊂K,ϕ6=0 |hf, ϕi| = +∞ kϕkC k (Ω) ϕk ∈ C0∞ (Ω), supp ϕ ⊂ K, kϕk kC k (Ω) > 0 1 Chän ψk (x) = 1 ϕk (x) cã do ®ã, tån t¹i sao cho |hf, ϕk i| > kkϕk kC k (Ω) . k 2 kϕk kC k (Ω) • ψk ∈ C0∞ (Ω), supp ψk ⊂ K, 1 • D− lim ψk = 0, |hf, ψk i| ≥ k 2 , k→∞ nªn f 6∈ D0 (Ω), tr¸i víi gi¶ thiÕt. Nh­ vËy, ®iÒu gi¶ sö sai hay ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 1.2.5 Sù héi tô trong kh«ng gian hµm suy réng 0 §Þnh nghÜa 1.6. Cho fk , f ∈ D (Ω), k 0 trong D (Ω) khi k tiÕn ra v« cïng nÕu = 1, 2, . . . . D0 (Ω) Ta nãi r»ng, d·y {fk }∞ k=1 héi tô ®Õn lim hfk , ϕi = hf, ϕi, ∀ϕ ∈ D(Ω). k→∞ Khi ®ã, ta viÕt VÝ dô 12. D0− lim fk = f. k→∞ D0− lim ρ 1 = δ. k→∞ Th©t vËy, víi mçi ϕ k ∈ C0∞ (Rn ) cã Z Z |hρ 1 , ϕi − ϕ(0)| ≤ ρ 1 (y)|ϕ(y) − ϕ(0)|dy = k k Rn ρ 1 (y)|ϕ(y) − ϕ(0)|dy B 1 (0) k ≤ sup |ϕ(y) − ϕ(0)| y∈B 1 (0) k nªn lim |hρ 1 , ϕi − ϕ(0)| = 0 hay ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. k→∞ k k f 15 0 13. Sù héi tô trong D (Ω) trïng víi sù héi tô yÕu vµ trong ∈ L1loc (Ω), D0− lim fk = f, th× k→∞ VÝ dô fk , f Z lim k→∞ Z fk (x)ϕ(x)dx = Ω L1loc (Ω), nghÜa lµ nÕu f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω). Ω 1. Kh¸i niÖm héi tô ®­îc ®Þnh nghÜa ë trªn lµ phï hîp víi cÊu tróc tuyÕn tÝnh trªn (Ω), nghÜa lµ víi λ, µ ∈ C, fk , gk , f, g ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, . . . vµ Chó ý. D 0 D0− lim fk = f, D0− lim gk = g k→∞ k→∞ th× D0− lim (λfk + µgk ) = λf + µg. k→∞ 2. Cho a(.) ∈ C ∞ (Ω) phÐp to¸n nh©n víi a(.) biÕn f ∈ D0 (Ω) thµnh af ∈ D0 (Ω) lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc, nghÜa lµ (i) a(λf + µg) = λaf + µag, ∀λ, µ ∈ C, f, g ∈ D0 (Ω), (ii) NÕu fk , f ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, . . . vµ D0− lim fk = f k→∞ n 3. Víi mçi α ∈ Z+ , phÐp to¸n ®¹o hµm suy réng 0 trong D (Ω), nghÜa lµ (i) Dα th× D0− lim afk = af. k→∞ còng lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc Dα (λf + µg) = λDα f + µDα g, ∀λ, µ ∈ C, f, g ∈ D0 (Ω), (ii) NÕu fk , f ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, . . . vµ D0− lim fk = f k→∞ th× D0− lim Dα fk = Dα f. k→∞ P 0 fk ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, . . . , chuçi h×nh thøc ∞ lµ héi tô trong D (Ω) k=1 fk ®­îc gäi P Pk ∞ ∞ 0 α nÕu d·y tæng riªng { j=1 fj }k=1 héi tô trong D (Ω). Khi ®ã, chuçi k=1 D fk còng héi 0 tô trong D (Ω) vµ ∞ ∞ X  X Dα fk = Dα fk . 4. Cho k=1 k=1 0 ∞ {fk }∞ k=1 ®­îc gäi lµ d·y Cauchy trong D (Ω) nÕu víi mçi ϕ ∈ D(Ω) d·y {hfk , ϕi}k=1 lµ d·y Cauchy trong C. 5. D·y §Þnh lý 1.7. D0 (Ω) lµ kh«ng gian ®ñ. §Ó chøng minh §Þnh lý ta cÇn ®Õn Bæ ®Ò sau. Bæ ®Ò 1.8. Cho d·y trong {ϕk }∞ k=1 trong D(Ω) D0 (Ω). Khi ®ã, lim hfk , ϕk i = 0. k→∞ mµ D− lim ϕk = 0, k→∞ vµ {fk }∞ k=1 lµ d·y Cauchy 16 Chøng minh. Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng, gi¶ sö cã mét sè hfk , ϕk i 6→ 0 khi k → ∞, nghÜa lµ c > 0 vµ mét d·y con, ®Ó ®¬n gi¶n ký hiÖu, ta cã thÓ gi¶ sö |hfk , ϕk i| > c, k = 1, 2, . . . . B»ng c¸ch lÊy ra mét d·y con cña d·y con trªn, ®Ó ®¬n gi¶n ký hiÖu, ta cã thÓ cã |Dα ϕk (x)| ≤ ψk = 2k ϕk §Æt 1 , ∀x ∈ Ω, |α| ≤ k, k = 1, 2, . . . . 4k cã ψk ∈ C0∞ (Ω), supp ψk ⊂ supp ϕk , (i) (ii) D− lim ψk = 0, lim hfk , ψk i = +∞. k→∞ k→∞ {fk0 , ψk0 }∞ k=1 b»ng c¸ch quy n¹p nh­ sau. lim hfl , ψl i = +∞ nªn cã mét sè tù nhiªn l1 sao cho |hfl1 , ϕl1 i| > 1. Ta ®i x©y dùng d·y Do l→∞ f10 = fl1 , ψ10 = ψl1 . Do D− lim ψl = 0 nªn cã mét sè tù nhiªn k1 > l1 §Æt 0 sao cho |hf1 , ψl i| < 1, ∀l ≥ k1 . Mµ d·y l→∞ {hfl , ψ10 i}∞ l=1 lµ d·y Cauchy nªn bÞ chÆn, cßn lim hfl , ψl i = +∞ nªn cã mét sè tù nhiªn l→∞ l2 > k1 sao cho |hfl , ψl i| > |hfl , ψ10 i| + 1, ∀l ≥ l2 . 0 0 §Æt f2 = fl2 , ψ2 = ψl2 . Cã 0 0 (i)|hf1 , ψ2 i| < 12 , 0 0 (ii)|hf2 , ψ2 i| > |hf20 , ψ10 i| + 1. Gi¶ sö ta ®· cã 0 0 (i)|hfj , ψk−1 i| 0 , ψ10 , . . . , ψk−1 (k > 2, fj0 = flj , l1 < l2 < · · · < lk−1 ) mµ f10 , . . . , fk−1 < 0 0 (ii)|hfk−1 , ψk−1 i| Do 1 ,j 2k−1−j > = 1, . . . , k − 2, Pk−2 j=1 0 |hfk−1 , ψj0 i| + k − 1. D− lim ψl = 0 nªn cã mét sè tù nhiªn k2 > lk−1 l→∞ |hfj0 , ψl i| < Víi mçi 1 2l−j , j = 1, . . . , k − 2, ∀l ≥ k2 . j = 1, . . . , k − 2, d·y {hfl , ψj0 i}∞ l=1 +∞ nªn cã mét sè tù nhiªn lk > k2 k−2 X j=1 fk0 = flk , ψk0 = ψlk . Cã lµ d·y Cauchy nªn bÞ chÆn, cßn sao cho |hfl , ψl i| > §Æt sao cho |hfl , ψj0 i| + k, ∀l ≥ lk . lim hfl , ψl i = l→∞ 17 0 0 (i)|hfj , ψk i| 0 0 (ii)|hfk , ψk i| Cã d·y 1 ,j 2k−j < > Pk−1 j=1 = 1, . . . , k − 1, |hfk0 , ψj0 i| + k. ∞ {ψk0 }∞ k=1 = {ψlk }k=1 (i) cã mét tËp compact (ii)víi mçi {ψk }∞ k=1 ψk = 2k ϕk mµ nªn K ⊂ Ω sao cho supp ψk0 ⊂ K, k = 1, 2, . . . , α ∈ Zn+ , m2 , m1 ∈ Z+ , m2 > m1 > |α| cã m2 X k=m1 Do ®ã, d·y lµ d·y con cña d·y { sup |D x∈Ω Pk l=1 α ψk0 (x)| = m2 X k=m1 ψl0 }∞ k=1 héi tô trong m2 ∞ X X 1 1 1 sup |D ψlk (x)| < ≤ = m1 −1 . l k 2k 2 2 x∈Ω k=m k=m α 1 1 D(Ω), nghÜa lµ cã mét hµm ψ ∈ D(Ω) mµ ψ = D− lim k→∞ k X ψl0 . l=1 Khi ®ã, cã |hfk0 , ψi| ≥ |hfk0 , ψk0 i| − k−1 X |hfk0 , ψj0 i| j=1 ≥ k − lim l→∞ l X j=k+1 1 2j−k l X − lim l→∞ |hfk0 , ψj0 i| j=k+1 = k − 1, 0 ∞ nghÜa lµ, d·y {hfk , ψi}k=1 lµ kh«ng bÞ chÆn, do ®ã còng kh«ng lµ d·y Cauchy nªn d·y 0 {fk0 }∞ k=1 kh«ng lµ Cauchy trong D (Ω). §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt. Nh­ vËy ®iÒu gi¶ sö sai hay ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. ∞ Chøng minh. B©y giê ta ®i chøng minh §Þnh lý 1.7. LÊy {fk }k=1 lµ d·y Cauchy trong D0 (Ω). Ta ph¶i chøng minh cã mét hµm suy réng f ∈ D0 (Ω) mµ f = D0− lim fk k→∞ ∞ 0 ∞ Do {fk }k=1 lµ d·y Cauchy trong D (Ω) nªn víi mçi ϕ ∈ D(Ω) d·y {hfk , ϕi}k=1 lµ d·y Cauchy trong C, do ®ã tån t¹i mét phÇn tö ký hiÖu hf, ϕi ∈ C mµ lim hfk , ϕi = hf, ϕi. k→∞ f : ϕ 7→ hf, ϕi lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh tõ D(Ω) vµo C. Ta sÏ 0 chøng minh f lµ liªn tôc. Khi ®ã, f = D− lim fk . Râ rµng t­¬ng øng, ký hiÖu k→∞ Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng, gi¶ sö cã mét d·y 0, nh­ng hf, ϕk i 6→ 0 mét sè lk sao cho 0 §Æt fk = flk cã (i) {fk0 }∞ k=1 trong D(Ω) mµ D− lim ϕk = k→∞ k → ∞, nghÜa lµ cã mét sè c > 0 vµ mét d·y con, ®Ó ®¬n gi¶n |hf, ϕk i| = lim |hfl , ϕk i| > c, k = 1, 2, . . . . Do ®ã, víi mçi k cã khi ký hiÖu ta cã thÓ gi¶ sö {ϕk }∞ k=1 l→∞ |hflk , ϕk i| > c. lµ d·y Cauchy trong D0 (Ω), 18 D− lim ϕk = 0, (ii) k→∞ (iii) |hfk0 , ϕk i| > c, k = 1, 2, . . . , mµ theo Bæ ®Ò 1.8 cã f hay lim |hfk0 , ϕk i| = 0 nªn x¶y ra ®iÒu m©u thuÉn. Do ®ã ®iÒu gi¶ sö sai k→∞ liªn tôc. 1.2.6 §Þa ph­¬ng ho¸ Ω1 , Ω2 lµ c¸c tËp më trong Rn lµ hµm trªn Ω2 b»ng c¸ch sau ( Cho ϕΩ2 (x) = vµ Ω1 ⊂ Ω2 . ϕ(x) 0 , ϕ ∈ C0∞ (Ω1 ) Víi mçi hµm cã thÓ coi x ∈ Ω1 , nÕu x ∈ Ω2 \Ω1 , , nÕu ϕ ∈ C0∞ (Ω2 ). 0 Khi ®ã, víi mçi f ∈ D (Ω2 ) ta coi lµ mét hµm suy réng trªn Ω1 th× b»ng c¸ch sau hf |Ω1 , ϕi = hf, ϕΩ2 i, ϕ ∈ D(Ω1 ). f, g ∈ D0 (Ω2 ), f 6= g th× ch­a ch¾c f |Ω1 6= g|Ω1 hay nÕu f |Ω1 = g|Ω1 th× ch­a ch¾c f = g. NÕu ϕ ∈ C0∞ (Ω2 ), supp ϕ ⊂ Ω1 th× cã thÓ coi ϕ ∈ C0∞ (Ω1 ) vµ hf, ϕi = hf |Ω1 , ϕi. NÕu Ω lµ tËp më trong Rn , ®iÓm x ∈ Ω, c¸c hµm Ta nãi r»ng f = g t¹i x nÕu cã mét l©n cËn më ω ⊂ Ω cña x ®Ó §Þnh nghÜa 1.7. Cho suy réng f, g ∈ D0 (Ω). f |ω = g|ω . f, g ∈ D0 (Ω). f 6= g t¹i mét ®iÓm x ∈ Ω ω ⊂ Ω cña x ®Òu cã mét hµm ϕ ∈ D(Ω), supp ϕ ⊂ ω sao cho Chó ý. 1. Cho Khi ®ã, nÕu víi mäi l©n cËn më hf, ϕi = 6 hg, ϕi hay cã mét d·y h×nh cÇu mµ Brk (x) ⊂ Ω mµ rk & 0 khi k % ∞ vµ mét d·y hµm ϕk ∈ C0∞ (Ω) supp ϕk ⊂ Brk (x) sao cho hf, ϕk i = 6 hg, ϕk i. 2. Cho f, g ∈ D0 (Ω). NÕu f = g trong D0 (Ω) th× f = g t¹i mäi ®iÓm x ∈ Ω. §Þnh lý sau cho ta thÊy ®iÒu ng­îc l¹i còng ®óng. §Þnh lý 1.9. Cho 0 f, g ∈ D0 (Ω). NÕu víi mäi x∈Ω ®Òu cã f =g t¹i x th× f =g trong D (Ω). ϕ ∈ D(Ω) cã K = supp ϕ lµ tËp compact trong Ω. Tõ gi¶ thiÕt, víi mçi x ∈ K cã mét l©n cËn më ωx cña x mµ f |ωx = g|ωx . Cã K ⊂ ∪x∈K ωx mµ K compact nªn cã mét sè h÷u h¹n ®iÓm x1 , . . . , xm ∈ K mµ K ⊂ m ∪m j=1 ωxj . Theo §Þnh lý 1.1 (§Þnh lý ph©n ho¹ch ®¬n vÞ) cã mét hä h÷u h¹n c¸c hµm {ψj }j=1 trong D(Ω) sao cho Chøng minh. Víi mçi 19 (i) 0 ≤ ψj (x) ≤ 1, ∀x ∈ K, j = 1, 2, . . . , supp ψj ⊂ ωxj , j = 1, 2, . . . , Pm (iii) j=1 ψj (x) = 1, ∀x ∈ K. (ii) Khi ®ã, cã m X hf, ϕi = hf, ( ψj )ϕi j=1 = = m X j=1 m X hf |ωj , ψj ϕi( v× ψj ϕ ∈ D(ωxj )) hg|ωj , ψj ϕi j=1 = hg, ϕi, nªn ta cã f =g trong D0 (Ω).
- Xem thêm -